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《超越時空,「度」過回家的路》——2019數感盃 / 高中職組專題報導類銀獎

數感實驗室_96
・2019/05/18 ・3127字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 596 ・九年級

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類銀獎 之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:權嘉、謝念彤/慈大附中

圖/wikimedia

「好奇心是科學工作者產生無窮的毅力和耐心的源泉。」—愛因斯坦

近幾年來,以「時空變換」為題材的電影,愈加吸引觀衆的眼球。這些結合科幻、驚悚、懸疑、燒腦為一體的視覺盛宴,主角往往在超越時空的過程中,因為種種不可預知的原因下,無法順利重返自己的家園。他們會想盡一切辦法,結合自己所學的知識,嘗試避免事故再度發生。但螢幕前的我們只能提心吊膽的牽掛著主角未卜的命運,靜靜的守候後續的發展,其他都無濟於事。

2018 年 10 月 21 日下午四時五十分,臺鐵 6432 次普悠瑪自强號列車在新馬車站旁發生火車脫軌事故,全車 366 人,18 人死亡,215 人輕重傷,震驚社會大衆。此次發生事故的臺鐵 TEMU2000 型電聯車是投入營運以來第一次發生如此嚴重的死傷,所有人的目光都關注著事故原因的調查結果,作為高中生的我們也不例外。我們多麽想超越時空,幫他們「度」過回家的路啊。

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隨著新聞媒體雜七雜八的報導,獲取的大量資訊也引起我們的好奇。「列車過彎超速」、「新馬站彎道過急」、「列車ATP關閉」、「350度大彎道!」、「超速140km/hr」……我們注意到諸多的討論聲浪都有它們共同的特點,沒有數據作為依據,或是利用數據危言聳聽的嫌疑。於是我們想要查詢出相關參數,結合在學校學習的知識,用數字説話,找出答案。

根據行政院事故調查小組公佈的結果顯示,列車超速過彎是導致脫軌的原因之一。6432 次普悠瑪列車過彎速度高達 140km/h,過彎並未減速,遠超過新馬站過彎速限 70~85km/h。可是根據車輛參數,TEMU2000型電聯車的設計最高速度是 150km/h,營運最高速度是 130km/h,明明在合理的速限內,為什麼要在新馬站過彎限速呢?

經過進一步查找資料,我們發現過彎限速與新馬站 306「度」的彎道有關,而這個 306「度」是鐵道的曲線半徑,也就是指鐵道的彎曲程度。新馬站的306「度」軌道是全台灣最彎的路段之一,所以列車經過時需要限速,就像開車過彎時需要減速一樣。下圖是台灣鐵路局-列車曲線運轉速度表,傾斜式列車通過曲線半徑 306 公尺的彎道安全速度為 85km/h,所以事發列車若超過限速確實會有不安全的隱憂。

 

表格中的黏著係數指機車動輪不空轉時的最大輪周牽引力與黏著重量的比值﹐也就是摩擦係數。因為我們不瞭解事發鋼軌是否做撒砂處理,東部地區環境又潮濕,故採用三種情況分別計算。

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而當時的火車時速又是多少,才導致了火車的翻覆?根據已知的資料,台鐵表示當時列車是以 140km/hr 進入半徑 306 公尺的新馬站彎道,但司機卻說當時控制車速在 82、83 公里,雙方說詞不同,而事後台鐵員工也表示當時數位時速顯示 57 公里,但 ATP 卻顯示 100公里,各方表示的時速都不盡相同,到底正確的時速是多少呢?於是,我們利用影格分析事發時的監控錄像來計算普悠瑪事發時速,計算方法以火車全長(含車頭 22095mm、車尾20700mm)

經過參照物柱子的時間差來計算。已知參數如下:
總車長:22096𝑚𝑚 × 2 + 20700𝑚𝑚 + 6 = 168390𝑚𝑚
車頭過第一根柱子時間:1”23
車尾過第一根柱子時間:6”21
經過時間 :4”28 → 4.9 秒
168390 ÷ 4.9 × 3600 = 123.7𝑘m/ℎ𝑟

經過影格分析,我們算出的事發列車通過時速是 123.7km/hr,並未到 140km/hr。雖然有影片畫質和影格截取等外在影響因素,也會有少許的誤差。但和台鐵公布的 140km/hr,還有司機方面的 82、83km/hr 都有明顯的落差。孰是孰非,無人知曉。而且,時速 123.7km/hr也遠超過官方規定新馬站過彎速限70~85𝑘m/ℎ𝑟。

這讓我們想到 2005 年 4 月 25 日,日本也發生過和台灣一樣的翻車事件。因為火車誤點了 1 分 20 秒,司機為了避免「JR 西日本」的誤點處分,以時速 116km/hr 經過曲率半徑 304 公尺的彎道,而此路段的安全限速是 70km/hr,因此而翻車。但據瞭解,原本這段道路並不是如此彎曲,而是在 1997 年時,JR 為了縮短至尼崎的行車耗時,在塚口以南貨物站的改建工程中,將曲率半徑由原本較緩和的 600 公尺改建較彎曲的 304 公尺,所以才會和新馬站一樣有過彎限速。

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但台灣的鐵路也不只有新馬站需要過彎限速,在瑞芳-猴硐路段、八堵-四腳亭路段、南靖-後壁路段,曲線半徑都有 300~400 公尺。以普悠瑪來說,限速也都在 85 公里,都是有危險性的。可見,彎道對高速列車的影響是很大的。

除了彎道對高速列車會有很大的影響,列車的傾斜角度也是會有影響的。經過查詢交通部鐵路工程局的資料,臺鐵採用 1067mm(窄軌)軌距,軌道外軌超高上限為 105mm.我們假設軌道外軌超高傾斜角為 θ,可以得出:

倘若沒有其他外在因素,根據以上數據我們可以知道,即使普悠瑪列車未依照限速規定通過彎道,只要列車時速控制在 112.41km/hr 以下,都可以安全通過。

存在物就像是奔騰不息的河流,事物處於不斷變化之中。—馬可·奧勒利烏斯:《沉思集》

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在不同的軌道面黏著係數和傾斜角的情況下,列車最大過彎時速:

表格中普悠瑪列車在新馬站彎道不同軌道面黏著係數、不同軌道傾斜角的數據環境下,計算得出的過彎最大時速都稍大於臺鐵營運限制最高時速。這些速度差可能來源於軌道壽命、乘車舒適度、輪緣傾斜角等其他外在因素。

「學問是解決問題的,而且真的學問是解決自己的問題的。」—梁漱溟《出世入世》

經過研究普悠瑪事件,我們意外發現儘管生活在資訊科技發達的社會,想要取得正確的資訊仍然是一波三折,且還會推諉責任。例如:人民對政府掌握的公共領域的資訊,並非垂手可得,甚至無解!同時我們發現數字的背後隱藏著不可告人的秘密,以致媒體斷章取義、做出誇張不實的報導。這時我們就需要有敏銳的判斷力和對數字的敏感性,不能人云亦云。

我們在探究的過程中,釐清了媒體對於彎道曲率半徑的概念混淆,也用數字解答了我們的疑惑。通過計算水平過彎和傾斜過彎的速度極值瞭解設置外軌超高提高行車效率的意義。思考臺鐵新馬站彎道的限速和利用影格分析出的列車事發速度,對比我們模擬計算的理論最大安全速度,得出結果: (一)我們利用影格分析的事發車速數據高於理論最大安全速度,證實超速是悲劇的肇因之一;(二)臺鐵對於該路段的限速略低於理論最大安全度,説明臺鐵有將構成影響的外在因素考量進去,確保行車安全。

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不管該班普悠瑪列車在新馬站過彎的真實速度為何,列車出軌事故所造成的創傷都已經無法挽回。列車事故絕非單一的因素所造成,更加深入的機械工程原因是我們高中生無法探究的,還待專業的部門去解開謎團。作為高中生的我們,看到各種不同的説法與解讀,而感到困惑,也想要運用自己所學得出一個答案。經過查找相關必要的數據,計算出的結果可能與專業鑑定報告有所差距,但我們仍想讓學過的數學公式可以得到應用,為我們解答生活中遇到的問題,坐上「紙上談兵」的時光機,超越時空,陪伴他們「度」過回家的路。

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文章難易度
數感實驗室_96
76 篇文章 ・ 50 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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從認證到實踐:以智慧綠建築三大標章邁向淨零
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/11/15 ・4487字 ・閱讀時間約 9 分鐘

本文由 建研所 委託,泛科學企劃執行。 


當你走進一棟建築,是否能感受到它對環境的友善?或許不是每個人都意識到,但現今建築不只提供我們居住和工作的空間,更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生,正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題,確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染,同時提升我們的生活品質。然而,要成為綠建築並非易事,每一棟建築都需要通過層層關卡,才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境,政府自 1999 年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立,旨在透過標準化的建築評估系統,鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時,為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法,自 2003 年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至 2024 年為止,已有 130 件優良綠建築、31 件優良智慧建築得獎作品,涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築,不僅提升建築物的整體性能,也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

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說這麼多,你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程,要經歷哪些標準與挑戰?

綠建築標章智慧建築標章綠建材標章
來源:內政部建築研究所

第一招:依循 EEWH 標準,打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源,是綠建築(green building)的核心理念,但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單,而是涵蓋建築物的整個生命週期,也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內,都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準,讓我們先回到 1990 年,當時英國建築研究機構(BRE)首次發布有關「建築研究發展環境評估工具(Building Research Establishment Environmental Assessment Method,BREEAM®)」,是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後,於 1998 年推出「能源與環境設計領導認證」(Leadership in Energy and Environmental Design, LEED)這套評估系統,加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶,氣溫高,濕度也高,得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生,四個英文字母分別為 Ecology(生態)、Energy saving(節能)、Waste reduction(減廢)以及 Health(健康),分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級,設有九大評估指標。

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我們就以「台江國家公園」為例,看它如何躍過一道道指標,成為「鑽石級」綠建築的國家公園!

位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園,也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時,還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築,其外觀採白色系列,從高空俯瞰,就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落;從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊,生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構,設計自然護岸,保留基地既有的雜木林和灌木草原,並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物,採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙,不僅強化了環境的保護力,也提供多樣的生物棲息環境,使這裡成為動植物共生的美好棲地。

台江國家公園是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築。圖/內政部建築研究所

第二招:想成綠建築,必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築,使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中,對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

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這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出,一路到今日,國際間對此一概念的共識主要包括再使用(reuse)、再循環(recycle)、廢棄物減量(reduce)和低污染(low emission materials)等特性,從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時,使用自然材料與低 VOC(Volatile Organic Compounds,揮發性有機化合物)建材,亦可避免對人體產生危害。

在綠建築標章後,內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度,以建材生命週期為主軸,提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說,為確保室內環境品質,建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件;為了防溫室效應的影響,須使用本土材料以節省資源和能源;使用高性能與再生建材,不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性,也強調材料本身的再利用性。


在台江國家公園內,綠建材的應用是其獲得 EEWH 認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念,更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設,並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料,為鳥類和小生物營造棲息空間,讓「蚵殼磚」不再只是建材,而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆,整體綠建材使用率為 52.8%。

被建築實體圍塑出的中庭廣場,牆面設計有蚵殼格柵。圖/內政部建築研究所

在日常節能方面,台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如,引入樓板下的水面蒸散低溫外氣,屋頂下設置通風空氣層,高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出,廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地,創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企,如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流,不僅提升了隔熱效果,減少空調需求,讓建築如同「與海共舞」,在減廢與健康方面皆表現優異,展示出綠建築在地化的無限可能。

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島式建築群分割後所形成的巷道與水道。圖/內政部建築研究所

在綠建材的部分,另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程,其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材,比方提高高爐水泥(具高強度、耐久、緻密等特性,重點是發熱量低)的量,並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」,還用再生透水磚做人行道鋪面。

2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學。圖/內政部建築研究所
2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學。圖/內政部建築研究所

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區,首先,他們捨棄金屬建材,讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是,他們也將施工開挖的土方做回填,將有高地差的荒地恢復成平坦綠地,本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪,無痛轉綠。

雲林豐泰文教基金會的綠園區。圖/內政部建築研究所

等等,這樣看來建築夠不夠綠的命運,似乎在建材選擇跟設計環節就決定了,是這樣嗎?當然不是,建築是活的,需要持續管理–有智慧的管理。

第三招:智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率,除了從建築設計與建材的使用等角度介入,也須適度融入「智慧建築」(intelligent buildings)的概念,即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性,使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器,用於蒐集環境資料和使用行為,並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

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為了推動建築與資通訊產業的整合,內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度,為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂,目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例,為了掌握建築物生命週期中的能耗,需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標,評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面,則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境,以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中,充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新 8 大指標先進技術,來達成兼顧環保和永續發展的理念,也是利用建築資訊模型(BIM)技術打造的指標性建築,受到國際矚目。

樹林藝文綜合大樓。圖/內政部建築研究所「111年優良智慧建築專輯」(新北市政府提供)

在興建階段,為了保留基地內 4 棵原有老樹,團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描,並將大小等比例匯入 BIM 模型中,讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離,確保施工過程不影響樹木健康。此外,在大樓啟用後,BIM 技術被運用於「電子維護管理系統」,透過 3D 建築資訊模型,提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護,包括保養計畫、異常修繕及耗材管理,讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入 BIM 技術的應用,從建造設計擴展至施工和日常管理,使建築生命周期的管理更加智慧化。以 FM 系統 ( Facility Management,簡稱 FM ) 為例,該系統可在雲端進行遠端控制,根據會議室的使用時段靈活調節空調風門,會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣,而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率,保持低頻運作,實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

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總結

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現,從源頭減少碳足跡;綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小,並保障居民的健康;智慧建築標章運用科技應用,實現能源的高效管理和室內環境的精準調控,增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用,讓建築不僅是滿足基本居住需求,更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

建築物於魚塭之上,採高腳屋的構造形式,尊重自然地貌。圖/內政部建築研究所

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失控電梯回地球,大氣層中樂逍遊|2021 數感盃|高中專題|銅獎
數感實驗室_96
・2021/12/25 ・4620字 ・閱讀時間約 9 分鐘

  • 作者:王姵予、林嘉瑜、謝宇彤 / 國立新竹女子高級中學

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2021 數感盃青少年寫作競賽/高中組專題報導類佳作之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

一、研究動機 

羅德.達爾充滿想像力的故事使他在兒童文學居於執牛耳的地位,其中查理與旺卡先生的冒險故事,更是他經典的代表作。他們乘坐的神奇升降梯,堪比 Space X 的回收火箭,竟然能夠毫髮無傷地回到地球。因此,我們想利用數學計算,把羅德.達爾的想像力,幻化成未來科技無限的可能。 

圖/IMDb

二、研究目的 

(一)設法以現有數據求得升降機的基本物理量 

(二)神奇玻璃升降梯究竟能夠耐多高的溫度、有多大的變形,才能安全帶他們回到地球

(三)升降梯要怎麼從終端速度減速(及緩衝),才能安全降落 

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三、故事簡介 

在查理全家人都搭上升降梯後,旺卡先生要帶著他們回到巧克力工廠。要這麼做,旺卡先生打算在自家工廠的屋頂上再撞出一個洞,為了獲得足夠的位能,他駕駛著升降梯不斷地爬升, 意外的是,旺卡先生一不小心,讓升降梯飛到了外太空! 

四、研究過程 

→ 統一符號: 

(一)求得升降機的基本物理量 

  1. 推算這座升降機的玻璃質量 

(1) 求升降機的表面積

◉ 升降機高度估算(含與不含屋頂) :

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再根據繪者所畫的升降機作為比例尺,我們測量出喬治外公與升降機不含屋頂與含屋頂時的高度。

書本封面

接著,我們會由喬治外公的身高分別推算出升降機不含屋頂以及包含屋頂時的高度。 以下為計算過程:

7 : 10 = 179.75 : 256.79(升降機不含屋頂時的高度)

3.5 : 4.7 = 256.79 : 344.83(升降機含屋頂時的高度)

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◉ 底面積估算:

根據泛科學:

∵ 以雅各布人口估計法(廣泛使用於人口集聚等調查)得  \( \frac{3}{10000} \) 人/平方公分為參考

又 ∵ king size bed 為 150cm × 200cm

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∴ 底面積 = 5 × 10000/3 + 150 × 200 ≈ 16666.67 + 30000 = 46666.67cm2

◉ 上方角椎側面積估算:

由升降機的以上兩個高度的差,求得角錐地的高為 344.83 – 256.79 = 88.04cm

∵ 高度(88.04cm)及 1/2 的升降機寬(216.02 × 1/2 = 86.845)

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∴ 畢氏定理可得,角錐側面三角形的高為  \( \sqrt{88.04^{2}+86.845^{2}}\approx 123.67cm \)

由升降機底面積可得,底面正方形的邊長為  \( \sqrt{46666.67}\approx 216.02cm \)

∴ 角錐側面積 = 216.02 × 123.67 × 1/2 × 4 = 53430.39cm2

◉ 下方長方體側面積估算:

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∵ 已知高為 256.79 且底面周長為 216.02 × 4 = 864.08cm

∴ 長方體側面積 = 256.79 × 864.08 = 221887.1cm2

升降機的表面積 = 46666.67 + 53430.39 + 221887.1 = 321984.16cm2

(2)求玻璃整體的體積

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∵ 一般玻璃規格最厚的厚度為 1.5cm

∴ 玻璃整體體積 = 321984.16 × 1.5 = 482976.24cm3

(3)換算為質

∵ 一般玻璃密度為 0.0025kg / cm3

∴ 玻璃整體質量 = 482976.24 × 0.0025 = 1207.44kg

2. 推算所有人的質量

∵ 書中沒有每位角色準確身高體重的數據

∴ 我們調查了飾演過不同角色的演員,並合理推估 BMI 算出相對應的體重

正常 BMI 取範圍中間值,而過輕用符合值計算。(巴克一家是低收入戶,在家中的老人小孩每天只有一碗包心菜湯,因此除了兩位相對健壯成年人外,皆以過輕推算。)

∴ 人的總質量為 444.29kg + 升降機玻璃質量 1207.44kg = 1651.73kg

3. 推算升降機整體體積 

(1) 角錐體積

正四角錐體積 = 1/3 × 底邊2 × 角錐高 = 1/3 × 216.022 × 88.04 = 1369511.21cm3

(2) 長方體體積

長方體體積 = 底邊2 × 高 = 216.022 × 256.79 = 4108533.63(底面積被設為正方形)

(3) 總體積

總體積 = 角錐體積 + 長方體體積 = 1369511.21 + 4108533.63 = 5478044.84cm3

(二)玻璃承受的溫度 

「再這樣下去,我們自己也要被炸成油餅!被烤的像牛排那樣!看看玻璃吧!它們比滋滋作響的油還燙呢!」約瑟芬奶奶大叫 (p.143) 

「別怕,親愛的女士」旺卡先生安慰:「我的升降機裝了空調,有通風和充氣設備,還有自動防護裝置,我們不會有事的。」(p.143) 

→就算旺卡先生的玻璃升降梯沒有裝設空調等的特殊設備,玻璃究竟要耐多高的溫度,才能保護升降梯內乘客的安全呢?

  1. 推算降落時的溫度變化 

(1)動能

初速v1 = 0km / hr = 0m / sec

末速(書中描述降落過程的最大值)v2 = 3200km / hr = 888.89m/ sec

升降機與人的總質量 = 1651.73kg

代入動能公式:K = 1/2m (v22 – v12) = 1/2 × 1651.73 × (888.892 – 02) = 652536939.98J

(2)換算熱能,並推得溫差

玻璃(板)的比熱S= 0.84J / g ℃

升降機與人的總質量 = 1651730g

將動能的J換算成熱能的 cal

依公式 K = H = mS∆T × 4.2

K = H = 1651730 × 0.84 × ∆T × 4.2 = 652536939.98J

∆T = 111.98

依科學的角度來看,約瑟芬奶奶只是在無病呻吟。因為經過熱處理(強化)的玻璃,依然足夠抵擋 150℃ 至 200℃的溫度差。不過約瑟芬奶奶倒是說對了一件事,玻璃的確燙得可以煎牛排了!(只要 65-74℃ 就已達七分熟)

還有一件會讓約瑟芬奶奶嚇個半死的問題⋯⋯這座升降機會膨脹!

2. 膨脹後的體積 

以下為熱膨脹計算公式: 

膨脹的量 = 原長(cm) × 熱膨脹係數 × ∆T(℃)

玻璃的線性膨脹係數為 9 × 10-5,∆T(由以上可得知)為 111.98℃

∴ 膨脹的量 = 原長(cm) × 0.01

(1) 角錐體積

原角錐體積 = 1/3 × 底邊2 × 角錐高 = 1/3 ×216.022 × 88.04 = 1369511.21cm3

膨脹後角錐體積

= 1/3 膨脹後底邊2 × 膨脹後角錐高

= 1/3 × (216.02 + 2.16)2 × (88.04 + 0.88)

= 1/3 × 218.182 × 88.92 = 1410938.47cm3

(2) 長方體體積

長方體體積 = 底邊2 × 高 = 216.022 × 256.79 = 4108533.63cm3

膨脹後長方體體積 = 膨脹後底邊2 × 高

= (216.02 + 2.16)2 × (256.79 +2.56)

= 218.182 × 259.35cm3 = 12345711.59cm3

(3) 總體積

總體積 = 角錐體積 + 長方體體積 = 1369511.21 + 4108533.63 = 5478044.84cm3

膨脹後總體積 = 膨脹後角錐體積 + 膨脹後長方體體積 = 1410938.47 + 12345711.59 = 13756650.06cm3

可得知整座升降機會膨脹,而且膨脹的量值十分可觀,怪不得約瑟芬奶奶如此害怕。 

(三)回到巧克力工廠 

如果減速了,當初的位能就無法完全轉換成動能衝破屋頂。 因此我們想了一個解決之道:讓玻璃升降機通過原本的洞,再落入巧克力河中,用其浮力抵銷龐大的衝擊力。 

我們使用 excel 表格算出玻璃升降梯的終端速度 ,以下是我們在 excel 中使用的公式以及其推論:

我們把起始高度設為大氣層高度 1000km,h = h0 – (v0t + 1/2at2)

加速度距離公式:v = v0 + a∆t

速度公式:Fd = 1/2Cd × D × A × v2

空氣阻力公式:F = ma

牛頓第二運動定律:Fnet = F – Fd = ma – (1/2Cd × D × A × v2)

淨力:aeffective = Fnet / m

有效加速度:如果將大氣密度看成一個一次線性函數 

設 y = 𝞪x + 𝞫 (y = D, x = h),dg 為接近海平面之大氣密度,約為1.2255kg/m3

(0, dg) 和 (h0, 0) 為線上兩點,代入得一次方程式 

dg = 𝞪 × 0 + 𝞫 ⇒ 𝞫 = dg

0 = 𝞪 × h0 + 𝞫 ⇒ 𝞪 = -dg / h0

𝞪 = -dg / h0𝞫 = dg ,y = D,x = h 代入,得高度與大氣密度完整方程式如下:D = -dg / h0 × h + dg = dg (1 – h / h0)

9.64km 為地球半徑,而重力與離地球高度有關係:

9.8 = GM / 64002,a = GM / (6400 + H)2 ,將 9.8 除以 a ,以求他們的關係式。

9.8 / a = (GM / 64002) / [GM / (6400 + h)2 ] ⇒ 移項簡化後得 9.8 × 64002 / (6400 +h)2

接下來是終端速度,也是我們畫 excel 表的最終目的。終端速度是在中和了空氣阻力後,達到的速度平衡狀態。如下表所示,玻璃升降梯的終端速度大約是 140m/s,但是如果以這個速度降落的話⋯⋯大家都會變成一團肉泥!!!好險在兵荒馬亂之際,聰明的查理想到一個好辦法:

「威力汪卡先生!我們需要減速!!立刻開啟減速器!!!」查理吶喊。 「啊!親愛的孩子,一切都在我的掌控當中,但是我們要減到多少速度才能安全降落呢?」旺卡先生問。 

約瑟爺爺眼睛一亮的說「查理,我們去參觀工廠時看到的巧克力河能不能派上用場呢?」 查理:「對!爺爺你說的沒錯!我們可以用它來做個緩衝。」威力旺卡先生,你可以打電話給溫帕倫普斯人(工廠員工小矮人),請他們關掉動力,讓巧克力河變成一座深不見底、無邊際的巧克力潭嗎?趕快!我們沒有時間了!」 

「沒問題!包在我身上!」旺卡先生拍胸保證。 

「我記得物理課時學過,人類高空跳水最高紀錄是 30m,不然我們用這個試試看。」查理補充道:「根據力學能守恆,1/2mv2 = mgh 經過移項得 v =  \( \sqrt{2gh} \)(取正值),因此我們的速度必須降到  \( \sqrt{2\times 9.8\times 30}\approx 24.25(m/s) \) 快拉減速拉桿,就是現在!」

「那我們會不會沉進巧克力河裡?喔天啊,我還不想死!」約瑟芬奶奶哀號。

「別擔心!威力旺卡先生告訴過我,plain chocolate 的流體密度大約是 1.31625g/cm3,(根據第一部分,討論玻璃升降梯的基本物理量)我們玻璃升降梯的密度是 m=DV,得 1651730g = D × 5478044.84cm2 ,得 D = 0.30151g / cm2。0.30151 < 1.31625,因此我們會是浮體,用不著擔心的。」查理替大家說明。 

砰!一聲巨響打破向來平靜而神祕的巧克力工廠。整個巧克力河沿岸的軟糖草皮都被覆蓋在噴濺出的巧克力中,溫帕倫普斯人划著粉紅色硬糖船迎接他們的到來。

「我果然沒看錯,你就是我工廠的繼承人!」旺卡先生高興地再次宣布:「因為你的冷靜分析和數學能力,才得以在千鈞一髮之際救大家一命,我相信你一定會成為很棒的繼承人!」威力旺卡眼中滿是驕傲和寬慰。

資料來源 

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數感實驗室_96
76 篇文章 ・ 50 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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腳踏車界的車神——兩津勘吉 |2021數感盃|高中專題|優選
數感實驗室_96
・2021/12/25 ・3739字 ・閱讀時間約 7 分鐘

  • 作者:蔡亦翔、吳柏均、蔡孝綸 / 國立新竹科學園區實驗高級中等學校

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2021 數感盃青少年寫作競賽/高中組專題報導類佳作之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

「閃啊閃啊閃啊~撞到不負責啦!」經典台詞搭配上一台平凡的警用腳踏車,兩津勘吉總是如此爽朗的在動畫中登場。

以他為主角連載了數十年的動漫「烏龍派出所」想必大家都不陌生,也是你我兒時的共同記憶。這部動漫講述的是日本龜有公園前派出所的警察——兩津勘吉爆笑的生活故事,在長達 200 本單行卷、300 多集動畫的情節中,我們尤其對兩津他那百毒不侵的身體以及超乎常人的力量感到印象深刻。

而在劇中和他最形影不離的,就非他的那台警用腳踏車莫屬了,它除了是兩津追捕犯人時的得力助手之外,還在好幾次重要劇情中扮演了幫助他完成任務的關鍵角色,被兩津稱為「我的愛車——千鳥」。

每當我們欽佩於主角又再一次解決危機時,也不免被兩津運用這台腳踏車所發揮出的力量所震懾。

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圖(一)漫畫中兩津勘吉和他的腳踏車  

在烏龍派出所動畫的最終回特別篇中,這台腳踏車便是使東京都免於炸彈威脅的關鍵幫手。當大家對爆炸範圍為方圓 500 公尺、再兩分鐘就要爆炸的炸彈包不知所措時,兩津勘吉想到,只要將其帶到高度 634 公尺的東京最高地標「晴空塔」上投擲出去引爆,便能拯救東京都。

看著兩津背負著如此重大的使命,運用這台老夥伴奮力一搏,飛馳騎上晴空塔那近乎垂直的樑柱, 讓炸彈得以在時限內於高空中引爆,而不致於波及地面,真是令人替他捏了一把冷汗!雖然說以兩津在動畫中種種異於常人的表現來看,騎上晴空塔對他來說也不是難事,但現實中一般人可沒有他那種神力,因此我們便對於兩個問題感到好奇:

  1. 若是現實中有一位沒有這般神力的兩津,那他需要在如何的環境條件幫助下,才能像動畫中一樣騎著腳踏車衝上晴空塔呢? 
  2. 在動畫中兩津騎上晴空塔時的速度為多少呢? 

 首先來解決第一個疑問:要有多強的風才能像兩津一樣貼在塔上?

根據我們以往所學,要讓人連同整台腳踏車附著在牆面上不致於掉落,需要有足夠的正向力才行(圖二)。而這個正向力有很多種類,由於晴空塔壁面與地面的傾斜角度大到近乎垂直,正向力無法以重力的分量提供,因此我們假設現實中有一固定方向的「風力」存在,將人穩穩地壓在牆上。

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至於要如何求出風力,則要用以下公式: 

f=μ F(式一)

圖(二)正向力示意圖

我們可藉由摩擦力 f 及摩擦係數 μ 求出風力 F。由於並無打滑,代表其靜力平衡,f 摩擦力會等於重力 W,因此摩擦力 f 由重量求出,透過查詢資料得知,兩津的重量為 71kgw,普通的腳踏車平均重量則為 13kgw,總重力為 84 × 9.8 = 823.2 牛頓,靜摩擦力亦為 823.2 牛頓。

經由查詢資料,得出「橡膠」對上「鋼」的摩擦係數為 0.8 之後,代回式(一)可得到正向力 F 為 823.2/0.8 = 1029.75 牛頓。因此,可得出結論:現實中必須在有約 1030 牛頓的風力時,才能夠使普通人兩津穩穩地貼著晴空塔的表面往上騎。 

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而求得風力後,為了換算為當時環境所需的風速,需要用到風力強度公式:F = 1/2p × v2 × A

圖(三)兩津勘吉騎上晴空塔影像

而要計算風速,除了風力強度公式外,還必須考慮接觸表面積,而由(圖三)騎上晴空塔時的影像,得出所需要計算的部分有:前輪的前半部、後輪的後半部、兩津的後腦杓及背部。

利用公式 BSA(m2) = { [ Height(cm) × Body Weight(kg) ] / 3600 }1/2 ,以動畫中作者設定兩津的身高和體重,得出兩津身體的總表面積約為 1.8 平方公尺。而以成年人來說,背部表面積約佔全身的 18%,而後腦杓則約佔 4.5%,表面積總和約為 0.405 平方公尺。

藉由其身高與站立時的身體比例,可等比例求得上軀幹長(頭頂到腰帶)與腰寬。而兩津勘吉的腳踏車輪胎大小可以藉由騎車時的影像等比例推算求得,直徑約為 55.02 公分,輪胎寬度則約為 6.79 公分。車輪暴露在風下的總表面積為:6.79 × 55.02 × π/2 = 586.53 平方公分,約是 0.059 平方公尺。詳細比例參見下圖(四)、(五)、(六)。

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圖(四)由身高求得腰寬與上軀幹長
圖(五)由上軀幹長求得輪胎直徑
圖(六)由輪胎寬度求得腰寬

將兩津身體曝露在風下的表面積與腳踏車暴露在風下的表面積相加,約為 0.464 平方公 尺。再藉由資料,查得空氣密度 p 為 1.225 公斤/立方公尺,代入式(二)得到: F = 1030 = 1/2 × 1.225 × v2 × 0.464

求出的風速 v 約為 60.2 公尺/秒,由圖(七)可得知,這相當於蒲福式風級的十七級風,是強烈颱風以上的等級。由此進一步下結論:在當地風速約為十七級風時,普通人的兩津才能夠穩定的貼在晴空塔上不會打滑。 

圖(七) 蒲福氏風級表

在求得可以穩定附著在晴空塔的環境因素後,接下來討論第二個問題:兩津在塔上要騎多快才來得及丟掉炸彈?

由晴空塔官方網站得知,晴空塔高 634 公尺,而晴空塔的底部為正三角形,每邊 68 公尺,因此算出外心距離為 \( 68\sqrt{3}/3 \) 公尺,騎上去的樑柱與地面的角度 tanθ = 16.18,約為 86.5 度,綜合以上可以計算出總距離約為 635.2 公尺。詳細計算參考圖(八)、(九)。 

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圖(八)東京晴空塔外心計算
圖(九)東京晴空塔斜邊計算

根據動畫顯示,兩津騎到第 1 展望台時炸彈還剩 60 秒引爆,而兩津從到達最頂端到爆炸這之中過了 24 秒,故可得出兩津從第 1 展望台到最頂端花了 36 秒。由兩津騎腳踏車 284.4 公尺的距離花了 36 秒,可求得速度為 7.9 公尺/秒,相當於 28.4 公里/小時。以一般人在平地騎這種非公路車來說,這個速度已經算頗快了,何況兩津可是在近乎垂直的樑柱上騎到這種速度呢!

就算今天現實中有足夠的風力把我們壓在樑柱上不掉下去,但在要克服向下重力的情況下達到這種速度,也幾乎是也只有兩津才做得到吧,實在太厲害了!

圖(十)東京晴空塔簡圖與剖面

在完結篇的最後,兩津勘吉雖然超乎常理以他的自行車「千鳥」在近乎垂直的角度下騎上東京晴空塔,並成功在時間限制內騎到頂端,使炸彈爆炸時減少對東京都城區的危害,但因為炸彈包卡在手上沒有成功丟出去而喪失了性命(雖然最後還是復活了)。

當他在決定騎上晴空塔時說過一句話:「如果搭乘晴空塔的電梯就太慢了!」但是我們對此有些疑問,根據晴空塔官方的資料,電梯速度為 10 公尺/秒,而兩津的騎車速度為 7.9 公尺/秒,若搭乘晴空塔電梯到觀景台後再騎車上去,到達頂端後應該還可以有多出幾秒時間可以讓他重新將炸彈包丟到更遠的地方,故事也將因此改寫。

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發現這個矛盾後,我們感到有些好笑,不免想要像大原所長一樣向他吼出:「兩津,你這個大笨蛋!」 

在觀賞動漫的途中,不仿試著以物理學來分析其中的情景,遇到難以置信的片段,不知道在現實中能否達成時,保持疑問的態度,嘗試解釋其合理的過程,最終推理出結果。這樣將平時所學運用在生活中,不僅讓那些知識變得更平易近人,也增進了我們的思考能力。

雖說有時會遇到常理無法解釋的片段,或許就只有在動漫中才能實現。但也不要認為動漫都不切實際而不值一顧,像烏龍派出所中儘管有許多超現實的劇情片段,但也因為有了這些部分,才賦予了其主角兩津勘吉的人格形象,也讓這部作品在動漫界中獨樹一幟。

一路走來我們看到兩津飛天遁地、出生入死,為了保護所愛之人不顧一切,情緒也不免隨之變的熱血沸騰, 並在腦海中留下了許多美好的回憶,這也就是這部動漫帶給我們的深遠影響吧! 

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引註資料

1. Material Contact Properties Table

2. 維基百科:兩津勘吉的外貌體格

3. 維基百科:空氣密度

4. 維基百科:蒲福氏風級

5. 東京晴空塔官網

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