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真的能眼見為憑嗎?飽含數學、藝術、設計與文化的《錯視維度》展覽

Sharkie Lin_96
・2018/06/30 ・4232字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 520 ・七年級

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「我們看錯了世界,卻說它欺騙我們。」

“We read the world wrong and say that it deceives us.”

-詩人泰戈爾(Rabindranath Tagore,1861-1941)

長久以來錯視藝術令人目眩神迷,許多藝術家與設計師為此不疲,創造出衝擊世人感官與意識的圖形,模糊錯覺與真實的邊界;維度除了是描述時空座標的參數,也代表一件事物的特點與面向。

本展試著透過國際與台灣在地設計、文化、數學類的作品,呈現當代錯視藝術的多重趣味與驚喜。

圖 / 錯視維度官網

Seeing is believing? 進入空間一起眼見為憑吧!

錯視藝術一直是人們好奇探索與競相分享的主題,在娛樂產業中更是被運用得淋漓盡致,像是以錯視和不可能的幾何物體構成迷宮的紀念碑谷(Monument Valley),許多遊戲場景都是向錯覺大師艾雪(M.C. Escher)致敬;擅長拍攝創意MV的OK Go樂團,在〈The Writing’s On the Wall〉中一鏡到底的拍攝手法,融合人物、物體與場景表現出各種驚人的錯視。

近期 EnterSpace密室逃脫/咖啡實驗室正推出第一檔展覽《錯視維度》(Dimension of Illusion)。基於錯視常以欺騙的型式出現,特別選在4/1愚人節開幕,希望呈現當代錯視藝術的多重面向,帶給每位來到展場的觀眾驚喜與樂趣,接下來就由策展人也就是我來介紹這檔展覽。

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首先是以謎題手法呈現的主視覺設計,裡頭藏了一些關於文字的玄機,可在此試著解解看。

幾何色塊除了向蒙德里安(Piet Cornelies Mondrian)致敬之外,還是個重要提示,這道謎題要從兩個方向來解讀。如果正面看不出端倪,斜斜地去看這個圖形,隱含的文字就會比較明顯。避免破壞大家解謎的樂趣,解答放在最後一張圖片的圖說。

《錯視維度》酷卡設計,你看出其中的巧思了嗎?圖/EnterSpace提供。

文化與設計維度

本檔展覽呈現了錯視藝術的多重面向,介紹完主視覺設計上的錯視之後,再來是近來相當火紅的的雙向圖(ambigram)。雙向圖乍看之下是只有一種讀法的普通文字,但透過旋轉或是鏡射等技巧,可以產生多種讀法或改變其意義,是一種錯視藝術,經常能夠讓人感到解謎的樂趣。

我第一次接觸到雙向圖是在丹‧布朗《達文西密碼》與《天使與魔鬼》的書中,當時看到約翰·蘭登(John Langdon)創作的英文雙向圖還把書旋轉了好多次,在心中讚歎其巧思。沒想到多年之後,竟然出現了中文/漢字的雙向圖創作。

與英文字母相比,中文與漢字的使用字數較多,而且字形也有一定的差異,因此用中文與漢字來創作是相當困難的。前陣子,日本雙向字設計師野村一晟 (Issei  Nomura)為花蓮地震創作了〈台灣加油〉,我們特別邀請到他來參展。

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野村一晟系列創作
圖片來源:EnterSpace提供

野村先生想要展現雙向字創作的多元面向,因此提供不同類型的雙向圖作品,像是即興創作的〈赤與青與紫〉、立體雕塑光影構成的〈陰與陽〉,以及同義、反義、相關字詞之設計作品,如〈挑戰與勝利〉、〈才能與努力〉、〈浪費與節約〉等,與別具意義的〈台灣加油〉,共有八幅作品,而這也是他首次海外展覽。

  • 野村一晟 (Issei  Nomura)的推特頁面

不只日本有雙向圖設計,其實台灣也有而且發展得更早。

為了讓大家看到台灣在地的設計,EnterSpace特別與魔翻文創合作,新製作一件互動作品──喜「翻」台灣,上頭的雙向圖是林國慶設計師從台灣各縣市地名發想與創作。期待透過這個大型的台灣地圖,讓來自不同縣市的觀眾,親自動手發掘雙向圖的奧妙,都能夠找到自己的家鄉,將「臺灣」翻轉成「寶島」。

喜「翻」台灣。文字設計:林國慶 / 地圖概念:Shark Lin、Ching-Yu Tsao / 視覺設計:魔翻文創 / 展板製作:EnterSpace
圖片來源:EnterSpace提供

有發現這個台灣地圖哪裡不太一樣嗎?

我們在這裡將台灣地圖橫著放,有兩個主要原因,首要是打破觀者對於台灣慣常的凝視角度,邀請觀者尋思作品本身的奇妙之處;再來是受到國立台灣文學館開館「從台南向世界出發」概念以及台灣古地圖方位之啟發,希望能夠呼應先民不畏風浪渡海來台之歷史,以創意從台灣向世界出發。

數學與藝術維度

談完了設計與文化的面向,接著來介紹數學與藝術的維度。2016年的全球《年度視覺錯視大賽》(Best Illusion of the Year Contest),有一件作品驚艷全球:

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那就是由明治大學教授杉原厚吉(Kokichi Sugihara)所創作,讓人分不清到底是方還是圓的〈Ambiguous Cylinder Illusion〉,我們取得授權在此展出,想要挑戰人類視覺與認知極限,眼見是否真的為憑?

Ambiguous Cylinder Illusion,杉原厚吉
圖片來源:EnterSpace提供

為什麼這些柱體在鏡子裡的形狀看起來會不一樣呢?

一邊是方的,另一邊則是圓的。其實這些柱體既不是方形柱也不是圓形柱,而是界於兩者之間的方圓形(Squircle)。若是在展場中仔細觀察柱體,會發現柱體的上側為波浪狀,外側也有較為突出的地方,因此形成有趣的錯視。

這樣的作品竟然只獲得2016年的《年度視覺錯視大賽》第二名(第一名的連結在此),杉原厚吉教授運用數學原理,設計了一堆讓人難以置信的錯視物體與圖形,他的官網有更多影片。

接著同樣來介紹台灣的創作,吳寬瀛老師經典的〈柱面投影〉,利用軟體將正常圖像轉化成變形的圖樣(anamorphosis),再以不銹鋼柱面還原其原本面貌,製造出兩者虛實之間的反差形成錯視,轉換後的圖像與原本反差愈大的愈是有趣。我們在展場中放了一些圖形,讓觀眾可以自行動手與觀察圖形是如何投影到圓柱上。

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柱面投影,吳寬瀛
圖片來源:EnterSpace提供

匈牙利藝術家István Orosz也是這方面的專家,創造出許多融合圓柱與其他錐體於平面畫作的變形畫作,想像力十分驚人;藝術家Jonty Hurwitz甚至跳脫出平面創作,其扭曲雕塑在圓柱裡顯現出不可思議的立體圖像。

台灣哪邊可以欣賞到這些大型公共藝術呢?不妨到南部走走,經過台南高鐵站時可以看見主題為黑面琵鷺的鏡面雕塑,到高雄後還可以拜訪福田繁雄設計藝術館,除了圓柱之外更有大師精彩的錯視創作。

最後一件展品是由國立後壁高中沈岳霖師生共同完成的碎形幾何──〈YES, I DO〉,曾經在《多面自造》展覽展示過,裡頭的數學原理為謝爾賓斯基四面體(Sierpinski Tetrahedron)。四面體的每一面皆為謝爾賓斯基三角形,此三角形是一種自我相似的碎形,其生成過程如下:

謝爾賓斯基三角形。圖/wikipedia

本件作品的製作過程分成兩個部分,先將謝爾賓斯基四面體實體化,再依照YES與I DO兩個詞的形狀,將對應到的三角形著上顏色。這些三角形雖然距觀者的遠近不一,卻能讓觀者站在兩個特定位置時看到英文字,達到一種空間錯視與樂趣。在我們的安排之下,可以捕捉到多件作品形成之「台灣加油,YES寶島」的畫面。

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YES, I DO-作者:廖梓馮、郭晉程、黃頌麟、葉威汎,指導老師:沈岳霖。
圖片來源:EnterSpace提供

拓展維度的錯視選書

錯視藝術的面向很廣,因此我們設置了選書區,讓大家能夠自由探索錯視的多重面貌,接下來我想推薦幾本特別有趣的書。

首先是由倉嶌隆広(Takahiro Kurashima)創作,讓人愛不釋手的《Poemotion》系列!它是Poem(詩)+ Emotion(情感)+ Motion(移動),我喚它為詩意的移動。每一頁乍看只是靜態的圖樣,如果用書中附的黑色塑膠片掃過去,會有非常奇妙的動態錯視,請小心,很容易會被這些舞蹈、跳躍、旋轉的幾何圖樣撩到。

如果你/妳覺得被騙得還不夠,不管策展人嗑了什麼都想要來一點。那麼我接下來要鄭重推薦《Masters of Deception》與攝影師Erik Johansson的《Imagine》,分別介紹了讓人瞠目結舌的藝術創作以及超現實的當代攝影。讀完後只覺得錯視根本是人類智慧與幽默感結合的藝術,想像力就是藝術家的超能力!

最後,EnterSpace是個漫布謎題的趣味空間,也計劃打造成公開展示與討論數學藝術的場域;這裡有許多新奇好玩的東西與創意飲品,即日起只要報上「我是泛科學的讀者/粉絲」,即可享有餐飲特別優惠。

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還記得主視覺設計本身的謎題嗎?答案是本檔展覽的名稱──錯視維度。圖片來源:EnterSpace提供

展覽資訊

展出藝術家|沈岳霖師生、吳寬瀛、林國慶、野村一晟、杉原厚吉

策展人|Shark Lin

視覺設計|Ching-Yu Tsao

主辦單位|EnterSpace 密室逃脫/咖啡實驗室

線上介紹|https://www.enterspace.tw/illusion

特別感謝|莊舒茵、魔翻文創

展期|2018/4/1-12/31

地點|EnterSpace 密室逃脫/咖啡實驗室

地址|台北市中山區明水路581巷15號B1(7-11旁樓梯走下去)

導覽|團體10人以上可預約導覽解說

錯視書單

  1. Masters of Deception: Escher, Dali & the Artists of Optical Illusion│ Al Seckel
  2. Can You Believe Your Eyes?: Over 250 Illusions and Other Visual Oddities│ J. Richard Block, Harold Yuker
  3. Poemotion 1, 2 , 3│Takahiro Kurashima
  4. The Magic of M.C. Escher│J. L. Locher
  5. Imagine│Erik Johansson
  6. 樂.快.想.設計 福田繁雄的插畫設計美學│東方技術學院福田繁雄設計藝術館
  7. 為什麼你沒看見大猩猩?:教你擺脫六大錯覺的操縱│Christopher Chabris, Daniel Simons
  8. 眼睛在搞鬼!錯視的奇妙世界│Jules Mathruin、Giampiero Caiti
  9. 不可思議的房子│青山邦彥

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文章難易度
Sharkie Lin_96
24 篇文章 ・ 6 位粉絲
在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

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上網也要有「技術」!從言論、隱私到國安,你我都該懂的界線
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/18 ・2366字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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本文由 國家通訊傳播委員會 委託,泛科學企劃執行。 

以為鍵盤俠天下無敵?小心一個不留神就觸法!人們常忽略「網路並非法外之地」這個重要事實。不只現實生活中的法律同樣適用於網路空間,隨著科技發展,更多應網路特性而生的法律規範也相繼出現。從基本的言論自由到隱私權保護,從智慧財產權到國家安全,法律體系正全面性地回應數位時代的種種挑戰。

在臺灣,網路上的言論自由權利源自《憲法》第 11 條的明確規定:「人民有言論、講學、著作及出版之自由。」釋字第 509 號則指出,「國家應給予最大限度之維護,俾其實現自我、溝通意見、追求真理及監督各種政治或社會活動之功能得以發揮。」網路快速傳播的特性放大了言論的影響力,而大法官的解釋將言論自由的邊際刻畫得更明確,這在數位時代裡顯得格外重要。

網路與社群媒體的快速傳播,放大了言論的影響力。圖/unsplash

網路上的性、暴力與未成年保護

顯然言論自由並非是毫無限制,2023 年 11 月的一起案件就展現其中一種界線的樣貌。當時,一名 36 歲男子將他和網友在網咖的性愛影片上傳至推特,還寫下「《網咖包廂實戰計 1》我跟某公司 OL 戰鬥」等文字。這段影片一經發布,當事女子立即採取法律行動。最終,法院依其以網際網路「供人觀覽猥褻影像」的罪名,判處該名男子拘役 30 日,得易科罰金。這個判決清楚說明了,即便在虛擬空間,散布猥褻影像仍須承擔實質的法律責任。

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特別是在保護未成年人方面,法律的規範更加嚴格。《刑法》第 235 條明文禁止散布、播送或販賣猥褻物品,無論形式是圖文、聲音還是影像。而《兒童及少年性剝削防制條例》第 36 條更進一步禁止任何形式的兒童色情製品被製造、散布和持有。2019年彰化縣曾層發生過這樣一起案件:一名陳姓中年男子將9歲女童帶往居所,不僅強迫她觀看色情影片,還對她進行猥褻行為,甚至將過程上傳至 Google 雲端。儘管他後來試圖以資助女童就學表達悔意,法院仍以加重強制猥褻等罪,判處他 4 年 4 個月有期徒刑。

不實言論的散布同樣可能觸犯法律。2021 年 9 月爆發的「台大狼師案」就是一個警示。一名女大生在網路上指控教師誘騙她發生關係並傳染性病,幾個月後又指控對方對她進行強制性行為。當她提出告訴時,檢方卻查無性侵事實,加上她反覆的說詞,不僅性侵告訴失敗,還因誹謗罪反被加重判刑。

當駭客、間諜都轉戰網路戰場

2013 年,一名退役空軍上校赴陸經商時被情治單位吸收,返台後透過人脈網絡發展組織、刺探軍事機密,並以空殼公司掩護非法報酬,這個情報網持續運作了 8 年之久。

在涉及國家安全的議題上,法律的態度更是嚴厲。根據《國家安全法》第 2 條的規定,任何人都不得為境外敵對勢力及其控制的組織、機構進行資助、主持、操縱、指揮或發展組織,更不能洩漏、交付或傳遞公務機密,違反者將面臨嚴厲的刑事處罰。《刑法》規定,意圖破壞國體、竊據國土,或以非法方法變更國憲、顛覆政府者,處7年以上有期徒刑,首謀更要判處無期徒刑。

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抄襲與轉貼的邊界在哪裡?

在智慧財產權的保護上,臺灣也經歷了數位時代的轉變。台灣第一個網路著作權相關判決,就發生在傳統出版與數位平台的碰撞之中。南方社區文化網路負責人陳豐偉等三人在中山大學 BBS 上發表的文章,未經同意就被《光碟月刊》收錄在隨刊光碟中發行。三人向台北地檢署提告後,《光碟月刊》發行人兼總經理黃俊義被判處七個月有期徒刑,緩刑三年。這個判決為數位時代的著作權保護樹立了重要典範。

臺灣首例網路著作權案判決,為數位時代智慧財產權保護樹立典範。圖/envato

近年來,影音平台的著作權爭議更趨複雜。2022 年,知名 YouTube 頻道「觸電網」就因為片商車庫娛樂檢舉七十多支未經授權的影片,導致經營 12 年的頻道被迫下架。車庫娛樂透過律師聲明,這是針對「未經合法授權影音內容」的標準處理,並表明將追究民事與刑事責任。

受害了怎麼辦?申訴管道報你知

當我們在網路上的權利受到侵害時,可以根據侵害類型尋求不同的救濟管道。最基本的言論自由權利受到侵犯時,可以先向社群平台提出檢舉。若遇到更嚴重的情況,如散布猥褻影像、非法性私密影片等,除了平台檢舉外,還可以向警方提告,或是尋求衛福部「性影像處理中心」的協助。

在面對網路霸凌、不實言論時,可以向台灣事實查核中心、MyGoPen 等組織求助,協助澄清真相。若發現有害兒少身心健康的不當內容,則可以向 iWIN 網路內容防護機構提出申訴。這個由國家通訊傳播委員會支持的組織,會在受理後進行查核、轉介業者改善或依法處理。

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智慧財產權的侵害在網路時代極為常見,就像「觸電網」遭片商檢舉下架的案例。這類情況可以透過平台既有的著作權保護機制處理,情節嚴重者也可以提起民事訴訟要求賠償。若發現可疑的廣告或不公平交易行為,則可以向公平交易委員會檢舉;若是特定領域的違規內容,則應該向各該主管機關反映,例如藥品廣告歸衛福部管轄、證券期貨廣告則由金管會負責。

網路時代的法律規範正不斷演進,從個人隱私到國家安全,從言論自由到智慧財產權,每個面向都在尋求數位環境下的最佳平衡點。作為網路使用者,我們必須理解並遵守這些法律界線,同時也要懂得運用各種救濟管道保護自身權益。唯有每個人都清楚了解並遵守這些規範,才能共同營造一個更安全、更有序的網路環境。

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當心網路陷阱!從媒體識讀、防詐騙到個資保護的安全守則
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/17 ・3006字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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本文由 國家通訊傳播委員會 委託,泛科學企劃執行。 

網路已成為現代人生活中不可或缺的一部分,可伴隨著便利而來的,還有層出不窮的風險與威脅。從充斥網路的惡假害訊息,到日益精進的詐騙手法,再到個人隱私的安全隱憂,這些都是我們每天必須面對的潛在危機。2023 年網路購物詐欺案件達 4,600 起,較前一年多出 41%。這樣的數據背後,正反映出我們對網路安全意識的迫切需求⋯⋯

「第一手快訊」背後的騙局真相

在深入探討網路世界的風險之前,我們必須先理解「錯誤訊息」和「假訊息」的本質差異。錯誤訊息通常源於時效性考量下的查證不足或作業疏漏,屬於非刻意造假的不實資訊。相較之下,假訊息則帶有「惡、假、害」的特性,是出於惡意、虛偽假造且意圖造成危害的資訊。

2018 年的關西機場事件就是一個鮮明的例子。當時,燕子颱風重創日本關西機場,數千旅客受困其中。中國媒體隨即大肆宣傳他們的大使館如何派車前往營救中國旅客,這則未經證實的消息從微博開始蔓延,很快就擴散到各個內容農場。更令人遺憾的是,這則假訊息最終導致當時的外交部駐大阪辦事處處長蘇啟誠,因不堪輿論壓力而選擇結束生命。

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同年,另一則「5G 會抑制人體免疫系統」的不實訊息在網路上廣為流傳。這則訊息聲稱 5G 技術會影響人體免疫力、導致更容易感染疾病。儘管科學家多次出面澄清這完全是毫無根據的說法,但仍有許多人選擇相信並持續轉發。類似的例子還有 2018 年 2 月底 3 月初,因量販業者不當行銷與造謠漲價,加上媒體跟進報導,而導致民眾瘋狂搶購衛生紙的「安屎之亂」。這些案例都說明了假訊息對社會秩序的巨大衝擊。

提升媒體識讀能力,對抗錯假訊息

面對如此猖獗的假訊息,我們首要之務就是提升媒體識讀能力。每當接觸到訊息時,都應先評估發布該消息的媒體背景,包括其成立時間、背後所有者以及過往的報導記錄。知名度高、歷史悠久的主流媒體通常較為可靠,但仍然不能完全放下戒心。如果某則消息只出現在不知名的網站或社群媒體帳號上,而主流媒體卻未有相關報導,就更要多加留意了。

提升媒體識讀能力,檢視媒體背景,警惕來源不明的訊息。圖/envato

在實際的資訊查證過程中,我們還需要特別關注作者的身分背景。一篇可信的報導通常會具名,而且作者往往是該領域的資深記者或專家。我們可以搜索作者的其他作品,了解他們的專業背景和過往信譽。相對地,匿名或難以查證作者背景的文章,就需要更謹慎對待。同時,也要追溯消息的原始來源,確認報導是否明確指出消息從何而來,是一手資料還是二手轉述。留意發布日期也很重要,以免落入被重新包裝的舊聞陷阱。

這優惠好得太誇張?談網路詐騙與個資安全

除了假訊息的威脅,網路詐騙同樣令人憂心。從最基本的網路釣魚到複雜的身分盜用,詐騙手法不斷推陳出新。就拿網路釣魚來說,犯罪者通常會偽裝成合法機構的人員,透過電子郵件、電話或簡訊聯繫目標,企圖誘使當事人提供個人身分、銀行和信用卡詳細資料以及密碼等敏感資訊。這些資訊一旦落入歹徒手中,很可能被用來進行身分盜用和造成經濟損失。

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網路詐騙手法不斷進化,釣魚詐騙便常以偽裝合法機構誘取敏感資訊。圖/envato

資安業者趨勢科技的調查就發現,中國駭客組織「Earth Lusca」在 2023 年 12 月至隔年 1 月期間,利用談論兩岸地緣政治議題的文件,發起了一連串的網路釣魚攻擊。這些看似專業的政治分析文件,實際上是在臺灣總統大選投票日的兩天前才建立的誘餌,目的就是為了竊取資訊,企圖影響國家的政治情勢。

網路詐騙還有一些更常見的特徵。首先是那些好到令人難以置信的優惠,像是「中獎得到 iPhone 或其他奢侈品」的訊息。其次是製造緊迫感,這是詐騙集團最常用的策略之一,他們會要求受害者必須在極短時間內作出回應。此外,不尋常的寄件者與可疑的附件也都是警訊,一不小心可能就會點到含有勒索軟體或其他惡意程式的連結。

在個人隱私保護方面,社群媒體的普及更是帶來了新的挑戰。2020 年,一個發生在澳洲的案例就很具有警示意義。當時的澳洲前總理艾伯特在 Instagram 上分享了自己的登機證照片,結果一位網路安全服務公司主管僅憑這張圖片,就成功取得了艾伯特的電話與護照號碼等個人資料。雖然這位駭客最終選擇善意提醒而非惡意使用這些資訊,但這個事件仍然引發了對於在社群媒體上分享個人資訊安全性的廣泛討論。

安全防護一把罩!更新裝置、慎用 Wi-Fi、強化密碼管理

為了確保網路使用的安全,我們必須建立完整的防護網。首先是確保裝置和軟體都及時更新到最新版本,包括作業系統、瀏覽器、外掛程式和各類應用程式等。許多網路攻擊都是利用系統或軟體的既有弱點入侵,而這些更新往往包含了對已知安全漏洞的修補。

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在使用公共 Wi-Fi 時也要特別當心。許多公共 Wi-Fi 缺乏適當的加密和身分驗證機制,讓不法分子有機可乘,能夠輕易地攔截使用者的網路流量,竊取帳號密碼、信用卡資訊等敏感數據。因此,在咖啡廳、機場、車站等公共場所,都應該避免使用不明的免費 Wi-Fi 處理重要事務或進行線上購物。如果必須連上公用 Wi-Fi,也要記得停用裝置的檔案共享功能。

使用公共 Wi-Fi 時,避免處理敏感事務,因可能存在數據被攔截與盜取的風險。圖/envato

密碼管理同樣至關重要。我們應該為不同的帳戶設置獨特且具有高強度的密碼,結合大小寫字母、數字和符號,創造出難以被猜測的組合。密碼長度通常建議在 8~12 個字元之間,且要避免使用個人資訊相關的詞彙,如姓名、生日或電話號碼。定期更換密碼也是必要的,建議每 3~6 個月更換一次。研究顯示,在網路犯罪的受害者中,高達八成的案例都與密碼強度不足有關。

最後,我們還要特別注意社群媒體上的隱私設定。許多人在初次設定後就不再關心,但實際上我們都必須定期檢查並調整這些設定,確保自己清楚瞭解「誰可以查看你的貼文」。同時,也要謹慎管理好友名單,適時移除一些不再聯繫或根本不認識的人。在安裝新的應用程式時,也要仔細審視其要求的權限,只給予必要的存取權限。

提升網路安全基於習慣培養。辨識假訊息的特徵、防範詐騙的警覺心、保護個人隱私的方法⋯⋯每一個環節都不容忽視。唯有這樣,我們才能在享受網路帶來便利的同時,也確保自身的安全!

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在數學中尋找想像力的自由——《生而為人的13堂數學課》
臉譜出版_96
・2022/03/28 ・2312字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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  • 作者/ 蘇宇瑞 
  • 原文作者/ Francis Su
  • 譯者/ 畢馨云

存在於數學中的第四個自由,是想像的自由

如果探索是在尋找已經存在的東西,那麼想像就是在建構新的想法,或至少對你來說是新的想法。凡是在沙灘上堆過沙堡的孩子,都知道一桶沙子的無限潛力,同樣的,康托也曾說過:「數學的本質就在於它的自由。」[3](康托在19世紀後期做出開創性的研究成果,讓我們首度對無限的本質有了清楚的了解。)

他的意思是,數學不像科學,研究的主題未必和特定的實物有關,因此數學家在能夠研究的題材上,不像其他科學家那樣受限。數學探險家可以運用她的想像,砌出她心目中的任何一座數學城堡。

拓撲學帶領我們進入想像的空間

我的拓撲學課傳授了想像的實踐。正如前面提到的,拓撲學在研究幾何物件受到連續拉伸時會保持不變的性質。

如果我讓一個物件變形,且沒有引進或移走「洞」,那麼從拓撲學的角度,我並沒有改變它。因此,橄欖球和籃球在拓撲學上是相同的,因為其中一個形狀可以變形成另一個;另一方面,甜甜圈和橄欖球在拓撲學上就是不一樣的,因為你必須在橄欖球上戳一個洞,才可以把它變成甜甜圈。

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拓撲學是很有趣的主題,因為我們可以用奇奇怪怪的方式把東西切割開、黏起來或拉伸,來做出各種很妙的形狀。我們常想像在這些形狀裡面走動,所以稱它們為空間

拓撲學愛好者非常樂在想像他們自己的怪異空間,通常是為了回答某個奇特的問題,例如「是否存在具有這種或那種病態的物件?」。(對,我們在數學上會用到病態一詞,是在描述奇怪或異常的表現,就像在醫學中一樣。)然後會用腦袋聯想出一個例子。

舉例來說,有和田湖(Lakes of Wada):可在地圖上繪出,且邊界完全相同的三個相連區域(「湖」);位於其中一座湖的邊上的任何一點,一定會在所有三座湖的邊上。這個建構是以發明它們的數學家和田健雄(Takeo Wada)的名字命名的。還有夏威夷耳環(Hawaiian earring),這是個華麗的物件,上頭有無限多個逐次變小的環,全相切於一個點。[4]

這個碎形圖有三個區域(深色、中間色和淺色的「湖」),有相同的邊界,但與原始和田湖不同的是,圖中的每個湖都由不連通的水池組成。
圖/生而為人的13堂數學課
夏威夷耳環。圖/生而為人的13堂數學課

亞歷山大角球的病態空間

病態空間(pathological space)有個相當著名的例子(至少在數學家當中很有名),就是亞歷山大角球(Alexander horned sphere)。球是呈泡泡形狀的曲面,正圓球表面的空間具有「單連通」(simply connected)這個性質,意思大致上就是,如果你在球的表面拿著一條繩子,把兩端繫在一起,做成一個圈,那麼所繫成的圈不會卡在球上,永遠可以從球上移走,與球分離。(甜甜圈就截然不同了,它表面的空間不是單連通的:如果把繩子的一端穿過甜甜圈中心的洞,再把兩端繫在一起,你就無法讓繩圈脫離甜甜圈。)

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1924年,J. W. 亞歷山大(J. W. Alexander)在想像他的帶角球時,思考了一個問題:有沒有可能用某種奇特的變形方式,讓泡泡上的相異兩點永遠不會相碰,但泡泡表面的空間又不是單連通的?

起先亞歷山大認為,不管哪個變形泡泡的表面都一定是單連通的。[5]但後來他舉出了一個表面不是單連通的例子!他的假想結構可以描述如下(這不完全是他的結構,但在拓撲學上是相同的):取一個泡泡,擠出兩個「角」,接著再從每個角擠出一對捏起的手指,且讓這兩對捏起的手指幾乎相扣在一起。因為捏起的手指並沒有完全相碰,所以你可以在更小的尺度上重複這個步驟,從前面各組手指擠出一對細小的捏合手指,相扣但沒完全相碰。像這樣繼續做下去,做到極限,就會得到亞歷山大角球。

環繞在其中一個初始角底部的繩圈,無法從帶角球脫離,原因正是相扣手指鉗的極限過程。如果指鉗在某個階段結束,沒有做到極限,那麼繩圈就很容易脫落了。這種令人驚奇的結構,不僅需要靠想像力思考,還需運用想像力去驗證帶角球在極限時確實仍是一個球。

亞歷山大角球。圖/生而為人的13堂數學課

你可以想像把圖放大,去看接連各層級的捏角的碎形本質:在細節的每個層級,景象看起來都相同。

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想像力是我們的超能力

想像的自由為數學注入了夢幻般的特性。許個願,瞧!你的夢想成真了。

如果在每個階段我們都有機會運用想像力,數學學習的樂趣會多出多少?你不必從事高等數學,就能運用想像力。

在算術中,我們可以嘗試建構出帶有奇特性質的數;能被你出生年月日的所有數字整除的最小數字是多少?你能不能找出連續十個不是質數的數?

在幾何學中,我們可以設計出屬於自己的圖案,探究它們的幾何性質;你喜歡的圖案裡有哪些對稱性?

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在統計學中,我們可以考慮一個資料集,想出有創造力的視覺化方法;哪些方法的特點最好?

如果你是從枯燥的教科書上學數學,那就看看能不能把問題改造一下,以提升你的想像力,這麼做就是在讓你鍛鍊想像的自由。

摘自《生而為人的13堂數學課:透過數學的心智體驗與美德探索,讓你成為更好的人的練習》,2022 年 1 月,臉譜出版
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臉譜出版_96
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臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。