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理解數學的思考方法不只一種,你又是哪種數學腦呢?

  • 作者:Vicky Neale(牛津大學數學研究所和巴利奧爾學院研究員)、Lizzie Kimber(格羅斯泰特主教大學數學項目負責人)
    編譯:泛科學編輯部(y編)

許多人會說自己沒有「數學腦」,但其實就算是數學家,也是用各式各樣不同的方式思考的。

思考數學的方法不止一種,沒有哪一種是「正確」的,這雖然可能會造成溝通上的障礙:例如如果你是用視覺圖像思考的人,就很難與用方程式思考的人溝通。但它同時也有好處,這表示當你在數學上卡關的時候,或許從另外一個角度來看世界就不一樣了。

以我們身邊隨處可見的橢圓形為例,光是思考它的方式就有很多種(哈哈想不到吧,bazinga!)。以下就介紹幾種不同的方法,來看看不同類型思考方式的數學家,會有哪些不一樣的視角吧。

橢圓形!source:Balint Földesi@Flickr

實際思考

我們能用一根棍子和一條繩子畫出一個圓,其邊上所有的點到中心的距離都是一樣的。同樣的思維,我們也可以利用棍子和繩子畫出橢圓,只是你需要多兩根棍子。

將兩根棍子插在地上,並將繩子綁在第三根棍子上然後拉緊並開始畫圈圈(不用到角落沒關係!),於是你就能得到一個橢圓!只要繩子拉得夠緊,棍子就會沿著橢圓移動,你可以感受到繩子的張力在引導其運動。

畫一個橢圓~

直接地畫出一個橢圓,是很實際可以手把手感受橢圓的方式(這是什麼繞口令)。

視覺思考

橢圓屬於曲線中的「圓錐曲線(conic sections)」,圓錐曲線指的是從不同角度切割空心圓錐所得到的曲線。

圓錐曲線有幾種類型:橢圓和圓是其中兩種(或者只能說是一種,廣義來說圓算是一種特殊類型的橢圓)(繞口令again),除此之外,拋物線和雙曲線也是他們的好夥伴。

圓錐曲線,從上到下分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線。wikipedia., CC BY-SA

利用視覺化的方式來思考圓形,我們可以把它視為一系列相關曲線中的一種:於是你可以先理解一般的圓錐曲線,然後再深入理解橢圓。

這雖然涉及到前期理解相關概念需要更多的時間投入,但是當擁有眾多而非只是用於單一曲線的理論時,你會發現眼前的世界不太一樣,其付出也終會有所回報的。

文字思考

不是每個人都會喜歡視覺思維,在思考幾何概念時也是如此。有些人會更喜歡用文字來思考數學,或是認為用文字傳達特定的概念是更方便的。唸數學本科的大學生可能會很驚訝,他們被期待在解答中看到的「文字」的數量比想像的多。

描述數學論證最好的方式通常是用流暢的句子講述連貫的故事,並在適當的位置插入方程式和圖表。

在這篇文章當中我們用了各種方式描述了橢圓形,這些描述都帶出了橢圓各式各樣不同的特徵。於是往下,我們想知道的是,如何才能確定這些描述都是在說同一種曲線,而不是各自表述?所以,我們會希望其描述能更精確一點。

橢圓的定義是:
對於橢圓上的每個點,從該點到兩個焦點(畫圖時的兩根棍子的位置)的距離之和是定值。
我們甚至可以說的更準確點:
橢圓是平面上圍繞兩個焦點的曲線,曲線上每個點到兩個焦點的距離之和是定值。

這種描述對於某些目的來說可能已經足夠了,但是人們還是會試圖在視覺上解釋它的含義,或者測試它以查看它與特定橢圓的關係或將其描述轉化為方程式。

代數思考

有些人喜歡將幾何問題轉化為代數。這可能會引導出不同類型的見解。喜歡在符號中思考的人可能會通過說PS + PS’= C(C為常數)來描述橢圓的概念。

人生很長,事情並沒有到此為止。在坐標系上以0為圓心半徑為1畫圓,其方程為x²+y²= 1。而橢圓的表示方式與此不同:因為大多數橢圓從中心到曲線的距離不是恆定的,它是在兩個數值之間變化(圖中的a和b)。

而a和b的長度決定著橢圓的大小以及它有多「橢圓」,並能以此寫出橢圓形的方程:(x / a)²+(y / b)²= 1。這個方程式和圓密切相關,我們可以透過拉伸一個圓來得到一個橢圓,而上述的橢圓方程式就是這麼來的。

對於探索幾何圖形來說,曲線方程式非常的好用。例如,要找到線與橢圓相交的點,我們透過可以記下兩者的方程式,求解以並找到其坐標系。

以自己的方式思考

找到自己的思考數學概念的方法絕對是關鍵,不論你是利用數手指,畫畫還是大聲喊出來而想通的。數學研究能取得進展,往往是因為有人找到了探索概念的新方法。

所有數學家都有自己喜歡的方法來思考數學問題。有些人本能地傾向於採用某種方法而不是另一種方法:這可能取決於習慣,或者因為曾經採用某種方法而成功,又或是實在與某種方法不對盤。

而也許最成功的數學家是能夠在方法與方法之間流暢切換的人。因為在面對任何的問題時,總是有一些策略比其他策略更好。

那你呢?你又如何思考數學的?

source:Tookapic

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