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盪呀盪如何越盪越高?與鞦韆的共振之舞

活躍星系核_96
・2019/07/23 ・4443字 ・閱讀時間約 9 分鐘 ・SR值 491 ・五年級

文/特公盟葉于莉

鞦韆是每個孩子心目中最愛的遊具之一,我的小孩也不例外。我記得她三歲時每到公園,第一個想要玩的便是盪鞦韆,對於當時身高不到 100 公分的小小身軀,上鞦韆不是件容易的事,好不容易把她抱上鞦韆屁股坐穩,一邊叮嚀著手要抓緊緊喔!以為這樣就結束,可以到一邊納涼了嗎?

錯!才拿起手機剛要滑就馬上聽到有人呼喊:「媽媽幫我推!」,只好變成人肉機械手,一推就是好幾個月。眼看孩子又長大了一些,卻還是需要媽媽幫忙推,而她的朋友已經在隔壁的鞦韆自己盪到要飛上天了,我不禁在心裡暗想;一定要趕快讓孩子學會自己盪鞦韆,不然人肉機械手遲早會有廢掉的一天!

照片提供:特公盟

但是到底要怎麼讓她學會自己盪鞦韆呢?想想自己的經驗,不過就是盪出去的時候把腳伸直,往後盪回來時再把腳勾起來,就這麼簡單而已到底有甚麼好說的呢?但是怎麼能夠使擺盪的幅度越來越大?改變姿勢的理由是甚麼?隨意胡亂動也能越盪越高嗎?我決定還是自己先研究清楚再來教小孩吧!

盪鞦韆就是一個單擺系統

盪鞦韆就是一個單擺系統。甚麼是單擺呢?簡單的說,用一條線或繩索固定在一端,在另一端懸掛一重物,就能形成一個基本的單擺。再回頭看看孩子們玩的鞦韆,他們抓得牢牢的那兩條鐵鍊(或繩)不就像是單擺的線?而鞦韆的椅墊或是再加上坐在上面的人,不就剛好形成了另一端的擺錘嗎?

瞭解這一點後我們就可以用鞦韆做個簡單的實驗。我把實驗分成兩部分來操作:

首先先維持鞦韆是沒有人坐的狀態,接著把鞦韆座椅往後拉高到一定的高度(要記住這個高度因為稍後還會需要),把座椅放掉同時計時,然後等座椅盪回到原點時按下結束,我們把這個數字記下。

第二次時把小孩請上座椅,之後的步驟就跟第一個部分一樣(記得兩次高度要一致),我們也把這次碼錶上的數字記下來。

這個數字代表的就是鞦韆的週期,也就是從起始點放開後再盪回原點所經過的時間。最後比較兩個週期會發現,兩次所花費的時間差不多。這是因為單擺的週期在排除空氣阻力的情況下只會受擺長所影響,而鞦韆的擺盪週期會取決於支點到座椅的長度,長度越長週期越長,反之長度越短週期越短。以實際的鞦韆來舉例說明,如果是一架 160 公分高的鞦韆,擺盪一次的時間大約是 2.2 秒,「理想狀態下」我每分鐘要幫小孩推 27 下;換成另一架 220 公分高的鞦韆,擺盪一次的時間約是 2.7 秒,「理想狀態下」每分鐘需要推 22 下。相較之下我當然選需要推的次數較少、手廢掉的可能性較低的高鞦韆啊!

由此可知,每個鞦韆都有其特定的擺盪週期,而週期的倒數等於頻率,因此不同鞦韆也有不同的特定頻率。如果要讓鞦韆越盪越高,我們只要順應著鞦韆的頻率施力,此時鞦韆系統會產生共振,也就能輕易地讓鞦韆盪高。那麼施力的時機到底是甚麼時候呢?最簡單又恰當的時間點是在瞬時速度為 0 的時候,也就是當鞦韆盪至兩端最高處開始落下前,施力方式可以是手順勢推一下,或是在鞦韆上的人自己對系統作功。

如何在鞦韆上越盪越高?

我們都知道如果只是坐在鞦韆上甚麼都不做的話,鞦韆只會維持靜止不動;要動起來,就是要對鞦韆輸入能量。那麼身體動作的改變到底怎麼產生能量?以下將會分別以站姿和坐姿擺盪說明其中的原理。

站姿擺盪

站立盪鞦韆是非常有趣的體驗,只可惜現在能讓孩子站著盪的鞦韆寥寥可數,不是整體高度太低,孩子站著會撞到頭,就是都換成了軟式椅墊,缺少穩固的立足點。

回憶小時候站著盪硬式座椅鞦韆,應該都知道如果要讓鞦韆盪高,在往前盪時膝蓋要微彎蹲低,有的人甚至是完全下蹲,然後盪至最低點時身體再立起。為什麼這樣就能愈盪愈高呢?其實是在蹲下與站立的過程中,鞦韆系統中的質心 (鞦韆座椅與人的質量中心)位置會產生變化。

當鞦韆盪至最低點時速度最大,繩張力 Ta 是重力與向心力的和,人從蹲下轉為站立,會讓質心位置往上移動,重力位能因此增加,而系統的能量也同樣增加;當鞦韆盪至最高點時又把身體蹲低,質心位置因此下移,繩張力 Tb 等於重力的分量 mg cosθ。由上述我們可以得知:Ta > Tb,由於質心上下移動的距離大致相等,系統增加的總能量(也就是 Ta 作功減掉 Tb 作功)會是正的,相當於持續輸入能量而使得鞦韆愈盪愈高。站立盪鞦韆的秘訣就是:在兩端最高處時蹲下,在靠近中間最低點時站起。

圖片繪製:王秀娟

坐姿擺盪

坐姿擺盪的動力來源之一與站立擺盪一樣,也是藉由質心位置的改變,繩張力的正功大於負功來增加系統動能。我們會教孩子:「往前盪出去時身體向後靠、小腿伸直;當盪到前端的最高點時將身體往前傾、小腿向座椅下方勾起」。

圖片繪製:王秀娟

由側面看孩子盪鞦韆,將位置分為左右兩邊高點、中間為最低點。從左邊往下盪時,由後靠轉為前傾的過程產生動作的轉換,盪至中間點時身體趨向打直,此時質心位置往上移動,盪至左右兩側時的動作則會使質心下移,不過與站姿擺盪相較之下,坐姿時質心沿著繩子位移的幅度較小,所產生的動能也比較不明顯,這種作功的方式其實只是輔助。下面即將介紹同樣這幾個動作,對系統的動能還有哪些影響。

圖片繪製:王秀娟

圖中顯示的是從側面看孩子盪鞦韆,用以解釋其中「角動量」的變化。讓我們再次回憶一下盪鞦韆的動作,在往後盪至最高點時身體會往後靠並且腳打直,可以把這個動作想成身體以臀部為中心做逆時針旋轉,身體的旋轉增加了鞦韆此時向前的角動量。相反的,向前盪至最高點時身體前傾小腿下勾,這個動作身體以臀部為中心做順時針旋轉,同時增加了鞦韆向後盪的角動量。整體而言,坐姿盪鞦韆的過程,等於我們擺動身體變化繞著質心旋轉的角動量,從而增加質心繞著鞦韆支點旋轉的角動量。

國外還有學者特別針對盪鞦韆運動作了研究,研究中發現,在盪鞦韆過程中,因為頭部跟腳的動作產生旋轉增加鞦韆的角動量,是主要使鞦韆盪高的能量來源;而通過鞦韆支點的質心隨繩子產生位移,並透過繩拉力作功的動能則是次要的。不過前者會隨著振幅的增加而降低比例,相反的,後者則會稍微增加。1

圖片繪製:王秀娟

盪鞦韆與安全的距離

你有仔細觀察過遊戲場內鞦韆的佔地範圍嗎?如果有的話,你會發現鞦韆通常與其他設施都保有一定的距離,尤其鞦韆前後更要留空,這段留白的範圍與鞦韆架的高度大有關係,鞦韆架高度會影響鞦韆鍊的長度,而鞦韆鍊的長度,又關係著如果小孩想當空中飛人從鞦韆飛出的距離!

以一架高 200 公分,鍊長 160 公分的鞦韆來說,如果小孩從鞦韆的極限高度(與鞦韆架齊高)往前盪,到最低點時瞬間速度最大可以達到每小時 20 公里,同一時間如果手放開向前飛出的距離大約是 162 公分;如果是在最低點過後的中間放開,向前飛出的距離大約離鞦韆是 270 公分;若是在極限高度鬆手,因為瞬時速度是零,大約就是落在比鞦韆鍊長度再多一點的地方。

上述這幾個例子都是以自然落下去計算,但別忘了小孩哪會給你乖乖落下,一定是再加上往前跳的動作。所以在兒童遊戲場設備的法規中明訂,鞦韆的前後需各留有鋪面到鞦韆樞紐的兩倍距離,而且鞦韆架往外向任何方向測量 183 公分都算是它的使用範圍,跟其他遊戲設備的距離也要在 274 公分以上。

盪鞦韆能夠轉一圈嗎?

女兒的朋友運動細胞很強大,盪鞦韆時總是喜歡讓自己飛得比鞦韆架還高,我站在一旁心裡暗想:要是可能的話也許她會轉一圈吧!想像歸想像,但這在現實裡的公園鞦韆是不會發生的,那是因為一旦我們擺盪的弧度達到 180 度,會使得鞦韆鏈條受重力影響而往下墜,再也無法維持一直線,繩張力也因此不能在弧型的最高點處具有垂直分量,換句話說繩子拉不住東西,我們便不能靠繩張力作功讓自己抬升更高了。因此公園的鞦韆是有其極限的。

但請注意,這裡說的不可能轉一圈指的是使用撓性鞦韆練(繩索、鍊條等等)的擺盪。如果鞦韆連接構造是硬質桿狀物(鐵桿、木竿、竹竿等等),再搭配經過特殊設計的鞦韆架本體,鞦韆是有可能轉 360 度變風火輪的喔!

新式鞦韆介紹

鳥巢鞦韆

主要構造是以繩索包覆的環型結構,圓圈內部由繩網交織而成;有的則是整個用塑膠而製成的一個大圓盤。使用者可躺或坐或站在上面。躺或坐的時候比較難施力,尤其邊框愈厚的話就更難以坐姿改變質心位置去提供系統能量,所以通常需要其他人幫忙推,或是以站姿擺盪對系統做功。

如果是以站立的方式,可以把腳放在圓圈上以鞦韆架為中心的前後兩側,盪至最高點時將高點那側的膝蓋彎曲,同時身體也向同一側壓低,至低點時身體打直讓質心上移,如此反覆便可讓鞦韆擺盪。也可以試試雙腳踩在同一側像踩硬板鞦韆的方式,但重心要拿捏否則容易往一邊傾斜!

照片提供:特公盟

擺盪大索(Rope-end swing)

由數條粗繩索交錯集合構成一條更粗的大繩索,形成供站立或跨坐的主體結構,兩側以同樣間距設有數條鋼索與鞦韆架上方相連,由側面看過去,孩子彷彿騎在龍身上。有人可能會覺得疑惑:「這也算鞦韆嗎?」其實它相當於把好幾個鞦韆以前後的方式串連在一起,等於是一個前後加長型的鞦韆,而且還能以面對面的方式乘坐,孩子在上面遊戲的同時可以一邊看著朋友或爸媽,樂趣無窮。

乘坐時雙腳分開跨坐在大索上,擺盪方式如同在鞦韆上一樣,往後盪至最高點時將背部向後靠並將腿伸直使質心移動,接著向前盪時逐漸恢復姿勢,至往前最高處時身體前傾腳回勾。另外也可以雙腳一前一後以站姿擺盪:在前後最高點時彎曲膝蓋壓低身體,在最低點抬起身體改變質心位置便可帶動鞦韆。

不過你會發現通常都是站在最前端跟最末端的孩子最賣力,這是因為在這兩端力矩最大,比較好施力的結果也使得大索能擺蕩的幅度最高,中間的人就好好坐著享受速度快感,也是挺不錯的選擇!

照片提供:特公盟

作者介紹:

  • 特公盟(還我特色公園行動聯盟)
    為了推廣多元特色的兒童遊戲空間,讓孩子能在專屬自己的空間中長成自己,特公盟這一群認真自學的媽爸及成員,除了把相關的法條和 CNS 國家標準中相關規定研究透徹,還進一步開始解構剖析設計相關各種細節,讓每一位公民參與的親子,都能成為兒童遊戲空間的專家。
  • 葉于莉
    大學化工系畢業後,卻以電腦工程師踏入職場,但仍心繫生物、動物學及化學等領域。成為全職媽媽後,轉而全心投入孩子,一天 24 小時相處下來,發現孩子可以不吃但不能不玩,原來遊戲對其身心發展無比重要,於是加入特公盟一起爭取兒童遊戲權、翻轉兒童遊戲場。

參考資料:

  1. Auke A. Post, Gert de Groot, Andreas Daffertshofer, and Peter J. Beek. (2007). Pumping a Playground Swing. Human Kinetics Journals, 11, 136-150.
  2. CNS 12642:20116 A1043, 8.6 鞦韆

文章難易度
活躍星系核_96
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活躍星系核(active galactic nucleus, AGN)是一類中央核區活動性很強的河外星系。這些星系比普通星系活躍,在從無線電波到伽瑪射線的全波段裡都發出很強的電磁輻射。 本帳號發表來自各方的投稿。附有資料出處的科學好文,都歡迎你來投稿喔。 Email: contact@pansci.asia


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什麼是「造父變星」?標準燭光如何幫助人類量測天體距離?——天文學中的距離(四)

CASE PRESS_96
・2021/10/22 ・3033字 ・閱讀時間約 6 分鐘
  • 撰文|許世穎

「造父」是周穆王的專屬司機,也是現在「趙」姓的始祖。以它為名的「造父變星」則是標準燭光的一種,讓我們可以量測外星系的距離。這幫助哈柏發現了宇宙膨脹,大大開拓了人們對宇宙的視野。然而發現這件事情的天文學家勒梅特卻沒有獲得她該有的榮譽。

宇宙中的距離指引:標準燭光

經過了三篇文章的鋪陳以後,我們終於要離開銀河系,開始量測銀河系以外的星系距離。在前作<天有多大?宇宙中的距離(3)—「人口普查」>中,介紹了距離和亮度的關係。想像一支燃燒中、正在發光的蠟燭。距離愈遠,發出來的光照射到的範圍就愈大,看起來就會愈暗。

我們把「所有發射出來的光」稱為「光度」,而用「亮度」來描述實際上看到的亮暗程度,而它們之間的關係就是平方反比。一旦我們知道一支蠟燭的光度,再搭配我們看到的亮度,很自然地就可以推算出這支蠟燭所在區域的距離。

舉例來說,我們可以在台北望遠鏡觀測金門上的某支路燈亮度。如果能夠找到到那支路燈的規格書,得知這支路燈的光度,就可以用亮度、光度來得到這支路燈的距離。如果英國倫敦也安裝了這支路燈,那我們也可以用一樣的方法來得知倫敦離我們有多遠。

我們把「知道光度的天體」稱為「標準燭光(Standard Candle)」。可是下一個問題馬上就來了:我們哪知道誰是標準燭光啊?經過許多的研究、推論、歸納、計算等方法,我們還是可以去「猜」出一些標準燭光的候選。接下來,我們就來實際認識一個最著名的標準燭光吧!

「造父」與「造父變星」

「造父」是中國的星官之一。傳說中,「造父」原本是五帝之一「顓頊」的後代。根據《史記‧本紀‧秦本紀》記載:造父很會駕車,因此當了西周天子周穆王的專屬司機。後來徐偃王叛亂,造父駕車載周穆王火速回城平亂。平亂後,周穆王把「趙城」(現在的中國山西省洪洞縣一帶)封給造父,而後造父就把他的姓氏就從本來地「嬴」改成了「趙」。因此,造父可是趙姓的始祖呢!(《史記‧本紀‧秦本紀》:造父以善御幸於周繆王……徐偃王作亂,造父為繆王御,長驅歸周,一日千里以救亂。繆王以趙城封造父,造父族由此為趙氏。)

圖一:危宿敦煌星圖。造父在最上方。圖片來源/參考資料 2

回到星官「造父」上。造父是「北方七宿」中「危宿」的一員(圖一),位於西洋星座中的「仙王座(Cepheus)」。一共有五顆恆星(造父一到造父五),清代的星表《儀象考成》又加了另外五顆(造父增一到造父增五)。[3]

英籍荷蘭裔天文學家約翰‧古德利克(John Goodricke,1764-1786)幼年因為發燒而失聰,也無法說話。1784 年古德利克(John Goodricke,1764-1786)發現「造父一」的光度會變化,代表它是一顆「變星(Variable)」。2 年後,年僅 22 歲的他就當選了英國皇家學會的會員。卻在 2 週後就就不幸因病去世。[4]

造父一這顆變星的星等在 3.48 至 4.73 間週期性地變化,變化週期大約是 5.36 天(圖二)。經由後人持續的觀測,發現了更多不同的變星。其中一群變星的性質(週期、光譜類型、質量……等)與造父一接近,因此將這一類變星統稱為「造父變星(Cepheid Variable)」。[5]

圖二:造父一的亮度變化圖。橫軸可以看成時間,縱軸可以看成亮度。圖片來源:ThomasK Vbg [5]

勒維特定律:週光關係

時間接著來到 1893 年,年僅 25 歲的亨麗埃塔‧勒維特(Henrietta Leavitt,1868-1921)她在哈佛大學天文台的工作。當時的哈佛天文台台長愛德華‧皮克林(Edward Pickering,1846-1919)為了減少人事開銷,將負責計算的男性職員換成了女性(當時的薪資只有男性的一半)。[6]

這些「哈佛計算員(Harvard computers)」(圖三)的工作就是將已經拍攝好的感光板拿來分析、計算、紀錄等。這些計算員們在狹小的空間中分析龐大的天文數據,然而薪資卻比當時一般文書工作來的低。以勒維特來說,她的薪資是時薪 0.3 美元。順帶一提,這相當於現在時薪 9 美元左右,約略是台灣最低時薪的 1.5 倍。[6][7][8]

圖三:哈佛計算員。左三為勒維特。圖片來源:參考資料 9

勒維特接到的目標是「變星」,工作就是量測、記錄那些感光板上變星的亮度 。她在麥哲倫星雲中標示了上千個變星,包含了 47 顆造父變星。從這些造父變星的數據中她注意到:這些造父變星的亮度變化週期與它們的平均亮度有關!愈亮的造父變星,變化的週期就愈久。麥哲倫星雲離地球的距離並不遠,可以利用視差法量測出距離。用距離把亮度還原成光度以後,就能得到一個「光度與週期」的關係(圖四),稱為「週光關係(Period-luminosity relation)」,又稱為「勒維特定律(Leavitt’s Law)」。藉由週光關係,搭配觀測到的造父變星變化週期,就能得知它的平均光度,能把它當作一支標準燭光![6][8][10]

圖四:造父變星的週光關係。縱軸為平均光度,橫軸是週期。光度愈大,週期就愈久。圖片來源:NASA [11]

從「造父變星」與「宇宙膨脹」

發現造父變星的週光關係的數年後,埃德溫‧哈柏(Edwin Hubble,1889-1953)就在 M31 仙女座大星系中也發現了造父變星(圖五)。數個世紀以來,人們普遍認為 M31 只是銀河系中的一個天體。但在哈柏觀測造父變星之後才發現, M31 的距離遠遠遠遠超出銀河系的大小,最終確認了 M31 是一個獨立於銀河系之外的星系,也更進一步開拓了人類對宇宙尺度的想像。後來哈柏利用造父變星,得到了愈來愈多、愈來愈遠的星系距離。發現距離我們愈遠的星系,就以愈快的速度遠離我們。從中得到了「宇宙膨脹」的結論。[10]

圖五:M31 仙女座大星系裡的造父變星亮度隨時間改變。圖片來源:NASA/ESA/STSci/AURA/Hubble Heritage Team [1]

造父變星作為量測銀河系外星系距離的重要工具,然而勒維特卻沒有獲得該有的榮耀與待遇。當時的週光關係甚至是時任天文台的台長自己掛名發表的,而勒維特只作為一個「負責準備工作」的角色出現在該論文的第一句話。哈柏自己曾數度表示勒維特應受頒諾貝爾獎。1925 年,諾貝爾獎的評選委員之一打算將她列入提名,才得知勒維特已經因為癌症逝世了三年,由於諾貝爾獎原則上不會頒給逝世的學者,勒維特再也無法獲得這個該屬於她的殊榮。[12]

本系列其它文章:

天有多大?宇宙中的距離(1)—從地球到太陽
天有多大?宇宙中的距離(2)—從太陽到鄰近恆星
天有多大?宇宙中的距離(3)—「人口普查」
天有多大?宇宙中的距離(4)—造父變星

參考資料:

[1] Astronomy / Meet Henrietta Leavitt, the woman who gave us a universal ruler
[2] wiki / 危宿敦煌星圖
[3] wiki / 造父 (星官)
[4] wiki / John Goodricke
[5] wiki / Classical Cepheid variable
[6] wiki / Henrietta Swan Leavitt
[7] Inflation Calculator
[8] aavso / Henrietta Leavitt – Celebrating the Forgotten Astronomer
[9] wiki / Harvard Computers
[10] wiki / Period-luminosity relation
[11] Universe Today / What are Cepheid Variables?
[12] Mile Markers to the Galaxies

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CASE的全名是 Center for the Advancement of Science Education,也就是台灣大學科學教育發展中心。創立於2008年10月,成立的宗旨是透過台大的自然科學學術資源,奠立全國基礎科學教育的優質文化與環境。
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