《超越時空，「度」過回家的路》——2019數感盃 / 高中職組專題報導類銀獎

• 作者／賴昭正｜前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

我擔心人工智慧可能會完全取代人類。如果人們能設計電腦病毒，那麼就會有人設計出能夠自我改進和複製的人工智慧。 這將是一種超越人類的新生命形式。

——史蒂芬．霍金（Stephen Hawking）　英國理論物理學家

大約在八十年前，當第一台數位計算機出現時，一些電腦科學家便一直致力於讓機器具有像人類一樣的智慧；但七十年後，還是沒有機器能夠可靠地提供人類程度的語言或影像辨識功能。誰又想到「人工智慧」（Artificial Intelligent，簡稱 AI）的能力最近十年突然起飛，在許多（所有？）領域的測試中擊敗了人類，正在改變各個領域——包括假新聞的製造與散佈——的生態。

圖形處理單元（graphic process unit，簡稱 GPU）是這場「人工智慧」革命中的最大助手。它的興起使得九年前還是個小公司的 Nvidia（英偉達）股票從每股不到 $5，上升到今天（5 月 24 日）每股超過 $1000（註一）的全世界第三大公司，其創辦人（之一）兼首席執行官、出生於台南的黃仁勳（Jenson Huang）也一躍成為全世界排名 20 內的大富豪、台灣家喻戶曉的名人！可是多少人了解圖形處理單元是什麼嗎？到底是時勢造英雄，還是英雄造時勢？

在回答這問題之前，筆者得先聲明筆者不是學電腦的，因此在這裡所能談的只是與電腦設計細節無關的基本原理。筆者認為將原理轉成實用工具是專家的事，不是我們外行人需要了解的；但作為一位現在的知識分子或公民，了解基本原理則是必備的條件：例如了解「能量不滅定律」就可以不用仔細分析，即可判斷永動機是騙人的；又如現在可攜帶型冷氣機充斥市面上，它們不用往室外排廢熱氣，就可以提供屋內冷氣，讀者買嗎？

CPU 與 GPU

不管是大型電腦或個人電腦都需具有「中央處理單元」（central process unit，簡稱 CPU）。CPU 是電腦的「腦」，其電子電路負責處理所有軟體正確運作所需的所有任務，如算術、邏輯、控制、輸入和輸出操作等等。雖然早期的設計即可以讓一個指令同時做兩、三件不同的工作；但為了簡單化，我們在這裡所談的工作將只是執行算術和邏輯運算的工作（arithmetic and logic unit，簡稱 ALU），如將兩個數加在一起。在這一簡化的定義下，CPU 在任何一個時刻均只能執行一件工作而已。

在個人電腦剛出現只能用於一般事物的處理時，CPU 均能非常勝任地完成任務。但電腦圖形和動畫的出現帶來了第一批運算密集型工作負載後，CPU 開始顯示心有餘而力不足：例如電玩動畫需要應用程式處理數以萬計的像素（pixel），每個像素都有自己的顏色、光強度、和運動等, 使得 CPU 根本沒辦法在短時間內完成這些工作。於是出現了主機板上之「顯示插卡」來支援補助 CPU。

1999 年，英偉達將其一「具有集成變換、照明、三角形設定／裁剪、和透過應用程式從模型產生二維或三維影像的單晶片處理器」（註二）定位為「世界上第一款 GPU」，「GPU」這一名詞於焉誕生。不像 CPU，GPU 可以在同一個時刻執行許多算術和邏輯運算的工作，快速地完成圖形和動畫的變化。

依序計算和平行計算

一部電腦 CPU 如何計算 7×5+6/3 呢？因每一時刻只能做一件事，所以其步驟為：

• 計算 7×5；
• 計算 6/3；
• 將結果相加。

總共需要 3 個運算時間。但如果我們有兩個 CPU 呢？很多工作便可以同時（平行）進行：

• 同時計算 7×5 及 6/3；
• 將結果相加。

只需要 2 個運算時間,比單獨的 CPU 減少了一個。這看起來好像沒節省多少時間，但如果我們有 16 對 a×b 要相加呢？單獨的 CPU 需要 31 個運算的時間（16 個 × 的運算時間及 15 個 + 的運算時間），而有 16 個小 CPU 的 GPU 則只需要 5 個運算的時間（1 個 × 的運算時間及 4 個 + 的運算時間）！

現在就讓我們來看看為什麼稱 GPU 為「圖形」處理單元。圖一左圖《我愛科學》一書擺斜了，如何將它擺正成右圖呢？ 一句話：「將整個圖逆時針方向旋轉 θ 即可」。但因為左圖是由上百萬個像素點（座標 x, y）組成的，所以這句簡單的話可讓 CPU 忙得不亦樂乎了：每一點的座標都必須做如下的轉換

x’ = x cosθ + y sinθ

y’ = -x sinθ+ y cosθ

即每一點均需要做四個 × 及兩個 + 的運算！如果每一運算需要 10^-6 秒，那麼讓《我愛科學》一書做個簡單的角度旋轉，便需要 6 秒，這豈是電動玩具畫面變化所能接受的？

人類的許多發明都是基於需要的關係，因此電腦硬件設計家便開始思考：這些點轉換都是獨立的，為什麼我們不讓它們同時進行（平行運算，parallel processing）呢？於是專門用來處理「圖形」的處理單元出現了——就是我們現在所知的 GPU。如果一個 GPU 可以同時處理 10⁶ 運算，那上圖的轉換只需 10^-6 秒鐘！

GPU 的興起

GPU 可分成兩種：

• 整合式圖形「卡」（integrated graphics）是內建於 CPU 中的 GPU，所以不是插卡，它與 CPU 共享系統記憶體，沒有單獨的記憶體組來儲存圖形／視訊，主要用於大部分的個人電腦及筆記型電腦上；早期英特爾（Intel）因為不讓插卡 GPU 侵蝕主機的地盤，在這方面的研發佔領先的地位，約佔 68% 的市場。
• 獨立顯示卡（discrete graphics）有不與 CPU 共享的自己專用內存；由於與處理器晶片分離，它會消耗更多電量並產生大量熱量；然而，也正是因為有自己的記憶體來源和電源，它可以比整合式顯示卡提供更高的效能。

2007 年，英偉達發布了可以在獨立 GPU 上進行平行處理的軟體層後，科學家發現獨立 GPU 不但能夠快速處理圖形變化，在需要大量計算才能實現特定結果的任務上也非常有效，因此開啟了為計算密集型的實用題目編寫 GPU 程式的領域。如今獨立 GPU 的應用範圍已遠遠超出當初圖形處理，不但擴大到醫學影像和地震成像等之複雜圖像和影片編輯及視覺化，也應用於駕駛、導航、天氣預報、大資料庫分析、機器學習、人工智慧、加密貨幣挖礦、及分子動力學模擬（註三）等其它領域。獨立 GPU 已成為人工智慧生態系統中不可或缺的一部分，正在改變我們的生活方式及許多行業的遊戲規則。英特爾在這方面發展較遲，遠遠落在英偉達（80%）及超微半導體公司（Advance Micro Devices Inc.，19%，註四）之後，大約只有 1% 的市場。

事實上現在的中央處理單元也不再是真正的「單元」，而是如圖二可含有多個可以同時處理運算的核心（core）單元。GPU 犧牲大量快取和控制單元以獲得更多的處理核心，因此其核心功能不如 CPU 核心強大，但它們能同時高速執行大量相同的指令，在平行運算中發揮強大作用。現在電腦通常具有 2 到 64 個核心；GPU 則具有上千、甚至上萬的核心。

結論

我們一看到《我愛科學》這本書，不需要一點一點地從左上到右下慢慢掃描,即可瞬間知道它上面有書名、出版社等，也知道它擺斜了。這種「平行運作」的能力不僅限於視覺，它也延伸到其它感官和認知功能。例如筆者在清華大學授課時常犯的一個毛病是：嘴巴在講，腦筋思考已經不知往前跑了多少公里，常常為了追趕而越講越快，將不少學生拋到腦後！這不表示筆者聰明，因為研究人員發現我們的大腦具有同時處理和解釋大量感官輸入的能力。

人工智慧是一種讓電腦或機器能夠模擬人類智慧和解決問題能力的科技，因此必須如人腦一樣能同時並行地處理許多資料。學過矩陣（matrix）的讀者應該知道，如果用矩陣和向量（vector）表達，上面所談到之座標轉換將是非常簡潔的（註五）。而矩陣和向量計算正是機器學習（machine learning）演算法的基礎！也正是獨立圖形處理單元最強大的功能所在！因此我們可以了解為什麼 GPU 會成為人工智慧開發的基石：它們的架構就是充分利用並行處理，來快速執行多個操作，進行訓練電腦或機器以人腦之思考與學習的方式處理資料——稱為「深度學習」（deep learning）。

黃仁勳在 5 月 22 日的發布業績新聞上謂：「下一次工業革命已經開始了：企業界和各國正與英偉達合作，將價值數萬億美元的傳統資料中心轉變為加速運算及新型資料中心——人工智慧工廠——以生產新商品『人工智慧』。人工智慧將為每個產業帶來顯著的生產力提升，幫助企業降低成本和提高能源效率，同時擴大收入機會。」

附錄

人工智慧的實用例子：下面一段是微軟的「copilot」代書、谷歌的「translate」代譯之「one paragraph summary of GPU and AI」。讀完後，讀者是不是認為筆者該退休了？

GPU（圖形處理單元）和 AI（人工智慧）之間的協同作用徹底改變了高效能運算領域。GPU 具有平行處理能力，特別適合人工智慧和機器學習所需的複雜資料密集運算。這導致了影像和視訊處理等領域的重大進步，使自動駕駛和臉部辨識等技術變得更加高效和可靠。NVIDIA 開發的平行運算平台 CUDA 進一步提高了 GPU 的效率，使開發人員能夠透過將人工智慧問題分解為更小的、可管理的、可同時處理的任務來解決這些問題。這不僅加快了人工智慧研究的步伐，而且使其更具成本效益，因為 GPU 可以在很短的時間內執行與多個 CPU 相同的任務。隨著人工智慧的不斷發展，GPU 的角色可能會變得更加不可或缺，推動各產業的創新和新的可能性。大腦透過神經元網路實現這一目標，這些神經元網路可以獨立但有凝聚力地工作，使我們能夠執行複雜的任務，例如駕駛、導航、觀察交通信號、聽音樂並同時規劃我們的路線。此外，研究表明，與非人類動物相比，人類大腦具有更多平行通路，這表明我們的神經處理具有更高的複雜性。這個複雜的系統證明了我們認知功能的卓越適應性和效率。我們可以一邊和朋友聊天一邊走在街上，一邊聽音樂一邊做飯，或一邊聽講座一邊做筆記。人工智慧是模擬人類腦神經網路的科技，因此必須能同時並行地來處理許多資料。研究人員發現了人腦通訊網路具有一個在獼猴或小鼠中未觀察獨特特徵：透過多個並行路徑傳輸訊息,因此具有令人難以置信的多任務處理能力。

註解

（註一）當讀者看到此篇文章時，其股票已一股換十股，現在每一股約在 $100 左右。

（註二）組裝或升級過個人電腦的讀者或許還記得「英偉達精視 256」（GeForce 256）插卡吧?

（註三）筆者於 1984 年離開清華大學到 IBM 時，就是參加了被認為全世界使用電腦時間最多的量子化學家、IBM「院士（fellow）」Enrico Clementi 的團隊：因為當時英偉達還未有可以在 GPU 上進行平行處理的軟體層，我們只能自己寫軟體將 8 台中型電腦（非 IBM 品牌！）與一大型電腦連接來做平行運算，進行分子動力學模擬等的科學研究。如果晚生 30 年或許就不會那麼辛苦了?

（註四）補助個人電腦用的 GPU 品牌到 2000 年時只剩下兩大主導廠商：英偉達及 ATI（Array Technology Inc.）。後者是出生於香港之四位中國人於 1985 年在加拿大安大略省成立，2006 年被超微半導體公司收購，品牌於 2010 年被淘汰。超微半導體公司於 2014 年 10 月提升台南出生之蘇姿豐（Lisa Tzwu-Fang Su）博士為執行長後，股票從每股 $4 左右，上升到今天每股超過 $160，其市值已經是英特爾的兩倍，完全擺脫了在後者陰影下求生存的小眾玩家角色，正在挑戰英偉達的 GPU 市場。順便一題：超微半導體公司現任總裁（兼 AI 策略負責人）為出生於台北的彭明博（Victor Peng）；與黃仁勳及蘇姿豐一樣，也是小時候就隨父母親移居到美國。

（註五）或。

延伸閱讀

• 「熱力學與能源利用」，《科學月刊》，1982 年 3 月號；收集於《我愛科學》（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版），轉載於「嘉義市政府全球資訊網」。
• 「網路安全技術與比特幣」，《科學月刊》，2020 年 11 月號；轉載於「善科教育基金會」的《科技大補帖》專欄。

• 作者：蔡亦翔、吳柏均、蔡孝綸 / 國立新竹科學園區實驗高級中等學校

「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2021 數感盃青少年寫作競賽／高中組專題報導類佳作之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

「閃啊閃啊閃啊～撞到不負責啦！」經典台詞搭配上一台平凡的警用腳踏車，兩津勘吉總是如此爽朗的在動畫中登場。

以他為主角連載了數十年的動漫「烏龍派出所」想必大家都不陌生，也是你我兒時的共同記憶。這部動漫講述的是日本龜有公園前派出所的警察——兩津勘吉爆笑的生活故事，在長達 200 本單行卷、300 多集動畫的情節中，我們尤其對兩津他那百毒不侵的身體以及超乎常人的力量感到印象深刻。

而在劇中和他最形影不離的，就非他的那台警用腳踏車莫屬了，它除了是兩津追捕犯人時的得力助手之外，還在好幾次重要劇情中扮演了幫助他完成任務的關鍵角色，被兩津稱為「我的愛車——千鳥」。

每當我們欽佩於主角又再一次解決危機時，也不免被兩津運用這台腳踏車所發揮出的力量所震懾。

在烏龍派出所動畫的最終回特別篇中，這台腳踏車便是使東京都免於炸彈威脅的關鍵幫手。當大家對爆炸範圍為方圓 500 公尺、再兩分鐘就要爆炸的炸彈包不知所措時，兩津勘吉想到，只要將其帶到高度 634 公尺的東京最高地標「晴空塔」上投擲出去引爆，便能拯救東京都。

看著兩津背負著如此重大的使命，運用這台老夥伴奮力一搏，飛馳騎上晴空塔那近乎垂直的樑柱， 讓炸彈得以在時限內於高空中引爆，而不致於波及地面，真是令人替他捏了一把冷汗！雖然說以兩津在動畫中種種異於常人的表現來看，騎上晴空塔對他來說也不是難事，但現實中一般人可沒有他那種神力，因此我們便對於兩個問題感到好奇：

1. 若是現實中有一位沒有這般神力的兩津，那他需要在如何的環境條件幫助下，才能像動畫中一樣騎著腳踏車衝上晴空塔呢？ 
2. 在動畫中兩津騎上晴空塔時的速度為多少呢？ 

 首先來解決第一個疑問：要有多強的風才能像兩津一樣貼在塔上？

根據我們以往所學，要讓人連同整台腳踏車附著在牆面上不致於掉落，需要有足夠的正向力才行（圖二）。而這個正向力有很多種類，由於晴空塔壁面與地面的傾斜角度大到近乎垂直，正向力無法以重力的分量提供，因此我們假設現實中有一固定方向的「風力」存在，將人穩穩地壓在牆上。

至於要如何求出風力，則要用以下公式： 

ｆ＝μ F（式一）

我們可藉由摩擦力 f 及摩擦係數 μ 求出風力 F。由於並無打滑，代表其靜力平衡，f 摩擦力會等於重力 W，因此摩擦力 f 由重量求出，透過查詢資料得知，兩津的重量為 71kgw，普通的腳踏車平均重量則為 13kgw，總重力為 84 × 9.8 = 823.2 牛頓，靜摩擦力亦為 823.2 牛頓。

經由查詢資料，得出「橡膠」對上「鋼」的摩擦係數為 0.8 之後，代回式(一)可得到正向力 F 為 823.2/0.8 = 1029.75 牛頓。因此，可得出結論：現實中必須在有約 1030 牛頓的風力時，才能夠使普通人兩津穩穩地貼著晴空塔的表面往上騎。 

而求得風力後，為了換算為當時環境所需的風速，需要用到風力強度公式：F = 1/2p × v² × A

而要計算風速，除了風力強度公式外，還必須考慮接觸表面積，而由（圖三）騎上晴空塔時的影像，得出所需要計算的部分有：前輪的前半部、後輪的後半部、兩津的後腦杓及背部。

利用公式 BSA(m²) = { [ Height(cm) × Body Weight(kg) ] / 3600 }^1/2 ，以動畫中作者設定兩津的身高和體重，得出兩津身體的總表面積約為 1.8 平方公尺。而以成年人來說，背部表面積約佔全身的 18%，而後腦杓則約佔 4.5%，表面積總和約為 0.405 平方公尺。

藉由其身高與站立時的身體比例，可等比例求得上軀幹長（頭頂到腰帶）與腰寬。而兩津勘吉的腳踏車輪胎大小可以藉由騎車時的影像等比例推算求得，直徑約為 55.02 公分，輪胎寬度則約為 6.79 公分。車輪暴露在風下的總表面積為：6.79 × 55.02 × π/2 = 586.53 平方公分，約是 0.059 平方公尺。詳細比例參見下圖(四)、(五)、(六)。

將兩津身體曝露在風下的表面積與腳踏車暴露在風下的表面積相加，約為 0.464 平方公 尺。再藉由資料，查得空氣密度 p 為 1.225 公斤/立方公尺，代入式(二)得到： F = 1030 = 1/2 × 1.225 × v² × 0.464

求出的風速 v 約為 60.2 公尺/秒，由圖(七)可得知，這相當於蒲福式風級的十七級風，是強烈颱風以上的等級。由此進一步下結論：在當地風速約為十七級風時，普通人的兩津才能夠穩定的貼在晴空塔上不會打滑。 

在求得可以穩定附著在晴空塔的環境因素後，接下來討論第二個問題：兩津在塔上要騎多快才來得及丟掉炸彈？

由晴空塔官方網站得知，晴空塔高 634 公尺，而晴空塔的底部為正三角形，每邊 68 公尺，因此算出外心距離為 \( 68\sqrt{3}/3 \) 公尺，騎上去的樑柱與地面的角度 tanθ = 16.18，約為 86.5 度，綜合以上可以計算出總距離約為 635.2 公尺。詳細計算參考圖(八)、(九)。 

根據動畫顯示，兩津騎到第 1 展望台時炸彈還剩 60 秒引爆，而兩津從到達最頂端到爆炸這之中過了 24 秒，故可得出兩津從第 1 展望台到最頂端花了 36 秒。由兩津騎腳踏車 284.4 公尺的距離花了 36 秒，可求得速度為 7.9 公尺/秒，相當於 28.4 公里／小時。以一般人在平地騎這種非公路車來說，這個速度已經算頗快了，何況兩津可是在近乎垂直的樑柱上騎到這種速度呢！

就算今天現實中有足夠的風力把我們壓在樑柱上不掉下去，但在要克服向下重力的情況下達到這種速度，也幾乎是也只有兩津才做得到吧，實在太厲害了！

在完結篇的最後，兩津勘吉雖然超乎常理以他的自行車「千鳥」在近乎垂直的角度下騎上東京晴空塔，並成功在時間限制內騎到頂端，使炸彈爆炸時減少對東京都城區的危害，但因為炸彈包卡在手上沒有成功丟出去而喪失了性命（雖然最後還是復活了）。

當他在決定騎上晴空塔時說過一句話：「如果搭乘晴空塔的電梯就太慢了！」但是我們對此有些疑問，根據晴空塔官方的資料，電梯速度為 10 公尺／秒，而兩津的騎車速度為 7.9 公尺／秒，若搭乘晴空塔電梯到觀景台後再騎車上去，到達頂端後應該還可以有多出幾秒時間可以讓他重新將炸彈包丟到更遠的地方，故事也將因此改寫。

發現這個矛盾後，我們感到有些好笑，不免想要像大原所長一樣向他吼出：「兩津，你這個大笨蛋！」 

在觀賞動漫的途中，不仿試著以物理學來分析其中的情景，遇到難以置信的片段，不知道在現實中能否達成時，保持疑問的態度，嘗試解釋其合理的過程，最終推理出結果。這樣將平時所學運用在生活中，不僅讓那些知識變得更平易近人，也增進了我們的思考能力。

雖說有時會遇到常理無法解釋的片段，或許就只有在動漫中才能實現。但也不要認為動漫都不切實際而不值一顧，像烏龍派出所中儘管有許多超現實的劇情片段，但也因為有了這些部分，才賦予了其主角兩津勘吉的人格形象，也讓這部作品在動漫界中獨樹一幟。

一路走來我們看到兩津飛天遁地、出生入死，為了保護所愛之人不顧一切，情緒也不免隨之變的熱血沸騰， 並在腦海中留下了許多美好的回憶，這也就是這部動漫帶給我們的深遠影響吧！ 

引註資料

1. Material Contact Properties Table

2. 維基百科：兩津勘吉的外貌體格

3. 維基百科：空氣密度

4. 維基百科：蒲福氏風級

5. 東京晴空塔官網

• 作者：王姵予、林嘉瑜、謝宇彤 / 國立新竹女子高級中學

「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2021 數感盃青少年寫作競賽／高中組專題報導類佳作之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

一、研究動機 

羅德．達爾充滿想像力的故事使他在兒童文學居於執牛耳的地位，其中查理與旺卡先生的冒險故事，更是他經典的代表作。他們乘坐的神奇升降梯，堪比 Space X 的回收火箭，竟然能夠毫髮無傷地回到地球。因此，我們想利用數學計算，把羅德．達爾的想像力，幻化成未來科技無限的可能。 

二、研究目的 

（一）設法以現有數據求得升降機的基本物理量 

（二）神奇玻璃升降梯究竟能夠耐多高的溫度、有多大的變形，才能安全帶他們回到地球

（三）升降梯要怎麼從終端速度減速（及緩衝），才能安全降落 

三、故事簡介 

在查理全家人都搭上升降梯後，旺卡先生要帶著他們回到巧克力工廠。要這麼做，旺卡先生打算在自家工廠的屋頂上再撞出一個洞，為了獲得足夠的位能，他駕駛著升降梯不斷地爬升， 意外的是，旺卡先生一不小心，讓升降梯飛到了外太空！ 

四、研究過程 

→ 統一符號： 

（一）求得升降機的基本物理量 

1. 推算這座升降機的玻璃質量 

(1) 求升降機的表面積

◉ 升降機高度估算（含與不含屋頂） :

再根據繪者所畫的升降機作為比例尺，我們測量出喬治外公與升降機不含屋頂與含屋頂時的高度。

接著，我們會由喬治外公的身高分別推算出升降機不含屋頂以及包含屋頂時的高度。 以下為計算過程：

7 : 10 = 179.75 : 256.79（升降機不含屋頂時的高度）

3.5 : 4.7 = 256.79 : 344.83（升降機含屋頂時的高度）

◉ 底面積估算：

根據泛科學：

∵ 以雅各布人口估計法（廣泛使用於人口集聚等調查）得  \( \frac{3}{10000} \) 人／平方公分為參考

又 ∵ king size bed 為 150cm × 200cm

∴ 底面積 = 5 × 10000/3 + 150 × 200 ≈ 16666.67 + 30000 = 46666.67cm²

◉ 上方角椎側面積估算：

由升降機的以上兩個高度的差，求得角錐地的高為 344.83 – 256.79 = 88.04cm

∵ 高度（88.04cm）及 1/2 的升降機寬（216.02 × 1/2 = 86.845）

∴ 畢氏定理可得，角錐側面三角形的高為  \( \sqrt{88.04^{2}+86.845^{2}}\approx 123.67cm \)

由升降機底面積可得，底面正方形的邊長為  \( \sqrt{46666.67}\approx 216.02cm \)

又 ∴ 角錐側面積 = 216.02 × 123.67 × 1/2 × 4 = 53430.39cm²

◉ 下方長方體側面積估算：

∵ 已知高為 256.79 且底面周長為 216.02 × 4 = 864.08cm

∴ 長方體側面積 = 256.79 × 864.08 = 221887.1cm²

升降機的表面積 = 46666.67 + 53430.39 + 221887.1 = 321984.16cm²

(2)求玻璃整體的體積

∵ 一般玻璃規格最厚的厚度為 1.5cm

∴ 玻璃整體體積 = 321984.16 × 1.5 = 482976.24cm³

(3)換算為質量

∵ 一般玻璃密度為 0.0025kg / cm³

∴ 玻璃整體質量 = 482976.24 × 0.0025 = 1207.44kg

2. 推算所有人的質量

∵ 書中沒有每位角色準確身高體重的數據

∴ 我們調查了飾演過不同角色的演員，並合理推估 BMI 算出相對應的體重

正常 BMI 取範圍中間值，而過輕用符合值計算。（巴克一家是低收入戶，在家中的老人小孩每天只有一碗包心菜湯，因此除了兩位相對健壯成年人外，皆以過輕推算。）

∴ 人的總質量為 444.29kg + 升降機玻璃質量 1207.44kg = 1651.73kg

3. 推算升降機整體體積 

(1) 角錐體積

正四角錐體積 = 1/3 × 底邊² × 角錐高 = 1/3 × 216.02² × 88.04 = 1369511.21cm³

(2) 長方體體積

長方體體積 = 底邊² × 高 = 216.02² × 256.79 = 4108533.63（底面積被設為正方形）

(3) 總體積

總體積 = 角錐體積 + 長方體體積 = 1369511.21 + 4108533.63 = 5478044.84cm³

（二）玻璃承受的溫度 

「再這樣下去，我們自己也要被炸成油餅！被烤的像牛排那樣！看看玻璃吧！它們比滋滋作響的油還燙呢！」約瑟芬奶奶大叫 (p.143) 

「別怕，親愛的女士」旺卡先生安慰：「我的升降機裝了空調，有通風和充氣設備，還有自動防護裝置，我們不會有事的。」(p.143) 

→就算旺卡先生的玻璃升降梯沒有裝設空調等的特殊設備，玻璃究竟要耐多高的溫度，才能保護升降梯內乘客的安全呢？

1. 推算降落時的溫度變化 

(1)動能

初速v₁ = 0km / hr = 0m / sec

末速（書中描述降落過程的最大值）v₂ = 3200km / hr = 888.89m/ sec

升降機與人的總質量 = 1651.73kg

代入動能公式：K = 1/2m (v₂² – v₁²) = 1/2 × 1651.73 × (888.89² – 0²) = 652536939.98J

(2)換算熱能，並推得溫差

玻璃（板）的比熱Ｓ= 0.84J / g ℃

升降機與人的總質量 = 1651730g

將動能的Ｊ換算成熱能的 cal

依公式 K = H = mS∆T × 4.2

K = H = 1651730 × 0.84 × ∆T × 4.2 = 652536939.98J

∆T = 111.98

依科學的角度來看，約瑟芬奶奶只是在無病呻吟。因為經過熱處理（強化）的玻璃，依然足夠抵擋 150℃ 至 200℃的溫度差。不過約瑟芬奶奶倒是說對了一件事，玻璃的確燙得可以煎牛排了！(只要 65-74℃ 就已達七分熟)

還有一件會讓約瑟芬奶奶嚇個半死的問題⋯⋯這座升降機會膨脹！

2. 膨脹後的體積 

以下為熱膨脹計算公式： 

膨脹的量 = 原長(cm) × 熱膨脹係數 × ∆T(℃)

玻璃的線性膨脹係數為 9 × 10^-5，∆T（由以上可得知）為 111.98℃

∴ 膨脹的量 = 原長(cm) × 0.01

(1) 角錐體積

原角錐體積 = 1/3 × 底邊² × 角錐高 = 1/3 ×216.02² × 88.04 = 1369511.21cm³

膨脹後角錐體積

= 1/3 膨脹後底邊² × 膨脹後角錐高

= 1/3 × (216.02 + 2.16)² × (88.04 + 0.88)

= 1/3 × 218.18² × 88.92 = 1410938.47cm³

(2) 長方體體積

長方體體積 = 底邊² × 高 = 216.02² × 256.79 = 4108533.63cm³

膨脹後長方體體積 = 膨脹後底邊² × 高

= (216.02 + 2.16)² × (256.79 +2.56)

= 218.18² × 259.35cm³ = 12345711.59cm³

(3) 總體積

總體積 = 角錐體積 + 長方體體積 = 1369511.21 + 4108533.63 = 5478044.84cm³

膨脹後總體積 = 膨脹後角錐體積 + 膨脹後長方體體積 = 1410938.47 + 12345711.59 = 13756650.06cm³

可得知整座升降機會膨脹，而且膨脹的量值十分可觀，怪不得約瑟芬奶奶如此害怕。 

（三）回到巧克力工廠 

如果減速了，當初的位能就無法完全轉換成動能衝破屋頂。 因此我們想了一個解決之道：讓玻璃升降機通過原本的洞，再落入巧克力河中，用其浮力抵銷龐大的衝擊力。 

我們使用 excel 表格算出玻璃升降梯的終端速度 ，以下是我們在 excel 中使用的公式以及其推論：

我們把起始高度設為大氣層高度 1000km，h = h₀ – (v₀t + 1/2at²)

加速度距離公式：v = v₀ + a∆t

速度公式：F_d = 1/2C_d × D × A × v²

空氣阻力公式：F = ma

牛頓第二運動定律：F_net = F – F_d = ma – (1/2C_d × D × A × v²)

淨力：a_effective = F_net / m

有效加速度：如果將大氣密度看成一個一次線性函數 

設 y = 𝞪x + 𝞫 (y = D, x = h)，d_g 為接近海平面之大氣密度，約為1.2255kg/m³

(0, d_g) 和 (h₀, 0) 為線上兩點，代入得一次方程式 

d_g = 𝞪 × 0 + 𝞫 ⇒ 𝞫 = d_g

0 = 𝞪 × h₀ + 𝞫 ⇒ 𝞪 = -d_g / h₀

將 𝞪 = -d_g / h₀ ，𝞫 = d_g ，y = D，x = h 代入，得高度與大氣密度完整方程式如下：D = -d_g / h₀ × h + d_g = d_g (1 – h / h₀)

9.64km 為地球半徑，而重力與離地球高度有關係：

9.8 = GM / 6400²，a = GM / (6400 + H)² ，將 9.8 除以 a ，以求他們的關係式。

9.8 / a = (GM / 6400²) / [GM / (6400 + h)² ] ⇒ 移項簡化後得 9.8 × 6400² / (6400 +h)²

接下來是終端速度，也是我們畫 excel 表的最終目的。終端速度是在中和了空氣阻力後，達到的速度平衡狀態。如下表所示，玻璃升降梯的終端速度大約是 140m/s，但是如果以這個速度降落的話⋯⋯大家都會變成一團肉泥！！！好險在兵荒馬亂之際，聰明的查理想到一個好辦法：

「威力汪卡先生！我們需要減速！！立刻開啟減速器！！！」查理吶喊。 「啊！親愛的孩子，一切都在我的掌控當中，但是我們要減到多少速度才能安全降落呢？」旺卡先生問。 

約瑟爺爺眼睛一亮的說「查理，我們去參觀工廠時看到的巧克力河能不能派上用場呢？」 查理：「對！爺爺你說的沒錯！我們可以用它來做個緩衝。」威力旺卡先生，你可以打電話給溫帕倫普斯人（工廠員工小矮人），請他們關掉動力，讓巧克力河變成一座深不見底、無邊際的巧克力潭嗎？趕快！我們沒有時間了！」 

「沒問題！包在我身上！」旺卡先生拍胸保證。 

「我記得物理課時學過，人類高空跳水最高紀錄是 30m，不然我們用這個試試看。」查理補充道：「根據力學能守恆，1/2mv² = mgh 經過移項得 v =  \( \sqrt{2gh} \)（取正值），因此我們的速度必須降到  \( \sqrt{2\times 9.8\times 30}\approx 24.25(m/s) \) 快拉減速拉桿，就是現在！」

「那我們會不會沉進巧克力河裡？喔天啊，我還不想死！」約瑟芬奶奶哀號。

「別擔心！威力旺卡先生告訴過我，plain chocolate 的流體密度大約是 1.31625g/cm³，（根據第一部分，討論玻璃升降梯的基本物理量）我們玻璃升降梯的密度是 m=DV，得 1651730g = D × 5478044.84cm² ，得 D = 0.30151g / cm²。0.30151 < 1.31625，因此我們會是浮體，用不著擔心的。」查理替大家說明。 

砰！一聲巨響打破向來平靜而神祕的巧克力工廠。整個巧克力河沿岸的軟糖草皮都被覆蓋在噴濺出的巧克力中，溫帕倫普斯人划著粉紅色硬糖船迎接他們的到來。

「我果然沒看錯，你就是我工廠的繼承人！」旺卡先生高興地再次宣布：「因為你的冷靜分析和數學能力，才得以在千鈞一髮之際救大家一命，我相信你一定會成為很棒的繼承人！」威力旺卡眼中滿是驕傲和寬慰。

資料來源 

• 欽大：玻璃小知識 （玻璃熱膨脹係數）
• List of Charlie and the Chocolate Factory characters（巧克力工廠電影演員）
• 玻璃比熱
• How Much Does a Mattress Weigh?（king size bed 重量）
• The Density of Chocolate（巧克力密度）
• 群眾人數，怎麼估比較專業？（一人站立的截面積）
• Royal College of Paediatrics and Child Health
• 高一泰宇版物理課本