在紐西蘭，沒有「一百分」的考試—《物理雙月刊》

說到世界上最悲傷的生物，實在不能不提全身粉嫩、整隻軟趴趴，表情還超喪的水滴魚（Blobfish）。

世界上最憂傷的魚

軟隱棘杜父魚（Psychrolutes marcidus），俗稱水滴魚、憂傷魚，是一種棲息在澳洲塔斯馬尼亞島和紐西蘭附近、水深 600-1200 公尺處的深海魚。1983 年，研究船在紐西蘭發現了第一隻水滴魚。但深海魚不易觀察，僅靠海底拖網中的樣本數實在很難增加生物學家對牠們的了解。

即使如此，這個粉紅色、肉嘟嘟的塌鼻子怪魚，很快就吸引了大眾目光，並因其奇特的悲傷外貌獲選為「世上最醜」生物。各種水滴魚的迷因、鑰匙圈和絨毛娃娃充斥在我們生活週遭。人們特別喜歡牠悶悶不樂的表情，覺得牠完美體現了我們的日常情緒。

然而，水滴魚並不是天生就長這樣——牠的「苦」是後天造成的。

都是急速減壓惹的禍

生長在深海中的水滴魚，必須承受比我們大 100 倍以上的水壓。為了適應環境，牠們的骨頭很軟，而且只有少量肌肉。 當水滴魚被托網捕獲並帶到水面時，快速減少的水壓會使其身體膨脹，而牠凝膠狀的組織，則會因無法保持原本的結構而塌陷，變成了我們大眾印象中扁塌的樣子。

沒錯！人類著迷的那個「悶悶不樂的水滴魚」，其實是死於內臟爆裂的腫脹魚屍。

水滴魚的深海日常

活在深水下的水滴魚，其實看起來十分普通。牠的體長通常不超過 30 公分，重量不到 2 公斤。

就像許多深海魚一樣，水滴魚沒有魚鰾這類可以控制浮力的氣囊式器官，如果牠們想要自由地在海床移動，就得仰賴密度小於水的「膠狀脂肪體」。

換句話說，水滴魚就像浮在水中的「油」，牠們並不主動捕食，而是在深海中隨波逐流，吃下漂到嘴邊的各種東西。

比悲傷更悲傷的事

迄今為止，學界對水滴魚的了解仍然不多，目前只能推測牠們和其它深海魚一樣，有較長的壽命。至於其交配行為、幼魚樣貌、天敵以及群體數量，仍屬未知。

需要注意的是，在深海捕撈盛行的現在，水滴魚可能正瀕臨滅絕危機。

尤其在動物保育的議題上，可愛上相的物種總是搶盡風頭，長得醜的就幾乎沒人討論。以無脊椎動物為例，雖然佔了所有生物的 79%，卻因外貌不討喜，而僅出現在 11% 探討動物保育的文獻中。像水滴魚這種「醜」的動物，別說是保護了，連相關研究都特別稀少。

下回在保育的議題上，除了貓熊、北極熊這些代表動物外，別忘了還有這些默默無聞、同樣掙扎著生活在這顆星球上的居民們。

參考資料：

1. The blobfish: A bloated guide to the world’s ugliest animal (and what they really look like)
2. Behold the Blobfish – How a creature from the deep taught the world a lesson about the importance of being ugly

• 文／張鎮華｜臺灣大學數學系名譽教授。

Take Home Message

• 今年學測試題為 108 課綱實施的第一次學測。數學考題公布後，各界普遍對本次的試題感到失望。張鎮華認為，本次試題大多符合 108 數學課綱的精神，但試題的份量太重，學測應回歸「初步篩選門檻」的定位。
• 張鎮華表示，數學考題的份量應調整適中，過去考題內容大多偏難，學生學習時遂常以對付考試為方向，以歷年考試題型為依據，背公式以求速解，忽略基礎概念的學習。
• 近年來數學教學及評量已融入計算機使用，但大考仍禁止使用計算機，張鎮華認為，培養數感是計算機融入教學的重要理念之一，未來大考應允許使用計算機。
• 張鎮華建議大考中心除了公布簡答之外，也能出版詳細的文件，闡述出題理念，協助引導教師的教學方向。

111 年學測於今（2022）年元月下旬登場，這是 108 課綱實施之後的第一次學測，各界都引頸觀望大考中心會如何回應 108 課綱，這更是教學現場師生關注的焦點。在數學科有兩個為人重視的方向，其一是回應數學自高二起分流教學，數學 A 和數學 B 如何命題；其二是學測數學科考題近年來在難易間來回擺盪，今年會是如何？

學測宜回歸「初步篩選門檻」的定位

學測始於民國 83 年，其定位是「初步篩選門檻」。但是數學科的考題並沒有對位，一直到民國 100 年之前，試題普遍都較難，滿級分人數占考生的百分比幾乎各年都只比 1％ 略多，民國 85 年的 0.16％ 更是歷年來滿級分比例最低的一次。這樣的難題，引發大部分學生害怕數學，現場老師更無法正常教學。自民國 100 年起，數學科考題逐漸回歸基礎，但卻在難易之間來回擺盪，讓師生每年惴惴不安。

民國 108、109 年的學測數學科試題極為適當，但卻因為滿級分考生的百分比高而獲罪，讓人無法理解；隔年數學科考題轉難，這雖在大家預料之內，但是各界熱切期望其回歸基本。本來期盼分程度測驗的數學 A 和數學 B 能解此困境，但是在今年數學 A 考完當晚，許多國高中老師、大學教授紛紛發表評論，對考題表示失望與不解。

筆者因為要協助高中數學學科中心，拍攝數學 A 和數學 B 的解答影片，先獨自逐題解答了兩份試卷，感覺題目其實都出得很好，大致上回應了 108 數學課綱的精神。但是其份量太重，100 分鐘的考試時間並不是合理的安排，難怪各界覺得太難；就連數學 B 試卷，其對象是低數學需求的學生，筆者也認為份量太重。

我猜想，數學 A 的份量會如此重，可能是想與數學 B 有所區隔。但是兩份試卷內容都太重了，學測還是應該回歸「初步篩選門檻」的定位，以利現場教學。

• 延伸閱讀：學測數學怎麼考？分程度測驗或許是正解——《科學月刊》

數學的教與學宜重視基礎概念，避免依考試題型學習

面對大考，數學的教與學也應該反思。數學的知識密度高，比起其他學科，有更多的邏輯推理，解題更宜細緻緩慢，需要充分的時間。可惜的是，面對「科科等值」的壓力，數學科的考試時間只能和各科一樣。在這樣的限制下，如果數學考題份量適當，也無不可；偏偏各處的考題大多偏難，學生的學習遂常以對付考試為方向，以歷年考試題型為依據，背公式以求速解，忽略基礎概念的學習。

在引導學生的學習應注重基礎概念這件事情，大考中心歷年來極盡努力。以今年數學 A 第 1 題為例，就是在傳達一個理念，排列組合只要重視基礎原理及組合數 Ckn 就夠了。早年有關排列組合的學習內容極多，許多內容都是被「製造」出來的考試難題，不關乎組合學的根本。後來 99 課綱刪除了環狀排列，108 課綱則刪除重複組合，將內容回歸到基礎概念。審視大考中心這些年來有關排列組合的試題，其實都是基本的概念，高中師生應該要理解，重視基礎概念才是王道。

再以今年數學 A 第 4 題為例，涉及的只有等差數列的定義，以及對數的換底公式和常用對數的 3 條對數律。早年有關對數的教學，涉及極多一般底的變形對數律公式，也出現底為函數的偏鋒考題，於對數本質的學習幫忙不大，但學生卻窮於背公式、解難題。其實對數相關的問題，只要以換底公式回歸常用對數，必要時再輔以常用對數的 3 條對數律，均能順利回答。99 及 108 數學課綱均重視此理念，大考中心的試題亦都契合此想法，高中師生當可放心依此教與學。

今年學測數學 A 還有許多值得稱道的題目。例如第 7 題中，絕對值代表數線上兩點間的距離，若能搭配數線上的圖形判斷，並不需要進行去絕對值的耗時計算；第 10 題有關三次函數的性質，不必記憶對稱中心的公式，不淪為費時的三次配方，是相當用心的題目；第 12 題揭示，不必背誦一元二次方程式的公式解；第 6、15 題提醒，不能忘記國中所學的基礎平面幾何知識，凡此種種都很精采。

更多有關今年數學 A 考題的分析，可參考延伸閱讀的《高中數學學科中心電子報》文章。

計算機融入教學與評量

108 數學課綱除了從高二起分三軌教學以外，還有一個重點，就是計算機融入教學與評量。108 數學課綱高中範圍的 84 條學習內容中，有 24 條使用計算機作為參考教具。實施要點各處亦闡明，教材要設計計算機相關內容，教學應重視學生使用計算機的方法與態度，教學資源應包括計算機，學習評量宜容許學生使用計算機。

如今，6 家出版社的高中數學教科書，均依照課綱的精神將計算機教學融入，學校老師們也開始教導學生正確使用計算機的方法與態度，許多回應都指出，計算機融入教學收到不錯的成效，過去一些害怕數學的學生，因為有了工具，逐漸開始喜歡數學。只是令人不解的是，大考中心並不允許學生在學測考試時使用計算機，理由之一是害怕學生利用計算機作弊；這是一個不可思議的藉口，請看世界極多國家的考試都已經允許學生使用計算機，並沒發生什麼不良事件。

審視今年學測數學科考題可以發現，為了害怕被批評不能使用計算機，一些需要使用真實數據的應用題目都不見了，因此考題中缺少高二的一些重要學習內容，例如指數、對數、三角函數的應用問題。取而代之的竟然是設計了第 2 題那種虛假情境的問題，如下：「某品牌計算機在計算對數 log_ab 時需按 log（a，b）……。」這種考題在以前的題目鋪陳上，是以題目抄錯順序為情境，這次刻意以計算機的操作布題，實為假情境。市售計算機的對數計算皆以 10 或自然對數 e 為底，並沒任意底數操作的方式，與現實矛盾的情境，無法回應 108 數學課綱的理念，倒不如讓學生在考試時使用計算機，才能讓他們更有感。

另外，數學 B 第 15 題的答案：機率為 14/15，以及第 16 題的答案：機率為 31/45，都不如 0.93、0.69 能讓人感受機率的大小。讀者可試想，你會跟朋友說買了一間 2022 坪的房子嗎？當然要說 44.97 坪才讓人有感。培養「數感」是計算機融入教學的一個重要理念。另外，第 19 題需要學生動手計算 2.3/48、2.3/19、4/57 來作答，也不是高中數學學習的重點，應該允許他們用計算機算。

另外有些小瑕疵的題目，例如數學 A 第 14 題的高斯消去法宜慎重出題。

• 延伸閱讀：數學不會就是不會？——先別怕！培養「數感」可解答生活中的大小事

大考中心宜出版學測參考答案，闡述出題理念以引導現場教學

整題來說，今年學測的數學科考題大方向可圈可點。回顧大考中心成立的歷史，民國 80 年 10 月 14 日，教育部長毛高文在臺灣省教育行政會議中頒發的書面致詞說：「如果將來的入學方式能多元化，學生的學習方式就不能固定一個模式，要用最基本的道理來應付各種的需求和挑戰，導向正常教學。」

反應在教育部於 1992 年提出的《我國大學入學制度改革建議書－大學多元入學方案》，其第五項理念是：

（五）考試方法應輔助教育，而非教育去適應考試方法。

而「良好的大學入學制度」的 14 項評判規準中，被認為「第一重要」的規準是：

3. 能引導高中正常教學。

由前述文件觀之，大考中心應平衡兩個服務面向，一面是為大學選才服務，另一面是為高中學習成效檢定服務，不該過度傾向於某一面的需求而犧牲另一面。目前仍顯得太傾向為大學服務，數學相對表現令多數高中教師失望。

本文最後不禁要再多提出一個請求。除了因為時間有限，宜減輕數學試題的份量以外，建議大考中心能出版學測參考答案，闡述出題理念以協助現場教學。雖然有許多人都已經釋出參考答案，但他們到底不是出題者，有些地方並不一定能精確了解出題的用心，如果中心能在公布簡答之外，出版詳細的文件、闡述出題理念、引導教學方向，對現場教學將有極大助益。

延伸閱讀

1. 張鎮華，〈學測數學怎麼考？分程度測驗或許是正解〉，《科學月刊》，第 615 期，2021 年。
2. 歐志昌，〈從 111 年學測數學 A 試題省思 108 數學課綱之教學與學生學習〉，《高中數學學科中心電子報》，第 168 期，2022 年。
3. 大學入學考試中心，《我國大學入學制度改革建議書－大學多元入學方案》， 1992 年。

• 〈本文選自《科學月刊》2022 年 3 月號〉
• 科學月刊／在一個資訊不值錢的時代中，試圖緊握那知識餘溫外，也不忘科學事實和自由價值至上的科普雜誌。

• 本文轉載自科技大觀園，原文為《數學的重要不在考試，在於解答生活中的大小事》
• 作者／陳亭瑋｜科技大觀園特約編輯

「長期在壓抑的情況下，其實他（學生）不喜歡數學，是很正常的。」嘉義大學數理教育研究所終身特聘教授，兼任副校長的楊德清表示。 

最近有句網路流行語獲得許多人共鳴：「人生會背叛你，但數學不會，數學不會就是不會。」從一句話就可以看出來，數學是很多人求學階段的挫折經驗。困難的學科有很多，為什麼在臺灣，數學特別容易得到「困難」、「聽不懂」的標籤呢？

楊德清長年投入數學教育領域，研發「數常識電腦化診斷測驗」，兩度獲得科技部傑出研究獎。長年推廣「數感」（亦稱「數常識」）的楊德清觀察，臺灣學生常年對於數學的排斥感，除了教材因素，更多與難以擺脫的升學壓力有關。許多家長認為，數學成績好才能在未來有好的課業表現，因此早在國小階段對於數學成績就非常看重，急著送孩子進補習班，反而讓孩子沒辦法好好享受數學所能提供的邏輯與思考的趣味。而學校課程與評量的安排，也受限於考試領導教學，讓數學流於偏重計算與記憶。

過往偏重抽象計算的教學內容，也讓學生容易誤認為數學只有抽象的做題、沒有實用價值。由此的反思，掀起了一波對於「數感」的推廣。數感是什麼呢？「對數字有很好的理解，而能夠把這種理解實際的應用在生活當中，彈性、靈活地解決生活中的問題。」數學是人類理解世界最重要的工具，我們每天的生活環境不管有沒有意識到，都會遭遇到與數學有關的問題，從在菜市場買菜估算身上的錢夠不夠，到金融投資選擇保險、基金、儲蓄險要衡量損益，都會運用到數學的概念。 

借鑑國外教科書，讓數學更貼近生活

臺灣的數學教育向來在國小國中階段，可以獲得不錯的成績，但是學生對於數學的興趣與自信心卻相對低落。楊德清率領團隊進行跨國研究，比較新加坡、芬蘭、美國的數學課本，後來還配合南向政策，加入馬來西亞、印尼等國，希望透過探究教材上的差異，了解是什麼因素讓有些國家的學生，既有好成績，也不致嚴重磨損學習熱情。

「芬蘭的教科書非常強調與生活情境的連結，內容非常『寫實』。」芬蘭的數學課本會提供非常具體的例子，作為教材也應用於學生的練習。像是給國小的課本，講到比例就會以實際的昆蟲放大縮小來舉例；上到時間判讀，就直接拿出全球的時區來上課。這樣的教材內容除了生活化，也讓學生可以非常快速認識實際應用場景。 

臺灣過去國小的數學教材，相對重視背誦、記憶與計算。讓很多孩子不知其所以然，不知道為什麼要回答這些問題，這些原因都會造成學生不喜歡數學。重視計算之餘，國小教材也很早就引入「直式算則」，教學生使用特定計算方法、得到單一解答。而受限於教學現場，老師也沒有時間鼓勵發展創新多元的解法。這在國小階段相當可惜，沒有機會提供學生與數學一同玩耍、訓練思考、發展創新的機會。

不只是選擇題、計算題、應用題等只有單一答案的問題，楊德清認為，國小數學也可以發展開放式的問題，來了解學生的學習理解。楊德清舉例：「什麼是周長？」就是開放式的問題，每個孩子的回答可以都不相同，例如孩子可以回答：繞著我們家附近的池塘走一圈，那一圈的距離就是那個池塘的周長。透過這樣的提問與回答，可以觀察到學生是不是真正了解數學的觀念、是不是存在哪些迷思，也可以提供學生進一步思考數學概念的機會。 

善用科技，診斷學習迷思、提供補救教學

楊德清在 2014 年與 2020 年兩次獲得「科技部傑出研究獎」，研究的重心就與數學的「迷思概念」息息相關。他率領團隊完成可以在線上執行的「數常識電腦化診斷測驗」，透過網路測驗系統，取代傳統的紙筆測驗或面對面訪談，針對國小四到六年級的學生，了解學生的數學程度，也診斷迷思概念。而學生評量完，除了可以快速獲得測驗結果，幾個比較常見的迷思概念也可以直接透過「數常識電腦數位動畫學習活動」獲得補救教學。

楊德清表示，現階段的診斷系統屬於「三階」的診斷，第一階詢問學生數學問題，第二階詢問學生「原因選項」，也就是選擇答案的原因，第三階「信心選項」更往下進一步詢問學生對於這個答案的「自信程度」。所有的問題都經過仔細設計，第二階「原因選項」更是經過多年詳細的訪談及紙筆測驗，扎扎實實收集資料，反映學生存在的迷思概念。現在還在進行的「四階」診斷，除了詢問對答案的自信程度，更詢問學生，對於「原因選項」的自信程度。線上的診斷系統除了針對數學教學研究能夠快速收集資料、進行分析，也可以提供學校老師作為教學與學生程度的參考。 

對於診斷測驗系統下一階段的發展，楊德清充滿了想像，認為未來甚至可以加入人工智慧，讓學生進行測驗的時候，直接藉由人工智慧與學生進行互動、討論，提供回饋甚至是補救教學。另外一個還在構思中的研究，則是透過臉部辨識系統區辨學生的臉部表情與情緒，分析學生的學習狀況，在教學的現場就可以提供老師回饋與教學指引。

在臺灣的教育環境中，數學的課業壓力似乎短期內很難避免。焦慮或對數學缺乏自信的家長，又該怎麼做呢？楊德清提供的建議是：在早期階段，不需要急著給解答或資源，反而在孩子學習過程中，提供「陪伴」才是最重要的；其次是多給孩子一些空間，不要有太多限制。「（面對數學的時候）鼓勵他去想『要怎麼解決一個問題』、『為什麼要這樣做？』」楊德清認為，強求制式的解答或成績，容易導致孩子失去興趣或信心；讓孩子隨著自己的天性才能發展，適才適性才能有好的結果。

「要讓孩子學得更好，應該要鼓勵他在學習過程中去思考、用自己喜歡的方法解決問題、去想為什麼，因為這些才是真正（數學）核心的重點。」