接下來我要告訴你一個很漂亮的發現，它是在第四世紀初做出來的，當時已是古典幾何時期的尾聲。當中的概念，最早出現於希臘幾何學家帕普斯（Pappus of Alexandria，西元320年前後）的數學著作裡。
首先我得說，要進入這個主題讓我有點惴惴不安，因為它的某些層面相當棘手，我不清楚該如何解釋。（可能有些地方我只能兩手一攤。）
我們從甜甜圈開始談起──呃，我所指的是甜甜圈形狀，不是指甜點。
到現在為止，我們還不真正需要精確描述出形狀。形狀是由平面上或空間裡的點，以某種簡單、賞心悅目的排列方式組成的。我們可說已經很熟悉球體、圓錐或長方形了。那麼甜甜圈又是什麼樣的形狀？
我最喜歡的思考方式，是想像有個圓形繞著空間裡的一條直線旋轉。
這種甜甜圈狀的抽象幾何形狀，叫做環面（torus）。所謂的環面，就是指一個圓沿著圓形路徑在空間中移動所構成的軌跡。
我認為，像這樣把一個幾何形狀描述成另一個形狀的運動軌跡，是很了不起的想法。這不僅產生了類似環面這種新奇的形狀，也讓我們能夠以新的眼光看待熟悉的事物。譬如立方體，就可以看成是一個正方形沿著直線路徑運動的軌跡。
偶爾我喜歡假裝正方形是一隻史前動物，在數百萬年前沿著這條路徑爬行，於是立方體就是牠奮力爬行的「化石紀錄」。我想到的另一個畫面則是雪地裡的足跡。長方形正是一根棍子側向移動留下的「足跡」。
重點是，許多漂亮的形狀可以視為某種運動的結果。
你能不能想出兩種把圓柱體解釋成運動軌跡的方式？
問題是，以這種方式來解釋一個形狀，對於度量是否有任何幫助。描述與量度之間的關係，是幾何學上一再出現的主題。物件的量度會如何隨著描述方式的不同而改變？
尤其，一個物件如果是某個更簡單形狀的運動軌跡，它的量度與這個簡單形狀及其移動方式，究竟有何關係？這是一千六百年前帕普斯提出的問題，而我想要解釋的，正是他的偉大發現。
我就從我們在前面看過的鳳梨片開始好了。
我們現在所講的，是夾在兩個同心圓之間的空間。這種區域叫做環形（annulus）。對於這個形狀，我們很自然會想成是中間去掉了一個小圓的圓形區域。
另一方面，環形也可以看成一根棍子沿圓形路徑運動所掃出的形狀，就像鏟雪車繞著一棵樹鏟完雪的結果。
假如棍子（或鏟雪車）是直線行進，當然就會掃出一個矩形。現在我們就能把環形與矩形，視為與同一個概念有關連的不同面貌──此概念就是「由棍棒的運動所形成的形狀」。這很有意思，因為環形與矩形在幾何上大不相同。譬如說，如果你試圖把矩形彎成一個環形，可能不會太順利；內圈的邊會扭曲變形，而外圈的邊會扯破。這情景不大妙。
與環形和矩形有關的有趣問題，就是該怎樣比較兩者的面積。假設我們手邊有根棍子，讓它繞著圓形路徑掃一圈，構成一個環形。那麼需要多長的直線路徑，才能夠掃出同樣的面積？這正是帕普斯想知道的事情。
如果預期正確答案介於環的內、外圓周長之間，這很合理。最自然的猜測是兩圓周長的中間值。我們就假設可以特別安排，讓矩形的長度剛好等於這個「平均」圓周長。那麼兩者的面積一定相符嗎？
結果真的相同。事實上，還有個好方法可以看出這件事，這個方法關連到巴比倫的平方差公式
。
概念如下。這個環形完全由內、外圓的半徑來決定。令外圓半徑為R，內圓半徑為r。當我們把這個環形想成兩圓的差，它的面積就會等於
。
對於矩形，我們需要知道棍子的長度以及路徑長。棍子的長度很容易，就是R – r。知道為什麼嗎？而通過環形中央的圓，它的半徑是內、外圓半徑的平均，所以就此意義來說確實是平均值。換句話說，中間圓的半徑是
。
由於圓周長永遠是2p 乘以半徑，因此路徑長（連同矩形的長度）必為
最後，矩形的面積等於長寬的乘積，也就是
恰好是環形的面積。我很喜歡代數與幾何像這樣互相連結起來。屬於代數的平方差公式，由環與矩形的幾何等價關係呈現出來。
不妨把中間的圓形，想成是棍子中心點的移動軌跡。換句話說，中心點行進的距離才是重點。具體來說，我們已經發現，如果棍子的中心點沿著圓形路徑移動一段長度，所掃出的面積會和沿著直線路徑時的面積相同。不管是直線還是圓形路徑，掃出的面積都等於棍子長度與路徑長的乘積。
這個例子正說明了描述（把環形描述成棍子的移動）對於量度（棍子和路徑很巧妙地決定了面積）的影響。就像我先前講過的，幾何學討論的正是描述與量度之間的關係。
這個例子還可以進一步延伸。假設我們是沿著任意路徑推棍子（的中心點）。
這樣我們仍然會得出同樣的結果嗎？我們仍能說，所掃出區域的面積會和直線路徑的情形相同？面積就等於棍長與路徑長的乘積嗎？或說我們根本就是得寸進尺？
實際上，不管路徑是何形狀，上述的結果都是對的。看我能不能解釋一下為什麼如此。首先可以觀察到，這個結果也適用於圓弧（整個圓的局部）路徑。
這是因為，弧長及所掃出的面積，都會與整個環形的弧長及所掃面積成比例。特別是，對於環形「小段」和非常細的矩形，此結果也會成立。概念就是，把這些小碎片拼組成更複雜的形狀。
棍子中心點的各種移動軌跡，合起來就構成了一條大的路徑，細部來看是由許多圓弧線段及直線段組成。我們還可以經由適當的安排，讓所做出的路徑盡可能接近我們想達成的路徑形狀。
特別是，我們可以（透過這樣的無窮逼近）讓路徑的總長度，接近我們所想的路徑的長度，而組成小段的總面積，也會接近我們所想的區域的實際面積。由於面積近似值是棍長與路徑長的乘積，且逼近做得越好時，這仍是對的，因此對於我們所想的實際區域，這必然也是對的。窮盡法又幫了大忙。
這正是第一個例子，可說明帕普斯發現的結果適用範圍廣泛：移動棍子而掃出的區域面積，就等於棍長乘上棍子中心點的移動距離。
但有幾個微妙的細節。第一點是，棍子必須隨時與運動方向保持垂直。如果成一個角度斜著推棍子，情況會變得一團糟。
舉例來說，對於歪斜的矩形，帕普斯定理就束手無策了。因為形狀是由小片的環與矩形組成（至少大致上是），而在這些小片上棍子和路徑始終成直角，因此垂直運動是這個方法可處理的唯一一種移動方式。垂直運動正是帕普斯哲學的重要元素之一。
第二個問題是自相交的情形。
如果路徑彎得太劇烈，部分區域就會重複掃過，重疊處的面積也會重複計算。只要保持垂直，並防止急轉彎，就一切順利。
由移動的棍子所掃出的區域周長是多少？
本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學：從不知道到想知道的探索之旅》，經濟新潮社出版。
