財經首長也該上的物理課

歐美地區審判巫師的情況在 18 世紀已經看不到，但今日仍有許多國家（尤其在開發中地區）還有指控巫師與獵巫的事。例如非洲南撒哈拉沙漠地區，就指控巫師散布愛滋病毒使人病亡。崇信巫師與殘殺巫師是古今中外的普同現象。

研究歐美巫師的文獻非常豐富，只要在亞馬遜書店（Amazon.com）打入 witchcraft（巫師），就可以找到讀不完的著作。孔復禮（Philip Kuhn）的名著《叫魂》（Soulstealers，1990）研究乾隆盛世的妖術大恐慌。歐洲現在較可追溯的事件是 13 世紀由宗教機構（尤其是天主教法庭）執行的巫師審判，但到了中世紀晚期，就少見到教會介入，審判巫師的事件減少許多。

有人提出不同的解釋，說明為何巫師人數會減少，其中一種說法是：專業男性醫師出現後，女助產士和女性民俗療者（女巫）的活動空間就少了。

景氣愈差，獵巫愈盛

大多數對巫師的研究，都屬於某個地區的某些案例或某類行為，屬於微觀層面的分析。哈佛經濟系的女博士生艾蜜莉．奧斯特（Emily Oster）2004 年發表一篇宏觀性、跨地區性的報告，檢討為什麼文藝復興時期的歐洲會出現大規模的巫師審判。

奧斯特採取不同的切入點，認為主要是經濟性的因素：氣候轉入小冰期，農穫減少，在糧食短缺的壓力下，必須去除生產力最低的窮人、老人、寡婦，這些邊際人口的罪名就是巫師。

為什麼會有這種奇特的見解？

因為審判巫師活動最盛的時期，正好都是平均氣溫較低的階段，也就是氣象史上的小冰期。這會導致農作物歉收，海水太冷也會影響漁獲，這對歐洲北部的食物供應產生嚴重衝擊。巫師審判增加、氣候變冷、經濟成長下滑，這三者間應該不是單純的相關，而是有因果關聯。

為什麼要用指控巫師的方式來消除邊際人口？

因為巫師的陰森形象，最容易引起民眾驚恐排斥。歐洲的宗教勢力龐大，擁有現成的教會組織網路，方便利用制度殺人。以天主教為例，驅魔是教廷正式許可的作為，教宗保祿二世曾替少女驅魔但未成功。

如果 21 世紀初期的歐洲尚能接受教宗驅魔，我們對文藝復興時期的獵巫就不必驚訝了。幾乎所有的宗教都會提到魔鬼，《舊約聖經．出埃及記》第 22 章 18 節說：「行邪術的女人，不可容她存活。」天主教和基督教的獵巫史久遠，道教和佛教對這方面的記載更不少。

大致說來，文藝復興時期歐洲的獵巫在 15 世紀初期相當明顯，15 世紀末到 16 世紀之間暫時平息。16 世紀中葉到 18 世紀末是最嚴重的階段，這也是本章探討的時期。歐洲自中世紀以來就有許多記載巫師的文獻。

以 1486 年出版的《女巫之槌》（Malleus Maleficarum）為例，這本類似巫術大全的書，對各式各樣的巫術信仰、巫師的法力與作為都有詳盡記載。也提供完整的引導，要如何審訊嫌疑巫師，使她（他）們認罪；解說巫師如何呼風喚雨、破壞農作、興風作浪、打閃電、引發海嘯。這些都是非人力所能及的自然現象，卻硬要巫師代罪。這本書教導獵巫的方法，以及法官如何識別巫術、對女巫施酷刑。

氣溫變化才是獵巫的主因

從氣象史的角度來看，10 ∼ 13 世紀之間的平均氣溫是 400 年的中世紀溫暖期。14 世紀起氣溫開始下降，直到 19 世紀初期回暖。在這段小冰期，最寒冷的是 1590 年代，以及 1680 ∼ 1730 年之間，平均溫度約比之前的世紀低華氏 2 度。

數字看起來好像很小，但已足夠讓接近北極圈的冰島被冰塊包圍，倫敦的泰晤士河和荷蘭的運河結凍。平均氣溫降低華氏 2 度對農作物有何影響？如果今天冷明天暖後天熱，全年的總積溫不變，短暫的溫度失調對農作物沒有影響。但如果整年平均低華氏 2 度，365 天總積溫降低 730 度，那就嚴重了。

英國著名的經濟學者史丹利．傑文斯（Stanley Jevons，1835 ∼1882）研究過太陽黑子活動對農業歉收的影響，也有人研究印尼火山爆發對全球氣溫變化的影響。

現在奧斯特要用具體的數字來觀察，氣溫變化和獵巫在統計上是否顯著相關。研究歐洲獵巫的學者，早就把氣候極端化當作控訴巫師的重要因素。奧斯特想用計量工具證實這項假說，她得到的答案很明確：Yes。

——本文摘自《經濟史的趣味》，2023 年 6 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。

兒時的電腦遊戲「大富翁」裡，有個道具叫「均富卡」，其功能是讓所有玩家手上的現金平分。雖然說炒地皮才是這個遊戲的致勝之道，但均富卡仍是出門在外，居家旅行，爾虞我詐的必備良卡。

面對真實世界中「收入不均」的問題，有時也希望拿張「均富卡」來解決，然而均富卡是虛幻的，要改善這種狀況，必須有良好的法令及稅制。不過在研究什麼是好的法規前，也許我們要搞清楚一個更根本的問題：怎樣的收入分配才算公平？

這個問題不好回答，但可確定「均富卡」式的齊頭平等並非好答案。就像去應徵工作時，不會期望當保全和當CEO會有同樣的收入。而且回答這個問題很容易得罪人，所以當政治人物被問到「怎樣的收入分配才是公平？」時，最佳的回覆或許是「我們需要社會有一定的共識，而且要有完整的配套及過渡，用謹慎的態度面對這個問題。」

如果你對政治式的回答不滿意，不妨看看哥倫比亞大學化工系的Venkatasubramanian教授和工業工程系的Sethuraman教授如何用「統計力學」的方法來尋求答案。

（謎之音：Venkatasubramanian教授的姓也太長了吧！）

看到「統計」二字，首先聯想到馬克·吐溫所說的：「謊言，該死的謊言及統計數字」。不過「統計力學」其實和「統計學」是完全不同的概念。統計力學是藉由配分函數（Partition function），分析一個有大量組成成分的系統，將微觀物理狀態與宏觀物理量統計規律連結起來的科學─聽起來有點難懂啊！好在中文的世界博大精深，可用成語解釋之，統計力學就是一個「觀微知著」的科學。

比方說，觀察一枚銅板，知道它擲出後有一半的機率是正面，一半機率是反面，就可以推論出丟二枚銅板時，出現兩個正面或兩個反面的機率各是1/4，而出現一正一反的機率是1/2。

此問題由統計力學的角度觀察，會牽涉到一個較為抽象的概念，謂之「熵」。「熵」的大小取決於系統所包含的狀態數，一個封閉系統的「熵」通常只增不減，當「熵」達到最大值時，系統即處於統計上最可能出現的狀態，或稱之為平衡態。以二枚銅板的系統為例，一正一反的狀態數為2 （正反、反正），二個正面或二個反面的狀態數各為1，故一正一反是此系統最可能出現的情況。「熵」的概念在丟銅板的問題中顯得有些多餘，但面對更繁雜的系統時，「熵」是不可或缺的思考工具。

統計力學發展之初，乃用於解釋熱力學中關於氣體分子運動的問題。科學家用類似丟銅板的概念加上複雜許多的數學，可以從一個氣體粒子該處於何種能量態的角度出發，推導出在平衡態時，一團理想氣體在給定溫度下各個分子的速率分布狀況，稱為「波茲曼分布」。

Venkatasubramanian等人建立的自由市場模型，則是推導出資方總薪水預算不變的狀況下，一群勞工薪水所得的分布狀況。統計力學能在此發揮作用，是因為模型中勞工的行為模式，可與熱力學中的氣體分子類比：

在熱力學所謂的理想氣體中，每個氣體分子可於限定的體積內自由的移動，而此自由市場模型中的每個勞工，也可於職缺間自由轉換；兩個理想氣體分子在相互碰撞時，其中一個分子的能量會轉移到另一個分子上。同樣的，在總薪資不變的前提下，當兩個勞工職缺異動時，很可能是其中一員薪水增加，而另一員減少。

不過氣體分子是隨機運動的，而勞工則時時刻刻想謀取更佳的職位。

模型中假設勞工謀職的考量主要有三個因素：「薪水」、「勞動成本」和「公平性」。「薪水」無須解釋，扣除勞動成本後的餘額越高，對勞工越有吸引力。「勞動成本」除了包含工時及勞動力等顯性成本外，亦包含練就工作專業所需投入的心血。因此在這個模型中，高薪的職務勞動成本也會提高，與現實生活中需要寒窗苦讀才能從事高薪專業的工作很像。

「公平性」則要舉例說明：假設甲、乙兩人分別是兩間鍋貼店的員工，他們每小時都可以做出60個鍋貼，得到的薪水也相同。若甲的同事們每小時也能做出60個鍋貼，但乙的同事每小時卻只能做出30個鍋貼，那麼就會導致「甲」安於工作，而「乙」想要另謀他職，即便他們的薪水和勞動成本的差額其實是一樣的。

依此模型推算，若這個自由市場運作正常，沒有惡性倒閉的老闆、也沒有靠關係不做事的員工，那麼當每位勞工感到公平時，就是此系統的平衡態。換句話說，「公平性」是這個系統的「熵」，當「公平性」最大化時，系統就穩定了。此外，研究論文也指出這個平衡態，就是賽局理論中的「奈許均衡點」。

在平衡態時，勞工人數對應薪水會呈現「對數常態分布」，大多數的勞工領取略低於平均的薪水，少部份的人領取高薪，大體而言，薪資最高的Top 10%之人，會領走總薪資中25%左右的薪水，其餘的90%勞工會則領走剩下的75%。

只要那Top 10%的人真的是靠自己付出的勞動成本，而不是靠別人來獲取高薪，那麼這樣的薪資分配應該是公平的。不過我們還是會懷疑，這種純理論的模型真的能反映現實世界的公平嗎？為了要解釋這方面的疑惑，研究人員蒐集了十二個國家的人民所得資料，並套入此模型的數學架構，分析出各國勞工收入分配的公平程度，排名依序為：挪威、瑞典、丹麥、瑞士、荷蘭、澳洲、法國、德國、日本、加拿大、英國和美國。

北歐各國名列前茅，而美國亦不負邪惡資本主義帝國的稱號敬陪末座。這個排名和您心中的印象是否一樣呢？

可惜館主統計力學沒學好，手邊也沒適當的資料，否則真想看看台灣的收入分配會落在排名中的哪個位置哩！

參考資料：

Venkatasubramanian, V., Luo, Y., & Sethuraman, J. (2015). How much inequality in income is fair? A microeconomic game theoretic perspective. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 435, 120-138.

本文轉載自吳京的量子咖啡館

過去也有多次政府發錢刺激消費的作法，但他們發的不是錢，而是有使用限制的「消費券」。

既然可以發錢，為什麼之前要發消費券呢？這次又為什麼要發現金？

從經濟學的角度來看，過往的消費券到底是什麼，與這次發現金的使用情境有什麼不一樣？

什麼是消費劵

對消費者來說，消費券就是被限定用途的紙鈔或者是折價券；但從政府的角度，或從經濟學的角度來看，消費券並非這麼簡單。在了解消費券前，要先有兩個概念：「經濟活動循環」及「景氣循環」。

在最簡單的經濟行為流程裡，我們看的是「家計部門」與「廠商」，也就是消費者與生產者之間的互動。「家計部門」需要買各式各樣的產品維持生存或生活品質，「廠商」則提供這些產品，這兩者組成了「產品市場」；「廠商」為生產商品所需的勞動力，就由「家計部門」提供，形成了「勞動市場」或是「生產要素市場」。

將上述概念再加入相反的資金流向，如：購買產品的消費支出、提供勞動力的薪水所得等，就可繪製成「經濟活動循環圖」。

而在一次的「景氣循環」中，會分別經歷擴張期與收縮期；根據國家發展研究院的定義，每個時期所持續時間的至少為 5 個月，走完一次循環則需至少 15 個月。

在擴張期中會先經歷探底復甦，接者是穩定成長，最後來到高峰繁榮期；在這之後就會進入收縮期，開始經濟衰退，直到觸底復甦進入新循環。

舉一個不遠的經濟衰退案例，那就是 2008 年全球金融危機。當時由於美國房地產市場崩潰，房價急劇下跌，許多人失去了房屋資產，造成負債問題；導致消費者信心下降、消費減少，進而使生產減少。此外，由於銀行與金融機構資產負債問題激增，使得貸款停止，造成資金不流動；這麼一來企業也必須減少生產，進而裁員、倒閉，失業率隨之攀升。 

有了「經濟活動循環」和「景氣循環」概念，我們可以幫消費券下個定義了：就是透過增加家庭的消費支出，來復甦產品市場；通常在經濟衰退時使用。也就是說，消費券是政府發給我們的消費工具，希望再補點錢把廠商的庫存清光，增加消費來維持市場穩定，避免持續經濟衰退。

發消費券與現金的成效

那麼，直接發錢跟消費券的功能一樣嗎？發現金也會刺激消費，但消費券刺激的力道理論上會再強一些。

由於消費券在設計上會「排除基本必須開支」，這麼一來便會減少用於「消費替代」的機會，像是水電費、勞健保費、或是繳稅跟罰金，而消費券的各種優惠跟加碼活動，都激勵我們花超過原本支出的錢。另外，「限時用完」、「不找零」、「排除儲值跟預付類消費」都是消費券的關鍵設計，目的就是要在短時間內激發經濟流動性。

反過來說，發現金不像消費券，有明確的優惠活動可以刺激我們亂花錢，在沒有使用期限跟排除開支項目的情況下，這些錢還可以自由分配到每個月的日常支出裡；假如沒有多花一些錢，發的現金將不會幫助消費增長。

新冠疫情影響下，美國在 2020 年普發現金：成人發 1200 美元、兒童 500 美元，年底再加碼 600 美元，2021 年又發 1400 美元。根據美國聯準會紐約分行研究，截至 2020 年 6 月底，民眾取得的現金補助中，有 36% 為儲蓄、35% 償還債務，僅 29% 用於消費，民眾甚至表示，在收到 2021 年的補助金後，會花更多錢去還債。

而日本則於 2021 年底，向全民普發 10 萬日圓的特別定額給付金，日本 Money Forward Lab、早稻田大學與澳洲昆士蘭大學的共同研究研究指出，給民眾的給付金中，只有 6％ 到 27% 用於消費，其中非日常用品的支出沒有明顯改變。

那消費券的成效呢？根據經濟部對 2020 發放的振興三倍券評估成效，考量印製、宣傳與行政，包含發給我們的 2000 元，總成本為 510.5 億元，以領取率接近 100% 來計算，大約就是 2300 萬人去攤這 510.5 億，政府在每一個人身上花約 2220 元，而每人平均消費了 5785 元；等於政府花 1 元能換來 2.6 元的消費，是有效果的。

不過由於使用情境不同，不好將日美發放的現金與我們的振興券相比較。

日美發放的是「紓困金」，目的是幫助人民度過難關；針對這些「紓困金」得用社會投資報酬率（SROI）來考慮，也就是衡量投入資源，所得到「非財務面」的回饋與報酬，例如社會安全、社會價值等。

搞笑諾貝爾經濟學獎

那這次台灣發現金的目的到底是什麼呢？假設是要振興經濟，應該不是個好方法。若用社會投資報酬率來看，不少人提出更該把要拿來發的 1800 億用於投資科學技術研究、大學經費或減免高等教育學費，而非普發 6000。

讓我們回顧 2022 年搞笑諾貝爾經濟學獎，研究團隊以每隔五年會獲得「政府資金」補助，並在模型裡設計了好幾種情境，除了把經費徹底平均分配的普發式外，還有只補助過去表現好的人的菁英式，一部分重點補助菁英，剩下再普發的折衷式，以及最後一個亂槍打鳥樂透式。每一式再加入補助金額高低變化，總共有 18 種方案。

延伸閱讀：
【2022 年搞笑諾貝爾經濟獎】不想努力的我，把運氣點滿就對了

透過這個人生遊戲模組，若以研究定義的成功率來看，折衷式的其中一種方案讓「高能力族群」的成功率從沒有補助的 32.05% ，一口氣提高到 94.82%，其結果最好，但也是所有方案中最貴的；相較之下，如果採取普發式的其中一種方案，成功率也可以達到 94.40%，政府花費還低了將近一半。

若不只看成功率，而是看政府每花一塊錢能增加多少高能力族群成功率的效率來判斷，竟然還是普發式的方案結果最好，能用最少的花費，就讓成功率提升到 69.48%！表現最差的方案，都是菁英式，其中只把錢給過往表現前 10% 的極端菁英方案，效率只有最佳普發方案的 1/25。

研究者也提到，在真實世界中，折衷式方案一方面人人有獎，一方面也給表現較好的人鼓勵，可能產生激勵效果，讓所有人都更加努力，發揮更大的整體效果。

再回到一開始討論的，現在政府有一筆多出來的錢，而預期目標是讓人民的生活過得更好，這筆錢該直接給民眾，還是執行特定的菁英投資政策呢？若是按照搞諾經濟學獎，就是直接普發！（難道政府裡也有和我們一樣熱愛搞笑諾貝爾獎的好捧油？XD）

然而，不管是從經濟學基本原理、過往發現金跟消費券的效益評估，還是搞笑諾貝爾經濟學獎的人生遊戲模型，其實都無法替普發 6000 還稅於民的政策效果背書，一時半刻也很難看出效益。

說到這裡，6000 元你打算怎麼花呢？

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前言：本文為鑑識系列中，罕見提及統計學的故事。不過，繁複的計算過程全部省略，僅討論統計概念和辦案原理。請害怕數學的讀者放心。

荷蘭護理人員 Lucia de Berk，長年於海牙茱莉安娜兒童醫院（Juliana Kinderziekenhuis）的 1 個病房，與紅十字醫院（Rode Kruis Ziekenhuis）的 2 個病房工作。2001 年 12 月，她因謀殺罪嫌被捕。^[1]

超幾何分佈

警方起先偵辦 2 名住院病患的死因，發現是中毒身亡；後來連帶調查 1997 至 2001 年間，幾家醫院可能的謀殺案件，於是找上了她。^[2]在法庭上，司法心理學家 Henk Elffers 用機率的概念，證明 Lucia de Berk 有罪。簡單來說，就是計算嫌犯現身出事班次的機率。他採取的統計方法，叫做超幾何分佈（又稱「超幾何分配」；hypergeometric distribution）。^[1]

超幾何分佈適合用在從一個母數中，隨機抽取樣本，不再放回的情形。例如：袋子裝有 N 顆球，其中 L 顆為紅球。一把抓出 n 顆球，不特別挑選的話，紅球碰巧被抓到的機率為 X。^{[3, 4]}以此類推，在此案被調查的時間範圍內，病房總共有 N 個班次，其中 Lucia de Berk 值了 L 班，而有醫療事故的班次共 n 個。如果不刻意安排，則她正好出現在事故班次的機率為 X。^[1]（公式介紹。^[4]）

此處實際帶入數據後得到的答案，說明 Lucia de Berk 理論上應該只有 3 億 4 千 2 百萬分之一（X = 1 / 3.42 x 10⁸）的機率，會剛好在醫療事故發生的班次值班。因此，法庭認定她的頻繁出現（> 1 / 3.42 x 10⁸），絕非巧合。^{[1, 2, 5, 6]}2003 年，Lucia de Berk因 7 起謀殺和 3 次殺人未遂，^[2]被判終身監禁。^[5]

統計謬誤

當時有位醫師任職於 Lucia de Berk 待過的一家醫院。他的女性姻親 Metta de Noo-Derksen 醫師，以及 Metta 的兄弟 Ton Derksen 教授，都覺得事有蹊蹺。^[7]Metta 和 Ton 檢視死者的病歷紀錄，並指出部份醫療事故的類型和事發時間，與判決所用的數據對不起來。因為後者大半仰賴記憶，他們甚至發現有些遭指控的班次，Lucia de Berk 其實不在現場。然而，光是這些校正，還不足以推翻判決。^{[1, 7]}

所幸出生於英國的荷蘭萊頓大學（Universiteit Leiden）統計學榮譽教授 Richard Gill，也伸出援手。^[2]在協助此案的多年後，他的團隊發表了一篇論文，解釋不該使用超幾何分佈的理由，例如：^[1]

1. 護理人員不可互換：所有受訪醫師都說，護理人員可以相互替換；但是護理人員覺得，他們無法取代彼此。由於各別的個性與行事風格迥異，他們對病患的影響也不同。^[1]
2. 醫療事故通報機率：既然每個護理人員都有自己的個性，他們判定某事件為醫療事故，並且通報醫師的機率也不一樣。^[1]畢竟醫院的通報規定是一回事；符合標準與否，都由護理人員判斷。比方說，有個病患每次緊張，血壓就破表。那就讓他坐著冷靜會兒，再登記第二次測量的正常結果即可。不過，難免會有菜鳥護士量一次就嚇到通報，分明給病房添亂。
3. 班次與季節事故率：夜間與週末只剩護理人員和少數待命的醫師；季節性的特定病例增減；以及病患的生理時鐘等，都會影響出事的機率。^[1]
4. 護理排班並不平均：護理人員的班次安排，理想上會有帶狀的規律。可能連續幾天都是白班，接著是幾個小夜班之類的，^[1]比較方便調整作息。此外，護理人員的資歷和個性，通常也會被納入考量。^[1]以免某個班次全是資深人員；但另個班次緊急事故發生時，卻只剩不會臨機應變的新手。在這樣的排班原則下，如果單看某個時期的班表，每個人所輪到的各類班次總數，應該不會完全相同。
5. 出院政策曾經改變：茱莉安娜兒童醫院在案發期間，曾經針對確定救不活的小病患，是否該在家中或病房離世，做過政策上的調整。帳面上來說，算在病房裡的事故量絕對會有變化。^[1]

總之，太多因素會影響護理排班，或是干擾醫療事故的通報率，因此不能過度簡化成抽取紅球那樣的隨機概念。更嚴重的是，Henk Elffers 在計算過程中，分開處理 3 個病房的機率，然後再相乘。Richard Gill 的團隊強調，這樣會造成在多處上班的護理人員，比只為一處服務者，看起來有較高的嫌疑。^[1]

帕松分佈

因應這種情境，Richard Gill 教授建議採用帕松分佈（又譯「布阿松分配」；Poisson distribution），^[1]一種描述特定時間內，事件發生率的統計模型。^[8]有別於先前的計算方法，在這裡事故傾向（accident proneness），以及整體排班狀況等變因，都納入了考量。前者採計護理人員通報醫療事故的意願強度；後者則為輪班的總次數。這個模型通常是拿來推估非尖峰時段的來電、大城市的火災等，也適用於 Lucia de Berk 的案子。^[1]（深入瞭解公式和計算（p. 4 – 6）。^{[1, 8]}）

雖然此模型的細節複雜，統計學家得大費周章解釋給法官聽，但是考慮的條件比較趨近真實。倘若套用原始判決的數據，這個計算最後的答案是 0.0206161，意即醫療事故本來就有 49 分之 1 的機率，會與 Lucia de Berk 的班次重疊。如果帶入 Mettade Noo-Derksen 和 Ton Derksen 校正過的數據，機率更高達 9 分之 1。^{[1, 9]}換句話說，她單純是倒楣出現在那裡，就被當作連續殺人犯。^[6]

其他證據與翻案

大相逕庭的計算結果，顯示出選擇正確統計模型的重要性。然而，最不合理的，是以機率作為判決的主要根據。就謀殺案件來說，怎能不忠於病歷或驗屍報告？Richard Gill 教授接受美國犯罪學講師 Jon Robins 的訪問時，表示後來由醫師和毒物學家組成的獨立團隊，被允許瀏覽當初沒送上法庭的關鍵資料。^[2]他們發現原本被視為受害者的病患，根本都喪命於自然死因。^{[2, 6]}

在各方人士的協助下，Lucia de Berk 還是歷經兩次上訴失敗。^[6]她曾於 2008 年，被允許在家等候重審結果。^[1]但直到 2010 年 4 月，司法才還她清白。^[7]Ton Derksen 認為，在荷蘭像這樣誤判的案件，約佔總判決數的 4 至 11%，也就是每年 1,000 人左右。不過，2006 到 2016 年間被判刑的 2 萬 3 千人裡，只有 5 個上訴到最高法院，而且僅 Lucia de Berk 的案子得以平反。^[10]

參考資料

1. Gill RD, Groeneboom P, de Jong P. (2018) ‘Elementary Statistics on Trial—The Case of Lucia de Berk’. Chance 31, 4, pp. 9-15.
2. Robins J. (10 APR 2020) ‘Ben Geen: Statisticians back former nurse’s in last chance to clear name’. The Justice Gap.
3. 「超幾何分佈」國立高雄大學統計學研究所（Accessed on 03 FEB 2023）
4. 李柏堅（06 FEB 2015）「超幾何分配」CUSTCourses on YouTube.
5. Sims J. (24 FEB 2022) ‘Are We in the Midst of a Data Illiteracy Epidemic?’. Inside Hook.
6. Schneps L, Colmez C. (26 MAR 2013) ‘Justice Flunks Math’. The New York Times.
7. Alexander R. (28 APR 2013) ‘Amanda Knox and bad maths in court’. BBC News.
8. 李伯堅（04 FEB 2015）「布阿松分配」CUSTCourses on YouTube.
9. Wilson D. (13 DEC 2022) ‘Red flag to be wary of when hunting a killer nurse’. The Herald, Scotland.
10. ‘One in nine criminals may have been wrongly convicted – research’. (21 NOV 2016) Dutch News.