結合哈柏太空望遠鏡（Hubble Space Telescope）和史匹哲太空望遠鏡（Spitzer Space Telescope）資料後，天文學家利用天然的「太空放大鏡」發現一個新星系，距離超過現在已知的任何星系，距離地球約133億光年，相當於為在大霹靂後僅約4億2000萬年左右的時期中誕生，締造一個最遠星系新記錄，也提供天文學家一個窺視宇宙幼年期的機會。

太空望遠鏡科學研究所（Space Telescope Science Institute）Marc Postman領導的哈柏星系團重力透鏡與超新星巡天計畫（Cluster Lensing And Supernova Survey with Hubble，CLASH），經由星系團龐大質量所產生的重力場，讓星系團背後遙遠的星系被這個天然放大鏡偏折而聚光，這才讓這個遙遠而黯淡的背景星系亮到足以偵測到的地步。這就是所謂的重力透鏡（ gravitational lensing）效應，是天然的太空放大鏡。

這個締造新記錄的最遠星系編號為MACS0647-JD，由於非常遙遠，而且遠比銀河系小得多，因此在觀測影像中看起只是一個黯淡的光點，好在有MACS J0647+7015星系團的重力透鏡效應幫忙，在MACS J0647+7015周圍形成數道光弧，Postman等人才能發覺它的存在。星系團MACS J0647+7015距離地球約80億光年，其龐大質量所產生的重力效應，讓背景星系MACS0647-JD的光弧比原本的亮度分別增加了8倍、7倍和2倍之多。

位在宇宙幼年期的MACS0647-JD星系是個所謂的矮星系，直徑不到600光年。天文學家先前曾針對近一點的星系所做的觀測分析，一般典型的星系在與MACS0647-JD相同年齡時，直徑一般在2,000光年左右。拿銀河系衛星星系之一的大麥哲倫星系（Large Magellanic Cloud）來比較，這個矮星系的直徑也有14,000光年之多；更遑論我們銀河系多達約150,000光年直徑的大小。由此可見，MACS0647-JD真的是個非常小的星系；Postman等人認為，MACS0647-JD很可能就是建造現代星系的基石，經由數十、數百甚至數千次這些小星系的合併，最終才能成就出像銀河系這樣的大型星系。

這個巡天計畫，是利用哈柏3號廣角行星相機（Wide Field Camera 3，WFC3），配合從近紫外到近紅外的17個濾鏡進行觀測。團隊成員之一的Dan Coe於2012年2月在彙整哈柏CLASH巡天觀測17個星系團所得的數千個重力透鏡天體星表時，注意到僅有其中2個最紅的濾鏡出現MACS0647-JD，這意味這個天體很「紅」，代表要不是它所發出的光只落在紅外波段，即所謂的「紅色天體（red object）」，那麼就是個極遙遠的天體，以致於它因宇宙膨脹導致紅位移到波長極長的波段中。

從CLASH觀測，在MACS J0647+7015星系團周圍，總共偵測到8個被MACS J0647+7015星系團重力透鏡聚光的遙遠背景星系。從這些遙遠星系的光弧的亮度和位置，研究人員可藉此重建MACS J0647+7015星系團的質量分佈圖；MACS J0647+7015星系團的質量絕大部分是本質未知的暗物質（dark matter）；暗物質雖不可見，但仍能從它與一般物質之間的重力交互作用而得知它們的存在。

分析結果顯示：這個星系團的質量分佈狀況，讓MACS0647-JD在MACS J0647+7015星系團周圍總共產生三道重力透鏡影像，經過數個月的系統性分析處理，排除其他可以解釋這個天體的可能成因，例如紅色恆星、棕矮星或紅色星系（red galaxies，比較古老或含塵量較多的星系）等，最終才能確認MACS0647-JD是個非常遙遠的星系，紅移值（redshift）高達11，是迄今為止觀測到紅移值最高的。

受到宇宙膨脹而使原本發出的紫外光被紅移到紅外波段，因此這些研究學者決定利用在紅外波段相當靈敏的史匹哲太空望遠鏡來做後續觀測。如果這個天體本質就是紅色天體，發出的光本來就集中在紅外波段，那麼它在史匹哲的影像中應該會相當明亮；相對地，如果這個天體在紅外波段也是勉強能偵測到，顯示它是個非常遙遠的天體。這些研究學者計畫利用史匹哲進行更深入的觀測，希冀能藉此估計出這個星系的的年齡和含塵量。

然而，MACS0647-JD星系可能太遠，遠到現今世上沒有任何望遠鏡和儀器能確認其距離。Coe等人是根據這個遙遠星系的獨特顏色和以前的研究所知，以外差方式估算出MACS0647-JD星系的大概距離，且哈柏影像中的3個重力透鏡影像都符合這個距離估算。

MACS0647-JD這個最遠星系新冠軍，是CLASH巡天計畫發現的第2個遙遠星系；CLASH巡天計畫在今年初時，發現一個約在大霹靂後4億9000萬年的遙遠星系，盤據了最遠星系冠軍位置之後，終被僅早它7000萬年的MACS0647-JD星系給踢下冠軍寶座。CLASH巡天計畫預定要觀測25個大質量星系團，目前已完成其中20個星系團的觀測工作。這個研究團隊預期未來還會在宇宙幼年期裡發現更多矮星系；如果在宇宙幼年期裡，矮星系數量繁多，那麼它們很可能就是讓氫霧被再游離（re-ionization），使宇宙變得透明的功臣。

資料來源：NASA Observatories Find Most Distant Galaxy Candidate. NASA [November 15, 2012]

轉載自 網路天文館

2014 年底一篇新聞報導的題目〈6 分之 1 中小學生學力不及格〉，讓人感覺怵目驚心。還好看完內文之後，才知標題有誤導的嫌疑，其實計算不及格比率的基數並不是全體中小學生。

教育當局實施中小學生補救教學方案，針對各班國文、英文、數學排名倒數 35% 的學生，檢測他們上學年的基本學力，不及格的學生在家長同意下，才得以接受課後的補救教學。如果用全體中小學生為基數來計算，則 35% 的六分之一約為 5.83%。以小學數學而言，施測學生不及格比率如表 26-1。

可以非常明顯的看出，從小學二年級到六年級的數學，原本成績已經在後段的學生裡，不及格人數直線上升達到約四分之一之多。因為小學數學教育對每個人的一生都極端有用，如此的不及格比率是不能接受的。

論學習環境之重要性

小學數學如何有用呢？斯坦（Sherman K. Stein）在《幹嘛學數學？》這本書的第 10 章，報導了美國各行各業需要的數學能力。他參考《職業調查完全手冊》將數學能力分為 6 級，其中第 1、2 級涵蓋小學程度的數學。

以 1992 年美國勞動人力 1 億 2 千 1 百萬來觀察，斯坦發現三分之二的人只需 1、2 級數學程度即可謀生。本來第 10 章的用意在於文末引用美國勞工統計局《職業展望季報》的話：「數學能力愈強的人，不但可以選擇的就業機會愈多，也愈能把工作做好。」但是，從另外一個角度來看，其實恰好凸顯了小學數學對於大多數職工的重要性。

2016 年美國東北大學社會學教授韓德爾（Michael J. Handel）發表論文〈人們上班時做什麼？〉。調查顯示幾乎所有人在工作中都需要用一些基本數學；但是除了計數與四則運算以外，其他數學題材的使用率便會降低。約有三分之二的人需用分數、小數、百分比，有 22% 的人會用層次稍高一些的數學，例如代數。按照韓德爾的分類，歸入低階白領職業的人，使用超過小學程度數學的比率甚至低於 10%。

從這些美國的調查與統計資料可看出，對相當大數量的勞動人口而言，最有用的數學就是小學教的數學。即使他們後來接受了中學的數學教育，那些知識也幾乎派不上用場，只是數學程度高會比較容易通過人才篩選的關卡。

小學數學既然重要，臺灣學生學習的狀況又如何呢？

「國際數學與科學趨勢調查」（Trends in International Mathematics and Science Study，簡稱 TIMSS）每四年舉辦一次，對象為四年級與八年級（國中二年級）學生，目的在瞭解數學與科學領域學習成就的發展趨勢，以及文化背景及教育制度的相關性。臺灣歷屆數學成績排名如表 26-2。

成績穩定名列前茅，看來應該得到喝采。然而 TIMSS 還調查學生喜不喜歡數學、學生對於學習數學的自信，以及學生認為數學有沒有用等等這些涉及學習態度的項目。2019 年的調查中四年級共有 58 個受測單位；八年級共有 39 個受測單位。表 26-3 列出臺灣學生回應負面選項的百分比以及排名。

臺灣小學四年級學生在不喜歡數學與學習沒有自信方面，都是國際平均的兩倍左右。雖然學習成就不錯，但是學習心態不健康，難怪到八年級認為數學無用的人數比例竟然高居國際冠軍。其實歷屆評量中顯現成績與態度的反差，似乎成為臺灣數學教育的常態，如此常態其實是非常令人憂心的一種病態。

因為小學數學教育不像國、高中那樣受到升學的嚴重影響，所以四年級學童負面態度的原因，必須從學習環境去瞭解。臺灣大學數學系翁秉仁教授指出：

「在臺灣，一般家長雖然怕數學，卻很喜歡『干預』小學老師的教學。家長多半覺得自己會小學數學，因此可以『盡一份心』。但是他們干預的方式很簡單，看到孩子不會做習題，就指導學生怎麼算；厲害一點的，更直接把國中方法搬下來，卻不做任何解釋。

問題是，除了數學老師之外的成人，多半覺得數學就是公式和計算，不需要解釋（『反正你這樣算就對了！』）還會因此據理力爭，為小孩向老師爭取分數，造成許多教學困擾。」

除了家長的干預外，不少學生還在補習班接受不斷套公式計算的折磨，後果是抵消了老師正常教學的成效。這種幫倒忙的做法，除了歸咎於把公式背誦等同數學學習，更基本的原因是對於兒童智力發展的欠缺理解。特別是「家長多半覺得自己會小學數學」，而輕忽了其中精微細緻的概念層次。

以色列理工學院教授阿哈羅尼（Ron Aharoni），在離散數學方面的成就國際知名，但他願意花時間去小學教數學以瞭解實況。因為他有高深數學修養，以及研究創新經驗，才能針對小學數學發人所不能發的真知灼見。

在他的書《小學算術教什麼，怎麼教：家長須知，也是教師指南》裡，他說：「我教小學時領悟出來一個道理，就是小學數學一點也不單純，除了美之外還有深度。」換句話說：「小學數學雖然不深奧，但包含智慧；雖然不複雜，卻有深意。」

所以要正確認識小學數學的重要性，首先應該建立對小學數學的虔敬之意。家長及教師具有這種鄭重其事的心態，才能貼近孩童感受他們學習中遭遇的困惑，才能發揮啟蒙嚮導作用，並且從旁鼓舞好奇、探索、精進的士氣。

社會文化影響改革走向

近二十餘年來，教育改革一直是臺灣社會關注的議題，不過民眾對於教改效果似乎貶過於褒。在 1996 年到 2003 年間，小學數學課程標準也出現過強調知識建構的時期，然而因為引起非常大的爭議不得不叫停。據臺灣勤益大學劉柏宏教授的觀察：

「臺灣近幾年對建構式數學的討論與美國『數學戰爭』的某些過程雖不盡相同，但其背後內涵確實有幾分相似之處。不論在數學界或數學教育界，美國的走向都緊緊牽動臺灣的發展。美國『數學戰爭』雖已緩和但尚未結束，而臺灣的課程爭議也還沒落幕。」

美國的「數學戰爭」起源於 1989 年美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）公布的《學校數學課程與評量標準》，其中倡議的中小學數學教育改革方向深受建構主義影響。這套《標準》及根據它所編寫的教科書，受到相當多專業數學家的強烈批評，媒體因而用「數學戰爭」描述雙方論辯的激烈程度。

這場戰爭最終導致《各州共同核心標準》（Common CoreStates Standards，簡稱 CCSS）於 2010 年公布，規範了從幼兒園到高中的數學課程。採用此標準的地方達到 41 州、首都華盛頓，以及 4 個海外領地。CCSS 的數學標準強調聚焦、一貫與嚴謹三原則，既注重概念理解也不輕忽實作應用，整體看來比 NCTM 主導期的課程難度加大。雖然 CCSS 得到專業數學團體的熱烈支持，但是反對的勢力仍然存在，由聯邦經費支持的標準化測驗尤其為人所詬病。

數學內容雖然普世相同，但是數學教育深受社會與文化因素的影響，必然與各國的具體國情有關。像是法國菁英層次與普通民眾之間，包括數學教育在內的很多方面，都存在著巨大鴻溝。

曾經得過菲爾茲獎的法國明星國會議員維拉尼（Cédric Villani）在 2018 年 2 月完成一份報告，認為一般人民接受的數學教育幾近災難。他在 21 條改革建議中，強調了提高中小學數學教師水準的迫切性。類似阿哈羅尼在「以色列人人數學有成就基金會」採取的措施，維拉尼的報告也把新加坡的數學教學做為值得學習的楷模。

英國方面的狀況是教室紀律鬆懈，使用教科書比例低落，因而造成數學學習成效欠佳。2016 年英國政府以四年為期，計劃提撥經費給全英格蘭近半數學校，預計培育 700 名種子教師，還要廣泛向上海、新加坡、香港學習，進行數學教學改革。

為什麼這些國家都要向新加坡學習呢？主要是因為新加坡不僅在 TIMSS 總是名列前茅，在另外一項國際評量 PISA 中也表現出眾。PISA 是《國際學生能力評量計畫》（Programme for International Student Assessment）的簡稱，每三年針對 15 歲學生進行一次跨國評量，藉以瞭解各國學生在「閱讀素養」、「數學素養」與「科學素養」上的能力。

2015 年有 72 個參加評量單位，新加坡在每一素養專案上都獨占鰲頭。2018 年則每項都居第二名，僅輸給從中國取樣的北京、上海、江蘇、浙江組合隊伍。

PISA 評量的目標是各科「素養」，注重理解、應用、解決問題的能力，也是學生進入社會必須具備的能力。評量題目與日常生活相關，同時說明試題的情境，讓學生作答時能把思考與情境聯繫起來。臺灣最新的《十二年國民基本教育課程綱要》，也要著重培養下一代的核心素養，為終身學習奠定基礎與職業生涯發展做好準備，可說是呼應 PISA 引導的教育發展方向。

在注重素養的時代，家長必須先自我教育，才能用正確的觀點、恰當的誘導、健康的態度，協助孩童獲得應有的數學能力。小學教師們也應該加強自我改善的力道，積極參加教師培訓或增能活動，開創書面作業以外的動手實作或身體活動，幫助學生體會出生活周遭處處可發現數學的蹤跡，如此才能使每個人一生最重要的數學教育沒有白白耗費時間與精力。