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圓錐曲線與射影幾何-《這才是數學》

PanSci_96
・2015/03/22 ・2957字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 568 ・九年級

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接下來我要告訴你一個很漂亮的發現,它是在第四世紀初做出來的,當時已是古典幾何時期的尾聲。當中的概念,最早出現於希臘幾何學家帕普斯(Pappus of Alexandria,西元320年前後)的數學著作裡。

首先我得說,要進入這個主題讓我有點惴惴不安,因為它的某些層面相當棘手,我不清楚該如何解釋。(可能有些地方我只能兩手一攤。)

我們從甜甜圈開始談起──呃,我所指的是甜甜圈形狀,不是指甜點。

sdsf

到現在為止,我們還不真正需要精確描述出形狀。形狀是由平面上或空間裡的點,以某種簡單、賞心悅目的排列方式組成的。我們可說已經很熟悉球體、圓錐或長方形了。那麼甜甜圈又是什麼樣的形狀?

我最喜歡的思考方式,是想像有個圓形繞著空間裡的一條直線旋轉。

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這種甜甜圈狀的抽象幾何形狀,叫做環面(torus)。所謂的環面,就是指一個圓沿著圓形路徑在空間中移動所構成的軌跡。

我認為,像這樣把一個幾何形狀描述成另一個形狀的運動軌跡,是很了不起的想法。這不僅產生了類似環面這種新奇的形狀,也讓我們能夠以新的眼光看待熟悉的事物。譬如立方體,就可以看成是一個正方形沿著直線路徑運動的軌跡。

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偶爾我喜歡假裝正方形是一隻史前動物,在數百萬年前沿著這條路徑爬行,於是立方體就是牠奮力爬行的「化石紀錄」。我想到的另一個畫面則是雪地裡的足跡。長方形正是一根棍子側向移動留下的「足跡」。

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重點是,許多漂亮的形狀可以視為某種運動的結果。

你能不能想出兩種把圓柱體解釋成運動軌跡的方式?

問題是,以這種方式來解釋一個形狀,對於度量是否有任何幫助。描述與量度之間的關係,是幾何學上一再出現的主題。物件的量度會如何隨著描述方式的不同而改變?

尤其,一個物件如果是某個更簡單形狀的運動軌跡,它的量度與這個簡單形狀及其移動方式,究竟有何關係?這是一千六百年前帕普斯提出的問題,而我想要解釋的,正是他的偉大發現。

我就從我們在前面看過的鳳梨片開始好了。

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我們現在所講的,是夾在兩個同心圓之間的空間。這種區域叫做環形(annulus)。對於這個形狀,我們很自然會想成是中間去掉了一個小圓的圓形區域。

另一方面,環形也可以看成一根棍子沿圓形路徑運動所掃出的形狀,就像鏟雪車繞著一棵樹鏟完雪的結果。

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假如棍子(或鏟雪車)是直線行進,當然就會掃出一個矩形。現在我們就能把環形與矩形,視為與同一個概念有關連的不同面貌──此概念就是「由棍棒的運動所形成的形狀」。這很有意思,因為環形與矩形在幾何上大不相同。譬如說,如果你試圖把矩形彎成一個環形,可能不會太順利;內圈的邊會扭曲變形,而外圈的邊會扯破。這情景不大妙。

與環形和矩形有關的有趣問題,就是該怎樣比較兩者的面積。假設我們手邊有根棍子,讓它繞著圓形路徑掃一圈,構成一個環形。那麼需要多長的直線路徑,才能夠掃出同樣的面積?這正是帕普斯想知道的事情。

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如果預期正確答案介於環的內、外圓周長之間,這很合理。最自然的猜測是兩圓周長的中間值。我們就假設可以特別安排,讓矩形的長度剛好等於這個「平均」圓周長。那麼兩者的面積一定相符嗎?

結果真的相同。事實上,還有個好方法可以看出這件事,這個方法關連到巴比倫的平方差公式rfvwr

概念如下。這個環形完全由內、外圓的半徑來決定。令外圓半徑為R,內圓半徑為r。當我們把這個環形想成兩圓的差,它的面積就會等於wem

對於矩形,我們需要知道棍子的長度以及路徑長。棍子的長度很容易,就是R – r。知道為什麼嗎?而通過環形中央的圓,它的半徑是內、外圓半徑的平均,所以就此意義來說確實是平均值。換句話說,中間圓的半徑是fowr

由於圓周長永遠是2p 乘以半徑,因此路徑長(連同矩形的長度)必為

jmpo 最後,矩形的面積等於長寬的乘積,也就是

mpi

恰好是環形的面積。我很喜歡代數與幾何像這樣互相連結起來。屬於代數的平方差公式,由環與矩形的幾何等價關係呈現出來。

不妨把中間的圓形,想成是棍子中心點的移動軌跡。換句話說,中心點行進的距離才是重點。具體來說,我們已經發現,如果棍子的中心點沿著圓形路徑移動一段長度,所掃出的面積會和沿著直線路徑時的面積相同。不管是直線還是圓形路徑,掃出的面積都等於棍子長度與路徑長的乘積。

這個例子正說明了描述(把環形描述成棍子的移動)對於量度(棍子和路徑很巧妙地決定了面積)的影響。就像我先前講過的,幾何學討論的正是描述與量度之間的關係。

這個例子還可以進一步延伸。假設我們是沿著任意路徑推棍子(的中心點)。

kpmk

這樣我們仍然會得出同樣的結果嗎?我們仍能說,所掃出區域的面積會和直線路徑的情形相同?面積就等於棍長與路徑長的乘積嗎?或說我們根本就是得寸進尺?

實際上,不管路徑是何形狀,上述的結果都是對的。看我能不能解釋一下為什麼如此。首先可以觀察到,這個結果也適用於圓弧(整個圓的局部)路徑。

pm;o

這是因為,弧長及所掃出的面積,都會與整個環形的弧長及所掃面積成比例。特別是,對於環形「小段」和非常細的矩形,此結果也會成立。概念就是,把這些小碎片拼組成更複雜的形狀。

jilo

棍子中心點的各種移動軌跡,合起來就構成了一條大的路徑,細部來看是由許多圓弧線段及直線段組成。我們還可以經由適當的安排,讓所做出的路徑盡可能接近我們想達成的路徑形狀。

特別是,我們可以(透過這樣的無窮逼近)讓路徑的總長度,接近我們所想的路徑的長度,而組成小段的總面積,也會接近我們所想的區域的實際面積。由於面積近似值是棍長與路徑長的乘積,且逼近做得越好時,這仍是對的,因此對於我們所想的實際區域,這必然也是對的。窮盡法又幫了大忙。

這正是第一個例子,可說明帕普斯發現的結果適用範圍廣泛:移動棍子而掃出的區域面積,就等於棍長乘上棍子中心點的移動距離。

但有幾個微妙的細節。第一點是,棍子必須隨時與運動方向保持垂直。如果成一個角度斜著推棍子,情況會變得一團糟。

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舉例來說,對於歪斜的矩形,帕普斯定理就束手無策了。因為形狀是由小片的環與矩形組成(至少大致上是),而在這些小片上棍子和路徑始終成直角,因此垂直運動是這個方法可處理的唯一一種移動方式。垂直運動正是帕普斯哲學的重要元素之一。

第二個問題是自相交的情形。

jisfd

如果路徑彎得太劇烈,部分區域就會重複掃過,重疊處的面積也會重複計算。只要保持垂直,並防止急轉彎,就一切順利。

由移動的棍子所掃出的區域周長是多少?

unnamed本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學:從不知道到想知道的探索之旅》,經濟新潮社出版。

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金魚的記憶才不只 7 秒!記憶力怎麼回事?好想要超大記憶容量
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/12/01 ・2720字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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本文由 美光科技 委託,泛科學企劃執行。

你是不是也有過這樣的經驗?本來想上樓到房間拿個東西,進到房間之後卻忘了上樓的原因,還完全想不起來;到超巿想著要買三四樣東西回家,最後只記得其中兩樣,結果還把重要的一樣給漏了;手機 Line 群組裡發的訊息,看過一轉身回頭做事轉眼就忘了。

發生這種情況,是不是覺得很懊惱:明明才想好要幹嘛,才不過幾秒鐘的時間就全部忘記了?吼呦!我根本是金魚腦袋嘛!記憶力到底是怎麼回事啊?要是能擁有更好的記憶力就好了!

明明才想好要幹嘛,一轉眼卻又都忘記了。 圖/GIPHY

金魚的記憶才不只 7 秒!

忘東忘西,我是金魚腦?!無辜地的金魚躺著也中槍!被網路流傳的「魚只有 7 秒記憶」的說法牽累,老是被拖下水,被貼上「記憶力不好、健忘」的標籤,金魚恐怕要大大地舉「鰭」抗議了!魚的記憶只有 7 秒嗎?

根據研究顯示,魚類的記憶可以保持一到三個月,某些洄游的魚類都還記得小時候住過的地方的氣味,甚至記憶力可以維持到好幾年,相當於他們的一輩子。

還有科學家發現斑馬魚在經過訓練之後,可以很快學會如何走迷宮,根據聲音信號尋找食物。但是當牠們壓力過大時會記不住東西,注意力分散也會降低學習效率,而且記憶力也會隨著衰老而逐漸衰退。如此看來,斑馬魚的記憶特點是不是跟人類有相似之處。

記憶力到底是怎麼回事?

為什麼魚會有記憶?為什麼人會有記憶?記憶力跟腦袋好不好、聰不聰明有關係嗎?這個就要探究記憶歷程的形成源頭了。

依照訊息處理的過程,外界的訊息經由我們的感覺受器(個體感官)接收到此訊息刺激形成神經電位後,被大腦轉譯成可以被前額葉解讀的資訊,最終會在我們的前額葉進行處理,如果前額處理後認為是有意義的內容就有可能被記住。

在問記憶好不好之前,先了解記憶形成的過程。圖/GIPHY

根據英國神經心理學家巴德利 Alan Baddeley 提出的工作記憶模式,前額葉處理資訊的能力稱為「短期工作記憶」,而處理完有意義、能被記住的內容則是「長期記憶」。

你可能會好奇「那記憶能被延長嗎」?只要透過反覆背誦、重覆操作等練習,我們就有機會將短期記憶轉化為長期記憶了。

要是能有超大記憶容量就好了!

比如當我們在接聽客戶電話時,對方報出電話號碼、交辦待辦事項,從接收訊息、形成短暫記憶到資訊篩選方便後續處理,整個大腦記憶組織海馬迴區的運作,如果用電腦儲存區來類比,「短期記憶」就像隨機存取記憶體 RAM,能有效且短暫的儲存資訊,而「長期記憶」就是硬碟等儲存裝置。

從上一段記憶的形成過程,可以得出記憶與認知、注意力有關,甚至可以透過刻意練習、習慣養成和一些利用大腦特性的記憶法來輔助學習,並強化和延長記憶力。

雖然人的記憶可以被延長、認知可以被提高,但當日常生活和工作上,需要被運算處理以及被記憶理解的事物越來越多、越來越複雜,並且需要被快速、大量地提取使用時,那就不只是記憶力的問題,而是與資訊取用速度、條理梳理、記憶容量有關了!

日常生活中需要處理的事務越來越多,那就不只是記憶力的問題,而是有關記憶力容量的問題了……。圖/GIPHY

再加上短期記憶會隨著年齡增加明顯衰減,這時我們更需要借助一些外部「儲存裝置」來幫我們記住、保存更多更複雜的資訊!

美光推出高規格新一代快閃記憶體,滿足以數據為中心的工作負載

4K 影片、高清晰品質照片、大量數據、程式代碼、工作報告……在這個數據量大爆炸的時代,誰能解決消費者最大的儲存困擾,並滿足最快的資料存取速度,就能佔有這塊前景看好的市場!

全球第四大半導體公司—美光科技又領先群雄一步!除了推出 232 層 3D NAND 外,業界先進的 1α DRAM 製程節點可是正港 MIT,在台灣一條龍進行研發、製造、封裝。日前更宣布推出業界最先進的 1β DRAM,並預計明年於台灣量產喔! 

美光不久前宣布量產具備業界多層數、高儲存密度、高性能且小尺寸的 232 層 3D NAND Flash,能提供從終端使用者到雲端間大部分數據密集型應用最佳支援。 

美光技術與產品執行副總裁 Scott DeBoer 表示,美光 232 層 3D NAND Flash 快閃記憶體為儲存裝置創新的分水嶺,涵蓋諸多層面創新,像是使用最新六平面技術,讓高達 232 層的 3D NAND 就像立體停車場,能多層垂直堆疊記憶體顆粒,解決 2D NAND 快閃記憶體帶來的限制;如同一個收納達人,能在最小的空間裡,收納最多的東西。

藉由提高密度,縮小封裝尺寸,美光 232 層 3D NAND 只要 1.1 x 1.3 的大小,就能把資料盡收其中。此外,美光 232 層 NAND 存取速度達業界最快的 2.4GB/s,搭配每個平面數條獨立字元線,好比六層樓高的高速公路又擁有多條獨立運行的車道,能緩解雍塞,減少讀寫壽命間的衝突,提高系統服務品質。

結語

等真正能在大腦植入像伊隆‧馬斯克提出的「Neuralink」腦機介面晶片,讓大腦與虛擬世界溝通,屆時世界對資訊讀取、儲存方式可能又會有所不同了。

但在這之前,我們可以更靈活地的運用現有的電腦設備,搭配高密度、高性能、小尺寸的美光 232 層 NAND 來協助、應付日常生活上多功需求和高效能作業。

快搜尋美光官方網站,了解業界最先進的技術,並追蹤美光Facebook粉絲專頁獲取最新消息吧!

參考資料

  1. https://pansci.asia/archives/101764
  2. 短期記憶與機制
  3. 感覺記憶、短期記憶、長期記憶  
  4. 注意力不集中?「利他能」真能提神變聰明嗎?

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圓形 = 三角形?形狀之間的秘密關係——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/27 ・1427字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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數學家通常都想很多,這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念,試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時,很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問:形狀是什麼?構成形狀的要素是什麼?我們以形狀分辨物體時,會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的,以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼?當我們說某樣東西是圓形時,看到的是什麼呢?

形狀百百種,可以量化嗎?

當然,這些問題沒什麼意義。就實際用途而言,我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想,形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了,我們或許會問自己這個問題:

世界上有多少形狀?圖/經濟新潮社

這個問題很簡單,但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法,稱為廣義龐卡赫猜想(generalized Poincaré conjecture,或譯龐加萊猜想)。這個猜想提出至今已經超過一百年,目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多,有一位數學家解出這個問題的大部分,因此獲得了100萬美元獎金,但還有許多種形狀沒有找到,所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀?如果沒有更好的點子,有個不錯的方法是畫出一些形狀,看看會有什麼結果。

我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社
我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎?波浪線(squiggle)應該全部算成一大類,還是應該依彎曲的方式細分?我們需要一種通用規則來解決這類爭議,才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師,通常會希望規則既嚴謹又精確:必須長度、角度和曲線都完全相等,兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學(geometry)這個數學領域。在這個領域裡,形狀嚴格又精確,經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

決定兩個形狀是否相同的規則相當多。圖/經濟新潮社

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀,但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則,它能夠把所有的形狀分成若干類別,但類別的數量又不至於太多。

所以三角形可以等於圓形。圖/經濟新潮社




——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

經濟新潮社
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圓錐曲線與射影幾何-《這才是數學》
PanSci_96
・2015/03/22 ・2957字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 568 ・九年級

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接下來我要告訴你一個很漂亮的發現,它是在第四世紀初做出來的,當時已是古典幾何時期的尾聲。當中的概念,最早出現於希臘幾何學家帕普斯(Pappus of Alexandria,西元320年前後)的數學著作裡。

首先我得說,要進入這個主題讓我有點惴惴不安,因為它的某些層面相當棘手,我不清楚該如何解釋。(可能有些地方我只能兩手一攤。)

我們從甜甜圈開始談起──呃,我所指的是甜甜圈形狀,不是指甜點。

sdsf

到現在為止,我們還不真正需要精確描述出形狀。形狀是由平面上或空間裡的點,以某種簡單、賞心悅目的排列方式組成的。我們可說已經很熟悉球體、圓錐或長方形了。那麼甜甜圈又是什麼樣的形狀?

我最喜歡的思考方式,是想像有個圓形繞著空間裡的一條直線旋轉。

jmyj

這種甜甜圈狀的抽象幾何形狀,叫做環面(torus)。所謂的環面,就是指一個圓沿著圓形路徑在空間中移動所構成的軌跡。

我認為,像這樣把一個幾何形狀描述成另一個形狀的運動軌跡,是很了不起的想法。這不僅產生了類似環面這種新奇的形狀,也讓我們能夠以新的眼光看待熟悉的事物。譬如立方體,就可以看成是一個正方形沿著直線路徑運動的軌跡。

ghbdrg

偶爾我喜歡假裝正方形是一隻史前動物,在數百萬年前沿著這條路徑爬行,於是立方體就是牠奮力爬行的「化石紀錄」。我想到的另一個畫面則是雪地裡的足跡。長方形正是一根棍子側向移動留下的「足跡」。

dgfb

重點是,許多漂亮的形狀可以視為某種運動的結果。

你能不能想出兩種把圓柱體解釋成運動軌跡的方式?

問題是,以這種方式來解釋一個形狀,對於度量是否有任何幫助。描述與量度之間的關係,是幾何學上一再出現的主題。物件的量度會如何隨著描述方式的不同而改變?

尤其,一個物件如果是某個更簡單形狀的運動軌跡,它的量度與這個簡單形狀及其移動方式,究竟有何關係?這是一千六百年前帕普斯提出的問題,而我想要解釋的,正是他的偉大發現。

我就從我們在前面看過的鳳梨片開始好了。

fjviospe

我們現在所講的,是夾在兩個同心圓之間的空間。這種區域叫做環形(annulus)。對於這個形狀,我們很自然會想成是中間去掉了一個小圓的圓形區域。

另一方面,環形也可以看成一根棍子沿圓形路徑運動所掃出的形狀,就像鏟雪車繞著一棵樹鏟完雪的結果。

fjvpsei

假如棍子(或鏟雪車)是直線行進,當然就會掃出一個矩形。現在我們就能把環形與矩形,視為與同一個概念有關連的不同面貌──此概念就是「由棍棒的運動所形成的形狀」。這很有意思,因為環形與矩形在幾何上大不相同。譬如說,如果你試圖把矩形彎成一個環形,可能不會太順利;內圈的邊會扭曲變形,而外圈的邊會扯破。這情景不大妙。

與環形和矩形有關的有趣問題,就是該怎樣比較兩者的面積。假設我們手邊有根棍子,讓它繞著圓形路徑掃一圈,構成一個環形。那麼需要多長的直線路徑,才能夠掃出同樣的面積?這正是帕普斯想知道的事情。

sdfjsiod

如果預期正確答案介於環的內、外圓周長之間,這很合理。最自然的猜測是兩圓周長的中間值。我們就假設可以特別安排,讓矩形的長度剛好等於這個「平均」圓周長。那麼兩者的面積一定相符嗎?

結果真的相同。事實上,還有個好方法可以看出這件事,這個方法關連到巴比倫的平方差公式rfvwr

概念如下。這個環形完全由內、外圓的半徑來決定。令外圓半徑為R,內圓半徑為r。當我們把這個環形想成兩圓的差,它的面積就會等於wem

對於矩形,我們需要知道棍子的長度以及路徑長。棍子的長度很容易,就是R – r。知道為什麼嗎?而通過環形中央的圓,它的半徑是內、外圓半徑的平均,所以就此意義來說確實是平均值。換句話說,中間圓的半徑是fowr

由於圓周長永遠是2p 乘以半徑,因此路徑長(連同矩形的長度)必為

jmpo 最後,矩形的面積等於長寬的乘積,也就是

mpi

恰好是環形的面積。我很喜歡代數與幾何像這樣互相連結起來。屬於代數的平方差公式,由環與矩形的幾何等價關係呈現出來。

不妨把中間的圓形,想成是棍子中心點的移動軌跡。換句話說,中心點行進的距離才是重點。具體來說,我們已經發現,如果棍子的中心點沿著圓形路徑移動一段長度,所掃出的面積會和沿著直線路徑時的面積相同。不管是直線還是圓形路徑,掃出的面積都等於棍子長度與路徑長的乘積。

這個例子正說明了描述(把環形描述成棍子的移動)對於量度(棍子和路徑很巧妙地決定了面積)的影響。就像我先前講過的,幾何學討論的正是描述與量度之間的關係。

這個例子還可以進一步延伸。假設我們是沿著任意路徑推棍子(的中心點)。

kpmk

這樣我們仍然會得出同樣的結果嗎?我們仍能說,所掃出區域的面積會和直線路徑的情形相同?面積就等於棍長與路徑長的乘積嗎?或說我們根本就是得寸進尺?

實際上,不管路徑是何形狀,上述的結果都是對的。看我能不能解釋一下為什麼如此。首先可以觀察到,這個結果也適用於圓弧(整個圓的局部)路徑。

pm;o

這是因為,弧長及所掃出的面積,都會與整個環形的弧長及所掃面積成比例。特別是,對於環形「小段」和非常細的矩形,此結果也會成立。概念就是,把這些小碎片拼組成更複雜的形狀。

jilo

棍子中心點的各種移動軌跡,合起來就構成了一條大的路徑,細部來看是由許多圓弧線段及直線段組成。我們還可以經由適當的安排,讓所做出的路徑盡可能接近我們想達成的路徑形狀。

特別是,我們可以(透過這樣的無窮逼近)讓路徑的總長度,接近我們所想的路徑的長度,而組成小段的總面積,也會接近我們所想的區域的實際面積。由於面積近似值是棍長與路徑長的乘積,且逼近做得越好時,這仍是對的,因此對於我們所想的實際區域,這必然也是對的。窮盡法又幫了大忙。

這正是第一個例子,可說明帕普斯發現的結果適用範圍廣泛:移動棍子而掃出的區域面積,就等於棍長乘上棍子中心點的移動距離。

但有幾個微妙的細節。第一點是,棍子必須隨時與運動方向保持垂直。如果成一個角度斜著推棍子,情況會變得一團糟。

ko8i

舉例來說,對於歪斜的矩形,帕普斯定理就束手無策了。因為形狀是由小片的環與矩形組成(至少大致上是),而在這些小片上棍子和路徑始終成直角,因此垂直運動是這個方法可處理的唯一一種移動方式。垂直運動正是帕普斯哲學的重要元素之一。

第二個問題是自相交的情形。

jisfd

如果路徑彎得太劇烈,部分區域就會重複掃過,重疊處的面積也會重複計算。只要保持垂直,並防止急轉彎,就一切順利。

由移動的棍子所掃出的區域周長是多少?

unnamed本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學:從不知道到想知道的探索之旅》,經濟新潮社出版。

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傳入歐洲的阿拉伯數字推動代數改革──《無限的力量》
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・2020/11/28 ・3331字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 580 ・九年級

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崛起於東方的代數學

雖然微積分的確是在歐洲達到頂峰,但這支數學的根基其實是從別的地方開始的。比如說代數學,它起源於亞洲和中東地區。代數的英文名稱來自於阿拉伯文 al-jabr,原意為「修復」或「碎片重聚」,這是在平衡一道方程式並求解時所需的操作。舉例而言,在處理方程式時,我們經常將一個數字從等號的某一邊移除並加到另一邊,這便是一種先將方程式的一部分拆下再重新修復的過程。

另外,如同我們之前提過的,幾何學事實上源自於埃及。據傳,希臘的幾何學之父泰利斯(Thales)便是在埃及學到這門學問的。還有,幾何學中最著名的一個理論——「畢氏定理」實際上也不是畢達哥拉斯首先發現的;早在公元前 1800 年前的美索不達米亞泥板上就已經存在,證明巴比倫人知道這個定理的時間點比畢達哥拉斯早了至少一千年。

公元前 1800 年的巴比倫石板上,早已刻有畢氏三元數組。圖/Wikipedia

同時必須要注意的是,當我們提到古希臘時,其實是指一個遠超過雅典(Athens)和斯巴達(Sparta)的超廣大領土。在面積最遼闊的時候,它的南方邊界延伸到了埃及、西至義大利與西西里島、而東邊更是橫跨了地中海至土耳其、中東、中亞、甚至是部分的巴基斯坦與印度。畢達哥拉斯是在薩摩斯島(Samos)出生的,這是一座位於安納托利亞(Asia Minor;屬於今日的土耳其)西部海岸線之外的島嶼。阿基米德生活於敘拉古,它位在西西里島的東南方。而歐幾里得則在亞歷山大城附近活動,這是一座位於埃及尼羅河口的巨大港口,並且是當時的學術重鎮。

但在羅馬攻佔了希臘,特別是當位於亞歷山大城的圖書館被燒毀,以及西羅馬帝國隕落以後,數學研究的中心就又回到了東方。阿基米德、歐幾里得、托勒密、亞里斯多德和柏拉圖的作品都被翻譯成了阿拉伯文,並且被當時的學者和抄寫員流傳了下來。這些人同時也在過去的理論中添加了許多嶄新的想法。

代數如何興起,幾何又為何衰落?

在代數降臨前的幾個世紀,幾何學的進展就已經陷入了龜速慢爬時期。在阿基米德於公元前 212 年去世以後,似乎就沒有人能在這個領域超越他的成就。喔,抱歉,應該說「幾乎」沒有人可以超越。大約在公元 250 年,中國的幾何學者劉徽對阿基米德計算圓周率的方法做了改良。兩個世紀以後,祖沖之(公元 429 – 500 年,南北朝時代)使用劉徽的方法及一個 24,576 條邊的多邊形做計算,並在經過一段想必非常史詩級的算術處理後,成功將 π 值限制在以下的兩個數字之間:

3.1415926 < π < 3.1415927

祖沖之對 π 值的計算成功達到小數點後第六位正確。圖/pixabay

又過了五個世紀,進步再度來臨,這一次是由一位名為哈桑‧本‧海什木(Al-Hasan Ibn al-Haytham;在歐洲通常寫作 Alhazen)的人完成。他於約公元 965 年時出生在伊拉克(Iraq)的巴斯拉(Basra),在進入伊斯蘭黃金時代後,他來到開羅(Cairo)從事包括神學、哲學、天文、醫學等各式各樣的研究。在海什木的幾何著作中,他思考一種阿基米德從未想過的立體圖形,並嘗試計算它的面積。與這個發現本身同樣令人吃驚的是,關於幾何學的重大進展也就這些了,且中間竟然花了十二個世紀的時間。

而就在這段時間裡,代數與算術正在經歷快速且重大的發展。來自印度的數學家發明了「零」這個概念,並創造了十進制系統。另外,關於如何解方程式的代數技巧也在埃及、伊拉克、波斯和中國遍地開花。這些進展大多源自於解決真實世界中的問題,例如:遺產繼承規則、納稅評估、商業活動、計帳、利息計算、以及其它可能用到數字與方程式的主題。

別忘了,阿拉伯數字可是印度人發明的喔!圖/pixabay

代數在當時仍是用文字敘述,也因此這些問題的解決方法都被寫成類似處方箋一樣的東西,上面包含了如何一步步得到答案的文字指引。其中一本著名的教科書是由穆罕默德‧伊本‧穆薩‧花拉子米(Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi;公元 780 – 850 年)所編寫的,因此作者的姓氏被用來泛指所有透過一系列步驟達成目的的程序,也就是演算法(algorithm,即 al-Khwarizmi 的拉丁文譯名)這個字的由來。最終,貿易商和探險家把這種以文字敘述為基礎的代數、以及從印度與阿拉伯發源的十進制帶往了歐洲,與此同時,人們也開始將阿拉伯文的文獻轉譯成拉丁文。

到了文藝復興時期的歐洲,除了應用層面的探索以外,將代數學符號化的研究也開始盛行起來,並且在 1500 年代達到頂峰。於是,方程式的樣貌開始類似於我們現今看到的樣子,也就是用字母來取代數字的形式。1591 年時,法國的弗朗索瓦‧韋達(François Viète)以母音字母(如:A 和 E)來代表未知值,並用子音字母(如:B 和 G)來代表常數。而如今我們用 x、y、z 表示未知值;a、b、c 表示常數的的習慣則源自於約五十年後出現的笛卡兒。這種使用符號與字母來取代文字敘述的作法,使得方程式的推導與求解更為容易。

在算術上也有同樣重大的突破,那就是來自荷蘭的西蒙‧斯蒂文(Simon Stevin)將阿拉伯十進制數字從整數擴大運用到了小數上,並藉此成功消除了亞里斯多德思想中關於數字(即今天的整數,兩相鄰整數間沒有更小的單位存在)與大小(一種連續的數量,可以被分割成無限小的單位)之間的差異。

西蒙‧斯蒂文(Simon Stevin)對小數的運用讓算數有了重大的突破。圖/Wikipedia

在斯蒂文以前,十進制只適用於整數上,而任何小於一單位的數就用分數來表示;但在斯蒂文的新方法中,一個單位的整數可被切割成更小的單位,也就是小數。這對於今天的我們來說是理所當然的事,但在那時卻是一項革命性的想法。當整數具有可分割性,則整數、分數或無理數便可以被整合到一個被稱為「實數」的大家庭中,這給了微積分描述連續空間、時間、運動與變化一項強大而必需的工具。

此圖展示「芝諾悖論」中的「阿基里斯與烏龜」,當缺乏小數帶來的「連續性」與無限帶來的「極限」概念時,會出現跑比較快的阿基里斯永遠追不上烏龜的奇怪解釋。圖/Wikipedia

就在幾何學即將與代數合而為一的前夕,阿基米德所用的舊幾何學方法還有最後一次成功的應用:克卜勒將帶有弧度的物體(如:酒桶和甜甜圈形狀的物體)在腦中切成無限多片且無限薄的圓盤,並藉此計算它們的體積;另外,伽利略與他的學生埃萬傑利斯塔‧托里切利(Evangelista Torricelli)、博納文圖拉‧卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)也是透過將物體視為無限多條線或面的堆疊來求得面積、體積或重心。

然而,這些人在對待「無限大」或「無限小」的概念時可以說是漫不經心,因此他們的方法雖然有力且直覺,卻一點兒也不嚴謹。儘管如此,由於這些方法能比窮盡法更容易且更快速地找到答案,所以也不失為一項讓人感到興奮的進步(當然,如今我們已經知道阿基米德早就使用過這種技巧了,他在關於「方法」的論述裡早就提過相同的點子,只不過當時這些敘述被深埋在一本收藏於修道院的祈禱書之中,直到 1899 年才被人發現)。

無論如何,雖然那些新阿基米德派的做法在當時看上去相當有效,但它們卻不足以應付未來的挑戰。而符號代數此時已經蓄勢待發,與之相關的兩支強大分支,即解析幾何與微分,也已如春芽一般呼之欲出。

──本文摘自《無限的力量》,旗標出版,2020 年 09 月 09 日
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