GPS 座標計算原理

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兩、三年以來的防疫生活，終於迎來全面 0+7 的這一天啦！返國之後不再需要隔離的一天來了，冰友們，你是不是已經收拾好心情、收拾好行李，在進行機＋酒的比價了呢？除了規劃好出國行程、找好景點與美食店家，想要讓自己不可或缺的網路生活也更加安全，一定要趁即將到來了感恩節黑五期間，把超優惠的 Surfshark VPN 服務買起來，為自己的網路生活加買最平安的保險！

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在疫情下，網購成為了更多人的日常。不僅各樣的在地購物節為網友帶來眾多優惠，全球化的購物活動，台灣當然也不會缺席！美國感恩節（Thanksgiving）都是 11 月第四個星期四，但是感恩節後的週五，便是聖誕節前的購物佳期啟動日，這一天通常都會業績超標（在收支表上呈現正向收入（顯示為黑色字體，而非赤字的紅色字體），各家的瘋狂優惠都會在黑五祭出！相信許多精打細算的朋友，對黑五購物節絕對不陌生（很可能還搶過很多優惠！！）

網購怎能漏掉「亞馬遜」！

雅虎奇摩之於台灣，就像是亞馬遜（Amazon.com）之於美國那麼的有名！絕對也是什麼都賣、什麼都不奇怪的最佳代表。

如果你平常就很喜愛一些美國品牌，趁著黑五的日子到亞馬遜清空購物車，覺對優惠不會讓你失望。這時候，透過 Surfshark 連線到亞馬遜美國站，絕對會顯示的價格絕對讓你眼睛為之一亮，這時候最新搭載 M2 晶片的 iPad Pro，獨家支援動態島顯示的 iPhone 14 Pro，絕對是最好入手的時機。除此之外，亞馬遜平台經典的 Kindle 閱讀器，也是超合適的禮物，送禮自用兩相宜啊！另外要特別留意，購買時可以確認商品有沒有幫忙送到台灣，如果還沒有，可以先跟美國的朋友確認一下，邀請他們回國時幫你一起帶回來！

跨國追劇最爽快

對於喜愛追劇的朋友，品味可能相當豐富且多元，畢竟欣賞優秀影視作品，不現語言，更是不限地區啊！只不過，若是你訂閱 Netflix 等跨國 OTT 服務，都會有各地不同的上架影視作品，可能會讓你無法在第一時間就能夠立即「追」到劇，讓你等得心癢癢！還好這一切只要連上 Surfshark VPN 都能解決，Surfshark 支援超過 100 國的 VPN 連線，無論你想看韓國、日本還是哪一國的最新戲劇，通通讓你一秒追到最新進度！

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出差大陸翻牆超方便

在過往出國、返國都需要隔離的階段，肯定讓不少工作上需要經常往返多國之間的朋友，感到生活驟變。所幸，在防疫政策解封之後，一切都可逐漸恢復正常。對於經常有需要到中國大陸出差的朋友，肯定都會感受到網路斷聯的不方便，因為無論是 LINE、Facebook Messenger、YouTube、Gmail 等你可很能天天都在使用的網路服務，大陸都無法使用。這還不打緊，連跟家人、朋友報平安也很不便。這時候 Surfshark 連上，就可以幫助你輕鬆「翻牆」，跟台灣親人網路無距離！

上網不留痕跡，不被追蹤最自由

對於一個人來說，最私密的資料之一，除了你的個資，就屬我們每天耗費大量時間逗留的網路。我們所在網路上留下的痕跡，絕對是超真實的自己，當然你不會期待這樣的自己被「搜尋引擎」、「網路廣告」公司了解得太透徹，好像你在網路上的一言一行，都被監視著。

．．０００0000\0；也可隱藏IP位置，避免被廣告商追蹤；更可以為你我阻擋惡意程式、釣魚軟體等，讓你防止被攻擊，以及被網路充斥的廣告打擾，好處多又多！

如果對於 Surfshark 還覺得不夠熟悉的話，不得不告訴大家，今年 Surfshark 榮獲第六屆 CyberSecurity Breakthrough 頒發的「VPN 年度最佳解決方案」（VPN Solution of the Year），也就是成為今年最推薦的 VPN 方案。CyberSecurity Breakthrough 是全球領先的獨立市場情報組織，致力於表揚當今全球資訊安全市場上的頂尖企業、技術和產品。有了他們「掛保證」，代表 Surfshark 絕對是品質、信譽都讓你安心的VPN 服務。

講了這麼多，是不是讓你感到很心動了。如果你原本就是網路重度使用者，用來上網的設備是樣樣都有，Surfshark 一個帳號就能支援所有設備，CP 值超高！趁著年度超狂黑五購物節的到來，送給你自己兩年安心無虞的網路生活，肯定是送自己的最好禮物！

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• 文／賴以威｜師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人

有一種符合本書主題的二分法：討厭數學的人跟喜歡數學的人。

前者埋怨：

「數學跟現實脫節。」

後者部分同意這話，他們會說：

「數學是獨立於現實世界的另一個世界。」

請帶點魔幻的色彩來想像以下的畫面：你拿起筆在紙上算數學，簡單的 1+1 或微分方程都可以。然後奇妙的事發生了，你的手穿過紙張，整個人往紙裡墜，你進入了數學的另一個世界。

不需要畫五芒星的魔法陣（我忍住不跟你聊裡面的黃金比例），不需要任何繁瑣的祭祀儀式，只要一張紙、一支筆跟任何一道數學式子，你就能自由進出數學的世界。

受到工程背景的影響，我在分享數學有趣之處時，常常著眼在數學世界與現實世界的連結。現實世界有 500 元鈔票，  500 大卡的手搖飲料，還有台灣搖滾天王伍佰。但從數學世界裡看，他們都是變成了純粹的數字 500。我是個虔誠的信徒，常去廟裡拜拜擲筊，一方面在現實世界裡乞求天神保佑，一方面在數學世界裡和機率之神祈禱。兩個世界之間往返，你很容易看到許多有趣的現象，複雜的問題脫下外皮，被解構成一條條式子；全然不相關的幾件事，在數學世界裡都是一個模樣，這樣的視角媲美從《巡者系列》的幽界裡窺視人界 [註]。

班傑明教授在本書中提供了另一個角度，他直接讓我們探索「數學世界本身的趣味」，不需要來來回回，光是只有數字與幾何圖形的數學世界就夠我們玩得不亦樂乎，讚嘆連連了。請繼續想像，你在數學世界跟團旅行，來到著名景點歐拉公式，導遊難掩興奮之情地說：

「e、i、π、0、1，五個重要又看似毫無關係的數字，竟然被巧妙地整合在一起！」

覺得不夠神奇嗎？可能是符號帶來的隔閡，讓我們換成近似的數字－－

〖(2.72)〗^(√(-1)×3.14)+1≈0

這樣或許更有感覺吧。無窮無盡的數字大海中找出來的兩個無理數字，搭配根號 -1 這個被國中小數學課本禁止的虛數，組合起來再 +1 竟然很趨近於0。這是數學世界的大峽谷，展現數學大自然的神功鬼斧。

讚嘆完大峽谷之美，我們都會想去告示牌或上網查查它的成因。理當來說你也會想了解歐拉公式背後的原因。導遊風趣地講解，不時穿插其他有趣的知識。你注意到他胸口的名牌：亞瑟．班傑明。

書名《數學魔術之道》把兩個我很喜歡的名詞放在一起。小時候我曾摸著牆壁，百思不得其解為什麼有人可以穿越比這道牆厚上好幾倍的萬里長城，把人身體切一半又復原。雖然當下沒聯想到，但多年後回想，這樣的困擾其實跟面對一道數學難題很相似：盯著一個奇形怪狀的幾何圖形，我覺得不可能算出它的面積，但同時我又清楚知道，下一頁翻過來就是印好的解答。

魔術是很精密的機制，能欺騙人類的直覺。數學同樣很精密，它的本意是補充人類的直覺（有些人可能會說「是為了打擊人的信心」，但我想那是「數學考試」，而不是「數學」本身），讓我們能精準地達成某些事情，簡化某些過程。了解到這點後，你會發現數學跟魔術之間有驚人的相似之處，換個角度，數學就能從惱人的題目變成有趣的魔術。國內也有幾位優秀的數學魔術師：吳如皓、莊惟棟、林壽福幾位老師，都擅長結合數學與魔術，有機會一定要看看他們的表演。班傑明教授更是箇中翹楚，他曾在 TED 上表演過幾個數學魔術，這回他將數學魔術的訣竅放在書裡。魔術很有趣，背後的原理更有價值。

比方說，有一兩個魔術是速算，比起掌握速算技巧，更重要的是了解「為什麼這些技巧有用」，進而思考「該怎麼設計這樣的技巧」。我和我的團隊老師常舉辦給國小學生的「數學實驗課」，裡面恰好也有介紹速算。我們讓小朋友比賽，一些人心算，一些人按計算機，看誰算得快。小朋友覺得很無聊，比賽彷彿不需要開始就知道勝負。

2+2+2+2+2

1+2+3+7+8+9

題目一打出來，心算的小朋友開心得不得了，一秒內就大喊出答案，按計算機的小朋友很鬱悶，他們也知道答案，偏偏被要求得按下每個數字、符號，怎麼都跟不上心算的速度。

一樣的數字相加，可以用乘法

找到和為 10 的兩組數字

這是深植在每個人心中的速算訣竅，或是用另一個詞來說——規律。比起一個個數字相加，運用題目裡數字的這兩個規律，就能大幅縮短計算時間。數學的本質是發掘規律，化繁為簡。班傑明教授舉了一個很精彩的例子，只要告訴他一個日期（年月日），他就能立刻回答你是星期幾。這只是我們題目的進階再進階版，背後的原理都是一樣，找出規律。

能洞察規律的人，便能得到他人無法得到的資訊，以更快的方式得到資訊，或是，成為一位數學魔術師。這才是數學的真正意義。

• 註：《巡者系列》是俄國經典魔幻小說，幽界是指超凡人才能進入的，與現實世界平行並存的空間。

本文摘自《數學大觀念：從數字到微積分，全面理解數學的 12 大觀念》，貓頭鷹出版。

在中學時代，家裡有台 VHS 錄影機就不錯了，那時幻想著能當科學家的我，只要新聞有什麼科技新知一定錄下，同時心中感嘆，好多先進國家的新穎產品，可能要十年後才會在東南亞的市場上出現吧。可是經過了 VCD、DVD 的年代，現在要看高解析度的 HD 影片，只要能夠上網就行。以前 YouTube 的畫質超爛，沒想到現在第四台的畫質已遠落後很多 YouTube 影片了，科技變化的速度真是一日千里。

過去大學時的電腦螢幕是笨重的 CRT，這不算什麼，我老闆年輕時還用過打孔機當輸出輸入的裝置咧；更傳奇的是據說想當年，台灣史上第一台電腦──IBM650 系統，是用牛車扛到新竹交通大學去的，而且開機向貴賓的表演啟用後就過熱壽終正寢而報廢了。剛上大學，有筆電的同學屈指可數，可是現在我家除了老爸，老媽、弟妹是人手一台 iPad。

我有些年紀稍長的朋友，他們還用過磁帶當儲存設備吧，還有現在絕大多數年輕人都沒看過 5¼ 吋和 3½ 吋磁碟了吧？那就是所謂的 A 槽和 B 槽啊，所以硬碟才是 C 槽。不過現在絕大多數好幾百 MB 甚至上 GB 的程式，也直接上網購買下載安裝了，我現在筆電的光碟機，似乎沒用超過十次了吧。甭說是光碟機，連 USB 碟或外接硬碟也偶爾才用到，很多東西直接上傳到雲端就能備份或分享了。

我小時候立志，長大後一定要買部大英百科全書回家擺！沒想到，長大後，紙本大英百科已經絕版了，現在不僅上網就能到維基百科，還能去編撰條目呢！記得大概大三時，大家突然爭相走告，說可以去一個叫 Google 的網站去搜尋自己的名字，可以找到相關網頁哦！這多麼新奇啊，那時大家主要的入口網站還是 Yahoo! 呢！

初中時，我老爸買了支摩托羅拉的手機，逢人就故意拿出來假裝看簡訊，大家驚呼爭先傳閱的表情，可以讓他爽半天；一直到我大三，班上只有一位同學有手機，到了大四也差不多只有不到一半同學有手機吧，而且都還是智障手機。現在連我那些唸中小學的姪兒們都用智慧手機了，如果有人還在用智障手機，大家還真要傳閱了呢。

都是因為他們的關係

一切彷彿都回不去了，現在只要出門忘了帶手機，千方百計都要回家拿。老實說，我已經不知道過去沒有網路、沒有手機的日子倒底是怎麼過的？現在那些被網路和手機填補的時間，過去自己究竟用來幹什麼啊？無法隨時找得到人，是怎麼能不著急的呀！

還有許多過去流行的事物，如無名小站、ICQ、MSN 等等，也一一走向歷史，可是我們有了 Instagram、Gmail、部落格、臉書、Plurk、Twitter、WhatsApp、LINE 等等。以前新聞上報導的科技新產品，要等好久才會在市面上看到，似乎那些科技新知是科幻，可是現在絕大多數科技產品都是全球同步上市，很多東西都是直接在市場上看到，而非等待好幾載。

這些科技上的方便，或者束縛，都要拜一群超有遠見的阿宅所賜。這本《創新者們：掀起數位革命的天才、怪傑和駭客》（THE INNOVATORS: How a Group of Hackers, Geniuses, and Geeks Created the Digital Revolution）就是在講述這群天才的八卦和故事，是一本令人愛不釋手、趣味盎然的好書！

在 2011 年，《創新者們》作者艾薩克森（Walter Isaacson）已經在《賈伯斯傳》（Steve Jobs）為蘋果電腦創辦人賈伯斯立過了傳（請參見〈傳奇的賈伯斯傳（Steve Jobs）〉）。艾薩克森在《創新者們》要敘述一群阿宅的故事，告訴我們一大群有卓越眼光、不羈創意與無比勇氣的人，如何攜手合作創造出電腦與網路，讓數位時代得以降臨，讓賈伯斯能大展雄才。薩克森也真是位奇才，雖然 IT 產業有許多艱澀的術語，他卻能把阿宅們的故事和人生說得天花亂墜、引人入勝，恨不得自己也能宅一輩子（誤）。

開發表的第一個電腦程式，出自百年前一位熱愛數學的詩人拜倫（Lord Byro）之女愛達（Ada Lovelace）之手，她早就預言的電腦與網路世界。《創新者們》 也一一探索掀起數位革命的秀異之士，具備了什麼樣的特質，其中包括 MIT 的教授布許（Vannevar Bush）、早夭的天才圖靈（Alan M. Turing）、大科學家馮諾伊曼（John von Neumann）、英特爾的諾宜斯（Robert N. Noyce）和摩爾（Gordon E. Moore）、微軟的比爾蓋茲（Bill Gates）、蘋果電腦的賈伯斯（Steven Jobs）、發明 WWW 的柏納－李（Tim Berners-Lee）、谷歌的佩吉（Larry Page）和布林（Sergey Brin）等人。

《創新者們》 揭露了這群天才、怪傑、阿宅和駭客如何思考、為何如此有創造力，還有他們尋求合作的智慧，以及如何借助群體合作之力，使創造力更上層樓。很有趣的，在《創新者們》裡，不少開天僻地的創新者們，都不見得有正式的學位，有些連正式的大學都未必上過，而且也幹過不少違法犯紀的事。如果是在台灣這個高度重視學歷和紀律的社會，他們這些曠世奇才恐怕就淪為社會邊緣人了吧？

《創新者們》的故事，尤其到了後半部，大多發生在北加州，也就是在舊金山灣區的矽谷。我唸書的學校離矽谷大約一個半小時車程（正常速度開的話），因為有好友在矽谷工作，所以也蠻常過去的。矽谷是有名的冒險者天堂，據說矽谷裡開公司的老闆，半均倒過七家公司。可是，在那裡只要敢提出好的主意，敢找人要錢，就有創投公司願意投注，他們不僅仍有西部拓荒的冒險精神，而且還信仰不以成敗論英雄的價值觀。 《創新者們》或許是口口聲聲談創新的政商名流該人手一本的吧，讓我們見識創新是怎麼一回事，而非僅是嘴炮而已。《創新者們》提出，數位年代的創新有三種組成團隊的方式，一種是政府出資整合，電腦原型機和網際網路前身 ARPANET 就是政府主導和資助的，並且形成產官學三方合作；第二種是由私人企業領軍，像是富有創意的公司如德州儀器、INTEL、Google、微軟和蘋果，他們創新的動力是豐厚的獲利；第三種是同儕共有生產制，也產生了好用的產品如 GNU/Linux、OpenOffice、FireFox 和維基百科等等。

這三種團隊方式都為我們創新性地生產了很多好用的產品，缺一不可。有些右派保守人士一味批評政府不該資助科研，因為政府效率低等等，認為只有私人企業才有真正的創新。這顯然是錯的，《創新者們》和吳修銘（Tim Wu）的《誰控制了總開關？》（The Master Switch: The Rise and Fall of Information Empires）甚至舉出實例，指出試圖扼殺創新的，大企業也曾經有份哦！（請參見〈到底是誰控制了總開關？〉）如果沒有政府資助，讓學術界可以打造出當時還不實用的機器等等，電腦的發明恐怕要落後了好幾十年了吧？如果沒有大量政府資助的基礎研究，現在生技公司哪來那麼多基礎知識去搞生技新藥？僅因為政治信仰就一味反對政府資助基礎研究，是不折不扣的睜眼說瞎話。

我有位朋友前陣子參觀了加州舊金山灣區山景市的計算機歷史博物館（Computer History Museum），拍了一個很有趣的影片示範了差分機（Difference engine）的運作（以下影片出自網路）：

雖然看影片時有幾位朋友是唸資訊科學出身的，可是他們也不知道差分機的實際用途。歷史上的差分機一號（Difference Engine No.1）是英國科學家查爾斯‧巴貝奇（Charles Babbage）研發的自動化數學機器，由英國政府出資，工匠克里門（Joseph Clement）打造，預計完工需要 25,000 個零件。巴貝奇不斷延後完成期限的嚴重超支（英國政府在 1842 年的最後清算發現整個計畫一共讓國庫支出了 17,500 鎊）。《創新者們》在追溯電腦科技的歷史，故事的源頭就是巴貝爾設計差分機以及和愛達的友誼。

科技背後，全是有溫度的人

愛達和巴貝奇認識於 1833 年，之後一直有維持通訊，因此對巴貝奇在差分機和分析機引擎方面的進展頗有了解。1842 到 1843 年間，愛達翻譯了一位義大利數學家（後來當上義大利首相）費德里科‧路易吉（Federico Luigi）關於講述巴貝奇分析機的論文時，應巴貝奇的要求在後面附上了譯者評注，她的譯者評注比原文還長、影響力更大，愛達在其中用非常詳細的描述，設想了如果分析機成真的話，要如何用它來求伯努利數列（Bernoulli number）的值，被認為是世界上第一個電腦程式，因此愛達也被認為是世界上第一位程式設計師。在 1980 年，美國國防部製作了一個新的電腦語言，就命名為 Ada。英國計算機公會每年都頒發以愛達為名的獎項。《創新者們》算是為愛達致敬的。

即使不是 IT 宅，也會發現《創新者們》很有啟發性。IT 科技已深入我們每一天的生活，並非是個陌生的國度，《創新者們》用很有趣的方式，讓我們瞭解到主修資科的朋友在課堂上都未必學到的故事和八卦，除了寓意深遠，還很有娛樂效果，是本寓教於樂的好書！

本文原刊登於閱讀‧最前線【GENE思書軒】，並同步刊登於 The Sky of Gene。