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《「平明尋白羽,沒在石棱中」有影?無影?》——2019數感盃 / 國中組專題報導類銀獎

數感實驗室_96
・2019/05/18 ・2380字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 570 ・九年級

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數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 國中組專題報導類銀獎 之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:陳信安、陳予青、陳予昀/興華中學國中部
圖/pxhere

一、研究動機:

神射,一直是各民族文學中的浪漫。無論后羿、紀昌或羅賓漢,都各有各的傳說遺留江湖。然相對「后羿射金烏」超現實現象,紀昌「射蝨如射馬」的文學誇飾演練外,最能引起我們興趣的仍是飛將軍李廣的「射虎誤入石」的傳說。

從盧綸的塞下曲(二)所述:「林暗草驚風,將軍夜引弓。平明尋白羽,沒在石棱中」。又《史記‧李將軍列傳》:「廣出獵,見草中石,以為虎而射之,中石沒鏃,視之石也。因復更射之,終不能復入石矣。」如此記載,深深的打動了我們的好奇之心。

因此,我們想要了解其中的「沒在石棱中」的可能性,於是開始了一系列的假設與探討。

二、故事背景:

所謂江山代有才人出,漢文帝十四年,將門世家出身的李廣為當時最精通射箭之人,箭術舉世無雙,無人能及。

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時李廣居郡縣,當地有一處山林,據百姓所說山上住了隻丈八猛虎,凡是見過那老虎的居民,必覺其怵目驚心,可怖異常,更有食人傳說相伴兼喜夜間行動,使得當地老百姓人心惶惶。

李廣聽聞後,立馬領兵前往那座山林,欲為民除害,趁著夜色騎馬入山林。李廣四處觀察,期待能夠找到猛虎的蹤跡,忽聽林中一陣騷動,寒風四起,李廣猿臂一張、滿弓一射,往樹林中的騷動處飛去,但聞「咻!」一聲利響劃破靜謐深夜,「咚!」的一聲箭入實物悶哼後,便不再聽聞任何動靜。

眾人皆以李廣已射殺猛虎,拍手稱慶的下山了。獨留李廣原地自我陶醉、攬鬚自嘆時,一低沉的,震懾人心的聲音吼道:「汝輩豎子,立止!」李廣虎軀一震,回首一望,竟是那傳說中的丈八猛虎!牠的齜牙裂嘴以及尖牙利爪,讓李廣看了不禁汗毛直豎、冷汗淋漓,他定了定神,道:「奇也怪哉,我不是已將你射死了嗎?」猛虎哂然道:「汝箭入岩中!」

「怎麼可能?這不科學!」李廣毫不猶豫地吐出了自己內心的話,更何況跟他說話的,還是隻大老虎!猛虎睥睨了李廣一眼,表示人類的智商何以如此感人,便示意要李廣聽聽他接下來的推論:「善哉、善哉,汝既誠心發問,余便大發慈悲答汝惑。若假汝箭長 100 公分,汝弓拉距 76 公分,當其滿弓,弦至箭座時,須復增箭座之距 1.75 英吋,約莫等於 4.4 公分,故滿弓時為 80.4 公分。」

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「時汝欲射殺吾時,所出之力必為汝所能及之最大值,滿弓沒入了似余之石,弓與箭間的摩擦阻力暫且不論,考此處為中國北方,遍地多為火成岩,然該石當是質地均勻,妥妥地無誤,然該石並無陷入泥中或淺或深之狀,再不計石頭和壁面之摩擦力,畢竟算籌之術亦非吾輩猛虎所長。」

猛虎接著說:「便使該受害石為一平方公尺,考其火成岩密度約莫為 2.5 到 3.3 (取3),該質量為3噸,復增石之「動摩擦係數」是 0.33,便可知子是否果然『中石沒鏃』,亦或待四下無人時,復鑿一洞塞之!再次,汝當定神細聽,否則吾憂汝輩人類之智不及我輩精怪數甲子積累之識也。」

老虎說著說著,便用利爪在泥地上刻出下列符號和公式:

再來,我們就可以運用數學來驗證李廣是否真的射穿石頭了。

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假設石頭的重量 1t×3g=300kg 對石頭所做的摩擦力:F=(3000 × 1/2) × 1/3 = 500,500kgw 即為應變的摩擦力。因此,我們應該對石頭作功:

即應打到石頭並射穿石頭時的速度,猛虎續云:「余觀汝弓之威不遜於後世複合弓,故其箭速當為 369FPS (每秒112公尺),故汝俱以己力穿石,非欺世盜名在石上鑿之!」

廣聞虎言,久久不能自已,一臉懵逼:「為何這畜生說的我半句都聽不懂,但感覺好有道理哇!?」總而言之、言而總之自己是有可能射穿石頭的,但卻同時感覺自己智商強烈被畜生壓制,枉為萬物之靈,一時難以釋懷。

正當李廣羞怒交加、不知該如何反應時,猛虎對著還沉浸於自己世界中的李廣道:「嗚呼,豎子頑劣,若有何閃失,乃公豈非枉登極樂?千百年道行險險毀於一旦?汝輩無知登徒子,乃公久未贊汝,汝不知乃公之履著幾番矣!」利掌「啪!」的一聲巨響,揮得李廣兩眼一翻,爽快的昏了過去。

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丈八猛虎悠悠對著李廣失了魂的身軀說道:「罷、罷、罷,便以此掌泯恩仇吧!汝復醒時,將不復憶此間一事,念今日乃公心下快矣,姑饒汝命。」

次晨,李廣莫名其妙地從山野中醒來,想到自己是為了打老虎才前來的,連忙爬起來,去察看是否有老虎的屍體,結果,他竟看到一隻箭,屹立不搖的垂直立在大石頭上,心下訝然,尋思:「世上怎會有如此箭術奇人?」為了確認此人,嘗試將箭拔出大石,費了一番功夫,方能如願,然上面屬名竟落款「李廣」兩個大字,內心既驚且喜,卻又毫無頭緒。

三、結論:

受限於學識或考據時限,本文仍有相當部分的假設未能顧及,我們認為詩作中「平明尋白羽,沒在石棱中」稍稍有些誇大,畢竟這必須使用積分來推算箭每個接觸面所獲得的摩擦力,再加上空氣阻力,即便李廣能夠將箭射入石中,但可能只是箭身的一半或1/3。更遑論我們並未考慮李廣是立射?馬射?其「猿臂」到底有多長?乃至於其可能的肌肉比例。

故我們研究的主題主要是在討論「箭速要多少才能射入石頭」,故上述的因素皆未考慮,但是未來若想探究,亦不失為拋磚引玉的一步。

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參考資料

更多2019數感盃青少年寫作競賽內容,歡迎參考 2019數感盃特輯、數感實驗室官網粉絲頁喔。

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數感實驗室_96
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腳踏車界的車神——兩津勘吉 |2021數感盃|高中專題|優選
數感實驗室_96
・2021/12/25 ・3739字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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  • 作者:蔡亦翔、吳柏均、蔡孝綸 / 國立新竹科學園區實驗高級中等學校

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2021 數感盃青少年寫作競賽/高中組專題報導類佳作之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

「閃啊閃啊閃啊~撞到不負責啦!」經典台詞搭配上一台平凡的警用腳踏車,兩津勘吉總是如此爽朗的在動畫中登場。

以他為主角連載了數十年的動漫「烏龍派出所」想必大家都不陌生,也是你我兒時的共同記憶。這部動漫講述的是日本龜有公園前派出所的警察——兩津勘吉爆笑的生活故事,在長達 200 本單行卷、300 多集動畫的情節中,我們尤其對兩津他那百毒不侵的身體以及超乎常人的力量感到印象深刻。

而在劇中和他最形影不離的,就非他的那台警用腳踏車莫屬了,它除了是兩津追捕犯人時的得力助手之外,還在好幾次重要劇情中扮演了幫助他完成任務的關鍵角色,被兩津稱為「我的愛車——千鳥」。

每當我們欽佩於主角又再一次解決危機時,也不免被兩津運用這台腳踏車所發揮出的力量所震懾。

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圖(一)漫畫中兩津勘吉和他的腳踏車  

在烏龍派出所動畫的最終回特別篇中,這台腳踏車便是使東京都免於炸彈威脅的關鍵幫手。當大家對爆炸範圍為方圓 500 公尺、再兩分鐘就要爆炸的炸彈包不知所措時,兩津勘吉想到,只要將其帶到高度 634 公尺的東京最高地標「晴空塔」上投擲出去引爆,便能拯救東京都。

看著兩津背負著如此重大的使命,運用這台老夥伴奮力一搏,飛馳騎上晴空塔那近乎垂直的樑柱, 讓炸彈得以在時限內於高空中引爆,而不致於波及地面,真是令人替他捏了一把冷汗!雖然說以兩津在動畫中種種異於常人的表現來看,騎上晴空塔對他來說也不是難事,但現實中一般人可沒有他那種神力,因此我們便對於兩個問題感到好奇:

  1. 若是現實中有一位沒有這般神力的兩津,那他需要在如何的環境條件幫助下,才能像動畫中一樣騎著腳踏車衝上晴空塔呢? 
  2. 在動畫中兩津騎上晴空塔時的速度為多少呢? 

 首先來解決第一個疑問:要有多強的風才能像兩津一樣貼在塔上?

根據我們以往所學,要讓人連同整台腳踏車附著在牆面上不致於掉落,需要有足夠的正向力才行(圖二)。而這個正向力有很多種類,由於晴空塔壁面與地面的傾斜角度大到近乎垂直,正向力無法以重力的分量提供,因此我們假設現實中有一固定方向的「風力」存在,將人穩穩地壓在牆上。

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至於要如何求出風力,則要用以下公式: 

f=μ F(式一)

圖(二)正向力示意圖

我們可藉由摩擦力 f 及摩擦係數 μ 求出風力 F。由於並無打滑,代表其靜力平衡,f 摩擦力會等於重力 W,因此摩擦力 f 由重量求出,透過查詢資料得知,兩津的重量為 71kgw,普通的腳踏車平均重量則為 13kgw,總重力為 84 × 9.8 = 823.2 牛頓,靜摩擦力亦為 823.2 牛頓。

經由查詢資料,得出「橡膠」對上「鋼」的摩擦係數為 0.8 之後,代回式(一)可得到正向力 F 為 823.2/0.8 = 1029.75 牛頓。因此,可得出結論:現實中必須在有約 1030 牛頓的風力時,才能夠使普通人兩津穩穩地貼著晴空塔的表面往上騎。 

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而求得風力後,為了換算為當時環境所需的風速,需要用到風力強度公式:F = 1/2p × v2 × A

圖(三)兩津勘吉騎上晴空塔影像

而要計算風速,除了風力強度公式外,還必須考慮接觸表面積,而由(圖三)騎上晴空塔時的影像,得出所需要計算的部分有:前輪的前半部、後輪的後半部、兩津的後腦杓及背部。

利用公式 BSA(m2) = { [ Height(cm) × Body Weight(kg) ] / 3600 }1/2 ,以動畫中作者設定兩津的身高和體重,得出兩津身體的總表面積約為 1.8 平方公尺。而以成年人來說,背部表面積約佔全身的 18%,而後腦杓則約佔 4.5%,表面積總和約為 0.405 平方公尺。

藉由其身高與站立時的身體比例,可等比例求得上軀幹長(頭頂到腰帶)與腰寬。而兩津勘吉的腳踏車輪胎大小可以藉由騎車時的影像等比例推算求得,直徑約為 55.02 公分,輪胎寬度則約為 6.79 公分。車輪暴露在風下的總表面積為:6.79 × 55.02 × π/2 = 586.53 平方公分,約是 0.059 平方公尺。詳細比例參見下圖(四)、(五)、(六)。

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圖(四)由身高求得腰寬與上軀幹長
圖(五)由上軀幹長求得輪胎直徑
圖(六)由輪胎寬度求得腰寬

將兩津身體曝露在風下的表面積與腳踏車暴露在風下的表面積相加,約為 0.464 平方公 尺。再藉由資料,查得空氣密度 p 為 1.225 公斤/立方公尺,代入式(二)得到: F = 1030 = 1/2 × 1.225 × v2 × 0.464

求出的風速 v 約為 60.2 公尺/秒,由圖(七)可得知,這相當於蒲福式風級的十七級風,是強烈颱風以上的等級。由此進一步下結論:在當地風速約為十七級風時,普通人的兩津才能夠穩定的貼在晴空塔上不會打滑。 

圖(七) 蒲福氏風級表

在求得可以穩定附著在晴空塔的環境因素後,接下來討論第二個問題:兩津在塔上要騎多快才來得及丟掉炸彈?

由晴空塔官方網站得知,晴空塔高 634 公尺,而晴空塔的底部為正三角形,每邊 68 公尺,因此算出外心距離為 \( 68\sqrt{3}/3 \) 公尺,騎上去的樑柱與地面的角度 tanθ = 16.18,約為 86.5 度,綜合以上可以計算出總距離約為 635.2 公尺。詳細計算參考圖(八)、(九)。 

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圖(八)東京晴空塔外心計算
圖(九)東京晴空塔斜邊計算

根據動畫顯示,兩津騎到第 1 展望台時炸彈還剩 60 秒引爆,而兩津從到達最頂端到爆炸這之中過了 24 秒,故可得出兩津從第 1 展望台到最頂端花了 36 秒。由兩津騎腳踏車 284.4 公尺的距離花了 36 秒,可求得速度為 7.9 公尺/秒,相當於 28.4 公里/小時。以一般人在平地騎這種非公路車來說,這個速度已經算頗快了,何況兩津可是在近乎垂直的樑柱上騎到這種速度呢!

就算今天現實中有足夠的風力把我們壓在樑柱上不掉下去,但在要克服向下重力的情況下達到這種速度,也幾乎是也只有兩津才做得到吧,實在太厲害了!

圖(十)東京晴空塔簡圖與剖面

在完結篇的最後,兩津勘吉雖然超乎常理以他的自行車「千鳥」在近乎垂直的角度下騎上東京晴空塔,並成功在時間限制內騎到頂端,使炸彈爆炸時減少對東京都城區的危害,但因為炸彈包卡在手上沒有成功丟出去而喪失了性命(雖然最後還是復活了)。

當他在決定騎上晴空塔時說過一句話:「如果搭乘晴空塔的電梯就太慢了!」但是我們對此有些疑問,根據晴空塔官方的資料,電梯速度為 10 公尺/秒,而兩津的騎車速度為 7.9 公尺/秒,若搭乘晴空塔電梯到觀景台後再騎車上去,到達頂端後應該還可以有多出幾秒時間可以讓他重新將炸彈包丟到更遠的地方,故事也將因此改寫。

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發現這個矛盾後,我們感到有些好笑,不免想要像大原所長一樣向他吼出:「兩津,你這個大笨蛋!」 

在觀賞動漫的途中,不仿試著以物理學來分析其中的情景,遇到難以置信的片段,不知道在現實中能否達成時,保持疑問的態度,嘗試解釋其合理的過程,最終推理出結果。這樣將平時所學運用在生活中,不僅讓那些知識變得更平易近人,也增進了我們的思考能力。

雖說有時會遇到常理無法解釋的片段,或許就只有在動漫中才能實現。但也不要認為動漫都不切實際而不值一顧,像烏龍派出所中儘管有許多超現實的劇情片段,但也因為有了這些部分,才賦予了其主角兩津勘吉的人格形象,也讓這部作品在動漫界中獨樹一幟。

一路走來我們看到兩津飛天遁地、出生入死,為了保護所愛之人不顧一切,情緒也不免隨之變的熱血沸騰, 並在腦海中留下了許多美好的回憶,這也就是這部動漫帶給我們的深遠影響吧! 

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引註資料

1. Material Contact Properties Table

2. 維基百科:兩津勘吉的外貌體格

3. 維基百科:空氣密度

4. 維基百科:蒲福氏風級

5. 東京晴空塔官網

數感實驗室_96
60 篇文章 ・ 40 位粉絲
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失控電梯回地球,大氣層中樂逍遊|2021 數感盃|高中專題|銅獎
數感實驗室_96
・2021/12/25 ・4620字 ・閱讀時間約 9 分鐘

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  • 作者:王姵予、林嘉瑜、謝宇彤 / 國立新竹女子高級中學

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2021 數感盃青少年寫作競賽/高中組專題報導類佳作之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

一、研究動機 

羅德.達爾充滿想像力的故事使他在兒童文學居於執牛耳的地位,其中查理與旺卡先生的冒險故事,更是他經典的代表作。他們乘坐的神奇升降梯,堪比 Space X 的回收火箭,竟然能夠毫髮無傷地回到地球。因此,我們想利用數學計算,把羅德.達爾的想像力,幻化成未來科技無限的可能。 

圖/IMDb

二、研究目的 

(一)設法以現有數據求得升降機的基本物理量 

(二)神奇玻璃升降梯究竟能夠耐多高的溫度、有多大的變形,才能安全帶他們回到地球

(三)升降梯要怎麼從終端速度減速(及緩衝),才能安全降落 

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三、故事簡介 

在查理全家人都搭上升降梯後,旺卡先生要帶著他們回到巧克力工廠。要這麼做,旺卡先生打算在自家工廠的屋頂上再撞出一個洞,為了獲得足夠的位能,他駕駛著升降梯不斷地爬升, 意外的是,旺卡先生一不小心,讓升降梯飛到了外太空! 

四、研究過程 

→ 統一符號: 

(一)求得升降機的基本物理量 

  1. 推算這座升降機的玻璃質量 

(1) 求升降機的表面積

◉ 升降機高度估算(含與不含屋頂) :

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再根據繪者所畫的升降機作為比例尺,我們測量出喬治外公與升降機不含屋頂與含屋頂時的高度。

書本封面

接著,我們會由喬治外公的身高分別推算出升降機不含屋頂以及包含屋頂時的高度。 以下為計算過程:

7 : 10 = 179.75 : 256.79(升降機不含屋頂時的高度)

3.5 : 4.7 = 256.79 : 344.83(升降機含屋頂時的高度)

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◉ 底面積估算:

根據泛科學:

∵ 以雅各布人口估計法(廣泛使用於人口集聚等調查)得  \( \frac{3}{10000} \) 人/平方公分為參考

又 ∵ king size bed 為 150cm × 200cm

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∴ 底面積 = 5 × 10000/3 + 150 × 200 ≈ 16666.67 + 30000 = 46666.67cm2

◉ 上方角椎側面積估算:

由升降機的以上兩個高度的差,求得角錐地的高為 344.83 – 256.79 = 88.04cm

∵ 高度(88.04cm)及 1/2 的升降機寬(216.02 × 1/2 = 86.845)

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∴ 畢氏定理可得,角錐側面三角形的高為  \( \sqrt{88.04^{2}+86.845^{2}}\approx 123.67cm \)

由升降機底面積可得,底面正方形的邊長為  \( \sqrt{46666.67}\approx 216.02cm \)

∴ 角錐側面積 = 216.02 × 123.67 × 1/2 × 4 = 53430.39cm2

◉ 下方長方體側面積估算:

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∵ 已知高為 256.79 且底面周長為 216.02 × 4 = 864.08cm

∴ 長方體側面積 = 256.79 × 864.08 = 221887.1cm2

升降機的表面積 = 46666.67 + 53430.39 + 221887.1 = 321984.16cm2

(2)求玻璃整體的體積

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∵ 一般玻璃規格最厚的厚度為 1.5cm

∴ 玻璃整體體積 = 321984.16 × 1.5 = 482976.24cm3

(3)換算為質

∵ 一般玻璃密度為 0.0025kg / cm3

∴ 玻璃整體質量 = 482976.24 × 0.0025 = 1207.44kg

2. 推算所有人的質量

∵ 書中沒有每位角色準確身高體重的數據

∴ 我們調查了飾演過不同角色的演員,並合理推估 BMI 算出相對應的體重

正常 BMI 取範圍中間值,而過輕用符合值計算。(巴克一家是低收入戶,在家中的老人小孩每天只有一碗包心菜湯,因此除了兩位相對健壯成年人外,皆以過輕推算。)

∴ 人的總質量為 444.29kg + 升降機玻璃質量 1207.44kg = 1651.73kg

3. 推算升降機整體體積 

(1) 角錐體積

正四角錐體積 = 1/3 × 底邊2 × 角錐高 = 1/3 × 216.022 × 88.04 = 1369511.21cm3

(2) 長方體體積

長方體體積 = 底邊2 × 高 = 216.022 × 256.79 = 4108533.63(底面積被設為正方形)

(3) 總體積

總體積 = 角錐體積 + 長方體體積 = 1369511.21 + 4108533.63 = 5478044.84cm3

(二)玻璃承受的溫度 

「再這樣下去,我們自己也要被炸成油餅!被烤的像牛排那樣!看看玻璃吧!它們比滋滋作響的油還燙呢!」約瑟芬奶奶大叫 (p.143) 

「別怕,親愛的女士」旺卡先生安慰:「我的升降機裝了空調,有通風和充氣設備,還有自動防護裝置,我們不會有事的。」(p.143) 

→就算旺卡先生的玻璃升降梯沒有裝設空調等的特殊設備,玻璃究竟要耐多高的溫度,才能保護升降梯內乘客的安全呢?

  1. 推算降落時的溫度變化 

(1)動能

初速v1 = 0km / hr = 0m / sec

末速(書中描述降落過程的最大值)v2 = 3200km / hr = 888.89m/ sec

升降機與人的總質量 = 1651.73kg

代入動能公式:K = 1/2m (v22 – v12) = 1/2 × 1651.73 × (888.892 – 02) = 652536939.98J

(2)換算熱能,並推得溫差

玻璃(板)的比熱S= 0.84J / g ℃

升降機與人的總質量 = 1651730g

將動能的J換算成熱能的 cal

依公式 K = H = mS∆T × 4.2

K = H = 1651730 × 0.84 × ∆T × 4.2 = 652536939.98J

∆T = 111.98

依科學的角度來看,約瑟芬奶奶只是在無病呻吟。因為經過熱處理(強化)的玻璃,依然足夠抵擋 150℃ 至 200℃的溫度差。不過約瑟芬奶奶倒是說對了一件事,玻璃的確燙得可以煎牛排了!(只要 65-74℃ 就已達七分熟)

還有一件會讓約瑟芬奶奶嚇個半死的問題⋯⋯這座升降機會膨脹!

2. 膨脹後的體積 

以下為熱膨脹計算公式: 

膨脹的量 = 原長(cm) × 熱膨脹係數 × ∆T(℃)

玻璃的線性膨脹係數為 9 × 10-5,∆T(由以上可得知)為 111.98℃

∴ 膨脹的量 = 原長(cm) × 0.01

(1) 角錐體積

原角錐體積 = 1/3 × 底邊2 × 角錐高 = 1/3 ×216.022 × 88.04 = 1369511.21cm3

膨脹後角錐體積

= 1/3 膨脹後底邊2 × 膨脹後角錐高

= 1/3 × (216.02 + 2.16)2 × (88.04 + 0.88)

= 1/3 × 218.182 × 88.92 = 1410938.47cm3

(2) 長方體體積

長方體體積 = 底邊2 × 高 = 216.022 × 256.79 = 4108533.63cm3

膨脹後長方體體積 = 膨脹後底邊2 × 高

= (216.02 + 2.16)2 × (256.79 +2.56)

= 218.182 × 259.35cm3 = 12345711.59cm3

(3) 總體積

總體積 = 角錐體積 + 長方體體積 = 1369511.21 + 4108533.63 = 5478044.84cm3

膨脹後總體積 = 膨脹後角錐體積 + 膨脹後長方體體積 = 1410938.47 + 12345711.59 = 13756650.06cm3

可得知整座升降機會膨脹,而且膨脹的量值十分可觀,怪不得約瑟芬奶奶如此害怕。 

(三)回到巧克力工廠 

如果減速了,當初的位能就無法完全轉換成動能衝破屋頂。 因此我們想了一個解決之道:讓玻璃升降機通過原本的洞,再落入巧克力河中,用其浮力抵銷龐大的衝擊力。 

我們使用 excel 表格算出玻璃升降梯的終端速度 ,以下是我們在 excel 中使用的公式以及其推論:

我們把起始高度設為大氣層高度 1000km,h = h0 – (v0t + 1/2at2)

加速度距離公式:v = v0 + a∆t

速度公式:Fd = 1/2Cd × D × A × v2

空氣阻力公式:F = ma

牛頓第二運動定律:Fnet = F – Fd = ma – (1/2Cd × D × A × v2)

淨力:aeffective = Fnet / m

有效加速度:如果將大氣密度看成一個一次線性函數 

設 y = 𝞪x + 𝞫 (y = D, x = h),dg 為接近海平面之大氣密度,約為1.2255kg/m3

(0, dg) 和 (h0, 0) 為線上兩點,代入得一次方程式 

dg = 𝞪 × 0 + 𝞫 ⇒ 𝞫 = dg

0 = 𝞪 × h0 + 𝞫 ⇒ 𝞪 = -dg / h0

𝞪 = -dg / h0𝞫 = dg ,y = D,x = h 代入,得高度與大氣密度完整方程式如下:D = -dg / h0 × h + dg = dg (1 – h / h0)

9.64km 為地球半徑,而重力與離地球高度有關係:

9.8 = GM / 64002,a = GM / (6400 + H)2 ,將 9.8 除以 a ,以求他們的關係式。

9.8 / a = (GM / 64002) / [GM / (6400 + h)2 ] ⇒ 移項簡化後得 9.8 × 64002 / (6400 +h)2

接下來是終端速度,也是我們畫 excel 表的最終目的。終端速度是在中和了空氣阻力後,達到的速度平衡狀態。如下表所示,玻璃升降梯的終端速度大約是 140m/s,但是如果以這個速度降落的話⋯⋯大家都會變成一團肉泥!!!好險在兵荒馬亂之際,聰明的查理想到一個好辦法:

「威力汪卡先生!我們需要減速!!立刻開啟減速器!!!」查理吶喊。 「啊!親愛的孩子,一切都在我的掌控當中,但是我們要減到多少速度才能安全降落呢?」旺卡先生問。 

約瑟爺爺眼睛一亮的說「查理,我們去參觀工廠時看到的巧克力河能不能派上用場呢?」 查理:「對!爺爺你說的沒錯!我們可以用它來做個緩衝。」威力旺卡先生,你可以打電話給溫帕倫普斯人(工廠員工小矮人),請他們關掉動力,讓巧克力河變成一座深不見底、無邊際的巧克力潭嗎?趕快!我們沒有時間了!」 

「沒問題!包在我身上!」旺卡先生拍胸保證。 

「我記得物理課時學過,人類高空跳水最高紀錄是 30m,不然我們用這個試試看。」查理補充道:「根據力學能守恆,1/2mv2 = mgh 經過移項得 v =  \( \sqrt{2gh} \)(取正值),因此我們的速度必須降到  \( \sqrt{2\times 9.8\times 30}\approx 24.25(m/s) \) 快拉減速拉桿,就是現在!」

「那我們會不會沉進巧克力河裡?喔天啊,我還不想死!」約瑟芬奶奶哀號。

「別擔心!威力旺卡先生告訴過我,plain chocolate 的流體密度大約是 1.31625g/cm3,(根據第一部分,討論玻璃升降梯的基本物理量)我們玻璃升降梯的密度是 m=DV,得 1651730g = D × 5478044.84cm2 ,得 D = 0.30151g / cm2。0.30151 < 1.31625,因此我們會是浮體,用不著擔心的。」查理替大家說明。 

砰!一聲巨響打破向來平靜而神祕的巧克力工廠。整個巧克力河沿岸的軟糖草皮都被覆蓋在噴濺出的巧克力中,溫帕倫普斯人划著粉紅色硬糖船迎接他們的到來。

「我果然沒看錯,你就是我工廠的繼承人!」旺卡先生高興地再次宣布:「因為你的冷靜分析和數學能力,才得以在千鈞一髮之際救大家一命,我相信你一定會成為很棒的繼承人!」威力旺卡眼中滿是驕傲和寬慰。

資料來源 

數感實驗室_96
60 篇文章 ・ 40 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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《世界上最危險的男人》——2019數感盃 / 高中職組專題報導類銅獎
數感實驗室_96
・2019/05/20 ・2839字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 536 ・七年級

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數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類銅獎 之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:黎慕潁、唐睿穎/臺北市立永春高中

在 Minecraft 的世界中,我們的男主角— Steve,總是背著一堆東西到處跑,不管上山、下海都難不倒他。在 Steve 探險的過程中,只要看到喜歡的東西,就往包包裡塞,但他還是能保持著一樣的速度,在遊戲世界裡快樂的跑跳,這樣怪異的行為引起了我們的注意,因此,我們決定來研究男主角 Steve 的力氣到底有多大。

為了知道他到底有多厲害,我們首先來了解一下 Minecraft 世界的幾個規則:

  1. 在遊戲中一「格」等於一「公尺」
  2. Steve 最高可跳躍 1.252 (m)(格) 高
  3. 每位玩家的背包共有 4 × 9 個位置可以放東西
  4. 每格物品欄可堆疊 64 個方塊或 16 個非方塊性物品
  5. 每位玩家可裝備頭、胸、腿、腳四個裝備

在舊版本遊戲中,最重的物質為「黃金」,而在遊戲中可將 9 個金錠合成為「金磚」,遊戲中的每個方 塊皆 為 1 m³ ,由於黃金的密度 19.329 g⁄cm³ ,所以遊戲中的金磚為 1932.90 (kg),而遊戲中的方塊可堆疊 64 個在背包中的 36 格。

也就是我們的男主角 Steve 可以負重:

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這很明顯已經超越地球上的所有生物,但別忘了裝備欄還可以穿著 4 樣裝備,每個裝都可以使用金錠合成,而我們可以從金磚的重量推算出金錠約為:

以下為四個裝備的合成表:

上剛剛得到在背包中的重量的話,Steve 共可以負重:

 

在遊戲中的蘋果可利用 8 個金磚和 1 個蘋果做成金蘋果(特殊道具),而每個金蘋果也可堆疊 64 個,因此,假設每個金蘋果皆為金磚製作,每個普通蘋果約重 0.30 kg ,則 Steve實際可以負重:

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有「世界最強壯男人」之稱的英國大力士 Eddie Hall 舉起了 500 kg ,區區遊戲男主角卻能輕易地舉起35633058.480(kg),也就是約需要 71266 個世界紀錄才能跟一個 Steve 抗衡,這真的是太扯啦!

從以上結果我們可以知道 Steve 是一個異常恐怖的超級大力士,但是別忘了,我們的 Steve可以垂直起跳 125.2 (m),接下來我們來討論已經背了 35,633,058.480(kg)的他,究竟用了多大的力氣才能向上跳起 1.252 (m)吧!

讓我們先來了解一下成年男性的跳躍力吧!

普通成年男性的垂直跳躍力約為 0.65 (m) ,而職業籃球選手的跳躍力約為 0.90 (m),Michael Jeffrey Jordan 則跳了 1.00 (m),而 Steve 卻足足跳了 1.252 (m),從這兩個數據就可以知道 Steve 的力量已經無「人」能超越了。

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在官方數據中,Steve 的身高為 1.80 (m),假設 Steve 是一個健康的成年男性,BMI 值在正常範圍內 (18.0~24.0) ,我們可以利用 BMI 的計算公式,得出 Steve 的體重約為:

若在遊戲中的重力加速度與現實相同,經過計算, Steve 的初速度需要為 4.953 m⁄s 才能使他垂直跳起 1.252 (m)。

假設 Steve 從施力到離開地面有 0.01(s),則甚麼都沒有背的 Steve,垂直起跳力約為:

從前面的經驗來說,這樣「普通」的數據已經不能滿足我們了,我們想要知道 Steve 的神力極限到底在哪裡,所以我們把 Steve 的最大負重一起加入計算:

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但這只是我們假設遊戲中的重力加速度和現實一樣的狀態而已!

經過我們的計算,遊戲中的重力加速度大約為 16 m⁄ s² ,則他的初速須為 6.330 m⁄s 才能在遊戲中垂直起跳 1.252 (m)。

我們利用這些數據可以得知,若使用遊戲中的重力加速度為基礎,甚麼都沒有背的 Steve垂直起跳力約為:

而背起背包的他則需要:

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綜上所述,利用物理公式 U = mgh 來計算,我們的男主角 Steve 如果背著全身的金蘋果,穿上全套的黃金裝備原地跳一下,總共需要約:

713801427.471(J)相當於 170.602 (kg)的 TNT,可以同時炸掉最少 170 台汽車,這是多麼恐怖的威力啊!

在遊戲中,Steve 會像現實世界一樣受到墜落傷害,這樣的傷害會隨著高度而提升,而 Steve最高可以從 23(m)的地方往下墜落不會死掉,也就是 Steve 的雙腳最大其實可以承受:

照這樣的數據來看,Steve 的雙腳不只可以炸毀 170 台汽車,更可以使出等同於3134.073(kg) TNT 的力量。

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我們利用廣島核爆的數據計算出,1(kg) TNT 的爆炸範圍為 41.407(m²),而一個臺北市的面積為 271800,000.00(m²),所以從 23(m)高跳下來的 Steve 可以炸毀約:

相當於129772.601(m²) ÷ 271800,000.00(m²) =1/2000 個臺北市。

竟然只有 1/2000個臺北市?!太令我失望了!!

為了找出 Steve 的神力極限,我們先從最新版本的遊戲去尋找Steve 的負重極限:

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在最新版本中,有一種箱子叫做「界伏盒」,他是一種內容量 27 格、可以裝滿東西之後再放進背包的箱子,也就是說我們只要將 36 個界伏盒都裝滿金蘋果,我們理應可以做出目前版本的最大負重量。

由於我們討論的物質「黃金」的質量實在太大了,因此我們幾乎可以忽略界伏盒的重量。我們讓 Steve 背上 27 個裝滿金蘋果的界伏盒,再穿上全套的黃金裝備可以得到:

我們將 Steve 全身的重量帶進 U = mgh 中,再從 23(m)高跳下來,可以得到:

這樣的力量共可以摧毀:

 

不!不可能!

我們不需要這種結果!

於是我們繼續往更多可能尋找答案,我們發現在遊戲中,Steve 可以在任意高度落下後抓住梯子並瞬間停止,且不受到任何傷害。於是我們找到了在遊戲中可利用作弊指令將自己飛到 30000000(m),並抓住海拔為 0(m)的一格梯子,則可以算出在抓住梯子時所需要的力量為:

我們將這個數據換算成 TNT 的爆破力,可以得到相當於約110,358,543.813(t)的 TNT,而這麼多的 TNT 可以炸毀:

而一顆炸毀廣島的原子彈—「Little Boy」的威力為 15000 噸 TNT,也就是說 Steve 可以使出:

7357.236 顆的「Little Boy」!!

綜合上面的數據我們可以知道,身高 1.80(m)、體重 77.76(kg)的 Steve 可以毀掉7357.236 個廣島,或是 16,812.421 個台北市,說是武器都不夠形容他的神力,經過我們的研究之後,我們只希望:

他永遠不會成真。

 

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