作者:王姵予、林嘉瑜、謝宇彤 / 國立新竹女子高級中學
「 數感盃青少年寫作競賽 」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。 本文為 2021 數感盃青少年寫作競賽/高中組專題報導類佳作之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。
一、研究動機
羅德.達爾充滿想像力的故事使他在兒童文學居於執牛耳的地位,其中查理與旺卡先生的冒險故事,更是他經典的代表作。他們乘坐的神奇升降梯,堪比 Space X 的回收火箭,竟然能夠毫髮無傷地回到地球。因此,我們想利用數學計算,把羅德.達爾的想像力,幻化成未來科技無限的可能。
二、研究目的
(一)設法以現有數據求得升降機的基本物理量
(二)神奇玻璃升降梯究竟能夠耐多高的溫度、有多大的變形,才能安全帶他們回到地球
(三)升降梯要怎麼從終端速度減速(及緩衝),才能安全降落
三、故事簡介
在查理全家人都搭上升降梯後,旺卡先生要帶著他們回到巧克力工廠。要這麼做,旺卡先生打算在自家工廠的屋頂上再撞出一個洞,為了獲得足夠的位能,他駕駛著升降梯不斷地爬升, 意外的是,旺卡先生一不小心,讓升降梯飛到了外太空!
四、研究過程
→ 統一符號:
(一)求得升降機的基本物理量
推算這座升降機的玻璃質量
(1) 求升降機的表面積
◉ 升降機高度估算(含與不含屋頂) :
再根據繪者所畫的升降機作為比例尺,我們測量出喬治外公與升降機不含屋頂與含屋頂時的高度。
書本封面
接著,我們會由喬治外公的身高分別推算出升降機不含屋頂以及包含屋頂時的高度。 以下為計算過程:
7 : 10 = 179.75 : 256.79(升降機不含屋頂時的高度)
3.5 : 4.7 = 256.79 : 344.83(升降機含屋頂時的高度)
◉ 底面積估算:
根據泛科學:
∵ 以雅各布人口估計法(廣泛使用於人口集聚等調查)得 \( \frac{3}{10000} \) 人/平方公分為參考
又 ∵ king size bed 為 150cm × 200cm
∴ 底面積 = 5 × 10000/3 + 150 × 200 ≈ 16666.67 + 30000 = 46666.67cm2
◉ 上方角椎側面積估算:
由升降機的以上兩個高度的差,求得角錐地的高為 344.83 – 256.79 = 88.04cm
∵ 高度(88.04cm)及 1/2 的升降機寬(216.02 × 1/2 = 86.845)
∴ 畢氏定理可得,角錐側面三角形的高為 \( \sqrt{88.04^{2}+86.845^{2}}\approx 123.67cm \)
由升降機底面積可得,底面正方形的邊長為 \( \sqrt{46666.67}\approx 216.02cm \)
又 ∴ 角錐側面積 = 216.02 × 123.67 × 1/2 × 4 = 53430.39cm2
◉ 下方長方體側面積估算:
∵ 已知高為 256.79 且底面周長為 216.02 × 4 = 864.08cm
∴ 長方體側面積 = 256.79 × 864.08 = 221887.1cm2
升降機的表面積 = 46666.67 + 53430.39 + 221887.1 = 321984.16cm2
(2)求玻璃整體的體積
∵ 一般玻璃規格最厚的厚度為 1.5cm
∴ 玻璃整體體積 = 321984.16 × 1.5 = 482976.24cm3
(3)換算為質 量
∵ 一般玻璃密度為 0.0025kg / cm3
∴ 玻璃整體質量 = 482976.24 × 0.0025 = 1207.44kg
2. 推算所有人的質量
∵ 書中沒有每位角色準確身高體重的數據
∴ 我們調查了飾演過不同角色的演員,並合理推估 BMI 算出相對應的體重
正常 BMI 取範圍中間值,而過輕用符合值計算。(巴克一家是低收入戶,在家中的老人小孩每天只有一碗包心菜湯,因此除了兩位相對健壯成年人外,皆以過輕推算。)
∴ 人的總質量為 444.29kg + 升降機玻璃質量 1207.44kg = 1651.73kg
3. 推算升降機整體體積
(1) 角錐體積
正四角錐體積 = 1/3 × 底邊2 × 角錐高 = 1/3 × 216.022 × 88.04 = 1369511.21cm3
(2) 長方體體積
長方體體積 = 底邊2 × 高 = 216.022 × 256.79 = 4108533.63(底面積被設為正方形)
(3) 總體積
總體積 = 角錐體積 + 長方體體積 = 1369511.21 + 4108533.63 = 5478044.84cm3
(二)玻璃承受的溫度
「再這樣下去,我們自己也要被炸成油餅!被烤的像牛排那樣!看看玻璃吧!它們比滋滋作響的油還燙呢!」約瑟芬奶奶大叫 (p.143)
「別怕,親愛的女士」旺卡先生安慰:「我的升降機裝了空調,有通風和充氣設備,還有自動防護裝置,我們不會有事的。」(p.143)
→就算旺卡先生的玻璃升降梯沒有裝設空調等的特殊設備,玻璃究竟要耐多高的溫度,才能保護升降梯內乘客的安全呢?
推算降落時的溫度變化
(1)動能
初速v1 = 0km / hr = 0m / sec
末速(書中描述降落過程的最大值)v2 = 3200km / hr = 888.89m/ sec
升降機與人的總質量 = 1651.73kg
代入動能公式:K = 1/2m (v2 2 – v1 2 ) = 1/2 × 1651.73 × (888.892 – 02 ) = 652536939.98J
(2)換算熱能,並推得溫差
玻璃(板)的比熱S= 0.84J / g ℃
升降機與人的總質量 = 1651730g
將動能的J換算成熱能的 cal
依公式 K = H = mS∆T × 4.2
K = H = 1651730 × 0.84 × ∆T × 4.2 = 652536939.98J
∆T = 111.98
依科學的角度來看,約瑟芬奶奶只是在無病呻吟。因為經過熱處理(強化)的玻璃,依然足夠抵擋 150 ℃ 至 200℃的溫度差。不過約瑟芬奶奶倒是說對了一件事,玻璃的確燙得可以煎牛排了!(只要 65-74℃ 就已達七分熟)
還有一件會讓約瑟芬奶奶嚇個半死的問題⋯⋯這座升降機會膨脹!
2. 膨脹後的體積
以下為熱膨脹計算公式:
膨脹的量 = 原長(cm) × 熱膨脹係數 × ∆T(℃)
玻璃的線性膨脹係數為 9 × 10-5 ,∆T(由以上可得知)為 111.98℃
∴ 膨脹的量 = 原長(cm) × 0.01
(1) 角錐體積
原角錐體積 = 1/3 × 底邊2 × 角錐高 = 1/3 ×216.022 × 88.04 = 1369511.21cm3
膨脹後角錐體積
= 1/3 膨脹後底邊2 × 膨脹後角錐高
= 1/3 × (216.02 + 2.16)2 × (88.04 + 0.88)
= 1/3 × 218.182 × 88.92 = 1410938.47cm3
(2) 長方體體積
長方體體積 = 底邊2 × 高 = 216.022 × 256.79 = 4108533.63cm3
膨脹後長方體體積 = 膨脹後底邊2 × 高
= (216.02 + 2.16)2 × (256.79 +2.56)
= 218.182 × 259.35cm3 = 12345711.59cm3
(3) 總體積
總體積 = 角錐體積 + 長方體體積 = 1369511.21 + 4108533.63 = 5478044.84cm3
膨脹後總體積 = 膨脹後角錐體積 + 膨脹後長方體體積 = 1410938.47 + 12345711.59 = 13756650.06cm3
可得知整座升降機會膨脹,而且膨脹的量值十分可觀,怪不得約瑟芬奶奶如此害怕。
(三)回到巧克力工廠
如果減速了,當初的位能就無法完全轉換成動能衝破屋頂。 因此我們想了一個解決之道:讓玻璃升降機通過原本的洞,再落入巧克力河中,用其浮力抵銷龐大的衝擊力。
我們使用 excel 表格算出玻璃升降梯的終端速度 ,以下是我們在 excel 中使用的公式以及其推論:
我們把起始高度設為大氣層高度 1000km,h = h0 – (v0 t + 1/2at2 )
加速度距離公式:v = v0 + a∆t
速度公式:Fd = 1/2Cd × D × A × v2
空氣阻力公式:F = ma
牛頓第二運動定律:Fnet = F – Fd = ma – (1/2Cd × D × A × v2 )
淨力:aeffective = Fnet / m
有效加速度:如果將大氣密度看成一個一次線性函數
設 y = 𝞪x + 𝞫 (y = D, x = h),dg 為接近海平面之大氣密度,約為1.2255kg/m3
(0, dg ) 和 (h0 , 0) 為線上兩點,代入得一次方程式
dg = 𝞪 × 0 + 𝞫 ⇒ 𝞫 = dg
0 = 𝞪 × h0 + 𝞫 ⇒ 𝞪 = -dg / h0
將 𝞪 = -dg / h0 , 𝞫 = dg ,y = D,x = h 代入,得高度與大氣密度完整方程式如下:D = -dg / h0 × h + dg = dg (1 – h / h0 )
9.64km 為地球半徑,而重力與離地球高度有關係:
9.8 = GM / 64002 ,a = GM / (6400 + H)2 ,將 9.8 除以 a ,以求他們的關係式。
9.8 / a = ( GM / 64002 ) / [GM / (6400 + h)2 ] ⇒ 移項簡化後得 9.8 × 64002 / (6400 +h)2
接下來是終端速度,也是我們畫 excel 表的最終目的。終端速度是在中和了空氣阻力後,達到的速度平衡狀態。如下表所示,玻璃升降梯的終端速度大約是 140m/s,但是如果以這個速度降落的話⋯⋯大家都會變成一團肉泥!!!好險在兵荒馬亂之際,聰明的查理想到一個好辦法:
「威力汪卡先生!我們需要減速!!立刻開啟減速器!!!」查理吶喊。 「啊!親愛的孩子,一切都在我的掌控當中,但是我們要減到多少速度才能安全降落呢?」旺卡先生問。
約瑟爺爺眼睛一亮的說「查理,我們去參觀工廠時看到的巧克力河能不能派上用場呢?」 查理:「對!爺爺你說的沒錯!我們可以用它來做個緩衝。」威力旺卡先生,你可以打電話給溫帕倫普斯人(工廠員工小矮人),請他們關掉動力,讓巧克力河變成一座深不見底、無邊際的巧克力潭嗎?趕快!我們沒有時間了!」
「沒問題!包在我身上!」旺卡先生拍胸保證。
「我記得物理課時學過,人類高空跳水最高紀錄是 30m,不然我們用這個試試看。」查理補充道:「根據力學能守恆,1/2mv2 = mgh 經過移項得 v = \( \sqrt{2gh} \)(取正值),因此我們的速度必須降到 \( \sqrt{2\times 9.8\times 30}\approx 24.25(m/s) \) 快拉減速拉桿,就是現在!」
「那我們會不會沉進巧克力河裡?喔天啊,我還不想死!」約瑟芬奶奶哀號。
「別擔心!威力旺卡先生告訴過我,plain chocolate 的流體密度大約是 1.31625g/cm3 ,(根據第一部分,討論玻璃升降梯的基本物理量)我們玻璃升降梯的密度是 m=DV,得 1651730g = D × 5478044.84cm2 ,得 D = 0.30151g / cm2 。0.30151 < 1.31625,因此我們會是浮體,用不著擔心的。」查理替大家說明。
砰!一聲巨響打破向來平靜而神祕的巧克力工廠。整個巧克力河沿岸的軟糖草皮都被覆蓋在噴濺出的巧克力中,溫帕倫普斯人划著粉紅色硬糖船迎接他們的到來。
「我果然沒看錯,你就是我工廠的繼承人!」旺卡先生高興地再次宣布:「因為你的冷靜分析和數學能力,才得以在千鈞一髮之際救大家一命,我相信你一定會成為很棒的繼承人!」威力旺卡眼中滿是驕傲和寬慰。
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