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圓錐曲線與射影幾何-《這才是數學》

PanSci_96
・2015/03/22 ・2957字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 568 ・九年級

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接下來我要告訴你一個很漂亮的發現,它是在第四世紀初做出來的,當時已是古典幾何時期的尾聲。當中的概念,最早出現於希臘幾何學家帕普斯(Pappus of Alexandria,西元320年前後)的數學著作裡。

首先我得說,要進入這個主題讓我有點惴惴不安,因為它的某些層面相當棘手,我不清楚該如何解釋。(可能有些地方我只能兩手一攤。)

我們從甜甜圈開始談起──呃,我所指的是甜甜圈形狀,不是指甜點。

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到現在為止,我們還不真正需要精確描述出形狀。形狀是由平面上或空間裡的點,以某種簡單、賞心悅目的排列方式組成的。我們可說已經很熟悉球體、圓錐或長方形了。那麼甜甜圈又是什麼樣的形狀?

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我最喜歡的思考方式,是想像有個圓形繞著空間裡的一條直線旋轉。

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這種甜甜圈狀的抽象幾何形狀,叫做環面(torus)。所謂的環面,就是指一個圓沿著圓形路徑在空間中移動所構成的軌跡。

我認為,像這樣把一個幾何形狀描述成另一個形狀的運動軌跡,是很了不起的想法。這不僅產生了類似環面這種新奇的形狀,也讓我們能夠以新的眼光看待熟悉的事物。譬如立方體,就可以看成是一個正方形沿著直線路徑運動的軌跡。

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偶爾我喜歡假裝正方形是一隻史前動物,在數百萬年前沿著這條路徑爬行,於是立方體就是牠奮力爬行的「化石紀錄」。我想到的另一個畫面則是雪地裡的足跡。長方形正是一根棍子側向移動留下的「足跡」。

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重點是,許多漂亮的形狀可以視為某種運動的結果。

你能不能想出兩種把圓柱體解釋成運動軌跡的方式?

問題是,以這種方式來解釋一個形狀,對於度量是否有任何幫助。描述與量度之間的關係,是幾何學上一再出現的主題。物件的量度會如何隨著描述方式的不同而改變?

尤其,一個物件如果是某個更簡單形狀的運動軌跡,它的量度與這個簡單形狀及其移動方式,究竟有何關係?這是一千六百年前帕普斯提出的問題,而我想要解釋的,正是他的偉大發現。

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我就從我們在前面看過的鳳梨片開始好了。

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我們現在所講的,是夾在兩個同心圓之間的空間。這種區域叫做環形(annulus)。對於這個形狀,我們很自然會想成是中間去掉了一個小圓的圓形區域。

另一方面,環形也可以看成一根棍子沿圓形路徑運動所掃出的形狀,就像鏟雪車繞著一棵樹鏟完雪的結果。

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假如棍子(或鏟雪車)是直線行進,當然就會掃出一個矩形。現在我們就能把環形與矩形,視為與同一個概念有關連的不同面貌──此概念就是「由棍棒的運動所形成的形狀」。這很有意思,因為環形與矩形在幾何上大不相同。譬如說,如果你試圖把矩形彎成一個環形,可能不會太順利;內圈的邊會扭曲變形,而外圈的邊會扯破。這情景不大妙。

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與環形和矩形有關的有趣問題,就是該怎樣比較兩者的面積。假設我們手邊有根棍子,讓它繞著圓形路徑掃一圈,構成一個環形。那麼需要多長的直線路徑,才能夠掃出同樣的面積?這正是帕普斯想知道的事情。

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如果預期正確答案介於環的內、外圓周長之間,這很合理。最自然的猜測是兩圓周長的中間值。我們就假設可以特別安排,讓矩形的長度剛好等於這個「平均」圓周長。那麼兩者的面積一定相符嗎?

結果真的相同。事實上,還有個好方法可以看出這件事,這個方法關連到巴比倫的平方差公式rfvwr

概念如下。這個環形完全由內、外圓的半徑來決定。令外圓半徑為R,內圓半徑為r。當我們把這個環形想成兩圓的差,它的面積就會等於wem

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對於矩形,我們需要知道棍子的長度以及路徑長。棍子的長度很容易,就是R – r。知道為什麼嗎?而通過環形中央的圓,它的半徑是內、外圓半徑的平均,所以就此意義來說確實是平均值。換句話說,中間圓的半徑是fowr

由於圓周長永遠是2p 乘以半徑,因此路徑長(連同矩形的長度)必為

jmpo 最後,矩形的面積等於長寬的乘積,也就是

mpi

恰好是環形的面積。我很喜歡代數與幾何像這樣互相連結起來。屬於代數的平方差公式,由環與矩形的幾何等價關係呈現出來。

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不妨把中間的圓形,想成是棍子中心點的移動軌跡。換句話說,中心點行進的距離才是重點。具體來說,我們已經發現,如果棍子的中心點沿著圓形路徑移動一段長度,所掃出的面積會和沿著直線路徑時的面積相同。不管是直線還是圓形路徑,掃出的面積都等於棍子長度與路徑長的乘積。

這個例子正說明了描述(把環形描述成棍子的移動)對於量度(棍子和路徑很巧妙地決定了面積)的影響。就像我先前講過的,幾何學討論的正是描述與量度之間的關係。

這個例子還可以進一步延伸。假設我們是沿著任意路徑推棍子(的中心點)。

kpmk

這樣我們仍然會得出同樣的結果嗎?我們仍能說,所掃出區域的面積會和直線路徑的情形相同?面積就等於棍長與路徑長的乘積嗎?或說我們根本就是得寸進尺?

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實際上,不管路徑是何形狀,上述的結果都是對的。看我能不能解釋一下為什麼如此。首先可以觀察到,這個結果也適用於圓弧(整個圓的局部)路徑。

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這是因為,弧長及所掃出的面積,都會與整個環形的弧長及所掃面積成比例。特別是,對於環形「小段」和非常細的矩形,此結果也會成立。概念就是,把這些小碎片拼組成更複雜的形狀。

jilo

棍子中心點的各種移動軌跡,合起來就構成了一條大的路徑,細部來看是由許多圓弧線段及直線段組成。我們還可以經由適當的安排,讓所做出的路徑盡可能接近我們想達成的路徑形狀。

特別是,我們可以(透過這樣的無窮逼近)讓路徑的總長度,接近我們所想的路徑的長度,而組成小段的總面積,也會接近我們所想的區域的實際面積。由於面積近似值是棍長與路徑長的乘積,且逼近做得越好時,這仍是對的,因此對於我們所想的實際區域,這必然也是對的。窮盡法又幫了大忙。

這正是第一個例子,可說明帕普斯發現的結果適用範圍廣泛:移動棍子而掃出的區域面積,就等於棍長乘上棍子中心點的移動距離。

但有幾個微妙的細節。第一點是,棍子必須隨時與運動方向保持垂直。如果成一個角度斜著推棍子,情況會變得一團糟。

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舉例來說,對於歪斜的矩形,帕普斯定理就束手無策了。因為形狀是由小片的環與矩形組成(至少大致上是),而在這些小片上棍子和路徑始終成直角,因此垂直運動是這個方法可處理的唯一一種移動方式。垂直運動正是帕普斯哲學的重要元素之一。

第二個問題是自相交的情形。

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如果路徑彎得太劇烈,部分區域就會重複掃過,重疊處的面積也會重複計算。只要保持垂直,並防止急轉彎,就一切順利。

由移動的棍子所掃出的區域周長是多少?

unnamed本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學:從不知道到想知道的探索之旅》,經濟新潮社出版。

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上網也要有「技術」!從言論、隱私到國安,你我都該懂的界線
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/18 ・2366字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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本文由 國家通訊傳播委員會 委託,泛科學企劃執行。 

以為鍵盤俠天下無敵?小心一個不留神就觸法!人們常忽略「網路並非法外之地」這個重要事實。不只現實生活中的法律同樣適用於網路空間,隨著科技發展,更多應網路特性而生的法律規範也相繼出現。從基本的言論自由到隱私權保護,從智慧財產權到國家安全,法律體系正全面性地回應數位時代的種種挑戰。

在臺灣,網路上的言論自由權利源自《憲法》第 11 條的明確規定:「人民有言論、講學、著作及出版之自由。」釋字第 509 號則指出,「國家應給予最大限度之維護,俾其實現自我、溝通意見、追求真理及監督各種政治或社會活動之功能得以發揮。」網路快速傳播的特性放大了言論的影響力,而大法官的解釋將言論自由的邊際刻畫得更明確,這在數位時代裡顯得格外重要。

網路與社群媒體的快速傳播,放大了言論的影響力。圖/unsplash

網路上的性、暴力與未成年保護

顯然言論自由並非是毫無限制,2023 年 11 月的一起案件就展現其中一種界線的樣貌。當時,一名 36 歲男子將他和網友在網咖的性愛影片上傳至推特,還寫下「《網咖包廂實戰計 1》我跟某公司 OL 戰鬥」等文字。這段影片一經發布,當事女子立即採取法律行動。最終,法院依其以網際網路「供人觀覽猥褻影像」的罪名,判處該名男子拘役 30 日,得易科罰金。這個判決清楚說明了,即便在虛擬空間,散布猥褻影像仍須承擔實質的法律責任。

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特別是在保護未成年人方面,法律的規範更加嚴格。《刑法》第 235 條明文禁止散布、播送或販賣猥褻物品,無論形式是圖文、聲音還是影像。而《兒童及少年性剝削防制條例》第 36 條更進一步禁止任何形式的兒童色情製品被製造、散布和持有。2019年彰化縣曾層發生過這樣一起案件:一名陳姓中年男子將9歲女童帶往居所,不僅強迫她觀看色情影片,還對她進行猥褻行為,甚至將過程上傳至 Google 雲端。儘管他後來試圖以資助女童就學表達悔意,法院仍以加重強制猥褻等罪,判處他 4 年 4 個月有期徒刑。

不實言論的散布同樣可能觸犯法律。2021 年 9 月爆發的「台大狼師案」就是一個警示。一名女大生在網路上指控教師誘騙她發生關係並傳染性病,幾個月後又指控對方對她進行強制性行為。當她提出告訴時,檢方卻查無性侵事實,加上她反覆的說詞,不僅性侵告訴失敗,還因誹謗罪反被加重判刑。

當駭客、間諜都轉戰網路戰場

2013 年,一名退役空軍上校赴陸經商時被情治單位吸收,返台後透過人脈網絡發展組織、刺探軍事機密,並以空殼公司掩護非法報酬,這個情報網持續運作了 8 年之久。

在涉及國家安全的議題上,法律的態度更是嚴厲。根據《國家安全法》第 2 條的規定,任何人都不得為境外敵對勢力及其控制的組織、機構進行資助、主持、操縱、指揮或發展組織,更不能洩漏、交付或傳遞公務機密,違反者將面臨嚴厲的刑事處罰。《刑法》規定,意圖破壞國體、竊據國土,或以非法方法變更國憲、顛覆政府者,處7年以上有期徒刑,首謀更要判處無期徒刑。

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抄襲與轉貼的邊界在哪裡?

在智慧財產權的保護上,臺灣也經歷了數位時代的轉變。台灣第一個網路著作權相關判決,就發生在傳統出版與數位平台的碰撞之中。南方社區文化網路負責人陳豐偉等三人在中山大學 BBS 上發表的文章,未經同意就被《光碟月刊》收錄在隨刊光碟中發行。三人向台北地檢署提告後,《光碟月刊》發行人兼總經理黃俊義被判處七個月有期徒刑,緩刑三年。這個判決為數位時代的著作權保護樹立了重要典範。

臺灣首例網路著作權案判決,為數位時代智慧財產權保護樹立典範。圖/envato

近年來,影音平台的著作權爭議更趨複雜。2022 年,知名 YouTube 頻道「觸電網」就因為片商車庫娛樂檢舉七十多支未經授權的影片,導致經營 12 年的頻道被迫下架。車庫娛樂透過律師聲明,這是針對「未經合法授權影音內容」的標準處理,並表明將追究民事與刑事責任。

受害了怎麼辦?申訴管道報你知

當我們在網路上的權利受到侵害時,可以根據侵害類型尋求不同的救濟管道。最基本的言論自由權利受到侵犯時,可以先向社群平台提出檢舉。若遇到更嚴重的情況,如散布猥褻影像、非法性私密影片等,除了平台檢舉外,還可以向警方提告,或是尋求衛福部「性影像處理中心」的協助。

在面對網路霸凌、不實言論時,可以向台灣事實查核中心、MyGoPen 等組織求助,協助澄清真相。若發現有害兒少身心健康的不當內容,則可以向 iWIN 網路內容防護機構提出申訴。這個由國家通訊傳播委員會支持的組織,會在受理後進行查核、轉介業者改善或依法處理。

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智慧財產權的侵害在網路時代極為常見,就像「觸電網」遭片商檢舉下架的案例。這類情況可以透過平台既有的著作權保護機制處理,情節嚴重者也可以提起民事訴訟要求賠償。若發現可疑的廣告或不公平交易行為,則可以向公平交易委員會檢舉;若是特定領域的違規內容,則應該向各該主管機關反映,例如藥品廣告歸衛福部管轄、證券期貨廣告則由金管會負責。

網路時代的法律規範正不斷演進,從個人隱私到國家安全,從言論自由到智慧財產權,每個面向都在尋求數位環境下的最佳平衡點。作為網路使用者,我們必須理解並遵守這些法律界線,同時也要懂得運用各種救濟管道保護自身權益。唯有每個人都清楚了解並遵守這些規範,才能共同營造一個更安全、更有序的網路環境。

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當心網路陷阱!從媒體識讀、防詐騙到個資保護的安全守則
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/17 ・3006字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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本文由 國家通訊傳播委員會 委託,泛科學企劃執行。 

網路已成為現代人生活中不可或缺的一部分,可伴隨著便利而來的,還有層出不窮的風險與威脅。從充斥網路的惡假害訊息,到日益精進的詐騙手法,再到個人隱私的安全隱憂,這些都是我們每天必須面對的潛在危機。2023 年網路購物詐欺案件達 4,600 起,較前一年多出 41%。這樣的數據背後,正反映出我們對網路安全意識的迫切需求⋯⋯

「第一手快訊」背後的騙局真相

在深入探討網路世界的風險之前,我們必須先理解「錯誤訊息」和「假訊息」的本質差異。錯誤訊息通常源於時效性考量下的查證不足或作業疏漏,屬於非刻意造假的不實資訊。相較之下,假訊息則帶有「惡、假、害」的特性,是出於惡意、虛偽假造且意圖造成危害的資訊。

2018 年的關西機場事件就是一個鮮明的例子。當時,燕子颱風重創日本關西機場,數千旅客受困其中。中國媒體隨即大肆宣傳他們的大使館如何派車前往營救中國旅客,這則未經證實的消息從微博開始蔓延,很快就擴散到各個內容農場。更令人遺憾的是,這則假訊息最終導致當時的外交部駐大阪辦事處處長蘇啟誠,因不堪輿論壓力而選擇結束生命。

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同年,另一則「5G 會抑制人體免疫系統」的不實訊息在網路上廣為流傳。這則訊息聲稱 5G 技術會影響人體免疫力、導致更容易感染疾病。儘管科學家多次出面澄清這完全是毫無根據的說法,但仍有許多人選擇相信並持續轉發。類似的例子還有 2018 年 2 月底 3 月初,因量販業者不當行銷與造謠漲價,加上媒體跟進報導,而導致民眾瘋狂搶購衛生紙的「安屎之亂」。這些案例都說明了假訊息對社會秩序的巨大衝擊。

提升媒體識讀能力,對抗錯假訊息

面對如此猖獗的假訊息,我們首要之務就是提升媒體識讀能力。每當接觸到訊息時,都應先評估發布該消息的媒體背景,包括其成立時間、背後所有者以及過往的報導記錄。知名度高、歷史悠久的主流媒體通常較為可靠,但仍然不能完全放下戒心。如果某則消息只出現在不知名的網站或社群媒體帳號上,而主流媒體卻未有相關報導,就更要多加留意了。

提升媒體識讀能力,檢視媒體背景,警惕來源不明的訊息。圖/envato

在實際的資訊查證過程中,我們還需要特別關注作者的身分背景。一篇可信的報導通常會具名,而且作者往往是該領域的資深記者或專家。我們可以搜索作者的其他作品,了解他們的專業背景和過往信譽。相對地,匿名或難以查證作者背景的文章,就需要更謹慎對待。同時,也要追溯消息的原始來源,確認報導是否明確指出消息從何而來,是一手資料還是二手轉述。留意發布日期也很重要,以免落入被重新包裝的舊聞陷阱。

這優惠好得太誇張?談網路詐騙與個資安全

除了假訊息的威脅,網路詐騙同樣令人憂心。從最基本的網路釣魚到複雜的身分盜用,詐騙手法不斷推陳出新。就拿網路釣魚來說,犯罪者通常會偽裝成合法機構的人員,透過電子郵件、電話或簡訊聯繫目標,企圖誘使當事人提供個人身分、銀行和信用卡詳細資料以及密碼等敏感資訊。這些資訊一旦落入歹徒手中,很可能被用來進行身分盜用和造成經濟損失。

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網路詐騙手法不斷進化,釣魚詐騙便常以偽裝合法機構誘取敏感資訊。圖/envato

資安業者趨勢科技的調查就發現,中國駭客組織「Earth Lusca」在 2023 年 12 月至隔年 1 月期間,利用談論兩岸地緣政治議題的文件,發起了一連串的網路釣魚攻擊。這些看似專業的政治分析文件,實際上是在臺灣總統大選投票日的兩天前才建立的誘餌,目的就是為了竊取資訊,企圖影響國家的政治情勢。

網路詐騙還有一些更常見的特徵。首先是那些好到令人難以置信的優惠,像是「中獎得到 iPhone 或其他奢侈品」的訊息。其次是製造緊迫感,這是詐騙集團最常用的策略之一,他們會要求受害者必須在極短時間內作出回應。此外,不尋常的寄件者與可疑的附件也都是警訊,一不小心可能就會點到含有勒索軟體或其他惡意程式的連結。

在個人隱私保護方面,社群媒體的普及更是帶來了新的挑戰。2020 年,一個發生在澳洲的案例就很具有警示意義。當時的澳洲前總理艾伯特在 Instagram 上分享了自己的登機證照片,結果一位網路安全服務公司主管僅憑這張圖片,就成功取得了艾伯特的電話與護照號碼等個人資料。雖然這位駭客最終選擇善意提醒而非惡意使用這些資訊,但這個事件仍然引發了對於在社群媒體上分享個人資訊安全性的廣泛討論。

安全防護一把罩!更新裝置、慎用 Wi-Fi、強化密碼管理

為了確保網路使用的安全,我們必須建立完整的防護網。首先是確保裝置和軟體都及時更新到最新版本,包括作業系統、瀏覽器、外掛程式和各類應用程式等。許多網路攻擊都是利用系統或軟體的既有弱點入侵,而這些更新往往包含了對已知安全漏洞的修補。

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在使用公共 Wi-Fi 時也要特別當心。許多公共 Wi-Fi 缺乏適當的加密和身分驗證機制,讓不法分子有機可乘,能夠輕易地攔截使用者的網路流量,竊取帳號密碼、信用卡資訊等敏感數據。因此,在咖啡廳、機場、車站等公共場所,都應該避免使用不明的免費 Wi-Fi 處理重要事務或進行線上購物。如果必須連上公用 Wi-Fi,也要記得停用裝置的檔案共享功能。

使用公共 Wi-Fi 時,避免處理敏感事務,因可能存在數據被攔截與盜取的風險。圖/envato

密碼管理同樣至關重要。我們應該為不同的帳戶設置獨特且具有高強度的密碼,結合大小寫字母、數字和符號,創造出難以被猜測的組合。密碼長度通常建議在 8~12 個字元之間,且要避免使用個人資訊相關的詞彙,如姓名、生日或電話號碼。定期更換密碼也是必要的,建議每 3~6 個月更換一次。研究顯示,在網路犯罪的受害者中,高達八成的案例都與密碼強度不足有關。

最後,我們還要特別注意社群媒體上的隱私設定。許多人在初次設定後就不再關心,但實際上我們都必須定期檢查並調整這些設定,確保自己清楚瞭解「誰可以查看你的貼文」。同時,也要謹慎管理好友名單,適時移除一些不再聯繫或根本不認識的人。在安裝新的應用程式時,也要仔細審視其要求的權限,只給予必要的存取權限。

提升網路安全基於習慣培養。辨識假訊息的特徵、防範詐騙的警覺心、保護個人隱私的方法⋯⋯每一個環節都不容忽視。唯有這樣,我們才能在享受網路帶來便利的同時,也確保自身的安全!

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圓形 = 三角形?形狀之間的秘密關係——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/27 ・1427字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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數學家通常都想很多,這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念,試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時,很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問:形狀是什麼?構成形狀的要素是什麼?我們以形狀分辨物體時,會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的,以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼?當我們說某樣東西是圓形時,看到的是什麼呢?

形狀百百種,可以量化嗎?

當然,這些問題沒什麼意義。就實際用途而言,我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想,形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了,我們或許會問自己這個問題:

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世界上有多少形狀?圖/經濟新潮社

這個問題很簡單,但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法,稱為廣義龐卡赫猜想(generalized Poincaré conjecture,或譯龐加萊猜想)。這個猜想提出至今已經超過一百年,目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多,有一位數學家解出這個問題的大部分,因此獲得了100萬美元獎金,但還有許多種形狀沒有找到,所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀?如果沒有更好的點子,有個不錯的方法是畫出一些形狀,看看會有什麼結果。

我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社
我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎?波浪線(squiggle)應該全部算成一大類,還是應該依彎曲的方式細分?我們需要一種通用規則來解決這類爭議,才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師,通常會希望規則既嚴謹又精確:必須長度、角度和曲線都完全相等,兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學(geometry)這個數學領域。在這個領域裡,形狀嚴格又精確,經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

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決定兩個形狀是否相同的規則相當多。圖/經濟新潮社

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀,但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則,它能夠把所有的形狀分成若干類別,但類別的數量又不至於太多。

所以三角形可以等於圓形。圖/經濟新潮社




——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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圓錐曲線與射影幾何-《這才是數學》
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首先我得說,要進入這個主題讓我有點惴惴不安,因為它的某些層面相當棘手,我不清楚該如何解釋。(可能有些地方我只能兩手一攤。)

我們從甜甜圈開始談起──呃,我所指的是甜甜圈形狀,不是指甜點。

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到現在為止,我們還不真正需要精確描述出形狀。形狀是由平面上或空間裡的點,以某種簡單、賞心悅目的排列方式組成的。我們可說已經很熟悉球體、圓錐或長方形了。那麼甜甜圈又是什麼樣的形狀?

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我最喜歡的思考方式,是想像有個圓形繞著空間裡的一條直線旋轉。

jmyj

這種甜甜圈狀的抽象幾何形狀,叫做環面(torus)。所謂的環面,就是指一個圓沿著圓形路徑在空間中移動所構成的軌跡。

我認為,像這樣把一個幾何形狀描述成另一個形狀的運動軌跡,是很了不起的想法。這不僅產生了類似環面這種新奇的形狀,也讓我們能夠以新的眼光看待熟悉的事物。譬如立方體,就可以看成是一個正方形沿著直線路徑運動的軌跡。

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偶爾我喜歡假裝正方形是一隻史前動物,在數百萬年前沿著這條路徑爬行,於是立方體就是牠奮力爬行的「化石紀錄」。我想到的另一個畫面則是雪地裡的足跡。長方形正是一根棍子側向移動留下的「足跡」。

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重點是,許多漂亮的形狀可以視為某種運動的結果。

你能不能想出兩種把圓柱體解釋成運動軌跡的方式?

問題是,以這種方式來解釋一個形狀,對於度量是否有任何幫助。描述與量度之間的關係,是幾何學上一再出現的主題。物件的量度會如何隨著描述方式的不同而改變?

尤其,一個物件如果是某個更簡單形狀的運動軌跡,它的量度與這個簡單形狀及其移動方式,究竟有何關係?這是一千六百年前帕普斯提出的問題,而我想要解釋的,正是他的偉大發現。

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我就從我們在前面看過的鳳梨片開始好了。

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我們現在所講的,是夾在兩個同心圓之間的空間。這種區域叫做環形(annulus)。對於這個形狀,我們很自然會想成是中間去掉了一個小圓的圓形區域。

另一方面,環形也可以看成一根棍子沿圓形路徑運動所掃出的形狀,就像鏟雪車繞著一棵樹鏟完雪的結果。

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假如棍子(或鏟雪車)是直線行進,當然就會掃出一個矩形。現在我們就能把環形與矩形,視為與同一個概念有關連的不同面貌──此概念就是「由棍棒的運動所形成的形狀」。這很有意思,因為環形與矩形在幾何上大不相同。譬如說,如果你試圖把矩形彎成一個環形,可能不會太順利;內圈的邊會扭曲變形,而外圈的邊會扯破。這情景不大妙。

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與環形和矩形有關的有趣問題,就是該怎樣比較兩者的面積。假設我們手邊有根棍子,讓它繞著圓形路徑掃一圈,構成一個環形。那麼需要多長的直線路徑,才能夠掃出同樣的面積?這正是帕普斯想知道的事情。

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如果預期正確答案介於環的內、外圓周長之間,這很合理。最自然的猜測是兩圓周長的中間值。我們就假設可以特別安排,讓矩形的長度剛好等於這個「平均」圓周長。那麼兩者的面積一定相符嗎?

結果真的相同。事實上,還有個好方法可以看出這件事,這個方法關連到巴比倫的平方差公式rfvwr

概念如下。這個環形完全由內、外圓的半徑來決定。令外圓半徑為R,內圓半徑為r。當我們把這個環形想成兩圓的差,它的面積就會等於wem

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對於矩形,我們需要知道棍子的長度以及路徑長。棍子的長度很容易,就是R – r。知道為什麼嗎?而通過環形中央的圓,它的半徑是內、外圓半徑的平均,所以就此意義來說確實是平均值。換句話說,中間圓的半徑是fowr

由於圓周長永遠是2p 乘以半徑,因此路徑長(連同矩形的長度)必為

jmpo 最後,矩形的面積等於長寬的乘積,也就是

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恰好是環形的面積。我很喜歡代數與幾何像這樣互相連結起來。屬於代數的平方差公式,由環與矩形的幾何等價關係呈現出來。

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不妨把中間的圓形,想成是棍子中心點的移動軌跡。換句話說,中心點行進的距離才是重點。具體來說,我們已經發現,如果棍子的中心點沿著圓形路徑移動一段長度,所掃出的面積會和沿著直線路徑時的面積相同。不管是直線還是圓形路徑,掃出的面積都等於棍子長度與路徑長的乘積。

這個例子正說明了描述(把環形描述成棍子的移動)對於量度(棍子和路徑很巧妙地決定了面積)的影響。就像我先前講過的,幾何學討論的正是描述與量度之間的關係。

這個例子還可以進一步延伸。假設我們是沿著任意路徑推棍子(的中心點)。

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這樣我們仍然會得出同樣的結果嗎?我們仍能說,所掃出區域的面積會和直線路徑的情形相同?面積就等於棍長與路徑長的乘積嗎?或說我們根本就是得寸進尺?

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實際上,不管路徑是何形狀,上述的結果都是對的。看我能不能解釋一下為什麼如此。首先可以觀察到,這個結果也適用於圓弧(整個圓的局部)路徑。

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這是因為,弧長及所掃出的面積,都會與整個環形的弧長及所掃面積成比例。特別是,對於環形「小段」和非常細的矩形,此結果也會成立。概念就是,把這些小碎片拼組成更複雜的形狀。

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棍子中心點的各種移動軌跡,合起來就構成了一條大的路徑,細部來看是由許多圓弧線段及直線段組成。我們還可以經由適當的安排,讓所做出的路徑盡可能接近我們想達成的路徑形狀。

特別是,我們可以(透過這樣的無窮逼近)讓路徑的總長度,接近我們所想的路徑的長度,而組成小段的總面積,也會接近我們所想的區域的實際面積。由於面積近似值是棍長與路徑長的乘積,且逼近做得越好時,這仍是對的,因此對於我們所想的實際區域,這必然也是對的。窮盡法又幫了大忙。

這正是第一個例子,可說明帕普斯發現的結果適用範圍廣泛:移動棍子而掃出的區域面積,就等於棍長乘上棍子中心點的移動距離。

但有幾個微妙的細節。第一點是,棍子必須隨時與運動方向保持垂直。如果成一個角度斜著推棍子,情況會變得一團糟。

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舉例來說,對於歪斜的矩形,帕普斯定理就束手無策了。因為形狀是由小片的環與矩形組成(至少大致上是),而在這些小片上棍子和路徑始終成直角,因此垂直運動是這個方法可處理的唯一一種移動方式。垂直運動正是帕普斯哲學的重要元素之一。

第二個問題是自相交的情形。

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如果路徑彎得太劇烈,部分區域就會重複掃過,重疊處的面積也會重複計算。只要保持垂直,並防止急轉彎,就一切順利。

由移動的棍子所掃出的區域周長是多少?

unnamed本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學:從不知道到想知道的探索之旅》,經濟新潮社出版。

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