GPS 座標計算原理

本文與 PAMO車禍線上律師 合作，泛科學企劃執行

走在台灣的街頭，你是否發現馬路變得越來越「急躁」？滿街穿梭的外送員、分秒必爭的多元計程車，為了拚單量與獎金，每個人都在跟時間賽跑 。與此同時，拜經濟發展所賜，路上的豪車也變多了 。

這場關於速度與金錢的博弈，讓車禍不再只是一場意外，更是一場複雜的經濟算計。PAMO 車禍線上律師施尚宏律師在接受《思想實驗室 video podcast》訪談時指出，我們正處於一個交通生態的轉折點，當「把車當生財工具」的職業駕駛，撞上了「將車視為珍貴資產」的豪車車主，傳統的理賠邏輯往往會失靈 。

在「停工即停薪」（有跑才有錢，沒跑就沒收入）的零工經濟時代，如果運氣不好遇上車禍，我們該如何證明自己的時間價值？又該如何在保險無法覆蓋的灰色地帶中全身而退？

薪資證明的難題：零工經濟者的「隱形損失」

過去處理車禍理賠，邏輯相對單純：拿出公司的薪資單或扣繳憑單，計算這幾個月的平均薪資，就能算出因傷停工的「薪資損失」。

但在零工經濟時代，這套邏輯卡關了！施尚宏律師指出，許多外送員、自由接案者或是工地打工者，他們的收入往往是領現金，或者分散在多個不同的 App 平台中 。更麻煩的是，零工經濟的特性是「高度變動」，上個月可能拚了 7 萬，這個月休息可能只有 0 元，導致「平均收入」難以定義 。

這時候，律師的角色就不只是法條的背誦者，更像是一名「翻譯」。

施律師解釋「PAMO車禍線上律師的工作是把外送員口中零散的『跑單損失』，轉譯成法官或保險公司聽得懂的法律語言。」 這包括將不同平台（如 Uber、台灣大車隊）的流水帳整合，或是找出過往的接單紀錄來證明當事人的「勞動能力」。即使當下沒有收入（例如學生開學期間），只要能證明過往的接單能力與紀錄，在談判桌上就有籌碼要求合理的「勞動力減損賠償 」。

300 萬張罰單背後的僥倖：你的直覺，正在害死你

根據警政署統計，台灣交通違規的第一名常年是「違規停車」，一年可以開出約 300 萬張罰單 。這龐大的數字背後，藏著兩個台灣駕駛人最容易誤判的「直覺陷阱」。

陷阱 A：我在紅線違停，人還在車上，沒撞到也要負責？ 許多人認為：「我人就在車上，車子也沒動，甚至是熄火狀態。結果一台機車為了閃避我，自己操作不當摔倒了，這關我什麼事？」

施律師警告，這是一個致命的陷阱。「人在車上」或「車子沒動」在法律上並不是免死金牌 。法律看重的是「因果關係」。只要你的違停行為阻礙了視線或壓縮了車道，導致後方車輛必須閃避而發生事故，你就可能必須背負民事賠償責任，甚至揹上「過失傷害」的刑責 。 

數據會說話： 台灣每年約有 700 件車禍是直接因違規停車導致的 。這 300 萬張罰單背後的僥倖心態，其巨大的代價可能是人命。

陷阱 B：變換車道沒擦撞，對方自己嚇到摔車也算我的？ 另一個常年霸榜的肇事原因是「變換車道不當」 。如果你切換車道時，後方騎士因為嚇到而摔車，但你感覺車身「沒震動、沒碰撞」，能不能直接開走？

答案是：絕對不行。

施律師強調，車禍不以「碰撞」為前提 。只要你的駕駛行為與對方的事故有因果關係，你若直接離開現場，在法律上就構成了「肇事逃逸」。這是一條公訴罪，後果遠比你想像的嚴重。正確的做法永遠是：停下來報警，釐清責任，並保留行車記錄器自保 。

保險不夠賠？豪車時代的「超額算計」

另一個現代駕駛的惡夢，是撞到豪車。這不僅是因為修車費貴，更因為衍生出的「代步費用」驚人。

施律師舉例，過去撞到車，只要把車修好就沒事。但現在如果撞到一台 BMW 320，車主可能會主張修車的 8 天期間，他需要租一台同等級的 BMW 320 來代步 。以一天租金 4000 元計算，光是代步費就多了 3 萬多塊 。這時候，一般人會發現「全險」竟然不夠用。為什麼？

因為保險公司承擔的是「合理的賠償責任」，他們有內部的數據庫，只願意賠償一般行情的修車費或代步費 。但對方車主可能不這麼想，為了拿到這筆額外的錢，對方可能會採取「以刑逼民」的策略：提告過失傷害，利用刑事訴訟的壓力（背上前科的恐懼），迫使你自掏腰包補足保險公司不願賠償的差額 。

這就是為什麼在全險之外，駕駛人仍需要懂得談判策略，或考慮尋求律師協助，在保險公司與對方的漫天喊價之間，找到一個停損點 。

談判桌的最佳姿態：「溫柔而堅定」最有效？

除了有單據的財損，車禍中最難談判的往往是「精神慰撫金」。施律師直言，這在法律上沒有公式，甚至有點像「開獎」，高度依賴法官的自由心證 。

雖然保險公司內部有一套簡單的算法（例如醫療費用的 2 到 5 倍），但到了法院，法官會考量雙方的社會地位、傷勢嚴重程度 。在缺乏標準公式的情況下，正確的「態度」能幫您起到加分效果。

施律師建議，在談判桌上最好的姿態是「溫柔而堅定」。有些人會試圖「扮窮」或「裝兇」，這通常會有反效果。特別是面對看過無數案件的保險理賠員，裝兇只會讓對方心裡想著：「進了法院我保證你一毛都拿不到，準備看你笑話」。

相反地，如果你能客氣地溝通，但手中握有完整的接單紀錄、醫療單據，清楚知道自己的底線與權益，這種「堅定」反而能讓談判對手買單，甚至在證明不足的情況下（如外送員的開學期間收入），更願意採信你的主張 。

車禍不只是一場意外，它是認知、情緒、金錢與法律邏輯的總和 。

在這個交通環境日益複雜的時代，無論你是為了生計奔波的職業駕駛，還是天天上路的通勤族，光靠保險或許已經不夠。大部分的車禍其實都是小案子，可能只是賠償 2000 元的輕微擦撞，或是責任不明的糾紛。為了這點錢，要花幾萬塊請律師打官司絕對「不划算」。但當事人往往會因為資訊落差，恐懼於「會不會被告肇逃？」、「會不會留案底？」、「賠償多少才合理？」而整夜睡不著覺 。

PAMO看準了這個「焦慮商機」， 推出了一種顛覆傳統的解決方案——「年費 1200 元的訂閱制法律服務 」。

這就像是「法律界的 Netflix」或「汽車強制險」的概念。PAMO 的核心邏輯不是「代打」，而是「賦能」。不同於傳統律師收費高昂，PAMO 提倡的是「大腦武裝」，當車禍發生時，線上律師團提供策略，教你怎麼做筆錄、怎麼蒐證、怎麼判斷對方開價合不合理等。

施律師表示，他們的目標是讓客戶在面對不確定的風險時，背後有個軍師，能安心地睡個好覺 。平時保留好收入證明、發生事故時懂得不亂說話、與各方談判時掌握對應策略 。

從違停的陷阱到訂閱制的解方，我們正處於交通與法律的轉型期。未來，挑戰將更加嚴峻。

當 AI 與自駕車（Level 4/5）真正上路，一旦發生事故，責任主體將從「駕駛人」轉向「車廠」或「演算法系統」 。屆時，誰該負責？怎麼舉證？

但在那天來臨之前，面對馬路上的豪車、零工騎士與法律陷阱，你選擇相信運氣，還是相信策略？ 先「武裝好自己的大腦」，或許才是現代駕駛人最明智的保險。

PAMO車禍線上律師官網：https://pse.is/8juv6k 

「我們正在做夢？」「妳其實是在進行中的工作坊睡覺，這是共享夢境的第一課。保持冷靜。」^[1]電影《全面啟動》（Inception）於夢裡互動的概念，被美、德、法和荷蘭的科學家，以非常初階的形式實現。2021 年 4 月《當代生物學》（Current Biology）期刊的論文，稱之為「互動式做夢」（interactive dreaming）。^[2]

清醒夢

一個人睡醒後，描述的夢境記憶，多半相當殘破。要是做夢時，能與科學家雙向對談，勢必有利研究。然而，人們易於接受夢裡的經歷，鮮少在當下檢視批判，根本沉迷其中。^[2]就像電影預告片所言：「在夢裡，我們覺得真實；醒來後，才明白事有蹊蹺。」^[1]唯獨於睡眠的快速動眼期（rapid eye movement sleep），某些人會有罕見的清醒夢（lucid dreams），意識到自己正在夢境之中。這種情形似乎提供了科學家即時訪談的契機。無奈清醒夢一般為自然發生，時機難以掌控。^[2]倘若能將任何夢境，轉換為清醒夢，那就方便得多。

標的清醒再活化

電影畫面上，陀螺不合理地無止盡旋轉，主角提醒他的雇主：「這個世界不是真的。」^[1]陀螺是否會停止並倒下，為《全面啟動》中判定虛實的經典線索。換句話說，也是由做普通的夢，轉變為做清醒夢的關鍵。臨床試驗中，進行標的清醒再活化（targeted lucidity reactivation）時，這類線索就是聲音或光線等感官刺激。受試者先認識設定來代表清醒的線索，並於即將入睡前加強此連結；睡著且進入快速動眼期後，科學家再次給出的線索，會暗示正在做夢的受試者保持清醒。^[2]

就拿此研究裡，美國組的流程為例：首先，科學家設定短促輕柔（650 ms；40－45 dB），音調漸升（400、600和800 Hz）的「嗶、嗶、嗶」三個音，作為線索。訓練受試者將之與清醒的狀態連結。再告訴他們這個線索會出現在睡覺時，以促成清醒夢。接下來的 15 分鐘內，反覆播放 15 次。前 4 次搭配語音指示：「當你聽到線索，你就會清醒。專注於你的思考，並注意心思的流向…（停頓）現在觀察你的身體、知覺和感受…（停頓）觀察你的呼吸…（停頓）維持清醒，保有批判的意識，注意此經驗在哪方面與你平常清醒時不同。」^[2]

受試者通常會在 15 次「嗶、嗶、嗶」結束前睡著。科學家一旦偵測到他們進入快速動眼期，就會以 30 秒為間隔，再度重複播放。當受試者以事前約定好的眼球運動，通知外界他正在做清醒夢，或是在 10 次「嗶、嗶、嗶」後，仍然毫無動靜，互動測試便開始進行。^[2][註]

互動式做夢

美、德、法和荷蘭的科學家，總共招募了 36 名志願者。他們涵蓋下列 3 種類型：^[2]

1. 數名具清醒夢經驗的人。^[2]
2. 幾個雖無經驗，但訓練後能做清醒夢的健康人士。^[2]
3. 白天睡眠過多，容易突然進入快速動眼期，又常做清醒夢的猝睡症（亦稱「嗜睡症」；narcolepsy）患者1名。^[2]

他們在做夢時答覆提問；醒來後立即報告夢境與感受。期刊論文中，列舉了下面幾個例子。^[2]

美國組：計算

曾有過 2 次清醒夢的 19 歲美國受試者，在 90 分鐘的白天睡眠過程中，回答簡單的計算問題。首先，他以 3 次連續的眼球左右運動，表達自己進入了清醒夢。於是，科學家就問他「8 減掉 6」等於多少。約莫 3 秒內，他做了 2 次上述的眼球運動。科學家馬上又重複問題，他也再度用相同的方式，給予正確答案。^[2]

醒來之後，這名美國男子分享其經歷：「本來是夜間，於一處停車場。…然後是白晝，我在電玩裡。…我想，好，大概是在做夢。接著很怪…我失去對全身肌肉的控制。有一陣血流洶湧的浪濤聲，朝我的耳朵襲來。」此外，他依稀記得當時的題目與答案。^[2]

德國組：計算

在德國，也有曾做過清醒夢的受試者。這名 35 歲的男子，在夜間睡眠的快速動眼期，以眼球運動表示自己進入了清醒夢。科學家就用 LED 燈改變房間的光線，來發出摩斯密碼。那串訊號的意思是「4 減去 0」，事前受過訓練的男子，則以 4 次左右交替的眼球運動答覆。看起來是答對了，但是他醒來後說，以為題目是「4 加上 0」。^[2]

德國男子覺得夢裡的場景，可能是物理治療診所。四周無人，只有架子、櫥櫃和醫師的座椅。當診間的燈光忽明忽滅，他「意識到閃爍的訊號來自外面」，便運動眼球作答。之後，男子尋找發光工具，弄到一只碗。裏頭盛滿的水，竟像魚缸燈管般發出明滅光芒。他知道，又是訊號。偏偏無法判讀，還不小心在解碼時把碗摔破。^[2]
　　
他離開診間，看室外有無發光工具，卻在抬頭時見到雲彩變化多端：黃澄澄的陽光，灑在淺灰的烏雲上。亮度多元，飄移迅速。他明知是計算題的訊號，卻再度錯失解碼的時機。^[2]

荷蘭組：計算

26 歲的荷蘭受試者，因為記得夢中的細節，並正確回答「1 加上 2」等於「3」，而感到自豪。可惜她在 134 分鐘晨眠的清醒夢起始點，沒有通知科學家，所以儘管 5 題對了 2 題，數據並未允予採計。^[2]

「我必須記得事情」，她在夢裡這麼想著，並聽到科學家的聲音。「我坐進車裡…」，那些題目「感覺像是某種車上的廣播」。^[2]

法國組：是非題

法國組招募到 1 名 20 歲的猝睡症患者，他於 16 歲確診，每天平均做 4 次清醒夢。論文形容他「做清醒夢的能力卓越」，能輕易控制夢境。在 20 分鐘白天小睡的第 1 分鐘，他就火速進入快速動眼期，並且於 5 分鐘後開始做清醒夢。科學家問是非題，請他收縮臉部肌肉作答：顴肌（zygomatic muscle）代表「是」；而皺眉肌（corrugator muscle）則為「非」。^[2]

「我聽到你的聲音，你簡直像上帝。」猝睡症患者回憶夢裡的派對上，出現猶如電影旁白，來自外面的幾個問題，例如：愛不愛吃巧克力；是否唸生物學；還有會不會講西班牙語。「最後一題我不確定，因為我的西班牙語不流利…終究我決定答『否』，然後回到派對裡去。」^[2]

法國組：觸覺

這名法國的猝睡症患者，還有參與觸覺等其他測試。他在清醒夢的過程中，以收縮皺眉肌的次數，來表達自己的手被科學家輕觸了幾下。其答案有時正確，有時錯誤，還有的模稜兩可。^[2]

雖然沒有全部答對，但能有此成績，說來也頗不簡單。畢竟他當時正在清醒夢中打怪，並且對自己「能一心這麼多用」，感到吃驚。^[2]

互動式做夢的成功率

「這或許可行。」《全面啟動》裡，討論任務計劃時，不意外地下一句台詞就是：「或許？我們需要比『或許』更肯定。」^[1]在此研究中，四個國家的團隊，總共做了 57 場互動式做夢的嘗試：26% 的場次裡，受試者依照指示，告知科學家自己進入了清醒夢；而這些成功案例中的 47%，至少答對 1 個題目。整個臨床試驗的答題正確率，僅約 18.4%；多數則是連反應也沒有，其比例高達 60.1%。^[2]

目前互動式做夢，仍有一些技術侷限，比方說：外界的提問在夢裡走樣；夢境描述依然仰賴事後回顧；受試者在清醒夢與沉睡的狀態間擺盪；或是標的清醒再活化的聲光，把人叫醒等。不過無論如何，科學家已經得知提問的聲音，如何在夢中呈現：有些像天外之音；有的則會合理化地融入夢境。而且研究結果不僅證實做夢者與外界互動的可能，更展現睡夢中的認知能力。有別於以往，只能在人醒著的各種狀態下試驗；將來科學家應該有機會，比較包含清醒夢在內，不同清醒程度的認知表現，甚至影響夢境內容，來治療心靈創傷或增強學習效果。^[2]

備註

美國與荷蘭兩組，皆採取標的清醒再活化，但細節稍有差異；法國的猝睡症患者天賦異稟，無須借助外力；而德國組則是睡著後被叫醒，然後又回去睡覺，並在之間做自我暗示的夢境辨識等練習。^[2]

參考資料

1. ‘Inception (2010) – Quotes’. IMDB. (Accessed on 15 FEB 2023)
2. Konkoly KR, Appel K, Chabani E, et al. (2021) ‘Real-time dialogue between experimenters and dreamers during REM sleep’. Current Biology, 31 (7): 1417-1427, e6.

無論飛機或船艦都需要定位，因為在空中或大海上不像在陸地上可以循著道路行進，並且隨處有顯著的路標或地標可以辨識身在何處。而定位的技術根據人類科技的演化逐步精確，從早期觀察日月星辰以及指南針使用，可以粗略知道方位。但是這些無法滿足航海及航空需求，因為天候不佳時無法觀察天體，而磁羅經會因為地磁偏移產生誤差，所以需要其它定位儀器協助。

近年來GPS蠻火紅的，不少產品有此功能，比如汽車導航或高階手機。GPS 共有 24 顆衛星 (包含三顆備用衛星)，分佈在六條相交30度的軌道上，任何地方只要能接收四顆衛星資料，就可以計算出在地球上的位置，在此僅討論座標計算的問題。

以地心為三度空間零點，XY 軸在赤道平面上，X 軸貫穿經度 0 度與180 度，Y 軸貫穿東西經 90 度，Z 軸貫穿南北兩極，距離地心半徑 R 的球體方程式為， X² + Y² + Z² = R²
在這個立體座標上以點 (a,b,c) 為球心，半徑為 r 的球體方程式是，
(X – a)² + (Y – b)² + (Z – c)² = r ²

GPS衛星傳遞的訊號包括衛星自身 (a,b,c) 座標資料以及發射時間，那麼 GPS 接收器就可以利用這些資訊計算位址。首先計算衛星與接收器間的距離 r = 光速 x (接收器接收時間 – 衛星發射時間) 。

假設現在有四顆衛星資料，

a 為地球橢球的長半軸，b 為地球橢球的短半軸，
已知 (X,Y,Z) 座標，參考大地座標系可求出緯度 B 經度 L，

原文來自 研發養成所 http://4rdp.blogspot.com

• 文／賴以威｜師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人

有一種符合本書主題的二分法：討厭數學的人跟喜歡數學的人。

前者埋怨：

「數學跟現實脫節。」

後者部分同意這話，他們會說：

「數學是獨立於現實世界的另一個世界。」

請帶點魔幻的色彩來想像以下的畫面：你拿起筆在紙上算數學，簡單的 1+1 或微分方程都可以。然後奇妙的事發生了，你的手穿過紙張，整個人往紙裡墜，你進入了數學的另一個世界。

不需要畫五芒星的魔法陣（我忍住不跟你聊裡面的黃金比例），不需要任何繁瑣的祭祀儀式，只要一張紙、一支筆跟任何一道數學式子，你就能自由進出數學的世界。

受到工程背景的影響，我在分享數學有趣之處時，常常著眼在數學世界與現實世界的連結。現實世界有 500 元鈔票，  500 大卡的手搖飲料，還有台灣搖滾天王伍佰。但從數學世界裡看，他們都是變成了純粹的數字 500。我是個虔誠的信徒，常去廟裡拜拜擲筊，一方面在現實世界裡乞求天神保佑，一方面在數學世界裡和機率之神祈禱。兩個世界之間往返，你很容易看到許多有趣的現象，複雜的問題脫下外皮，被解構成一條條式子；全然不相關的幾件事，在數學世界裡都是一個模樣，這樣的視角媲美從《巡者系列》的幽界裡窺視人界 [註]。

班傑明教授在本書中提供了另一個角度，他直接讓我們探索「數學世界本身的趣味」，不需要來來回回，光是只有數字與幾何圖形的數學世界就夠我們玩得不亦樂乎，讚嘆連連了。請繼續想像，你在數學世界跟團旅行，來到著名景點歐拉公式，導遊難掩興奮之情地說：

「e、i、π、0、1，五個重要又看似毫無關係的數字，竟然被巧妙地整合在一起！」

覺得不夠神奇嗎？可能是符號帶來的隔閡，讓我們換成近似的數字－－

〖(2.72)〗^(√(-1)×3.14)+1≈0

這樣或許更有感覺吧。無窮無盡的數字大海中找出來的兩個無理數字，搭配根號 -1 這個被國中小數學課本禁止的虛數，組合起來再 +1 竟然很趨近於0。這是數學世界的大峽谷，展現數學大自然的神功鬼斧。

讚嘆完大峽谷之美，我們都會想去告示牌或上網查查它的成因。理當來說你也會想了解歐拉公式背後的原因。導遊風趣地講解，不時穿插其他有趣的知識。你注意到他胸口的名牌：亞瑟．班傑明。

書名《數學魔術之道》把兩個我很喜歡的名詞放在一起。小時候我曾摸著牆壁，百思不得其解為什麼有人可以穿越比這道牆厚上好幾倍的萬里長城，把人身體切一半又復原。雖然當下沒聯想到，但多年後回想，這樣的困擾其實跟面對一道數學難題很相似：盯著一個奇形怪狀的幾何圖形，我覺得不可能算出它的面積，但同時我又清楚知道，下一頁翻過來就是印好的解答。

魔術是很精密的機制，能欺騙人類的直覺。數學同樣很精密，它的本意是補充人類的直覺（有些人可能會說「是為了打擊人的信心」，但我想那是「數學考試」，而不是「數學」本身），讓我們能精準地達成某些事情，簡化某些過程。了解到這點後，你會發現數學跟魔術之間有驚人的相似之處，換個角度，數學就能從惱人的題目變成有趣的魔術。國內也有幾位優秀的數學魔術師：吳如皓、莊惟棟、林壽福幾位老師，都擅長結合數學與魔術，有機會一定要看看他們的表演。班傑明教授更是箇中翹楚，他曾在 TED 上表演過幾個數學魔術，這回他將數學魔術的訣竅放在書裡。魔術很有趣，背後的原理更有價值。

比方說，有一兩個魔術是速算，比起掌握速算技巧，更重要的是了解「為什麼這些技巧有用」，進而思考「該怎麼設計這樣的技巧」。我和我的團隊老師常舉辦給國小學生的「數學實驗課」，裡面恰好也有介紹速算。我們讓小朋友比賽，一些人心算，一些人按計算機，看誰算得快。小朋友覺得很無聊，比賽彷彿不需要開始就知道勝負。

2+2+2+2+2

1+2+3+7+8+9

題目一打出來，心算的小朋友開心得不得了，一秒內就大喊出答案，按計算機的小朋友很鬱悶，他們也知道答案，偏偏被要求得按下每個數字、符號，怎麼都跟不上心算的速度。

一樣的數字相加，可以用乘法

找到和為 10 的兩組數字

這是深植在每個人心中的速算訣竅，或是用另一個詞來說——規律。比起一個個數字相加，運用題目裡數字的這兩個規律，就能大幅縮短計算時間。數學的本質是發掘規律，化繁為簡。班傑明教授舉了一個很精彩的例子，只要告訴他一個日期（年月日），他就能立刻回答你是星期幾。這只是我們題目的進階再進階版，背後的原理都是一樣，找出規律。

能洞察規律的人，便能得到他人無法得到的資訊，以更快的方式得到資訊，或是，成為一位數學魔術師。這才是數學的真正意義。

• 註：《巡者系列》是俄國經典魔幻小說，幽界是指超凡人才能進入的，與現實世界平行並存的空間。

本文摘自《數學大觀念：從數字到微積分，全面理解數學的 12 大觀念》，貓頭鷹出版。