你會遇上空中意外嗎？──《別說不可能》

理解期望值，有助於分析賭場裡的大部分賭局，以及美國中西部和英國的嘉年華會中，常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法：骰子擲好運（chuck-a-luck）。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力：你從 1 到 6 挑一個號碼，莊家一次擲三顆骰子，如果三個骰子都擲出你挑的號碼，莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼，莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼，莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現，那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子，你有三次機會贏，而且，有時候你還不只贏 1 美元，最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安．李維絲（Joan Rivers）的名言（按：她的名言是：「我們能聊一聊嗎？」），問一句：「我們能算一算嗎？」（如果你寧願不算，可以跳過這一節。）不管你選哪個號碼，贏的機率顯然都一樣。不過，為了讓計算更明確易懂，假設你永遠都選 4。骰子是獨立的，三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6＝1/216，你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

僅有兩個骰子出現 4 點的機率，會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布，我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4，有三種彼此互斥的情況：X44、4X4 或 44X，其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6＝5/216，第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加，可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216，你有這樣的機率會贏得 2 美元。

同樣的，要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率，也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6＝25/216，得到 X4X 和 XX4 的機率亦同，三者相加，得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率，因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率，我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1（或是100％）減去（1/216 +15/216 + 75/216），得出的答案是 125/216。所以，平均而言，你每玩 216 次骰子擲好運，就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來，就可以算出你贏的期望值（$3×1/216）+（$2×15/216）+（$1×75/216）+（–$1×125/216）＝$（–17/216）＝–$0.08。平均來說，你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局，大概就要輸掉 8 美分。

尋找愛情，有公式？

面對愛情，有人從感性出發，有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好，但加起來⋯⋯也不是很妙。不過，如果善用兩者，成功的機率可能還是大一些。回想舊愛，憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣，並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人，很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中，假設女主角——就叫她香桃吧（按：在希臘神話中，香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物，象徵愛與美）有理由相信，在她的「約會生涯」中，會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說，N 可能等於 2；對另一些人來說，N 也許是 200。香桃思考的問題是：到了什麼時候我就應該接受X先生，不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」？我們也假設她是一次遇見一個人，有能力判斷她遇到的人是否適合她，以及，一旦她拒絕了某個人之後，此人就永遠出局。

為了便於說明，假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士，她對這些人的排序如下：3—5—1—6—2—4。這是指，在她約過會的這 6 人中，她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名，對第二人的喜歡程度排第 5 名，最喜歡第三個人，以此類推。如果她見了第七個人，她對此人的喜歡程度超過其他人，但第三人仍穩居寶座，那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人，她就更新追求者的相對排序。她在想，到底要用什麼樣的規則擇偶，才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中，選出最好的。

要得出最好的策略，要善用條件機率（我們會在下一章介紹條件機率）和一點微積分，但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好，且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面，她大概需要拒絕前面的 37％，之後真命天子出現時（如果有的話），就接受。

舉例來說，假設香桃不是太有魅力，她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設，這 4 個人與她相見的順序，是 24 種可能性中的任何一種（24＝4×3×2×1）。

由於 N＝4，37％ 策略在這個例子中不夠清楚（無法對應到整數），而 37％ 介於 25％ 與 50％ 之間，因此有兩套對應的最佳策略如下：

（A）拒絕第一個對象（4×25％＝1），接受後來最佳的對象。

（B）拒絕前兩名追求者（4×50％＝2），接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略，香桃會在 24 種可能性中的 11 種，選到最好的追求者。採取 B 策略的話，會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列，如同前述，1 代表香桃最偏好的追求者，2 代表她的次佳選擇，以此類推。因此，3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇，再來遇見第二選擇，第三次遇到最佳選擇，最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B，代表在這些情況下，採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

1234；1243；1324；1342；1423；1432；2134（A）；2143（A）；2314（A, B）；2341（A, B）；2413（A, B）；2431（A, B）；3124（A）；3142（A）；3214（B）；3241（B）；3412（A, B）；3421；4123（A）；4132（A）；4213（B）；4231（B）；4312（B）；4321

如果香桃很有魅力，預期可以遇見 25 位追求者，那她的策略是要拒絕前 9 位追求者（25 的 37％ 約為 9），接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證，但是這個表會變得很龐雜，因此，最好的策略就是接受通用證明。（不用多說，如果要找伴的人是男士而非女士，同樣的分析也成立。）如果 N 的數值很大，那麼，香桃遵循這套 37％ 法則擇偶的成功率也約略是 37％。接下來的部分就比較難了：要如何和真命天子相伴相守。話說回來，這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本，其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》，2023 年 11 月，大牌出版，未經同意請勿轉載。

本文由 我的青航時代－2023航發會×暑期航空營 委託，泛科學企劃執行。

座落在熱帶和亞熱帶氣候帶的台灣，地形複雜，天氣的變化多端，比另一半翻臉的速度還快。在地面上的人們尚且需要天氣預報，才能順利規劃日常生活起居；在天空中翺翔的飛機，同樣也必須仰賴航空氣象的資訊，才能完成一趟安全的飛行。一起來瞭解航空氣象扮演的重要角色吧！

努力讓「不測風雲」變得可測

過去不少令人觸目驚心的空難憾事，如 2014 年復興航空 222 號班機空難受颱風麥德姆風雨影響墜毀、2020 年空軍黑鷹直升機因天氣驟變失事，都與天氣因素有關。根據台灣國家運輸安全調查委員會的報告，台灣近 10 年的民用航空運輸重大飛航事故分析中，「天氣」是其中僅次於人員因素的事故原因。

因此要守護機組人員與乘客的安全，能否及時提供可靠的機場氣象觀測、預報及警報，供飛航作業人員參考，便至關重要。

那麽氣象資訊是怎麽來的呢？幕後功臣就是設置於台灣各處民航機場，堅守各自崗位的航空氣象臺。目前全島共有 5 個航空氣象臺（松山、桃園、高雄、豐年及金門）與 5 個任務臺（蘭嶼、綠島、恆春、北竿、南竿）^[註1]負責監測航空氣象。

航空氣象人員的職責，就是蒐集、整理、分析和解釋飛航所需的機場及航路之預測、預報、警報及顯著危害天氣資訊。他們是飛航安全背後的强力後援，全天候守視飛航情報區天氣變化及提供諮詢。

氣象資訊從哪來？來認識氣象觀測的好幫手們

要即時準確地進行氣象觀測，絕對少不了各種氣象裝備的幫忙！任憑氣象七十二變，氣象人員也能透過氣象觀測隨時掌握情況，確保航空安全。飛航服務總臺在各民航機場都有設置的自動氣象觀測系統（Automatic Weather Observation System，簡稱 AWOS），是一個多功能的好幫手。它可以觀測風向、風速、能見度、跑道視程、雲量、雲高、溫度等等各種項目，讓氣象人員可以用來進行機場天氣測報和航機管制作業。

飛機在起飛降落時，最擔心遇到增加飛行難度的風切（Wind Shear）。風切指的是大氣中不同兩點之間，風速或風向的劇烈變化。低空風切（Low-level wind shear）則是指 1600 呎（500 公尺）以下空氣層中的風切，可能造成飛機難以操控而被迫重飛，甚至失速導致飛航事故，因此需格外注意。

針對棘手的風切問題，氣象臺在松山機場和桃園國際機場設置了 低風切警報系統（Low Level Wind-Shear Alert System，簡稱 LLWAS），利用機場周邊沿跑道兩側及跑道延伸線外之多個 20 公尺以上測風塔進行風場觀測。當風場變化達到風切發生條件時，系統立刻就會透過文字、圖形和聲音等警告資訊，提醒氣象觀測員及塔臺管制員，發布風切警報警示進場和離場的機師做好因應措施。

1985 年在桃園國際機場架設的都卜勒氣象雷達（Doppler weather radar），長得就像一個巨型氣球，是當時全亞洲首座供作業用的 C 波段氣象雷達，掃描範圍可達 300 公里。它就像個盡責可靠的氣象觀測員，負責台灣北部機場和附近航路天氣的即時監測與預警，可以掌握劇烈天氣如颱風、雷雨、風切和亂流等天氣現象的發展和移動，提供資訊給飛航相關人員作業參考，確保飛行安全。

「有字天書」——航空氣象報告内容大解密！

如果你拿到一份航空氣象報告，恐怕會以為這是一串亂碼。由各種英文字母縮寫和數字組成的航空氣象電碼，其實有著國際規範的通用格式。只要懂得解讀，就會發現裏頭包含了風向、風速、能見度、雲層狀況、溫度露點及氣壓等多項氣象資訊。按照其用途，航空氣象報告可以分成不同的類型，以下簡單介紹其中幾種。

依照機場的作業規模，航空氣象臺會每半小時或每小時發布機場例行天氣報告（Meteorological Terminal Aviation Routine Weather Report，簡稱 METAR），供飛行員和航管員使用來評估該地區當前的天氣狀況。當天氣變化達特定條件時，則會發布機場特別天氣報告（Aviation Special Weather Report，簡稱 SPECI）。另外，觀測員也會發布未來 2 小時天氣預報，提供航機進行作業因應規劃。

若需要預測更長程的天氣變化，臺北航空氣象中心也會每天四次更新機場預報（Terminal Aerodrome Forecasts，簡稱 TAF），其有效時間長度分為 30 小時／24 小時／18 小時等三類，讓航空公司可以用來擬定航班飛行計劃，作為航機調度、載重、油料和旅客安排的參考。

安全至上！如何從惡劣天氣中全身而退

在航空業中，天氣變化不只是出門要記得帶傘這點程度的不便，更會影響航班的安排規劃。如果預計會有暴雨或風暴，航空公司可能會取消或延誤航班，以確保乘客和機組人員的安全。當風速和風向發生改變，機師也可能需要改變飛行路線和高度，以大大降低航程的風險。

但你是否也有過類似經驗：明明天氣很好，來到機場卻遇上航班延誤的消息，而感到困惑不解？這些讓旅客滿肚子哀怨的情況，其實也都是為了安全考量，所作的因應安排。因為即使機場所在地的天氣肉眼可見的良好，並不代表機場適合起飛降落。

例如飛機降落前到達一定高度時，機師必須完全看得見跑道及地面狀況，覆蓋在機場起降航道附近的低雲、雷雨區，都可能造成能見度下降，造成飛機不能按時降落。飛行時，若航路前方有雷雨天氣，基於安全考量，機師通常會繞過或飛越，也就增加了航行時間導致班機誤點。靠山邊的機場如蘭嶼機場，常因地形產生風切亂流，導致飛機降落困難，不得不重飛或返航，延誤航班。

此外，同樣是飛往某地的航班，也可能發生有些能走，有些卻被告知走不了的情況。這是因為航機機型大小不同，適航標準也不同。即使是相同的機型，也會因駕駛員的證照類別、航空公司所訂的安全標準之差異，綜合機場條件、天氣和駕駛員對航機狀態的判斷後，對班機行程做出不一樣的決策。

氣象服務網與 APP 在手，航空氣象即時就有

飛航服務總臺也緊跟時代脚步，建設各項線上即時的氣象資訊服務，包括「航空氣象服務網」和「航空氣象資訊 APP」。航空氣象服務網主要讓航空公司簽派員、飛行員及航空相關人員申請註冊使用，以查詢全球各主要機場即時天氣測報及預報資料。在網站首頁，也有機場即時天氣資料、台灣地區機場適航狀態、即時衛星雲圖等資訊，開發讓一般民衆查詢。

航空氣象資訊 APP 也應行動裝置普及誕生，可供航空從業人員下載使用。一般民衆也能透過 APP 取得全球各大機場即時天氣資訊、東亞地區衛星雲圖及臺灣地區雷達回波圖等資料。

【註解】

1. 任務臺業務分別由豐年 （業管蘭嶼、綠島）、高雄（業管恆春）、松山（業管北竿）及桃園（業管南竿）航空氣象臺負責管理。

參考資料

1. 飛航服務總臺：航空氣象服務介紹
2. 飛航服務總臺：臺北航空氣象中心
3. 飛航服務總臺：氣象裝備
4. 台灣飛安統計（2012 – 2021）。國家運輸安全調查委員會。
5. 飛航服務總臺：桃園機場都卜勒氣象雷達介紹
6. 航空氣象服務網
7. 「2020 飛航解密 暢遊天際」系列講座 – 臺北航空氣象中心主任余曉鵬精彩演講內容
8. Wikipedia – 航空例行天氣報告
9. Wikipedia – 終端機場天氣預報

車輪餅要選奶油還是紅豆？遊戲機該買 Switch 還是 PS5？要吃麥當勞還是肯德基？父母和伴侶落水應該先救誰？人生中會有很多時候需要做終極二選一，有選擇困難的時候怎麼辦？2011 年搞笑諾貝爾獎醫學獎的得獎研究提供了一個方法：憋尿。

搞笑諾貝爾獎頒發給「讓人捧腹大笑，然後發人深省 (achievements that make people LAUGH, then THINK.)」的研究或事件，2011 年的醫學獎頒給兩個研究團隊，表彰他們證明：當人尿急的時候會做出更好的決定，但對其他事情來說這是糟糕的決定。這到底是怎麼一回事？

憋尿幫助你終極二選一？

荷蘭特文特大學行銷傳播與消費者心理學系的米賈姆 (Mirjam A Tuk) 從一次聽演講時不小心喝太多咖啡得到靈感，讓他想知道「當人們需要控制膀胱的時候會發生什麼事？」

於是他和研究團隊一起設計了實驗，一群喝一點水和另一群喝很多水的受試者，在 40 分鐘後水到達膀胱的時候，開始要受試者回答一系列的問題，例如「會選擇明天收到 480 元還是 30 天後拿到 900 元？」等問題。實驗發現，當人們很想上廁所、不得不控制膀胱的時候，反而更比較願意延遲滿足、變得更有耐心，且有助於控制衝動。

這結果令人驚奇的地方，因為許多心理學研究都支持過於克制反而會使人「自我耗盡 (ego-depletion)」，讓他們對其他事情更難以控制自己。米賈姆認為這可能是因為膀胱控制在某些程度上來說，是自動的、無意識的過程。

不過這不代表尿急就是好事，另一個一起得獎的研究則發現，當人很想尿尿的時候，注意力和工作記憶會顯著下降，而且糟糕的程度和酒醉（血液中酒精濃度 0.05%）、疲勞（持續清醒 24 小時）相似，而在尿尿警報解除後認知就會回到原來的水平。

研究團隊讓八位健康成年人每 15 分鐘喝 250c.c. 的水，直到他們很想上廁所、再也忍不住為止，並在這個時候讓他們進行自評和認知測驗。

不過，為什麼要做這個實驗呢？研究成員之一、耶魯醫學院的皮特札克 (Robert Pietrzak)  教授解釋，有很多工作是無法隨時想去上廁所就能去上廁所的。例如：長途卡車司機、醫護人員等，這個研究提醒大家，當你在憋尿的時候，很可能會干擾正在執行的工作。

挑戰人類的憋尿極限？勸你還是不要比較好

人到底可以憋尿憋多久？會不會憋死掉？一天又會尿尿幾次呢？

膀胱是可以伸縮的器官，成年人的膀胱可以儲存約 400~500cc 的尿液，膀胱和大腦有直接溝通的專線，約四分之一滿的時候就會有尿意。尿尿的次數也和膀胱的大小有關，成年人平均一天尿尿 6~7 次，不過在 4~10 次之間都屬正常範圍；小小朋友和嬰兒的膀胱比較小，一天會尿尿 10 次或以上。

憋尿對身體的影響大多是長期累積而來的：如果沒有定期排空膀胱，最常見的是細菌滋生造成尿道感染，和因為都憋著導致膀胱肌肉在該放鬆的時候無法放鬆，極少極少出現憋尿憋到漲破膀胱的狀況。

偶而一兩次憋尿、試試看是不是會做比較理性的決定還無妨，但還是要養成想上廁所時不要憋太久，尿尿時不要急、要盡量排空的好習慣喔！

參考資料

1. About the Igs
2. The Impulsive client: theory, research, and treatment
3. Inhibitory spillover: increased urination urgency facilitates impulse control in unrelated domains
4. Bladder control – DW – 10/05/2011
5. How needing a wee affects your decision making – Big Think
6. Full Bladder, Better Decisions? Controlling Your Bladder Decreases Impulsive Choices
7. IG Nobel prize goes to University of Twente researcher
8. Lifespan researcher wins Ig Nobel Prize
9. Ig Nobel Award Winners: Do Humans Think Less Clearly When They Have To Urinate? | HuffPost Weird News
10. Why Having To Pee While Driving Is As Bad As Drinking
11. Ig Nobel Prize: Humor and Science – Yale Scientific Magazine
12. The effect of acute increase in urge to void on cognitive function in healthy adults
13. How Long Can You Go Without Peeing? Risks, Complications, Concerns