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GPS 座標計算原理

Bridan
・2011/12/27 ・714字 ・閱讀時間約 1 分鐘 ・SR值 548 ・八年級

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無論飛機或船艦都需要定位,因為在空中或大海上不像在陸地上可以循著道路行進,並且隨處有顯著的路標或地標可以辨識身在何處。而定位的技術根據人類科技的演化逐步精確,從早期觀察日月星辰以及指南針使用,可以粗略知道方位。但是這些無法滿足航海及航空需求,因為天候不佳時無法觀察天體,而磁羅經會因為地磁偏移產生誤差,所以需要其它定位儀器協助。

近年來GPS蠻火紅的,不少產品有此功能,比如汽車導航或高階手機。GPS 共有 24 顆衛星 (包含三顆備用衛星),分佈在六條相交30度的軌道上,任何地方只要能接收四顆衛星資料,就可以計算出在地球上的位置,在此僅討論座標計算的問題。

以地心為三度空間零點,XY 軸在赤道平面上,X 軸貫穿經度 0 度與180 度,Y 軸貫穿東西經 90 度,Z 軸貫穿南北兩極,距離地心半徑 R 的球體方程式為, X2 + Y2 + Z2 = R2
在這個立體座標上以點 (a,b,c) 為球心,半徑為 r 的球體方程式是,
(X – a)2 + (Y – b)2 + (Z – c)2 = r 2

GPS衛星傳遞的訊號包括衛星自身 (a,b,c) 座標資料以及發射時間,那麼 GPS 接收器就可以利用這些資訊計算位址。首先計算衛星與接收器間的距離 r = 光速 x (接收器接收時間 – 衛星發射時間) 。

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假設現在有四顆衛星資料,

a 為地球橢球的長半軸,b 為地球橢球的短半軸,
已知 (X,Y,Z) 座標,參考大地座標系可求出緯度 B 經度 L,

原文來自 研發養成所 http://4rdp.blogspot.com

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Bridan
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資深的電子產品研發人員,興趣廣泛,喜愛閱讀以及研究新奇事物。 為研發養成所部落格版主 https://4rdp.blogspot.tw/

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圖形處理單元與人工智慧
賴昭正_96
・2024/06/24 ・6944字 ・閱讀時間約 14 分鐘

  • 作者/賴昭正|前清大化學系教授、系主任、所長;合創科學月刊

我擔心人工智慧可能會完全取代人類。如果人們能設計電腦病毒,那麼就會有人設計出能夠自我改進和複製的人工智慧。 這將是一種超越人類的新生命形式。

——史蒂芬.霍金(Stephen Hawking) 英國理論物理學家

大約在八十年前,當第一台數位計算機出現時,一些電腦科學家便一直致力於讓機器具有像人類一樣的智慧;但七十年後,還是沒有機器能夠可靠地提供人類程度的語言或影像辨識功能。誰又想到「人工智慧」(Artificial Intelligent,簡稱 AI)的能力最近十年突然起飛,在許多(所有?)領域的測試中擊敗了人類,正在改變各個領域——包括假新聞的製造與散佈——的生態。

圖形處理單元(graphic process unit,簡稱 GPU)是這場「人工智慧」革命中的最大助手。它的興起使得九年前還是個小公司的 Nvidia(英偉達)股票從每股不到 $5,上升到今天(5 月 24 日)每股超過 $1000(註一)的全世界第三大公司,其創辦人(之一)兼首席執行官、出生於台南的黃仁勳(Jenson Huang)也一躍成為全世界排名 20 內的大富豪、台灣家喻戶曉的名人!可是多少人了解圖形處理單元是什麼嗎?到底是時勢造英雄,還是英雄造時勢?

黃仁勳出席2016年台北國際電腦展
Nvidia 的崛起究竟是時勢造英雄,還是英雄造時勢?圖/wikimedia

在回答這問題之前,筆者得先聲明筆者不是學電腦的,因此在這裡所能談的只是與電腦設計細節無關的基本原理。筆者認為將原理轉成實用工具是專家的事,不是我們外行人需要了解的;但作為一位現在的知識分子或公民,了解基本原理則是必備的條件:例如了解「能量不滅定律」就可以不用仔細分析,即可判斷永動機是騙人的;又如現在可攜帶型冷氣機充斥市面上,它們不用往室外排廢熱氣,就可以提供屋內冷氣,讀者買嗎?

CPU 與 GPU

不管是大型電腦或個人電腦都需具有「中央處理單元」(central process unit,簡稱 CPU)。CPU 是電腦的「腦」,其電子電路負責處理所有軟體正確運作所需的所有任務,如算術、邏輯、控制、輸入和輸出操作等等。雖然早期的設計即可以讓一個指令同時做兩、三件不同的工作;但為了簡單化,我們在這裡所談的工作將只是執行算術和邏輯運算的工作(arithmetic and logic unit,簡稱 ALU),如將兩個數加在一起。在這一簡化的定義下,CPU 在任何一個時刻均只能執行一件工作而已。

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在個人電腦剛出現只能用於一般事物的處理時,CPU 均能非常勝任地完成任務。但電腦圖形和動畫的出現帶來了第一批運算密集型工作負載後,CPU 開始顯示心有餘而力不足:例如電玩動畫需要應用程式處理數以萬計的像素(pixel),每個像素都有自己的顏色、光強度、和運動等, 使得 CPU 根本沒辦法在短時間內完成這些工作。於是出現了主機板上之「顯示插卡」來支援補助 CPU。

1999 年,英偉達將其一「具有集成變換、照明、三角形設定/裁剪、和透過應用程式從模型產生二維或三維影像的單晶片處理器」(註二)定位為「世界上第一款 GPU」,「GPU」這一名詞於焉誕生。不像 CPU,GPU 可以在同一個時刻執行許多算術和邏輯運算的工作,快速地完成圖形和動畫的變化。

依序計算和平行計算

一部電腦 CPU 如何計算 7×5+6/3 呢?因每一時刻只能做一件事,所以其步驟為:

  • 計算 7×5;
  • 計算 6/3;
  • 將結果相加。

總共需要 3 個運算時間。但如果我們有兩個 CPU 呢?很多工作便可以同時(平行)進行:

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  • 同時計算 7×5 及 6/3;
  • 將結果相加。

只需要 2 個運算時間,比單獨的 CPU 減少了一個。這看起來好像沒節省多少時間,但如果我們有 16 對 a×b 要相加呢?單獨的 CPU 需要 31 個運算的時間(16 個 × 的運算時間及 15 個 + 的運算時間),而有 16 個小 CPU 的 GPU 則只需要 5 個運算的時間(1 個 × 的運算時間及 4 個 + 的運算時間)!

現在就讓我們來看看為什麼稱 GPU 為「圖形」處理單元。圖一左圖《我愛科學》一書擺斜了,如何將它擺正成右圖呢? 一句話:「將整個圖逆時針方向旋轉 θ 即可」。但因為左圖是由上百萬個像素點(座標 x, y)組成的,所以這句簡單的話可讓 CPU 忙得不亦樂乎了:每一點的座標都必須做如下的轉換

x’ = x cosθ + y sinθ

y’ = -x sinθ+ y cosθ

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即每一點均需要做四個 × 及兩個 + 的運算!如果每一運算需要 10-6 秒,那麼讓《我愛科學》一書做個簡單的角度旋轉,便需要 6 秒,這豈是電動玩具畫面變化所能接受的?

圖形處理的例子

人類的許多發明都是基於需要的關係,因此電腦硬件設計家便開始思考:這些點轉換都是獨立的,為什麼我們不讓它們同時進行(平行運算,parallel processing)呢?於是專門用來處理「圖形」的處理單元出現了——就是我們現在所知的 GPU。如果一個 GPU 可以同時處理 106 運算,那上圖的轉換只需 10-6 秒鐘!

GPU 的興起

GPU 可分成兩種:

  • 整合式圖形「卡」(integrated graphics)是內建於 CPU 中的 GPU,所以不是插卡,它與 CPU 共享系統記憶體,沒有單獨的記憶體組來儲存圖形/視訊,主要用於大部分的個人電腦及筆記型電腦上;早期英特爾(Intel)因為不讓插卡 GPU 侵蝕主機的地盤,在這方面的研發佔領先的地位,約佔 68% 的市場。
  • 獨立顯示卡(discrete graphics)有不與 CPU 共享的自己專用內存;由於與處理器晶片分離,它會消耗更多電量並產生大量熱量;然而,也正是因為有自己的記憶體來源和電源,它可以比整合式顯示卡提供更高的效能。

2007 年,英偉達發布了可以在獨立 GPU 上進行平行處理的軟體層後,科學家發現獨立 GPU 不但能夠快速處理圖形變化,在需要大量計算才能實現特定結果的任務上也非常有效,因此開啟了為計算密集型的實用題目編寫 GPU 程式的領域。如今獨立 GPU 的應用範圍已遠遠超出當初圖形處理,不但擴大到醫學影像和地震成像等之複雜圖像和影片編輯及視覺化,也應用於駕駛、導航、天氣預報、大資料庫分析、機器學習、人工智慧、加密貨幣挖礦、及分子動力學模擬(註三)等其它領域。獨立 GPU 已成為人工智慧生態系統中不可或缺的一部分,正在改變我們的生活方式及許多行業的遊戲規則。英特爾在這方面發展較遲,遠遠落在英偉達(80%)及超微半導體公司(Advance Micro Devices Inc.,19%,註四)之後,大約只有 1% 的市場。

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典型的CPU與GPU架構

事實上現在的中央處理單元也不再是真正的「單元」,而是如圖二可含有多個可以同時處理運算的核心(core)單元。GPU 犧牲大量快取和控制單元以獲得更多的處理核心,因此其核心功能不如 CPU 核心強大,但它們能同時高速執行大量相同的指令,在平行運算中發揮強大作用。現在電腦通常具有 2 到 64 個核心;GPU 則具有上千、甚至上萬的核心。

結論

我們一看到《我愛科學》這本書,不需要一點一點地從左上到右下慢慢掃描,即可瞬間知道它上面有書名、出版社等,也知道它擺斜了。這種「平行運作」的能力不僅限於視覺,它也延伸到其它感官和認知功能。例如筆者在清華大學授課時常犯的一個毛病是:嘴巴在講,腦筋思考已經不知往前跑了多少公里,常常為了追趕而越講越快,將不少學生拋到腦後!這不表示筆者聰明,因為研究人員發現我們的大腦具有同時處理和解釋大量感官輸入的能力。

人工智慧是一種讓電腦或機器能夠模擬人類智慧和解決問題能力的科技,因此必須如人腦一樣能同時並行地處理許多資料。學過矩陣(matrix)的讀者應該知道,如果用矩陣和向量(vector)表達,上面所談到之座標轉換將是非常簡潔的(註五)。而矩陣和向量計算正是機器學習(machine learning)演算法的基礎!也正是獨立圖形處理單元最強大的功能所在!因此我們可以了解為什麼 GPU 會成為人工智慧開發的基石:它們的架構就是充分利用並行處理,來快速執行多個操作,進行訓練電腦或機器以人腦之思考與學習的方式處理資料——稱為「深度學習」(deep learning)。

黃仁勳在 5 月 22 日的發布業績新聞上謂:「下一次工業革命已經開始了:企業界和各國正與英偉達合作,將價值數萬億美元的傳統資料中心轉變為加速運算及新型資料中心——人工智慧工廠——以生產新商品『人工智慧』。人工智慧將為每個產業帶來顯著的生產力提升,幫助企業降低成本和提高能源效率,同時擴大收入機會。」

附錄

人工智慧的實用例子:下面一段是微軟的「copilot」代書、谷歌的「translate」代譯之「one paragraph summary of GPU and AI」。讀完後,讀者是不是認為筆者該退休了?

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GPU(圖形處理單元)和 AI(人工智慧)之間的協同作用徹底改變了高效能運算領域。GPU 具有平行處理能力,特別適合人工智慧和機器學習所需的複雜資料密集運算。這導致了影像和視訊處理等領域的重大進步,使自動駕駛和臉部辨識等技術變得更加高效和可靠。NVIDIA 開發的平行運算平台 CUDA 進一步提高了 GPU 的效率,使開發人員能夠透過將人工智慧問題分解為更小的、可管理的、可同時處理的任務來解決這些問題。這不僅加快了人工智慧研究的步伐,而且使其更具成本效益,因為 GPU 可以在很短的時間內執行與多個 CPU 相同的任務。隨著人工智慧的不斷發展,GPU 的角色可能會變得更加不可或缺,推動各產業的創新和新的可能性。大腦透過神經元網路實現這一目標,這些神經元網路可以獨立但有凝聚力地工作,使我們能夠執行複雜的任務,例如駕駛、導航、觀察交通信號、聽音樂並同時規劃我們的路線。此外,研究表明,與非人類動物相比,人類大腦具有更多平行通路,這表明我們的神經處理具有更高的複雜性。這個複雜的系統證明了我們認知功能的卓越適應性和效率。我們可以一邊和朋友聊天一邊走在街上,一邊聽音樂一邊做飯,或一邊聽講座一邊做筆記。人工智慧是模擬人類腦神經網路的科技,因此必須能同時並行地來處理許多資料。研究人員發現了人腦通訊網路具有一個在獼猴或小鼠中未觀察獨特特徵:透過多個並行路徑傳輸訊息,因此具有令人難以置信的多任務處理能力。

註解

(註一)當讀者看到此篇文章時,其股票已一股換十股,現在每一股約在 $100 左右。

(註二)組裝或升級過個人電腦的讀者或許還記得「英偉達精視 256」(GeForce 256)插卡吧?

(註三)筆者於 1984 年離開清華大學到 IBM 時,就是參加了被認為全世界使用電腦時間最多的量子化學家、IBM「院士(fellow)」Enrico Clementi 的團隊:因為當時英偉達還未有可以在 GPU 上進行平行處理的軟體層,我們只能自己寫軟體將 8 台中型電腦(非 IBM 品牌!)與一大型電腦連接來做平行運算,進行分子動力學模擬等的科學研究。如果晚生 30 年或許就不會那麼辛苦了?

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(註四)補助個人電腦用的 GPU 品牌到 2000 年時只剩下兩大主導廠商:英偉達及 ATI(Array Technology Inc.)。後者是出生於香港之四位中國人於 1985 年在加拿大安大略省成立,2006 年被超微半導體公司收購,品牌於 2010 年被淘汰。超微半導體公司於 2014 年 10 月提升台南出生之蘇姿豐(Lisa Tzwu-Fang Su)博士為執行長後,股票從每股 $4 左右,上升到今天每股超過 $160,其市值已經是英特爾的兩倍,完全擺脫了在後者陰影下求生存的小眾玩家角色,正在挑戰英偉達的 GPU 市場。順便一題:超微半導體公司現任總裁(兼 AI 策略負責人)為出生於台北的彭明博(Victor Peng);與黃仁勳及蘇姿豐一樣,也是小時候就隨父母親移居到美國。

(註五)

延伸閱讀

  • 熱力學與能源利用」,《科學月刊》,1982 年 3 月號;收集於《我愛科學》(華騰文化有限公司,2017 年 12 月出版),轉載於「嘉義市政府全球資訊網」。
  • 網路安全技術與比特幣」,《科學月刊》,2020 年 11 月號;轉載於「善科教育基金會」的《科技大補帖》專欄。
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賴昭正_96
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成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。

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電影《全面啟動》初階真實版:「互動式做夢」
胡中行_96
・2023/03/09 ・3874字 ・閱讀時間約 8 分鐘

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「我們正在做夢?」「妳其實是在進行中的工作坊睡覺,這是共享夢境的第一課。保持冷靜。」[1]電影《全面啟動》(Inception)於夢裡互動的概念,被美、德、法和荷蘭的科學家,以非常初階的形式實現。2021 年 4 月《當代生物學》(Current Biology)期刊的論文,稱之為「互動式做夢」(interactive dreaming)。[2]

電影《全面啟動》的預告片說:「在夢裡,我們覺得真實;醒來後,才明白事有蹊蹺。」圖/Inception (2010) on IMDB

清醒夢

一個人睡醒後,描述的夢境記憶,多半相當殘破。要是做夢時,能與科學家雙向對談,勢必有利研究。然而,人們易於接受夢裡的經歷,鮮少在當下檢視批判,根本沉迷其中。[2]就像電影預告片所言:「在夢裡,我們覺得真實;醒來後,才明白事有蹊蹺。」[1]唯獨於睡眠的快速動眼期(rapid eye movement sleep),某些人會有罕見的清醒夢(lucid dreams),意識到自己正在夢境之中。這種情形似乎提供了科學家即時訪談的契機。無奈清醒夢一般為自然發生,時機難以掌控。[2]倘若能將任何夢境,轉換為清醒夢,那就方便得多。

電影《全面啟動》的主角靠陀螺是否持續旋轉,分別夢境和現實。圖/Inception (2010) on IMDB

標的清醒再活化

電影畫面上,陀螺不合理地無止盡旋轉,主角提醒他的雇主:「這個世界不是真的。」[1]陀螺是否會停止並倒下,為《全面啟動》中判定虛實的經典線索。換句話說,也是由做普通的夢,轉變為做清醒夢的關鍵。臨床試驗中,進行標的清醒再活化(targeted lucidity reactivation)時,這類線索就是聲音光線等感官刺激。受試者先認識設定來代表清醒的線索,並於即將入睡前加強此連結;睡著且進入快速動眼期後,科學家再次給出的線索,會暗示正在做夢的受試者保持清醒。[2]

就拿此研究裡,美國組的流程為例:首先,科學家設定短促輕柔(650 ms;40-45 dB),音調漸升(400、600和800 Hz)的「嗶、嗶、嗶」三個音,作為線索。訓練受試者將之與清醒的狀態連結。再告訴他們這個線索會出現在睡覺時,以促成清醒夢。接下來的 15 分鐘內,反覆播放 15 次。前 4 次搭配語音指示:「當你聽到線索,你就會清醒。專注於你的思考,並注意心思的流向…(停頓)現在觀察你的身體、知覺和感受…(停頓)觀察你的呼吸…(停頓)維持清醒,保有批判的意識,注意此經驗在哪方面與你平常清醒時不同。」[2]

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受試者通常會在 15 次「嗶、嗶、嗶」結束前睡著。科學家一旦偵測到他們進入快速動眼期,就會以 30 秒為間隔,再度重複播放。當受試者以事前約定好的眼球運動,通知外界他正在做清醒夢,或是在 10 次「嗶、嗶、嗶」後,仍然毫無動靜,互動測試便開始進行。[2][註]

互動式做夢

美、德、法和荷蘭的科學家,總共招募了 36 名志願者。他們涵蓋下列 3 種類型:[2]

  1. 數名具清醒夢經驗的人[2]
  2. 幾個雖無經驗,但訓練後能做清醒夢的健康人士[2]
  3. 白天睡眠過多,容易突然進入快速動眼期,又常做清醒夢的猝睡症(亦稱「嗜睡症」;narcolepsy)患者1名。[2]

他們在做夢時答覆提問;醒來後立即報告夢境與感受。期刊論文中,列舉了下面幾個例子。[2]

互動式做夢示意圖。圖/參考資料 2,Figure 1(CC BY 4.0)

美國組:計算

曾有過 2 次清醒夢的 19 歲美國受試者,在 90 分鐘的白天睡眠過程中,回答簡單的計算問題。首先,他以 3 次連續的眼球左右運動,表達自己進入了清醒夢。於是,科學家就問他「8 減掉 6」等於多少。約莫 3 秒內,他做了 2 次上述的眼球運動。科學家馬上又重複問題,他也再度用相同的方式,給予正確答案。[2]

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醒來之後,這名美國男子分享其經歷:「本來是夜間,於一處停車場。…然後是白晝,我在電玩裡。…我想,好,大概是在做夢。接著很怪…我失去對全身肌肉的控制。有一陣血流洶湧的浪濤聲,朝我的耳朵襲來。」此外,他依稀記得當時的題目與答案。[2]

美國組:右下的 2 個小橙框,圈出快速動眼期(REM)作答時,眼電圖(EOG)的波動。圖/參考資料 2,Figure 2(CC BY 4.0)

德國組:計算

在德國,也有曾做過清醒夢的受試者。這名 35 歲的男子,在夜間睡眠的快速動眼期,以眼球運動表示自己進入了清醒夢。科學家就用 LED 燈改變房間的光線,來發出摩斯密碼。那串訊號的意思是「4 減去 0」,事前受過訓練的男子,則以 4 次左右交替的眼球運動答覆。看起來是答對了,但是他醒來後說,以為題目是「4 加上 0」。[2]

德國男子覺得夢裡的場景,可能是物理治療診所。四周無人,只有架子、櫥櫃和醫師的座椅。當診間的燈光忽明忽滅,他「意識到閃爍的訊號來自外面」,便運動眼球作答。之後,男子尋找發光工具,弄到一只碗。裏頭盛滿的水,竟像魚缸燈管般發出明滅光芒。他知道,又是訊號。偏偏無法判讀,還不小心在解碼時把碗摔破。[2]
  
他離開診間,看室外有無發光工具,卻在抬頭時見到雲彩變化多端:黃澄澄的陽光,灑在淺灰的烏雲上。亮度多元,飄移迅速。他明知是計算題的訊號,卻再度錯失解碼的時機。[2]

德國組:小橙框圈出快速動眼期(REM)作答時,眼電圖(EOG)的波動。圖/參考資料2,Figure 3(CC BY 4.0)

荷蘭組:計算

26 歲的荷蘭受試者,因為記得夢中的細節,並正確回答「1 加上 2」等於「3」,而感到自豪。可惜她在 134 分鐘晨眠的清醒夢起始點,沒有通知科學家,所以儘管 5 題對了 2 題,數據並未允予採計。[2]

「我必須記得事情」,她在夢裡這麼想著,並聽到科學家的聲音。「我坐進車裡…」,那些題目「感覺像是某種車上的廣播」。[2]

荷蘭組:小橙框圈出快速動眼期(REM)作答時,眼電圖(EOG)的波動。圖/參考資料2,Figure 5(CC BY 4.0)

法國組:是非題

法國組招募到 1 名 20 歲的猝睡症患者,他於 16 歲確診,每天平均做 4 次清醒夢。論文形容他「做清醒夢的能力卓越」,能輕易控制夢境。在 20 分鐘白天小睡的第 1 分鐘,他就火速進入快速動眼期,並且於 5 分鐘後開始做清醒夢。科學家問是非題,請他收縮臉部肌肉作答:顴肌(zygomatic muscle)代表「是」;而皺眉肌corrugator muscle)則為「非」。[2]

收縮臉部肌肉:(藍)顴肌代表「是」;而(紅)皺眉肌則為「非」。圖/參考資料2,Figure S6(CC BY 4.0)

「我聽到你的聲音,你簡直像上帝。」猝睡症患者回憶夢裡的派對上,出現猶如電影旁白,來自外面的幾個問題,例如:愛不愛吃巧克力;是否唸生物學;還有會不會講西班牙語。「最後一題我不確定,因為我的西班牙語不流利…終究我決定答『否』,然後回到派對裡去。」[2]

法國組:小紫框圈出快速動眼期(REM),針對「是否看足球賽」,用皺眉肌(corrugator muscle),回答「否」的肌電圖(EMG)波動。圖/參考資料2,Figure 4(CC BY 4.0)

法國組:觸覺

這名法國的猝睡症患者,還有參與觸覺等其他測試。他在清醒夢的過程中,以收縮皺眉肌的次數,來表達自己的手被科學家輕觸了幾下。其答案有時正確,有時錯誤,還有的模稜兩可。[2]

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法國組:小框框圈出用皺眉肌(corrugator muscle),做正確(綠)、錯誤(橙),以及模糊(藍)答案時,肌電圖(EMG)的波動。圖/參考資料 2,Figure S4(CC BY 4.0)

雖然沒有全部答對,但能有此成績,說來也頗不簡單。畢竟他當時正在清醒夢中打怪,並且對自己「能一心這麼多用」,感到吃驚。[2]

互動式做夢的成功率

「這或許可行。」《全面啟動》裡,討論任務計劃時,不意外地下一句台詞就是:「或許?我們需要比『或許』更肯定。」[1]在此研究中,四個國家的團隊,總共做了 57 場互動式做夢的嘗試:26% 的場次裡,受試者依照指示,告知科學家自己進入了清醒夢;而這些成功案例中的 47%,至少答對 1 個題目。整個臨床試驗的答題正確率,僅約 18.4%;多數則是連反應也沒有,其比例高達 60.1%。[2]

目前互動式做夢,仍有一些技術侷限,比方說:外界的提問在夢裡走樣;夢境描述依然仰賴事後回顧;受試者在清醒夢與沉睡的狀態間擺盪;或是標的清醒再活化的聲光,把人叫醒等。不過無論如何,科學家已經得知提問的聲音,如何在夢中呈現:有些像天外之音;有的則會合理化地融入夢境。而且研究結果不僅證實做夢者與外界互動的可能,更展現睡夢中的認知能力。有別於以往,只能在人醒著的各種狀態下試驗;將來科學家應該有機會,比較包含清醒夢在內,不同清醒程度的認知表現,甚至影響夢境內容,來治療心靈創傷或增強學習效果。[2]

  

備註

美國與荷蘭兩組,皆採取標的清醒再活化,但細節稍有差異;法國的猝睡症患者天賦異稟,無須借助外力;而德國組則是睡著後被叫醒,然後又回去睡覺,並在之間做自我暗示的夢境辨識等練習。[2]

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參考資料

  1. Inception (2010) – Quotes’. IMDB. (Accessed on 15 FEB 2023)
  2. Konkoly KR, Appel K, Chabani E, et al. (2021) ‘Real-time dialogue between experimenters and dreamers during REM sleep’. Current Biology, 31 (7): 1417-1427, e6.

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數學魔術之道——《數學大觀念》推薦序
貓頭鷹出版社_96
・2017/05/09 ・2282字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 499 ・六年級

  • 文/賴以威|師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人

有一種符合本書主題的二分法:討厭數學的人跟喜歡數學的人。

前者埋怨:

「數學跟現實脫節。」

後者部分同意這話,他們會說:

「數學是獨立於現實世界的另一個世界。」

請帶點魔幻的色彩來想像以下的畫面:你拿起筆在紙上算數學,簡單的 1+1 或微分方程都可以。然後奇妙的事發生了,你的手穿過紙張,整個人往紙裡墜,你進入了數學的另一個世界。

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圖/Pixapopz @ Pixabay

不需要畫五芒星的魔法陣(我忍住不跟你聊裡面的黃金比例),不需要任何繁瑣的祭祀儀式,只要一張紙、一支筆跟任何一道數學式子,你就能自由進出數學的世界。

受到工程背景的影響,我在分享數學有趣之處時,常常著眼在數學世界與現實世界的連結。現實世界有 500 元鈔票,  500 大卡的手搖飲料,還有台灣搖滾天王伍佰。但從數學世界裡看,他們都是變成了純粹的數字 500。我是個虔誠的信徒,常去廟裡拜拜擲筊,一方面在現實世界裡乞求天神保佑,一方面在數學世界裡和機率之神祈禱。兩個世界之間往返,你很容易看到許多有趣的現象,複雜的問題脫下外皮,被解構成一條條式子;全然不相關的幾件事,在數學世界裡都是一個模樣,這樣的視角媲美從《巡者系列》的幽界裡窺視人界 [註]。

擲茭問事和計算機率有時候只是同一件事情在不同世界裡的體現而已。圖/行天宮官網

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班傑明教授在本書中提供了另一個角度,他直接讓我們探索「數學世界本身的趣味」,不需要來來回回,光是只有數字與幾何圖形的數學世界就夠我們玩得不亦樂乎,讚嘆連連了。請繼續想像,你在數學世界跟團旅行,來到著名景點歐拉公式,導遊難掩興奮之情地說:

「e、i、π、0、1,五個重要又看似毫無關係的數字,竟然被巧妙地整合在一起!」

覺得不夠神奇嗎?可能是符號帶來的隔閡,讓我們換成近似的數字--

〖(2.72)〗^(√(-1)×3.14)+1≈0

這樣或許更有感覺吧。無窮無盡的數字大海中找出來的兩個無理數字,搭配根號 -1 這個被國中小數學課本禁止的虛數,組合起來再 +1 竟然很趨近於0。這是數學世界的大峽谷,展現數學大自然的神功鬼斧。

數學世界裡的歐拉公式,就如同現實世界裡的大峽谷,都是大自然的鬼斧神工之作。圖/KeYang @ Pixabay

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讚嘆完大峽谷之美,我們都會想去告示牌或上網查查它的成因。理當來說你也會想了解歐拉公式背後的原因。導遊風趣地講解,不時穿插其他有趣的知識。你注意到他胸口的名牌:亞瑟.班傑明。

書名《數學魔術之道》把兩個我很喜歡的名詞放在一起。小時候我曾摸著牆壁,百思不得其解為什麼有人可以穿越比這道牆厚上好幾倍的萬里長城,把人身體切一半又復原。雖然當下沒聯想到,但多年後回想,這樣的困擾其實跟面對一道數學難題很相似:盯著一個奇形怪狀的幾何圖形,我覺得不可能算出它的面積,但同時我又清楚知道,下一頁翻過來就是印好的解答。

魔術是很精密的機制,能欺騙人類的直覺。數學同樣很精密,它的本意是補充人類的直覺(有些人可能會說「是為了打擊人的信心」,但我想那是「數學考試」,而不是「數學」本身),讓我們能精準地達成某些事情,簡化某些過程。了解到這點後,你會發現數學跟魔術之間有驚人的相似之處,換個角度,數學就能從惱人的題目變成有趣的魔術。國內也有幾位優秀的數學魔術師:吳如皓、莊惟棟、林壽福幾位老師,都擅長結合數學與魔術,有機會一定要看看他們的表演。班傑明教授更是箇中翹楚,他曾在 TED 上表演過幾個數學魔術,這回他將數學魔術的訣竅放在書裡。魔術很有趣,背後的原理更有價值。

比方說,有一兩個魔術是速算,比起掌握速算技巧,更重要的是了解「為什麼這些技巧有用」,進而思考「該怎麼設計這樣的技巧」。我和我的團隊老師常舉辦給國小學生的「數學實驗課」,裡面恰好也有介紹速算。我們讓小朋友比賽,一些人心算,一些人按計算機,看誰算得快。小朋友覺得很無聊,比賽彷彿不需要開始就知道勝負。

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2+2+2+2+2

1+2+3+7+8+9

題目一打出來,心算的小朋友開心得不得了,一秒內就大喊出答案,按計算機的小朋友很鬱悶,他們也知道答案,偏偏被要求得按下每個數字、符號,怎麼都跟不上心算的速度。

一樣的數字相加,可以用乘法

找到和為 10 的兩組數字

這是深植在每個人心中的速算訣竅,或是用另一個詞來說——規律。比起一個個數字相加,運用題目裡數字的這兩個規律,就能大幅縮短計算時間。數學的本質是發掘規律,化繁為簡。班傑明教授舉了一個很精彩的例子,只要告訴他一個日期(年月日),他就能立刻回答你是星期幾。這只是我們題目的進階再進階版,背後的原理都是一樣,找出規律。

能洞察規律的人,便能得到他人無法得到的資訊,以更快的方式得到資訊,或是,成為一位數學魔術師。這才是數學的真正意義。

  • 註:《巡者系列》是俄國經典魔幻小說,幽界是指超凡人才能進入的,與現實世界平行並存的空間。

 

 

 

本文摘自《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》,貓頭鷹出版

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