Loading [MathJax]/extensions/tex2jax.js

4

0
0

文字

分享

4
0
0

GPS 座標計算原理

Bridan
・2011/12/27 ・714字 ・閱讀時間約 1 分鐘 ・SR值 548 ・八年級

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

無論飛機或船艦都需要定位,因為在空中或大海上不像在陸地上可以循著道路行進,並且隨處有顯著的路標或地標可以辨識身在何處。而定位的技術根據人類科技的演化逐步精確,從早期觀察日月星辰以及指南針使用,可以粗略知道方位。但是這些無法滿足航海及航空需求,因為天候不佳時無法觀察天體,而磁羅經會因為地磁偏移產生誤差,所以需要其它定位儀器協助。

近年來GPS蠻火紅的,不少產品有此功能,比如汽車導航或高階手機。GPS 共有 24 顆衛星 (包含三顆備用衛星),分佈在六條相交30度的軌道上,任何地方只要能接收四顆衛星資料,就可以計算出在地球上的位置,在此僅討論座標計算的問題。

以地心為三度空間零點,XY 軸在赤道平面上,X 軸貫穿經度 0 度與180 度,Y 軸貫穿東西經 90 度,Z 軸貫穿南北兩極,距離地心半徑 R 的球體方程式為, X2 + Y2 + Z2 = R2
在這個立體座標上以點 (a,b,c) 為球心,半徑為 r 的球體方程式是,
(X – a)2 + (Y – b)2 + (Z – c)2 = r 2

GPS衛星傳遞的訊號包括衛星自身 (a,b,c) 座標資料以及發射時間,那麼 GPS 接收器就可以利用這些資訊計算位址。首先計算衛星與接收器間的距離 r = 光速 x (接收器接收時間 – 衛星發射時間) 。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

假設現在有四顆衛星資料,

a 為地球橢球的長半軸,b 為地球橢球的短半軸,
已知 (X,Y,Z) 座標,參考大地座標系可求出緯度 B 經度 L,

原文來自 研發養成所 http://4rdp.blogspot.com

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度
所有討論 4
Bridan
7 篇文章 ・ 1 位粉絲
資深的電子產品研發人員,興趣廣泛,喜愛閱讀以及研究新奇事物。 為研發養成所部落格版主 https://4rdp.blogspot.tw/

0

1
0

文字

分享

0
1
0
ECU: 汽車大腦的演化與挑戰
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/07/02 ・3793字 ・閱讀時間約 7 分鐘

本文與 威力暘電子 合作,泛科學企劃執行。

想像一下,當你每天啟動汽車時,啟動的不再只是一台車,而是一百台電腦同步運作。但如果這些「電腦」突然集體當機,後果會有多嚴重?方向盤可能瞬間失靈,安全氣囊無法啟動,整台車就像失控的高科技廢鐵。這樣的「系統崩潰」風險並非誇張劇情,而是真實存在於你我日常的駕駛過程中。

今天,我們將深入探討汽車電子系統「逆天改運」的科學奧秘。究竟,汽車的「大腦」—電子控制單元(ECU),是如何從單一功能,暴增至上百個獨立系統?而全球頂尖的工程師們,又為何正傾盡全力,試圖將這些複雜的系統「砍掉重練」、整合優化?

第一顆「汽車大腦」的誕生

時間回到 1980 年代,當時的汽車工程師們面臨一項重要任務:如何把汽油引擎的每一滴燃油都壓榨出最大動力?「省油即省錢」是放諸四海皆準的道理。他們發現,關鍵其實潛藏在一個微小到幾乎難以察覺的瞬間:火星塞的點火時機,也就是「點火正時」。

如果能把點火的精準度控制在「兩毫秒」以內,這大約是你眨眼時間的百分之一到千分之一!引擎效率就能提升整整一成!這不僅意味著車子開起來更順暢,還能直接省下一成的油耗。那麼,要如何跨過這道門檻?答案就是:「電腦」的加入!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

工程師們引入了「微控制器」(Microcontroller),你可以把它想像成一顆專注於特定任務的迷你電腦晶片。它能即時讀取引擎轉速、進氣壓力、油門深度、甚至異常爆震等各種感測器的訊號。透過內建的演算法,在千分之一秒、甚至微秒等級的時間內,精準計算出最佳的點火角度,並立刻執行。

從此,引擎的性能表現大躍進,油耗也更漂亮。這正是汽車電子控制單元(ECU)的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)。

汽車電子控制單元的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)/ 圖片來源:shutterstock

ECU 的失控暴增與甜蜜的負荷

第一顆 ECU 的成功,在 1980 年代後期點燃了工程師們的想像:「這 ECU 這麼好用,其他地方是不是也能用?」於是,ECU 的應用範圍不再僅限於點火,燃油噴射量、怠速穩定性、變速箱換檔平順度、ABS 防鎖死煞車,甚至安全氣囊的引爆時機……各種功能都交給專屬的 ECU 負責 。

然而,問題來了:這麼多「小電腦」,它們之間該如何有效溝通?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

為了解決這個問題,1986 年,德國的博世(Bosch)公司推出了一項劃時代的發明:控制器區域網路(CAN Bus)。你可以將它想像成一條專為 ECU 打造的「神經網路」。各個 ECU 只需連接到這條共用的線路上,就能將訊息「廣播」給其他單元。

更重要的是,CAN Bus 還具備「優先通行」機制。例如,煞車指令或安全氣囊引爆訊號這類攸關人命的重要訊息,絕對能搶先通過,避免因資訊堵塞而延誤。儘管 CAN Bus 解決了 ECU 之間的溝通問題,但每顆 ECU 依然需要獨立的電源線、接地線,並連接各種感測器和致動器。結果就是,一輛汽車的電線總長度可能達到 2 到 4 公里,總重量更高達 50 到 60 公斤,等同於憑空多載了一位乘客的重量。

另一方面,大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。更別提這些密密麻麻的線束,簡直是設計師和維修技師的惡夢。要檢修這些電子故障,無疑讓人一個頭兩個大。

大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。/圖片來源:shutterstock

汽車電子革命:從「百腦亂舞」到集中治理

到了2010年代,汽車電子架構迎來一場大改革,「分區架構(Zonal Architecture)」搭配「中央高效能運算(HPC)」逐漸成為主流。簡單來說,這就像在車內建立「地方政府+中央政府」的管理系統。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

可以想像,整輛車被劃分為幾個大型區域,像是車頭、車尾、車身兩側與駕駛艙,就像數個「大都會」。每個區域控制單元(ZCU)就像「市政府」,負責收集該區所有的感測器訊號、初步處理與整合,並直接驅動該區的馬達、燈光等致動器。區域先自理,就不必大小事都等中央拍板。

而「中央政府」則由車用高效能運算平台(HPC)擔任,統籌負責更複雜的運算任務,例如先進駕駛輔助系統(ADAS)所需的環境感知、物體辨識,或是車載娛樂系統、導航功能,甚至是未來自動駕駛的決策,通通交由車輛正中央的這顆「超級大腦」執行。

乘著這波汽車電子架構的轉型浪潮中, 2008 年成立的台灣本土企業威力暘電子,便精準地切入了這個趨勢,致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台。他們專精於開發電子排檔、多功能方向盤等各式汽車電子控制模組。為了確保各部件之間的溝通順暢,威力暘提供的解決方案,就像是將好幾個「分區管理員」的職責,甚至一部分「超級大腦」的功能,都整合到一個更強大的硬體平台上。

這些模組不僅擁有強大的晶片運算能力,可同時支援 ADAS 與車載娛樂,還能兼容多種通訊協定,大幅簡化車內網路架構。如此一來,車廠在追求輕量化和高效率的同時,也能顧及穩定性與安全性。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
2008 年威力暘電子致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台 /圖片來源:shutterstock

萬無一失的「汽車大腦」:威力暘的四大策略

然而,「做出來」與「做好」之間,還是有差別。要如何確保這顆集結所有功能的「汽車大腦」不出錯?具體來說,威力暘電子憑藉以下四大策略,築起其產品的可靠性與安全性:

  1. AUTOSAR : 導入開放且標準化的汽車軟體架構 AUTOSAR。分為應用層、運行環境層(RTE)和基礎軟體層(BSW)。就像在玩「樂高積木」,ECU 開發者能靈活組合模組,專注在核心功能開發,從根本上提升軟體的穩定性和可靠性。
  2. V-Model 開發流程:這是一種強調嚴謹、能在早期發現錯誤的軟體開發流程。就像打勾 V 字形般,左側從上而下逐步執行,右側則由下而上層層檢驗,確保每個階段的安全要求都確實落實。
  3. 基於模型的設計 MBD(Model-Based Design) 威力暘的工程師們會利用 MatLab®/Simulink® 等工具,把整個 ECU 要控制的系統(如煞車),用數學模型搭建起來,然後在虛擬環境中進行大量的模擬和測試。這等於在實體 ECU 誕生前,就能在「數位雙生」世界中反覆演練、預先排除設計缺陷,,並驗證安全機制是否有效。
  4. Automotive SPICE (ASPICE) : ASPICE 是國際公認的汽車軟體「品質管理系統」,它不直接評估最終 ECU 產品本身的安全性,而是深入檢視團隊在軟體開發的「整個過程」,也就是「方法論」和「管理紀律」是否夠成熟、夠系統化,並只根據數據來評估品質。

既然 ECU 掌管了整輛車的運作,其能否正常運作,自然被視為最優先項目。為此,威力暘嚴格遵循汽車業中一本堪稱「安全聖經」的國際標準:ISO 26262。這套國際標準可視為一本針對汽車電子電氣系統(特別是 ECU)的「超嚴格品管手冊」和「開發流程指南」,從概念、設計、測試到生產和報廢,都詳細規範了每個安全要求和驗證方法,唯一目標就是把任何潛在風險降到最低

有了上述這四項策略,威力暘確保其產品從設計、生產到交付都符合嚴苛的安全標準,才能通過 ISO 26262 的嚴格檢驗。

然而,ECU 的演進並未就此停下腳步。當ECU 的數量開始精簡,「大腦」變得更集中、更強大後,汽車產業又迎來了新一波革命:「軟體定義汽車」(Software-Defined Vehicle, SDV)。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

軟體定義汽車 SDV:你的愛車也能「升級」!

未來的汽車,會越來越像你手中的智慧型手機。過去,車輛功能在出廠時幾乎就「定終身」,想升級?多半只能換車。但在軟體定義汽車(SDV)時代,汽車將搖身一變成為具備強大運算能力與高速網路連線的「行動伺服器」,能夠「二次覺醒」、不斷升級。透過 OTA(Over-the-Air)技術,車廠能像推送 App 更新一樣,遠端傳送新功能、性能優化或安全修補包到你的車上。

不過,這種美好願景也將帶來全新的挑戰:資安風險。當汽車連上網路,就等於向駭客敞開潛在的攻擊入口。如果車上的 ECU 或雲端伺服器被駭,輕則個資外洩,重則車輛被遠端鎖定或惡意操控。為了打造安全的 SDV,業界必須遵循像 ISO 21434 這樣的車用資安標準。

威力暘電子運用前面提到的四大核心策略,確保自家產品能符合從 ISO 26262 到 ISO 21434 的國際認證。從品質管理、軟體開發流程,到安全認證,這些努力,讓威力暘的模組擁有最高的網路與功能安全。他們的產品不僅展現「台灣智造」的彈性與創新,也擁有與國際大廠比肩的「車規級可靠度」。憑藉這些實力,威力暘已成功打進日本 YAMAHA、Toyota,以及歐美 ZF、Autoliv 等全球一線供應鏈,更成為 DENSO 在台灣少數核准的控制模組夥伴,以商用車熱系統專案成功打入日系核心供應鏈,並自 2025 年起與 DENSO 共同展開平台化量產,驗證其流程與品質。

毫無疑問,未來車輛將有更多運作交由電腦與 AI 判斷,交由電腦判斷,比交由人類駕駛還要安全的那一天,離我們不遠了。而人類的角色,將從操作者轉為監督者,負責在故障或斷網時擔任最後的保險。透過科技讓車子更聰明、更安全,人類甘願當一個「最弱兵器」,其實也不錯!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度

討論功能關閉中。

0

2
1

文字

分享

0
2
1
電影《全面啟動》初階真實版:「互動式做夢」
胡中行_96
・2023/03/09 ・3874字 ・閱讀時間約 8 分鐘

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

「我們正在做夢?」「妳其實是在進行中的工作坊睡覺,這是共享夢境的第一課。保持冷靜。」[1]電影《全面啟動》(Inception)於夢裡互動的概念,被美、德、法和荷蘭的科學家,以非常初階的形式實現。2021 年 4 月《當代生物學》(Current Biology)期刊的論文,稱之為「互動式做夢」(interactive dreaming)。[2]

電影《全面啟動》的預告片說:「在夢裡,我們覺得真實;醒來後,才明白事有蹊蹺。」圖/Inception (2010) on IMDB

清醒夢

一個人睡醒後,描述的夢境記憶,多半相當殘破。要是做夢時,能與科學家雙向對談,勢必有利研究。然而,人們易於接受夢裡的經歷,鮮少在當下檢視批判,根本沉迷其中。[2]就像電影預告片所言:「在夢裡,我們覺得真實;醒來後,才明白事有蹊蹺。」[1]唯獨於睡眠的快速動眼期(rapid eye movement sleep),某些人會有罕見的清醒夢(lucid dreams),意識到自己正在夢境之中。這種情形似乎提供了科學家即時訪談的契機。無奈清醒夢一般為自然發生,時機難以掌控。[2]倘若能將任何夢境,轉換為清醒夢,那就方便得多。

電影《全面啟動》的主角靠陀螺是否持續旋轉,分別夢境和現實。圖/Inception (2010) on IMDB

標的清醒再活化

電影畫面上,陀螺不合理地無止盡旋轉,主角提醒他的雇主:「這個世界不是真的。」[1]陀螺是否會停止並倒下,為《全面啟動》中判定虛實的經典線索。換句話說,也是由做普通的夢,轉變為做清醒夢的關鍵。臨床試驗中,進行標的清醒再活化(targeted lucidity reactivation)時,這類線索就是聲音光線等感官刺激。受試者先認識設定來代表清醒的線索,並於即將入睡前加強此連結;睡著且進入快速動眼期後,科學家再次給出的線索,會暗示正在做夢的受試者保持清醒。[2]

就拿此研究裡,美國組的流程為例:首先,科學家設定短促輕柔(650 ms;40-45 dB),音調漸升(400、600和800 Hz)的「嗶、嗶、嗶」三個音,作為線索。訓練受試者將之與清醒的狀態連結。再告訴他們這個線索會出現在睡覺時,以促成清醒夢。接下來的 15 分鐘內,反覆播放 15 次。前 4 次搭配語音指示:「當你聽到線索,你就會清醒。專注於你的思考,並注意心思的流向…(停頓)現在觀察你的身體、知覺和感受…(停頓)觀察你的呼吸…(停頓)維持清醒,保有批判的意識,注意此經驗在哪方面與你平常清醒時不同。」[2]

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

受試者通常會在 15 次「嗶、嗶、嗶」結束前睡著。科學家一旦偵測到他們進入快速動眼期,就會以 30 秒為間隔,再度重複播放。當受試者以事前約定好的眼球運動,通知外界他正在做清醒夢,或是在 10 次「嗶、嗶、嗶」後,仍然毫無動靜,互動測試便開始進行。[2][註]

互動式做夢

美、德、法和荷蘭的科學家,總共招募了 36 名志願者。他們涵蓋下列 3 種類型:[2]

  1. 數名具清醒夢經驗的人[2]
  2. 幾個雖無經驗,但訓練後能做清醒夢的健康人士[2]
  3. 白天睡眠過多,容易突然進入快速動眼期,又常做清醒夢的猝睡症(亦稱「嗜睡症」;narcolepsy)患者1名。[2]

他們在做夢時答覆提問;醒來後立即報告夢境與感受。期刊論文中,列舉了下面幾個例子。[2]

互動式做夢示意圖。圖/參考資料 2,Figure 1(CC BY 4.0)

美國組:計算

曾有過 2 次清醒夢的 19 歲美國受試者,在 90 分鐘的白天睡眠過程中,回答簡單的計算問題。首先,他以 3 次連續的眼球左右運動,表達自己進入了清醒夢。於是,科學家就問他「8 減掉 6」等於多少。約莫 3 秒內,他做了 2 次上述的眼球運動。科學家馬上又重複問題,他也再度用相同的方式,給予正確答案。[2]

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

醒來之後,這名美國男子分享其經歷:「本來是夜間,於一處停車場。…然後是白晝,我在電玩裡。…我想,好,大概是在做夢。接著很怪…我失去對全身肌肉的控制。有一陣血流洶湧的浪濤聲,朝我的耳朵襲來。」此外,他依稀記得當時的題目與答案。[2]

美國組:右下的 2 個小橙框,圈出快速動眼期(REM)作答時,眼電圖(EOG)的波動。圖/參考資料 2,Figure 2(CC BY 4.0)

德國組:計算

在德國,也有曾做過清醒夢的受試者。這名 35 歲的男子,在夜間睡眠的快速動眼期,以眼球運動表示自己進入了清醒夢。科學家就用 LED 燈改變房間的光線,來發出摩斯密碼。那串訊號的意思是「4 減去 0」,事前受過訓練的男子,則以 4 次左右交替的眼球運動答覆。看起來是答對了,但是他醒來後說,以為題目是「4 加上 0」。[2]

德國男子覺得夢裡的場景,可能是物理治療診所。四周無人,只有架子、櫥櫃和醫師的座椅。當診間的燈光忽明忽滅,他「意識到閃爍的訊號來自外面」,便運動眼球作答。之後,男子尋找發光工具,弄到一只碗。裏頭盛滿的水,竟像魚缸燈管般發出明滅光芒。他知道,又是訊號。偏偏無法判讀,還不小心在解碼時把碗摔破。[2]
  
他離開診間,看室外有無發光工具,卻在抬頭時見到雲彩變化多端:黃澄澄的陽光,灑在淺灰的烏雲上。亮度多元,飄移迅速。他明知是計算題的訊號,卻再度錯失解碼的時機。[2]

德國組:小橙框圈出快速動眼期(REM)作答時,眼電圖(EOG)的波動。圖/參考資料2,Figure 3(CC BY 4.0)

荷蘭組:計算

26 歲的荷蘭受試者,因為記得夢中的細節,並正確回答「1 加上 2」等於「3」,而感到自豪。可惜她在 134 分鐘晨眠的清醒夢起始點,沒有通知科學家,所以儘管 5 題對了 2 題,數據並未允予採計。[2]

「我必須記得事情」,她在夢裡這麼想著,並聽到科學家的聲音。「我坐進車裡…」,那些題目「感覺像是某種車上的廣播」。[2]

荷蘭組:小橙框圈出快速動眼期(REM)作答時,眼電圖(EOG)的波動。圖/參考資料2,Figure 5(CC BY 4.0)

法國組:是非題

法國組招募到 1 名 20 歲的猝睡症患者,他於 16 歲確診,每天平均做 4 次清醒夢。論文形容他「做清醒夢的能力卓越」,能輕易控制夢境。在 20 分鐘白天小睡的第 1 分鐘,他就火速進入快速動眼期,並且於 5 分鐘後開始做清醒夢。科學家問是非題,請他收縮臉部肌肉作答:顴肌(zygomatic muscle)代表「是」;而皺眉肌corrugator muscle)則為「非」。[2]

收縮臉部肌肉:(藍)顴肌代表「是」;而(紅)皺眉肌則為「非」。圖/參考資料2,Figure S6(CC BY 4.0)

「我聽到你的聲音,你簡直像上帝。」猝睡症患者回憶夢裡的派對上,出現猶如電影旁白,來自外面的幾個問題,例如:愛不愛吃巧克力;是否唸生物學;還有會不會講西班牙語。「最後一題我不確定,因為我的西班牙語不流利…終究我決定答『否』,然後回到派對裡去。」[2]

法國組:小紫框圈出快速動眼期(REM),針對「是否看足球賽」,用皺眉肌(corrugator muscle),回答「否」的肌電圖(EMG)波動。圖/參考資料2,Figure 4(CC BY 4.0)

法國組:觸覺

這名法國的猝睡症患者,還有參與觸覺等其他測試。他在清醒夢的過程中,以收縮皺眉肌的次數,來表達自己的手被科學家輕觸了幾下。其答案有時正確,有時錯誤,還有的模稜兩可。[2]

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
法國組:小框框圈出用皺眉肌(corrugator muscle),做正確(綠)、錯誤(橙),以及模糊(藍)答案時,肌電圖(EMG)的波動。圖/參考資料 2,Figure S4(CC BY 4.0)

雖然沒有全部答對,但能有此成績,說來也頗不簡單。畢竟他當時正在清醒夢中打怪,並且對自己「能一心這麼多用」,感到吃驚。[2]

互動式做夢的成功率

「這或許可行。」《全面啟動》裡,討論任務計劃時,不意外地下一句台詞就是:「或許?我們需要比『或許』更肯定。」[1]在此研究中,四個國家的團隊,總共做了 57 場互動式做夢的嘗試:26% 的場次裡,受試者依照指示,告知科學家自己進入了清醒夢;而這些成功案例中的 47%,至少答對 1 個題目。整個臨床試驗的答題正確率,僅約 18.4%;多數則是連反應也沒有,其比例高達 60.1%。[2]

目前互動式做夢,仍有一些技術侷限,比方說:外界的提問在夢裡走樣;夢境描述依然仰賴事後回顧;受試者在清醒夢與沉睡的狀態間擺盪;或是標的清醒再活化的聲光,把人叫醒等。不過無論如何,科學家已經得知提問的聲音,如何在夢中呈現:有些像天外之音;有的則會合理化地融入夢境。而且研究結果不僅證實做夢者與外界互動的可能,更展現睡夢中的認知能力。有別於以往,只能在人醒著的各種狀態下試驗;將來科學家應該有機會,比較包含清醒夢在內,不同清醒程度的認知表現,甚至影響夢境內容,來治療心靈創傷或增強學習效果。[2]

  

備註

美國與荷蘭兩組,皆採取標的清醒再活化,但細節稍有差異;法國的猝睡症患者天賦異稟,無須借助外力;而德國組則是睡著後被叫醒,然後又回去睡覺,並在之間做自我暗示的夢境辨識等練習。[2]

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
  1. Inception (2010) – Quotes’. IMDB. (Accessed on 15 FEB 2023)
  2. Konkoly KR, Appel K, Chabani E, et al. (2021) ‘Real-time dialogue between experimenters and dreamers during REM sleep’. Current Biology, 31 (7): 1417-1427, e6.
-----廣告,請繼續往下閱讀-----

0

10
0

文字

分享

0
10
0
數學魔術之道——《數學大觀念》推薦序
貓頭鷹出版社_96
・2017/05/09 ・2282字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 499 ・六年級

  • 文/賴以威|師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人

有一種符合本書主題的二分法:討厭數學的人跟喜歡數學的人。

前者埋怨:

「數學跟現實脫節。」

後者部分同意這話,他們會說:

「數學是獨立於現實世界的另一個世界。」

請帶點魔幻的色彩來想像以下的畫面:你拿起筆在紙上算數學,簡單的 1+1 或微分方程都可以。然後奇妙的事發生了,你的手穿過紙張,整個人往紙裡墜,你進入了數學的另一個世界。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

圖/Pixapopz @ Pixabay

不需要畫五芒星的魔法陣(我忍住不跟你聊裡面的黃金比例),不需要任何繁瑣的祭祀儀式,只要一張紙、一支筆跟任何一道數學式子,你就能自由進出數學的世界。

受到工程背景的影響,我在分享數學有趣之處時,常常著眼在數學世界與現實世界的連結。現實世界有 500 元鈔票,  500 大卡的手搖飲料,還有台灣搖滾天王伍佰。但從數學世界裡看,他們都是變成了純粹的數字 500。我是個虔誠的信徒,常去廟裡拜拜擲筊,一方面在現實世界裡乞求天神保佑,一方面在數學世界裡和機率之神祈禱。兩個世界之間往返,你很容易看到許多有趣的現象,複雜的問題脫下外皮,被解構成一條條式子;全然不相關的幾件事,在數學世界裡都是一個模樣,這樣的視角媲美從《巡者系列》的幽界裡窺視人界 [註]。

擲茭問事和計算機率有時候只是同一件事情在不同世界裡的體現而已。圖/行天宮官網

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

班傑明教授在本書中提供了另一個角度,他直接讓我們探索「數學世界本身的趣味」,不需要來來回回,光是只有數字與幾何圖形的數學世界就夠我們玩得不亦樂乎,讚嘆連連了。請繼續想像,你在數學世界跟團旅行,來到著名景點歐拉公式,導遊難掩興奮之情地說:

「e、i、π、0、1,五個重要又看似毫無關係的數字,竟然被巧妙地整合在一起!」

覺得不夠神奇嗎?可能是符號帶來的隔閡,讓我們換成近似的數字--

〖(2.72)〗^(√(-1)×3.14)+1≈0

這樣或許更有感覺吧。無窮無盡的數字大海中找出來的兩個無理數字,搭配根號 -1 這個被國中小數學課本禁止的虛數,組合起來再 +1 竟然很趨近於0。這是數學世界的大峽谷,展現數學大自然的神功鬼斧。

數學世界裡的歐拉公式,就如同現實世界裡的大峽谷,都是大自然的鬼斧神工之作。圖/KeYang @ Pixabay

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

讚嘆完大峽谷之美,我們都會想去告示牌或上網查查它的成因。理當來說你也會想了解歐拉公式背後的原因。導遊風趣地講解,不時穿插其他有趣的知識。你注意到他胸口的名牌:亞瑟.班傑明。

書名《數學魔術之道》把兩個我很喜歡的名詞放在一起。小時候我曾摸著牆壁,百思不得其解為什麼有人可以穿越比這道牆厚上好幾倍的萬里長城,把人身體切一半又復原。雖然當下沒聯想到,但多年後回想,這樣的困擾其實跟面對一道數學難題很相似:盯著一個奇形怪狀的幾何圖形,我覺得不可能算出它的面積,但同時我又清楚知道,下一頁翻過來就是印好的解答。

魔術是很精密的機制,能欺騙人類的直覺。數學同樣很精密,它的本意是補充人類的直覺(有些人可能會說「是為了打擊人的信心」,但我想那是「數學考試」,而不是「數學」本身),讓我們能精準地達成某些事情,簡化某些過程。了解到這點後,你會發現數學跟魔術之間有驚人的相似之處,換個角度,數學就能從惱人的題目變成有趣的魔術。國內也有幾位優秀的數學魔術師:吳如皓、莊惟棟、林壽福幾位老師,都擅長結合數學與魔術,有機會一定要看看他們的表演。班傑明教授更是箇中翹楚,他曾在 TED 上表演過幾個數學魔術,這回他將數學魔術的訣竅放在書裡。魔術很有趣,背後的原理更有價值。

比方說,有一兩個魔術是速算,比起掌握速算技巧,更重要的是了解「為什麼這些技巧有用」,進而思考「該怎麼設計這樣的技巧」。我和我的團隊老師常舉辦給國小學生的「數學實驗課」,裡面恰好也有介紹速算。我們讓小朋友比賽,一些人心算,一些人按計算機,看誰算得快。小朋友覺得很無聊,比賽彷彿不需要開始就知道勝負。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

2+2+2+2+2

1+2+3+7+8+9

題目一打出來,心算的小朋友開心得不得了,一秒內就大喊出答案,按計算機的小朋友很鬱悶,他們也知道答案,偏偏被要求得按下每個數字、符號,怎麼都跟不上心算的速度。

一樣的數字相加,可以用乘法

找到和為 10 的兩組數字

這是深植在每個人心中的速算訣竅,或是用另一個詞來說——規律。比起一個個數字相加,運用題目裡數字的這兩個規律,就能大幅縮短計算時間。數學的本質是發掘規律,化繁為簡。班傑明教授舉了一個很精彩的例子,只要告訴他一個日期(年月日),他就能立刻回答你是星期幾。這只是我們題目的進階再進階版,背後的原理都是一樣,找出規律。

能洞察規律的人,便能得到他人無法得到的資訊,以更快的方式得到資訊,或是,成為一位數學魔術師。這才是數學的真正意義。

  • 註:《巡者系列》是俄國經典魔幻小說,幽界是指超凡人才能進入的,與現實世界平行並存的空間。

 

 

 

本文摘自《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》,貓頭鷹出版

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
-----廣告,請繼續往下閱讀-----
貓頭鷹出版社_96
65 篇文章 ・ 26 位粉絲
貓頭鷹自 1992 年創立,初期以單卷式主題工具書為出版重心,逐步成為各類知識的展演舞台,尤其著力於科學科技、歷史人文與整理台灣物種等非虛構主題。以下分四項簡介:一、引介國際知名經典作品如西蒙.德.波娃《第二性》(法文譯家邱瑞鑾全文翻譯)、達爾文傳世經典《物種源始》、國際科技趨勢大師KK凱文.凱利《科技想要什麼》《必然》與《釋控》、法國史學大師巴森《從黎明到衰頹》、瑞典漢學家林西莉《漢字的故事》等。二、開發優秀中文創作品如腦科學家謝伯讓《大腦簡史》、羅一鈞《心之谷》、張隆志組織新生代未來史家撰寫《跨越世紀的信號》大系、婦運先驅顧燕翎《女性主義經典選讀》、翁佳音暨曹銘宗合著《吃的台灣史》等。三、也售出版權及翻譯稿至全世界。四、同時長期投入資源整理台灣物種,並以圖鑑形式陸續出版,如《台灣原生植物全圖鑑》計八卷九巨冊、《台灣蛇類圖鑑》、《台灣行道樹圖鑑》等,叫好又叫座。冀望讀者在愉悅中閱讀並感受知識的美好是貓頭鷹永續經營的宗旨。