GPS 座標計算原理

本文與 研華科技 合作，泛科學企劃執行。

每次 NVIDIA 執行長黃仁勳公開發言，總能牽動整個 AI 產業的神經。然而，我們不妨設想一個更深層的問題——如今的 AI 幾乎都倚賴網路連線，那如果哪天「網路斷了」，會發生什麼事？

想像你正在自駕車打個盹，系統突然警示：「網路連線中斷」，車輛開始偏離路線，而前方竟是萬丈深谷。又或者家庭機器人被駭，開始暴走跳舞，甚至舉起刀具向你走來。

這會是黃仁勳期待的未來嗎？當然不是！也因為如此，「邊緣 AI」成為業界關注重點。不靠雲端，AI 就能在現場即時反應，不只更安全、低延遲，還能讓數據當場變現，不再淪為沉沒成本。

什麼是邊緣 AI ？

邊緣 AI，乍聽之下，好像是「孤單站在角落的人工智慧」，但事實上，它正是我們身邊最可靠、最即時的親密數位夥伴呀。

當前，像是企業、醫院、學校內部的伺服器，個人電腦，甚至手機等裝置，都可以成為「邊緣節點」。當數據在這些邊緣節點進行運算，稱為邊緣運算；而在邊緣節點上運行 AI ，就被稱為邊緣 AI。簡單來說，就是將原本集中在遠端資料中心的運算能力，「搬家」到更靠近數據源頭的地方。

那麼，為什麼需要這樣做？資料放在雲端，集中管理不是更方便嗎？對，就是不好。

第一個不好是物理限制：「延遲」。
即使光速已經非常快，數據從你家旁邊的路口傳到幾千公里外的雲端機房，再把分析結果傳回來，中間還要經過各種網路節點轉來轉去…這樣一來一回，就算只是幾十毫秒的延遲，對於需要「即刻反應」的 AI 應用，比如說工廠裡要精密控制的機械手臂、或者自駕車要判斷路況時，每一毫秒都攸關安全與精度，這點延遲都是無法接受的！這是物理距離與網路架構先天上的限制，無法繞過去。

第二個挑戰，是資訊科學跟工程上的考量：「頻寬」與「成本」。
你可以想像網路頻寬就像水管的粗細。隨著高解析影像與感測器數據不斷來回傳送，湧入的資料數據量就像超級大的水流，一下子就把水管塞爆！要避免流量爆炸，你就要一直擴充水管，也就是擴增頻寬，然而這樣的基礎建設成本是很驚人的。如果能在邊緣就先處理，把重要資訊「濃縮」過後再傳回雲端，是不是就能減輕頻寬負擔，也能節省大量費用呢？

第三個挑戰：系統「可靠性」與「韌性」。
如果所有運算都仰賴遠端的雲端時，一旦網路不穩、甚至斷線，那怎麼辦？很多關鍵應用，像是公共安全監控或是重要設備的預警系統，可不能這樣「看天吃飯」啊！邊緣處理讓系統更獨立，就算暫時斷線，本地的 AI 還是能繼續運作與即時反應，這在工程上是非常重要的考量。

所以你看，邊緣運算不是科學家們沒事找事做，它是順應數據特性和實際應用需求，一個非常合理的科學與工程上的最佳化選擇，是我們想要抓住即時數據價值，非走不可的一條路！

邊緣 AI 的實戰魅力：從工廠到倉儲，再到你的工作桌

知道要把 AI 算力搬到邊緣了，接下來的問題就是─邊緣 AI 究竟強在哪裡呢？它強就強在能夠做到「深度感知（Deep Perception）」！

所謂深度感知，並非僅僅是對數據進行簡單的加加減減，而是透過如深度神經網路這類複雜的 AI 模型，從原始數據裡面，去「理解」出更高層次、更具意義的資訊。

以研華科技為例，旗下已有多項邊緣 AI 的實戰應用。以工業瑕疵檢測為例，利用物件偵測模型，快速將工業產品中的瑕疵挑出來，而且由於 AI 模型可以使用同一套參數去檢測，因此品管上能達到一致性，減少人為疏漏。尤其在高產能工廠中，檢測速度必須快、狠、準。研華這套 AI 系統每分鐘最高可處理 8,000 件產品，替工廠節省大量人力，同時確保品質穩定。這樣的效能來自於一台僅有膠囊咖啡機大小的邊緣設備—IPC-240。

此外，在智慧倉儲場域，研華與威剛合作，研華與威剛聯手合作，在 MIC-732AO 伺服器上搭載輝達的 Nova Orin 開發平台，打造倉儲系統的 AMR（Autonomous Mobile Robot） 自走車。這跟過去在倉儲系統中使用的自動導引車 AGV 技術不一樣，AMR 不需要事先規劃好路線，靠著感測器偵測，就能輕鬆避開障礙物，識別路線，並且將貨物載到指定地點存放。

當然，還有語言模型的應用。例如結合檢索增強生成 ( RAG ) 跟上下文學習 ( in-context learning )，除了可以做備忘錄跟排程規劃以外，還能將實務上碰到的問題記錄下來，等到之後碰到類似的問題時，就能詢問 AI 並得到解答。

你或許會問，那為什麼不直接使用 ChatGPT 就好了？其實，對許多企業來說，內部資料往往具有高度機密性與商業價值，有些場域甚至連手機都禁止員工帶入，自然無法將資料上傳雲端。對於重視資安，又希望運用 AI 提升效率的企業與工廠而言，自行部署大型語言模型（self-hosted LLM）才是理想選擇。而這樣的應用，並不需要龐大的設備。研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，體積僅如後背包大小，卻能輕鬆支援語言模型的運作，實現高效又安全的 AI 解決方案。

但問題也接著浮現：要在這麼小的設備上跑大型 AI 模型，會不會太吃資源？這正是目前 AI 領域最前沿、最火熱的研究方向之一：如何幫 AI 模型進行「科學瘦身」，又不減智慧。接下來，我們就來看看科學家是怎麼幫 AI 減重的。

語言模型瘦身術之一：量化（Quantization）—用更精簡的數位方式來表示知識

當硬體資源有限，大模型卻越來越龐大，「幫模型減肥」就成了邊緣 AI 的重要課題。這其實跟圖片壓縮有點像：有些畫面細節我們肉眼根本看不出來，刪掉也不影響整體感覺，卻能大幅減少檔案大小。

模型量化的原理也是如此，只不過對象是模型裡面的參數。這些參數原先通常都是以「浮點數」表示，什麼是浮點數？其實就是你我都熟知的小數。舉例來說，圓周率是個無窮不循環小數，唸下去就會是3.141592653…但實際運算時，我們常常用 3.14 或甚至直接用 3，也能得到夠用的結果。降低模型參數中浮點數的精度就是這個意思！ 

然而，量化並不是那麼容易的事情。而且實際上，降低精度多少還是會影響到模型表現的。因此在設計時，工程師會精密調整，確保效能在可接受範圍內，達成「瘦身不減智」的目標。

模型剪枝（Model Pruning）—基於重要性的結構精簡

建立一個 AI 模型，其實就是在搭建一整套類神經網路系統，並訓練類神經元中彼此關聯的參數。然而，在這麼多參數中，總會有一些參數明明佔了一個位置，卻對整體模型沒有貢獻。既然如此，不如果斷將這些「冗餘」移除。

這就像種植作物的時候，總會雜草叢生，但這些雜草並不是我們想要的作物，這時候我們就會動手清理雜草。在語言模型中也會有這樣的雜草存在，而動手去清理這些不需要的連結參數或神經元的技術，就稱為 AI 模型的模型剪枝（Model Pruning）。

模型剪枝的效果，大概能把100變成70這樣的程度，說多也不是太多。雖然這樣的縮減對於提升效率已具幫助，但若我們要的是一個更小幾個數量級的模型，僅靠剪枝仍不足以應對。最後還是需要從源頭著手，採取更治本的方法：一開始就打造一個很小的模型，並讓它去學習大模型的知識。這項技術被稱為「知識蒸餾」，是目前 AI 模型壓縮領域中最具潛力的方法之一。

知識蒸餾（Knowledge Distillation）—讓小模型學習大師的「精髓」

想像一下，一位經驗豐富、見多識廣的老師傅，就是那個龐大而強悍的 AI 模型。現在，他要培養一位年輕學徒—小型 AI 模型。與其只是告訴小型模型正確答案，老師傅 (大模型) 會更直接傳授他做判斷時的「思考過程」跟「眉角」，例如「為什麼我會這樣想？」、「其他選項的可能性有多少？」。這樣一來，小小的學徒模型，用它有限的「腦容量」，也能學到老師傅的「智慧精髓」，表現就能大幅提升！這是一種很高級的訓練技巧，跟遷移學習有關。

舉個例子，當大型語言模型在收到「晚餐：鳳梨」這組輸入時，它下一個會接的詞語跟機率分別為「炒飯：50%，蝦球：30%，披薩：15%，汁：5%」。在知識蒸餾的過程中，它可以把這套機率表一起教給小語言模型，讓小語言模型不必透過自己訓練，也能輕鬆得到這個推理過程。如今，許多高效的小型語言模型正是透過這項技術訓練而成，讓我們得以在資源有限的邊緣設備上，也能部署愈來愈強大的小模型 AI。

但是！即使模型經過了這些科學方法的優化，變得比較「苗條」了，要真正在邊緣環境中處理如潮水般湧現的資料，並且高速、即時、穩定地運作，仍然需要一個夠強的「引擎」來驅動它們。也就是說，要把這些經過科學千錘百鍊、但依然需要大量計算的 AI 模型，真正放到邊緣的現場去發揮作用，就需要一個強大的「硬體平台」來承載。

邊緣 AI 的強心臟：SKY-602E3 的三大關鍵

像研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，就是扮演「邊緣 AI 引擎」的關鍵角色！那麼，它到底厲害在哪？

一、核心算力
它最多可安裝 4 張雙寬度 GPU 顯示卡。為什麼 GPU 這麼重要？因為 GPU 的設計，天生就擅長做「平行計算」，這正好就是 AI 模型裡面那種海量數學運算最需要的！

你想想看，那麼多數據要同時處理，就像要請一大堆人同時算數學一樣，GPU 就是那個最有效率的工具人！而且，有多張 GPU，代表可以同時跑更多不同的 AI 任務，或者處理更大流量的數據。這是確保那些科學研究成果，在邊緣能真正「跑起來」、「跑得快」、而且「能同時做更多事」的物理基礎！

二、工程適應性——塔式設計。
邊緣環境通常不是那種恆溫恆濕的標準機房，有時是在工廠角落、辦公室一隅、或某個研究實驗室。這種塔式的機箱設計，體積相對緊湊，散熱空間也比較好（這對高功耗的 GPU 很重要！），部署起來比傳統機架式伺服器更有彈性。這就是把高性能計算，進行「工程化」，讓它能適應台灣多樣化的邊緣應用場景。

三、可靠性
SKY-602E3 用的是伺服器等級的主機板、ECC 糾錯記憶體、還有備援電源供應器等等。這些聽起來很硬的規格，背後代表的是嚴謹的工程可靠性設計。畢竟在邊緣現場，系統穩定壓倒一切！你總不希望 AI 分析跑到一半就掛掉吧？這些設計確保了部署在現場的 AI 系統，能夠長時間、穩定地運作，把實驗室裡的科學成果，可靠地轉化成實際的應用價值。

台灣製造 × 在地智慧：打造專屬的邊緣 AI 解決方案

研華科技攜手八維智能，能幫助企業或機構提供客製化的AI解決方案。他們的技術能力涵蓋了自然語言處理、電腦視覺、預測性大數據分析、全端軟體開發與部署，及AI軟硬體整合。

無論是大小型語言模型的微調、工業瑕疵檢測的模型訓練、大數據分析，還是其他 AI 相關的服務，都能交給研華與八維智能來協助完成。他們甚至提供 GPU 與伺服器的租借服務，讓企業在啟動 AI 專案前，大幅降低前期投入門檻，靈活又實用。

台灣有著獨特的產業結構，從精密製造、城市交通管理，到因應高齡化社會的智慧醫療與公共安全，都是邊緣 AI 的理想應用場域。更重要的是，這些情境中許多關鍵資訊都具有高度的「時效性」。像是產線上的一處異常、道路上的突發狀況、醫療設備的即刻警示，這些都需要分秒必爭的即時回應。

如果我們還需要將數據送上雲端分析、再等待回傳結果，往往已經錯失最佳反應時機。這也是為什麼邊緣 AI，不只是一項技術創新，更是一條把尖端 AI 科學落地、真正發揮產業生產力與社會價值的關鍵路徑。讓數據在生成的那一刻、在事件發生的現場，就能被有效的「理解」與「利用」，是將數據垃圾變成數據黃金的賢者之石！

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「我們正在做夢？」「妳其實是在進行中的工作坊睡覺，這是共享夢境的第一課。保持冷靜。」^[1]電影《全面啟動》（Inception）於夢裡互動的概念，被美、德、法和荷蘭的科學家，以非常初階的形式實現。2021 年 4 月《當代生物學》（Current Biology）期刊的論文，稱之為「互動式做夢」（interactive dreaming）。^[2]

清醒夢

一個人睡醒後，描述的夢境記憶，多半相當殘破。要是做夢時，能與科學家雙向對談，勢必有利研究。然而，人們易於接受夢裡的經歷，鮮少在當下檢視批判，根本沉迷其中。^[2]就像電影預告片所言：「在夢裡，我們覺得真實；醒來後，才明白事有蹊蹺。」^[1]唯獨於睡眠的快速動眼期（rapid eye movement sleep），某些人會有罕見的清醒夢（lucid dreams），意識到自己正在夢境之中。這種情形似乎提供了科學家即時訪談的契機。無奈清醒夢一般為自然發生，時機難以掌控。^[2]倘若能將任何夢境，轉換為清醒夢，那就方便得多。

標的清醒再活化

電影畫面上，陀螺不合理地無止盡旋轉，主角提醒他的雇主：「這個世界不是真的。」^[1]陀螺是否會停止並倒下，為《全面啟動》中判定虛實的經典線索。換句話說，也是由做普通的夢，轉變為做清醒夢的關鍵。臨床試驗中，進行標的清醒再活化（targeted lucidity reactivation）時，這類線索就是聲音或光線等感官刺激。受試者先認識設定來代表清醒的線索，並於即將入睡前加強此連結；睡著且進入快速動眼期後，科學家再次給出的線索，會暗示正在做夢的受試者保持清醒。^[2]

就拿此研究裡，美國組的流程為例：首先，科學家設定短促輕柔（650 ms；40－45 dB），音調漸升（400、600和800 Hz）的「嗶、嗶、嗶」三個音，作為線索。訓練受試者將之與清醒的狀態連結。再告訴他們這個線索會出現在睡覺時，以促成清醒夢。接下來的 15 分鐘內，反覆播放 15 次。前 4 次搭配語音指示：「當你聽到線索，你就會清醒。專注於你的思考，並注意心思的流向…（停頓）現在觀察你的身體、知覺和感受…（停頓）觀察你的呼吸…（停頓）維持清醒，保有批判的意識，注意此經驗在哪方面與你平常清醒時不同。」^[2]

受試者通常會在 15 次「嗶、嗶、嗶」結束前睡著。科學家一旦偵測到他們進入快速動眼期，就會以 30 秒為間隔，再度重複播放。當受試者以事前約定好的眼球運動，通知外界他正在做清醒夢，或是在 10 次「嗶、嗶、嗶」後，仍然毫無動靜，互動測試便開始進行。^[2][註]

互動式做夢

美、德、法和荷蘭的科學家，總共招募了 36 名志願者。他們涵蓋下列 3 種類型：^[2]

1. 數名具清醒夢經驗的人。^[2]
2. 幾個雖無經驗，但訓練後能做清醒夢的健康人士。^[2]
3. 白天睡眠過多，容易突然進入快速動眼期，又常做清醒夢的猝睡症（亦稱「嗜睡症」；narcolepsy）患者1名。^[2]

他們在做夢時答覆提問；醒來後立即報告夢境與感受。期刊論文中，列舉了下面幾個例子。^[2]

美國組：計算

曾有過 2 次清醒夢的 19 歲美國受試者，在 90 分鐘的白天睡眠過程中，回答簡單的計算問題。首先，他以 3 次連續的眼球左右運動，表達自己進入了清醒夢。於是，科學家就問他「8 減掉 6」等於多少。約莫 3 秒內，他做了 2 次上述的眼球運動。科學家馬上又重複問題，他也再度用相同的方式，給予正確答案。^[2]

醒來之後，這名美國男子分享其經歷：「本來是夜間，於一處停車場。…然後是白晝，我在電玩裡。…我想，好，大概是在做夢。接著很怪…我失去對全身肌肉的控制。有一陣血流洶湧的浪濤聲，朝我的耳朵襲來。」此外，他依稀記得當時的題目與答案。^[2]

德國組：計算

在德國，也有曾做過清醒夢的受試者。這名 35 歲的男子，在夜間睡眠的快速動眼期，以眼球運動表示自己進入了清醒夢。科學家就用 LED 燈改變房間的光線，來發出摩斯密碼。那串訊號的意思是「4 減去 0」，事前受過訓練的男子，則以 4 次左右交替的眼球運動答覆。看起來是答對了，但是他醒來後說，以為題目是「4 加上 0」。^[2]

德國男子覺得夢裡的場景，可能是物理治療診所。四周無人，只有架子、櫥櫃和醫師的座椅。當診間的燈光忽明忽滅，他「意識到閃爍的訊號來自外面」，便運動眼球作答。之後，男子尋找發光工具，弄到一只碗。裏頭盛滿的水，竟像魚缸燈管般發出明滅光芒。他知道，又是訊號。偏偏無法判讀，還不小心在解碼時把碗摔破。^[2]
　　
他離開診間，看室外有無發光工具，卻在抬頭時見到雲彩變化多端：黃澄澄的陽光，灑在淺灰的烏雲上。亮度多元，飄移迅速。他明知是計算題的訊號，卻再度錯失解碼的時機。^[2]

荷蘭組：計算

26 歲的荷蘭受試者，因為記得夢中的細節，並正確回答「1 加上 2」等於「3」，而感到自豪。可惜她在 134 分鐘晨眠的清醒夢起始點，沒有通知科學家，所以儘管 5 題對了 2 題，數據並未允予採計。^[2]

「我必須記得事情」，她在夢裡這麼想著，並聽到科學家的聲音。「我坐進車裡…」，那些題目「感覺像是某種車上的廣播」。^[2]

法國組：是非題

法國組招募到 1 名 20 歲的猝睡症患者，他於 16 歲確診，每天平均做 4 次清醒夢。論文形容他「做清醒夢的能力卓越」，能輕易控制夢境。在 20 分鐘白天小睡的第 1 分鐘，他就火速進入快速動眼期，並且於 5 分鐘後開始做清醒夢。科學家問是非題，請他收縮臉部肌肉作答：顴肌（zygomatic muscle）代表「是」；而皺眉肌（corrugator muscle）則為「非」。^[2]

「我聽到你的聲音，你簡直像上帝。」猝睡症患者回憶夢裡的派對上，出現猶如電影旁白，來自外面的幾個問題，例如：愛不愛吃巧克力；是否唸生物學；還有會不會講西班牙語。「最後一題我不確定，因為我的西班牙語不流利…終究我決定答『否』，然後回到派對裡去。」^[2]

法國組：觸覺

這名法國的猝睡症患者，還有參與觸覺等其他測試。他在清醒夢的過程中，以收縮皺眉肌的次數，來表達自己的手被科學家輕觸了幾下。其答案有時正確，有時錯誤，還有的模稜兩可。^[2]

雖然沒有全部答對，但能有此成績，說來也頗不簡單。畢竟他當時正在清醒夢中打怪，並且對自己「能一心這麼多用」，感到吃驚。^[2]

互動式做夢的成功率

「這或許可行。」《全面啟動》裡，討論任務計劃時，不意外地下一句台詞就是：「或許？我們需要比『或許』更肯定。」^[1]在此研究中，四個國家的團隊，總共做了 57 場互動式做夢的嘗試：26% 的場次裡，受試者依照指示，告知科學家自己進入了清醒夢；而這些成功案例中的 47%，至少答對 1 個題目。整個臨床試驗的答題正確率，僅約 18.4%；多數則是連反應也沒有，其比例高達 60.1%。^[2]

目前互動式做夢，仍有一些技術侷限，比方說：外界的提問在夢裡走樣；夢境描述依然仰賴事後回顧；受試者在清醒夢與沉睡的狀態間擺盪；或是標的清醒再活化的聲光，把人叫醒等。不過無論如何，科學家已經得知提問的聲音，如何在夢中呈現：有些像天外之音；有的則會合理化地融入夢境。而且研究結果不僅證實做夢者與外界互動的可能，更展現睡夢中的認知能力。有別於以往，只能在人醒著的各種狀態下試驗；將來科學家應該有機會，比較包含清醒夢在內，不同清醒程度的認知表現，甚至影響夢境內容，來治療心靈創傷或增強學習效果。^[2]

備註

美國與荷蘭兩組，皆採取標的清醒再活化，但細節稍有差異；法國的猝睡症患者天賦異稟，無須借助外力；而德國組則是睡著後被叫醒，然後又回去睡覺，並在之間做自我暗示的夢境辨識等練習。^[2]

1. ‘Inception (2010) – Quotes’. IMDB. (Accessed on 15 FEB 2023)
2. Konkoly KR, Appel K, Chabani E, et al. (2021) ‘Real-time dialogue between experimenters and dreamers during REM sleep’. Current Biology, 31 (7): 1417-1427, e6.

• 文／賴以威｜師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人

有一種符合本書主題的二分法：討厭數學的人跟喜歡數學的人。

前者埋怨：

「數學跟現實脫節。」

後者部分同意這話，他們會說：

「數學是獨立於現實世界的另一個世界。」

請帶點魔幻的色彩來想像以下的畫面：你拿起筆在紙上算數學，簡單的 1+1 或微分方程都可以。然後奇妙的事發生了，你的手穿過紙張，整個人往紙裡墜，你進入了數學的另一個世界。

不需要畫五芒星的魔法陣（我忍住不跟你聊裡面的黃金比例），不需要任何繁瑣的祭祀儀式，只要一張紙、一支筆跟任何一道數學式子，你就能自由進出數學的世界。

受到工程背景的影響，我在分享數學有趣之處時，常常著眼在數學世界與現實世界的連結。現實世界有 500 元鈔票，  500 大卡的手搖飲料，還有台灣搖滾天王伍佰。但從數學世界裡看，他們都是變成了純粹的數字 500。我是個虔誠的信徒，常去廟裡拜拜擲筊，一方面在現實世界裡乞求天神保佑，一方面在數學世界裡和機率之神祈禱。兩個世界之間往返，你很容易看到許多有趣的現象，複雜的問題脫下外皮，被解構成一條條式子；全然不相關的幾件事，在數學世界裡都是一個模樣，這樣的視角媲美從《巡者系列》的幽界裡窺視人界 [註]。

班傑明教授在本書中提供了另一個角度，他直接讓我們探索「數學世界本身的趣味」，不需要來來回回，光是只有數字與幾何圖形的數學世界就夠我們玩得不亦樂乎，讚嘆連連了。請繼續想像，你在數學世界跟團旅行，來到著名景點歐拉公式，導遊難掩興奮之情地說：

「e、i、π、0、1，五個重要又看似毫無關係的數字，竟然被巧妙地整合在一起！」

覺得不夠神奇嗎？可能是符號帶來的隔閡，讓我們換成近似的數字－－

〖(2.72)〗^(√(-1)×3.14)+1≈0

這樣或許更有感覺吧。無窮無盡的數字大海中找出來的兩個無理數字，搭配根號 -1 這個被國中小數學課本禁止的虛數，組合起來再 +1 竟然很趨近於0。這是數學世界的大峽谷，展現數學大自然的神功鬼斧。

讚嘆完大峽谷之美，我們都會想去告示牌或上網查查它的成因。理當來說你也會想了解歐拉公式背後的原因。導遊風趣地講解，不時穿插其他有趣的知識。你注意到他胸口的名牌：亞瑟．班傑明。

書名《數學魔術之道》把兩個我很喜歡的名詞放在一起。小時候我曾摸著牆壁，百思不得其解為什麼有人可以穿越比這道牆厚上好幾倍的萬里長城，把人身體切一半又復原。雖然當下沒聯想到，但多年後回想，這樣的困擾其實跟面對一道數學難題很相似：盯著一個奇形怪狀的幾何圖形，我覺得不可能算出它的面積，但同時我又清楚知道，下一頁翻過來就是印好的解答。

魔術是很精密的機制，能欺騙人類的直覺。數學同樣很精密，它的本意是補充人類的直覺（有些人可能會說「是為了打擊人的信心」，但我想那是「數學考試」，而不是「數學」本身），讓我們能精準地達成某些事情，簡化某些過程。了解到這點後，你會發現數學跟魔術之間有驚人的相似之處，換個角度，數學就能從惱人的題目變成有趣的魔術。國內也有幾位優秀的數學魔術師：吳如皓、莊惟棟、林壽福幾位老師，都擅長結合數學與魔術，有機會一定要看看他們的表演。班傑明教授更是箇中翹楚，他曾在 TED 上表演過幾個數學魔術，這回他將數學魔術的訣竅放在書裡。魔術很有趣，背後的原理更有價值。

比方說，有一兩個魔術是速算，比起掌握速算技巧，更重要的是了解「為什麼這些技巧有用」，進而思考「該怎麼設計這樣的技巧」。我和我的團隊老師常舉辦給國小學生的「數學實驗課」，裡面恰好也有介紹速算。我們讓小朋友比賽，一些人心算，一些人按計算機，看誰算得快。小朋友覺得很無聊，比賽彷彿不需要開始就知道勝負。

2+2+2+2+2

1+2+3+7+8+9

題目一打出來，心算的小朋友開心得不得了，一秒內就大喊出答案，按計算機的小朋友很鬱悶，他們也知道答案，偏偏被要求得按下每個數字、符號，怎麼都跟不上心算的速度。

一樣的數字相加，可以用乘法

找到和為 10 的兩組數字

這是深植在每個人心中的速算訣竅，或是用另一個詞來說——規律。比起一個個數字相加，運用題目裡數字的這兩個規律，就能大幅縮短計算時間。數學的本質是發掘規律，化繁為簡。班傑明教授舉了一個很精彩的例子，只要告訴他一個日期（年月日），他就能立刻回答你是星期幾。這只是我們題目的進階再進階版，背後的原理都是一樣，找出規律。

能洞察規律的人，便能得到他人無法得到的資訊，以更快的方式得到資訊，或是，成為一位數學魔術師。這才是數學的真正意義。

• 註：《巡者系列》是俄國經典魔幻小說，幽界是指超凡人才能進入的，與現實世界平行並存的空間。

本文摘自《數學大觀念：從數字到微積分，全面理解數學的 12 大觀念》，貓頭鷹出版。

無論飛機或船艦都需要定位，因為在空中或大海上不像在陸地上可以循著道路行進，並且隨處有顯著的路標或地標可以辨識身在何處。而定位的技術根據人類科技的演化逐步精確，從早期觀察日月星辰以及指南針使用，可以粗略知道方位。但是這些無法滿足航海及航空需求，因為天候不佳時無法觀察天體，而磁羅經會因為地磁偏移產生誤差，所以需要其它定位儀器協助。

近年來GPS蠻火紅的，不少產品有此功能，比如汽車導航或高階手機。GPS 共有 24 顆衛星 (包含三顆備用衛星)，分佈在六條相交30度的軌道上，任何地方只要能接收四顆衛星資料，就可以計算出在地球上的位置，在此僅討論座標計算的問題。

以地心為三度空間零點，XY 軸在赤道平面上，X 軸貫穿經度 0 度與180 度，Y 軸貫穿東西經 90 度，Z 軸貫穿南北兩極，距離地心半徑 R 的球體方程式為， X² + Y² + Z² = R²
在這個立體座標上以點 (a,b,c) 為球心，半徑為 r 的球體方程式是，
(X – a)² + (Y – b)² + (Z – c)² = r ²

GPS衛星傳遞的訊號包括衛星自身 (a,b,c) 座標資料以及發射時間，那麼 GPS 接收器就可以利用這些資訊計算位址。首先計算衛星與接收器間的距離 r = 光速 x (接收器接收時間 – 衛星發射時間) 。

假設現在有四顆衛星資料，

a 為地球橢球的長半軸，b 為地球橢球的短半軸，
已知 (X,Y,Z) 座標，參考大地座標系可求出緯度 B 經度 L，

原文來自 研發養成所 http://4rdp.blogspot.com