GPS 座標計算原理

本文由 高柏科技 合作，泛科學撰文

林唯耕剛回台灣任教時，曾在清華大學的實驗室裡用一立方公分的「氨」做實驗。沒想到氨氣意外洩漏，那股刺鼻的氣味瞬間瀰漫整棟大樓，引來眾多師生抗議。

「從此以後，我再也不敢在實驗室裡用氨了。」他在《思想實驗室》的訪談中，帶著笑意回憶這段往事。

這段插曲聽來像是一則工程師的寓言：在理論模型中，氨是太空熱控系統的理想介質；但在現實的辦公大樓裡，它首先是逼人逃竄的臭味。公式本身沒有錯，但現實世界永遠比公式更複雜——它包含了人、成本、風險，以及必須為後果負責的工程師。

高柏科技技術專家、清華大學榮譽退休教授林唯耕 ，曾任職於美國 OAO 工程部熱流組，深耕電子構裝散熱與熱管技術多年。隨著 AI 浪潮席捲全球，他鑽研一輩子的老問題再次被推向科技產業的核心：當晶片運算速度無止境攀升，那股伴隨而生的熱，究竟該往哪裡去？

熱不會讀新品發表會

科技巨頭在發表會上熱衷於談論大型語言模型、GPU 規格與驚人的算力。這些詞彙在投影片上光鮮亮麗，彷彿進步毫無邊界。然而，每一次數位運算都紮實地發生在實體晶片上。晶片會發熱、材料會疲勞老化，一旦設備過熱，系統便會降頻保護。在物理現實面前，再動聽的發表會敘事也必須低頭。

回顧個人電腦發展早期，晶片幾乎不需專屬散熱元件。隨後，鋁製鰭片、風扇、熱管到均溫板逐一登場。這段歷程常被視為技術升級，其實更像是對空間的極限勒索：晶片功率翻倍，發熱源的面積卻沒變大，機箱空間也不可能無限擴張。

林唯耕指出，散熱設計的核心只有三要素：功率、熱源面積與空間限制。他舉例，在標準的 1U 機箱中，若發熱面積約為三十乘三十毫米，氣冷系統在達到八百瓦時就會面臨瓶頸。這並非固定的物理常數，而是取決於空間、面積與氣流的動態平衡。最現實的代價在於，風扇轉速提升的背後，是噪音、電力損耗與空間占用。

因此，「液冷技術」的興起並非單純為了追求酷炫，而是算力密度提升後的必然選擇。它能更精準地帶走晶片廢熱，卻也將新的挑戰帶入機房：漏液風險、流道堵塞、材料相容性，以及維運時的難度。工程的進步，本質上鮮少是徹底消滅問題，更多時候是選擇一組「比較值得承擔」的新問題。

太空教他的，不是把答案搬回地面

太空熱控工程之所以迷人，是因為它剝奪了地球上最常見的散熱工具。在真空宇宙中，沒有空氣能讓風扇製造對流；受光面溫度破百度，陰影處卻極度嚴寒。工程師必須純粹仰賴熱傳導、熱輻射，以及熱管與環路型熱管（LHP）來搬移熱能。

熱管運作的關鍵在於「相變」——液體蒸發時吸收大量潛熱，冷凝後重回循環。林唯耕比較了銅與水的熱傳導能力：在他設定的特定條件下，實心銅塊約能傳導 120 瓦的熱能；但若每秒有一立方公分的水發生蒸發相變，移熱量可瞬間拉升至 2.4 千瓦（kW）。他強調「每秒」的觀念，因為散熱談的是動態流動速率，而非靜態的冷卻魔法。

儘管如此，太空科技並不能直接套用到地面。太空元件因考量重量、功耗與維修難度，偏好無馬達幫浦的被動式設計；但地面 AI 伺服器面臨更高的熱負載與環境溫度，往往仍需幫浦驅動流量。當年那場「氨氣洩漏」事故正是最好的提醒：技術是否「先進」，與它是否「適合」當下的場景，始終是兩回事。

好論文，為什麼仍可能造不出好產品

學術研究致力於證明「可行性」，而工業現場則要求「可重複性」——不僅要能運作，還得確保每台出廠的設備都不漏水。林唯耕將此定義為「從 0 到 1」與「從 1 到 100」的差別。後者涉及良率、成本、公差與客戶信任。論文中那次最完美的實驗數據，在產線上往往未必管用。

他從不避談失敗。在高柏科技早期與學界合作時，也曾遇過實驗數據無法複製，或研究方向偏離產業需求。這未必是雙方努力不夠，而是彼此對「成功」的標準不同。為了解決這道鴻溝，高柏科技推動「柏苗啟航創新培育計畫」，每年投入逾千萬資金與成大、中山、台科大等校合作，並指派專業人才在過程中持續微調、校正，確保研發貼近產線現實。

他分享了近期一項液冷工質校正專案。團隊使用非侵入式的超音波流量計進行觀測，但由於儀器預設以「水」校正，換成其他化學流體後讀數便出現誤差。最初嘗試用幫浦壓差推算，卻發現缺乏重複性，數據甚至推導出不合理的蒸發率。最後團隊回歸基本面，改用秤重法搭配能量平衡進行交叉驗證，才讓數據成功收斂。

這個故事真正的價值不在於「產學雙贏」的口號，而在於那段不夠優雅的挫折：假設失效、數據混亂、方法砍掉重練。也正是在這種時刻，企業需要的不只是會算數的人才，而是能洞察研究何時「走鐘」，並有權力喊停、要求重來的關鍵決策者。

林唯耕坦言，過去在校園裡總認為「技術第一、成本第二」，進入商界後才驚覺行銷與信任關係往往才是關鍵。這番話雖然不如科技突破那樣動聽，卻是產品能否進入市場的殘酷真相。再卓越的散熱設計，若無法穩定生產或贏得客戶信任，也僅止於一份精美的報告。

AI 會給答案，誰來負責出貨？

訪談尾聲，主持人國威提出了一個時代難題：假設 AI 能在彈指間生成散熱架構、材料配方與流道設計，企業該選擇全面擁抱 AI 的速度，還是保留緩慢但穩定的工程驗證，以規避潛在的失效風險？

林唯耕拒絕落入二選一的框架。他的觀點是：兩者並存。AI 擅長處理資訊、生成草案；但工程師仍須實作原型，進行嚴苛的性能與可靠度測試，最終由人決定是否出貨。這並非盲目崇拜人類直覺，而是基於一項事實：AI 的資料庫裡，通常沒記載下一次「意外洩漏」或「材料疲勞」的細節，且模型永遠無法為量產結果擔負法律與商業責任。

在 AI 時代，最稀缺的未必是熟練下指令（Prompt）的人，而是具備這種能力的人：能預判答案可能在哪裡出錯、能設計實驗將問題「逼」出來，並且願意為最終的量產品質負起責任。

大眾習慣將雲端想像成輕盈、無重量的空間。但現實中，雲端是由龐大的機房架構而成，裡面裝滿了晶片、管線、泵浦與冷卻液。虛擬算力的每一次擴張，都會在實體世界留下發熱的足跡。散熱工程師的價值，就是不讓這筆物理帳單，被埋沒在光鮮亮麗的投影片背後。

「我們正在做夢？」「妳其實是在進行中的工作坊睡覺，這是共享夢境的第一課。保持冷靜。」^[1]電影《全面啟動》（Inception）於夢裡互動的概念，被美、德、法和荷蘭的科學家，以非常初階的形式實現。2021 年 4 月《當代生物學》（Current Biology）期刊的論文，稱之為「互動式做夢」（interactive dreaming）。^[2]

清醒夢

一個人睡醒後，描述的夢境記憶，多半相當殘破。要是做夢時，能與科學家雙向對談，勢必有利研究。然而，人們易於接受夢裡的經歷，鮮少在當下檢視批判，根本沉迷其中。^[2]就像電影預告片所言：「在夢裡，我們覺得真實；醒來後，才明白事有蹊蹺。」^[1]唯獨於睡眠的快速動眼期（rapid eye movement sleep），某些人會有罕見的清醒夢（lucid dreams），意識到自己正在夢境之中。這種情形似乎提供了科學家即時訪談的契機。無奈清醒夢一般為自然發生，時機難以掌控。^[2]倘若能將任何夢境，轉換為清醒夢，那就方便得多。

標的清醒再活化

電影畫面上，陀螺不合理地無止盡旋轉，主角提醒他的雇主：「這個世界不是真的。」^[1]陀螺是否會停止並倒下，為《全面啟動》中判定虛實的經典線索。換句話說，也是由做普通的夢，轉變為做清醒夢的關鍵。臨床試驗中，進行標的清醒再活化（targeted lucidity reactivation）時，這類線索就是聲音或光線等感官刺激。受試者先認識設定來代表清醒的線索，並於即將入睡前加強此連結；睡著且進入快速動眼期後，科學家再次給出的線索，會暗示正在做夢的受試者保持清醒。^[2]

就拿此研究裡，美國組的流程為例：首先，科學家設定短促輕柔（650 ms；40－45 dB），音調漸升（400、600和800 Hz）的「嗶、嗶、嗶」三個音，作為線索。訓練受試者將之與清醒的狀態連結。再告訴他們這個線索會出現在睡覺時，以促成清醒夢。接下來的 15 分鐘內，反覆播放 15 次。前 4 次搭配語音指示：「當你聽到線索，你就會清醒。專注於你的思考，並注意心思的流向…（停頓）現在觀察你的身體、知覺和感受…（停頓）觀察你的呼吸…（停頓）維持清醒，保有批判的意識，注意此經驗在哪方面與你平常清醒時不同。」^[2]

受試者通常會在 15 次「嗶、嗶、嗶」結束前睡著。科學家一旦偵測到他們進入快速動眼期，就會以 30 秒為間隔，再度重複播放。當受試者以事前約定好的眼球運動，通知外界他正在做清醒夢，或是在 10 次「嗶、嗶、嗶」後，仍然毫無動靜，互動測試便開始進行。^[2][註]

互動式做夢

美、德、法和荷蘭的科學家，總共招募了 36 名志願者。他們涵蓋下列 3 種類型：^[2]

1. 數名具清醒夢經驗的人。^[2]
2. 幾個雖無經驗，但訓練後能做清醒夢的健康人士。^[2]
3. 白天睡眠過多，容易突然進入快速動眼期，又常做清醒夢的猝睡症（亦稱「嗜睡症」；narcolepsy）患者1名。^[2]

他們在做夢時答覆提問；醒來後立即報告夢境與感受。期刊論文中，列舉了下面幾個例子。^[2]

美國組：計算

曾有過 2 次清醒夢的 19 歲美國受試者，在 90 分鐘的白天睡眠過程中，回答簡單的計算問題。首先，他以 3 次連續的眼球左右運動，表達自己進入了清醒夢。於是，科學家就問他「8 減掉 6」等於多少。約莫 3 秒內，他做了 2 次上述的眼球運動。科學家馬上又重複問題，他也再度用相同的方式，給予正確答案。^[2]

醒來之後，這名美國男子分享其經歷：「本來是夜間，於一處停車場。…然後是白晝，我在電玩裡。…我想，好，大概是在做夢。接著很怪…我失去對全身肌肉的控制。有一陣血流洶湧的浪濤聲，朝我的耳朵襲來。」此外，他依稀記得當時的題目與答案。^[2]

德國組：計算

在德國，也有曾做過清醒夢的受試者。這名 35 歲的男子，在夜間睡眠的快速動眼期，以眼球運動表示自己進入了清醒夢。科學家就用 LED 燈改變房間的光線，來發出摩斯密碼。那串訊號的意思是「4 減去 0」，事前受過訓練的男子，則以 4 次左右交替的眼球運動答覆。看起來是答對了，但是他醒來後說，以為題目是「4 加上 0」。^[2]

德國男子覺得夢裡的場景，可能是物理治療診所。四周無人，只有架子、櫥櫃和醫師的座椅。當診間的燈光忽明忽滅，他「意識到閃爍的訊號來自外面」，便運動眼球作答。之後，男子尋找發光工具，弄到一只碗。裏頭盛滿的水，竟像魚缸燈管般發出明滅光芒。他知道，又是訊號。偏偏無法判讀，還不小心在解碼時把碗摔破。^[2]
　　
他離開診間，看室外有無發光工具，卻在抬頭時見到雲彩變化多端：黃澄澄的陽光，灑在淺灰的烏雲上。亮度多元，飄移迅速。他明知是計算題的訊號，卻再度錯失解碼的時機。^[2]

荷蘭組：計算

26 歲的荷蘭受試者，因為記得夢中的細節，並正確回答「1 加上 2」等於「3」，而感到自豪。可惜她在 134 分鐘晨眠的清醒夢起始點，沒有通知科學家，所以儘管 5 題對了 2 題，數據並未允予採計。^[2]

「我必須記得事情」，她在夢裡這麼想著，並聽到科學家的聲音。「我坐進車裡…」，那些題目「感覺像是某種車上的廣播」。^[2]

法國組：是非題

法國組招募到 1 名 20 歲的猝睡症患者，他於 16 歲確診，每天平均做 4 次清醒夢。論文形容他「做清醒夢的能力卓越」，能輕易控制夢境。在 20 分鐘白天小睡的第 1 分鐘，他就火速進入快速動眼期，並且於 5 分鐘後開始做清醒夢。科學家問是非題，請他收縮臉部肌肉作答：顴肌（zygomatic muscle）代表「是」；而皺眉肌（corrugator muscle）則為「非」。^[2]

「我聽到你的聲音，你簡直像上帝。」猝睡症患者回憶夢裡的派對上，出現猶如電影旁白，來自外面的幾個問題，例如：愛不愛吃巧克力；是否唸生物學；還有會不會講西班牙語。「最後一題我不確定，因為我的西班牙語不流利…終究我決定答『否』，然後回到派對裡去。」^[2]

法國組：觸覺

這名法國的猝睡症患者，還有參與觸覺等其他測試。他在清醒夢的過程中，以收縮皺眉肌的次數，來表達自己的手被科學家輕觸了幾下。其答案有時正確，有時錯誤，還有的模稜兩可。^[2]

雖然沒有全部答對，但能有此成績，說來也頗不簡單。畢竟他當時正在清醒夢中打怪，並且對自己「能一心這麼多用」，感到吃驚。^[2]

互動式做夢的成功率

「這或許可行。」《全面啟動》裡，討論任務計劃時，不意外地下一句台詞就是：「或許？我們需要比『或許』更肯定。」^[1]在此研究中，四個國家的團隊，總共做了 57 場互動式做夢的嘗試：26% 的場次裡，受試者依照指示，告知科學家自己進入了清醒夢；而這些成功案例中的 47%，至少答對 1 個題目。整個臨床試驗的答題正確率，僅約 18.4%；多數則是連反應也沒有，其比例高達 60.1%。^[2]

目前互動式做夢，仍有一些技術侷限，比方說：外界的提問在夢裡走樣；夢境描述依然仰賴事後回顧；受試者在清醒夢與沉睡的狀態間擺盪；或是標的清醒再活化的聲光，把人叫醒等。不過無論如何，科學家已經得知提問的聲音，如何在夢中呈現：有些像天外之音；有的則會合理化地融入夢境。而且研究結果不僅證實做夢者與外界互動的可能，更展現睡夢中的認知能力。有別於以往，只能在人醒著的各種狀態下試驗；將來科學家應該有機會，比較包含清醒夢在內，不同清醒程度的認知表現，甚至影響夢境內容，來治療心靈創傷或增強學習效果。^[2]

備註

美國與荷蘭兩組，皆採取標的清醒再活化，但細節稍有差異；法國的猝睡症患者天賦異稟，無須借助外力；而德國組則是睡著後被叫醒，然後又回去睡覺，並在之間做自我暗示的夢境辨識等練習。^[2]

參考資料

1. ‘Inception (2010) – Quotes’. IMDB. (Accessed on 15 FEB 2023)
2. Konkoly KR, Appel K, Chabani E, et al. (2021) ‘Real-time dialogue between experimenters and dreamers during REM sleep’. Current Biology, 31 (7): 1417-1427, e6.

• 文／賴以威｜師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人

有一種符合本書主題的二分法：討厭數學的人跟喜歡數學的人。

前者埋怨：

「數學跟現實脫節。」

後者部分同意這話，他們會說：

「數學是獨立於現實世界的另一個世界。」

請帶點魔幻的色彩來想像以下的畫面：你拿起筆在紙上算數學，簡單的 1+1 或微分方程都可以。然後奇妙的事發生了，你的手穿過紙張，整個人往紙裡墜，你進入了數學的另一個世界。

不需要畫五芒星的魔法陣（我忍住不跟你聊裡面的黃金比例），不需要任何繁瑣的祭祀儀式，只要一張紙、一支筆跟任何一道數學式子，你就能自由進出數學的世界。

受到工程背景的影響，我在分享數學有趣之處時，常常著眼在數學世界與現實世界的連結。現實世界有 500 元鈔票，  500 大卡的手搖飲料，還有台灣搖滾天王伍佰。但從數學世界裡看，他們都是變成了純粹的數字 500。我是個虔誠的信徒，常去廟裡拜拜擲筊，一方面在現實世界裡乞求天神保佑，一方面在數學世界裡和機率之神祈禱。兩個世界之間往返，你很容易看到許多有趣的現象，複雜的問題脫下外皮，被解構成一條條式子；全然不相關的幾件事，在數學世界裡都是一個模樣，這樣的視角媲美從《巡者系列》的幽界裡窺視人界 [註]。

班傑明教授在本書中提供了另一個角度，他直接讓我們探索「數學世界本身的趣味」，不需要來來回回，光是只有數字與幾何圖形的數學世界就夠我們玩得不亦樂乎，讚嘆連連了。請繼續想像，你在數學世界跟團旅行，來到著名景點歐拉公式，導遊難掩興奮之情地說：

「e、i、π、0、1，五個重要又看似毫無關係的數字，竟然被巧妙地整合在一起！」

覺得不夠神奇嗎？可能是符號帶來的隔閡，讓我們換成近似的數字－－

〖(2.72)〗^(√(-1)×3.14)+1≈0

這樣或許更有感覺吧。無窮無盡的數字大海中找出來的兩個無理數字，搭配根號 -1 這個被國中小數學課本禁止的虛數，組合起來再 +1 竟然很趨近於0。這是數學世界的大峽谷，展現數學大自然的神功鬼斧。

讚嘆完大峽谷之美，我們都會想去告示牌或上網查查它的成因。理當來說你也會想了解歐拉公式背後的原因。導遊風趣地講解，不時穿插其他有趣的知識。你注意到他胸口的名牌：亞瑟．班傑明。

書名《數學魔術之道》把兩個我很喜歡的名詞放在一起。小時候我曾摸著牆壁，百思不得其解為什麼有人可以穿越比這道牆厚上好幾倍的萬里長城，把人身體切一半又復原。雖然當下沒聯想到，但多年後回想，這樣的困擾其實跟面對一道數學難題很相似：盯著一個奇形怪狀的幾何圖形，我覺得不可能算出它的面積，但同時我又清楚知道，下一頁翻過來就是印好的解答。

魔術是很精密的機制，能欺騙人類的直覺。數學同樣很精密，它的本意是補充人類的直覺（有些人可能會說「是為了打擊人的信心」，但我想那是「數學考試」，而不是「數學」本身），讓我們能精準地達成某些事情，簡化某些過程。了解到這點後，你會發現數學跟魔術之間有驚人的相似之處，換個角度，數學就能從惱人的題目變成有趣的魔術。國內也有幾位優秀的數學魔術師：吳如皓、莊惟棟、林壽福幾位老師，都擅長結合數學與魔術，有機會一定要看看他們的表演。班傑明教授更是箇中翹楚，他曾在 TED 上表演過幾個數學魔術，這回他將數學魔術的訣竅放在書裡。魔術很有趣，背後的原理更有價值。

比方說，有一兩個魔術是速算，比起掌握速算技巧，更重要的是了解「為什麼這些技巧有用」，進而思考「該怎麼設計這樣的技巧」。我和我的團隊老師常舉辦給國小學生的「數學實驗課」，裡面恰好也有介紹速算。我們讓小朋友比賽，一些人心算，一些人按計算機，看誰算得快。小朋友覺得很無聊，比賽彷彿不需要開始就知道勝負。

2+2+2+2+2

1+2+3+7+8+9

題目一打出來，心算的小朋友開心得不得了，一秒內就大喊出答案，按計算機的小朋友很鬱悶，他們也知道答案，偏偏被要求得按下每個數字、符號，怎麼都跟不上心算的速度。

一樣的數字相加，可以用乘法

找到和為 10 的兩組數字

這是深植在每個人心中的速算訣竅，或是用另一個詞來說——規律。比起一個個數字相加，運用題目裡數字的這兩個規律，就能大幅縮短計算時間。數學的本質是發掘規律，化繁為簡。班傑明教授舉了一個很精彩的例子，只要告訴他一個日期（年月日），他就能立刻回答你是星期幾。這只是我們題目的進階再進階版，背後的原理都是一樣，找出規律。

能洞察規律的人，便能得到他人無法得到的資訊，以更快的方式得到資訊，或是，成為一位數學魔術師。這才是數學的真正意義。

• 註：《巡者系列》是俄國經典魔幻小說，幽界是指超凡人才能進入的，與現實世界平行並存的空間。

本文摘自《數學大觀念：從數字到微積分，全面理解數學的 12 大觀念》，貓頭鷹出版。