我想繼續談一談窮盡法。這個方法的想法，就是想辦法用無窮無盡的逼近，去得到確切的量度，就像我們在前面用無窮多個正多邊形去度量圓形那樣。這是目前為止發明的度量技巧當中，最強大且最靈活的方法。原因在於，這個方法把曲線形狀的量度，簡化為直線形狀的量度。想不到我們竟能精確度量彎曲的形狀，而且還能度量得如此深入而漂亮。
且讓我帶你看另一個例子：用窮盡法度量圓柱的體積。
圓柱很有趣，既圓又直，像是介於立方體和球體之間。總而言之，圓柱的兩個底面是（等面積的）圓形，一個在上，另一個在下。
估算圓柱體積的其中一個方法，是想像把圓柱縱切成許多薄片，然後用長方塊來逼近這些薄片。
這些長方塊的長方形底面，可以非常逼近圓柱的底面積。切的薄片越多，長方塊的總體積就越接近圓柱的實際體積，長方形底的面積也越趨近於圓底的實際面積。
好啦，每一個長方塊的體積，等於各自的底面積乘以高，因此所有長方塊的體積，就等於底部所有長方形的總面積乘以高。在此我們利用了「所有長方塊的高都相等」這件事。意思就是，圓柱的體積近似值，會等於底面積的近似值乘上高。
這個模式已經夠我們解讀圓柱的實際量度。切片的數量越多，就能夠越逼近，而長方形底面積與高的乘積，也越趨近於圓形底面積與高的乘積，以及圓柱的體積。所以兩者必定相等，換句話說，窮盡法奏效了。圓柱的體積就等於底面積乘上高。
這讓我想到兩件事。第一，或許你早就知道這個結果了。直觀上不就很容易看出，圓柱所占的空間大小，會與高及底面積成比例嗎？我可不想解釋大家早就知道的事。更何況，把直觀與推理結合起來，這是件好事──也正是數學的本質。
第二件事情是，把圓柱切成這樣的長方塊，似乎很難看又不夠自然。在前面我們度量圓形的時候，是把圓切割成排列得十分對稱的三角形啊。為什麼不沿著中心縱切成三角形楔塊？批評得有理，真的。我用另一個例子來回答這個問題（說得一副我不是提問者似的）。
上面這塊立體的製作方式和圓柱相同，只不過上下兩面不再是圓形，而是其他形狀。我們就把這種東西稱呼為廣義圓柱吧。在這個例子裡，根本沒有對稱的切法了，所以最好的辦法只有切成長方塊狀。廣義圓柱的體積，仍會等於它的高乘以底面積。我想說的重點是，無論對稱與否，切成長方塊狀都行得通。這個例子也可以讓你清楚看到窮盡法的靈活度。
（廣義）圓柱的表面積要如何度量？
接下來我想帶你看看窮盡法的威力。在前面我們講過伸縮，也就是僅只沿著一個方向拉長某個倍數。有時候我喜歡把它想成是整個平面的變化，就好像拉著一片橡膠的兩側，而畫在平面上的任何一種形狀，就會跟著拉長。假設我們畫了幾個形狀，然後讓這些形狀（水平）伸縮某個倍數。
你可以看到這些形狀變形得多麼嚴重。拿正方形來說，就變成了長方形（所以四個邊長也不再全部相等）。另外，正三角形變成等腰三角形，圓形變成完全不一樣的形狀，叫做橢圓（ellipse）。
一般來說，伸縮是個很具破壞力的過程，往往會使長度與角度發生嚴重扭曲。特別是，形狀經過伸縮之後的周長，與伸縮之前的周長通常沒有任何數學關係。以橢圓的周長為例，就是個很經典的度量難題，原因正是它和圓周長無關。
另一方面，伸縮卻與面積的變化一致。我們已經曉得伸縮對於面積產生的效應：如果矩形（在平行於其中一邊的方向上）伸縮了某個倍數，它的面積也會乘以該倍率。由窮盡法，我們發現不管是哪種形狀，上述效應同樣適用。若說得更確切些，就假設有某種形狀，我們要讓它沿著某個方向伸縮r倍。我們想知道，此形狀的面積也會變成r倍。
概念就是，要把這個形狀沿著伸縮的方向切成長方條，使得長方條的總面積很接近這個形狀的面積。
伸縮之後，各個長方條也跟著拉長了，所以它們的面積都要乘以r倍。這表示該形狀在伸縮後的近似面積，是伸縮前的r倍。我們會發現，如果讓長方條的數量無限增加（這樣一來，它們的寬度會趨近於零），長方條的實際面積必定也會變成r倍。在嚴重扭曲變形之後，竟然還能掌握面積如何變化，在我看來實在太不可思議了。
橢圓的面積有多大？
同樣的，沿著某方向的伸縮也會讓體積產生相同倍數的變化。知道為什麼嗎？因為長方塊經過伸縮之後，行為仍是規矩的，所以可以如法炮製。當然，我們還是得小心點。比方說，如果一個立體伸縮了2倍，它的體積確實會變成2倍，但是表面積通常就會失控了。不信的話，你可以拿個立方體來試試！
接下來，我要帶你看一個很漂亮的量度（希望這是需要我秀給你看的唯一一種）。我們要度量的是角錐（金字塔）的體積。
我最喜歡的度量方法，是把角錐放進一個等底、等高的方盒；也就是把這個方盒想成是裝著角錐的箱子。
你自然而然就會想問：角錐占了方盒的多少體積？這個問題很難回答，也很年代悠久，最早可追溯到古埃及（那當然）。有個（很聰明的）觀察方法可以做為切入點：如果把一個立方體的中心點和八個頂點作連線，就可以把立方體切成角錐。
切出來的角錐有六個，因為立方體有六個面。這些角錐全都一模一樣，所以體積等於六分之一個立方體。裝著這樣的角錐的方盒，會是半個立方體，因此這些角錐的體積，就等於箱子體積的三分之一。我認為這是個相當漂亮的論證。
麻煩在於，這只適用於上述形狀的角錐（它的高恰好是底邊長的一半）。大多數的角錐可沒那麼恰到好處，不是太陡，就是太低平。
這是不是代表，我們只能度量特定一種形狀的角錐？當然不是！任何一種角錐其實都可以從上述這種特例，經過適度的伸縮變形出來。想要一個更陡的角錐，我們可以讓它任意上下伸縮，想要多高就拉多高。
現在要講到我最愛的部分了：伸縮對於角錐體積和方盒體積的影響，完全一樣。兩者都要乘上伸縮倍率。這表示兩者的體積之比保持固定不變。特殊角錐占了方盒的三分之一，那麼任何一個角錐也必定如此。所以，角錐的體積永遠是方盒體積的三分之一。我太喜歡這一連串概念了。看看窮盡法是多麼博大精深呀。
把立方體各面的中心點互相連起來，可以作出正八面體。它占了立方體多少的體積？
有個不完整的角錐，高度是h，上底是邊長為a的正方形，下底是邊長為b的正方形。它的體積與a、b、h有何關連？
正四面體的中心點在哪裡？
本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學：從不知道到想知道的探索之旅》，經濟新潮社出版。
