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我們一開始先談抽象幾何圖形-《這才是數學》

PanSci_96
・2015/03/19 ・2925字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 441 ・四年級

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以下是個美麗的圖案。

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我來告訴你,為什麼我覺得這種圖案很吸引我。首先,裡面有幾種我很喜歡的形狀。

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這幾種形狀簡單又對稱,所以我很喜歡。像這樣由直線構成的形狀,叫做多邊形(polygon)。所有的邊與每個角都相等的多邊形,稱為正多邊形。所以我想我應該要說:我喜歡正多邊形。

這個圖案設計吸引我的另一個原因是,當中的組成元件拼接得天衣無縫。鋪磚之間沒有縫隙,也不會重疊(我喜歡把這些元件想成瓷磚,就像馬賽克裝飾藝術)。至少看上去是如此。請記住,我們所談的東西,其實是假想的完美形狀。不能因為圖案看起來很好,便認為就是這麼回事。無論多麼費心製作的圖片,都是實體世界的產物;圖片不可能告訴我們關於假想數學物件的真理。幾何形狀做自己想做的事,不是做我們希望它們做的事。

那我們怎麼能確定,這些多邊形真的拼貼得完美無缺?對於這些幾何物件,我們真能知道些什麼嗎?問題的關鍵是,我們要度量這些多邊形──不是用尺或量角器這類笨拙的實體器具,而是靠心智去度量。我們需要找一種方法,能單單用哲學論證去衡量這些形狀。

有沒有注意到,在這個例子裡我們需要量的是角度?為了檢查類似的馬賽克拼貼圖案做得出來,我們必須確認在地磚之間的每個接角,各多邊形的角度加起來是一整圈360度。譬如最普通的正方形鋪磚,正方形的各角是四分之一圈,所以四個正方形加起來剛好一圈。

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附帶一提,我喜歡用一整圈來當作角度的度量單位,而不喜歡用度。我個人覺得這樣更簡單,也比把一圈分成360等份更自然些(你當然可以選擇自己喜歡的方式)。所以我的說法就會是:正方形各角的角度是1/4。

跟角度有關的第一件驚人發現是,不管是哪種形狀的三角形,內角和始終相同,加起來都是半圈(或180度,如果你必須從俗的話)。

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如果想實際感受一下,不妨拿紙做幾個三角形,把角裁下來,然後排在一起,你就會看到它們一定能排成一條直線。多漂亮的發現呀!但我們怎麼知道真的就是如此?

有一種方法是,把三角形改畫在兩條平行線之間。

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請注意看,這兩條直線與三角形其中兩邊構成的Z字形。(我猜你可能會把右邊的那個稱為倒Z形,不過怎麼稱呼都無所謂。)要請你看的重點是,Z字形的夾角永遠會相等。

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這是因為Z字形是對稱的:假如我們讓它繞著中心點旋轉半圈,看起來會完全相同。這表示上下兩個角必定相等。有道理吧?這就是一個典型的對稱論證。如果一個形狀經過了某一組運動的作用之後仍保持不變,我們就可以由此推斷出,兩個或更多個量度必定相等。

回到剛才兩平行線夾三角形的圖示,我們現在曉得,底部的兩個角分別與頂部的對應角相等。

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這也就表示,三角形的三個角湊在一起,會在頂部拼成一條直線。所以,三個角相加一共轉了半圈。這個數學推理很輕鬆愉快吧!

這正是做數學的意義。先做出發現(不管用哪種方法做出來都行,包括紙、繩子、橡皮筋之類的實體模型),然後盡可能以最簡單優雅的方式去解釋。這是數學的藝術,也是數學充滿挑戰與樂趣的地方。

由這項發現產生的其中一個結論是,如果我們的三角形恰好是等邊三角形(即正三角形),那麼三個角會相等,一定都等於1/6。我們還可以換一種方法來看出同樣的結果:想像你是在開車繞著三角形的邊線。

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你轉了三個相等的彎之後,就回到起點。由於最後轉了一整圈,因此每個彎必定剛好等於1/3。請注意,我們所轉的角度實際上是三角形的外角。

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由於內角與外角合起來是半圈,所以內角和就等於rrbwer特別是,六個正三角形可以剛好鋪成一個接角。

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嘿,這不就做出了一個正六邊形!我們額外得到了一個結論:正六邊形的每個角必為正三角形各角的兩倍,也就是1/3。這表示,三個正六邊形可以拼在一起。

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因此,我們還是有可能對這些形狀有些認識。尤其是,我們現在明白了為什麼最初的那幅馬賽克圖案拼得出來。

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在圖案的每個接角,都有一個正六邊形、兩個正方形、一個正三角形。這些角度相加起來會等於wnter所以拼得起來!

(附帶一提,如果你不喜歡分數運算,你隨時可以換掉度量單位,避開分數。譬如你可以用1/12圈當作單位,這樣的話,正六邊形的角度就會是4,正方形的角度會是3,正三角形的角度是2,那麼相加起來就會等於4 + 3 + 3 + 2 = 12;也就是一整圈。)

我特別喜愛這個鑲嵌圖案呈現出來的對稱性。每個接角都有同樣的形狀依序排在周圍:六邊形、正方形、三角形、正方形。這表示一旦我們檢查過其中一個接角能夠拼滿,就能順理成章推知其他接角也不成問題。這個圖案可以無限往外延伸,鋪滿整個無限平面。我不禁納悶,「數學實在」裡還有沒有其他美麗的鑲嵌圖案?

利用正多邊形做出對稱的鑲嵌設計,方法有哪些?

 當然,我們需要知道各種正多邊形的角度。你能不能想想看該如何量出角度呢?

 正n邊形的角度有多大?

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你可以量出正n角星的角度嗎?

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從正多邊形的其中一角所畫的對角線,會切割出相等的角度嗎?

 雖然我們現在談的主題是多邊形做出的漂亮圖案,我想讓你看看我的另一個最愛。

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這一次我們用了正方形和三角形,但不是鋪成平面,而是做成某種球形。這種幾何體叫做多面體(polyhedron),幾千年來數學家一直在琢磨這種幾何形狀。思考的方法之一,是去想像多面體展開成平面的模樣。譬如剛才這個多面體,從其中一角展開後看起來會像這樣:

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我們可以看到,有兩個正方形及兩個三角形圍繞著一個頂點,但留下了一個縫隙,以便摺成一個球。因此對於多面體來說,角度相加起來必須小於一整圈。

 如果角度之和大於一整圈,會發生什麼情況?

 多面體與平面鑲嵌的另一個差異點,在於多面體的設計只牽涉到有限多個地磚。模式仍舊可以持續進行下去(就某種意義上),但不會無限延伸到外太空去。我當然也對這些模式感到好奇。

 對稱的多面體有哪些?

 換一種問法就是:有哪些方法,可把正多邊形做成多面體,而且在每個角可看到同樣的模式?阿基米德找出了所有可能的方法。你能不能找得出來?

最對稱的多面體,當然是每個面都全等的多面體,譬如立方體。這種多面體稱為正多面體。古人已經發現正多面體只有五種(所謂的柏拉圖立體)。你能不能說出是哪五種?

 有哪五種正多面體?

unnamed本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學:從不知道到想知道的探索之旅》,經濟新潮社出版。

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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/11/01 ・2113字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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你用對數學了嗎?換種說法讓問題變清晰——《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》
天下文化_96
・2022/12/02 ・2888字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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在我以數學家自居時,我所發現的最強大捷徑之一是,找到合適的用語來討論問題。很多時候,我們會用一種讓人摸不清情況的措辭去表達這個問題,只要能找到另一種說法,把這道謎題轉化成新的用語,答案就會突然明朗許多。換個語言,我們就可以從企業銷售資料的含糊數字中,辨認出奇特的相關性。

人生的大部分時間都是一場遊戲,但把這場遊戲轉化成你知道如何得勝的遊戲,可以給你絕佳的優勢。在我仍是見習數學家的時候,發現了最令我興奮的啟示之一:

把幾何轉換成數字的詞典可提供捷徑通往超空間──也就是我成為專業數學家之後一直在探索的多維宇宙。

「合適的語言」

除非找到合適的語言來描述,否則科學及其他領域有愈來愈多的概念看起來好像根本不存在,「湧現」(從組成成分產生的性質)的概念就是一例。舉例來說,如果講水的個別分子 H2O,很難描述水的溼潤性質。

如果講水的個別分子H2O,很難描述水的溼潤性質。圖/pexels

儘管科學似乎暗示,你可以把一切化約成這些基本粒子的行為及決定其行為的方程式,但這種語言通常完全不能描述現象。一群鳥的遷徙不能用組成鳥身體的原子運動方程式來描述。若堅持用個體經濟學的語言,就不容易了解總體經濟學;即使個體經濟變化是造成總體經濟現象的原因,但使用個別財貨本身的語言,仍然不可能理解利率上升對通貨膨脹的影響。就連自由意志與意識的概念,實際上也不能藉由神經元和突觸的討論來描述。

轉變帶來改變

找到不同的措辭來談論情緒狀態,可以從根本上改變你的感受。與其說「我很難過」(這種說法很像是把你和悲傷硬生生畫上等號),你大可改說「悲傷與我同在」,於是悲傷忽然有機會繼續前進。正如十九世紀的美國心理學家詹姆斯(William James)所寫的:

「我這代人最重要的發現是,人能藉著轉變心智態度來改變生活。」

然而語言的力量不單單影響個人,語言在現實世界的社會結構中也扮演十分重要的角色。社會可以透過命名讓事物露面,而民族國家的概念既是從語言中變出來的,也是由地理或一群人變出來的。

轉換語言有時意味著,某些能用某種語言清楚表達的想法,改用另一種語言卻變得難以描述。圖/pexels

轉換語言有時意味著,某些能用某種語言清楚表達的想法,改用另一種語言卻變得難以描述。德文的名詞有性別之分,所以可以玩一玩在英文中玩不了的文字遊戲。詩人海涅(Heinrich Heine)寫說,覆蓋著白雪的松樹愛慕一棵晒黑的東方棕櫚;在德文中,松樹是陽性名詞,棕櫚是陰性名詞,但這種細微變化在翻譯成英文後就消失了。

有時情況也會反過來。用英文可以講「他的車和她的車」,但用谷歌翻譯譯成法文時會攪在一起,變成「savoiture et sa voiture」(他的車和他的車),因為車子的性別比車主的性別重要。在俄文中,你所能想像出各種類型的雪和暴風雨都有不同的用字。有些語言只有五個表達顏色的詞,但英語的相關用詞有很多。我在前面強調過,模式(pattern)對我來說是重要的概念,然而當我嘗試把 pattern 這個字翻譯成法文時,卻發現沒有一個詞能夠描述它在英文裡代表的許多層面。

我的偶像高斯也對語言差異的重要性深深著迷。在學校裡,老師對他運用拉丁文和閃電般迅速精通古典文學的能力印象深刻。事實上,接受布朗施維克公爵資助的高斯,差點就選擇讀語文學(研究語言史的學門),而不是數學。

數學背後的不只有一種「語言」

我自己走上數學這條路的歷程也有點相似。小時候我想當間諜,以為語言是和全世界特務同行溝通的重要技能,所以在讀綜合中學時報名了校內所有的語言課:法語、德語、拉丁語,甚至開始收聽 BBC 的俄語廣播課程。

只不過,我在外語學習方面不像高斯那麼有天分,這些語言在我看來全是不規則動詞和奇怪的拼字。間諜生涯夢碎,我變得非常沮喪。

此時貝爾森先生給我一本書,書名叫做《數學的語言》(The Language of Mathematics),我才明白數學也是一種語言。我覺得他看出我正渴望一種沒有不規則動詞、一切都解釋得通的語言,但他也知道,我抗拒不了這種語言描述周遭世界的強大說服力。

數學不只是一種語言,而是許多種語言。圖/pexels

我在這本書裡發現,數學方程式可以述說行星橫越夜空的故事,對稱性可以解釋泡泡、蜂巢或花朵的形狀,數字是和聲學的關鍵。如果你想描繪宇宙,你需要的不是德語、俄語或英語,而是數學。

《數學的語言》還告訴我,數學不只是一種語言,而是許多種語言,它很擅長創作詞典,可把一種語言轉換成另一種,好讓捷徑在新的語言中出現。

數學史上不時會有類似的輝煌時刻。

換種方式讀懂世界

十六世紀的義大利科學家伽利略(Galileo Galilei),意識到代數語言理解自然界的本領,曾寫下一段很有名的文字:

「如果不先學會理解這種語言,認識它的書寫符號,就無法了解宇宙。它是用數學語言寫成的,所用的書寫符號是三角、圓和其他幾何圖形,沒有這些符號就一個字也看不懂;沒有這些,就會像在黑暗迷宮中徘徊。」

在宇宙的諸多故事裡,他希望讀懂的是,了解物體如何落地的難題。東西掉到地上或飛過空中的方式有什麼規律嗎?因為物體通常掉落得太快,要蒐集物體從高樓掉落的資料很困難,但伽利略想到聰明的點子,可放慢實驗速度,方便他蒐集所需的資料。他不是讓東西落下,而是去探討球滾下斜坡的方式,這對他來說速度夠慢,可以記錄球每過一秒滾動了多遠。

斜面必須夠平滑,球才不會因摩擦力減速。伽利略希望盡量接近球在空間中落下的情形。他搭起光滑的表面,開始記錄球每秒行進的距離,馬上就發現有個非常簡單的模式浮現出來了。如果球在一秒後移動了 1 單位的距離,那麼在下一秒它會滾過 3 單位的距離,再下一秒是 5 單位的距離。隨後的每一秒,球都在加速,滾過更多地方,但它走過的距離只有奇數。

等到伽利略考慮行進了一段時間的總距離,物體落地方式的祕密就曝光了。

行進 1 秒後的總距離= 1 單位

行進 2 秒後的總距離= 1 + 3 單位= 4 單位

行進 3 秒後的總距離= 1 + 3 + 5 單位= 9 單位

行進 4 秒後的總距離= 1 + 3 + 5 + 7 單位= 16 單位

總距離永遠是平方數。圖/天下文化

你注意到模式了嗎?總距離永遠是平方數。但為什麼奇數會與平方數有關呢?把數字轉換成幾何,就可以找到答案。

——本文摘自《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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原來數學也可以用在這裡?生物巧妙運用數學模式,克服了移動上的物理限制——《生物世界的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/10/26 ・1541字 ・閱讀時間約 3 分鐘

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步調模式千變萬化

生物體移動時所受的限制是屬於物理學的。如果該生物使用的是肢體,這些肢體必須強壯到可以支撐作用在牠們上面的力量。(我看過不少設計較差的機器人在移動時散掉。)其他形態的移動也一樣,如果是游泳,該動物就要全力對付流體力學的定律。物理定律影響動物的移動是很明顯的,不值得奇怪。顯然,在這個情形當中,數學提供了各式各樣的模式,而被生物學拿來運用。很少不會用到,不管多麼奇特。

游泳時要全力對付流體力學定律。圖/Pexels

物理學的影響還要更深入。單有腿也沒有用,除非你有可以控制腿的神經系統。運動與神經網路是一體的,兩者一定要一起演化,而不是個別的。另外,正如負責感覺的神經網路一定會模擬外在世界的模式,因此負責運動的神經網路,必定會模擬動物身體的機械性模式。

我很懷疑這種共同演化真的有可能或很容易發生,因為下面這個顯著的事實:像肢體這樣的物理系統的自然振盪模式,跟神經網路的振盪模式是一樣的。早在肢體和腦變成完整的生物結構之前,就已經有一種普遍的步調韻律存在了,潛在地將動物的肢體關聯到腦。步調節奏提供了存在於演化相空間中、等待被使用的模式。

形形色色的生物移動

這模式的確一直被應用。差不多所有的生物都會移動,甚至連最固定不動的植物也會向光彎曲,最微小的浮游生物也會隨波逐流——但是,獵豹在追逐獵物時,可以跑到每小時一百一十公里,這移動真是快速啊!

生物體的種類這麼多,而移動的方式也是千變萬化。細菌利用會旋轉的微小螺旋槳使自己在水中推進,就像船一樣;像草履蟲(Paramecium)這類單細胞生物,則能藉由揮動鞭毛來選擇運動的方向。

(圖七○)Centronotus gunnellus 這種鰻魚肌肉收縮的波形。圖/《生物世界的數學遊戲》

運動的數學模式形形色色,更是令人印象深刻:草履蟲鞭毛的移動有如行進波,就像是玉米田在微風吹拂下產生的浪波;細菌的旋轉螺旋所成幾何圖案之美是無可比擬的;蛇和鰻是靠肌肉收縮做波狀蠕動行進(圖七○);響尾蛇在熱燙的沙漠中滾動,像一個捲曲的彈簧;尺蠖走動時是尾巴頂到頭部,整個身子呈 ∩ 狀,然後前端再向前行並伸展成-字形。

信天翁滑翔時羽翼僵直不動,偶爾慵懶地鼓翼一下,以有蹼的腳劃過水面,而後用笨拙卻迷人的方式飛跑而起;大象拖著沉重的腳步,緩慢橫過空曠的熱帶大草原,一次移動一隻腳(圖七一),模式就像那隻在海邊市鎮漫步的拉布拉多獵犬。

(圖七一)大象的慢步行走。圖/《生物世界的數學遊戲》

駱駝行走的模式又不一樣了:先同時移動兩隻左腿,然後是兩隻右腿〔稱為「溜蹄」(pace)〕,身子左右搖擺有如醉漢一般。松鼠又是另外一種模式:跳一下,停一下,然後再跳一下;如果遇到警訊,就省掉「停」的步驟。

Carparachneaureoflava 這種車輪蜘蛛會像一個有八個輪輻的輪子般,滾過沙漠。世界上有一種會跳躍的蛆〔較正式的稱呼為Ceratitis capitata(地中海果實蠅)的幼蟲〕,會把自己扭曲成 ∩ 形,然後再伸直,就像一顆砲彈般跳入空中,形成一個完美的拋物線。

——本文摘自《生物世界的數學遊戲》,2022 年 9 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

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