窮盡法及其結果－《這才是數學》

本文由 Amway 委託，泛科學企劃執行。

到底怎樣才算是「乾淨」？這不是什麼靈魂拷問，而是一個價值上億的商業命題。

在半導體產業的無塵室中，「乾淨」的定義極其殘酷：一粒肉眼看不見的灰塵，就足以讓造價數百萬美元的晶圓直接報廢。空氣品質的好壞，甚至能成為台積電（TSMC）決定是否在當地設廠的關鍵性指標。回到你的家中，雖然不需要生產精密晶片，但我們呼吸系統中的肺泡同樣精密，卻長期暴露在充滿 PM2.5、病毒以及各種揮發性氣體的環境中。為了守護健康，你可能還要付費購買「乾淨的空氣」來用。

因此，空氣議題早已超越單純的環保範疇，成為同時影響國家經濟與個人健康的重要問題。

很多人可能沒想到，無論是家用的空氣清淨機，還是造價動輒百億的頂尖晶圓廠，它們對抗污染的核心武器並非什麼複雜的雷射防護罩，而是同一件看起來平凡無奇的東西：一片外觀像紙一樣的 HEPA 濾網。但你真的相信，就憑這層厚度不到幾公分的板子，能擋住那些足以毀滅精密晶片、滲透人體細胞的「奈米級刺客」嗎？

這片大家都聽過的 HEPA 濾網，裡面到底是什麼？

首先，我們必須打破一個直覺上的誤解：HEPA 濾網（High Efficiency Particulate Air filter）在本質上其實並不是一張「網」。

細懸浮微粒 PM2.5，是指粒徑在 2.5 微米以下的污染物，它們能穿過呼吸道直達肺泡，並穿過血管引發全身性發炎。但這只是基本，在工廠與汽車尾氣中，還存在粒徑僅有 1 微米的 PM1，甚至是小於 0.1 微米的「超細懸浮微粒」（UFP，即 PM0.1）。 UFP 不僅能輕易進入血液，甚至能繞過血腦屏障（BBB），進入大腦與胎盤，其破壞力十分可怕。

如果 HEPA 濾網像水槽濾網或麵粉篩一樣，單靠孔目大小來「過濾」粒子，那麼為了攔截奈米微粒，濾網的孔目只能無限縮小到幾乎不透氣的程度。更別說在台積電或 Intel 的製程工程師眼裡，一般人認為的「乾淨」，在工程師眼裡簡直像沙塵暴一樣。對於線寬僅有 2 奈米或 3 奈米（相當於頭髮直徑萬分之一）的晶片而言，空氣中一顆微小的塵埃，就是一顆足以毀滅世界的隕石。

因此，傳統的過濾思維並非治本之道，我們需要的是原理截然不同的過濾方案。這套技術的雛形，最早可追溯至二戰時期的「曼哈頓計畫」。

HEPA 的前身，誕生於曼哈頓計畫！

1940 年代，製造濃縮鈾是發展原子彈的關鍵。然而，若將排氣直接排向大氣，會導致致命的放射性微粒擴散。負責解決這問題的是 1932 年諾貝爾化學獎得主歐文·朗繆爾（Irving Langmuir），他是薄膜和表面吸附現象的專家。他開發了「絕對過濾器」（Absolute Filter），其內部並非有孔的篩網，而是石綿纖維。

有趣的來了，如果把過濾器放到顯微鏡下，你會發現纖維之間的空隙，其實比某些被攔截的粒子還要大。那為什麼粒子穿不過去呢？這是因為在奈米尺度下，物理規則與宏觀世界完全不同。極微小的粒子在空氣中飛行時，並非走直線，而是會受到空氣分子撞擊，而產生「布朗運動」（Brownian Motion），像個醉漢一樣東倒西歪。

當粒子通過由緻密纖維構成的混亂迷宮時，布朗運動會迫使它們不斷轉彎、移動，最終撞擊到帶有靜電的纖維上。這時，靜電的吸附力會讓纖維就像蜘蛛網般死死黏住微粒。那些狂亂移動的奈米刺客，就這樣被永久禁錮迷宮中。

現在最常見的 HEPA 材料，是硼矽酸鹽玻璃纖維。

現代 HEPA 濾網最常見的核心材料為硼矽酸鹽玻璃纖維。這些玻璃纖維的直徑通常介於 0.5 至 2 微米之間，它們在濾網內隨機交織，像是一座茂密「黑森林」。微粒進入這片森林後，並非僅僅面對一層薄紙，而是得穿越一個具有厚度且排列混亂的纖維層，微粒極有可能在布朗運動的影響下撞擊並黏附在某根玻璃絲上。

除此之外，HEPA 濾網在外觀上還有一個極具辨識度的特徵，那就是像手風琴般的摺紙結構。濾材會被反覆摺疊、摺成手風琴的形狀，中間則用鋁箔或特殊的防潮紙進行結構支撐，目的是增加表面積。這不僅為了捕獲更多微粒，而是要「降低過濾風速」。這聽起來可能有點反直覺：過濾不是越快越好嗎？

其實，這與物理學中的流速控制有關。想像一條水管，如果你捏住出口，水流會變得湍急；若將出口放開並擴大，雖然總出水量不變，但出水處的流速會變得緩慢。對於 HEPA 濾網而言，當表面積越大，單位面積所需承載的空氣量就越少，空氣穿透濾網的速度也就越低。

低流速代表微粒停留在濾網內的時間也更久，增加被捕捉的機會。此外，越大的表面積也為 HEPA 濾網帶來了高「容塵量」，延長了使用壽命，這正是它能夠稱霸空氣清淨領域多年的主因。

然而，即便都叫做 HEPA 高效率空氣微粒子過濾網 (High Efficiency Particulate Air filter)，但每個 HEPA 的成分與結構還是會不一樣。例如 安麗逸新空氣清淨機 SKY ，其標榜「可過濾粒徑最小至 0.0024 微米」的污染物，去除率高達 99.99%。

0.0024 微米是什麼概念？塵蟎、花粉、皮屑或黴菌孢子，大小約在 2 至 200 微米；細懸浮微粒  PM2.5 大小約 2.5 微米，細菌也大概這麼大。最小的其實是粒徑小於 0.1 微米的「超細懸浮微粒」，大多數的病毒（如流感、新冠病毒）都落在此區間。對安麗逸新 的HEPA濾網來說，基本上通通都是可被攔截的榜上名單。

在過敏防護上，它更獲得英國過敏協會（Allergy UK）認證，能有效處理 19 大類、102 種過敏原，濾除空氣中超過 300 種氣態與固態污染物。

然而，同樣的過濾邏輯一旦進入半導體無塵室，就必須換一條更為嚴苛的技術路線。因為硼矽酸鹽玻璃纖維對晶圓來說有個致命傷，就是「硼 (Boron)」。

在半導體製程中，硼是常見的 P 型摻雜物，用來精準改變矽晶圓的電性。如果濾網有任何微小的破損、老化或化學侵蝕，進而釋放出極微量的硼離子，就可能直接污染晶圓，改變其導電特性，導致晶片報廢。

此外，無塵室要求的是比 HEPA 更極致的 ULPA（超低穿透率空氣濾網） 等級的潔淨度。ULPA 的標準通常要求對 0.12 微米 的粒子達到 99.999% 甚至 99.9999% 的超高攔截率。在奈米級的競爭中，任何多穿透的一顆微塵，都代表著一筆不小的經濟損失。

為了解決「硼」的問題並追求極限的過濾效率，材料學家搬出了塑膠界的王者，PTFE 也鐵氟龍。鐵氟龍不僅耐酸鹼、耐腐蝕，還能透過拉伸製成直徑僅 0.05 至 0.1 微米 的極細纖維，其細度遠勝玻璃纖維。雖然 PTFE 耐化學腐蝕，但它既昂貴且物理上也很脆弱，安裝時若不小心稍微觸碰，數萬元的濾網就可能報銷。因此，你只會在晶圓廠而非一般家庭環境看到它。

即便如此，在空氣濾淨系統中，還有一樣是無塵室和你家空氣清淨器上面都有的另一張濾網，就是活性碳濾網。

活性碳如何從物理攔截跨越到分子吸附？

好不容易將微塵擋在門外時，危機卻還沒有解除。因為空氣中還隱藏著另一類更難纏的大魔王：AMC（氣態分子污染物）。

HEPA 或 ULPA 這類物理濾網雖然能攔截固體微粒，但面對氣態分子時，就像是用網球拍想撈起水一樣徒勞。這些氣態分子如同「幽靈」一般，能輕易穿過物理濾網的縫隙，其中包括氮氧化物、二氧化硫，以及來自人體的氨氣與各種揮發性有機物（VOCs）。

為了對付這些幽靈，我們必須在物理防線之外，加裝一道「化學濾網」。

這道防線的核心就是我們熟知的活性碳。但這與烤肉用的木炭不同，這裡使用的是經過特殊改造的「浸漬處理（Impregnation）」活性碳。材料科學家會根據敵人的不同性質，在活性碳上添加不同的化學藥劑：

• 酸鹼中和：對付氮氧化物、二氧化硫等酸性氣體，會在活性碳上添加碳酸鉀、氫氧化鉀等鹼性藥劑，透過酸鹼中和反應將有害氣體轉化為固體鹽類。反之，如果添加了磷酸、檸檬酸等酸性藥劑，就能中和空氣中的氨氣等鹼類。
• 物理吸附與凡德瓦力：對於最麻煩的有機揮發物（VOCs，如甲醛、甲苯），因為它們不具酸鹼性，科學家會精密調控活性碳的孔徑大小，利用龐大的「比表面積」與分子間的吸引力（凡德瓦力），像海綿吸水般將特定的有機分子牢牢鎖在孔隙中。

空氣濾淨的終極邏輯：物理與化學防線的雙重合圍

在晶圓廠這種對空氣品質斤斤計較的極端環境，活性碳的運用並非「亂槍打鳥」，而是一場極其精密的對戰策略。

工程師會根據不同製程區域的空氣分析報告，像玩 RPG 遊戲時根據怪物屬性更換裝備一樣——「打火屬性怪要穿防火裝，打冰屬性則換上防寒裝」。在最關鍵的黃光微影區（Photolithography），晶圓最怕的是人體呼出的氨氣，此時便會配置經過酸性藥劑處理的活性碳進行精準中和；而在蝕刻區（Etching），若偵測到酸性廢氣，則會改用鹼性配方的濾網。這種「對症下藥」的客製化邏輯，是確保晶片良率的唯一準則。

而在你的家中，雖然我們無法像晶圓廠那樣天天進行空氣成分分析，但你的肺部同樣需要這種等級的保護。安麗逸新空氣清淨機 SKY 的設計邏輯，正是將這種工業級的精密防護帶入家庭。它不僅擁有前述的高規 HEPA 濾網，更搭載了獲得美國專利的活性碳氣味濾網。

關於活性碳，科學界有個關鍵指標：「比表面積（Specific Surface Area）」。活性碳的孔隙越多、表面積越大，其吸附能力就越強。逸新氣味濾網選用高品質椰殼製成的活性碳，並經過高溫與蒸氣的特殊活化處理，打造出多孔且極致高密度的結構。

這片濾網內的活性碳配重達 1,020 克，但其展開後的總吸附表面積竟然高達 1,260,000 平方公尺——這是一個令人難以想像的數字，相當於 10.5 個台北大巨蛋 的面積。這種超高的比表面積，是市面上常見濾網的百倍之多。更重要的是，它還添加了雙重觸媒技術，能特別針對甲醛、戴奧辛、臭氧以及各種細微的異味分子進行捕捉。這道專利塗層防線，能將你從裝潢家具散發的有機揮發氣體，或是路邊繁忙車流的廢氣中拯救出來，成為全家人的專屬空氣守護者。

總結來說，無論是造價百億的半導體無塵室，還是守護家人的空氣清淨機，其背後的科學邏輯如出一轍：「物理濾網攔截微粒，化學濾網捕捉氣體」。只有當這兩道防線同時運作，空氣才稱得上是真正的「乾淨」。

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接下來我要告訴你一個很漂亮的發現，它是在第四世紀初做出來的，當時已是古典幾何時期的尾聲。當中的概念，最早出現於希臘幾何學家帕普斯（Pappus of Alexandria，西元320年前後）的數學著作裡。

首先我得說，要進入這個主題讓我有點惴惴不安，因為它的某些層面相當棘手，我不清楚該如何解釋。（可能有些地方我只能兩手一攤。）

我們從甜甜圈開始談起──呃，我所指的是甜甜圈形狀，不是指甜點。

到現在為止，我們還不真正需要精確描述出形狀。形狀是由平面上或空間裡的點，以某種簡單、賞心悅目的排列方式組成的。我們可說已經很熟悉球體、圓錐或長方形了。那麼甜甜圈又是什麼樣的形狀？

我最喜歡的思考方式，是想像有個圓形繞著空間裡的一條直線旋轉。

這種甜甜圈狀的抽象幾何形狀，叫做環面（torus）。所謂的環面，就是指一個圓沿著圓形路徑在空間中移動所構成的軌跡。

我認為，像這樣把一個幾何形狀描述成另一個形狀的運動軌跡，是很了不起的想法。這不僅產生了類似環面這種新奇的形狀，也讓我們能夠以新的眼光看待熟悉的事物。譬如立方體，就可以看成是一個正方形沿著直線路徑運動的軌跡。

偶爾我喜歡假裝正方形是一隻史前動物，在數百萬年前沿著這條路徑爬行，於是立方體就是牠奮力爬行的「化石紀錄」。我想到的另一個畫面則是雪地裡的足跡。長方形正是一根棍子側向移動留下的「足跡」。

重點是，許多漂亮的形狀可以視為某種運動的結果。

你能不能想出兩種把圓柱體解釋成運動軌跡的方式？

問題是，以這種方式來解釋一個形狀，對於度量是否有任何幫助。描述與量度之間的關係，是幾何學上一再出現的主題。物件的量度會如何隨著描述方式的不同而改變？

尤其，一個物件如果是某個更簡單形狀的運動軌跡，它的量度與這個簡單形狀及其移動方式，究竟有何關係？這是一千六百年前帕普斯提出的問題，而我想要解釋的，正是他的偉大發現。

我就從我們在前面看過的鳳梨片開始好了。

我們現在所講的，是夾在兩個同心圓之間的空間。這種區域叫做環形（annulus）。對於這個形狀，我們很自然會想成是中間去掉了一個小圓的圓形區域。

另一方面，環形也可以看成一根棍子沿圓形路徑運動所掃出的形狀，就像鏟雪車繞著一棵樹鏟完雪的結果。

假如棍子（或鏟雪車）是直線行進，當然就會掃出一個矩形。現在我們就能把環形與矩形，視為與同一個概念有關連的不同面貌──此概念就是「由棍棒的運動所形成的形狀」。這很有意思，因為環形與矩形在幾何上大不相同。譬如說，如果你試圖把矩形彎成一個環形，可能不會太順利；內圈的邊會扭曲變形，而外圈的邊會扯破。這情景不大妙。

與環形和矩形有關的有趣問題，就是該怎樣比較兩者的面積。假設我們手邊有根棍子，讓它繞著圓形路徑掃一圈，構成一個環形。那麼需要多長的直線路徑，才能夠掃出同樣的面積？這正是帕普斯想知道的事情。

如果預期正確答案介於環的內、外圓周長之間，這很合理。最自然的猜測是兩圓周長的中間值。我們就假設可以特別安排，讓矩形的長度剛好等於這個「平均」圓周長。那麼兩者的面積一定相符嗎？

結果真的相同。事實上，還有個好方法可以看出這件事，這個方法關連到巴比倫的平方差公式。

概念如下。這個環形完全由內、外圓的半徑來決定。令外圓半徑為R，內圓半徑為r。當我們把這個環形想成兩圓的差，它的面積就會等於。

對於矩形，我們需要知道棍子的長度以及路徑長。棍子的長度很容易，就是R – r。知道為什麼嗎？而通過環形中央的圓，它的半徑是內、外圓半徑的平均，所以就此意義來說確實是平均值。換句話說，中間圓的半徑是。

由於圓周長永遠是2p 乘以半徑，因此路徑長（連同矩形的長度）必為

 最後，矩形的面積等於長寬的乘積，也就是

恰好是環形的面積。我很喜歡代數與幾何像這樣互相連結起來。屬於代數的平方差公式，由環與矩形的幾何等價關係呈現出來。

不妨把中間的圓形，想成是棍子中心點的移動軌跡。換句話說，中心點行進的距離才是重點。具體來說，我們已經發現，如果棍子的中心點沿著圓形路徑移動一段長度，所掃出的面積會和沿著直線路徑時的面積相同。不管是直線還是圓形路徑，掃出的面積都等於棍子長度與路徑長的乘積。

這個例子正說明了描述（把環形描述成棍子的移動）對於量度（棍子和路徑很巧妙地決定了面積）的影響。就像我先前講過的，幾何學討論的正是描述與量度之間的關係。

這個例子還可以進一步延伸。假設我們是沿著任意路徑推棍子（的中心點）。

這樣我們仍然會得出同樣的結果嗎？我們仍能說，所掃出區域的面積會和直線路徑的情形相同？面積就等於棍長與路徑長的乘積嗎？或說我們根本就是得寸進尺？

實際上，不管路徑是何形狀，上述的結果都是對的。看我能不能解釋一下為什麼如此。首先可以觀察到，這個結果也適用於圓弧（整個圓的局部）路徑。

這是因為，弧長及所掃出的面積，都會與整個環形的弧長及所掃面積成比例。特別是，對於環形「小段」和非常細的矩形，此結果也會成立。概念就是，把這些小碎片拼組成更複雜的形狀。

棍子中心點的各種移動軌跡，合起來就構成了一條大的路徑，細部來看是由許多圓弧線段及直線段組成。我們還可以經由適當的安排，讓所做出的路徑盡可能接近我們想達成的路徑形狀。

特別是，我們可以（透過這樣的無窮逼近）讓路徑的總長度，接近我們所想的路徑的長度，而組成小段的總面積，也會接近我們所想的區域的實際面積。由於面積近似值是棍長與路徑長的乘積，且逼近做得越好時，這仍是對的，因此對於我們所想的實際區域，這必然也是對的。窮盡法又幫了大忙。

這正是第一個例子，可說明帕普斯發現的結果適用範圍廣泛：移動棍子而掃出的區域面積，就等於棍長乘上棍子中心點的移動距離。

但有幾個微妙的細節。第一點是，棍子必須隨時與運動方向保持垂直。如果成一個角度斜著推棍子，情況會變得一團糟。

舉例來說，對於歪斜的矩形，帕普斯定理就束手無策了。因為形狀是由小片的環與矩形組成（至少大致上是），而在這些小片上棍子和路徑始終成直角，因此垂直運動是這個方法可處理的唯一一種移動方式。垂直運動正是帕普斯哲學的重要元素之一。

第二個問題是自相交的情形。

如果路徑彎得太劇烈，部分區域就會重複掃過，重疊處的面積也會重複計算。只要保持垂直，並防止急轉彎，就一切順利。

由移動的棍子所掃出的區域周長是多少？

本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學：從不知道到想知道的探索之旅》，經濟新潮社出版。

我想繼續談一談窮盡法。這個方法的想法，就是想辦法用無窮無盡的逼近，去得到確切的量度，就像我們在前面用無窮多個正多邊形去度量圓形那樣。這是目前為止發明的度量技巧當中，最強大且最靈活的方法。原因在於，這個方法把曲線形狀的量度，簡化為直線形狀的量度。想不到我們竟能精確度量彎曲的形狀，而且還能度量得如此深入而漂亮。

且讓我帶你看另一個例子：用窮盡法度量圓柱的體積。

圓柱很有趣，既圓又直，像是介於立方體和球體之間。總而言之，圓柱的兩個底面是（等面積的）圓形，一個在上，另一個在下。

估算圓柱體積的其中一個方法，是想像把圓柱縱切成許多薄片，然後用長方塊來逼近這些薄片。

這些長方塊的長方形底面，可以非常逼近圓柱的底面積。切的薄片越多，長方塊的總體積就越接近圓柱的實際體積，長方形底的面積也越趨近於圓底的實際面積。

好啦，每一個長方塊的體積，等於各自的底面積乘以高，因此所有長方塊的體積，就等於底部所有長方形的總面積乘以高。在此我們利用了「所有長方塊的高都相等」這件事。意思就是，圓柱的體積近似值，會等於底面積的近似值乘上高。

這個模式已經夠我們解讀圓柱的實際量度。切片的數量越多，就能夠越逼近，而長方形底面積與高的乘積，也越趨近於圓形底面積與高的乘積，以及圓柱的體積。所以兩者必定相等，換句話說，窮盡法奏效了。圓柱的體積就等於底面積乘上高。

這讓我想到兩件事。第一，或許你早就知道這個結果了。直觀上不就很容易看出，圓柱所占的空間大小，會與高及底面積成比例嗎？我可不想解釋大家早就知道的事。更何況，把直觀與推理結合起來，這是件好事──也正是數學的本質。

第二件事情是，把圓柱切成這樣的長方塊，似乎很難看又不夠自然。在前面我們度量圓形的時候，是把圓切割成排列得十分對稱的三角形啊。為什麼不沿著中心縱切成三角形楔塊？批評得有理，真的。我用另一個例子來回答這個問題（說得一副我不是提問者似的）。

上面這塊立體的製作方式和圓柱相同，只不過上下兩面不再是圓形，而是其他形狀。我們就把這種東西稱呼為廣義圓柱吧。在這個例子裡，根本沒有對稱的切法了，所以最好的辦法只有切成長方塊狀。廣義圓柱的體積，仍會等於它的高乘以底面積。我想說的重點是，無論對稱與否，切成長方塊狀都行得通。這個例子也可以讓你清楚看到窮盡法的靈活度。

（廣義）圓柱的表面積要如何度量？

接下來我想帶你看看窮盡法的威力。在前面我們講過伸縮，也就是僅只沿著一個方向拉長某個倍數。有時候我喜歡把它想成是整個平面的變化，就好像拉著一片橡膠的兩側，而畫在平面上的任何一種形狀，就會跟著拉長。假設我們畫了幾個形狀，然後讓這些形狀（水平）伸縮某個倍數。

你可以看到這些形狀變形得多麼嚴重。拿正方形來說，就變成了長方形（所以四個邊長也不再全部相等）。另外，正三角形變成等腰三角形，圓形變成完全不一樣的形狀，叫做橢圓（ellipse）。

一般來說，伸縮是個很具破壞力的過程，往往會使長度與角度發生嚴重扭曲。特別是，形狀經過伸縮之後的周長，與伸縮之前的周長通常沒有任何數學關係。以橢圓的周長為例，就是個很經典的度量難題，原因正是它和圓周長無關。

另一方面，伸縮卻與面積的變化一致。我們已經曉得伸縮對於面積產生的效應：如果矩形（在平行於其中一邊的方向上）伸縮了某個倍數，它的面積也會乘以該倍率。由窮盡法，我們發現不管是哪種形狀，上述效應同樣適用。若說得更確切些，就假設有某種形狀，我們要讓它沿著某個方向伸縮r倍。我們想知道，此形狀的面積也會變成r倍。

概念就是，要把這個形狀沿著伸縮的方向切成長方條，使得長方條的總面積很接近這個形狀的面積。

伸縮之後，各個長方條也跟著拉長了，所以它們的面積都要乘以r倍。這表示該形狀在伸縮後的近似面積，是伸縮前的r倍。我們會發現，如果讓長方條的數量無限增加（這樣一來，它們的寬度會趨近於零），長方條的實際面積必定也會變成r倍。在嚴重扭曲變形之後，竟然還能掌握面積如何變化，在我看來實在太不可思議了。

 橢圓的面積有多大？

 同樣的，沿著某方向的伸縮也會讓體積產生相同倍數的變化。知道為什麼嗎？因為長方塊經過伸縮之後，行為仍是規矩的，所以可以如法炮製。當然，我們還是得小心點。比方說，如果一個立體伸縮了2倍，它的體積確實會變成2倍，但是表面積通常就會失控了。不信的話，你可以拿個立方體來試試！

接下來，我要帶你看一個很漂亮的量度（希望這是需要我秀給你看的唯一一種）。我們要度量的是角錐（金字塔）的體積。

我最喜歡的度量方法，是把角錐放進一個等底、等高的方盒；也就是把這個方盒想成是裝著角錐的箱子。

你自然而然就會想問：角錐占了方盒的多少體積？這個問題很難回答，也很年代悠久，最早可追溯到古埃及（那當然）。有個（很聰明的）觀察方法可以做為切入點：如果把一個立方體的中心點和八個頂點作連線，就可以把立方體切成角錐。

切出來的角錐有六個，因為立方體有六個面。這些角錐全都一模一樣，所以體積等於六分之一個立方體。裝著這樣的角錐的方盒，會是半個立方體，因此這些角錐的體積，就等於箱子體積的三分之一。我認為這是個相當漂亮的論證。

麻煩在於，這只適用於上述形狀的角錐（它的高恰好是底邊長的一半）。大多數的角錐可沒那麼恰到好處，不是太陡，就是太低平。

這是不是代表，我們只能度量特定一種形狀的角錐？當然不是！任何一種角錐其實都可以從上述這種特例，經過適度的伸縮變形出來。想要一個更陡的角錐，我們可以讓它任意上下伸縮，想要多高就拉多高。

現在要講到我最愛的部分了：伸縮對於角錐體積和方盒體積的影響，完全一樣。兩者都要乘上伸縮倍率。這表示兩者的體積之比保持固定不變。特殊角錐占了方盒的三分之一，那麼任何一個角錐也必定如此。所以，角錐的體積永遠是方盒體積的三分之一。我太喜歡這一連串概念了。看看窮盡法是多麼博大精深呀。

把立方體各面的中心點互相連起來，可以作出正八面體。它占了立方體多少的體積？

有個不完整的角錐，高度是h，上底是邊長為a的正方形，下底是邊長為b的正方形。它的體積與a、b、h有何關連？

正四面體的中心點在哪裡？

本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學：從不知道到想知道的探索之旅》，經濟新潮社出版。

以下是個美麗的圖案。

我來告訴你，為什麼我覺得這種圖案很吸引我。首先，裡面有幾種我很喜歡的形狀。

這幾種形狀簡單又對稱，所以我很喜歡。像這樣由直線構成的形狀，叫做多邊形（polygon）。所有的邊與每個角都相等的多邊形，稱為正多邊形。所以我想我應該要說：我喜歡正多邊形。

這個圖案設計吸引我的另一個原因是，當中的組成元件拼接得天衣無縫。鋪磚之間沒有縫隙，也不會重疊（我喜歡把這些元件想成瓷磚，就像馬賽克裝飾藝術）。至少看上去是如此。請記住，我們所談的東西，其實是假想的完美形狀。不能因為圖案看起來很好，便認為就是這麼回事。無論多麼費心製作的圖片，都是實體世界的產物；圖片不可能告訴我們關於假想數學物件的真理。幾何形狀做自己想做的事，不是做我們希望它們做的事。

那我們怎麼能確定，這些多邊形真的拼貼得完美無缺？對於這些幾何物件，我們真能知道些什麼嗎？問題的關鍵是，我們要度量這些多邊形──不是用尺或量角器這類笨拙的實體器具，而是靠心智去度量。我們需要找一種方法，能單單用哲學論證去衡量這些形狀。

有沒有注意到，在這個例子裡我們需要量的是角度？為了檢查類似的馬賽克拼貼圖案做得出來，我們必須確認在地磚之間的每個接角，各多邊形的角度加起來是一整圈360度。譬如最普通的正方形鋪磚，正方形的各角是四分之一圈，所以四個正方形加起來剛好一圈。

附帶一提，我喜歡用一整圈來當作角度的度量單位，而不喜歡用度。我個人覺得這樣更簡單，也比把一圈分成360等份更自然些（你當然可以選擇自己喜歡的方式）。所以我的說法就會是：正方形各角的角度是1/4。

跟角度有關的第一件驚人發現是，不管是哪種形狀的三角形，內角和始終相同，加起來都是半圈（或180度，如果你必須從俗的話）。

如果想實際感受一下，不妨拿紙做幾個三角形，把角裁下來，然後排在一起，你就會看到它們一定能排成一條直線。多漂亮的發現呀！但我們怎麼知道真的就是如此？

有一種方法是，把三角形改畫在兩條平行線之間。

請注意看，這兩條直線與三角形其中兩邊構成的Z字形。（我猜你可能會把右邊的那個稱為倒Z形，不過怎麼稱呼都無所謂。）要請你看的重點是，Z字形的夾角永遠會相等。

這是因為Z字形是對稱的：假如我們讓它繞著中心點旋轉半圈，看起來會完全相同。這表示上下兩個角必定相等。有道理吧？這就是一個典型的對稱論證。如果一個形狀經過了某一組運動的作用之後仍保持不變，我們就可以由此推斷出，兩個或更多個量度必定相等。

回到剛才兩平行線夾三角形的圖示，我們現在曉得，底部的兩個角分別與頂部的對應角相等。

這也就表示，三角形的三個角湊在一起，會在頂部拼成一條直線。所以，三個角相加一共轉了半圈。這個數學推理很輕鬆愉快吧！

這正是做數學的意義。先做出發現（不管用哪種方法做出來都行，包括紙、繩子、橡皮筋之類的實體模型），然後盡可能以最簡單優雅的方式去解釋。這是數學的藝術，也是數學充滿挑戰與樂趣的地方。

由這項發現產生的其中一個結論是，如果我們的三角形恰好是等邊三角形（即正三角形），那麼三個角會相等，一定都等於1/6。我們還可以換一種方法來看出同樣的結果：想像你是在開車繞著三角形的邊線。

你轉了三個相等的彎之後，就回到起點。由於最後轉了一整圈，因此每個彎必定剛好等於1/3。請注意，我們所轉的角度實際上是三角形的外角。

由於內角與外角合起來是半圈，所以內角和就等於特別是，六個正三角形可以剛好鋪成一個接角。

嘿，這不就做出了一個正六邊形！我們額外得到了一個結論：正六邊形的每個角必為正三角形各角的兩倍，也就是1/3。這表示，三個正六邊形可以拼在一起。

因此，我們還是有可能對這些形狀有些認識。尤其是，我們現在明白了為什麼最初的那幅馬賽克圖案拼得出來。

在圖案的每個接角，都有一個正六邊形、兩個正方形、一個正三角形。這些角度相加起來會等於所以拼得起來！

（附帶一提，如果你不喜歡分數運算，你隨時可以換掉度量單位，避開分數。譬如你可以用1/12圈當作單位，這樣的話，正六邊形的角度就會是4，正方形的角度會是3，正三角形的角度是2，那麼相加起來就會等於4 + 3 + 3 + 2 = 12；也就是一整圈。）

我特別喜愛這個鑲嵌圖案呈現出來的對稱性。每個接角都有同樣的形狀依序排在周圍：六邊形、正方形、三角形、正方形。這表示一旦我們檢查過其中一個接角能夠拼滿，就能順理成章推知其他接角也不成問題。這個圖案可以無限往外延伸，鋪滿整個無限平面。我不禁納悶，「數學實在」裡還有沒有其他美麗的鑲嵌圖案？

利用正多邊形做出對稱的鑲嵌設計，方法有哪些？

 當然，我們需要知道各種正多邊形的角度。你能不能想想看該如何量出角度呢？

 正n邊形的角度有多大？

你可以量出正n角星的角度嗎？

從正多邊形的其中一角所畫的對角線，會切割出相等的角度嗎？

 雖然我們現在談的主題是多邊形做出的漂亮圖案，我想讓你看看我的另一個最愛。

這一次我們用了正方形和三角形，但不是鋪成平面，而是做成某種球形。這種幾何體叫做多面體（polyhedron），幾千年來數學家一直在琢磨這種幾何形狀。思考的方法之一，是去想像多面體展開成平面的模樣。譬如剛才這個多面體，從其中一角展開後看起來會像這樣：

我們可以看到，有兩個正方形及兩個三角形圍繞著一個頂點，但留下了一個縫隙，以便摺成一個球。因此對於多面體來說，角度相加起來必須小於一整圈。

 如果角度之和大於一整圈，會發生什麼情況？

 多面體與平面鑲嵌的另一個差異點，在於多面體的設計只牽涉到有限多個地磚。模式仍舊可以持續進行下去（就某種意義上），但不會無限延伸到外太空去。我當然也對這些模式感到好奇。

 對稱的多面體有哪些？

 換一種問法就是：有哪些方法，可把正多邊形做成多面體，而且在每個角可看到同樣的模式？阿基米德找出了所有可能的方法。你能不能找得出來？

最對稱的多面體，當然是每個面都全等的多面體，譬如立方體。這種多面體稱為正多面體。古人已經發現正多面體只有五種（所謂的柏拉圖立體）。你能不能說出是哪五種？

 有哪五種正多面體？

本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學：從不知道到想知道的探索之旅》，經濟新潮社出版。