嗶——超速了!什麼?聲音竟然有「速限」

光速是宇宙的終極速限,任何的物質運動和資訊傳遞都不准超速。不過最近有人做出了最新預測,除了一般物質外,聲音的傳遞速度竟然也有最大上限?

不管是光(電磁波)還是聲音,都是以波動的形式傳播。值得注意的是,波速只會跟系統本身性質(例如:介質不同)有關,一般的繩波或是水面波同樣也是如此,不論震動得多用力或多快,都不會讓波跑的更快或更慢。

我們可以把聲波的傳遞想像成下圖中的彈簧。既然彈簧波的速度可以用彈性係數和彈簧質量來表示,同樣的,聲速應該也可以用某些性質來描述。

可以把聲波的傳遞想像成圖中的彈簧。圖/Shyam Srinivasan

先從聲音的性質說起

聲音在不同材料中傳遞的差異,可以用體積模數(Bulk Modulus,簡寫 B )來表示。體積模數代表物體在面對外部壓力時,會做出多少體積上的改變。數學上可以寫成:

等號左邊是施加的壓力,右邊是體積模數 B 乘上體積變化量占總體積的比率,負號只是習慣,這代表相同壓力下,B 值越大物體越不容易壓縮,和彈簧的 F=-kx 類似。我們知道越「硬」的彈簧反應越快,可以更快地傳遞波動;同樣地,比起在空氣中傳遞,聲速在較難壓縮的液體和固體中會比較快。因此不難看出,B 會與聲速扯上關係,而且 B 值越大聲速越快。

聲波在固體傳播的速度比在空氣中快。圖/giphy

一般來說,聲速可以寫成:

分子就是上面提到的體積模數 B,而分母的材料密度則表示介質越稀疏,聲速越快。國中學過的聲速與溫度成正比便是這個道理,當溫度變高時,空氣體積膨脹,密度變小,因此聲速傳遞更快。

為什麼聲速有上下限?

不過公式中的 B 和材料密度都是需要透過實驗獲得的材料參數,因此很難看出聲速會有什麼上下限。如果要再往前一步,就必須進入微觀的原子尺度。想像兩個同極相斥的磁鐵,彼此互相靠近時,斥力會逐漸變大;這是因為隨著兩個相斥磁鐵逐漸靠近,抵抗靠近的磁力位能會逐漸增加。

當兩個同極磁鐵互相靠近,因抵抗靠近的磁力位能增加,斥力會逐漸變大。圖/giphy

同樣地,當原子間的鍵結能量增加,將兩顆原子拉伸或壓縮的難度會隨之上升,物體也就越不容易被壓縮。也就是說,體積模數 B 正比於單位體積內原子間的鍵結能量,巧合的是,材料密度也能寫成單位體積內的原子質量,於是我們可以將聲速寫成:

一般固態物質中,鍵結能量可由古早的波耳氫原子模型導出,大約是 α2c2me / 2(原子質量),α 是一大串常用的物理常數,c 是光速,me 是電子質量。於是我們在原子尺度的物理圖像中,得到了聲速的新公式:

公式中的英文字母都是常數,唯一重要的是原子質量,原子質量越小的聲速便越快。依照理論,聲速最快的會是原子量=1 的固態氫原子,聲速為 36100m/s 。

聽起來很厲害,實際上真的是如此嗎?

針對一系列不同原子量的固態元素,我們可以看看他們的聲速是否的確符合預期。不過因為 B 的實際值和鍵結種類,晶格結構等複雜因素有關,因此並不會完全落在理論線上,不過整體的趨勢十分吻合。

固態元素中聲速對原子量的對數圖。斜直線為斜率 -0.5 的理論預測,虛線為擬合直線。紅點為原子量=1時的聲速上限。圖/Science advance

有趣的是,如果我們將新的聲速公式移項一下,會發現聲速上限對光速的比率,可以用簡單的物理常數來表示,這點是前人使料未及的。這結果或許不像光速這麼絕對,不過仍然是一次很漂亮的科學推理,也為固態物理的理論與實驗提供了嶄新的發展題材。

參考資料

  1. Trachenko, K., Monserrat, B., Pickard, C. J., & Brazhkin, V. V. (2020). Speed of sound from fundamental physical constants. arXiv preprint arXiv:2004.04818.

TAAi 2020 25th 人工智慧研討會

關於作者

林祉均

清大理工男。不喜歡算數學。喜歡電影、龐克、和翻譯小說。不知道該把科普當興趣還是專長,但總之先做再說。

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