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交換禮物抽法其實不公平?數學家教你絕不失敗的玩法

一年一度的聖誕節又快要到了,大家最期待或是最感困擾的事情之一應該就是交換禮物吧!如果是和朋友交換的話,自然是邁向新年之前最期待的事;但如果是在職場上和不熟的同事交換,腦中小劇場演了好多究竟要如何拿捏分寸才好真是十分困擾。

交換禮物是件既期待又害怕傷害的活動!圖/By Kelvin Kay, en:user:kkmd - http://www.factoriaderegalos.comUploaded originally to English Wikipedia as en:Image:Gifts_xmas.jpg, 15:07, 18 June 2006 by en:User:Kkmd, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1478397

交換禮物是件既期待又害怕傷害的活動!圖/By Kelvin Kay, CC BY-SA 3.0, wikimedia commons

西方基督教的聖誕節傳統之一是秘密聖誕老人(Secret Santa),大家在匿名的情況下彼此不知道誰送誰什麼禮物,只知道自己要送哪一個人禮物,所以這活動叫做秘密聖誕老人;但在台灣的交換禮物派對,普遍來說在大庭廣眾之下送禮物、拆禮物、惡搞禮物才是活動的高潮,很少玩匿名的秘密聖誕老人。

今(2016)年 11 月英國數學家漢娜.弗萊(Hannah Fry)以及湯瑪士.伊凡斯(Thomas Oléron Evans)出了一本新書,叫做《聖誕老人的存在是不爭的事實》(The Indisputable Existence of Santa Claus)[1],裡頭就有一章專門介紹交換禮物的數學。無論匿名與否,交換禮物其實有很多種抽法,不同的抽法會影響誰是你/妳的送禮對象。

接下來我們就跟著英國數學家的腳步來看看交換禮物的數學吧!

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聖誕老人的存在是不爭的事實。圖/@ Amazon

第一種是最常見的方法,一個一個輪流抽,如果抽到自己的號碼再把紙條丟回去,算是一種基本常識,總不會有人希望抽到自己的禮物吧。可是如果最後一個人抽到自己的號碼呢?這時候沒有固定的解法,有可能隨便和一個人換禮物,但這種解法除了尷尬之外,同時失去交換禮物的意義;或者是大家全部重抽一次,不過這除了麻煩之外也難保下一次不會再發生同樣的事情,不論哪一種都有點棘手。

對數學家而言,交換禮物只不過是一種排列組合。來看看如果只有三個人交換禮物,抽禮物的順序是如何影響誰送誰的機率!

現在有 A、B、C 三個人玩交換禮物,我們將所有抽籤的可能性整理成以下的圖表,抽到誰就表示要送禮物給誰。當 A 第一個抽,有可能抽到 A、B、C 其中一個,將 A 抽到自己的狀態扣除,以 X 表示,因此這條路線的機率是 0,而這時 A 抽中 B 或 C 的機率各是 1/2。接下來輪到 B 準備抽籤,如果剛剛是 A 抽中了B,那 B 可以抽 A 或是 C 機率各是 1/2,不過這時如果 B 抽到 A 的話,那 C 就只能自己和自己交換禮物,因此也等於交換失敗(X);如果 B 抽到 C,那 C 就只剩下 A 可以抽,機率是 1。A 送 B、B 送 C、C 送 A的機率是 1/2 × 1/2 × 1 = 1/4。

那如果 A 一開始抽到 C 呢,換 B 抽的時候如果抽到自己就會丟回去重抽(X),所以只剩 A 可抽,機率為 1,換 C 抽的時候也只剩下 B 可抽。因此 A 送 C、B 送 A、C 送 B的機率是 1/2 × 1 × 1 = 1/2。

 

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從上圖發現兩條路線中送禮對象的機率竟然不同,C 送 B 的機率竟然是 C 送 A 機率的 2 倍。就算不是 A 先抽也一樣會發生同樣的問題。最常見的交換禮物抽法,實際上會影響送禮對象的機率,很顯然這種抽法並不公平,即使人數較多也是如此。

那如果換個方法大家一起抽呢?也就是一個一個抽卻不當場打開紙條,大家一起打開這樣就不會受到丟回去的紙條影響,可以把這樣的抽法視為一種排列組合。但如果是這種玩法的話,愈多人玩交換禮物,就會有愈高的機率有人抽到自己的禮物,一般來說大約是高達 63 %的機率有人會抽到自己的禮物[2],即使參與人數不同也大約是這個數字。應該沒人會有耐心這樣慢慢玩,只好捨棄第二種大家一起抽的方法。

抽一次就成功的交換禮物方法

從以上的兩種方法可以發現,玩交換禮物需要的是一種不會抽到自己名字的排列組合,在數學上稱為錯位排序(derangement)

英國數學家在書中提出了第三種方法能夠符合錯位排序,又有以下的優點:程序透明(大家自己動手抽不是用電腦)、公平(每個人送給其他人的機率相等)、有效率(一次搞定,絕不會再抽第二次)、秘密(包括主持人在內,沒人知道誰是誰的秘密聖誕老人,雖然這優點在台灣似乎不被認為是優點)。

方法像是下面的圖在紙的上方寫上自己的號碼 「你是 2 號」,下方則是寫上「送禮物給 2 號」,大家分別寫上屬於自己號碼如下:

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再來搜集所有的紙條,將它們翻到背面並將順序打亂,重新排列成一個直線。接著關鍵步驟來了,沿著中間的虛線剪開紙條。接著把紙張上半部(你是 O 號)向右移一個位置,最右邊的紙條則是移到最左邊,如此一來就完成了交換禮物的配對。紙條上面的號碼代表聖誕老人是幾號,下面的則是收禮物的人。最後大家在另外一張紙上填入自己的號碼和名字,如此一來就知道該把禮物送給誰了。

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第三種方法中不會有人抽到自己的號碼沒拿到禮物,而且只要抽一次就能完成,是一種簡單而有效的方法,唯一的小缺點是不會有兩個人互相送禮。英國數學家認為這未必是缺點反而是 Z > B 呢,看來這樣的認知也是文化上的差異。如果不想在聖誕節也感受到職場上表面河蟹的氣氛,可以考慮用第三種方法加上匿名。

話說第一種方法也不是完全沒用,可以用在想要送給心儀的對象卻又不敢直接送,人少少的交換禮物派對之下,不用默默祈禱也不一定要和主持人串通好,透過數學就能知道,如何讓你/妳的禮物送到對方手上的機率增加。

很數學的聖誕節

除了秘密聖誕老人之外,英國數學家還在書中介紹了許多關於聖誕節的數學,像是裝飾聖誕樹的數學、怎樣送禮效果才會好、控制烤雞溫度的方程式、分析與模仿英國女王的聖誕夜談話、聖誕老人在旅途中是胖了還是瘦了?不得不說英國數學家真的相當有創意,讓大家知道數學除了實用之外也很有趣。

而且兩位作者最近在推特上(@FryRsquared 和 @Mathistopheles)舉行聖誕節的「每日數學小活動」(The Indisputable Santa Mathematical Advent Calendar),從 12 月初開始到現在已經累積了許多數學謎題。第一天的活動是開放讀者投稿數學聖誕裝飾,最佳的五名可以獲得他們的新書。最後選出了六名,得獎作品在此網址。有興趣的讀者可以用#Christmaths 這個 hashtag 搜尋,會有更多有趣的貼文和圖片。

參考資料:

  1. Fry, H., Evans, T.O., The Indisputable Existence of Santa Claus, Doubleday, UK, 2016
  2. 黃俊瑋,交換禮物中的機率問題(The probability of exchanging gifts),2014

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關於作者

Shark Lin

本名林家妤,在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃的工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。歡迎追蹤個人 臉書推特 ,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com