圓錐曲線與射影幾何－《這才是數學》

本文與 Panasonic 合作，泛科學撰文 

●以下科學研究內容作為知識分享，不直接與Panasonic A La Uno全自動洗淨馬桶產品功能連結

在做家務的痛苦排行榜上，「刷馬桶」絕對名列前茅。明明天天都在沖水，但過不了幾天，馬桶內壁邊角總會浮現黃黃的水垢、角落發黑的霉斑，甚至是那些刷掉又長出來的粉紅色污垢（黏質沙雷氏菌）。

許多市售衛浴設備常標榜「神奇抗污」或「永久不沾」，讓人誤以為安裝後便能永保潔淨。然而從材料科學的角度來看，世上並無能使污垢憑空消失的魔法。所謂「耐污」的實質機制，並非打造完全不沾染髒污的材質，而是調整表面的物理與化學屬性，使水垢和微生物難以強力附著。一旦降低了污垢與內壁之間的附著力，透過日常水流沖刷，便能輕易地將髒污帶走。

為什麼污垢「黏不住」？ 

要搞懂為什麼某些特殊表面能做到「耐污」，我們得先像偵探一樣，拆解馬桶裡的髒污究竟是怎麼「抓緊」材料表面的。馬桶內壁的污垢主要有兩大難纏的元兇：

1. 水垢與礦物沉積*1：我們日常使用的自來水中含有鈣、鎂等金屬離子。當水滴在表面經歷反覆的濕潤與蒸發乾燥循環時，這些離子會逐漸結晶析出，變成硬度極高、緊緊「卡」在微觀縫隙裡的礦物質水垢。
2. 生物膜與有機物*2：包含尿液中的無機鹽、油脂殘留，以及細菌入侵後分泌出像超強膠水一般的聚合物，所組成的黏滑防禦大本營。

這兩大類污垢想要在材料上「落腳」，前提是它們必須能在表面找到足夠的附著點與黏合力。那麼，材料科學家是如何讓這些髒污「站不穩」的呢？答案就藏在「表面能（Surface Energy）」與「濕潤性（Wettability）」這兩個核心概念中。

當我們把水滴在某個表面上時，水滴會聚成一顆圓滾滾的水珠，還是迅速攤平開來？這取決於表面的特性：

• 疏水路線（Hydrophobic）*1：具備低表面能的疏水表面，能顯著減少水分子或污染物與表面之間的極性作用力與氫鍵。水滴在這種表面上會因為表面張力而收縮成水珠，當水珠滾動滑落時，就能順便把表面的灰塵與礦物質顆粒帶走，這就是著名的「自清潔效應」。
• 親水路線（Hydrophilic / Superhydrophilic）*2：相反地，極度親水的超親水表面則會強烈地吸引水分子，在材料最外層形成一層薄薄的「水化層（Hydration Layer）」。這層水化層就像是實體的液體盾牌，讓油污、蛋白質或細菌無法直接接觸到材料基底，只能漂浮在水膜上方。

如果要用攀岩來比喻：傳統粗糙的表面就像是有許多凹槽的攀岩牆，髒污就像攀岩者，需要找到落腳點並用力撐住才能攀附；而我們做的是抽掉把手點，或是在把手上塗上潤滑油，讓髒污找不到施力點，自然難以停留。

不給細菌「握手」的機會

解決了水垢，下一個更棘手的對手是「細菌」。

馬桶內壁那些黑黑粉粉、摸起來滑滑的污垢，在微生物學中被稱為「生物膜（Biofilm）」。細菌並不是孤立生長的，當單顆細菌落在表面後，如果覺得環境舒適，它就會開始分泌胞外聚合物（EPS），這是一種天然的超強膠水。細菌們用這種膠水把自己與同伴緊緊黏在一起，並築起堅固的防禦堡壘，這時一般的沖水就很難把它們沖洗乾淨了。

根據《Nature Communications》與《Microsystems & Nanoengineering》的學術期刊研究指出，要阻止生物膜形成，除了化學上的抗菌，材料的「表面微幾何結構」扮演了至關重要的角色。

材料科學領域中有一個著名的「附著點理論（Attachment Point Theory）」：

1. 粗糙與微孔洞表面：如果材料表面存在許多微小的裂縫、氣孔或微米級凹洞，細菌（體積通常約 1 到 3 微米）就會興高采烈地鑽進這些小凹槽裡。這些凹槽不僅提供了極佳的機械咬合支點，還能幫細菌擋掉水流的沖刷。
2. 極致平滑與微結構表面：相反地，如果材料表面做到極致平滑，完全沒有微米級的缺陷；或者反過來設計出尺寸遠小於細菌的奈米結構，細菌的足跡構造（如鞭毛或纖毛）就無法在表面找到穩固的「接觸附著點（Contact Points）」。

當細菌發現自己在這個表面上連「手都握不緊」、隨時會被水流吹走時，它就無法順利定殖並分泌膠水築巢。此外，現代衛浴結構在設計時，也越來越強調「一體成形」與「無接縫工藝」。消除接縫與死角，等於直接拔除了細菌與水垢最喜歡的避風港。

當材料、結構與流體科技組隊聯防 

了解了材料化學與微觀幾何，我們就能勾勒出一座現代耐污馬桶的完整防禦體系：【材料層（低附著力）】+【結構層（無縫平滑）】+【動態流體層（泡沫與水流剪切力）】= 高效清潔！

以市面上備受矚目的 Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶為例，就是將材料科學、結構工程與流體力學發揮到極致的典型代表：

1. 材料層：有機玻璃系新素材

A La Uno 全自動洗淨馬桶採新開發的「有機玻璃系新素材」（以壓克力高分子為基礎研發的衛浴專用材料，這類高分子成形技術亦被廣泛運用於大型水族館高壓觀景窗與飛機機艙罩）。這種材料表面具備極佳的疏水性與耐水垢特性，水滴不易長時間攤平停留；材質堅固、不易破裂，耐刮、不易造成細小傷痕。通過實驗測試，這種素材配合泡沫洗淨，在沖洗後能有效沖刷掉高達 99.99% 的大腸桿菌，從源頭阻斷細菌定殖。

2. 結構層：無接縫工藝與三重防濺防護

在宏觀結構上，A La Uno 全自動洗淨馬桶採用無水箱沖水與便器、溫水洗淨便座一體成型設計，減少傳統水箱與座體之間的結構層次及接縫，並搭配可動迴轉式排水系統完成沖洗。更貼心的是其「三重防護」設計：

• 泡沫防護：在水面上製造一層充沛的泡沫緩衝層，有效抑制男性站立小便時的尿液與污水飛濺；
• 外圍防護：馬桶邊界特別設計了高約 3mm 的水檔，防止液體延著外壁滴落至地板；
• 測漏防護：便座與馬桶本體採用不外露的防護設計，避免液體從縫隙飛濺滲漏。

3. 動態流體層：雙效泡沫洗淨、漩渦水流與 nanoe™ X

當污垢降落在馬桶內壁時，A La Uno全自動洗淨馬桶 的動態流體科技便接手進行徹底打掃。其「雙效泡沫洗淨」會先釋放直徑約 5mm 的「毫米泡沫」包裹並帶走大塊髒污，再透過直徑約 60微米的「微米泡沫」深入微觀縫隙，徹底溶解殘餘的油脂與細微污垢。接著，配合高度清潔力的「漩渦型強力水流」，利用旋轉產生的流體剪切力，一口氣將附著力已被削弱的污垢剝離並沖走。此外，Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶還搭襯了 nanoe™ X 健康科技，釋放氫氧離子有效抑制異味與髒污，維持空氣與內壁的良好衛生狀態。

科技讓生活變輕鬆，但物理法則依然誠實

從材料化學的低表面能設計，到微觀幾何的附著點控制，再到流體力學的水流沖刷，一座現代抗污馬桶的演進，縮影了人類如何運用基礎科學來解決日常生活痛點的智慧。

我們習慣將衛生清潔想像成一場與細菌髒污的硬碰硬死鬥。然而，A La Uno全自動洗淨馬桶 等現代衛浴技術的突破，展示了材料科學的另一種聰明思維：不靠強酸強鹼硬打，而是透過物理與化學邏輯，將「污垢固著」的機率降到最低。

當材料科學與現代衛浴技術結合，刷馬桶不再是一件令人頭痛的辛苦瑣事。透過這些前沿科技的加持，我們得以從繁重的家務勞動中解放，享受更加乾淨、舒適且有品質的日常生活。

*1 參考論文：A metallic anti-biofouling surface with a hierarchical topography containing nanostructures on curved micro-riblets

*2 參考論文：Brushing up functional materials

數學家通常都想很多，這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念，試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時，很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問：形狀是什麼？構成形狀的要素是什麼？我們以形狀分辨物體時，會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的，以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼？當我們說某樣東西是圓形時，看到的是什麼呢？

形狀百百種，可以量化嗎？

當然，這些問題沒什麼意義。就實際用途而言，我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想，形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了，我們或許會問自己這個問題：

這個問題很簡單，但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法，稱為廣義龐卡赫猜想（generalized Poincaré conjecture，或譯龐加萊猜想）。這個猜想提出至今已經超過一百年，目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多，有一位數學家解出這個問題的大部分，因此獲得了100萬美元獎金，但還有許多種形狀沒有找到，所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀？如果沒有更好的點子，有個不錯的方法是畫出一些形狀，看看會有什麼結果。

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎？波浪線（squiggle）應該全部算成一大類，還是應該依彎曲的方式細分？我們需要一種通用規則來解決這類爭議，才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師，通常會希望規則既嚴謹又精確：必須長度、角度和曲線都完全相等，兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學（geometry）這個數學領域。在這個領域裡，形狀嚴格又精確，經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀，但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則，它能夠把所有的形狀分成若干類別，但類別的數量又不至於太多。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

• 作者／Steven Strogatz，本文摘自《無限的力量》，旗標出版，2020 年 09 月 09 日

崛起於東方的代數學

雖然微積分的確是在歐洲達到頂峰，但這支數學的根基其實是從別的地方開始的。比如說代數學，它起源於亞洲和中東地區。代數的英文名稱來自於阿拉伯文 al-jabr，原意為「修復」或「碎片重聚」，這是在平衡一道方程式並求解時所需的操作。舉例而言，在處理方程式時，我們經常將一個數字從等號的某一邊移除並加到另一邊，這便是一種先將方程式的一部分拆下再重新修復的過程。

另外，如同我們之前提過的，幾何學事實上源自於埃及。據傳，希臘的幾何學之父泰利斯（Thales）便是在埃及學到這門學問的。還有，幾何學中最著名的一個理論——「畢氏定理」實際上也不是畢達哥拉斯首先發現的；早在公元前 1800 年前的美索不達米亞泥板上就已經存在，證明巴比倫人知道這個定理的時間點比畢達哥拉斯早了至少一千年。

同時必須要注意的是，當我們提到古希臘時，其實是指一個遠超過雅典（Athens）和斯巴達（Sparta）的超廣大領土。在面積最遼闊的時候，它的南方邊界延伸到了埃及、西至義大利與西西里島、而東邊更是橫跨了地中海至土耳其、中東、中亞、甚至是部分的巴基斯坦與印度。畢達哥拉斯是在薩摩斯島（Samos）出生的，這是一座位於安納托利亞（Asia Minor；屬於今日的土耳其）西部海岸線之外的島嶼。阿基米德生活於敘拉古，它位在西西里島的東南方。而歐幾里得則在亞歷山大城附近活動，這是一座位於埃及尼羅河口的巨大港口，並且是當時的學術重鎮。

但在羅馬攻佔了希臘，特別是當位於亞歷山大城的圖書館被燒毀，以及西羅馬帝國隕落以後，數學研究的中心就又回到了東方。阿基米德、歐幾里得、托勒密、亞里斯多德和柏拉圖的作品都被翻譯成了阿拉伯文，並且被當時的學者和抄寫員流傳了下來。這些人同時也在過去的理論中添加了許多嶄新的想法。

代數如何興起，幾何又為何衰落?

在代數降臨前的幾個世紀，幾何學的進展就已經陷入了龜速慢爬時期。在阿基米德於公元前 212 年去世以後，似乎就沒有人能在這個領域超越他的成就。喔，抱歉，應該說「幾乎」沒有人可以超越。大約在公元 250 年，中國的幾何學者劉徽對阿基米德計算圓周率的方法做了改良。兩個世紀以後，祖沖之（公元 429 – 500 年，南北朝時代）使用劉徽的方法及一個 24,576 條邊的多邊形做計算，並在經過一段想必非常史詩級的算術處理後，成功將 π 值限制在以下的兩個數字之間：

3.1415926 < π < 3.1415927

又過了五個世紀，進步再度來臨，這一次是由一位名為哈桑‧本‧海什木（Al-Hasan Ibn al-Haytham；在歐洲通常寫作 Alhazen）的人完成。他於約公元 965 年時出生在伊拉克（Iraq）的巴斯拉（Basra），在進入伊斯蘭黃金時代後，他來到開羅（Cairo）從事包括神學、哲學、天文、醫學等各式各樣的研究。在海什木的幾何著作中，他思考一種阿基米德從未想過的立體圖形，並嘗試計算它的面積。與這個發現本身同樣令人吃驚的是，關於幾何學的重大進展也就這些了，且中間竟然花了十二個世紀的時間。

而就在這段時間裡，代數與算術正在經歷快速且重大的發展。來自印度的數學家發明了「零」這個概念，並創造了十進制系統。另外，關於如何解方程式的代數技巧也在埃及、伊拉克、波斯和中國遍地開花。這些進展大多源自於解決真實世界中的問題，例如：遺產繼承規則、納稅評估、商業活動、計帳、利息計算、以及其它可能用到數字與方程式的主題。

代數在當時仍是用文字敘述，也因此這些問題的解決方法都被寫成類似處方箋一樣的東西，上面包含了如何一步步得到答案的文字指引。其中一本著名的教科書是由穆罕默德‧伊本‧穆薩‧花拉子米（Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi；公元 780 – 850 年）所編寫的，因此作者的姓氏被用來泛指所有透過一系列步驟達成目的的程序，也就是演算法（algorithm，即 al-Khwarizmi 的拉丁文譯名）這個字的由來。最終，貿易商和探險家把這種以文字敘述為基礎的代數、以及從印度與阿拉伯發源的十進制帶往了歐洲，與此同時，人們也開始將阿拉伯文的文獻轉譯成拉丁文。

到了文藝復興時期的歐洲，除了應用層面的探索以外，將代數學符號化的研究也開始盛行起來，並且在 1500 年代達到頂峰。於是，方程式的樣貌開始類似於我們現今看到的樣子，也就是用字母來取代數字的形式。1591 年時，法國的弗朗索瓦‧韋達（François Viète）以母音字母（如：A 和 E）來代表未知值，並用子音字母（如：B 和 G）來代表常數。而如今我們用 x、y、z 表示未知值；a、b、c 表示常數的的習慣則源自於約五十年後出現的笛卡兒。這種使用符號與字母來取代文字敘述的作法，使得方程式的推導與求解更為容易。

在算術上也有同樣重大的突破，那就是來自荷蘭的西蒙‧斯蒂文（Simon Stevin）將阿拉伯十進制數字從整數擴大運用到了小數上，並藉此成功消除了亞里斯多德思想中關於數字（即今天的整數，兩相鄰整數間沒有更小的單位存在）與大小（一種連續的數量，可以被分割成無限小的單位）之間的差異。

在斯蒂文以前，十進制只適用於整數上，而任何小於一單位的數就用分數來表示；但在斯蒂文的新方法中，一個單位的整數可被切割成更小的單位，也就是小數。這對於今天的我們來說是理所當然的事，但在那時卻是一項革命性的想法。當整數具有可分割性，則整數、分數或無理數便可以被整合到一個被稱為「實數」的大家庭中，這給了微積分描述連續空間、時間、運動與變化一項強大而必需的工具。

就在幾何學即將與代數合而為一的前夕，阿基米德所用的舊幾何學方法還有最後一次成功的應用：克卜勒將帶有弧度的物體（如：酒桶和甜甜圈形狀的物體）在腦中切成無限多片且無限薄的圓盤，並藉此計算它們的體積；另外，伽利略與他的學生埃萬傑利斯塔‧托里切利（Evangelista Torricelli）、博納文圖拉‧卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri）也是透過將物體視為無限多條線或面的堆疊來求得面積、體積或重心。

然而，這些人在對待「無限大」或「無限小」的概念時可以說是漫不經心，因此他們的方法雖然有力且直覺，卻一點兒也不嚴謹。儘管如此，由於這些方法能比窮盡法更容易且更快速地找到答案，所以也不失為一項讓人感到興奮的進步（當然，如今我們已經知道阿基米德早就使用過這種技巧了，他在關於「方法」的論述裡早就提過相同的點子，只不過當時這些敘述被深埋在一本收藏於修道院的祈禱書之中，直到 1899 年才被人發現）。

• 延伸閱讀：【Gene思書齋】無限小如何形塑現代世界？

無論如何，雖然那些新阿基米德派的做法在當時看上去相當有效，但它們卻不足以應付未來的挑戰。而符號代數此時已經蓄勢待發，與之相關的兩支強大分支，即解析幾何與微分，也已如春芽一般呼之欲出。