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財經首長也該上的物理課

吳京
・2015/07/01 ・2395字 ・閱讀時間約 4 分鐘

兒時的電腦遊戲「大富翁」裡,有個道具叫「均富卡」,其功能是讓所有玩家手上的現金平分。雖然說炒地皮才是這個遊戲的致勝之道,但均富卡仍是出門在外,居家旅行,爾虞我詐的必備良卡。

面對真實世界中「收入不均」的問題,有時也希望拿張「均富卡」來解決,然而均富卡是虛幻的,要改善這種狀況,必須有良好的法令及稅制。不過在研究什麼是好的法規前,也許我們要搞清楚一個更根本的問題:怎樣的收入分配才算公平?

這個問題不好回答,但可確定「均富卡」式的齊頭平等並非好答案。就像去應徵工作時,不會期望當保全和當CEO會有同樣的收入。而且回答這個問題很容易得罪人,所以當政治人物被問到「怎樣的收入分配才是公平?」時,最佳的回覆或許是「我們需要社會有一定的共識,而且要有完整的配套及過渡,用謹慎的態度面對這個問題。」

這樣公平嗎? credit:Marina Noordegraaf

如果你對政治式的回答不滿意,不妨看看哥倫比亞大學化工系的Venkatasubramanian教授和工業工程系的Sethuraman教授如何用「統計力學」的方法來尋求答案。

(謎之音:Venkatasubramanian教授的姓也太長了吧!)

看到「統計」二字,首先聯想到馬克·吐溫所說的:「謊言,該死的謊言及統計數字」。不過「統計力學」其實和「統計學」是完全不同的概念。統計力學是藉由配分函數(Partition function),分析一個有大量組成成分的系統,將微觀物理狀態與宏觀物理量統計規律連結起來的科學─聽起來有點難懂啊!好在中文的世界博大精深,可用成語解釋之,統計力學就是一個「觀微知著」的科學。

比方說,觀察一枚銅板,知道它擲出後有一半的機率是正面,一半機率是反面,就可以推論出丟二枚銅板時,出現兩個正面或兩個反面的機率各是1/4,而出現一正一反的機率是1/2。

此問題由統計力學的角度觀察,會牽涉到一個較為抽象的概念,謂之「」。「熵」的大小取決於系統所包含的狀態數,一個封閉系統的「熵」通常只增不減,當「熵」達到最大值時,系統即處於統計上最可能出現的狀態,或稱之為平衡態。以二枚銅板的系統為例,一正一反的狀態數為2 (正反、反正),二個正面或二個反面的狀態數各為1,故一正一反是此系統最可能出現的情況。「熵」的概念在丟銅板的問題中顯得有些多餘,但面對更繁雜的系統時,「熵」是不可或缺的思考工具。

統計力學發展之初,乃用於解釋熱力學中關於氣體分子運動的問題。科學家用類似丟銅板的概念加上複雜許多的數學,可以從一個氣體粒子該處於何種能量態的角度出發,推導出在平衡態時,一團理想氣體在給定溫度下各個分子的速率分布狀況,稱為「波茲曼分布」。

惰性氣體的波茲曼分布圖。 圖片來源:wikipedia

Venkatasubramanian等人建立的自由市場模型,則是推導出資方總薪水預算不變的狀況下,一群勞工薪水所得的分布狀況。統計力學能在此發揮作用,是因為模型中勞工的行為模式,可與熱力學中的氣體分子類比:

在熱力學所謂的理想氣體中,每個氣體分子可於限定的體積內自由的移動,而此自由市場模型中的每個勞工,也可於職缺間自由轉換;兩個理想氣體分子在相互碰撞時,其中一個分子的能量會轉移到另一個分子上。同樣的,在總薪資不變的前提下,當兩個勞工職缺異動時,很可能是其中一員薪水增加,而另一員減少。

不過氣體分子是隨機運動的,而勞工則時時刻刻想謀取更佳的職位。

模型中假設勞工謀職的考量主要有三個因素:「薪水」、「勞動成本」和「公平性」。「薪水」無須解釋,扣除勞動成本後的餘額越高,對勞工越有吸引力。「勞動成本」除了包含工時及勞動力等顯性成本外,亦包含練就工作專業所需投入的心血。因此在這個模型中,高薪的職務勞動成本也會提高,與現實生活中需要寒窗苦讀才能從事高薪專業的工作很像。

「公平性」則要舉例說明:假設甲、乙兩人分別是兩間鍋貼店的員工,他們每小時都可以做出60個鍋貼,得到的薪水也相同。若甲的同事們每小時也能做出60個鍋貼,但乙的同事每小時卻只能做出30個鍋貼,那麼就會導致「甲」安於工作,而「乙」想要另謀他職,即便他們的薪水和勞動成本的差額其實是一樣的。

依此模型推算,若這個自由市場運作正常,沒有惡性倒閉的老闆、也沒有靠關係不做事的員工,那麼當每位勞工感到公平時,就是此系統的平衡態。換句話說,「公平性」是這個系統的「熵」,當「公平性」最大化時,系統就穩定了。此外,研究論文也指出這個平衡態,就是賽局理論中的「奈許均衡點」。

在平衡態時,勞工人數對應薪水會呈現「對數常態分布」,大多數的勞工領取略低於平均的薪水,少部份的人領取高薪,大體而言,薪資最高的Top 10%之人,會領走總薪資中25%左右的薪水,其餘的90%勞工會則領走剩下的75%。

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對數常態分布圖(示意)

只要那Top 10%的人真的是靠自己付出的勞動成本,而不是靠別人來獲取高薪,那麼這樣的薪資分配應該是公平的。不過我們還是會懷疑,這種純理論的模型真的能反映現實世界的公平嗎?為了要解釋這方面的疑惑,研究人員蒐集了十二個國家的人民所得資料,並套入此模型的數學架構,分析出各國勞工收入分配的公平程度,排名依序為:挪威、瑞典、丹麥、瑞士、荷蘭、澳洲、法國、德國、日本、加拿大、英國和美國。

北歐各國名列前茅,而美國亦不負邪惡資本主義帝國的稱號敬陪末座。這個排名和您心中的印象是否一樣呢?

可惜館主統計力學沒學好,手邊也沒適當的資料,否則真想看看台灣的收入分配會落在排名中的哪個位置哩!

參考資料:

Venkatasubramanian, V., Luo, Y., & Sethuraman, J. (2015). How much inequality in income is fair? A microeconomic game theoretic perspective. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications435, 120-138.

本文轉載自吳京的量子咖啡館

文章難易度
吳京
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正職是二個娃兒的奶爸,副業為部落格《吳京的量子咖啡館》之館主。為人雜學而無術、滑稽而多辯,喜讀科學文章,再用自認有趣的方式轉述,企圖塑造博學又詼諧的假象。被吐嘈時會辯稱:「不是我冷,是你們不懂我的幽默。」

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「數」養生活就從今天開始!談談數學教育的跨領域思維 ft. 數感實驗室賴以威老師【科科聊聊 EP.58】

PanSci_96
・2021/09/24 ・2816字 ・閱讀時間約 5 分鐘

賴以威老師近年來不餘遺力的推廣數學教育,他與數感實驗室的團隊前進校園,設計好玩好學的國小實驗課、以身作則的舉辦教師研習、還配合國中課業需求推出必修課與題本,業務早已超過數感實驗室剛成立時的規模。一路走來雖然秉持一貫的教育理念,但在教育現場實現了多少?改變了什麼?本集泛泛泛科學邀請賴以威老師談談數學教育的探究、實作與跨領域思維!

不餘遺力地推廣數學教育的賴以威老師。圖/賴以威 提供
  • 02:03 數感實驗室的數學教育

數感實驗室」一開始是賴以威老師與太太 Stacy 於 2016 年成立的粉專,主要刊登數學文章,不過後來發現都是大人在看,粉專並沒有適合小朋友的數學教育,夫妻倆便著手開發好用、好學、好玩的數學課程,從知識切入,跨領域整合數學、科學、歷史、人文、藝術等領域。

延伸閱讀:數學風箏│巨大化,正四面體風箏!在家防疫DIY【數學實驗課】國小數學實驗課 秋季視訊班

開發好玩又好學的數學課程。圖/賴以威 提供
  • 05:50 以威老師如何做到跨域整合?

以威老師表示最原始的動力當然是興趣使然,除此之外還跟他在博士班培養出來的能力有關:研究方法、定義問題、找資料、實現概念,這些能力不僅限於研究,更一路演變成他後來從事科普的技能。下關鍵字、判別可信度、延伸搜尋、產生內容…這些都需要經驗累積。「只講科學不講故事很可惜」,他認為科普內容都要帶出科學背後的意義,所有科學事件都是一個故事,可以多面向探討,自然而然的做到跨領域。

  • 11:20 108 課綱期望學生達到的素養是否太強人所難?

以威老師坦承 108 課綱講求的探究活用精神是他到研究所才掌握的能力,這樣要求國高中生似乎其困難。但是以前的教學觀念不一定要蕭規曹隨,小孩能否學會什麼都是可以討論的,「探究活用」是看待知識的態度,的確有可能在國高中階段就學會。

延伸閱讀:數感盃

  • 16:12 我們該以什麼態度看待新課綱?

如果我們把新課綱定義為培養好奇心,為了滿足好奇心,學生必須主動探究知識,而不是被動學習。好奇心就是這個時代學習的重要因素。當課堂不再是知識的唯一管道,老師不一定得擔任教學角色,當老師必須做的事變少了,引導學生、培養好奇心、探究實作與活用顯得更重要。

老師不一定得擔任教學角色,引導學生、培養好奇心、探究實作與活用顯得更重要。圖/賴以威 提供
  • 18:21 實務上有這麼理想嗎?

在數感實驗室舉辦的教師研習中,團隊遇過非常積極的老師、也遇過只習慣過去教法而否定新教法的老師,賴以威覺得這都在所難免,數感只能做更多研習,讓更多老師認同教學理念,並提供材料幫助老師無痛轉換。而家長與孩童方面,偶而也會有人反應都沒算到數學題目,對新教法不甚理解,這些都需要慢慢溝通。參與新課綱的人很多:老師、家長、學生、政府、大學、民間團體…我們都需要勾勒出共同的理想。

  • 23:55 何謂「數感」?

團隊認為數感分成「察覺關聯」與「應用數學分析決策」兩個層次。對不熟悉的人來說還是要輔以大量舉例才有機會了解,對孩童來說得花更多時間領會。所以團隊鼓勵大家來參加數感實驗室的活動,從機器人輸入輸出的參數體會函數概念、蓋紙房子學習錐體柱體與建蔽率、還有這次的四面體風箏與曲線刺繡都是數感的一種!

追蹤:數感活動

孩童正製作的四面體風箏也是數感的一種!圖/賴以威 提供
  • 28:10 人人有數感

Uber 饗食方案划算嗎?集點卡可以省多少錢?股票會賺嗎?人們平日的決策過程都是數感的表現,但是很多人卻把自己會的數學當作常識,自己不會的數學當做數學。其實,只要有算就是數學,意識到更多生活方面都可以應用數學還可以幫助我們過更好的生活。當你不排斥其他領域,就能夠處理更多知識、解決更多問題。

  • 31:57 教學理念與升學表現的平衡

一昧在教學中強調好奇心又太過理想化,尤其國中生有升學壓力必須顧及學業表現。數感團隊也在拿捏,從強調好奇心的數學課向升學的方向靠攏。像是數感的國中課程就有許多建立數學情境的素養題目:講求平均值的區間測速、二十進位的瑪雅數字、正負數計算高鐵票價,這樣同時培養了探究實作的素養也搭配學校課程幫助課業表現。

延伸閱讀:不需要測速照相機就能抓超速?區間測速原理大解析- PanSci 泛科學

  • 38:13 數感實驗室的課程設計

數感實驗室目前堆出的課程有國小與國中兩種,國小數學實驗課以引發好奇心為主,國中必修課與生活情境連結幫助課業提升。

其中九年級非選實戰題考驗著把文字轉換為數學問題的能力,是學生最缺乏也最難教的,甚至很多高中生都還再學習。從這點來看,有老師認為七年級題本也可以給高中生做。當然數感也希望盡快開發出對應完整學程的課程讓所有學生直接使用。

另外題本也可視為科普文章,大人也可以寫喔。y 編回憶起學生時代的題目才發現都沒搞懂,因為以前的教學沒有連續的思維養成,希望現在的題本可以整合以前學習的片段知識。

  • 43:12 更多關於數感的資訊

追蹤數感實驗室官網,獲取精選文章、影片、課程與活動資訊、題本、還有賴以威老師親簽書籍喔!

節目的最後,以威老師也分享疫情期間的線上課程其實比較辛苦,但有些功能如軟體模擬、分組、Jamboard、延伸閱讀等等也是實體課程做不到的。另外線上課程不限地點皆可參加,連家人都可旁聽,這些特性都必須好好把握的。


泛泛泛科學 Podcast 這裡聽:


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