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忽略數學家的建議,物理學家與諾貝爾獎擦身而過——《科學大師的失誤》

時報出版_96
・2021/04/29 ・3459字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 505 ・六年級
  • 作者 / 楊建鄴

我們已經改造了數學,下一步是改造物理學,再往下就是化學。──希爾伯特(David Hilbert,1862−1943)

1925 年到 1926 年,在物理學中出現了一件「怪事」,讓幾乎所有的物理學家都感到困惑。一件什麼樣的怪事呢?原來,當時世界上最頂尖的物理學家都在集中精力思考電子到底如何運動。他們都發現,想利用經典物理學的辦法去克服探索中的困難,無異於像唐.吉訶德用他那支破矛去攻擊堅實的磨坊一樣,是註定會落個頭破血流、遍體鱗傷的。一批年輕的物理學家如玻恩、海森堡、包立(Wolfgang Pauli,1900−1958,1945 年獲得諾貝爾物理學獎)等人,都越來越傾向於相信物理學的基礎必須從根本上改變,應該建立起一種新的力學,即「量子力學」。這個新的名詞是玻恩在 1924 年發表於德國《物理雜誌》上一篇文章中首次提出的。但量子力學到底是什麼樣的呢?當時誰也不清楚。

當年,沒有科學家全盤了解何謂量子力學。圖/GIPHY

為了新力學的誕生,物理學家們真可謂廢寢忘食、嘔心瀝血。1925 年春天,兩位對量子力學將作出重大貢獻的物理學家都病倒了。一位是海森堡,另一位是薛丁格。海森堡被花粉折磨得無法工作,他的導師玻恩破例給他放了假,還建議他到地處北海的黑爾戈蘭島上去休息,那兒怪石嶙峋,大約不會有什麼花粉折磨他。恰好這時薛丁格也因肺病在阿爾卑斯山上寧靜的阿羅紮木村休養。一個在島上,一個在山上,都想遠離喧囂的城市,讓自己的頭腦清醒一下,以便再次投入緊張的思考。美國作家梭羅(H. D. Thoreau,1817−1862)說得好:太陽,風雨,夏天,冬天……大自然的不可描寫的純潔和恩惠,它們永遠提供這麼多的健康,這麼多的歡樂!

左圖為海森堡,右圖為薛丁格。圖/Wikipedia 1, 2

寧靜而清新的北海!寧靜而清新的阿爾卑斯山!它們不僅為兩位物理學家帶來了健康、歡樂,而且還奇異地誘發了他們的靈感,使他們的思想得到了昇華!於是,「奇蹟」降臨了。說是奇蹟,實在不誇張,因為他們兩人幾乎從完全對立的概念出發,得到了各自偉大的發現。兩人的發現在表現上完全對立,但又都能自洽地解釋微觀粒子的運動!

海森堡認為,量子的不連續性是最本質的現實,以這一思想為基點,他認為描述微觀粒子運動的力學,應該像愛因斯坦建立相對論那樣,以「可觀測量」作為基點,不可觀測的量如軌跡等,不予考慮。但是,牛頓力學一直是以考慮連續量為己任,用的是微積分;現在考慮的物件是不連續的量,那麼該使用什麼樣的數學工具才行呢?海森堡當時只有 24 歲,真可謂「明知山有虎,偏向虎山行」,「落在鬼手裡,不怕見閻王」!他決定自己去闖出一條路,尋找適當的數學形式和方法來描述微觀粒子運動。他的數學老師玻恩曾驚歎地說:這個外行雖然不知道適合他的用途的數學分支,可是一旦需要,他就能給自己創建適用的數學方法。這個外行該是多大的天才啊!

有一天晚上,他用自己發明的方法計算到凌晨 3 點鐘。奇蹟出現了!他發現自己很可能取得了突破性的進展。他後來回憶這天凌晨的激動情形時說:一天晚上,我就要確定能量表中的各項,也就是我們今天所說的能量矩陣,用的是現在人們會認為是很笨拙的計算方法。計算出來的第一項與能量守恆原理相當吻合。我十分興奮,而後我犯了一些計算錯誤。但後來在凌晨 3 點鐘的時候,計算的結果都能滿足能量守恆原理,於是,我不再懷疑我所計算的那種量子力學具有數學上的連貫性與一致性了。我感到極度驚訝,我已經透過原子現象的外表,看到了異常美麗的內部結構。當我想到大自然如此慷慨地將珍貴的數學結構展現在我眼前時,我幾乎陶醉了。我太興奮了,以致不能入睡。天剛濛濛亮,我就走到了這個島的南端,以前我一直嚮往著在這裡爬上一塊突出於大海之中的岩石。我現在沒有任何困難就攀登上去了,並等待著太陽的升起。

但是海森堡心中還有一個沒有解開的疑團,讓他「非常不安」。這是因為在他的數學方案中,將兩個可觀測量(如頻率、強度……)A 和 B 相乘時,A、B 不能交換,即 AB≠BA。這顯然與我們熟知的乘法交換律不符(如 2×3=3×2),這點「異常」幾乎使海森堡喪失了信心。他沒有料到,正是 AB≠BA 中,潛藏著微觀世界中極為重要的一個規律。

幸虧後來玻恩知道了,並告訴海森堡他用的數學方法在數學中叫「矩陣代數」。於是在玻恩的幫助下,海森堡終於建立起微觀世界的力學──矩陣力學

在波恩的幫助下,海森堡建立了量子力學。圖/Pexles

正在這時,又出了一件怪事。在阿爾卑斯山上日漸康復的薛丁格,在強調微觀粒子波動性(波動性強調的連續性!)的基礎上,提出了鼎鼎大名的「薛丁格方程式」。這是一個描述波動的微分方程式,借助於它薛丁格也成功地描述了微觀粒子的運動。由於波動方程式是物理學家十分熟悉的數學工具,而且薛丁格方程式強調的是連續性思想,這使得絕大部分物理學家感到欣慰、振奮,甚至認為物理學終於得救,從此不再需要那些不連續性的勞什子了!

1926 年春天,海森堡得知薛丁格的波動力學以後,極度震驚且困惑。為什麼兩人對同一事物的看法會如此不同呢?打個比方說,面對同一景色,在海森堡看來是險峰峭壁(量子躍遷);而薛丁格看到的卻是起伏平緩的丘陵地(物質波)。其實這並不奇怪,正如中國著名詩人蘇軾在一首詩中所說:橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同。不識廬山真面目,只緣身在此山中。

可惜海森堡、玻恩以及薛丁格都未能參悟這種天機,卻各執一端,相互攻擊對方的理論。

海森堡寫信給薛丁格說:

「我越是思考你那理論的物理意義,我越感到對你的理論不滿,甚至感到厭惡。」

薛丁格也毫不留情地回敬說:

「我要是對你的理論不感到厭惡,至少會感到沮喪。」

當物理學界都感到莫衷一是、極度迷惘時,當薛丁格和海森堡兩人相互指責、爭論不休時,在哥廷根的希爾伯特卻頗有幾分得意地哈哈大笑起來,並且調侃地說:

「你們這些物理學家呀,誰讓你們不聽我的話?早聽了我的話,豈不省卻了如今這場麻煩嗎?」

玻恩和海森堡聽了這句話,不由倒吸幾口涼氣,而且後悔不迭;但其他人聽了卻莫名其妙,還以為希爾伯特又在裝神弄鬼,故作驚人之語。因為希爾伯特素有這種小愛好,說些沒來由的話讓人摸不著頭緒。

為什麼玻恩和海森堡兩人後悔不迭呢?原來當矩陣力學剛剛由海森堡提出來的時候,他們兩人曾專門向希爾伯特請教過有關矩陣代數運算方面的問題。希爾伯特是大數學家,曾對矩陣代數有過專門研究。他說:

「根據我的經驗,每當我在計算中遇到矩陣時,它們多半是作為波動微分方程式的特徵值出現的。因此,你們那個矩陣也應該對應一個波動方程式,你們如果找到了那個波動方程式,矩陣也許就很容易對付了。」

遺憾的是,這兩位物理學家都犯了一個致命的錯誤,那就是他們沒有認真聽取希爾伯特的勸告,去找出「那個波動方程式」,還以為希爾伯特根本不懂量子力學,在那兒胡說八道。結果,薛丁格找到了這個波動方程式,還得了諾貝爾物理學獎。如果他們兩人虛心一點,認真向希爾伯特深入討教一下,詳細瞭解一下希爾伯特的數學思想,那麼,在物理學中薛丁格方程式就可能不會出現,出現的將是「玻恩–海森堡方程式」了!而且還會早半年出現!這就難怪希爾伯特看見物理學家們那副吃驚而窘迫的模樣時,不由得哈哈大笑起來!

玻恩和海森堡由於自己缺心眼而失去這一寶貴發現的機會,真是後悔不迭了!

如果玻恩和海森堡聽取希爾伯特的勸告,去找出「那個波動方程式」,那麼,在物理學中薛丁格方程式就可能不會出現,出現的將是「玻恩–海森堡方程式」了!圖/GIPHY
——本文摘自《科學大師的失誤》,2021年4月,時報出版。

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為什麼吃甜的會蛀牙?——《生活中的東西都可以寫成化學式》

快樂文化
・2022/05/09 ・1404字 ・閱讀時間約 2 分鐘

來談談我們的敵人——蛀牙。

蛀牙的化學物語

導致蛀牙的主要原因有兩個。前面提過的蛀牙菌是其中一個因素,而蛀牙菌具體的名稱為「轉糖鏈球菌」,據說這種細菌常在孩童約三歲以前經由大人傳染,原因包括使用父母用過的筷子和湯匙,或輪流喝飲料等;另一個因素就是食物中所含的糖分,主要成分為「蔗糖」。

這兩個因素結合在一起時,就會發生以下情況:首先,轉糖鏈球菌利用蔗糖製造一種稱為「葡聚糖」的分子。葡聚糖的化學式為(C6H10O5)n,後面會再詳細說明。葡聚糖附著在牙齒表面,會成為轉糖鏈球菌的棲息地。此外,口腔中的其他細菌(根據統計,口腔中的細菌有 600 多種)也會混入其中。

這些附著在牙齒上的組合物稱為「牙菌斑」,有時也被稱為「齒垢」或「生物膜」(biofilm,又稱菌膜)。你可能在牙膏等的廣告中有聽過這些名詞。

之後,獲得棲息地的轉糖鏈球菌會產生大量的「酸」,引發去礦質作用,最終導致蛀牙。這個過程如下列所示。

轉糖鏈球菌生活在溫暖的葡聚糖裡,並分解出乳酸;事實上它們也會分解出醋酸,及一種稱為甲酸(HCOOH)的酸,但乳酸所佔的比例較高。這些酸會引發強烈的去礦質作用,溶解牙齒並造成蛀牙。

在這種情況發生前,必須好好刷牙,以澈底清除黏附在牙齒上的牙菌斑(葡聚糖+細菌)!即使是漱口,具黏性的牙菌斑也不易脫落,最有效的方法還是好好刷牙。而牙膏中含有研磨劑(可幫助去除汙垢的顆粒),能有效去除黏黏的牙菌斑。

不易蛀牙的甜食

上個單元我們說明了糖是如何引起蛀牙的。事實上也有一些分子的味道就和糖一樣甜,但卻不太容易引起蛀牙,其中最有名的分子之一就是「木糖醇」,你可能有聽過加了木糖醇的口香糖吧!這個分子的化學式為 C5H12O5,詳細的結構如下圖。

為什麼木糖醇味道甜甜的,卻不容易引起蛀牙呢?在回答這個問題前,我們先回想一下為什麼蔗糖(糖)會導致蛀牙。蔗糖是轉糖鏈球菌用來製造葡聚糖的材料,而反應過程中產生的果糖,會被轉糖鏈球菌做為養分來源,並分解出乳酸分子。

那木糖醇呢?首先木糖醇不像蔗糖是製造葡聚糖的材料,另外轉糖鏈球菌不會把木糖醇當成養分來源,所以也不會分解出乳酸。因此它們的味道雖然很甜,但卻不容易引起蛀牙。

這裡出現了一個問題。木糖醇和蔗糖的結構看來截然不同,但為什麼味道也是甜甜的呢?若像下圖一樣,稍微改變一下木糖醇的畫法,就會發現它的結構與構成蔗糖的葡萄糖和果糖很像,具有許多羥基這點也非常相似。

——本文摘自《生活中的東西都可以寫成化學式》,2021 年 11 月,快樂文化


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