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日常生活中的障眼法:只求眼前乾淨的環保,就是真環保嗎?

賴昭正_96
・2019/01/14 ・3516字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 535 ・七年級

編案:本文完稿於 2018 年 12 月初

在「日常生活中的邏輯」(泛科學,2016/1/20)一文裡,筆者提到在日常生活中有許多論調,只要用邏輯一分析,立即可判斷其真偽:例如某財務顧問保證可以幫你賺錢,那一定是騙人的,因為如果一定可以賺錢,他早就發大財天天在夏威夷度假了,那會在這裡為你賣命?!在「統計的魔術」(科學月刊,2018 年 9 月)及「人體太複雜了」(泛科學,2015/11/11)二文裡,筆者提醒讀者,統計時常參雜著研究者不自覺或有意的偏見、取樣與數據的操作、研究經費來源的回報等等因素,因此不要太相信使用統計的研究報告。

在這裡,則讓我們來談一談日常生活中常見到的「障眼法」。

魚與熊掌兼得

諾貝爾經濟獎今年頒發給耶魯大學的 William Nordhaus 以及紐約大學的 Paul Romer。前者四十年來,一直在努力說服政府面對氣候變化,最好是對碳排放徵稅;後者的工作闡釋了政府政策在促進技術創新方面發揮著關鍵作用。在當天的新聞發布會上,Romer 說他的研究讓他樂觀認為,社會可以解決像全球暖化這樣困難的挑戰:「許多人認為,保護環境太過昂貴和困難,以至於他們只是想忽略這個問題。 我希望今天的獎項可以幫助每個人看到當我們開始嘗試做某事時,人類能夠取得驚人的成就。」

美國加州是全美(甚至可能是全世界)最注重環境保護,以及在環保上最有成就的一州:冬天及夏天所用的汽油為適應氣溫的不同而異;在政府經濟的大力補助下,加州是全美電動汽車以及屋頂太陽能電板發電使用最普及的地方;加州有類似徵收碳排放稅的政策(稱為「cap and trade」);個人理財網站 Wallethub 謂全美國十大綠色城市中有 6 個在加州;當川普政府在 4 月決定降低奧巴馬時代的燃油經濟效率標準時,加州拒絕跟進行動;加州議會於 8 月 28 日通過新版電力法案, 2045 年的電力必須100%來自清潔來源 ……。

儘管法律規定重重,但並沒有阻擋加州經濟的發展:矽谷是全世界爭相仿效的高科技創新中心;加州如果是一個國家的話,其國內生產毛額在全世界將排名第 5,僅僅次於美國、中國、日本、及德國。這樣的成就能不讓加州人──甚至全世界人類──感到驕傲嗎!?

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透過技術創新及法令解決了環境污染與與氣候變化的問題,加州顯然是印證了今年的諾貝爾經濟獎得主說法最好的例子。真的嗎?

加州的污染都去外地啦:己所不欲施於人

無巧不成書,今年 9 月中,筆者在自稱為「矽谷首都」之聖荷西市的水銀報(the Mercury News)先後看到兩篇非常相似的「障眼法」報導。其中一篇漫畫,圖中諷刺加州州長興奮地說:「你或許在問,加州到底是怎麼做的呢? 我們如何能在減少本州污染的同時,成為世界第五大經濟體?」但在地球的另一邊,則是充滿了冒黑煙的工廠謂「加州的東西在這裡製造」。

另一篇則是加州伯克萊分校經濟學院教授 Catherine Wolfram 寫的社論,謂加州城市相繼成立一些「社區選擇聚合社」(community-choice aggregate) ,向傳統大公司購買清潔能源電力轉賣給社區居民。參加聚合社的居民因為認為在減少空氣污染及遲緩地球暖化上做了貢獻,即使多付點錢也人人高興,晚上不但可以心安地睡覺,閒聊時甚至可以批評一些「落後地區」(「較鄉下或者貧窮區域」之代名詞)之無知。可是實際呢?Wolfram 教授謂這些大公司事實上只是將原來送往「落後地區」的清潔電力改送到「社區選擇聚合社」而已!整個加州的空氣污染程度並沒有因之而降低;真正要判斷空氣污染是否改進,只能看整個加州到底增加了多少清潔電力能源!

眼不見為淨,污染留外地

上述道理很簡單,可是卻常被拿來「盲人」!例如筆者在懷疑台灣是否應該發展電動汽車時(臺灣應該發展電動汽車嗎?科學月刊,2014 年 3 月),一些人就立即出來反對,盲目地只看到電動汽車可以減少台北市的烏煙瘴氣,而不考慮整個台灣的空氣污染。大陸大量地使用燃煤發電,其污染程度遠較汽車燃燒汽油嚴重(世界周刊,2016/2/21),因此如果北京全部使用電動汽車,北京附近的空氣污染將更加嚴重,依「污染不滅定律」,遲早將危及北京和全世界!今人不解的是:中國科技部部長、全國政協副主席在元月 23 日的「中國電動汽車百人會 2016」會上,竟以「中國新能源汽車銷量全球占比超過 30%,爲世界節能減排作出了重要貢献」為榮、並要發展中國成爲一個使用電動汽車的大國1!2016 年 5 月 11 日之「科學美國人」(Scientific American)的「電動汽車不一定清潔」一文謂「在中國開電動汽車是(造成)氣候改變的禍首」!

那些舊手機又是丟到哪裡去污染了多少環境呢?圖/Pixabay

在一片環保的呼聲中,不只知識份子人人想盡點能力,許多大公司也是一樣;例如美國現在市值最高的蘋果電腦,花了 50 億美金在矽谷所蓋的「太空船」總部,不只建築節能效率高,也將全部使用清潔能源2!人人稱讚蘋果電腦在環保上的貢獻!可是筆者常想:蘋果電腦每一年半載就提出一項新款的智能手機,一賣就是幾千萬隻,是誰污染了多少空氣幫它製造出來呢?那些舊手機又是丟到哪裡去污染了多少環境呢?….. 不錯,新手機的功能一定比舊手機強,可是多少人真正有更新的必要呢?在「進步」的口號、「時髦」的虛榮、與「宣傳」的推動下,日新月異的新科技產物不斷地出現3,只聽到驚嘆的聲音,卻聽不到有人批評這可能是環境污染的一大來源!不少公司都曾因為產品(例如 DDT殺蟲劑、含鉛油漆、石棉、香煙等)造成社會問題或環境污染而被控告賠償、甚至關閉。不知道是否有一天,蘋果電腦是否也需要為地球環境污染負點責任?

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成功企業家/慈善家的一將功成萬骨枯

美國亞馬遜(Amazon)公司是世界上最富有的公司之一,其創辦人兼首席執行長傑夫.貝索斯(Jeff  Bezos)隨著股價的不斷上升,已成為這個星球上最富有的人,身價在 1500 億美元左右(約為台灣國內生產毛額的 1/4)!這位創辦人一向不怎麼熱衷於支持慈善機構,但跳上富貴首榜後,似乎不能再沉默了,於是今年 9 月中正式公開宣布開始散財! 儘管如此,亞馬遜仍然繼續支付相當低的工資,以至於數以千計的員工被迫依賴納稅人資助的計劃(如食品券、醫療補助、和補貼住房)以求生存。如果真有慈善心腸,讀者不覺得應該先從照顧現在正在為公司賣命的藍領員工們著手嗎4?人人稱讚慈善家,人人羨慕成功的企業家,卻很少人看到「一將功成萬骨枯」的背後悲劇!

美國川普總統上任後,全面減稅;因為人人占到便宜,而廣受歡迎。但很多「落後地區」人不了解「富人」減的稅更多,沒有考慮到全面減稅後國庫收入將因之減少、政府財政赤字將大幅提高、社會福利與公共設施將必須銷減……。最後付出慘重代價的可能還是這群「落後地區」的人們吧?

透過邏輯思考獨立分析,不為環保「障眼法」所迷

隨著網絡與軟體的快速進展,人類產生的數據量多得令人難以置信,高達 1018字!如何應付這麼多的資訊,成為一位現代的民主社會公民呢?筆者所能想到的只有:透過邏輯思考的訓練,多用大腦做獨立分析!不要成為資訊的奴隸,要當資訊的主人!不管你將來要做什麼,在高中及大學時一定要有數學和物理的基本訓練,才能「以不變應萬變」!地球的資源是有限的,人類的慾望是無窮的,請多為下一代著想吧!

註解

  1. 已經如願以償:現在中國已是全世界使用電動汽車最多的國家!美國電動汽車製造大廠特司拉(Tesla)已於 10 月 17 日簽約在上海購買土地(為其在國外的最大投資),準備蓋廠投中國所好。
  2. 是誰在哪裡使用了一大堆不清潔的能源製造出這些太陽面板?
  3. 請不要誤會認為筆者反對新科技;事實上筆者是新科技的受惠者,很難想像如果日常生活中沒有網路、電腦、手機、及高畫質電視,日子將要怎麼過?如果沒有網路查詢與驗證資料,這篇文章是很難出爐的!筆者在這裡所要問的是:我們需要如此快速地不斷更新嗎?筆者家中的網絡速度是每秒 10 Mbit左右、因是微軟不支持 XP 而被迫改用視窗 10 版、最常用的兩個應用軟體(Word及Quicken)分別是 2007 年及 2001 年的版本,手機是數年前內人淘汰下來的 3G、有一台較小的電視還是 720p,…但筆者一直覺得它們都已遠超過應付筆者高品質的日常生活之要求了,從來沒有覺得有更新的必要!
  4. 在參議員桑德斯(Bernie Sanders)幾近一年的批評下,亞馬遜終於決定從 11 月起將最低工資調整為每小時 15 元(美國聯邦的最低工資為 7.25 元)。一般白領工程師在美國公司的薪水待遇均還算不錯;但不管公司賺多少錢,均可能因公司決定裁掉某一部門、以便賺更多的錢提高股價而被炒魷魚,所以基本上還是「一將功成萬骨枯」的背後悲劇人物!

延伸閱讀

本文所提到的參考文章均已收集在「我愛科學」一書內(華騰文化有限公司 2017 年 12 月出版。該書收集筆者自 1970 年元月至 2017年 8 月在科學月刊及少數其它雜誌所發表之文章編輯而成)。

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賴昭正_96
51 篇文章 ・ 62 位粉絲
成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此獲有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪,IBM顧問研究化學家退休 。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲它轉載我的科學月刊上的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」。

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從奈米微塵到化學氣體, HEPA 與活性碳如何聯手打造純淨空氣?
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2026/04/17 ・4433字 ・閱讀時間約 9 分鐘

本文由 Amway 委託,泛科學企劃執行。

很多人可能沒想到,無論是家用的空氣清淨機,還是造價動輒百億的頂尖晶圓廠,它們對抗污染的核心武器並非什麼複雜的雷射防護罩,而是一片外觀像紙一樣的 HEPA 濾網
在半導體產業的無塵室中,「乾淨」的定義極其殘酷:一粒肉眼看不見的灰塵,就足以讓造價數百萬美元的晶圓直接報廢 / 圖片來源:envato

到底怎樣才算是「乾淨」?這不是什麼靈魂拷問,而是一個價值上億的商業命題。

在半導體產業的無塵室中,「乾淨」的定義極其殘酷:一粒肉眼看不見的灰塵,就足以讓造價數百萬美元的晶圓直接報廢。空氣品質的好壞,甚至能成為台積電(TSMC)決定是否在當地設廠的關鍵性指標。回到你的家中,雖然不需要生產精密晶片,但我們呼吸系統中的肺泡同樣精密,卻長期暴露在充滿 PM2.5、病毒以及各種揮發性氣體的環境中。為了守護健康,你可能還要付費購買「乾淨的空氣」來用。

因此,空氣議題早已超越單純的環保範疇,成為同時影響國家經濟與個人健康的重要問題。

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很多人可能沒想到,無論是家用的空氣清淨機,還是造價動輒百億的頂尖晶圓廠,它們對抗污染的核心武器並非什麼複雜的雷射防護罩,而是同一件看起來平凡無奇的東西:一片外觀像紙一樣的 HEPA 濾網。但你真的相信,就憑這層厚度不到幾公分的板子,能擋住那些足以毀滅精密晶片、滲透人體細胞的「奈米級刺客」嗎?

這片大家都聽過的 HEPA 濾網,裡面到底是什麼?

首先,我們必須打破一個直覺上的誤解:HEPA 濾網(High Efficiency Particulate Air filter)在本質上其實並不是一張「網」。

細懸浮微粒 PM2.5,是指粒徑在 2.5 微米以下的污染物,它們能穿過呼吸道直達肺泡,並穿過血管引發全身性發炎。但這只是基本,在工廠與汽車尾氣中,還存在粒徑僅有 1 微米的 PM1,甚至是小於 0.1 微米的「超細懸浮微粒」(UFP,即 PM0.1)。 UFP 不僅能輕易進入血液,甚至能繞過血腦屏障(BBB),進入大腦與胎盤,其破壞力十分可怕。

如果 HEPA 濾網像水槽濾網或麵粉篩一樣,單靠孔目大小來「過濾」粒子,那麼為了攔截奈米微粒,濾網的孔目只能無限縮小到幾乎不透氣的程度。更別說在台積電或 Intel 的製程工程師眼裡,一般人認為的「乾淨」,在工程師眼裡簡直像沙塵暴一樣。對於線寬僅有 2 奈米3 奈米(相當於頭髮直徑萬分之一)的晶片而言,空氣中一顆微小的塵埃,就是一顆足以毀滅世界的隕石。

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因此,傳統的過濾思維並非治本之道,我們需要的是原理截然不同的過濾方案。這套技術的雛形,最早可追溯至二戰時期的「曼哈頓計畫」。

HEPA 的前身,誕生於曼哈頓計畫!

1940 年代,製造濃縮鈾是發展原子彈的關鍵。然而,若將排氣直接排向大氣,會導致致命的放射性微粒擴散。負責解決這問題的是 1932 年諾貝爾化學獎得主歐文·朗繆爾(Irving Langmuir),他是薄膜和表面吸附現象的專家。他開發了「絕對過濾器」(Absolute Filter),其內部並非有孔的篩網,而是石綿纖維。

有趣的來了,如果把過濾器放到顯微鏡下,你會發現纖維之間的空隙,其實比某些被攔截的粒子還要大。那為什麼粒子穿不過去呢?這是因為在奈米尺度下,物理規則與宏觀世界完全不同。極微小的粒子在空氣中飛行時,並非走直線,而是會受到空氣分子撞擊,而產生「布朗運動」(Brownian Motion),像個醉漢一樣東倒西歪。

當粒子通過由緻密纖維構成的混亂迷宮時,布朗運動會迫使它們不斷轉彎、移動,最終撞擊到帶有靜電的纖維上。這時,靜電的吸附力會讓纖維就像蜘蛛網般死死黏住微粒。那些狂亂移動的奈米刺客,就這樣被永久禁錮迷宮中。

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現在最常見的 HEPA 材料,是硼矽酸鹽玻璃纖維。

現代 HEPA 濾網最常見的核心材料為硼矽酸鹽玻璃纖維。這些玻璃纖維的直徑通常介於 0.5 至 2 微米之間,它們在濾網內隨機交織,像是一座茂密「黑森林」。微粒進入這片森林後,並非僅僅面對一層薄紙,而是得穿越一個具有厚度且排列混亂的纖維層,微粒極有可能在布朗運動的影響下撞擊並黏附在某根玻璃絲上。

除此之外,HEPA 濾網在外觀上還有一個極具辨識度的特徵,那就是像手風琴般的摺紙結構。濾材會被反覆摺疊、摺成手風琴的形狀,中間則用鋁箔或特殊的防潮紙進行結構支撐,目的是增加表面積。這不僅為了捕獲更多微粒,而是要「降低過濾風速」。這聽起來可能有點反直覺:過濾不是越快越好嗎?

其實,這與物理學中的流速控制有關。想像一條水管,如果你捏住出口,水流會變得湍急;若將出口放開並擴大,雖然總出水量不變,但出水處的流速會變得緩慢。對於 HEPA 濾網而言,當表面積越大,單位面積所需承載的空氣量就越少,空氣穿透濾網的速度也就越低。

低流速代表微粒停留在濾網內的時間也更久,增加被捕捉的機會。此外,越大的表面積也為 HEPA 濾網帶來了高「容塵量」,延長了使用壽命,這正是它能夠稱霸空氣清淨領域多年的主因。

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然而,即便都叫做 HEPA 高效率空氣微粒子過濾網 (High Efficiency Particulate Air filter),但每個 HEPA 的成分與結構還是會不一樣。例如 安麗逸新空氣清淨機 SKY ,其標榜「可過濾粒徑最小至 0.0024 微米」的污染物,去除率高達 99.99%。

0.0024 微米是什麼概念?塵蟎、花粉、皮屑或黴菌孢子,大小約在 2 至 200 微米;細懸浮微粒  PM2.5 大小約 2.5 微米,細菌也大概這麼大。最小的其實是粒徑小於 0.1 微米的「超細懸浮微粒」,大多數的病毒(如流感、新冠病毒)都落在此區間。對安麗逸新 的HEPA濾網來說,基本上通通都是可被攔截的榜上名單。

在過敏防護上,它更獲得英國過敏協會(Allergy UK)認證,能有效處理 19 大類、102 種過敏原,濾除空氣中超過 300 種氣態與固態污染物。

同樣的過濾邏輯一旦進入半導體無塵室,就必須換一條更為嚴苛的技術路線。因為硼矽酸鹽玻璃纖維對晶圓來說有個致命傷,就是「硼 (Boron)」 / 圖片授權:Shutterstock

然而,同樣的過濾邏輯一旦進入半導體無塵室,就必須換一條更為嚴苛的技術路線。因為硼矽酸鹽玻璃纖維對晶圓來說有個致命傷,就是「硼 (Boron)」。

在半導體製程中,硼是常見的 P 型摻雜物,用來精準改變矽晶圓的電性。如果濾網有任何微小的破損、老化或化學侵蝕,進而釋放出極微量的硼離子,就可能直接污染晶圓,改變其導電特性,導致晶片報廢。

此外,無塵室要求的是比 HEPA 更極致的 ULPA(超低穿透率空氣濾網) 等級的潔淨度。ULPA 的標準通常要求對 0.12 微米 的粒子達到 99.999% 甚至 99.9999% 的超高攔截率。在奈米級的競爭中,任何多穿透的一顆微塵,都代表著一筆不小的經濟損失。

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為了解決「硼」的問題並追求極限的過濾效率,材料學家搬出了塑膠界的王者,PTFE 也鐵氟龍。鐵氟龍不僅耐酸鹼、耐腐蝕,還能透過拉伸製成直徑僅 0.05 至 0.1 微米 的極細纖維,其細度遠勝玻璃纖維。雖然 PTFE 耐化學腐蝕,但它既昂貴且物理上也很脆弱,安裝時若不小心稍微觸碰,數萬元的濾網就可能報銷。因此,你只會在晶圓廠而非一般家庭環境看到它。

即便如此,在空氣濾淨系統中,還有一樣是無塵室和你家空氣清淨器上面都有的另一張濾網,就是活性碳濾網。

活性碳如何從物理攔截跨越到分子吸附?

好不容易將微塵擋在門外時,危機卻還沒有解除。因為空氣中還隱藏著另一類更難纏的大魔王:AMC(氣態分子污染物)

HEPA 或 ULPA 這類物理濾網雖然能攔截固體微粒,但面對氣態分子時,就像是用網球拍想撈起水一樣徒勞。這些氣態分子如同「幽靈」一般,能輕易穿過物理濾網的縫隙,其中包括氮氧化物、二氧化硫,以及來自人體的氨氣與各種揮發性有機物(VOCs)。

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為了對付這些幽靈,我們必須在物理防線之外,加裝一道「化學濾網」。

這道防線的核心就是我們熟知的活性碳。但這與烤肉用的木炭不同,這裡使用的是經過特殊改造的「浸漬處理(Impregnation)」活性碳。材料科學家會根據敵人的不同性質,在活性碳上添加不同的化學藥劑:

  • 酸鹼中和:對付氮氧化物、二氧化硫等酸性氣體,會在活性碳上添加碳酸鉀、氫氧化鉀等鹼性藥劑,透過酸鹼中和反應將有害氣體轉化為固體鹽類。反之,如果添加了磷酸、檸檬酸等酸性藥劑,就能中和空氣中的氨氣等鹼類。
  • 物理吸附與凡德瓦力:對於最麻煩的有機揮發物(VOCs,如甲醛、甲苯),因為它們不具酸鹼性,科學家會精密調控活性碳的孔徑大小,利用龐大的「比表面積」與分子間的吸引力(凡德瓦力),像海綿吸水般將特定的有機分子牢牢鎖在孔隙中。
活性碳如何從物理攔截跨越到分子吸附? / 圖片來源:Amway

空氣濾淨的終極邏輯:物理與化學防線的雙重合圍

在晶圓廠這種對空氣品質斤斤計較的極端環境,活性碳的運用並非「亂槍打鳥」,而是一場極其精密的對戰策略。

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工程師會根據不同製程區域的空氣分析報告,像玩 RPG 遊戲時根據怪物屬性更換裝備一樣——「打火屬性怪要穿防火裝,打冰屬性則換上防寒裝」。在最關鍵的黃光微影區(Photolithography),晶圓最怕的是人體呼出的氨氣,此時便會配置經過酸性藥劑處理的活性碳進行精準中和;而在蝕刻區(Etching),若偵測到酸性廢氣,則會改用鹼性配方的濾網。這種「對症下藥」的客製化邏輯,是確保晶片良率的唯一準則。

而在你的家中,雖然我們無法像晶圓廠那樣天天進行空氣成分分析,但你的肺部同樣需要這種等級的保護。安麗逸新空氣清淨機 SKY 的設計邏輯,正是將這種工業級的精密防護帶入家庭。它不僅擁有前述的高規 HEPA 濾網,更搭載了獲得美國專利的活性碳氣味濾網。

關於活性碳,科學界有個關鍵指標:「比表面積(Specific Surface Area)」。活性碳的孔隙越多、表面積越大,其吸附能力就越強。逸新氣味濾網選用高品質椰殼製成的活性碳,並經過高溫與蒸氣的特殊活化處理,打造出多孔且極致高密度的結構。

這片濾網內的活性碳配重達 1,020 克,但其展開後的總吸附表面積竟然高達 1,260,000 平方公尺——這是一個令人難以想像的數字,相當於 10.5 個台北大巨蛋 的面積。這種超高的比表面積,是市面上常見濾網的百倍之多。更重要的是,它還添加了雙重觸媒技術,能特別針對甲醛、戴奧辛、臭氧以及各種細微的異味分子進行捕捉。這道專利塗層防線,能將你從裝潢家具散發的有機揮發氣體,或是路邊繁忙車流的廢氣中拯救出來,成為全家人的專屬空氣守護者。

總結來說,無論是造價百億的半導體無塵室,還是守護家人的空氣清淨機,其背後的科學邏輯如出一轍:「物理濾網攔截微粒,化學濾網捕捉氣體」。只有當這兩道防線同時運作,空氣才稱得上是真正的「乾淨」。

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歐氏幾何學的啟示
賴昭正_96
・2025/12/09 ・4611字 ・閱讀時間約 9 分鐘

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無需證據就能肯定的事情,同樣也可以無需證據就能否定。

-歐幾里德(Euclid)古希臘數學和邏輯學家

當筆者還是一位教書匠時,時常鼓勵學生應該多讀數學,不是因為數學的實用性,而是因為它是訓練邏輯的基礎。愛因斯坦(A. Einstein)曾經說過:「就其方式而言,純數學是邏輯思想的詩歌。」而26歲時就提出了反物質的存在、奠定了量子電動力學基礎的狄拉克(Paul Dirac)更認為數學幫助他了解物理定律(宇宙)。我們不是大物理學家,在這裡只能介紹一個簡單的、 2300年前的數學━幾何(geometry),看它如何能幫助我們了解我們日常生活中的邏輯。

歐幾里德

歐幾里德(Euclid)大約於西元前 300 年生於埃及亞歷山大。我們對歐幾里德的生平知之甚少,只有希臘哲學家普羅克洛斯(Proclus,410-485 年)在其《希臘著名數學家》總結中提到:歐幾里德在托勒密一世(Ptolemy I Soter,公元前 323 年至公元前 285 年)統治時期在亞歷山大任教。儘管如此,雖然歷史上有過更偉大的數學家,也有過更重要的數學家,但如果說數學界有家喻戶曉的名字,那非「歐幾里德」莫屬!歐幾里德對人類文明的長期影響可以說非常深遠:幾個世紀以來,數學和歐幾里德在整個西方世界幾乎是同義詞。

歐幾里德的《幾何原本》(The Element of Geometry,通常縮寫為 Elements)是有史以來最著名數學著作之一。印刷術發明後,這部著作是最早以印刷形式出現的書籍之一:它出版了超過一千種不同的版本,只有《聖經》比它多。《幾何原本》通常被描述為一本幾何書,但它事實上也涉及數論和一種以幾何形式呈現的原型代數。

歐氏幾何

歐幾里德有兩大創新。其一是「證明」的概念:除非是從已知為真的命題中推導出來,歐幾里德拒絕接受任何數學命題為真。第二項創新是認識到任何事物都要始於無法被證明的某些「假設」。因此,歐幾里德預先提出了五個基本假設作為其所有推論的基礎:兩點可以用一條線連接;任何有限的線都可以延伸;可以以任意圓心和任意半徑畫一個圓;所有直角都相等;及兩條直線可以平行永不相交。

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對歐幾里德來說,邏輯證明是幾何學的本質特徵,而「證明」至今仍是數學事業的基石。缺乏證明的命題無論有多少間接證據支持它、或蘊含意義多麼重要,都會被(合理地)懷疑。歐幾里德公理━他精心挑選的邏輯推論鏈━的影響極為深遠。例如,他用當時被認為無可挑剔的邏輯證明了:一旦同意他的公理,你就必然得出不能理解之「無理數」存在的結論!

嚴格的邏輯證明

「無理數」是不能用兩個整數相除來精確表達的實數。所以要證明x不是一個無理數,我們只要能找出兩個實數來表達它即可。例如利用高速電腦或人腦,我們發現可以用 40/99 表達 1.212121……,所以 1.212121…… 不是無理數。可是如果我們也同樣地想利用高速電腦來證明 \(\sqrt{2}\) = 1.4142135……呢?我們可以在一秒鐘內完成成千上萬的嘗試;但如果在數年後,我們還是找不到一組整數來表達\(\sqrt{2}\) 時,我們能下結論說 \(\sqrt{2}\) 是無理數嗎?不能,因為對歐幾里德來說,這不是嚴格的邏輯證明(註一)!

同樣地,費馬(Fermat)大定理於 1637 年提出,謂若 n 大於 2(n>2),則沒有任何三個整數 a,b,c 可滿足 an+bn=cn 方程式。隨著時間的推移,這個簡單的定理成為數學界最著名的未證命題之一。許多數學家和業餘愛好者要麼適用於所有 n>2 的值,要麼針對特定情況,試圖證明這一命題,推動了數論領域全新的發展。最初是手工證明,後來是計算機證明,找到了最高可達 400 萬的所有 n 值;儘管如此,因為不是嚴格的邏輯證明,數學家還是不能肯定該定律的正確性。

英國數學家懷爾斯爵士(Sir Andrew Wiles)於 1993 年 6 月 23 日首次公佈了他的證明,不幸地該證明在三個月後被發現含一個錯誤。一年後的 1994 年 9 月 19 日,懷爾斯在其自謂為「職業生涯中最重要的時刻」時偶然發現了一個啟示,使他能夠修正該錯誤,於 1995 年令歐幾里德、數學界滿意地嚴格證明了費馬大定理的正確性。

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又雖然早在公元五百年左右就有印度數學家懷疑圓周率 π 是無理數;但兩千年過去了,雖然還是找不到一組整數來表達它,還是沒有任何數學家敢說π是無理數。1761 年法國數學家蘭伯特 (Johann Heinrich Lambert) 終於首次嚴格地證明了π 為一無理數!

歐幾里德幾何學

歐幾里德之五個初始、無法被證明的命題似乎都是大家很容易認定或接受的日常生活經驗。但事實上,歐幾里德的第五公設「兩條直線可以平行永不相交」遠非那麼合理明顯。因此許多數學家一直在懷疑可以從其它四個假設中推導出來(刪除它),或者能用更簡單、與其它一樣明顯的東西代替。但到了十九世紀,數學家們終於證明了它不能從其它四個假設中推導出來,明白了歐幾里德加入第五個公設是絕對正確的!

我們之所以認為「兩條直線可以永不相交」是合理的是因為我們生活在平面宇宙中:例如如果宇宙是二維空間,那我們就是生活在一張無限大的平面白紙上。但如果我們是生活在一個圓球的表面上呢?事實上我們不正是生活在一個圓球的地球表面上嗎?!但因我們的生活圈太小了,故整個周圍看起來好像一平面上而已。如果在地球表面上我們將兩「平行線」(註二)往同一方向延長不到一萬公里,它們是會相交於一點的(如果該兩點是在赤道上,那麼垂直於赤道的兩「平行線」將相交於北極或南極)。所以「兩條直線可以永不相交」在地球上不但不合理,根本完全是錯誤的假設━它只適用於日常生活中。

這些合理的懷疑歐幾里德之第五公設並沒有付諸流水。1854年,黎曼(Bernhard Riemann)在一次著名的演講中建構了無限多的非歐幾里德幾何族,為非歐幾里德幾何學邁出了決定性的一步。其中最簡單的一族缺乏平行線的公設,被稱為「非歐幾何」(non-Euclidean Geometry)。

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在歐幾里德幾何裡,兩點之間的最短距離是一條直線;在非歐幾里德幾何球體表面上,兩點之間的最短距離則是沿著球體表面的大圓弧路徑(稱為測地線,註三)。在歐幾里德幾何裡,三角形內角總和為180度;但在非歐幾里德幾何球體表面上,由三個大圓弧組成的球體表面三角形內角總和則大於180度。

幾何與物理

非歐幾何的發展對數學和物理學產生了深遠的影響。它顯示歐幾里德幾何並非唯一邏輯一致的體系,為愛因斯坦的相對論鋪平了道路。

牛頓物理學從根本上來說是使用平坦的歐幾里德空間和通用時間的概念來描述運動,因此當地球不沿著直線運動時,牛頓必須用重力來解釋。愛因斯坦的相對論運用非歐幾何來描述彎曲時空,謂重力並非一種力,而是時空曲率的表現:巨大的太陽彎曲了其附近時空,地球只是沿著這一彎曲時空中之「最直」的路徑(測地線)運動而已。

同樣地,牛頓物理學假設重力只對有質量的物體施加力,而光是無質量的,因此光應該永遠沿著直線傳播。但愛因斯坦廣義相對論將重力描述為時空的彎曲(不是力),光將在這彎曲的時空沿著「直線」(測地線)傳播,但我們觀察到的將是「光不沿著直線傳播」!愛因斯坦的這一成功預測使他「瞬間」成為家喻戶曉的科學家(「延伸閱讀1」)。

歐幾里德幾何社會邏輯

人類可能是唯一知道死是怎麼一回事的動物,因此很早就在尋找生命的目的,很難接受霹靂一聲、無中生有地出現了時間、空間、及能量的近代宇宙觀(「延伸閱讀2」)。因此許多人認為我們來到這個世界是有目的的,我們是「上帝」(註四)創造出來的。因此「上帝」存在成了一個大家能接受、不需要證明的合理「公設」。對信教的人來說,它解釋了日常生活中的所有現象。對愛因斯坦及一些科學家來說:如果不是超人的「上帝」,為什麼我們看到的宇宙能不可思議地依循某些定律井然有序地運轉,但我們只是朦朧地了解這些定律?

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在「延伸閱讀3」裡,筆者提到了要證明上帝的存在是很困難的,但要證明上帝不存在更加困難!因此「上帝不存在」也是屬於「不能證明、不需要回答的合理假設」,所以在民主國家裡人人有宗教信仰或不信仰的自由。

在社會上要證明某人沒有博士學位很困難甚或不可能(註五),因此能被接受、不需要證明之唯一合理假設應該是「人人沒有博士學位」。在這前提下,如果你說你有博士學位,則證明有博士學位的責任應該落在你身上,而不是檢察官或具告人!

同樣地,因為證明我們沒有犯罪很困難甚或不可能,所以「我們沒有犯罪」應該是唯一的不需要證明之合理假設;如果你控告我犯罪,那法庭應該要你(告訴人或檢察官)提出不被懷疑及合理質疑的證據。這事實上正是民主國家所採取的法律制度。

結論

歐幾里德的專著《幾何原本》為幾何學提供了一個系統而公理化的方法:他從一組不證自明的真理(公理和公設)出發,運用演繹推理推導出定理和證明,為數學的嚴謹性和邏輯推理確立了標準,塑造了數學家和科學家解決問題和建構理論的方式,甚至影響了數學以外的各個領域如法律和政治思想,在人類社會發展中發揮了基礎性作用。例如美國傑斐遜(Thomas Jefferson)和其他開國元勳們就是運用歐幾里德演繹法構建了《獨立宣言》:他們從類似於歐幾里德幾何的「不證自明」的真理━公理━入手,建立邏輯論證,以證明革命和建立新政府的必要性。因為這些基本原則被普遍接受,無需進一步證明,因此賦予了《獨立宣言》強大而不可否認的力量。

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我們在這裡探討了日常生活中所碰到的宗教信仰、學位真假、與犯罪判決的爭論與判斷,得到結論:人人有宗教信仰或不信仰的自由,確定犯罪的責任在檢察官身上,證明有學位的義務則落在當事人身上!

註釋

  • (註一)嚴格地證明 \(\sqrt{2}\) 是無理數很簡單,有興趣的讀者可參考「延伸閱讀3」。
  • (註二)原則上必須是趨近於零的短線。
  • (註三)大圓弧是球體上任何圓心與球心重合的圓(例如赤道)。但是因為天氣、急流和空域限制等因素,航班並不沿著大圓弧路徑飛行,例如台北到舊金山的實際航線比大圓弧長了約10%。
  • (註四)這裡指的「上帝」是抽象的、廣泛的超人造物主。
  • (註五)在「延伸閱讀4」一文裡,筆者提到了要證明有博士學位應該是非常簡單的,如拿出正式的畢業證書或學校出證明;但要外人證明你沒有博士學位,則將與證明上帝不存在一樣更加困難:因為即使我們找遍全世界所有的地方,都沒發現你的論文或證書,我們還是不能說你沒有博士學位的博士學位━因為這不是「嚴格的邏輯證明」!

延伸閱讀

  1. 抱歉了愛因斯坦,但我真的沒辦法給那個酷理論——為何相對論與諾貝爾獎擦身而過?」,泛科學,2021/07/28。
  2. 思考的極限:宇宙創造出「空間」與「時間」? ——宇宙觀的發展史(下篇)|20 世紀後」,泛科學,2023/05/17。
  3. 愛因斯坦相信的上帝,是你以為的那位上帝嗎?」,泛科學,2018/03/30。
  4. 要被接受,需有不被合理質疑的證據–從科學與蔡博士學位事件討論起」,科技報導,2020/02/01。
  5. 從圓周率與無理數,談數學也有其無法理解、不精確、與不確定性」,泛科學,2019/06/03。
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賴昭正_96
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成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此獲有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪,IBM顧問研究化學家退休 。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲它轉載我的科學月刊上的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」。

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從「衛生紙」開始的環保行動:一起愛地球,從 i 開始
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/03 ・1592字 ・閱讀時間約 3 分鐘

你是否也曾在抽衛生紙的瞬間,心頭閃過「這會不會讓更多森林消失」的擔憂?當最後一張衛生紙用完,內心的愧疚感也油然而生……但先別急著責怪自己,事實上,使用木製品和紙張也能很永續!只要我們選對來源、支持永續木材,你的每一個購物決策,都能將對地球的影響降到最低。

二氧化碳是「植物的食物」:碳的循環旅程

樹木的主食是水與二氧化碳,它們從空氣中吸收二氧化碳,並利用這些碳元素形成枝葉與樹幹。最終這些樹木會被砍伐,切成木材或搗成紙漿,用於各種紙張與木製品的製造。

木製品在到達其使用年限後,無論是被燃燒還是自然分解,都會重新釋放出二氧化碳。不過在碳循環中,這些釋出的二氧化碳,來自於原本被樹木「吸收」的那些二氧化碳,因此並不會增加大氣中的碳總量。

只要我們持續種植新樹,碳循環就能不斷延續,二氧化碳在不同型態間流轉,而不會大量增加溫室氣體在大氣中的總量。因為具備循環再生的特性,讓木材成為相對環保的資源。

但,為了木製品而砍伐森林,真的沒問題嗎?當然會有問題!

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從吸碳到固碳的循環

砍對樹,很重要

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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
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