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單車與我

活躍星系核_96
・2011/08/16 ・3128字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 515 ・六年級

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文/黃敏晃 台大數學系退休教授
攝影/陳淳廉、任明芬

1. 對稱不對稱

有些朋友知道筆者左腳踝受過傷,行動不便。即使拄著拐杖,還是不利遠行(走路超過半小時,腳踝就會痛)。故在台大校區附近,我總是騎著單車活動。估計每天在單車上的時間,約有兩小時之久,這當然包含我刻意騎單車運動的時間。其實,台大校園裡各條主要道路騎一趟,就要花45分鐘以上,更不用說許多偏僻小徑尚可一遊。

長期練習,使我騎車技巧精熟。有次在台大校園裡,來個轉彎急煞車,停在老友黃榮村教授(台大心理系,曾任教育部長,現任中國醫藥大學校長)面前跟他打招呼。第二天到國科會開會,他見到我拄著拐杖蹣跚走路的模樣,根本不相信,直呼我騙人,乘公車、搭捷運時騙年輕人讓座。事實上,騎單車動到的是膝蓋,腳踝完全不受影響。我左腳踝的傷勢,還是有妨害到我騎單車,特別是上、下車的時候。因為一般人騎車的習慣,都是用左腳做為上、下車的支點(單車的設計是左、右不對稱的),而我的左腳踝常支撐不住我的體重(很不幸的,超過80公斤,且有越來越胖的趨勢)。於是我只好調整上、下車的方式。

我下單車的方式如下:在單車輪子停止滾動後,右腳著地,左腳跨過車頂,在單車右邊立定後,把單車牽到可以倚靠的地方如牆邊、樹幹旁等,手放開車把手小心走到車左邊去停車(單車的停車支架設在車左邊)。上車時則先用握住車把手的雙手,支撐部分的體重,把右腳跨到車右邊地面(我的單車屬舊式的淑女車,座墊前方沒有直槓向前連結單車把手軸),右腳用力把屁股撐上座墊,左腳踩踏板使車前進。

我想過,人是左、右對稱的,習慣使用左手右手,或左腳右腳,應是人進入社會後受到部分影響而形成的(當然有人是天生慣用左手的)。若加以訓練,我未嘗不可以模仿從左邊滑行上車的方式,從右邊上車。於是,我在腦中運用想像力,形成我從右邊上車的腦圖(mental map,是連續動作的動畫)。然後,人到單車右邊,右腳去踩踏板(想用左腳蹬地使車滑行),但在地上的左腳踝立刻感受到體重的壓力,使我無法站立而摔倒在地。這次並沒受傷(小小的皮膚擦傷不算),但沒第二次的嘗試。

這次失敗並未推翻我認為人體結構(一般而言)是左、右對稱的信念。我記得小時候為了學騎單車,摔過N次後終於成功。故我只要肯再接再勵,是會成功的。但據說,老人多有骨質疏鬆的症候,怕摔,故想了又想,沒敢繼續練下去。這恐怕是老人最大的毛病,想的太多,做的又太少。

2. 鄰域的概念

數學裡有門學問,叫做點集拓撲(Ponit Set Topology)。高等微積分裡會講一些入門,在大學數學系的三、四年級也常開一門專課(3學分)。它的主旨在定義一個更寬廣的理論架構,使我們可以將連續(continuity,以及之後的微分…,故研究所可以開differential Topology的課)這個概念延伸到歐幾里得空間Rn(這是數學裡習慣用來表示n維歐氏空間的符號)之外的空間去。這門課中有個概念叫做鄰域(neighborhood─函數連續的初淺意思就是,其值在任何的鄰域中變動不會太大),我騎單車時常體驗到鄰域在日常生活的意義。我的鄰域就是居家附近,常去的場所,輕易方便就可到達的地方,我喜歡拜訪的區域。這樣的鄰域會隨著你所使用的行動方式而改變。比如說內人,她是步行的,故她的鄰域就是台大校園(我們住的宿舍在台大校園的邊陲地帶),和周圍二、三條街以內的區域。我的交通工具是單車,鄰域就擴充到二二八紀念公園旁的台大醫院(看病),市北師(上課)和植物園(建中),以及在市民大道東端盡頭的漢聲出版社(開會),單程約為半小時。

在台大校園內、外騎單車的最大差異是,校外我常騎到人行道上,避免跟汽、機車爭道,以策安全。最近聽說,台北市有要通令「禁止單車騎上人行道」的意圖。若然,我是寧願挨罰,也要騎上人行道的。我撞行人,他最多輕傷;我被汽、機車撞到,起碼重傷收場。

目前,全世界都公認騎單車是最符合節能減碳的環保交通方式,歐洲大多數的都市,為了鼓勵騎單車上、下班,做了許多方便單車族的措施。台北市不但不積極籌謀這方面的方案,反過來要通過對單車族不友善的法令,是會被選民認為行政不力(跟不上時代潮流)的。在沒有單車專用道的狀況下,把道路分成汽車道和人行道,機車和單車需要被定位,屬於哪類?若認為自然的人體之外的道具,就不屬於人行道,則拄枴杖,坐輪椅者該到汽車道去,絕對不合理。另一種方式是用速度分類(不等級的速度容易產生車禍),則可先參考下列事實:

1. 人的步行速度約每小時3~5公里。
2. 單車的速度約每小時12~20公里。
3. 機車的速度約每小時40~60公里。
4. 汽車的速度約每小時50公里以上。

顯然,機車和汽車的速度是相當的,故它們使用相同車道是合理的。單車的速度是人步行的3到5倍,而汽、機車的速度又是單車的3到5倍,所以單車的歸屬是較尷尬的。故歐洲人特別設立單車道,有其道理。若無單車專用道,又該如何?通常我騎單車上人行道時,都故意放慢速度(時速低於10公里),因此不易發生撞人事件。也許這就是一種解法,騎上人行道的單車,速度不准超過時速10公里。

3. 一般狀況

在校園內騎單車,因汽車速度慢(限速30公里每小時),又禁止機車入校(只有校警的機車可在校園內行駛),故我覺得應該用最高的標準(道德?)要求自己,即不騎上人行道。身為學校的老師,行為最好不要有任何瑕疵,讓人非議。但如此的結果是常產生「三點共線」危機如下,如圖1所示:

若兩部汽車相閃而過的剎那,你騎著單車剛好在邊上,即兩部汽車和你的單車形成一直線,而且此直線恰巧垂直於道路的邊線(保證空間最擁擠)。這種場景若發生在寬濶的椰林大道,一點問題都沒有。偏偏台大有許多路,比一般的兩線道還窄,兩部汽車相閃都要很小心(減速),你還要騎單車跟他們擠在一起。每次,我都恨不得是騎在人行道上。幾次經驗後,我的解法是不讓這種事件發生,即我察覺到它有可能發生時,會故意騎快或騎慢,避免「三點共線」的現象。

「三點共線」和「三線共點」是國中幾何教材裡必見的教材。這些教材的要點是,當此特殊狀況(或很強烈的條件)發生時,表示相關的幾何物件之間的相對位置關係,形成緊密結合的結構體(比如說,三角形是最堅固的幾何形,故其三條內角平分線會交於一點,叫做內心,以及外心、重心、垂心等都是三線共點的特例(見圖2))。

問題在於交通事務中,產生關係的物件一定包含人和車輛在內,這樣的物件要互相間,或和其他硬體如橋樑、圍欄之類的物件產生緊密的相互位置關係時,大概就有點危險了。故道路的設計當然避免三條道路交於一點的狀況(以前喜歡用圓環處理,但效果不佳,現多廢除),而希望它們在一般的狀況下。

所謂的一般狀況(position in general),就是這些幾何物件可以合力產生最大的維數,如在一般狀況的三點可決定一個維數平面,及四點可決定一個三維空間;或最大的分割數目,如在一般狀況的共平面三條直線可將它們所在平面切割成七塊,如下面圖3a圖所示,三線共點或有平行現象發生時,平面被切割出來的數目,都會比七小。

下面有如下兩道題目給讀者作進一步探索:
(1) 在同一平面上的n條直線可把這個平面切割出的最多塊數( 如一條兩塊, 兩條四塊,三條七塊)是多少?

(2) 將上題延伸到三維,n個平面可把空間切割出最多部分是多少?

最後,出個題目讓讀者想想,或做實驗來探索。筆者有次騎單車,輾過一攤油漆,騎了一段路後回頭看,只見車輪留下的痕跡,好像有些規律(見圖4)。這個規律是如何的?它跟車輪的大小(如前輪小於後輪或是前後輪一樣大)有關嗎?它與兩輪之間的距離有關嗎?

本文原刊登於《科學研習月刊》No.50-5

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活躍星系核_96
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活躍星系核(active galactic nucleus, AGN)是一類中央核區活動性很強的河外星系。這些星系比普通星系活躍,在從無線電波到伽瑪射線的全波段裡都發出很強的電磁輻射。 本帳號發表來自各方的投稿。附有資料出處的科學好文,都歡迎你來投稿喔。 Email: contact@pansci.asia

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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/11/01 ・2113字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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原來數學也可以用在這裡?生物巧妙運用數學模式,克服了移動上的物理限制——《生物世界的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/10/26 ・1541字 ・閱讀時間約 3 分鐘

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步調模式千變萬化

生物體移動時所受的限制是屬於物理學的。如果該生物使用的是肢體,這些肢體必須強壯到可以支撐作用在牠們上面的力量。(我看過不少設計較差的機器人在移動時散掉。)其他形態的移動也一樣,如果是游泳,該動物就要全力對付流體力學的定律。物理定律影響動物的移動是很明顯的,不值得奇怪。顯然,在這個情形當中,數學提供了各式各樣的模式,而被生物學拿來運用。很少不會用到,不管多麼奇特。

游泳時要全力對付流體力學定律。圖/Pexels

物理學的影響還要更深入。單有腿也沒有用,除非你有可以控制腿的神經系統。運動與神經網路是一體的,兩者一定要一起演化,而不是個別的。另外,正如負責感覺的神經網路一定會模擬外在世界的模式,因此負責運動的神經網路,必定會模擬動物身體的機械性模式。

我很懷疑這種共同演化真的有可能或很容易發生,因為下面這個顯著的事實:像肢體這樣的物理系統的自然振盪模式,跟神經網路的振盪模式是一樣的。早在肢體和腦變成完整的生物結構之前,就已經有一種普遍的步調韻律存在了,潛在地將動物的肢體關聯到腦。步調節奏提供了存在於演化相空間中、等待被使用的模式。

形形色色的生物移動

這模式的確一直被應用。差不多所有的生物都會移動,甚至連最固定不動的植物也會向光彎曲,最微小的浮游生物也會隨波逐流——但是,獵豹在追逐獵物時,可以跑到每小時一百一十公里,這移動真是快速啊!

生物體的種類這麼多,而移動的方式也是千變萬化。細菌利用會旋轉的微小螺旋槳使自己在水中推進,就像船一樣;像草履蟲(Paramecium)這類單細胞生物,則能藉由揮動鞭毛來選擇運動的方向。

(圖七○)Centronotus gunnellus 這種鰻魚肌肉收縮的波形。圖/《生物世界的數學遊戲》

運動的數學模式形形色色,更是令人印象深刻:草履蟲鞭毛的移動有如行進波,就像是玉米田在微風吹拂下產生的浪波;細菌的旋轉螺旋所成幾何圖案之美是無可比擬的;蛇和鰻是靠肌肉收縮做波狀蠕動行進(圖七○);響尾蛇在熱燙的沙漠中滾動,像一個捲曲的彈簧;尺蠖走動時是尾巴頂到頭部,整個身子呈 ∩ 狀,然後前端再向前行並伸展成-字形。

信天翁滑翔時羽翼僵直不動,偶爾慵懶地鼓翼一下,以有蹼的腳劃過水面,而後用笨拙卻迷人的方式飛跑而起;大象拖著沉重的腳步,緩慢橫過空曠的熱帶大草原,一次移動一隻腳(圖七一),模式就像那隻在海邊市鎮漫步的拉布拉多獵犬。

(圖七一)大象的慢步行走。圖/《生物世界的數學遊戲》

駱駝行走的模式又不一樣了:先同時移動兩隻左腿,然後是兩隻右腿〔稱為「溜蹄」(pace)〕,身子左右搖擺有如醉漢一般。松鼠又是另外一種模式:跳一下,停一下,然後再跳一下;如果遇到警訊,就省掉「停」的步驟。

Carparachneaureoflava 這種車輪蜘蛛會像一個有八個輪輻的輪子般,滾過沙漠。世界上有一種會跳躍的蛆〔較正式的稱呼為Ceratitis capitata(地中海果實蠅)的幼蟲〕,會把自己扭曲成 ∩ 形,然後再伸直,就像一顆砲彈般跳入空中,形成一個完美的拋物線。

——本文摘自《生物世界的數學遊戲》,2022 年 9 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
110 篇文章 ・ 597 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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比大還要再大!比「無窮」還要更大是什麼概念?——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/28 ・2660字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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我們都知道無窮(infinity)是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時,一定會想知道一件事:

什麼事物比無窮大?圖/經濟新潮社

比無窮還大?有可能嗎?

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題,也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」,而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看,但我們或許應該先訂好遊戲規則,讓大家知道該怎麼思考。

具體說來,我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物?如果是有限的量,要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易,但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷,所以必須選擇簡單明瞭的規則,用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼,在一般、有限的狀況下,我們通常怎麼判定「較大」?我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思?

右邊這一堆比左邊的更大圖/經濟新潮社

沒錯,用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人,這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念,我們該如何解釋右邊這堆較大?真的,試試看就知道。這個概念太基本了,其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時,數學中有個常用的技巧,就是提出完全相反的問題,看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?

我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?圖/經濟新潮社

我們不能用「相等」這個詞,因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思,以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來,一個對一個。如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。

如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。圖/經濟新潮社
圖/經濟新潮社

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來,就能得到「較大」的定義。

圖/經濟新潮社

現在問題已經定義清楚了,答案也隨之確定。那麼,世界上有什麼事物比無窮更大?答案是「是」還是「否」?世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘?現在我們可以思考之後猜猜看。

無窮跟無窮 +1 誰比較大?

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子,裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體,袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大?好吧,如果是無窮加一呢?

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響,但我們用配對規則來確認看看。首先,我們可以把無窮袋中的物體排成一排,這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

如果我們以最顯而易見的方式配對,無窮加一看起來當然更大。

不過要小心!規則指出,兩個事物必須無法正好兩兩配對,才會有一者較大。(最好經常回頭看清楚規則!)還有一種配對方法確實可行,而且兩方都不會有剩餘:

如果你覺得這樣好像在騙人,請花點時間告訴自己,這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對,而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體,不會有物體配對不到,所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮!

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

無窮大飯店!如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊,沿著走廊有一排房門,連綿不絕地延續下去,無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭,所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房,每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌,飯店裡每間房間都住滿了(對,這個世界裡有無限多個人)。如果沿走廊隨意走一段距離,選一扇門敲幾下,就會聽到:「有人!請勿打擾!」無限多間房間,裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說:「請問還有房間嗎?」我們不是第一天在無窮大飯店工作,當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說:「各位來賓,抱歉打擾一下,請各位來賓搬到下一間房間。沒錯,請收拾好行李,走出房門,朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作,祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後,就有房間給新住客了。

無限多間房間,無限多加一位住客,房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

無窮加五、無窮加一兆……都沒關係,這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對,可以多裝進一位客人。無窮非常大,任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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