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站在巨人的肩膀上,看得比較遠

賴 以威
・2014/03/11 ・2159字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 450 ・四年級

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站在巨人肩膀上,看得比較遠_Pansci
Photo Credit:rottnapples

“If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.”

-Issac Newton

「如果說我看得比別人遠,那是因為我站在巨人的肩上。」

– 牛頓

說出這句話的牛頓,後來成了科學史上最偉大的巨人,比《進擊的巨人》漫畫裡能畫出來的巨人都還要大上許多,牛頓三大運動定律、微積分,無數的科學家與工程師站在他的肩膀上,發明出造福人類生活的技術。

不過,每次看到牛頓這句流傳千古的名言時,都會有一則回憶,從我內心深處彈出來。回憶裡的女孩那麼問著:「看得比較遠,是有多遠?」

我高中時還沒有101,台北市的頂點是台北火車站前的新光三越。當時,我們常說「約在新光三越的石獅子前面」。當時,手機只要能隨著來電時改變螢幕顏色,就是走在時尚與科技的最先端(如果你答出GD92,恭喜你至少跟我一樣老)。 當時,能跟暗戀的女孩子在周末補習後,拎著裝著補習班講義的紀念書包,用存了一周的零用錢買兩張到頂樓展望台的票,就是一個月、不,一學期以來最快樂的事情。

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站在展望台的窗邊,行人小得像螞蟻、汽車小得像蟑螂(想到這裡,我打了個寒顫),整個台北盆地盡收眼底。下起雨,在地面是抬頭看雨滴從天而降,但在展望台上,是低頭看雨滴往地上撒。

「好漂亮的畫面噢。」

暗戀的對象這樣說,我在旁邊想說「再漂亮也沒你漂亮」,但想想拿人跟雨來比較好像不怎麼恰當,比雨漂亮這種讚美也應該讓人不知道該怎麼開心吧。這一猶豫,就錯過說話的時機了。

「如果沒有被盆地擋住,一直往外望,站在這麼高的地方看得比較遠,是有多遠呢?」暗戀的對象靠著窗邊說話。室內的冷氣很強,她的聲音停在牆上,化成一團霧氣。

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我愣怔怔地站在一旁,只顧著忌妒那片玻璃,又想起小時候被同學罵過玻璃,到底罵人玻璃是什麼意思呢。耽溺於自己年少的過往,輕易錯過了一次在心上人面前表現的大好機會。

如果是現在,我會趕快結束妄想,挨近她身邊,在她造成的玻璃上的那團霧氣上畫一個大大的圓,圓上面畫兩個小人依偎在一起。當然,恐怕會因為畫太久,得叫她補呵幾口氣,別讓霧消失了。

接著,我會以小人為起點,畫一條與大圓相切的切線。

站在巨人肩膀上,看得比較遠_Fig
玻璃上的插畫示意圖

她一臉迷糊地看著我,我露出自信的微笑,告訴她:「這是地球,上面的兩個人,是站在新光三越頂樓上的我們。地球半徑約為 6400 公里,新光三越展望台高度為 250 公尺,利用畢氏定理,從我們所在位置畫出去的切線長度x為

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(0.25+6,400) 2=6,4002+x2

我俐落地列出一元二次方程式,但計算過程有點複雜,又不能要她連續呵氣,弄出一大面霧氣供我計算,畢竟是 250 公尺高的地方,這樣搞,她可能會缺氧吧!

不過這樣就可以作人工呼吸了也不錯……,不,我不能再妄想了!我趕緊化簡式子:

(0.250+6,400) 2=6,4002+x2 式子展開,

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左邊是0.252+2×0.25×6,400+6,4002

第一項跟後面兩項比太小,可以忽略,第三項地球半徑平方又可以跟右邊第一項消掉,整理一下可得

x2 近似於2×0.25×6,400

x近似於根號√ (2×0.25×6,400)=56.6 公里。

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也就是說,站在展望台的我們能看到 56.6 公里以外的景色。大概是宜蘭、還有東北角外海好幾公里的地方。」

她露出崇拜的眼神看著我,扯著我的袖子問我怎麼那麼聰明,要我教她數學。我裝作勉為其難,苦笑地答應,繼續若無其事地賣弄:

「先別說數學了,妳聽過『站在巨人的肩膀上,可以看得比較遠』這句話嗎?」

「嗯嗯,我記得是……」

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「牛頓說的。」

她崇拜的眼神又增加了幾燭光。

方才的式子可以化簡成,看到的距離=根號(2H)×80公里,H是眼睛的高度,以公里為單位。如果要換算成以公尺為單位,要除以1000,變成

看到的距離=根號(20h)×0.8公里,這時h的單位就是公尺了。

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換句話說,假設有一天我們去旅行。飛機失事在一片平坦的大草原上,倖存但走散的我們,在草原走來走去,尋找對方的蹤影。這時候,我比較有可能找得到妳。

「為什麼,說不定是我會先找到你啊。」

她賭氣地說

「因為我身高1.7公尺,眼睛位在1.6公尺的位置左右,而你的眼睛大概位在1.5公尺高。所以我們各自能看見的範圍大概是4.53公里和4.38公里左右,只要沒有障礙物,我看得可以比妳遠150公尺。我還是高中生,說不定我還會再長高到1.8公尺,那樣的話,我可以再多看130公尺。為,為了妳,我會長高的。」

「那答應我,你不能只是長高,還要練習跑步。」

「為什麼?」

「因為就算看到我了,我們之間的距離還有 4.53 公里。你要趕快跑過來接我……」

她說到最後,聲音越來越小,頭越來越低……我深深吐了一口氣,彷彿將肺裡所有的空氣吐出,走上前將她擁入懷裡,他的身體震了震,一股從曾體驗過的巨大喜悅從我心頭湧上。

「我不只是會早一點,遠遠地就會看到妳。我還希望從今以後,我都能看到妳所看見的一切,除了妳眼中的我,替換成我眼中的妳。」

那是我想出來最棒的告白台詞。嚴格來講,台詞有點問題,因為我們眼中的彼此左右還要對調。不過我想在那種情況下應該沒人會去認真追究這個細節。

可惜想出來時,三年已經過去了。

這三年間,我時常想起這段往事,在新光三越的我和她。想像裡的我每次都表現得更好,更能打動想像裡的她的心。奈何現實之中,不管是她、我的身高、或我的跑步,都失敗了。要是能早點站在巨人的肩膀上,早點懂得將數學應用在生活當中,或許就不會是這樣的結局了。

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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為什麼花錢買票看贗品?每分鐘都有一位傻 B 誕生
寒波_96
・2022/11/18 ・2454字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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造假是人類複雜心智的一大產物,歷史上各式各樣的作假、贗品層出不窮。作家 Kristine De Abreu 在 ExplorersWeb 網站的文章[參考資料1],整理歷史上的 6 起贗品案例,時過境遷後回顧,這些造假頗有趣味。

龐貝石碑

6 起案例最早的是龐貝石碑。這個「龐貝」不是義大利那個龐貝城,在紐約。公元 1820 年有人找到一塊石碑,上頭有看似陌生的圖像、文字,但是無人能釐清來歷。此後衍生出不少相關的假說與討論。

1894 年,工程師史威特(John Edison Sweet)出面宣稱那是他叔叔的惡作劇。這類藍色窗簾的案例十分普通,也很常見。

龐貝石碑,現在擺在當地的地方小博物館展示。圖/參考資料1

卡迪夫巨人

1868 年,當時某些基督教信徒根據「創世記」,主張世界上曾經有巨人漫步。美國的無神論者胡爾(George Hull)設局惡搞,製作石頭巨人誆騙信徒,希望藉此證明他們是一群盲信的傻B。

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惡搞產品身高 3 公尺,重 1350 公斤,成本 2600 美金(約現在的 54000 元)。本來想運到墨西哥,但是太重,最後埋在紐約的卡迪夫親戚家,1869 年「發現」後被稱為卡迪夫巨人(Cardiff Giant)。

假巨人騙到一些人,不過也很快被識破。後來有人以 23000 美金收購(約現在的 50 萬元)。不論當初意圖是否達到,胡爾都大撈一筆。

當時有位東搞西搞的掮客……沒禮貌,是知名經紀人巴納姆(P.T Barnum) 想買卻被拒絕。於是巴納姆也製作自己的巨人,還宣稱那才是真正的假貨 XDDD

假巨人當時興起一股熱潮,許多觀眾付費參觀。對於這些花錢看假貨的觀眾,有人表示:「每分鐘都有一位傻 B 誕生(There’s a sucker born every minute)」。這句流傳頗廣的話,到底是誰講的其實沒有定論,不過江湖傳言就是巴納姆自己。

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卡迪夫巨人 1869 年的照片。圖/New York State Historical Association Library

伊特拉斯坎勇士雕像

美國的里卡狄兄弟(Pio Riccardi 和 Alfonso Riccardi)與其兒子們,有一門獨特的家族事業:偽造雕像。他們在 1915 到 1918 年製作 3 具 2 公尺高的伊特拉斯坎勇士雕像(Etruscan Terracotta Warriors),並成功賣給紐約的大都會博物館。

伊特拉斯坎文化位於義大利,年代早於羅馬帝國,歷史應該超過 2000 年,可是雕像狀態太好,有人懷疑是假的。1960 年代費歐拉凡提(Alfredo Fioravanti)出面承認,他當初協助兩兄弟造假。

一群當年世界頂尖的專家,散發滿身的權威感,架勢十足地檢視皮爾當人,卻沒人察覺這批「化石」是徹徹底底的偽物。圖/John Cooke 作於 1915 年

皮爾當人

前幾起贗品案都無傷大雅,但是皮爾當人(Piltdown Man)深深地傷害學術。它可謂人類演化研究史上,最大的造假醜聞。

1912 年,名字和達爾文(Charles Darwin)有點像的英國業餘研究者道森(Charles Dawson)宣稱,在薩塞克斯發現古人類的化石,引發一陣轟動。他在 1915 年又宣布找到化石,這批化石後來合稱「皮爾當人」。

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當時一些學者認為,皮爾當人可以填補演化史上,人與猿的缺失環節。英國出土的化石,也支持大英帝國在人類演化史上的地位。業餘人士道森一心想躋身上流,加入英國皇家學會,最終卻沒有如願,在 1916 年去世。

一直有人懷疑皮爾當人的真實性。終於在 1953 年證實皮爾當人分別具有人與猿的特徵,根本是因為皮爾當人不是一個人,而是由猿和人的骨頭拼裝而成。

偽造的伽利略手稿。圖/密西根大學

伽利略手稿

美國的密西根大學 1934 年購入一份「伽利略手稿」,據說是伽利略本人 1609 年的手筆。造假兼打假專家威爾丁(Nick Wilding)在 2022 年 8 月證實,那是假的。決定性的證據來自紙張上的 BMO 水印,它要等到 1770 年才出現,遠遠晚於伽利略的年代。

推測這份假貨來自造假名人尼可查(Tobia Nicotra),他在 1930 年代復刻哥倫布、莫札特、林肯等等名人,製作超過 600 件贗品。

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偽造的維京人文蘭地圖。圖/耶魯大學

維京人的文蘭地圖

有些贗品花費數十年破解,有些則一開始就知道是假的,後來再漸漸補足證據。就像某些偵探故事,一開始就知道誰是兇手,後來才釐清作案過程,可謂證明題。

美國的耶魯大學 1960 年代取得一份 15 世紀地圖,上頭繪有文蘭(Vinland),也就是維京人在美洲的殖民地。幾乎一開始就判斷這份地圖是假的,不過做證明題也有意思,圍繞其衍伸出有趣的議題。現在知道,此圖字體不符合年代以外,使用墨水含有天然的鈦,證實這是晚於 1920 年代的字跡。

至於維京人是否曾經抵達美洲?1960 年代在這份贗品地圖出現不久後,考古學家於加拿大東北部的紐芬蘭,尋獲蘭塞奧茲牧草地遺址(L’Anse aux Meadows),證實維京人確實在美洲留下足跡。只是文蘭在哪裡,仍是謎題。

參考資料

  1. Why Did They Do It? Six Archaeological Forgeries and the People Behind Them
  2. Analysis unlocks secret of the Vinland Map — it’s a fake

本文亦刊載於作者部落格《盲眼的尼安德塔石匠》暨其 facebook 同名專頁

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寒波_96
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生命科學碩士、文學與電影愛好者、戳樂黨員,主要興趣為演化,希望把好東西介紹給大家。部落格《盲眼的尼安德塔石器匠》、同名粉絲團《盲眼的尼安德塔石器匠》。

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花了三百年才證明的世紀難題:費馬的最後定理
數感實驗室_96
・2019/08/17 ・2551字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 538 ・八年級

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數感實驗室/朱倍玉

如果有人突然問你: \(  a^{2}+b^{2=} \)? 台灣學生大概像膝反射一樣,自然而然地答出 \( c^{2} \)

直角三角形,直角的兩鄰邊長的平方和等於斜邊長的平方。這是人人都熟悉的畢氏定理,也是百年數學之謎「費馬最後定理」的一部分。

費馬提出的世紀難題

費馬的本業是律師,但因為熱衷數學研究而被譽為業餘數學王子。圖/wikipedia

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費馬(Pierre de Fermat)是 17 世紀的一名律師,數學是他業餘的興趣,當時與他書信往來的包括了笛卡爾、帕斯卡、惠更斯等歷史上知名的數學家。雖然費馬本業跟數學天差地遠,但他相繼提出微積分、機率論與數論的研究,在數學界的貢獻不輸職業數學家,也因此獲得「業餘數學家王子」的封號。

研究《算數》(Arithmetica)這本書時,費馬在書的空白處寫下「\(  a^{n}+b^{n}=c^{n} \),當 \(  n>2  \) 時無正整數解」,並且用拉丁文留下一句話「我發現了一個極為美妙的證明,可是空白處太小所以沒寫下來」。

短短一條小學生就能理解的式子,再加上一句話,卻讓後世的數學家們花了足足三百年,直到 1995 年才由懷爾斯(Andrew John Wiles)教授完成證明,而這項證明,被稱為上個世紀的大任務。

(2019/8/20) 編按:原文提及費馬定理時敘述為「無解」,實為「無正整數解」,特此更正。

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懷爾斯在費馬的出生地前留影,其後是「費馬猜想」的雕刻。圖/wikipedia

立志要趁早,十歲許願解題的懷爾斯

這個世紀大任務的起點是懷爾斯 10 歲那年。他在圖書館翻閱一本講述費馬最後定理歷史的書,當時,他便對費馬留下來的難題產生濃厚興趣。在其他人才正要認識三角形的年紀,懷爾斯已經下定決心要解決這道流傳百年的難題。正好,又提供大家一個立志要及早的偉人例證。

跟很多成就大事的人一樣,懷爾斯在研究費馬最後定理的過程並非一帆風順。他踏入數學界的時期,正好是數學界準備放棄費馬最後定理的時候。大多數學家認為費馬最後定理無法證明,紛紛轉往其他領域。懷爾斯的指導教授也不例外,要懷爾斯放棄夢想,別白忙一場。也因此除了夢想外,他同時開始研究橢圓曲線註1這個領域。

然而事實上在更早以前,日本數學家谷山豐和志村五郎提出「谷山-志村猜想」,他們認為橢圓曲線與「模形式」註2可能有關聯。但是,橢圓曲線或是它與模形式的關聯跟費馬最後定理有什麼關係呢?1985 年,德國數學家佛列(Gerhard Frey)將谷山-志村猜想與費馬最後定理連結,他認為谷山-志村猜想可能可以協助完成費馬最後定理的證明。

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後來,法國數學家賽爾(Jean-Pierre Serre)、美國數學家里貝特(Ken Ribet)也投入研究。他們發現只要證明出谷山-志村猜想就可以完成費馬最後定理的證明,才再次啟動懷爾斯的世紀難題證明之路。

卡茲協助懷爾斯完成證明費馬最後定理的最後一哩路。圖/wikipedia

於是,長達 7 年的時間,懷爾斯致力於研究谷山-志村猜想與費馬最後定理,他也找來另一位數學教授卡茲(Nicholas Katz)加入研究。懷爾斯是一個很低調的人,為了避免引起眾人的懷疑與關注,他在學校開設新課程,好讓卡茲協助他找到證明費馬最後定理所需要的最後一項工具──類數公式註3

由於懷爾斯從未說明開課目的,也沒向學生解釋這個公式將幫助他們通往費馬最後定理,只是不停地證明,難度相當高,搞到最後台下聽眾就只剩下卡茲。不久後,懷爾斯正式完成所有證明。他選擇在劍橋大學舉辦三場研討會,對外宣稱研討會的內容討論的是橢圓曲線和模形式,完全沒提到費馬最後定理。

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當時有些謠言,這場研討會似乎有更勁爆的突破要發生,許多學者因此前來。研討會上,懷爾斯從橢圓曲線、模形式,一路證明到費馬最後定理,帶給台下聽眾滿滿的驚喜。隔天報章雜誌上,到處都在報導世紀難題已經解決的喜訊。

Diophantus-II-8-Fermat
儘管過程如此曲折,世紀難題終究還是從未竟之謎的名單中消除了。圖/wikipedia

以為解開了嗎?過程曲折離奇

然而「福兮,禍之所伏」,驚喜後面還藏了一個巨大的驚嚇。當懷爾斯的證明手稿進入審查階段,卡茲與懷爾斯反覆驗證時,他們找到一處先前完全沒發現的錯誤。

人們尖銳地檢視著懷爾斯的失誤,漫天的喜訊瞬間化成毫無遮掩的嘲諷。懷爾斯接受訪問時也表達,在備受矚目的狀態下進行研究並不是他的風格。他把自己關在書桌前,試圖解決這個錯誤,然而不論怎麼做都沒辦法突破。

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就在陷入絕望之際,他偶然在桌邊看到一份關於「岩澤理論」的論文。一時靈光乍現,他運用了岩澤理論來化解掉原先證明的錯誤,完成證明。1995 年,世紀難題才正式從未竟之謎的名單中消除。

「或許,我能給出關於我研究數學的歷程最貼切的描述,就是進入一棟大房子。當一個人開始探索第一個全黑的房間時,裡頭一片漆黑,他會在家具中邊跌倒邊摸索。漸漸地知道家具的位置。六個月後,你會找到開關並且打開燈。開燈的那一瞬間,整個房間被光線壟罩,你終於,能清楚地看見你站在哪裡」

——懷爾斯(Andrew John Wiles)

BBC拍攝了一部關於破解費馬最後定理的紀錄片,這段話正是懷爾斯在片頭的開場白。

破解費馬最後定理的世紀任務就像是完成一場接力式的拔河比賽,仰賴歷史上許多數學家的一臂之力,更需要在時間的沖刷與眾人的關注下承擔壓力的決心。從這個例子我們也可以看到,數學不是計算,更不是算得快就叫數學好。它是思考與邏輯,能讓許多人投入一生也樂此不疲的遊戲。

今年的 8 月 17 日,正好是費馬的 418 歲生日,特別寫這段費馬留給後人的禮物來祝他生日快樂!

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註釋:

  1. 橢圓曲線(Elliptic Curve)是二元三次曲線的一種形式,其圖形並非橢圓,而是圓環狀。
  2. 模形式(Modular forms)是具有極複雜對稱性的複數平面函數。
  3. 類數公式(Class number formula)與環的有限序列有關。

資料來源:

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數感實驗室_96
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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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為什麼A4的紙張邊長比是根號2呢?──《數學好有事》
PanSci_96
・2018/05/10 ・2567字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 591 ・九年級

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圖/wikipedia

學校教過的數學課程中最讓人印象深刻的,可能是畢氏定理

這個定理是:取一直角三角形,以直角的兩邊(股)為邊長各畫一正方形,則這兩個正方形的面積總和,會等於第三邊(斜邊)畫出的正方形面積。邊長為 a 的正方形,√2面積是 a×a = a²。如果這個直角三角形的邊長為 a、b、c,且 c 是最長邊,那麼畢氏定理得出的結果是:

a²+ b² = c²

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從這個漂亮的結果,你可以算出各種東西,包括正方形的對角線長等。正方形的對角線加上兩邊,就構成了直角三角形,如果正方形的邊長為 1,由畢氏定理可知:

1² + 1² = 2 = d²

這表示對角線的長度 d 等於√2,也就是自乘結果等於 2 的數。

圖/wikipedia

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讓人有點尷尬的√2

除非你已經發覺√2有點難定出精確的數值,否則這個數沒什麼大不了的。如果拿 1.5 自乘,會得到 2.25,比 2大很多;改用 1.4,則得到 1.96,又變得太小。(1.41)2 = 1.9881,還是太小,但(1.42)2 = 2.0164 又會超過 2。

看起來無計可施,事實上也的確辦不到。√2是無理數,意思是無法寫出它所有的位數:完整的小數展開式是無窮盡的,而且沒有不斷重複出現的數字模式。

√2前面 20 位是:

1.4142135623730950488

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發現無理數,可能招來殺身之禍

圖/wikipedia

簡單的正方形對角線,無意間產生了一個性質極為有趣的數。但事實上,畢達哥拉斯(Pythagoras)的門徒不太高興。畢達哥拉斯學派是西元前五世紀活躍於克羅頓(Croton,現今的義大利)的祕密幫派,除了奉行素食主義以及不吃豆類之外,他們把求知尊為道德健全生活的基石。數學是畢氏哲學的核心:據說 mathematics(數學,意為「所學習的」)及 philosophy(哲學,意為「愛好智慧」)這兩個詞是畢達哥拉斯所創,據傳,「萬物皆數」是他的座右銘。

問題是,畢氏學派所指的「數」只有整數及整數之比,也就是 ½、¼、¾ 等分數。無理數沒辦法寫成分數;事實上,這正是定義無理數的方式(如果你熟悉長除法,就可以自行驗證,任何一個分數都能表示成有限小數或循環小數)。

希帕索斯。圖/wikipedia

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希帕索斯(Hippasus of Metapontum)發現有些數(譬如√2)可能是無理數,他也是畢氏學派的一員,根據(相當隱晦的)歷史證據顯示,他因此受到嚴厲的懲罰:在海上沉船淹死。應該沒幾個人因為區區一個數而丟了性命吧?

無理但不悖理

證明√2是無理數的標準證法,是數學上經常使用的論證形式的重要範例,也就是歸謬法。要證明某件事(比方說√2是無理數),你必須先做相反的假設(√2可以寫成分數),如果之後推算出矛盾的結果,就能斷定你原先的假設一定是錯的,也就證明你最初的陳述(√2是無理數)必定為真。

這是很自然的推理方法,舉例來說,你假設管家殺了人,但如此一來,管家必須同一時間出現在兩個地方,這顯然說不通,那麼你就能推論原先的假設必定是錯的,而管家是清白的。歸謬法是數學的支柱,但也可能產生令人驚訝的結果。你將在第 3 章看到更多的例子。

希帕索斯的發現只是巨大冰山的一角。隨便取一小段數線,不管多小段,都有無窮多個無理數。那些能寫成分數的有理數,可以依序排列並賦予 1、2、3 等標籤,但無理數實在太多了,根本沒辦法用同樣的方式來區隔。你在數線上隨意一戳,碰到無理數的機率是 1,而碰到有理數的機率是 0。因此就數字而言,畢氏學派完全錯了。

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√2可以是好事

假如畢氏學派知道無理數多麼有用,大概就不會因為有人發現無理數而這麼不高興了。幾乎每天都會用到的例子是紙張。歐洲採用的標準紙張尺寸 A5、A4、A3 等,有個非常棒的特點,就是將兩張同尺寸的紙並排起來,即能拼成大一級的尺寸,譬如兩張A4紙能拼成一張 A3。且小一級紙張寬度(W)的兩倍,等於大一級紙張的長度,而小一級紙張的長度(L)等於大一級紙張的寬度。

A 系列紙張大小。source:Wikipedia

所有尺寸的紙張,長寬比都是一樣的,也就是:

可以改寫成:

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意思就是:

A 系列紙張的正字標記就是每張紙的長寬比均為 √2。

為什麼這很有用?如果你希望影印機能夠把原稿縮小(或放大)一級影印,就需要此系列紙張的各個尺寸有同樣的長寬比。假如長寬比不同,縮小影印後周圍就會多出白邊。兩張同尺寸的A系列紙張可並排成大一級的紙張,代表不管你想把兩張A4還是一張A3縮小一級,都可以採用同樣的縮小倍率。

影印機還會自動計算。如果你要縮小,影印機提供的倍率是 70%,有時候是 71%,把這些數字寫成小數(70 或 71 除以 100),結果是 0.7 及 0.71,兩個數都非常接近:

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這個縮小倍率,正是把一張 A3(或兩張 A4)縮小到一張 A4所需要的比例。原紙張的長度 L 與寬度 W 會縮小到 L/√2 及 W/√2,這表示新紙張的面積會變成:

就是原來的一半,且因長寬比維持不變,所以能把原來的紙張剛好縮小到 A4 的尺寸。

放大影印也是同樣的道理。影印機提供的放大倍率是 140% 或 141%,對應的數字很接近,所以可以把一張A4 放大到 A3 的尺寸。


BOX:證明√2是無理數

假設 √2 = m/n,其中的整數 m 與 n 沒有公因數(除了 1,沒有其他數可同時整除 m 和 n)。

於是:2 = m²/n²,因此:2n² = m²。

這表示 m2是偶數,m 也是偶數,因為奇數的平方永遠是奇數。所以, m 可以寫成 2k,而 k 是某個正整數。把上式中的 m 換成 2k,就得到:2n2 = m2 = 4k2

除以 2,就是:n2 = 2k2

所以 n2 也是偶數,n 也是偶數,但這產生了矛盾,因為我們一開始假設 m 與 n 沒有公因數。因此,√2不能寫成 m/n,即為無理數。

本文摘自《數學好有事》,麥田出版

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PanSci_96
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