GPS 座標計算原理

「我們正在做夢？」「妳其實是在進行中的工作坊睡覺，這是共享夢境的第一課。保持冷靜。」^[1]電影《全面啟動》（Inception）於夢裡互動的概念，被美、德、法和荷蘭的科學家，以非常初階的形式實現。2021 年 4 月《當代生物學》（Current Biology）期刊的論文，稱之為「互動式做夢」（interactive dreaming）。^[2]

清醒夢

一個人睡醒後，描述的夢境記憶，多半相當殘破。要是做夢時，能與科學家雙向對談，勢必有利研究。然而，人們易於接受夢裡的經歷，鮮少在當下檢視批判，根本沉迷其中。^[2]就像電影預告片所言：「在夢裡，我們覺得真實；醒來後，才明白事有蹊蹺。」^[1]唯獨於睡眠的快速動眼期（rapid eye movement sleep），某些人會有罕見的清醒夢（lucid dreams），意識到自己正在夢境之中。這種情形似乎提供了科學家即時訪談的契機。無奈清醒夢一般為自然發生，時機難以掌控。^[2]倘若能將任何夢境，轉換為清醒夢，那就方便得多。

標的清醒再活化

電影畫面上，陀螺不合理地無止盡旋轉，主角提醒他的雇主：「這個世界不是真的。」^[1]陀螺是否會停止並倒下，為《全面啟動》中判定虛實的經典線索。換句話說，也是由做普通的夢，轉變為做清醒夢的關鍵。臨床試驗中，進行標的清醒再活化（targeted lucidity reactivation）時，這類線索就是聲音或光線等感官刺激。受試者先認識設定來代表清醒的線索，並於即將入睡前加強此連結；睡著且進入快速動眼期後，科學家再次給出的線索，會暗示正在做夢的受試者保持清醒。^[2]

就拿此研究裡，美國組的流程為例：首先，科學家設定短促輕柔（650 ms；40－45 dB），音調漸升（400、600和800 Hz）的「嗶、嗶、嗶」三個音，作為線索。訓練受試者將之與清醒的狀態連結。再告訴他們這個線索會出現在睡覺時，以促成清醒夢。接下來的 15 分鐘內，反覆播放 15 次。前 4 次搭配語音指示：「當你聽到線索，你就會清醒。專注於你的思考，並注意心思的流向…（停頓）現在觀察你的身體、知覺和感受…（停頓）觀察你的呼吸…（停頓）維持清醒，保有批判的意識，注意此經驗在哪方面與你平常清醒時不同。」^[2]

受試者通常會在 15 次「嗶、嗶、嗶」結束前睡著。科學家一旦偵測到他們進入快速動眼期，就會以 30 秒為間隔，再度重複播放。當受試者以事前約定好的眼球運動，通知外界他正在做清醒夢，或是在 10 次「嗶、嗶、嗶」後，仍然毫無動靜，互動測試便開始進行。^[2][註]

互動式做夢

美、德、法和荷蘭的科學家，總共招募了 36 名志願者。他們涵蓋下列 3 種類型：^[2]

1. 數名具清醒夢經驗的人。^[2]
2. 幾個雖無經驗，但訓練後能做清醒夢的健康人士。^[2]
3. 白天睡眠過多，容易突然進入快速動眼期，又常做清醒夢的猝睡症（亦稱「嗜睡症」；narcolepsy）患者1名。^[2]

他們在做夢時答覆提問；醒來後立即報告夢境與感受。期刊論文中，列舉了下面幾個例子。^[2]

美國組：計算

曾有過 2 次清醒夢的 19 歲美國受試者，在 90 分鐘的白天睡眠過程中，回答簡單的計算問題。首先，他以 3 次連續的眼球左右運動，表達自己進入了清醒夢。於是，科學家就問他「8 減掉 6」等於多少。約莫 3 秒內，他做了 2 次上述的眼球運動。科學家馬上又重複問題，他也再度用相同的方式，給予正確答案。^[2]

醒來之後，這名美國男子分享其經歷：「本來是夜間，於一處停車場。…然後是白晝，我在電玩裡。…我想，好，大概是在做夢。接著很怪…我失去對全身肌肉的控制。有一陣血流洶湧的浪濤聲，朝我的耳朵襲來。」此外，他依稀記得當時的題目與答案。^[2]

德國組：計算

在德國，也有曾做過清醒夢的受試者。這名 35 歲的男子，在夜間睡眠的快速動眼期，以眼球運動表示自己進入了清醒夢。科學家就用 LED 燈改變房間的光線，來發出摩斯密碼。那串訊號的意思是「4 減去 0」，事前受過訓練的男子，則以 4 次左右交替的眼球運動答覆。看起來是答對了，但是他醒來後說，以為題目是「4 加上 0」。^[2]

德國男子覺得夢裡的場景，可能是物理治療診所。四周無人，只有架子、櫥櫃和醫師的座椅。當診間的燈光忽明忽滅，他「意識到閃爍的訊號來自外面」，便運動眼球作答。之後，男子尋找發光工具，弄到一只碗。裏頭盛滿的水，竟像魚缸燈管般發出明滅光芒。他知道，又是訊號。偏偏無法判讀，還不小心在解碼時把碗摔破。^[2]
　　
他離開診間，看室外有無發光工具，卻在抬頭時見到雲彩變化多端：黃澄澄的陽光，灑在淺灰的烏雲上。亮度多元，飄移迅速。他明知是計算題的訊號，卻再度錯失解碼的時機。^[2]

荷蘭組：計算

26 歲的荷蘭受試者，因為記得夢中的細節，並正確回答「1 加上 2」等於「3」，而感到自豪。可惜她在 134 分鐘晨眠的清醒夢起始點，沒有通知科學家，所以儘管 5 題對了 2 題，數據並未允予採計。^[2]

「我必須記得事情」，她在夢裡這麼想著，並聽到科學家的聲音。「我坐進車裡…」，那些題目「感覺像是某種車上的廣播」。^[2]

法國組：是非題

法國組招募到 1 名 20 歲的猝睡症患者，他於 16 歲確診，每天平均做 4 次清醒夢。論文形容他「做清醒夢的能力卓越」，能輕易控制夢境。在 20 分鐘白天小睡的第 1 分鐘，他就火速進入快速動眼期，並且於 5 分鐘後開始做清醒夢。科學家問是非題，請他收縮臉部肌肉作答：顴肌（zygomatic muscle）代表「是」；而皺眉肌（corrugator muscle）則為「非」。^[2]

「我聽到你的聲音，你簡直像上帝。」猝睡症患者回憶夢裡的派對上，出現猶如電影旁白，來自外面的幾個問題，例如：愛不愛吃巧克力；是否唸生物學；還有會不會講西班牙語。「最後一題我不確定，因為我的西班牙語不流利…終究我決定答『否』，然後回到派對裡去。」^[2]

法國組：觸覺

這名法國的猝睡症患者，還有參與觸覺等其他測試。他在清醒夢的過程中，以收縮皺眉肌的次數，來表達自己的手被科學家輕觸了幾下。其答案有時正確，有時錯誤，還有的模稜兩可。^[2]

雖然沒有全部答對，但能有此成績，說來也頗不簡單。畢竟他當時正在清醒夢中打怪，並且對自己「能一心這麼多用」，感到吃驚。^[2]

互動式做夢的成功率

「這或許可行。」《全面啟動》裡，討論任務計劃時，不意外地下一句台詞就是：「或許？我們需要比『或許』更肯定。」^[1]在此研究中，四個國家的團隊，總共做了 57 場互動式做夢的嘗試：26% 的場次裡，受試者依照指示，告知科學家自己進入了清醒夢；而這些成功案例中的 47%，至少答對 1 個題目。整個臨床試驗的答題正確率，僅約 18.4%；多數則是連反應也沒有，其比例高達 60.1%。^[2]

目前互動式做夢，仍有一些技術侷限，比方說：外界的提問在夢裡走樣；夢境描述依然仰賴事後回顧；受試者在清醒夢與沉睡的狀態間擺盪；或是標的清醒再活化的聲光，把人叫醒等。不過無論如何，科學家已經得知提問的聲音，如何在夢中呈現：有些像天外之音；有的則會合理化地融入夢境。而且研究結果不僅證實做夢者與外界互動的可能，更展現睡夢中的認知能力。有別於以往，只能在人醒著的各種狀態下試驗；將來科學家應該有機會，比較包含清醒夢在內，不同清醒程度的認知表現，甚至影響夢境內容，來治療心靈創傷或增強學習效果。^[2]

備註

美國與荷蘭兩組，皆採取標的清醒再活化，但細節稍有差異；法國的猝睡症患者天賦異稟，無須借助外力；而德國組則是睡著後被叫醒，然後又回去睡覺，並在之間做自我暗示的夢境辨識等練習。^[2]

1. ‘Inception (2010) – Quotes’. IMDB. (Accessed on 15 FEB 2023)
2. Konkoly KR, Appel K, Chabani E, et al. (2021) ‘Real-time dialogue between experimenters and dreamers during REM sleep’. Current Biology, 31 (7): 1417-1427, e6.

• 文／賴以威｜師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人

有一種符合本書主題的二分法：討厭數學的人跟喜歡數學的人。

前者埋怨：

「數學跟現實脫節。」

後者部分同意這話，他們會說：

「數學是獨立於現實世界的另一個世界。」

請帶點魔幻的色彩來想像以下的畫面：你拿起筆在紙上算數學，簡單的 1+1 或微分方程都可以。然後奇妙的事發生了，你的手穿過紙張，整個人往紙裡墜，你進入了數學的另一個世界。

不需要畫五芒星的魔法陣（我忍住不跟你聊裡面的黃金比例），不需要任何繁瑣的祭祀儀式，只要一張紙、一支筆跟任何一道數學式子，你就能自由進出數學的世界。

受到工程背景的影響，我在分享數學有趣之處時，常常著眼在數學世界與現實世界的連結。現實世界有 500 元鈔票，  500 大卡的手搖飲料，還有台灣搖滾天王伍佰。但從數學世界裡看，他們都是變成了純粹的數字 500。我是個虔誠的信徒，常去廟裡拜拜擲筊，一方面在現實世界裡乞求天神保佑，一方面在數學世界裡和機率之神祈禱。兩個世界之間往返，你很容易看到許多有趣的現象，複雜的問題脫下外皮，被解構成一條條式子；全然不相關的幾件事，在數學世界裡都是一個模樣，這樣的視角媲美從《巡者系列》的幽界裡窺視人界 [註]。

班傑明教授在本書中提供了另一個角度，他直接讓我們探索「數學世界本身的趣味」，不需要來來回回，光是只有數字與幾何圖形的數學世界就夠我們玩得不亦樂乎，讚嘆連連了。請繼續想像，你在數學世界跟團旅行，來到著名景點歐拉公式，導遊難掩興奮之情地說：

「e、i、π、0、1，五個重要又看似毫無關係的數字，竟然被巧妙地整合在一起！」

覺得不夠神奇嗎？可能是符號帶來的隔閡，讓我們換成近似的數字－－

〖(2.72)〗^(√(-1)×3.14)+1≈0

這樣或許更有感覺吧。無窮無盡的數字大海中找出來的兩個無理數字，搭配根號 -1 這個被國中小數學課本禁止的虛數，組合起來再 +1 竟然很趨近於0。這是數學世界的大峽谷，展現數學大自然的神功鬼斧。

讚嘆完大峽谷之美，我們都會想去告示牌或上網查查它的成因。理當來說你也會想了解歐拉公式背後的原因。導遊風趣地講解，不時穿插其他有趣的知識。你注意到他胸口的名牌：亞瑟．班傑明。

書名《數學魔術之道》把兩個我很喜歡的名詞放在一起。小時候我曾摸著牆壁，百思不得其解為什麼有人可以穿越比這道牆厚上好幾倍的萬里長城，把人身體切一半又復原。雖然當下沒聯想到，但多年後回想，這樣的困擾其實跟面對一道數學難題很相似：盯著一個奇形怪狀的幾何圖形，我覺得不可能算出它的面積，但同時我又清楚知道，下一頁翻過來就是印好的解答。

魔術是很精密的機制，能欺騙人類的直覺。數學同樣很精密，它的本意是補充人類的直覺（有些人可能會說「是為了打擊人的信心」，但我想那是「數學考試」，而不是「數學」本身），讓我們能精準地達成某些事情，簡化某些過程。了解到這點後，你會發現數學跟魔術之間有驚人的相似之處，換個角度，數學就能從惱人的題目變成有趣的魔術。國內也有幾位優秀的數學魔術師：吳如皓、莊惟棟、林壽福幾位老師，都擅長結合數學與魔術，有機會一定要看看他們的表演。班傑明教授更是箇中翹楚，他曾在 TED 上表演過幾個數學魔術，這回他將數學魔術的訣竅放在書裡。魔術很有趣，背後的原理更有價值。

比方說，有一兩個魔術是速算，比起掌握速算技巧，更重要的是了解「為什麼這些技巧有用」，進而思考「該怎麼設計這樣的技巧」。我和我的團隊老師常舉辦給國小學生的「數學實驗課」，裡面恰好也有介紹速算。我們讓小朋友比賽，一些人心算，一些人按計算機，看誰算得快。小朋友覺得很無聊，比賽彷彿不需要開始就知道勝負。

2+2+2+2+2

1+2+3+7+8+9

題目一打出來，心算的小朋友開心得不得了，一秒內就大喊出答案，按計算機的小朋友很鬱悶，他們也知道答案，偏偏被要求得按下每個數字、符號，怎麼都跟不上心算的速度。

一樣的數字相加，可以用乘法

找到和為 10 的兩組數字

這是深植在每個人心中的速算訣竅，或是用另一個詞來說——規律。比起一個個數字相加，運用題目裡數字的這兩個規律，就能大幅縮短計算時間。數學的本質是發掘規律，化繁為簡。班傑明教授舉了一個很精彩的例子，只要告訴他一個日期（年月日），他就能立刻回答你是星期幾。這只是我們題目的進階再進階版，背後的原理都是一樣，找出規律。

能洞察規律的人，便能得到他人無法得到的資訊，以更快的方式得到資訊，或是，成為一位數學魔術師。這才是數學的真正意義。

• 註：《巡者系列》是俄國經典魔幻小說，幽界是指超凡人才能進入的，與現實世界平行並存的空間。

本文摘自《數學大觀念：從數字到微積分，全面理解數學的 12 大觀念》，貓頭鷹出版。

在中學時代，家裡有台 VHS 錄影機就不錯了，那時幻想著能當科學家的我，只要新聞有什麼科技新知一定錄下，同時心中感嘆，好多先進國家的新穎產品，可能要十年後才會在東南亞的市場上出現吧。可是經過了 VCD、DVD 的年代，現在要看高解析度的 HD 影片，只要能夠上網就行。以前 YouTube 的畫質超爛，沒想到現在第四台的畫質已遠落後很多 YouTube 影片了，科技變化的速度真是一日千里。

過去大學時的電腦螢幕是笨重的 CRT，這不算什麼，我老闆年輕時還用過打孔機當輸出輸入的裝置咧；更傳奇的是據說想當年，台灣史上第一台電腦──IBM650 系統，是用牛車扛到新竹交通大學去的，而且開機向貴賓的表演啟用後就過熱壽終正寢而報廢了。剛上大學，有筆電的同學屈指可數，可是現在我家除了老爸，老媽、弟妹是人手一台 iPad。

我有些年紀稍長的朋友，他們還用過磁帶當儲存設備吧，還有現在絕大多數年輕人都沒看過 5¼ 吋和 3½ 吋磁碟了吧？那就是所謂的 A 槽和 B 槽啊，所以硬碟才是 C 槽。不過現在絕大多數好幾百 MB 甚至上 GB 的程式，也直接上網購買下載安裝了，我現在筆電的光碟機，似乎沒用超過十次了吧。甭說是光碟機，連 USB 碟或外接硬碟也偶爾才用到，很多東西直接上傳到雲端就能備份或分享了。

我小時候立志，長大後一定要買部大英百科全書回家擺！沒想到，長大後，紙本大英百科已經絕版了，現在不僅上網就能到維基百科，還能去編撰條目呢！記得大概大三時，大家突然爭相走告，說可以去一個叫 Google 的網站去搜尋自己的名字，可以找到相關網頁哦！這多麼新奇啊，那時大家主要的入口網站還是 Yahoo! 呢！

初中時，我老爸買了支摩托羅拉的手機，逢人就故意拿出來假裝看簡訊，大家驚呼爭先傳閱的表情，可以讓他爽半天；一直到我大三，班上只有一位同學有手機，到了大四也差不多只有不到一半同學有手機吧，而且都還是智障手機。現在連我那些唸中小學的姪兒們都用智慧手機了，如果有人還在用智障手機，大家還真要傳閱了呢。

都是因為他們的關係

一切彷彿都回不去了，現在只要出門忘了帶手機，千方百計都要回家拿。老實說，我已經不知道過去沒有網路、沒有手機的日子倒底是怎麼過的？現在那些被網路和手機填補的時間，過去自己究竟用來幹什麼啊？無法隨時找得到人，是怎麼能不著急的呀！

還有許多過去流行的事物，如無名小站、ICQ、MSN 等等，也一一走向歷史，可是我們有了 Instagram、Gmail、部落格、臉書、Plurk、Twitter、WhatsApp、LINE 等等。以前新聞上報導的科技新產品，要等好久才會在市面上看到，似乎那些科技新知是科幻，可是現在絕大多數科技產品都是全球同步上市，很多東西都是直接在市場上看到，而非等待好幾載。

這些科技上的方便，或者束縛，都要拜一群超有遠見的阿宅所賜。這本《創新者們：掀起數位革命的天才、怪傑和駭客》（THE INNOVATORS: How a Group of Hackers, Geniuses, and Geeks Created the Digital Revolution）就是在講述這群天才的八卦和故事，是一本令人愛不釋手、趣味盎然的好書！

在 2011 年，《創新者們》作者艾薩克森（Walter Isaacson）已經在《賈伯斯傳》（Steve Jobs）為蘋果電腦創辦人賈伯斯立過了傳（請參見〈傳奇的賈伯斯傳（Steve Jobs）〉）。艾薩克森在《創新者們》要敘述一群阿宅的故事，告訴我們一大群有卓越眼光、不羈創意與無比勇氣的人，如何攜手合作創造出電腦與網路，讓數位時代得以降臨，讓賈伯斯能大展雄才。薩克森也真是位奇才，雖然 IT 產業有許多艱澀的術語，他卻能把阿宅們的故事和人生說得天花亂墜、引人入勝，恨不得自己也能宅一輩子（誤）。

開發表的第一個電腦程式，出自百年前一位熱愛數學的詩人拜倫（Lord Byro）之女愛達（Ada Lovelace）之手，她早就預言的電腦與網路世界。《創新者們》 也一一探索掀起數位革命的秀異之士，具備了什麼樣的特質，其中包括 MIT 的教授布許（Vannevar Bush）、早夭的天才圖靈（Alan M. Turing）、大科學家馮諾伊曼（John von Neumann）、英特爾的諾宜斯（Robert N. Noyce）和摩爾（Gordon E. Moore）、微軟的比爾蓋茲（Bill Gates）、蘋果電腦的賈伯斯（Steven Jobs）、發明 WWW 的柏納－李（Tim Berners-Lee）、谷歌的佩吉（Larry Page）和布林（Sergey Brin）等人。

《創新者們》 揭露了這群天才、怪傑、阿宅和駭客如何思考、為何如此有創造力，還有他們尋求合作的智慧，以及如何借助群體合作之力，使創造力更上層樓。很有趣的，在《創新者們》裡，不少開天僻地的創新者們，都不見得有正式的學位，有些連正式的大學都未必上過，而且也幹過不少違法犯紀的事。如果是在台灣這個高度重視學歷和紀律的社會，他們這些曠世奇才恐怕就淪為社會邊緣人了吧？

《創新者們》的故事，尤其到了後半部，大多發生在北加州，也就是在舊金山灣區的矽谷。我唸書的學校離矽谷大約一個半小時車程（正常速度開的話），因為有好友在矽谷工作，所以也蠻常過去的。矽谷是有名的冒險者天堂，據說矽谷裡開公司的老闆，半均倒過七家公司。可是，在那裡只要敢提出好的主意，敢找人要錢，就有創投公司願意投注，他們不僅仍有西部拓荒的冒險精神，而且還信仰不以成敗論英雄的價值觀。 《創新者們》或許是口口聲聲談創新的政商名流該人手一本的吧，讓我們見識創新是怎麼一回事，而非僅是嘴炮而已。《創新者們》提出，數位年代的創新有三種組成團隊的方式，一種是政府出資整合，電腦原型機和網際網路前身 ARPANET 就是政府主導和資助的，並且形成產官學三方合作；第二種是由私人企業領軍，像是富有創意的公司如德州儀器、INTEL、Google、微軟和蘋果，他們創新的動力是豐厚的獲利；第三種是同儕共有生產制，也產生了好用的產品如 GNU/Linux、OpenOffice、FireFox 和維基百科等等。

這三種團隊方式都為我們創新性地生產了很多好用的產品，缺一不可。有些右派保守人士一味批評政府不該資助科研，因為政府效率低等等，認為只有私人企業才有真正的創新。這顯然是錯的，《創新者們》和吳修銘（Tim Wu）的《誰控制了總開關？》（The Master Switch: The Rise and Fall of Information Empires）甚至舉出實例，指出試圖扼殺創新的，大企業也曾經有份哦！（請參見〈到底是誰控制了總開關？〉）如果沒有政府資助，讓學術界可以打造出當時還不實用的機器等等，電腦的發明恐怕要落後了好幾十年了吧？如果沒有大量政府資助的基礎研究，現在生技公司哪來那麼多基礎知識去搞生技新藥？僅因為政治信仰就一味反對政府資助基礎研究，是不折不扣的睜眼說瞎話。

我有位朋友前陣子參觀了加州舊金山灣區山景市的計算機歷史博物館（Computer History Museum），拍了一個很有趣的影片示範了差分機（Difference engine）的運作（以下影片出自網路）：

雖然看影片時有幾位朋友是唸資訊科學出身的，可是他們也不知道差分機的實際用途。歷史上的差分機一號（Difference Engine No.1）是英國科學家查爾斯‧巴貝奇（Charles Babbage）研發的自動化數學機器，由英國政府出資，工匠克里門（Joseph Clement）打造，預計完工需要 25,000 個零件。巴貝奇不斷延後完成期限的嚴重超支（英國政府在 1842 年的最後清算發現整個計畫一共讓國庫支出了 17,500 鎊）。《創新者們》在追溯電腦科技的歷史，故事的源頭就是巴貝爾設計差分機以及和愛達的友誼。

科技背後，全是有溫度的人

愛達和巴貝奇認識於 1833 年，之後一直有維持通訊，因此對巴貝奇在差分機和分析機引擎方面的進展頗有了解。1842 到 1843 年間，愛達翻譯了一位義大利數學家（後來當上義大利首相）費德里科‧路易吉（Federico Luigi）關於講述巴貝奇分析機的論文時，應巴貝奇的要求在後面附上了譯者評注，她的譯者評注比原文還長、影響力更大，愛達在其中用非常詳細的描述，設想了如果分析機成真的話，要如何用它來求伯努利數列（Bernoulli number）的值，被認為是世界上第一個電腦程式，因此愛達也被認為是世界上第一位程式設計師。在 1980 年，美國國防部製作了一個新的電腦語言，就命名為 Ada。英國計算機公會每年都頒發以愛達為名的獎項。《創新者們》算是為愛達致敬的。

即使不是 IT 宅，也會發現《創新者們》很有啟發性。IT 科技已深入我們每一天的生活，並非是個陌生的國度，《創新者們》用很有趣的方式，讓我們瞭解到主修資科的朋友在課堂上都未必學到的故事和八卦，除了寓意深遠，還很有娛樂效果，是本寓教於樂的好書！

本文原刊登於閱讀‧最前線【GENE思書軒】，並同步刊登於 The Sky of Gene。