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窮盡法及其結果-《這才是數學》

PanSci_96
・2015/03/20 ・2879字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 476 ・五年級

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我想繼續談一談窮盡法。這個方法的想法,就是想辦法用無窮無盡的逼近,去得到確切的量度,就像我們在前面用無窮多個正多邊形去度量圓形那樣。這是目前為止發明的度量技巧當中,最強大且最靈活的方法。原因在於,這個方法把曲線形狀的量度,簡化為直線形狀的量度。想不到我們竟能精確度量彎曲的形狀,而且還能度量得如此深入而漂亮。

且讓我帶你看另一個例子:用窮盡法度量圓柱的體積。

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圓柱很有趣,既圓又直,像是介於立方體和球體之間。總而言之,圓柱的兩個底面是(等面積的)圓形,一個在上,另一個在下。

估算圓柱體積的其中一個方法,是想像把圓柱縱切成許多薄片,然後用長方塊來逼近這些薄片。

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這些長方塊的長方形底面,可以非常逼近圓柱的底面積。切的薄片越多,長方塊的總體積就越接近圓柱的實際體積,長方形底的面積也越趨近於圓底的實際面積。

好啦,每一個長方塊的體積,等於各自的底面積乘以高,因此所有長方塊的體積,就等於底部所有長方形的總面積乘以高。在此我們利用了「所有長方塊的高都相等」這件事。意思就是,圓柱的體積近似值,會等於底面積的近似值乘上高。

這個模式已經夠我們解讀圓柱的實際量度。切片的數量越多,就能夠越逼近,而長方形底面積與高的乘積,也越趨近於圓形底面積與高的乘積,以及圓柱的體積。所以兩者必定相等,換句話說,窮盡法奏效了。圓柱的體積就等於底面積乘上高。

這讓我想到兩件事。第一,或許你早就知道這個結果了。直觀上不就很容易看出,圓柱所占的空間大小,會與高及底面積成比例嗎?我可不想解釋大家早就知道的事。更何況,把直觀與推理結合起來,這是件好事──也正是數學的本質。

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第二件事情是,把圓柱切成這樣的長方塊,似乎很難看又不夠自然。在前面我們度量圓形的時候,是把圓切割成排列得十分對稱的三角形啊。為什麼不沿著中心縱切成三角形楔塊?批評得有理,真的。我用另一個例子來回答這個問題(說得一副我不是提問者似的)。

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上面這塊立體的製作方式和圓柱相同,只不過上下兩面不再是圓形,而是其他形狀。我們就把這種東西稱呼為廣義圓柱吧。在這個例子裡,根本沒有對稱的切法了,所以最好的辦法只有切成長方塊狀。廣義圓柱的體積,仍會等於它的高乘以底面積。我想說的重點是,無論對稱與否,切成長方塊狀都行得通。這個例子也可以讓你清楚看到窮盡法的靈活度。

(廣義)圓柱的表面積要如何度量?

接下來我想帶你看看窮盡法的威力。在前面我們講過伸縮,也就是僅只沿著一個方向拉長某個倍數。有時候我喜歡把它想成是整個平面的變化,就好像拉著一片橡膠的兩側,而畫在平面上的任何一種形狀,就會跟著拉長。假設我們畫了幾個形狀,然後讓這些形狀(水平)伸縮某個倍數。

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你可以看到這些形狀變形得多麼嚴重。拿正方形來說,就變成了長方形(所以四個邊長也不再全部相等)。另外,正三角形變成等腰三角形,圓形變成完全不一樣的形狀,叫做橢圓(ellipse)。

一般來說,伸縮是個很具破壞力的過程,往往會使長度與角度發生嚴重扭曲。特別是,形狀經過伸縮之後的周長,與伸縮之前的周長通常沒有任何數學關係。以橢圓的周長為例,就是個很經典的度量難題,原因正是它和圓周長無關。

另一方面,伸縮卻與面積的變化一致。我們已經曉得伸縮對於面積產生的效應:如果矩形(在平行於其中一邊的方向上)伸縮了某個倍數,它的面積也會乘以該倍率。由窮盡法,我們發現不管是哪種形狀,上述效應同樣適用。若說得更確切些,就假設有某種形狀,我們要讓它沿著某個方向伸縮r倍。我們想知道,此形狀的面積也會變成r倍。

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概念就是,要把這個形狀沿著伸縮的方向切成長方條,使得長方條的總面積很接近這個形狀的面積。lkjn

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伸縮之後,各個長方條也跟著拉長了,所以它們的面積都要乘以r倍。這表示該形狀在伸縮後的近似面積,是伸縮前的r倍。我們會發現,如果讓長方條的數量無限增加(這樣一來,它們的寬度會趨近於零),長方條的實際面積必定也會變成r倍。在嚴重扭曲變形之後,竟然還能掌握面積如何變化,在我看來實在太不可思議了。

 橢圓的面積有多大?

 同樣的,沿著某方向的伸縮也會讓體積產生相同倍數的變化。知道為什麼嗎?因為長方塊經過伸縮之後,行為仍是規矩的,所以可以如法炮製。當然,我們還是得小心點。比方說,如果一個立體伸縮了2倍,它的體積確實會變成2倍,但是表面積通常就會失控了。不信的話,你可以拿個立方體來試試!

接下來,我要帶你看一個很漂亮的量度(希望這是需要我秀給你看的唯一一種)。我們要度量的是角錐(金字塔)的體積。

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我最喜歡的度量方法,是把角錐放進一個等底、等高的方盒;也就是把這個方盒想成是裝著角錐的箱子。

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你自然而然就會想問:角錐占了方盒的多少體積?這個問題很難回答,也很年代悠久,最早可追溯到古埃及(那當然)。有個(很聰明的)觀察方法可以做為切入點:如果把一個立方體的中心點和八個頂點作連線,就可以把立方體切成角錐。

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切出來的角錐有六個,因為立方體有六個面。這些角錐全都一模一樣,所以體積等於六分之一個立方體。裝著這樣的角錐的方盒,會是半個立方體,因此這些角錐的體積,就等於箱子體積的三分之一。我認為這是個相當漂亮的論證。

麻煩在於,這只適用於上述形狀的角錐(它的高恰好是底邊長的一半)。大多數的角錐可沒那麼恰到好處,不是太陡,就是太低平。

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這是不是代表,我們只能度量特定一種形狀的角錐?當然不是!任何一種角錐其實都可以從上述這種特例,經過適度的伸縮變形出來。想要一個更陡的角錐,我們可以讓它任意上下伸縮,想要多高就拉多高。

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現在要講到我最愛的部分了:伸縮對於角錐體積和方盒體積的影響,完全一樣。兩者都要乘上伸縮倍率。這表示兩者的體積之比保持固定不變。特殊角錐占了方盒的三分之一,那麼任何一個角錐也必定如此。所以,角錐的體積永遠是方盒體積的三分之一。我太喜歡這一連串概念了。看看窮盡法是多麼博大精深呀。

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把立方體各面的中心點互相連起來,可以作出正八面體。它占了立方體多少的體積?

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有個不完整的角錐,高度是h,上底是邊長為a的正方形,下底是邊長為b的正方形。它的體積與a、b、h有何關連?

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正四面體的中心點在哪裡?

unnamed本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學:從不知道到想知道的探索之旅》,經濟新潮社出版。

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PanSci_96
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圓錐曲線與射影幾何-《這才是數學》
PanSci_96
・2015/03/22 ・2957字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 568 ・九年級

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接下來我要告訴你一個很漂亮的發現,它是在第四世紀初做出來的,當時已是古典幾何時期的尾聲。當中的概念,最早出現於希臘幾何學家帕普斯(Pappus of Alexandria,西元320年前後)的數學著作裡。

首先我得說,要進入這個主題讓我有點惴惴不安,因為它的某些層面相當棘手,我不清楚該如何解釋。(可能有些地方我只能兩手一攤。)

我們從甜甜圈開始談起──呃,我所指的是甜甜圈形狀,不是指甜點。

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到現在為止,我們還不真正需要精確描述出形狀。形狀是由平面上或空間裡的點,以某種簡單、賞心悅目的排列方式組成的。我們可說已經很熟悉球體、圓錐或長方形了。那麼甜甜圈又是什麼樣的形狀?

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我最喜歡的思考方式,是想像有個圓形繞著空間裡的一條直線旋轉。

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這種甜甜圈狀的抽象幾何形狀,叫做環面(torus)。所謂的環面,就是指一個圓沿著圓形路徑在空間中移動所構成的軌跡。

我認為,像這樣把一個幾何形狀描述成另一個形狀的運動軌跡,是很了不起的想法。這不僅產生了類似環面這種新奇的形狀,也讓我們能夠以新的眼光看待熟悉的事物。譬如立方體,就可以看成是一個正方形沿著直線路徑運動的軌跡。

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偶爾我喜歡假裝正方形是一隻史前動物,在數百萬年前沿著這條路徑爬行,於是立方體就是牠奮力爬行的「化石紀錄」。我想到的另一個畫面則是雪地裡的足跡。長方形正是一根棍子側向移動留下的「足跡」。

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重點是,許多漂亮的形狀可以視為某種運動的結果。

你能不能想出兩種把圓柱體解釋成運動軌跡的方式?

問題是,以這種方式來解釋一個形狀,對於度量是否有任何幫助。描述與量度之間的關係,是幾何學上一再出現的主題。物件的量度會如何隨著描述方式的不同而改變?

尤其,一個物件如果是某個更簡單形狀的運動軌跡,它的量度與這個簡單形狀及其移動方式,究竟有何關係?這是一千六百年前帕普斯提出的問題,而我想要解釋的,正是他的偉大發現。

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我就從我們在前面看過的鳳梨片開始好了。

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我們現在所講的,是夾在兩個同心圓之間的空間。這種區域叫做環形(annulus)。對於這個形狀,我們很自然會想成是中間去掉了一個小圓的圓形區域。

另一方面,環形也可以看成一根棍子沿圓形路徑運動所掃出的形狀,就像鏟雪車繞著一棵樹鏟完雪的結果。

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假如棍子(或鏟雪車)是直線行進,當然就會掃出一個矩形。現在我們就能把環形與矩形,視為與同一個概念有關連的不同面貌──此概念就是「由棍棒的運動所形成的形狀」。這很有意思,因為環形與矩形在幾何上大不相同。譬如說,如果你試圖把矩形彎成一個環形,可能不會太順利;內圈的邊會扭曲變形,而外圈的邊會扯破。這情景不大妙。

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與環形和矩形有關的有趣問題,就是該怎樣比較兩者的面積。假設我們手邊有根棍子,讓它繞著圓形路徑掃一圈,構成一個環形。那麼需要多長的直線路徑,才能夠掃出同樣的面積?這正是帕普斯想知道的事情。

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如果預期正確答案介於環的內、外圓周長之間,這很合理。最自然的猜測是兩圓周長的中間值。我們就假設可以特別安排,讓矩形的長度剛好等於這個「平均」圓周長。那麼兩者的面積一定相符嗎?

結果真的相同。事實上,還有個好方法可以看出這件事,這個方法關連到巴比倫的平方差公式rfvwr

概念如下。這個環形完全由內、外圓的半徑來決定。令外圓半徑為R,內圓半徑為r。當我們把這個環形想成兩圓的差,它的面積就會等於wem

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對於矩形,我們需要知道棍子的長度以及路徑長。棍子的長度很容易,就是R – r。知道為什麼嗎?而通過環形中央的圓,它的半徑是內、外圓半徑的平均,所以就此意義來說確實是平均值。換句話說,中間圓的半徑是fowr

由於圓周長永遠是2p 乘以半徑,因此路徑長(連同矩形的長度)必為

jmpo 最後,矩形的面積等於長寬的乘積,也就是

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恰好是環形的面積。我很喜歡代數與幾何像這樣互相連結起來。屬於代數的平方差公式,由環與矩形的幾何等價關係呈現出來。

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不妨把中間的圓形,想成是棍子中心點的移動軌跡。換句話說,中心點行進的距離才是重點。具體來說,我們已經發現,如果棍子的中心點沿著圓形路徑移動一段長度,所掃出的面積會和沿著直線路徑時的面積相同。不管是直線還是圓形路徑,掃出的面積都等於棍子長度與路徑長的乘積。

這個例子正說明了描述(把環形描述成棍子的移動)對於量度(棍子和路徑很巧妙地決定了面積)的影響。就像我先前講過的,幾何學討論的正是描述與量度之間的關係。

這個例子還可以進一步延伸。假設我們是沿著任意路徑推棍子(的中心點)。

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這樣我們仍然會得出同樣的結果嗎?我們仍能說,所掃出區域的面積會和直線路徑的情形相同?面積就等於棍長與路徑長的乘積嗎?或說我們根本就是得寸進尺?

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實際上,不管路徑是何形狀,上述的結果都是對的。看我能不能解釋一下為什麼如此。首先可以觀察到,這個結果也適用於圓弧(整個圓的局部)路徑。

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這是因為,弧長及所掃出的面積,都會與整個環形的弧長及所掃面積成比例。特別是,對於環形「小段」和非常細的矩形,此結果也會成立。概念就是,把這些小碎片拼組成更複雜的形狀。

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棍子中心點的各種移動軌跡,合起來就構成了一條大的路徑,細部來看是由許多圓弧線段及直線段組成。我們還可以經由適當的安排,讓所做出的路徑盡可能接近我們想達成的路徑形狀。

特別是,我們可以(透過這樣的無窮逼近)讓路徑的總長度,接近我們所想的路徑的長度,而組成小段的總面積,也會接近我們所想的區域的實際面積。由於面積近似值是棍長與路徑長的乘積,且逼近做得越好時,這仍是對的,因此對於我們所想的實際區域,這必然也是對的。窮盡法又幫了大忙。

這正是第一個例子,可說明帕普斯發現的結果適用範圍廣泛:移動棍子而掃出的區域面積,就等於棍長乘上棍子中心點的移動距離。

但有幾個微妙的細節。第一點是,棍子必須隨時與運動方向保持垂直。如果成一個角度斜著推棍子,情況會變得一團糟。

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舉例來說,對於歪斜的矩形,帕普斯定理就束手無策了。因為形狀是由小片的環與矩形組成(至少大致上是),而在這些小片上棍子和路徑始終成直角,因此垂直運動是這個方法可處理的唯一一種移動方式。垂直運動正是帕普斯哲學的重要元素之一。

第二個問題是自相交的情形。

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如果路徑彎得太劇烈,部分區域就會重複掃過,重疊處的面積也會重複計算。只要保持垂直,並防止急轉彎,就一切順利。

由移動的棍子所掃出的區域周長是多少?

unnamed本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學:從不知道到想知道的探索之旅》,經濟新潮社出版。

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我們一開始先談抽象幾何圖形-《這才是數學》
PanSci_96
・2015/03/19 ・2925字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 441 ・四年級

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以下是個美麗的圖案。

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我來告訴你,為什麼我覺得這種圖案很吸引我。首先,裡面有幾種我很喜歡的形狀。

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這幾種形狀簡單又對稱,所以我很喜歡。像這樣由直線構成的形狀,叫做多邊形(polygon)。所有的邊與每個角都相等的多邊形,稱為正多邊形。所以我想我應該要說:我喜歡正多邊形。

這個圖案設計吸引我的另一個原因是,當中的組成元件拼接得天衣無縫。鋪磚之間沒有縫隙,也不會重疊(我喜歡把這些元件想成瓷磚,就像馬賽克裝飾藝術)。至少看上去是如此。請記住,我們所談的東西,其實是假想的完美形狀。不能因為圖案看起來很好,便認為就是這麼回事。無論多麼費心製作的圖片,都是實體世界的產物;圖片不可能告訴我們關於假想數學物件的真理。幾何形狀做自己想做的事,不是做我們希望它們做的事。

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那我們怎麼能確定,這些多邊形真的拼貼得完美無缺?對於這些幾何物件,我們真能知道些什麼嗎?問題的關鍵是,我們要度量這些多邊形──不是用尺或量角器這類笨拙的實體器具,而是靠心智去度量。我們需要找一種方法,能單單用哲學論證去衡量這些形狀。

有沒有注意到,在這個例子裡我們需要量的是角度?為了檢查類似的馬賽克拼貼圖案做得出來,我們必須確認在地磚之間的每個接角,各多邊形的角度加起來是一整圈360度。譬如最普通的正方形鋪磚,正方形的各角是四分之一圈,所以四個正方形加起來剛好一圈。

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附帶一提,我喜歡用一整圈來當作角度的度量單位,而不喜歡用度。我個人覺得這樣更簡單,也比把一圈分成360等份更自然些(你當然可以選擇自己喜歡的方式)。所以我的說法就會是:正方形各角的角度是1/4。

跟角度有關的第一件驚人發現是,不管是哪種形狀的三角形,內角和始終相同,加起來都是半圈(或180度,如果你必須從俗的話)。

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如果想實際感受一下,不妨拿紙做幾個三角形,把角裁下來,然後排在一起,你就會看到它們一定能排成一條直線。多漂亮的發現呀!但我們怎麼知道真的就是如此?

有一種方法是,把三角形改畫在兩條平行線之間。

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請注意看,這兩條直線與三角形其中兩邊構成的Z字形。(我猜你可能會把右邊的那個稱為倒Z形,不過怎麼稱呼都無所謂。)要請你看的重點是,Z字形的夾角永遠會相等。

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這是因為Z字形是對稱的:假如我們讓它繞著中心點旋轉半圈,看起來會完全相同。這表示上下兩個角必定相等。有道理吧?這就是一個典型的對稱論證。如果一個形狀經過了某一組運動的作用之後仍保持不變,我們就可以由此推斷出,兩個或更多個量度必定相等。

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回到剛才兩平行線夾三角形的圖示,我們現在曉得,底部的兩個角分別與頂部的對應角相等。

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這也就表示,三角形的三個角湊在一起,會在頂部拼成一條直線。所以,三個角相加一共轉了半圈。這個數學推理很輕鬆愉快吧!

這正是做數學的意義。先做出發現(不管用哪種方法做出來都行,包括紙、繩子、橡皮筋之類的實體模型),然後盡可能以最簡單優雅的方式去解釋。這是數學的藝術,也是數學充滿挑戰與樂趣的地方。

由這項發現產生的其中一個結論是,如果我們的三角形恰好是等邊三角形(即正三角形),那麼三個角會相等,一定都等於1/6。我們還可以換一種方法來看出同樣的結果:想像你是在開車繞著三角形的邊線。

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你轉了三個相等的彎之後,就回到起點。由於最後轉了一整圈,因此每個彎必定剛好等於1/3。請注意,我們所轉的角度實際上是三角形的外角。

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由於內角與外角合起來是半圈,所以內角和就等於rrbwer特別是,六個正三角形可以剛好鋪成一個接角。

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嘿,這不就做出了一個正六邊形!我們額外得到了一個結論:正六邊形的每個角必為正三角形各角的兩倍,也就是1/3。這表示,三個正六邊形可以拼在一起。

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因此,我們還是有可能對這些形狀有些認識。尤其是,我們現在明白了為什麼最初的那幅馬賽克圖案拼得出來。

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在圖案的每個接角,都有一個正六邊形、兩個正方形、一個正三角形。這些角度相加起來會等於wnter所以拼得起來!

(附帶一提,如果你不喜歡分數運算,你隨時可以換掉度量單位,避開分數。譬如你可以用1/12圈當作單位,這樣的話,正六邊形的角度就會是4,正方形的角度會是3,正三角形的角度是2,那麼相加起來就會等於4 + 3 + 3 + 2 = 12;也就是一整圈。)

我特別喜愛這個鑲嵌圖案呈現出來的對稱性。每個接角都有同樣的形狀依序排在周圍:六邊形、正方形、三角形、正方形。這表示一旦我們檢查過其中一個接角能夠拼滿,就能順理成章推知其他接角也不成問題。這個圖案可以無限往外延伸,鋪滿整個無限平面。我不禁納悶,「數學實在」裡還有沒有其他美麗的鑲嵌圖案?

利用正多邊形做出對稱的鑲嵌設計,方法有哪些?

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 當然,我們需要知道各種正多邊形的角度。你能不能想想看該如何量出角度呢?

 正n邊形的角度有多大?

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你可以量出正n角星的角度嗎?

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從正多邊形的其中一角所畫的對角線,會切割出相等的角度嗎?

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 雖然我們現在談的主題是多邊形做出的漂亮圖案,我想讓你看看我的另一個最愛。

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這一次我們用了正方形和三角形,但不是鋪成平面,而是做成某種球形。這種幾何體叫做多面體(polyhedron),幾千年來數學家一直在琢磨這種幾何形狀。思考的方法之一,是去想像多面體展開成平面的模樣。譬如剛才這個多面體,從其中一角展開後看起來會像這樣:

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我們可以看到,有兩個正方形及兩個三角形圍繞著一個頂點,但留下了一個縫隙,以便摺成一個球。因此對於多面體來說,角度相加起來必須小於一整圈。

 如果角度之和大於一整圈,會發生什麼情況?

 多面體與平面鑲嵌的另一個差異點,在於多面體的設計只牽涉到有限多個地磚。模式仍舊可以持續進行下去(就某種意義上),但不會無限延伸到外太空去。我當然也對這些模式感到好奇。

 對稱的多面體有哪些?

 換一種問法就是:有哪些方法,可把正多邊形做成多面體,而且在每個角可看到同樣的模式?阿基米德找出了所有可能的方法。你能不能找得出來?

最對稱的多面體,當然是每個面都全等的多面體,譬如立方體。這種多面體稱為正多面體。古人已經發現正多面體只有五種(所謂的柏拉圖立體)。你能不能說出是哪五種?

 有哪五種正多面體?

unnamed本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學:從不知道到想知道的探索之旅》,經濟新潮社出版。