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從哈伯法開始說起……

葉綠舒
・2014/10/07 ・1949字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 515 ・六年級

自從幾年前開始教通識課以後,對於許多課程要怎麼教,開始有了不同的想法。怎麼說呢?一般專業課程總是強調「專業」,舉個例子好了,學過國高中化學的同學應該都知道哈伯法(Haber-Bosch Process),在高溫高壓下以鐵粉做為催化劑將氮氣與氫氣轉化為氨(ammonia):

N2(g) + 3H2(g) → 2NH3(g) (反應為可逆反應)    ΔHo, 反應熱為-92.4 kJ/mol。
 

通常化學課的時候,老師只會提到,因為氮氣(N2)的兩個氮原子之間是三鍵,所以要打開氮氣很不容易;因此不但要用高溫高壓,還要用鐵粉當催化劑…

然後?就沒有了。講完了。

但是,哈伯法偉大的地方就只是這樣嗎?哈伯(Fritz Haber)因為發明了這個方法,得到1918年的諾貝爾化學獎。難道就是因為他成功的打斷了氮-氮三鍵而已嗎?

哈伯(Fritz Haber),圖片來源:wiki
哈伯(Fritz Haber),圖片來源:wiki

當然不是。哈伯法的重要性在於,從此人類打開了以人工提高作物產量的大門,農作物的產量從此大大的提高。

當然,產量提高其實也是有限度的,在植物的營養上,有個名詞叫做「關鍵濃度」(critical concentration)。當土壤中的養分低於這個濃度時,植物的生長與養分的濃度成正比;超過這個濃度以後,植物的生長跟養分的濃度就不成正比了,也就是說,用再多也沒有明顯的效果。

但是,在過去只能使用天然肥料(動物的屍體、糞尿、植物的落葉等)的時代,由於天然肥料必需要等待微生物分解(這部分在堆肥時已經大致完成),再經過土壤中的微生物將其中含氮成分分解為硝酸根(nitrate,NO3-)與銨離子(NH4+)後,才能為植物所吸收,因此效果緩慢。加上為了方便起見,農人們總是會以單作(monoculture)的方式來種田,這種在大片的土地上種植單一作物的方式,很容易會使土壤缺少某些特定的養分(尤其是氮與磷),所以在哈伯法還沒有出現以前,要提高土壤內的氮濃度,除了使用天然肥料之外,就只剩下使用綠肥,或是與豆科植物輪作了。

但是,這些方法,都不能使土壤中的氮的濃度超過關鍵濃度;因此,當哈伯法出現之後,農夫將化學肥料施放在田裡,立刻有了奇效–農作物的產量大大的提升。加上育種改良以及殺蟲劑、除草劑的使用,20世紀小麥與稻米的產量提升了8-10倍(平均產量是4倍)。

但是哈伯法對於科學界的貢獻,並不僅僅在於農作物產量的提升;在哈伯發明化學固氮之前,一直有一派學說認為,這些在生物體中的化合物,只有生物才能合成(也就是所謂的生機論Vitalism)。雖然生機論在科學上的地位在1828年在維勒(Friedrich Wöhler)合成尿素以後,已經岌岌可危;但是直到哈伯法出現以後,生機論才不再被提起。

但是哈伯法對全人類最大的貢獻,還是在於:從此想要多少氮肥,就可以製作多少氮肥。雖然在十九世紀Sach等人的研究,已經使大家了解,要能夠正常的生長與繁殖,植物需要17種元素(稱為必需元素essential element);但是其中最關鍵的氮與磷,卻始終無法足量提供給植物。

但是,大量的施放氮肥,卻造成了另一個效應:死亡海域(Dead zone)。

死亡海域最早出現在1970年代。由於化肥的大量施用早在1930年代就開始了,因此也花了一些時間去釐清到底是怎麼回事。簡單來說就是,大量施放氮肥(主要是硝酸根)與磷肥(磷酸根)到土壤中,但是土壤主要是由矽酸鋁顆粒構成,也是帶負電的,所以同性相斥使得氮與磷無法久留在土壤中,很容易隨著雨水、灌溉水流到附近的湖泊與河流裡,最後流到海裡。

當海裡的氮與磷濃度上昇以後,造成藻類大量生長,形成藻華(algae bloom);藻華隔絕了水下植物的陽光,使得水下植物開始死亡;植物的死亡與分解吞噬了水中的氧氣,接著動物開始死亡…然後就是死亡海域。

由於慣行農法的單作、密植,使得化肥成為農業的必要之惡;所以死亡海域一直都是難以解決的問題。2008年的統計,全球的死亡海域共有405個點;而死亡海域的「熱區」集中在人煙稠密的北半球。

全球死亡海域熱區。圖片來源:wiki
全球死亡海域熱區。圖片來源:wiki

而施放化肥加上灌溉,除了造成死亡海域之外,又會使得土壤酸化、鹽化。雖然哈伯法似乎在短時間內提高了農作物的產量,養活了許多人(這可以由1940年代開始,世界人口急速上昇看出來);

世界人口增長速度。圖片來源:wiki
世界人口增長速度。圖片來源:wiki

但是,哈伯法所造成的副作用,包括死亡海域、土壤酸化、鹽化,以及因為人口大幅增長造成土地大量被開發的生態破壞等等…究竟是功是過呢?其實科學家發明了新技術,而這個新技術在大量被使用之後,產生了意想不到的變化,我想這也是當初哈伯始料未及的吧!

本文轉載自作者部落格

參考資料:

  1. Taiz and Zeiger, Plant Physiology, 5th ed.
  2. Laurance Mee. 拯救死亡海域。2006。科學人。
  3. Wikipedia. World populationDead zone.

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文章難易度
葉綠舒
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做人一定要讀書(主動學習),將來才會有出息。


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莫比烏斯把紙帶轉了幾圈——《數學,這樣看才精采》

天下文化_96
・2022/05/21 ・2870字 ・閱讀時間約 5 分鐘
莫比烏斯環。圖/David Benbennick, CC BY-SA 3.0

記得 2018 年初我在谷歌搜尋引擎裡打入「莫比烏斯」,出乎我意料之外第一頁跳出的全是關於電影《莫比烏斯》的訊息。我本來對此電影毫無所知,瞄了一下摘要文字,原來是一部沒有臺詞,內容又涉及閹割和亂倫的韓國電影,真是有點讓人感覺噁心。

再用英文 Mobius 打入谷歌,結果出來的都是電玩《莫比烏斯 Final Fantasy》的訊息。這是一款可以在手機上單打獨鬥的遊戲,需要操作喪失記憶的主角與各種魔物在未知世界裡廝殺。其實我想找的是數學家莫比烏斯(August Ferdinand Möbius),哪裡知道他的大名已經移植到與數學不相干的場域。

天文學家的數學遺產

數學家莫比烏斯(August Ferdinand Möbius)。圖/Adolf Neumann, 公有領域

日爾曼地區在莫比烏斯出生的時候,還沒有一位國際知名的數學家。但當他過世時,日爾曼的數學家已經發揮強大的影響力,吸引各國年輕人紛紛前來學習。這種巨大轉變的產生,關鍵性因素是高斯的橫空而出,徹底革新了數學的面貌。

1815 年莫比烏斯曾去哥廷根跟隨高斯學習理論天文學,次年進入萊比錫(Leipzig)天文臺擔任觀察員。十九世紀初的日爾曼世界,當天文學家遠比數學家有更良好的聲譽和安穩的待遇。高斯跟莫比烏斯同樣是寒門出身,不也在 1807 年開始終身領導哥廷根天文臺嗎?

莫比烏斯雖然最終成為萊比錫大學的天文學正教授,但是時至今日他所留下的學術遺產,卻是在數學裡多方面的貢獻,最有趣的是他晚年所發現的一條極簡單又美妙的環帶:莫比烏斯環帶。

請讀者拿一張長紙條,把一端轉 180 度與另一端黏在一起,便完成了神奇的莫比烏斯環帶。這個環帶突出的特性是它只有單面,不像原來的紙帶有正反兩面。那麼有一個面到哪裡去了?當你沿著紙帶表面向前走到原來的一端時,因為已經做過半圈的旋轉,你現在就滑入了原來紙帶的背面。於是在莫比烏斯環帶上走啊,走啊,永遠不需要翻過側緣,也永遠碰不到盡頭。

在空間裡看起來扭曲的莫比烏斯環帶壓扁到桌面上,就得到圖 17-1 左邊的平面摺疊圖形。此圖與右邊谷歌雲端硬碟的商標(2012–2014)很相似,相異之處在於商標左側的那段紙帶是在底側紙帶的上面。

其實,我們可以用摺紙方法製作這個商標。首先拿出一張長條紙,我們要在一端摺出一個60度底角。

在圖 17-2 裡,先把長條紙上下邊緣對齊,產生一條中線。然後把左邊緣的線段 DO 往中線摺疊,使得點 D 碰觸到中線上的點 A,於是角 BOC 就剛好是60度。為什麼呢?讓我們從 A 作垂直線段 AB,假設 AB 的長度是 1,則 AO = DO 便為長度 2。從三角關係便知角 AOB 為 30 度,從而角 AOD 就等於 60 度;但因角 AOC 與角 COD 相等,所以角 AOC 也是 30 度,那麼角 BOC 只好是 60 度了。

在長條紙上摺出了 CO 這條摺痕,接著我們用剪刀沿著 CO 剪下去,把三角形 COD 丟掉。然後把 O 點摺到上緣,使得線段 CO 與上緣邊線重合,就會產生一個正三角形。下一階段用這個正三角形做為模板,把長條紙反復摺疊,打開後修剪掉右邊多餘的紙條,就成為具有 15 個正三角形摺痕的紙條,如圖 17-3。

最後沿兩條粗摺線(在摺紙的術語裡,左邊的虛線稱為谷摺、右邊的點虛線稱為山摺),把左段摺在前面,右段摺到背面,右端放在左端上面,用膠紙黏合,就得到谷歌雲端硬碟的商標。如果仿照旋轉紙帶製作莫比烏斯環帶的方法,我們可以抓緊長條紙帶一端,把另一端同方向旋轉三個 180 度後黏合,然後壓扁到平面上,也會得到商標的圖形,只是邊的長度也許沒那麼整齊。

環帶的靈感何處來?

有人說莫比烏斯是偶然間發現了這樣的環帶,其實這是有點戲劇化的講法。莫比烏斯在研究如何構成多面體時,使用了一種基本的想法,就是以黏合三角形來逐步形成多面體。為了準備參加巴黎科學院有關多面體幾何理論的競賽,莫比烏斯也研究了非封閉型(也就是會有邊界)的多面體,他從操作類似圖 17-1 的摺疊圖發現了單面曲面。在莫比烏斯身後出版的著作全集裡,收錄了一篇未曾發表的 1858 年文稿,其中包含了旋轉 3、4、5 個半圈的環帶,如圖 17-4。

可見莫比烏斯有系統的分析了這類環帶,發現旋轉半圈的次數如果是奇數,產生的環帶只有單面;但如果次數是偶數,則環帶仍然保有正反兩面。他更深刻的察覺,這些單面曲面上無法賦予明確的方向,也就是說你從一點出發,也知道當時的順時針方向為何,而當你沿著環帶遊歷一周後,雖然處處你都覺得延續了正確的順時針方向,可是返回出發點時,卻與原始的方向背反。莫比烏斯環帶破壞了所謂的可定向性,這是屬於曲面的拓撲性質,是比度量長度、角度、面積、體積更寬鬆的幾何性質。

1858 年莫比烏斯寫下單面曲面研究成果前幾個月,另外一位現在少為人知的數學家李斯廷(Johann Benedict Listing)已經作出同樣的環帶。莫比烏斯要到 1865 年才在公開發表的著作裡披露單面環帶,而李斯廷在 1861 年出版的專著裡,便公布了單面環帶的存在。李斯廷甚至在 1847 年出版有史以來第一本使用「拓撲學」這個名稱的書(德文書名為Vorstudien zur Topologie)。不過,今日即使想替李斯廷討個公道,把莫比烏斯環帶改名為李斯廷環帶,恐怕也無能為力了。

製作莫比烏斯環帶是如此的簡單,很難不讓人懷疑為什麼沒有人更早發現它呢?在李斯廷之前的數學文獻裡,到目前為止沒有發現有關莫比烏斯環帶的記載。那麼我們探索的對象何不轉移到各種藝術圖像呢?結果在義大利的古跡山提農(Sentinum)羅馬別墅中,發現西元前 200 年至西元前 250 年期間的地板馬賽克,正中央描繪了永恆時間之神艾永(Aion)站在一條代表黃道諸星辰的環帶之中(如圖 17-5)。當我們仔細沿著環帶移動時,能夠毫無疑義分辨出是在一條莫比烏斯環帶上游走。現在還可在多處看見古羅馬遺留下艾永的繪像、浮雕、馬賽克,然而唯有在山提農的別墅中,艾永所踩的環帶是莫比烏斯環帶。

山提農的馬賽克在 1828 年送進慕尼黑的博物館,三十年後李斯廷與莫比烏斯先後研究這個特殊的環帶,他們是否曾經去慕尼黑參觀過博物館,因而受到古羅馬人的啟示呢?我們恐怕永遠也無法確知,然而要寫一本《莫比烏斯密碼》之類的書,也許有可能編織出充滿懸疑的故事。


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天下文化_96
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