GPS 座標計算原理

本文與 Panasonic 合作，泛科學撰文 

●以下科學研究內容作為知識分享，不直接與Panasonic A La Uno全自動洗淨馬桶產品功能連結

在做家務的痛苦排行榜上，「刷馬桶」絕對名列前茅。明明天天都在沖水，但過不了幾天，馬桶內壁邊角總會浮現黃黃的水垢、角落發黑的霉斑，甚至是那些刷掉又長出來的粉紅色污垢（黏質沙雷氏菌）。

許多市售衛浴設備常標榜「神奇抗污」或「永久不沾」，讓人誤以為安裝後便能永保潔淨。然而從材料科學的角度來看，世上並無能使污垢憑空消失的魔法。所謂「耐污」的實質機制，並非打造完全不沾染髒污的材質，而是調整表面的物理與化學屬性，使水垢和微生物難以強力附著。一旦降低了污垢與內壁之間的附著力，透過日常水流沖刷，便能輕易地將髒污帶走。

為什麼污垢「黏不住」？ 

要搞懂為什麼某些特殊表面能做到「耐污」，我們得先像偵探一樣，拆解馬桶裡的髒污究竟是怎麼「抓緊」材料表面的。馬桶內壁的污垢主要有兩大難纏的元兇：

1. 水垢與礦物沉積*1：我們日常使用的自來水中含有鈣、鎂等金屬離子。當水滴在表面經歷反覆的濕潤與蒸發乾燥循環時，這些離子會逐漸結晶析出，變成硬度極高、緊緊「卡」在微觀縫隙裡的礦物質水垢。
2. 生物膜與有機物*2：包含尿液中的無機鹽、油脂殘留，以及細菌入侵後分泌出像超強膠水一般的聚合物，所組成的黏滑防禦大本營。

這兩大類污垢想要在材料上「落腳」，前提是它們必須能在表面找到足夠的附著點與黏合力。那麼，材料科學家是如何讓這些髒污「站不穩」的呢？答案就藏在「表面能（Surface Energy）」與「濕潤性（Wettability）」這兩個核心概念中。

當我們把水滴在某個表面上時，水滴會聚成一顆圓滾滾的水珠，還是迅速攤平開來？這取決於表面的特性：

• 疏水路線（Hydrophobic）*1：具備低表面能的疏水表面，能顯著減少水分子或污染物與表面之間的極性作用力與氫鍵。水滴在這種表面上會因為表面張力而收縮成水珠，當水珠滾動滑落時，就能順便把表面的灰塵與礦物質顆粒帶走，這就是著名的「自清潔效應」。
• 親水路線（Hydrophilic / Superhydrophilic）*2：相反地，極度親水的超親水表面則會強烈地吸引水分子，在材料最外層形成一層薄薄的「水化層（Hydration Layer）」。這層水化層就像是實體的液體盾牌，讓油污、蛋白質或細菌無法直接接觸到材料基底，只能漂浮在水膜上方。

如果要用攀岩來比喻：傳統粗糙的表面就像是有許多凹槽的攀岩牆，髒污就像攀岩者，需要找到落腳點並用力撐住才能攀附；而我們做的是抽掉把手點，或是在把手上塗上潤滑油，讓髒污找不到施力點，自然難以停留。

不給細菌「握手」的機會

解決了水垢，下一個更棘手的對手是「細菌」。

馬桶內壁那些黑黑粉粉、摸起來滑滑的污垢，在微生物學中被稱為「生物膜（Biofilm）」。細菌並不是孤立生長的，當單顆細菌落在表面後，如果覺得環境舒適，它就會開始分泌胞外聚合物（EPS），這是一種天然的超強膠水。細菌們用這種膠水把自己與同伴緊緊黏在一起，並築起堅固的防禦堡壘，這時一般的沖水就很難把它們沖洗乾淨了。

根據《Nature Communications》與《Microsystems & Nanoengineering》的學術期刊研究指出，要阻止生物膜形成，除了化學上的抗菌，材料的「表面微幾何結構」扮演了至關重要的角色。

材料科學領域中有一個著名的「附著點理論（Attachment Point Theory）」：

1. 粗糙與微孔洞表面：如果材料表面存在許多微小的裂縫、氣孔或微米級凹洞，細菌（體積通常約 1 到 3 微米）就會興高采烈地鑽進這些小凹槽裡。這些凹槽不僅提供了極佳的機械咬合支點，還能幫細菌擋掉水流的沖刷。
2. 極致平滑與微結構表面：相反地，如果材料表面做到極致平滑，完全沒有微米級的缺陷；或者反過來設計出尺寸遠小於細菌的奈米結構，細菌的足跡構造（如鞭毛或纖毛）就無法在表面找到穩固的「接觸附著點（Contact Points）」。

當細菌發現自己在這個表面上連「手都握不緊」、隨時會被水流吹走時，它就無法順利定殖並分泌膠水築巢。此外，現代衛浴結構在設計時，也越來越強調「一體成形」與「無接縫工藝」。消除接縫與死角，等於直接拔除了細菌與水垢最喜歡的避風港。

當材料、結構與流體科技組隊聯防 

了解了材料化學與微觀幾何，我們就能勾勒出一座現代耐污馬桶的完整防禦體系：【材料層（低附著力）】+【結構層（無縫平滑）】+【動態流體層（泡沫與水流剪切力）】= 高效清潔！

以市面上備受矚目的 Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶為例，就是將材料科學、結構工程與流體力學發揮到極致的典型代表：

1. 材料層：有機玻璃系新素材

A La Uno 全自動洗淨馬桶採新開發的「有機玻璃系新素材」（以壓克力高分子為基礎研發的衛浴專用材料，這類高分子成形技術亦被廣泛運用於大型水族館高壓觀景窗與飛機機艙罩）。這種材料表面具備極佳的疏水性與耐水垢特性，水滴不易長時間攤平停留；材質堅固、不易破裂，耐刮、不易造成細小傷痕。通過實驗測試，這種素材配合泡沫洗淨，在沖洗後能有效沖刷掉高達 99.99% 的大腸桿菌，從源頭阻斷細菌定殖。

2. 結構層：無接縫工藝與三重防濺防護

在宏觀結構上，A La Uno 全自動洗淨馬桶採用無水箱沖水與便器、溫水洗淨便座一體成型設計，減少傳統水箱與座體之間的結構層次及接縫，並搭配可動迴轉式排水系統完成沖洗。更貼心的是其「三重防護」設計：

• 泡沫防護：在水面上製造一層充沛的泡沫緩衝層，有效抑制男性站立小便時的尿液與污水飛濺；
• 外圍防護：馬桶邊界特別設計了高約 3mm 的水檔，防止液體延著外壁滴落至地板；
• 測漏防護：便座與馬桶本體採用不外露的防護設計，避免液體從縫隙飛濺滲漏。

3. 動態流體層：雙效泡沫洗淨、漩渦水流與 nanoe™ X

當污垢降落在馬桶內壁時，A La Uno全自動洗淨馬桶 的動態流體科技便接手進行徹底打掃。其「雙效泡沫洗淨」會先釋放直徑約 5mm 的「毫米泡沫」包裹並帶走大塊髒污，再透過直徑約 60微米的「微米泡沫」深入微觀縫隙，徹底溶解殘餘的油脂與細微污垢。接著，配合高度清潔力的「漩渦型強力水流」，利用旋轉產生的流體剪切力，一口氣將附著力已被削弱的污垢剝離並沖走。此外，Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶還搭襯了 nanoe™ X 健康科技，釋放氫氧離子有效抑制異味與髒污，維持空氣與內壁的良好衛生狀態。

科技讓生活變輕鬆，但物理法則依然誠實

從材料化學的低表面能設計，到微觀幾何的附著點控制，再到流體力學的水流沖刷，一座現代抗污馬桶的演進，縮影了人類如何運用基礎科學來解決日常生活痛點的智慧。

我們習慣將衛生清潔想像成一場與細菌髒污的硬碰硬死鬥。然而，A La Uno全自動洗淨馬桶 等現代衛浴技術的突破，展示了材料科學的另一種聰明思維：不靠強酸強鹼硬打，而是透過物理與化學邏輯，將「污垢固著」的機率降到最低。

當材料科學與現代衛浴技術結合，刷馬桶不再是一件令人頭痛的辛苦瑣事。透過這些前沿科技的加持，我們得以從繁重的家務勞動中解放，享受更加乾淨、舒適且有品質的日常生活。

*1 參考論文：A metallic anti-biofouling surface with a hierarchical topography containing nanostructures on curved micro-riblets

*2 參考論文：Brushing up functional materials

「我們正在做夢？」「妳其實是在進行中的工作坊睡覺，這是共享夢境的第一課。保持冷靜。」^[1]電影《全面啟動》（Inception）於夢裡互動的概念，被美、德、法和荷蘭的科學家，以非常初階的形式實現。2021 年 4 月《當代生物學》（Current Biology）期刊的論文，稱之為「互動式做夢」（interactive dreaming）。^[2]

清醒夢

一個人睡醒後，描述的夢境記憶，多半相當殘破。要是做夢時，能與科學家雙向對談，勢必有利研究。然而，人們易於接受夢裡的經歷，鮮少在當下檢視批判，根本沉迷其中。^[2]就像電影預告片所言：「在夢裡，我們覺得真實；醒來後，才明白事有蹊蹺。」^[1]唯獨於睡眠的快速動眼期（rapid eye movement sleep），某些人會有罕見的清醒夢（lucid dreams），意識到自己正在夢境之中。這種情形似乎提供了科學家即時訪談的契機。無奈清醒夢一般為自然發生，時機難以掌控。^[2]倘若能將任何夢境，轉換為清醒夢，那就方便得多。

標的清醒再活化

電影畫面上，陀螺不合理地無止盡旋轉，主角提醒他的雇主：「這個世界不是真的。」^[1]陀螺是否會停止並倒下，為《全面啟動》中判定虛實的經典線索。換句話說，也是由做普通的夢，轉變為做清醒夢的關鍵。臨床試驗中，進行標的清醒再活化（targeted lucidity reactivation）時，這類線索就是聲音或光線等感官刺激。受試者先認識設定來代表清醒的線索，並於即將入睡前加強此連結；睡著且進入快速動眼期後，科學家再次給出的線索，會暗示正在做夢的受試者保持清醒。^[2]

就拿此研究裡，美國組的流程為例：首先，科學家設定短促輕柔（650 ms；40－45 dB），音調漸升（400、600和800 Hz）的「嗶、嗶、嗶」三個音，作為線索。訓練受試者將之與清醒的狀態連結。再告訴他們這個線索會出現在睡覺時，以促成清醒夢。接下來的 15 分鐘內，反覆播放 15 次。前 4 次搭配語音指示：「當你聽到線索，你就會清醒。專注於你的思考，並注意心思的流向…（停頓）現在觀察你的身體、知覺和感受…（停頓）觀察你的呼吸…（停頓）維持清醒，保有批判的意識，注意此經驗在哪方面與你平常清醒時不同。」^[2]

受試者通常會在 15 次「嗶、嗶、嗶」結束前睡著。科學家一旦偵測到他們進入快速動眼期，就會以 30 秒為間隔，再度重複播放。當受試者以事前約定好的眼球運動，通知外界他正在做清醒夢，或是在 10 次「嗶、嗶、嗶」後，仍然毫無動靜，互動測試便開始進行。^[2][註]

互動式做夢

美、德、法和荷蘭的科學家，總共招募了 36 名志願者。他們涵蓋下列 3 種類型：^[2]

1. 數名具清醒夢經驗的人。^[2]
2. 幾個雖無經驗，但訓練後能做清醒夢的健康人士。^[2]
3. 白天睡眠過多，容易突然進入快速動眼期，又常做清醒夢的猝睡症（亦稱「嗜睡症」；narcolepsy）患者1名。^[2]

他們在做夢時答覆提問；醒來後立即報告夢境與感受。期刊論文中，列舉了下面幾個例子。^[2]

美國組：計算

曾有過 2 次清醒夢的 19 歲美國受試者，在 90 分鐘的白天睡眠過程中，回答簡單的計算問題。首先，他以 3 次連續的眼球左右運動，表達自己進入了清醒夢。於是，科學家就問他「8 減掉 6」等於多少。約莫 3 秒內，他做了 2 次上述的眼球運動。科學家馬上又重複問題，他也再度用相同的方式，給予正確答案。^[2]

醒來之後，這名美國男子分享其經歷：「本來是夜間，於一處停車場。…然後是白晝，我在電玩裡。…我想，好，大概是在做夢。接著很怪…我失去對全身肌肉的控制。有一陣血流洶湧的浪濤聲，朝我的耳朵襲來。」此外，他依稀記得當時的題目與答案。^[2]

德國組：計算

在德國，也有曾做過清醒夢的受試者。這名 35 歲的男子，在夜間睡眠的快速動眼期，以眼球運動表示自己進入了清醒夢。科學家就用 LED 燈改變房間的光線，來發出摩斯密碼。那串訊號的意思是「4 減去 0」，事前受過訓練的男子，則以 4 次左右交替的眼球運動答覆。看起來是答對了，但是他醒來後說，以為題目是「4 加上 0」。^[2]

德國男子覺得夢裡的場景，可能是物理治療診所。四周無人，只有架子、櫥櫃和醫師的座椅。當診間的燈光忽明忽滅，他「意識到閃爍的訊號來自外面」，便運動眼球作答。之後，男子尋找發光工具，弄到一只碗。裏頭盛滿的水，竟像魚缸燈管般發出明滅光芒。他知道，又是訊號。偏偏無法判讀，還不小心在解碼時把碗摔破。^[2]
　　
他離開診間，看室外有無發光工具，卻在抬頭時見到雲彩變化多端：黃澄澄的陽光，灑在淺灰的烏雲上。亮度多元，飄移迅速。他明知是計算題的訊號，卻再度錯失解碼的時機。^[2]

荷蘭組：計算

26 歲的荷蘭受試者，因為記得夢中的細節，並正確回答「1 加上 2」等於「3」，而感到自豪。可惜她在 134 分鐘晨眠的清醒夢起始點，沒有通知科學家，所以儘管 5 題對了 2 題，數據並未允予採計。^[2]

「我必須記得事情」，她在夢裡這麼想著，並聽到科學家的聲音。「我坐進車裡…」，那些題目「感覺像是某種車上的廣播」。^[2]

法國組：是非題

法國組招募到 1 名 20 歲的猝睡症患者，他於 16 歲確診，每天平均做 4 次清醒夢。論文形容他「做清醒夢的能力卓越」，能輕易控制夢境。在 20 分鐘白天小睡的第 1 分鐘，他就火速進入快速動眼期，並且於 5 分鐘後開始做清醒夢。科學家問是非題，請他收縮臉部肌肉作答：顴肌（zygomatic muscle）代表「是」；而皺眉肌（corrugator muscle）則為「非」。^[2]

「我聽到你的聲音，你簡直像上帝。」猝睡症患者回憶夢裡的派對上，出現猶如電影旁白，來自外面的幾個問題，例如：愛不愛吃巧克力；是否唸生物學；還有會不會講西班牙語。「最後一題我不確定，因為我的西班牙語不流利…終究我決定答『否』，然後回到派對裡去。」^[2]

法國組：觸覺

這名法國的猝睡症患者，還有參與觸覺等其他測試。他在清醒夢的過程中，以收縮皺眉肌的次數，來表達自己的手被科學家輕觸了幾下。其答案有時正確，有時錯誤，還有的模稜兩可。^[2]

雖然沒有全部答對，但能有此成績，說來也頗不簡單。畢竟他當時正在清醒夢中打怪，並且對自己「能一心這麼多用」，感到吃驚。^[2]

互動式做夢的成功率

「這或許可行。」《全面啟動》裡，討論任務計劃時，不意外地下一句台詞就是：「或許？我們需要比『或許』更肯定。」^[1]在此研究中，四個國家的團隊，總共做了 57 場互動式做夢的嘗試：26% 的場次裡，受試者依照指示，告知科學家自己進入了清醒夢；而這些成功案例中的 47%，至少答對 1 個題目。整個臨床試驗的答題正確率，僅約 18.4%；多數則是連反應也沒有，其比例高達 60.1%。^[2]

目前互動式做夢，仍有一些技術侷限，比方說：外界的提問在夢裡走樣；夢境描述依然仰賴事後回顧；受試者在清醒夢與沉睡的狀態間擺盪；或是標的清醒再活化的聲光，把人叫醒等。不過無論如何，科學家已經得知提問的聲音，如何在夢中呈現：有些像天外之音；有的則會合理化地融入夢境。而且研究結果不僅證實做夢者與外界互動的可能，更展現睡夢中的認知能力。有別於以往，只能在人醒著的各種狀態下試驗；將來科學家應該有機會，比較包含清醒夢在內，不同清醒程度的認知表現，甚至影響夢境內容，來治療心靈創傷或增強學習效果。^[2]

備註

美國與荷蘭兩組，皆採取標的清醒再活化，但細節稍有差異；法國的猝睡症患者天賦異稟，無須借助外力；而德國組則是睡著後被叫醒，然後又回去睡覺，並在之間做自我暗示的夢境辨識等練習。^[2]

參考資料

1. ‘Inception (2010) – Quotes’. IMDB. (Accessed on 15 FEB 2023)
2. Konkoly KR, Appel K, Chabani E, et al. (2021) ‘Real-time dialogue between experimenters and dreamers during REM sleep’. Current Biology, 31 (7): 1417-1427, e6.

• 文／賴以威｜師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人

有一種符合本書主題的二分法：討厭數學的人跟喜歡數學的人。

前者埋怨：

「數學跟現實脫節。」

後者部分同意這話，他們會說：

「數學是獨立於現實世界的另一個世界。」

請帶點魔幻的色彩來想像以下的畫面：你拿起筆在紙上算數學，簡單的 1+1 或微分方程都可以。然後奇妙的事發生了，你的手穿過紙張，整個人往紙裡墜，你進入了數學的另一個世界。

不需要畫五芒星的魔法陣（我忍住不跟你聊裡面的黃金比例），不需要任何繁瑣的祭祀儀式，只要一張紙、一支筆跟任何一道數學式子，你就能自由進出數學的世界。

受到工程背景的影響，我在分享數學有趣之處時，常常著眼在數學世界與現實世界的連結。現實世界有 500 元鈔票，  500 大卡的手搖飲料，還有台灣搖滾天王伍佰。但從數學世界裡看，他們都是變成了純粹的數字 500。我是個虔誠的信徒，常去廟裡拜拜擲筊，一方面在現實世界裡乞求天神保佑，一方面在數學世界裡和機率之神祈禱。兩個世界之間往返，你很容易看到許多有趣的現象，複雜的問題脫下外皮，被解構成一條條式子；全然不相關的幾件事，在數學世界裡都是一個模樣，這樣的視角媲美從《巡者系列》的幽界裡窺視人界 [註]。

班傑明教授在本書中提供了另一個角度，他直接讓我們探索「數學世界本身的趣味」，不需要來來回回，光是只有數字與幾何圖形的數學世界就夠我們玩得不亦樂乎，讚嘆連連了。請繼續想像，你在數學世界跟團旅行，來到著名景點歐拉公式，導遊難掩興奮之情地說：

「e、i、π、0、1，五個重要又看似毫無關係的數字，竟然被巧妙地整合在一起！」

覺得不夠神奇嗎？可能是符號帶來的隔閡，讓我們換成近似的數字－－

〖(2.72)〗^(√(-1)×3.14)+1≈0

這樣或許更有感覺吧。無窮無盡的數字大海中找出來的兩個無理數字，搭配根號 -1 這個被國中小數學課本禁止的虛數，組合起來再 +1 竟然很趨近於0。這是數學世界的大峽谷，展現數學大自然的神功鬼斧。

讚嘆完大峽谷之美，我們都會想去告示牌或上網查查它的成因。理當來說你也會想了解歐拉公式背後的原因。導遊風趣地講解，不時穿插其他有趣的知識。你注意到他胸口的名牌：亞瑟．班傑明。

書名《數學魔術之道》把兩個我很喜歡的名詞放在一起。小時候我曾摸著牆壁，百思不得其解為什麼有人可以穿越比這道牆厚上好幾倍的萬里長城，把人身體切一半又復原。雖然當下沒聯想到，但多年後回想，這樣的困擾其實跟面對一道數學難題很相似：盯著一個奇形怪狀的幾何圖形，我覺得不可能算出它的面積，但同時我又清楚知道，下一頁翻過來就是印好的解答。

魔術是很精密的機制，能欺騙人類的直覺。數學同樣很精密，它的本意是補充人類的直覺（有些人可能會說「是為了打擊人的信心」，但我想那是「數學考試」，而不是「數學」本身），讓我們能精準地達成某些事情，簡化某些過程。了解到這點後，你會發現數學跟魔術之間有驚人的相似之處，換個角度，數學就能從惱人的題目變成有趣的魔術。國內也有幾位優秀的數學魔術師：吳如皓、莊惟棟、林壽福幾位老師，都擅長結合數學與魔術，有機會一定要看看他們的表演。班傑明教授更是箇中翹楚，他曾在 TED 上表演過幾個數學魔術，這回他將數學魔術的訣竅放在書裡。魔術很有趣，背後的原理更有價值。

比方說，有一兩個魔術是速算，比起掌握速算技巧，更重要的是了解「為什麼這些技巧有用」，進而思考「該怎麼設計這樣的技巧」。我和我的團隊老師常舉辦給國小學生的「數學實驗課」，裡面恰好也有介紹速算。我們讓小朋友比賽，一些人心算，一些人按計算機，看誰算得快。小朋友覺得很無聊，比賽彷彿不需要開始就知道勝負。

2+2+2+2+2

1+2+3+7+8+9

題目一打出來，心算的小朋友開心得不得了，一秒內就大喊出答案，按計算機的小朋友很鬱悶，他們也知道答案，偏偏被要求得按下每個數字、符號，怎麼都跟不上心算的速度。

一樣的數字相加，可以用乘法

找到和為 10 的兩組數字

這是深植在每個人心中的速算訣竅，或是用另一個詞來說——規律。比起一個個數字相加，運用題目裡數字的這兩個規律，就能大幅縮短計算時間。數學的本質是發掘規律，化繁為簡。班傑明教授舉了一個很精彩的例子，只要告訴他一個日期（年月日），他就能立刻回答你是星期幾。這只是我們題目的進階再進階版，背後的原理都是一樣，找出規律。

能洞察規律的人，便能得到他人無法得到的資訊，以更快的方式得到資訊，或是，成為一位數學魔術師。這才是數學的真正意義。

• 註：《巡者系列》是俄國經典魔幻小說，幽界是指超凡人才能進入的，與現實世界平行並存的空間。

本文摘自《數學大觀念：從數字到微積分，全面理解數學的 12 大觀念》，貓頭鷹出版。