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讓數學成為探索藝術花園的新視角——《圖解圖樣設計》導讀

Sharkie Lin_96
・2017/06/17 ・1822字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 461 ・五年級

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故宮博物院在 2014 年有個不尋常的大展──〈錯覺藝術大師─艾雪的魔幻世界畫展〉,其策劃緣由竟與中國山水畫有關。更早之前,故宮的富春山居圖合璧吸引了許多人潮,原以為參觀人次會是全球之冠,沒想到僅僅排上第三,當年的第一名是巴西里約的艾雪展。既然此展覽如此受到歡迎,何不引進台灣與更多人分享,因此以傳統書畫文物類為主要典藏的故宮辦了此展,掀起了一股數學與藝術的熱潮。展場除了艾雪真跡之外,還有潘洛斯階梯實體裝置,以及師大團隊製作的圖樣破解影片。

2014 年的艾雪的魔幻世界畫展。

當時我剛從歐洲帶著凱爾特神話的月曆回國,正好趕上展覽的最後一天。即使在網路上看過畫作,到了現場仍舊目眩神迷驚歎不已,心裡想著要是我也能來進行類似的創作會多有趣?可惜當時並不清楚有什麼數學工具與方法可以創造出類似的圖樣。

數學是一種關於胚騰的科學(the science of pattern),如《生活中的數學》一書所說胚騰可以代表圖樣、紋理、規律、模式,甚至是一切有跡可循的事物。其中圖樣和大眾最沒有距離,從古典的幾何學到當代的衍生藝術(generative art),無一不是散發出未言自明的美,十分迷人。

在愛爾蘭,凱爾特圖騰在日常生活隨處可見,像是前面提到以神話為主題的月曆插畫,還有電影《世界之庭》中所描述獲得世界首獎的園藝設計,墓碑上的裝飾等,這些圖樣的起源甚至比埃及金字塔還早。

凱爾特圖騰(Celts symbol)。圖/Leo Reynolds @Flickr

都柏林的切斯特.比替圖書館(Chester Beatty Library)收藏了大量的伊斯蘭藝術作品,讓我近距離見到類似於在數學文獻上曾看過的可蘭經古本,其封面精美的幾何圖樣體現了穆斯林對無限與對稱的熱情,我為此感到震懾與著迷。也期待著有天能拜訪位於西班牙的阿爾罕布拉宮,親炙伊斯蘭文明中數學與藝術合一的殿堂。

無巧不成書,近來曾被詢問數學藝術的建議書單,正感台灣相關書籍不多,沒想到出現了這本連結數學與藝術的書《圖解圖樣設計》。本書作者從艾雪的創作出發,以生活中真實的裝飾圖樣為例,從最基本的平移、對稱、鏡射,一路談到對稱平面群與艾雪、潘洛斯的各種鋪磚技法,扣緊數學與圖樣結構的發展脈絡,搭配清晰易懂的圖說引領讀者理解。

做為一本技法書,作者發揮研究精神,系統化地整理了艾雪和潘洛斯鋪磚法中的各種拼合規則,方便讀者查閱以及想像圖樣設計的可能性。也提到了設計與印刷的實務經驗,貼心地提醒讀者一些關於圖樣設計的細節,像是以大圖案與小圖案呈現出的不同視覺感受,又分別適合用在何處,使得圖樣設計不會停留在紙上的數學理論。

使用潘洛斯鋪磚法(Penrose Tiling)所構成的圖樣。圖/PrzemekMajewski – Own work, CC BY-SA 4.0, wikimedia commons.

書中不賣弄專業術語讓人免於壓力,也不會對難以辨認出規則的繁複圖樣感到卻步或暈頭轉向,就算拋棄代號也很容易可以理解。透過數學,即使不諳繪畫技巧同樣能夠了解規則看懂圖樣,甚至是代換成其他圖樣的可能,使人產生了躍躍欲試的心情。

除了數學藝術愛好者之外,想和孩童一起製造出艾雪式鋪磚的教師與家長也不可錯過本書。作者除了一步步詳細說明如何利用多邊形製造出動物圖樣的原則之外,還包括構思主題式創作的技巧,是課堂引發興趣與想像力的一本好書,即使是孩子也可以創作出屬於自己的作品。

艾雪在 1939 年對六腳動物鑲嵌的研究作品。圖/Source (WP:NFCC#4), Fair use, wikimedia commons.

數學一直都不只是考試的工具,而是許多藝術作品背後的美學祕密,在艾雪手中更是成為一種理性與感性相互撞擊的樂趣。許多人曾討論艾雪的作品到底是數學還是藝術,我認為這兩個領域早已分不清,不如就叫「藝數」混在一起。艾雪對此倒是有個精彩的見解,他認為數學家嚴謹地發展與定義出一個理論,就像開啟了一扇常人不曾發現的門,但他們的興趣不在走到這道門後面;而藝術家如艾雪本人感興趣的則是在於門打開以後的那片花園,比較不在意門是怎麼開的。

因此自認數學不好的創作者,可以想成數學幫忙打開了一道門,讓藝術家看見外頭的花園充滿靈感與想像。數學,讓你用新視角探索藝術花園。光是如此,就足以鼓起跨界勇氣,玩賞本書探索更多藝數之間的創作可能。


 

 

本文摘自《Pattern Design 圖解圖樣設計》易博士出版社出版。

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Sharkie Lin_96
24 篇文章 ・ 5 位粉絲
在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/11/01 ・2113字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
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你用對數學了嗎?換種說法讓問題變清晰——《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》
天下文化_96
・2022/12/02 ・2888字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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在我以數學家自居時,我所發現的最強大捷徑之一是,找到合適的用語來討論問題。很多時候,我們會用一種讓人摸不清情況的措辭去表達這個問題,只要能找到另一種說法,把這道謎題轉化成新的用語,答案就會突然明朗許多。換個語言,我們就可以從企業銷售資料的含糊數字中,辨認出奇特的相關性。

人生的大部分時間都是一場遊戲,但把這場遊戲轉化成你知道如何得勝的遊戲,可以給你絕佳的優勢。在我仍是見習數學家的時候,發現了最令我興奮的啟示之一:

把幾何轉換成數字的詞典可提供捷徑通往超空間──也就是我成為專業數學家之後一直在探索的多維宇宙。

「合適的語言」

除非找到合適的語言來描述,否則科學及其他領域有愈來愈多的概念看起來好像根本不存在,「湧現」(從組成成分產生的性質)的概念就是一例。舉例來說,如果講水的個別分子 H2O,很難描述水的溼潤性質。

如果講水的個別分子H2O,很難描述水的溼潤性質。圖/pexels

儘管科學似乎暗示,你可以把一切化約成這些基本粒子的行為及決定其行為的方程式,但這種語言通常完全不能描述現象。一群鳥的遷徙不能用組成鳥身體的原子運動方程式來描述。若堅持用個體經濟學的語言,就不容易了解總體經濟學;即使個體經濟變化是造成總體經濟現象的原因,但使用個別財貨本身的語言,仍然不可能理解利率上升對通貨膨脹的影響。就連自由意志與意識的概念,實際上也不能藉由神經元和突觸的討論來描述。

轉變帶來改變

找到不同的措辭來談論情緒狀態,可以從根本上改變你的感受。與其說「我很難過」(這種說法很像是把你和悲傷硬生生畫上等號),你大可改說「悲傷與我同在」,於是悲傷忽然有機會繼續前進。正如十九世紀的美國心理學家詹姆斯(William James)所寫的:

「我這代人最重要的發現是,人能藉著轉變心智態度來改變生活。」

然而語言的力量不單單影響個人,語言在現實世界的社會結構中也扮演十分重要的角色。社會可以透過命名讓事物露面,而民族國家的概念既是從語言中變出來的,也是由地理或一群人變出來的。

轉換語言有時意味著,某些能用某種語言清楚表達的想法,改用另一種語言卻變得難以描述。圖/pexels

轉換語言有時意味著,某些能用某種語言清楚表達的想法,改用另一種語言卻變得難以描述。德文的名詞有性別之分,所以可以玩一玩在英文中玩不了的文字遊戲。詩人海涅(Heinrich Heine)寫說,覆蓋著白雪的松樹愛慕一棵晒黑的東方棕櫚;在德文中,松樹是陽性名詞,棕櫚是陰性名詞,但這種細微變化在翻譯成英文後就消失了。

有時情況也會反過來。用英文可以講「他的車和她的車」,但用谷歌翻譯譯成法文時會攪在一起,變成「savoiture et sa voiture」(他的車和他的車),因為車子的性別比車主的性別重要。在俄文中,你所能想像出各種類型的雪和暴風雨都有不同的用字。有些語言只有五個表達顏色的詞,但英語的相關用詞有很多。我在前面強調過,模式(pattern)對我來說是重要的概念,然而當我嘗試把 pattern 這個字翻譯成法文時,卻發現沒有一個詞能夠描述它在英文裡代表的許多層面。

我的偶像高斯也對語言差異的重要性深深著迷。在學校裡,老師對他運用拉丁文和閃電般迅速精通古典文學的能力印象深刻。事實上,接受布朗施維克公爵資助的高斯,差點就選擇讀語文學(研究語言史的學門),而不是數學。

數學背後的不只有一種「語言」

我自己走上數學這條路的歷程也有點相似。小時候我想當間諜,以為語言是和全世界特務同行溝通的重要技能,所以在讀綜合中學時報名了校內所有的語言課:法語、德語、拉丁語,甚至開始收聽 BBC 的俄語廣播課程。

只不過,我在外語學習方面不像高斯那麼有天分,這些語言在我看來全是不規則動詞和奇怪的拼字。間諜生涯夢碎,我變得非常沮喪。

此時貝爾森先生給我一本書,書名叫做《數學的語言》(The Language of Mathematics),我才明白數學也是一種語言。我覺得他看出我正渴望一種沒有不規則動詞、一切都解釋得通的語言,但他也知道,我抗拒不了這種語言描述周遭世界的強大說服力。

數學不只是一種語言,而是許多種語言。圖/pexels

我在這本書裡發現,數學方程式可以述說行星橫越夜空的故事,對稱性可以解釋泡泡、蜂巢或花朵的形狀,數字是和聲學的關鍵。如果你想描繪宇宙,你需要的不是德語、俄語或英語,而是數學。

《數學的語言》還告訴我,數學不只是一種語言,而是許多種語言,它很擅長創作詞典,可把一種語言轉換成另一種,好讓捷徑在新的語言中出現。

數學史上不時會有類似的輝煌時刻。

換種方式讀懂世界

十六世紀的義大利科學家伽利略(Galileo Galilei),意識到代數語言理解自然界的本領,曾寫下一段很有名的文字:

「如果不先學會理解這種語言,認識它的書寫符號,就無法了解宇宙。它是用數學語言寫成的,所用的書寫符號是三角、圓和其他幾何圖形,沒有這些符號就一個字也看不懂;沒有這些,就會像在黑暗迷宮中徘徊。」

在宇宙的諸多故事裡,他希望讀懂的是,了解物體如何落地的難題。東西掉到地上或飛過空中的方式有什麼規律嗎?因為物體通常掉落得太快,要蒐集物體從高樓掉落的資料很困難,但伽利略想到聰明的點子,可放慢實驗速度,方便他蒐集所需的資料。他不是讓東西落下,而是去探討球滾下斜坡的方式,這對他來說速度夠慢,可以記錄球每過一秒滾動了多遠。

斜面必須夠平滑,球才不會因摩擦力減速。伽利略希望盡量接近球在空間中落下的情形。他搭起光滑的表面,開始記錄球每秒行進的距離,馬上就發現有個非常簡單的模式浮現出來了。如果球在一秒後移動了 1 單位的距離,那麼在下一秒它會滾過 3 單位的距離,再下一秒是 5 單位的距離。隨後的每一秒,球都在加速,滾過更多地方,但它走過的距離只有奇數。

等到伽利略考慮行進了一段時間的總距離,物體落地方式的祕密就曝光了。

行進 1 秒後的總距離= 1 單位

行進 2 秒後的總距離= 1 + 3 單位= 4 單位

行進 3 秒後的總距離= 1 + 3 + 5 單位= 9 單位

行進 4 秒後的總距離= 1 + 3 + 5 + 7 單位= 16 單位

總距離永遠是平方數。圖/天下文化

你注意到模式了嗎?總距離永遠是平方數。但為什麼奇數會與平方數有關呢?把數字轉換成幾何,就可以找到答案。

——本文摘自《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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原來數學也可以用在這裡?生物巧妙運用數學模式,克服了移動上的物理限制——《生物世界的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/10/26 ・1541字 ・閱讀時間約 3 分鐘

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步調模式千變萬化

生物體移動時所受的限制是屬於物理學的。如果該生物使用的是肢體,這些肢體必須強壯到可以支撐作用在牠們上面的力量。(我看過不少設計較差的機器人在移動時散掉。)其他形態的移動也一樣,如果是游泳,該動物就要全力對付流體力學的定律。物理定律影響動物的移動是很明顯的,不值得奇怪。顯然,在這個情形當中,數學提供了各式各樣的模式,而被生物學拿來運用。很少不會用到,不管多麼奇特。

游泳時要全力對付流體力學定律。圖/Pexels

物理學的影響還要更深入。單有腿也沒有用,除非你有可以控制腿的神經系統。運動與神經網路是一體的,兩者一定要一起演化,而不是個別的。另外,正如負責感覺的神經網路一定會模擬外在世界的模式,因此負責運動的神經網路,必定會模擬動物身體的機械性模式。

我很懷疑這種共同演化真的有可能或很容易發生,因為下面這個顯著的事實:像肢體這樣的物理系統的自然振盪模式,跟神經網路的振盪模式是一樣的。早在肢體和腦變成完整的生物結構之前,就已經有一種普遍的步調韻律存在了,潛在地將動物的肢體關聯到腦。步調節奏提供了存在於演化相空間中、等待被使用的模式。

形形色色的生物移動

這模式的確一直被應用。差不多所有的生物都會移動,甚至連最固定不動的植物也會向光彎曲,最微小的浮游生物也會隨波逐流——但是,獵豹在追逐獵物時,可以跑到每小時一百一十公里,這移動真是快速啊!

生物體的種類這麼多,而移動的方式也是千變萬化。細菌利用會旋轉的微小螺旋槳使自己在水中推進,就像船一樣;像草履蟲(Paramecium)這類單細胞生物,則能藉由揮動鞭毛來選擇運動的方向。

(圖七○)Centronotus gunnellus 這種鰻魚肌肉收縮的波形。圖/《生物世界的數學遊戲》

運動的數學模式形形色色,更是令人印象深刻:草履蟲鞭毛的移動有如行進波,就像是玉米田在微風吹拂下產生的浪波;細菌的旋轉螺旋所成幾何圖案之美是無可比擬的;蛇和鰻是靠肌肉收縮做波狀蠕動行進(圖七○);響尾蛇在熱燙的沙漠中滾動,像一個捲曲的彈簧;尺蠖走動時是尾巴頂到頭部,整個身子呈 ∩ 狀,然後前端再向前行並伸展成-字形。

信天翁滑翔時羽翼僵直不動,偶爾慵懶地鼓翼一下,以有蹼的腳劃過水面,而後用笨拙卻迷人的方式飛跑而起;大象拖著沉重的腳步,緩慢橫過空曠的熱帶大草原,一次移動一隻腳(圖七一),模式就像那隻在海邊市鎮漫步的拉布拉多獵犬。

(圖七一)大象的慢步行走。圖/《生物世界的數學遊戲》

駱駝行走的模式又不一樣了:先同時移動兩隻左腿,然後是兩隻右腿〔稱為「溜蹄」(pace)〕,身子左右搖擺有如醉漢一般。松鼠又是另外一種模式:跳一下,停一下,然後再跳一下;如果遇到警訊,就省掉「停」的步驟。

Carparachneaureoflava 這種車輪蜘蛛會像一個有八個輪輻的輪子般,滾過沙漠。世界上有一種會跳躍的蛆〔較正式的稱呼為Ceratitis capitata(地中海果實蠅)的幼蟲〕,會把自己扭曲成 ∩ 形,然後再伸直,就像一顆砲彈般跳入空中,形成一個完美的拋物線。

——本文摘自《生物世界的數學遊戲》,2022 年 9 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

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