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別再管分數了!拋下菁英主義,是讓你愛上數學的第一步——《幫孩子找到自信的成長型數學思維》

臉譜出版_96
・2019/04/01 ・2917字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 518 ・六年級

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現在,我們先問問自己:「你對數學有什麼感覺呢?」

最近為了準備線上課程,我和我的學生在舊金山街頭找了形形色色的路人進行訪談。我們訪問大約三十個人,有各種年齡、族裔、成就高低、社經背景。我們的訪談都用這句話當開場白:「能不能告訴我你對數學有什麼感覺?」

這透露了非常有趣的事,因為每個人會馬上告訴我們他們在學校時數學表現得如何。倘若我們問的是他們對藝術、科學或文學有什麼感覺,就不會發生這種情況。然而因為成長於看重表現的文化中,數學扮演了毫不留情的角色,被當成評判自身價值的衡量工具

數學常被當成評判自身價值的衡量工具。圖/wikimedia

超前學習就是好嗎?學得快不如學得透徹

我經常遇到家長,對孩子在英語、科學等科目的學習泰然處之,但對於數學就緊張萬分。這樣的父母通常希望孩子能盡快學到進階數學,越早修進階數學課程越好,彷彿不這麼快學就會落後或是失去優勢。這很不幸,因為我們知道從小在數學上成績較好的學生,在他們學到低階數學時反而更傾向放掉數學。

比爾. 傑考(Bill Jacob)是加州大學的數學教授及加大學術委員會副主席,當學區和家長詢問他能不能讓學生提前修進階數學時,他建議不要,告知若急著學微積分,往往會造成準備不足,讓學生提早放棄,最後反而害了他們(Jacob, 2015)。

他還告知,微積分 BC 課程並不會讓學生的數學更上層樓,在低年級階段準備得更扎實,反而會讓學生有比較好的狀況。雖然大學很重視在高中階段修微積分的學生,但學生只需要在十二年級結束前修完微積分就行了,不必急著提早開始,只為了讓成績單更好看。此外,微積分也不是非修不可;我有幾個史丹佛的學生高中時就沒有修微積分,甚至還是理工科系的學生。

若急著學微積分,往往會造成準備不足,讓學生提早放棄。圖/pxhere

最近有個媽媽設法跑到我在史丹佛的辦公室來申訴,因為她的學區取消了進階班,結果變成所有的學生都能修進階數學。她一開口就極力指責我影響該學區的決策,但在我們的交談過程中,她經歷了各種情緒轉折,包括哭泣和如釋重負。她先是告訴我她女兒的前途已經毀了,因為她修不了進階數學課。

我於是向她解釋,學區替她女兒安排的學習軌跡仍然修得到微積分,她還是可以在自己的班級學到進階數學。我還建議,如果她的女兒需要接受更多挑戰,比較有效益的方式是把所學的觀念理解得很深入透徹,而不是快點學到進階的內容。交談過程中這位媽媽越來越平靜,離去時算是疑慮已消,只是依然打算要讓女兒「在家自學」──只有數學這一科。

只在意分數高低:贏在起跑點,卻輸在終點

傳統的數學教學方式和已滲透進數學教學與學習的重表現文化,對高成就學生與低成就學生造成的傷害是一樣大的。研究結果顯示,有非常多的高成就學生放棄數學,而他們被推上進階數學課程與班級之後,概念理解力反而下降了(Paek & Foster, 2012)。

英國及國際數學奧林匹亞主席傑夫. 史密斯(Geoff Smith)最近公開談到讓學生倉促進階到更高的程度這件事。他表示,讓學生加速通過這個體系是「災難」也是「錯誤」,高成就的學生應該要深入探究數學,而不是匆促邁向更高的程度。不過,菁英主義的表現文化還會以另外一種方式傷害高成就學生,我們在為前途做出錯誤抉擇的學生人數上可看到這點。

你自以為擅長數學,對它又沒有愛,該如何堅持下去?

英國做過的一項研究顯示,不少大學生因為自己一向擅長數學而選擇數學當作大學科系,但當他們進了大學,卻發現身邊其他的同學跟他們一樣擅長數學(Solomon, 2007)。他們的自信心與自我認同在那一刻出現了危機(Wenger, 1998)。他們還沒有學會愛上數學或欣賞數學之美;相反地,他們是因為自己有能力做到,讓他們覺得自己特別好,才選擇了數學。

在顯然和他們一樣「特別好」的眾人環繞之下,他們失去了目標,領悟到自己從未對數學本身產生興趣,最後決定放棄(Solomon, 2007)。走上大學數學這條路卻發現自己並不是真正想讀數學的學生人數,與可能可以讀且喜歡讀數學、卻被學校賦予數學的錯誤形象打退的學生人數,兩者的比例大概是一比一百。

有些人走上大學數學這條路卻發現自己並不是真正想讀數學。圖/pixhere

數學的三個層面:只懂程序但不懂意義是不夠的

Youcubed 平台的執行總監凱西. 威廉絲(Cathy Williams)在來到史丹佛之前,是學區數學科主任,她的工作是和前來理論的家長面對面接觸,這些家長多半是想爭取孩子修進階數學課的機會,因為他們的孩子程度很好又很聰明。

碰到這種情況,威廉絲都會提議和他們的孩子會面,然後為這些孩子做一次數學評鑑,好讓她了解他們的需求。結果威廉絲總是發現這些學生對於程序的反應很快,但沒辦法理解數學的意義,或是解釋不出觀念為什麼合理。舉例來說,這些學生算得出 1÷3/4 的答案是 1 又 1/3,可是他們無法解釋自己算出的答案為什麼是合理的。

威廉絲讓那些家長明白,數學是一門很寬廣的科目,不是只有計算與求快,而是牽涉到觀念的理解。她給他們看一張圖,上面畫出數學的三個層面。

數學的三個層面。圖/臉譜出版

接著她向那些家長說明,他們的孩子只在其中一方面有很強的能力,而在另外兩個重要的數學面向才剛要開始累積實力;他們的孩子需要的不是更多的數學內容,而是需要多多理解他們已學過的數學,在反覆練習程序之餘,要能夠應用數學觀念。這些都是雇主最需要的數學思維。

菁英主義bye bye,人人都能欣賞數學之美

數學是多元的、美的、人人都能學習的科目。圖/pxhere

重表現的菁英主義文化充斥在數學中,並不是老師的錯,因為數學老師也受績效考核,就和他們的學生一樣。錯在我們的文化喜歡拿數學當作揀選機制和判定資優生的指標。

不管對高成就還是低成就學生來說,數學都亟需改變,要從被當作學生(和老師)排名分類依據、菁英主義且重表現的科目,變成開放、重視學習的科目,因為目前高成就學生棄數學而去的人數刷新紀錄,而低成就學生又被擋在門外,接觸不到他們完全有能力學習的觀念。

許多人同意,學生需要正面的思維信念,但假如我們真的希望給學生這些觀念,那就必須從根本改變美國社會中呈現及傳授數學的方式。我在給 Youcubed 每位訂閱者的電子郵件信末都會附一句話:「Viva la Revolution!」(革命萬歲!)我這麼做的原因是,我很清楚我們需要一場革命,要改造大家對數學、對這個科目、對學生潛能和思維模式的既有信念;要摒棄充斥在此科目中的菁英主義;要從表現轉向學習;要接受數學是多元的、美的、人人都能學習的科目

 

 

 

本文摘自《幫孩子找到自信的成長型數學思維》,2018年12月,臉譜出版。

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臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。

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原來數學也可以用在這裡?生物巧妙運用數學模式,克服了移動上的物理限制——《生物世界的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/10/26 ・1541字 ・閱讀時間約 3 分鐘

步調模式千變萬化

生物體移動時所受的限制是屬於物理學的。如果該生物使用的是肢體,這些肢體必須強壯到可以支撐作用在牠們上面的力量。(我看過不少設計較差的機器人在移動時散掉。)其他形態的移動也一樣,如果是游泳,該動物就要全力對付流體力學的定律。物理定律影響動物的移動是很明顯的,不值得奇怪。顯然,在這個情形當中,數學提供了各式各樣的模式,而被生物學拿來運用。很少不會用到,不管多麼奇特。

游泳時要全力對付流體力學定律。圖/Pexels

物理學的影響還要更深入。單有腿也沒有用,除非你有可以控制腿的神經系統。運動與神經網路是一體的,兩者一定要一起演化,而不是個別的。另外,正如負責感覺的神經網路一定會模擬外在世界的模式,因此負責運動的神經網路,必定會模擬動物身體的機械性模式。

我很懷疑這種共同演化真的有可能或很容易發生,因為下面這個顯著的事實:像肢體這樣的物理系統的自然振盪模式,跟神經網路的振盪模式是一樣的。早在肢體和腦變成完整的生物結構之前,就已經有一種普遍的步調韻律存在了,潛在地將動物的肢體關聯到腦。步調節奏提供了存在於演化相空間中、等待被使用的模式。

形形色色的生物移動

這模式的確一直被應用。差不多所有的生物都會移動,甚至連最固定不動的植物也會向光彎曲,最微小的浮游生物也會隨波逐流——但是,獵豹在追逐獵物時,可以跑到每小時一百一十公里,這移動真是快速啊!

生物體的種類這麼多,而移動的方式也是千變萬化。細菌利用會旋轉的微小螺旋槳使自己在水中推進,就像船一樣;像草履蟲(Paramecium)這類單細胞生物,則能藉由揮動鞭毛來選擇運動的方向。

(圖七○)Centronotus gunnellus 這種鰻魚肌肉收縮的波形。圖/《生物世界的數學遊戲》

運動的數學模式形形色色,更是令人印象深刻:草履蟲鞭毛的移動有如行進波,就像是玉米田在微風吹拂下產生的浪波;細菌的旋轉螺旋所成幾何圖案之美是無可比擬的;蛇和鰻是靠肌肉收縮做波狀蠕動行進(圖七○);響尾蛇在熱燙的沙漠中滾動,像一個捲曲的彈簧;尺蠖走動時是尾巴頂到頭部,整個身子呈 ∩ 狀,然後前端再向前行並伸展成-字形。

信天翁滑翔時羽翼僵直不動,偶爾慵懶地鼓翼一下,以有蹼的腳劃過水面,而後用笨拙卻迷人的方式飛跑而起;大象拖著沉重的腳步,緩慢橫過空曠的熱帶大草原,一次移動一隻腳(圖七一),模式就像那隻在海邊市鎮漫步的拉布拉多獵犬。

(圖七一)大象的慢步行走。圖/《生物世界的數學遊戲》

駱駝行走的模式又不一樣了:先同時移動兩隻左腿,然後是兩隻右腿〔稱為「溜蹄」(pace)〕,身子左右搖擺有如醉漢一般。松鼠又是另外一種模式:跳一下,停一下,然後再跳一下;如果遇到警訊,就省掉「停」的步驟。

Carparachneaureoflava 這種車輪蜘蛛會像一個有八個輪輻的輪子般,滾過沙漠。世界上有一種會跳躍的蛆〔較正式的稱呼為Ceratitis capitata(地中海果實蠅)的幼蟲〕,會把自己扭曲成 ∩ 形,然後再伸直,就像一顆砲彈般跳入空中,形成一個完美的拋物線。

——本文摘自《生物世界的數學遊戲》,2022 年 9 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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比大還要再大!比「無窮」還要更大是什麼概念?——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/28 ・2660字 ・閱讀時間約 5 分鐘

我們都知道無窮(infinity)是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時,一定會想知道一件事:

什麼事物比無窮大?圖/經濟新潮社

比無窮還大?有可能嗎?

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題,也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」,而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看,但我們或許應該先訂好遊戲規則,讓大家知道該怎麼思考。

具體說來,我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物?如果是有限的量,要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易,但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷,所以必須選擇簡單明瞭的規則,用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼,在一般、有限的狀況下,我們通常怎麼判定「較大」?我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思?

右邊這一堆比左邊的更大圖/經濟新潮社

沒錯,用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人,這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念,我們該如何解釋右邊這堆較大?真的,試試看就知道。這個概念太基本了,其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時,數學中有個常用的技巧,就是提出完全相反的問題,看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?

我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?圖/經濟新潮社

我們不能用「相等」這個詞,因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思,以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來,一個對一個。如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。

如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。圖/經濟新潮社
圖/經濟新潮社

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來,就能得到「較大」的定義。

圖/經濟新潮社

現在問題已經定義清楚了,答案也隨之確定。那麼,世界上有什麼事物比無窮更大?答案是「是」還是「否」?世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘?現在我們可以思考之後猜猜看。

無窮跟無窮 +1 誰比較大?

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子,裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體,袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大?好吧,如果是無窮加一呢?

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響,但我們用配對規則來確認看看。首先,我們可以把無窮袋中的物體排成一排,這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

如果我們以最顯而易見的方式配對,無窮加一看起來當然更大。

不過要小心!規則指出,兩個事物必須無法正好兩兩配對,才會有一者較大。(最好經常回頭看清楚規則!)還有一種配對方法確實可行,而且兩方都不會有剩餘:

如果你覺得這樣好像在騙人,請花點時間告訴自己,這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對,而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體,不會有物體配對不到,所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮!

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

無窮大飯店!如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊,沿著走廊有一排房門,連綿不絕地延續下去,無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭,所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房,每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌,飯店裡每間房間都住滿了(對,這個世界裡有無限多個人)。如果沿走廊隨意走一段距離,選一扇門敲幾下,就會聽到:「有人!請勿打擾!」無限多間房間,裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說:「請問還有房間嗎?」我們不是第一天在無窮大飯店工作,當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說:「各位來賓,抱歉打擾一下,請各位來賓搬到下一間房間。沒錯,請收拾好行李,走出房門,朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作,祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後,就有房間給新住客了。

無限多間房間,無限多加一位住客,房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

無窮加五、無窮加一兆……都沒關係,這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對,可以多裝進一位客人。無窮非常大,任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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圓形 = 三角形?形狀之間的秘密關係——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/27 ・1427字 ・閱讀時間約 2 分鐘

數學家通常都想很多,這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念,試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時,很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問:形狀是什麼?構成形狀的要素是什麼?我們以形狀分辨物體時,會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的,以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼?當我們說某樣東西是圓形時,看到的是什麼呢?

形狀百百種,可以量化嗎?

當然,這些問題沒什麼意義。就實際用途而言,我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想,形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了,我們或許會問自己這個問題:

世界上有多少形狀?圖/經濟新潮社

這個問題很簡單,但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法,稱為廣義龐卡赫猜想(generalized Poincaré conjecture,或譯龐加萊猜想)。這個猜想提出至今已經超過一百年,目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多,有一位數學家解出這個問題的大部分,因此獲得了100萬美元獎金,但還有許多種形狀沒有找到,所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀?如果沒有更好的點子,有個不錯的方法是畫出一些形狀,看看會有什麼結果。

我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社
我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎?波浪線(squiggle)應該全部算成一大類,還是應該依彎曲的方式細分?我們需要一種通用規則來解決這類爭議,才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師,通常會希望規則既嚴謹又精確:必須長度、角度和曲線都完全相等,兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學(geometry)這個數學領域。在這個領域裡,形狀嚴格又精確,經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

決定兩個形狀是否相同的規則相當多。圖/經濟新潮社

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀,但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則,它能夠把所有的形狀分成若干類別,但類別的數量又不至於太多。

所以三角形可以等於圓形。圖/經濟新潮社




——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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