瑞典科技博物館數學花園：融合數感、美感、體感設計的北歐遊樂場

• 作者／賴昭正｜前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

我擔心人工智慧可能會完全取代人類。如果人們能設計電腦病毒，那麼就會有人設計出能夠自我改進和複製的人工智慧。 這將是一種超越人類的新生命形式。

——史蒂芬．霍金（Stephen Hawking）　英國理論物理學家

大約在八十年前，當第一台數位計算機出現時，一些電腦科學家便一直致力於讓機器具有像人類一樣的智慧；但七十年後，還是沒有機器能夠可靠地提供人類程度的語言或影像辨識功能。誰又想到「人工智慧」（Artificial Intelligent，簡稱 AI）的能力最近十年突然起飛，在許多（所有？）領域的測試中擊敗了人類，正在改變各個領域——包括假新聞的製造與散佈——的生態。

圖形處理單元（graphic process unit，簡稱 GPU）是這場「人工智慧」革命中的最大助手。它的興起使得九年前還是個小公司的 Nvidia（英偉達）股票從每股不到 $5，上升到今天（5 月 24 日）每股超過 $1000（註一）的全世界第三大公司，其創辦人（之一）兼首席執行官、出生於台南的黃仁勳（Jenson Huang）也一躍成為全世界排名 20 內的大富豪、台灣家喻戶曉的名人！可是多少人了解圖形處理單元是什麼嗎？到底是時勢造英雄，還是英雄造時勢？

在回答這問題之前，筆者得先聲明筆者不是學電腦的，因此在這裡所能談的只是與電腦設計細節無關的基本原理。筆者認為將原理轉成實用工具是專家的事，不是我們外行人需要了解的；但作為一位現在的知識分子或公民，了解基本原理則是必備的條件：例如了解「能量不滅定律」就可以不用仔細分析，即可判斷永動機是騙人的；又如現在可攜帶型冷氣機充斥市面上，它們不用往室外排廢熱氣，就可以提供屋內冷氣，讀者買嗎？

CPU 與 GPU

不管是大型電腦或個人電腦都需具有「中央處理單元」（central process unit，簡稱 CPU）。CPU 是電腦的「腦」，其電子電路負責處理所有軟體正確運作所需的所有任務，如算術、邏輯、控制、輸入和輸出操作等等。雖然早期的設計即可以讓一個指令同時做兩、三件不同的工作；但為了簡單化，我們在這裡所談的工作將只是執行算術和邏輯運算的工作（arithmetic and logic unit，簡稱 ALU），如將兩個數加在一起。在這一簡化的定義下，CPU 在任何一個時刻均只能執行一件工作而已。

在個人電腦剛出現只能用於一般事物的處理時，CPU 均能非常勝任地完成任務。但電腦圖形和動畫的出現帶來了第一批運算密集型工作負載後，CPU 開始顯示心有餘而力不足：例如電玩動畫需要應用程式處理數以萬計的像素（pixel），每個像素都有自己的顏色、光強度、和運動等, 使得 CPU 根本沒辦法在短時間內完成這些工作。於是出現了主機板上之「顯示插卡」來支援補助 CPU。

1999 年，英偉達將其一「具有集成變換、照明、三角形設定／裁剪、和透過應用程式從模型產生二維或三維影像的單晶片處理器」（註二）定位為「世界上第一款 GPU」，「GPU」這一名詞於焉誕生。不像 CPU，GPU 可以在同一個時刻執行許多算術和邏輯運算的工作，快速地完成圖形和動畫的變化。

依序計算和平行計算

一部電腦 CPU 如何計算 7×5+6/3 呢？因每一時刻只能做一件事，所以其步驟為：

• 計算 7×5；
• 計算 6/3；
• 將結果相加。

總共需要 3 個運算時間。但如果我們有兩個 CPU 呢？很多工作便可以同時（平行）進行：

• 同時計算 7×5 及 6/3；
• 將結果相加。

只需要 2 個運算時間,比單獨的 CPU 減少了一個。這看起來好像沒節省多少時間，但如果我們有 16 對 a×b 要相加呢？單獨的 CPU 需要 31 個運算的時間（16 個 × 的運算時間及 15 個 + 的運算時間），而有 16 個小 CPU 的 GPU 則只需要 5 個運算的時間（1 個 × 的運算時間及 4 個 + 的運算時間）！

現在就讓我們來看看為什麼稱 GPU 為「圖形」處理單元。圖一左圖《我愛科學》一書擺斜了，如何將它擺正成右圖呢？ 一句話：「將整個圖逆時針方向旋轉 θ 即可」。但因為左圖是由上百萬個像素點（座標 x, y）組成的，所以這句簡單的話可讓 CPU 忙得不亦樂乎了：每一點的座標都必須做如下的轉換

x’ = x cosθ + y sinθ

y’ = -x sinθ+ y cosθ

即每一點均需要做四個 × 及兩個 + 的運算！如果每一運算需要 10^-6 秒，那麼讓《我愛科學》一書做個簡單的角度旋轉，便需要 6 秒，這豈是電動玩具畫面變化所能接受的？

人類的許多發明都是基於需要的關係，因此電腦硬件設計家便開始思考：這些點轉換都是獨立的，為什麼我們不讓它們同時進行（平行運算，parallel processing）呢？於是專門用來處理「圖形」的處理單元出現了——就是我們現在所知的 GPU。如果一個 GPU 可以同時處理 10⁶ 運算，那上圖的轉換只需 10^-6 秒鐘！

GPU 的興起

GPU 可分成兩種：

• 整合式圖形「卡」（integrated graphics）是內建於 CPU 中的 GPU，所以不是插卡，它與 CPU 共享系統記憶體，沒有單獨的記憶體組來儲存圖形／視訊，主要用於大部分的個人電腦及筆記型電腦上；早期英特爾（Intel）因為不讓插卡 GPU 侵蝕主機的地盤，在這方面的研發佔領先的地位，約佔 68% 的市場。
• 獨立顯示卡（discrete graphics）有不與 CPU 共享的自己專用內存；由於與處理器晶片分離，它會消耗更多電量並產生大量熱量；然而，也正是因為有自己的記憶體來源和電源，它可以比整合式顯示卡提供更高的效能。

2007 年，英偉達發布了可以在獨立 GPU 上進行平行處理的軟體層後，科學家發現獨立 GPU 不但能夠快速處理圖形變化，在需要大量計算才能實現特定結果的任務上也非常有效，因此開啟了為計算密集型的實用題目編寫 GPU 程式的領域。如今獨立 GPU 的應用範圍已遠遠超出當初圖形處理，不但擴大到醫學影像和地震成像等之複雜圖像和影片編輯及視覺化，也應用於駕駛、導航、天氣預報、大資料庫分析、機器學習、人工智慧、加密貨幣挖礦、及分子動力學模擬（註三）等其它領域。獨立 GPU 已成為人工智慧生態系統中不可或缺的一部分，正在改變我們的生活方式及許多行業的遊戲規則。英特爾在這方面發展較遲，遠遠落在英偉達（80%）及超微半導體公司（Advance Micro Devices Inc.，19%，註四）之後，大約只有 1% 的市場。

事實上現在的中央處理單元也不再是真正的「單元」，而是如圖二可含有多個可以同時處理運算的核心（core）單元。GPU 犧牲大量快取和控制單元以獲得更多的處理核心，因此其核心功能不如 CPU 核心強大，但它們能同時高速執行大量相同的指令，在平行運算中發揮強大作用。現在電腦通常具有 2 到 64 個核心；GPU 則具有上千、甚至上萬的核心。

結論

我們一看到《我愛科學》這本書，不需要一點一點地從左上到右下慢慢掃描,即可瞬間知道它上面有書名、出版社等，也知道它擺斜了。這種「平行運作」的能力不僅限於視覺，它也延伸到其它感官和認知功能。例如筆者在清華大學授課時常犯的一個毛病是：嘴巴在講，腦筋思考已經不知往前跑了多少公里，常常為了追趕而越講越快，將不少學生拋到腦後！這不表示筆者聰明，因為研究人員發現我們的大腦具有同時處理和解釋大量感官輸入的能力。

人工智慧是一種讓電腦或機器能夠模擬人類智慧和解決問題能力的科技，因此必須如人腦一樣能同時並行地處理許多資料。學過矩陣（matrix）的讀者應該知道，如果用矩陣和向量（vector）表達，上面所談到之座標轉換將是非常簡潔的（註五）。而矩陣和向量計算正是機器學習（machine learning）演算法的基礎！也正是獨立圖形處理單元最強大的功能所在！因此我們可以了解為什麼 GPU 會成為人工智慧開發的基石：它們的架構就是充分利用並行處理，來快速執行多個操作，進行訓練電腦或機器以人腦之思考與學習的方式處理資料——稱為「深度學習」（deep learning）。

黃仁勳在 5 月 22 日的發布業績新聞上謂：「下一次工業革命已經開始了：企業界和各國正與英偉達合作，將價值數萬億美元的傳統資料中心轉變為加速運算及新型資料中心——人工智慧工廠——以生產新商品『人工智慧』。人工智慧將為每個產業帶來顯著的生產力提升，幫助企業降低成本和提高能源效率，同時擴大收入機會。」

附錄

人工智慧的實用例子：下面一段是微軟的「copilot」代書、谷歌的「translate」代譯之「one paragraph summary of GPU and AI」。讀完後，讀者是不是認為筆者該退休了？

GPU（圖形處理單元）和 AI（人工智慧）之間的協同作用徹底改變了高效能運算領域。GPU 具有平行處理能力，特別適合人工智慧和機器學習所需的複雜資料密集運算。這導致了影像和視訊處理等領域的重大進步，使自動駕駛和臉部辨識等技術變得更加高效和可靠。NVIDIA 開發的平行運算平台 CUDA 進一步提高了 GPU 的效率，使開發人員能夠透過將人工智慧問題分解為更小的、可管理的、可同時處理的任務來解決這些問題。這不僅加快了人工智慧研究的步伐，而且使其更具成本效益，因為 GPU 可以在很短的時間內執行與多個 CPU 相同的任務。隨著人工智慧的不斷發展，GPU 的角色可能會變得更加不可或缺，推動各產業的創新和新的可能性。大腦透過神經元網路實現這一目標，這些神經元網路可以獨立但有凝聚力地工作，使我們能夠執行複雜的任務，例如駕駛、導航、觀察交通信號、聽音樂並同時規劃我們的路線。此外，研究表明，與非人類動物相比，人類大腦具有更多平行通路，這表明我們的神經處理具有更高的複雜性。這個複雜的系統證明了我們認知功能的卓越適應性和效率。我們可以一邊和朋友聊天一邊走在街上，一邊聽音樂一邊做飯，或一邊聽講座一邊做筆記。人工智慧是模擬人類腦神經網路的科技，因此必須能同時並行地來處理許多資料。研究人員發現了人腦通訊網路具有一個在獼猴或小鼠中未觀察獨特特徵：透過多個並行路徑傳輸訊息,因此具有令人難以置信的多任務處理能力。

註解

（註一）當讀者看到此篇文章時，其股票已一股換十股，現在每一股約在 $100 左右。

（註二）組裝或升級過個人電腦的讀者或許還記得「英偉達精視 256」（GeForce 256）插卡吧?

（註三）筆者於 1984 年離開清華大學到 IBM 時，就是參加了被認為全世界使用電腦時間最多的量子化學家、IBM「院士（fellow）」Enrico Clementi 的團隊：因為當時英偉達還未有可以在 GPU 上進行平行處理的軟體層，我們只能自己寫軟體將 8 台中型電腦（非 IBM 品牌！）與一大型電腦連接來做平行運算，進行分子動力學模擬等的科學研究。如果晚生 30 年或許就不會那麼辛苦了?

（註四）補助個人電腦用的 GPU 品牌到 2000 年時只剩下兩大主導廠商：英偉達及 ATI（Array Technology Inc.）。後者是出生於香港之四位中國人於 1985 年在加拿大安大略省成立，2006 年被超微半導體公司收購，品牌於 2010 年被淘汰。超微半導體公司於 2014 年 10 月提升台南出生之蘇姿豐（Lisa Tzwu-Fang Su）博士為執行長後，股票從每股 $4 左右，上升到今天每股超過 $160，其市值已經是英特爾的兩倍，完全擺脫了在後者陰影下求生存的小眾玩家角色，正在挑戰英偉達的 GPU 市場。順便一題：超微半導體公司現任總裁（兼 AI 策略負責人）為出生於台北的彭明博（Victor Peng）；與黃仁勳及蘇姿豐一樣，也是小時候就隨父母親移居到美國。

（註五）或。

延伸閱讀

• 「熱力學與能源利用」，《科學月刊》，1982 年 3 月號；收集於《我愛科學》（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版），轉載於「嘉義市政府全球資訊網」。
• 「網路安全技術與比特幣」，《科學月刊》，2020 年 11 月號；轉載於「善科教育基金會」的《科技大補帖》專欄。

• 作者／ 蘇宇瑞 
• 原文作者／ Francis Su
• 譯者／ 畢馨云

存在於數學中的第四個自由，是想像的自由。

如果探索是在尋找已經存在的東西，那麼想像就是在建構新的想法，或至少對你來說是新的想法。凡是在沙灘上堆過沙堡的孩子，都知道一桶沙子的無限潛力，同樣的，康托也曾說過：「數學的本質就在於它的自由。」^[3]（康托在19世紀後期做出開創性的研究成果，讓我們首度對無限的本質有了清楚的了解。）

他的意思是，數學不像科學，研究的主題未必和特定的實物有關，因此數學家在能夠研究的題材上，不像其他科學家那樣受限。數學探險家可以運用她的想像，砌出她心目中的任何一座數學城堡。

拓撲學帶領我們進入想像的空間

我的拓撲學課傳授了想像的實踐。正如前面提到的，拓撲學在研究幾何物件受到連續拉伸時會保持不變的性質。

如果我讓一個物件變形，且沒有引進或移走「洞」，那麼從拓撲學的角度，我並沒有改變它。因此，橄欖球和籃球在拓撲學上是相同的，因為其中一個形狀可以變形成另一個；另一方面，甜甜圈和橄欖球在拓撲學上就是不一樣的，因為你必須在橄欖球上戳一個洞，才可以把它變成甜甜圈。

拓撲學是很有趣的主題，因為我們可以用奇奇怪怪的方式把東西切割開、黏起來或拉伸，來做出各種很妙的形狀。我們常想像在這些形狀裡面走動，所以稱它們為空間。

拓撲學愛好者非常樂在想像他們自己的怪異空間，通常是為了回答某個奇特的問題，例如「是否存在具有這種或那種病態的物件？」。（對，我們在數學上會用到病態一詞，是在描述奇怪或異常的表現，就像在醫學中一樣。）然後會用腦袋聯想出一個例子。

舉例來說，有和田湖（Lakes of Wada）：可在地圖上繪出，且邊界完全相同的三個相連區域（「湖」）；位於其中一座湖的邊上的任何一點，一定會在所有三座湖的邊上。這個建構是以發明它們的數學家和田健雄（Takeo Wada）的名字命名的。還有夏威夷耳環（Hawaiian earring），這是個華麗的物件，上頭有無限多個逐次變小的環，全相切於一個點。^[4]

亞歷山大角球的病態空間

病態空間（pathological space）有個相當著名的例子（至少在數學家當中很有名），就是亞歷山大角球（Alexander horned sphere）。球是呈泡泡形狀的曲面，正圓球表面的空間具有「單連通」（simply connected）這個性質，意思大致上就是，如果你在球的表面拿著一條繩子，把兩端繫在一起，做成一個圈，那麼所繫成的圈不會卡在球上，永遠可以從球上移走，與球分離。（甜甜圈就截然不同了，它表面的空間不是單連通的：如果把繩子的一端穿過甜甜圈中心的洞，再把兩端繫在一起，你就無法讓繩圈脫離甜甜圈。）

1924年，J. W. 亞歷山大（J. W. Alexander）在想像他的帶角球時，思考了一個問題：有沒有可能用某種奇特的變形方式，讓泡泡上的相異兩點永遠不會相碰，但泡泡表面的空間又不是單連通的？

起先亞歷山大認為，不管哪個變形泡泡的表面都一定是單連通的。^[5]但後來他舉出了一個表面不是單連通的例子！他的假想結構可以描述如下（這不完全是他的結構，但在拓撲學上是相同的）：取一個泡泡，擠出兩個「角」，接著再從每個角擠出一對捏起的手指，且讓這兩對捏起的手指幾乎相扣在一起。因為捏起的手指並沒有完全相碰，所以你可以在更小的尺度上重複這個步驟，從前面各組手指擠出一對細小的捏合手指，相扣但沒完全相碰。像這樣繼續做下去，做到極限，就會得到亞歷山大角球。

環繞在其中一個初始角底部的繩圈，無法從帶角球脫離，原因正是相扣手指鉗的極限過程。如果指鉗在某個階段結束，沒有做到極限，那麼繩圈就很容易脫落了。這種令人驚奇的結構，不僅需要靠想像力思考，還需運用想像力去驗證帶角球在極限時確實仍是一個球。

你可以想像把圖放大，去看接連各層級的捏角的碎形本質：在細節的每個層級，景象看起來都相同。

想像力是我們的超能力

想像的自由為數學注入了夢幻般的特性。許個願，瞧！你的夢想成真了。

如果在每個階段我們都有機會運用想像力，數學學習的樂趣會多出多少？你不必從事高等數學，就能運用想像力。

在算術中，我們可以嘗試建構出帶有奇特性質的數；能被你出生年月日的所有數字整除的最小數字是多少？你能不能找出連續十個不是質數的數？

在幾何學中，我們可以設計出屬於自己的圖案，探究它們的幾何性質；你喜歡的圖案裡有哪些對稱性？

在統計學中，我們可以考慮一個資料集，想出有創造力的視覺化方法；哪些方法的特點最好？

如果你是從枯燥的教科書上學數學，那就看看能不能把問題改造一下，以提升你的想像力，這麼做就是在讓你鍛鍊想像的自由。

Bridges 從 1998 年開始舉辦，是個一年一度以數學為主的大型全球聚會，結合藝術、音樂、建築、教育與文化，是國際間知名的跨領域會議。

如果數學是藝術創作的繆思女神？來自全球的數學藝術展覽── Bridges 2018 研討會（上）這篇文章中，我介紹了許多才華洋溢的數學家與藝術家，在Bridges 2018數學藝術展覽的精彩作品。

這回我想談談 Bridges 在什麼因緣之下展開，又是什麼力量成就了 Bridges 這種超跨領域又盛大的會議？這個活動有何獨到之處，讓紐約數學博物館 (MoMath) 館長都親自飛來斯德哥爾摩參加 Bridges 2018？

Bridges 的斜槓創辦人－雷薩．沙爾汗吉

要回答這些問題就必須提到 Bridges 的創辦人──雷薩．沙爾汗吉 (Reza Sarhangi，1952–2016)，一位多才多藝的斜槓。生於伊朗的他從年輕時就醉心於波斯裝飾圖樣，對蘊含其中的數學藝術深感興趣，因而探索了相關領域。這樣的成長方式使得沙爾汗吉不但是數學教授，還是平面設計師、戲劇教師、劇作家、劇場導演、道具設計師¹，我讀資料讀到這邊只覺得實在太厲害了，只想大喊有神快拜！

移民美國後的他在大專院校教書，更是將豐沛的人文與數理素養體現在課程中，大受學生好評。懷著將數學與藝術跨領域學科相互交流與對話的夢想，便在自己任教的學校創立一年一度的 Bridges 研討會。

這樣的理念感染了許多人，使得 Bridges 從只是一個大學裡的小型活動，逐步發展成全球最大的數學藝術活動與社群，主辦地點遍佈北美、歐洲與亞洲（2014年於首爾舉行）。

沙爾汗吉雖然因病去世[註1]，但早期為了方便推動 Bridges 創立了委員會，希望藉由社群的力量延續這樣的跨域精神。也因此 Bridges 的名號愈來愈響亮，每年都聚集數以百計的各路高手，在數學與藝術之中迸裂出更多火花，讓幾百個人聚集在一起，共同創造出數學的樂趣。

接下來就讓前去參展的我，帶回 Bridges 2018 數學藝術活動（詳細議程）的第一手觀察，看看數學如何與電影、戲劇、短片、詩歌、音樂、科技、時尚、舞蹈、教育等眾多領域撞擊出 Bridges 的獨特魅力！

數學聚光燈──數學電影／戲劇／短片競賽

博物館之夜播出了一部由 Bridges 參與者在 2015 年跨國製作，片長 24 分鐘的跨國科學考察電影 La Figure de la Terre。故事劇情主要是十八世紀法國數學家皮埃爾．莫佩爾蒂 (Pierre Louis Moreau de Maupertuis) 與瑞典天文學家安德斯．攝爾修斯 (Anders Celsius)，一起至瑞典拉普蘭 (Swedish Lapland) 量測地球形狀的故事。有沒有覺得 Celsius 這個姓氏很熟悉呢？沒錯，這就是攝氏溫度的攝氏！

除了科學考察電影，Bridges 還有戶外數學劇場零距離演出！數學戲劇 Witches of Agnesi（阿涅西的女巫，也同時是箕舌線）在博物館旁邊的草坪，演出三位不同時代女性數學家穿越時空的神秘下午茶聚會，彼此分享她們的生命與職涯故事。

三位故事主角分別是曾經上過 Google Doodle 的瑪利亞．阿涅西 (Maria Gaetana Agnesi)、北歐第一個女性教授的索菲婭．柯瓦列夫斯卡婭 (Sofya Kovalevskaya)、被愛因斯坦譽為數學史上最重要的埃米．諾特（Emmy Noether，延伸閱讀：埃米．諾特──蹣跚而行的仁厚數學家）。

編劇蘇珊．格羅夫斯基 (Susan Gerofsky) 與導演史蒂夫．亞伯特 (Steve Abbott) 只帶著劇本就來到 Bridges 會議現場徵演員、歌者、音樂家、技術人員，最後演出長達 50 分鐘，每位主角還有自己的主題曲與樂隊伴奏。整齣戲劇具有科學與性別意識不落俗套，非常佩服 Bridges 社群的力量，可以在短時間內聚集一群充滿創造力與行動力的數學藝術同好，完成這齣戲劇。不只電影與戲劇，Bridges 還有數學短片徵件競賽，可以在線上觀看充滿創意的數學短片。

為數學朗讀──數學詩之美

Bridges 的一大主軸是文化，而詩凝鍊了文化的精華。Bridges 的詩歌朗讀從 2011 年開始，每年都會讓愛好者一起分享與朗讀詩，今年主辦方也將歷年的作品集結成冊。在我看來這件事頗具意義，即使詩的群眾相對少數，但只要敢在 Bridges 發聲，一切都有可能發生，我想這也是為什麼 Bridges 跨越的領域可以如此之廣。

一首數學歌的誕生──數學也能這麼好聽

以科學創意 MV 聞名的 OK Go 樂團的主唱達米安．庫拉什 (Damian Kulash) 曾受邀至 Bridges 2017 演講；最近 OK Go 與 Google 合作發展了OK Go Sandbox 計劃，此計畫主要是提取 OK Go 的 MV 中的數學／科學素材，提供教育工作者協助學生探索 STEAM (Science, Technology, Engineering, Art, and Mathematics)。OK Go Sandbox 計劃也在 Bridges 2018 開設工作坊，讓大家自由探索生活中各種物品搭配之後的聲音特性，以及製造出屬於自己的音樂。

正式音樂之夜 (formal music night) 有兩場表演[註2]，第一場是混合遊戲、音樂、科技與數學的互動表演──Mathrix。四位玩家在下棋的時候會因為棋子移動的位置與方向，使得合成器產生不同的電子音樂，運用策略贏得遊戲同時也要考量音樂的悅耳程度，還真是一款高難度的遊戲啊！

話說回來，Bridges 2019 將在克卜勒大學 (Johannes Kepler University) 與林茲電子藝術中心 (Ars Electronica Center) 舉辦，相信會有更多數學、科技與音樂的碰撞。

如果說正式音樂之夜是主辦國家精心準備的表演，那麼非正式音樂之夜 (informal music night) 就是屬於 Bridges 社群的盛會，只要想表演的人都可以登記上台，全場不可預期又充滿創意！

到了之夜的尾聲，出現這首有才的改編歌曲 “Don’t Worry, Be Bridges”，頓時覺得非常幸運和感動能夠來到 Bridges，可以和愛好數學藝術的夥伴齊聚一堂，更多的改編歌歌詞可見此連結。

數學潮流──數學藝術時尚秀

在非正式音樂之夜，Bridges 今年新增了一場非常特別的表演──數學藝術時尚秀 (Math + Art Fashion Show)。在這場動態秀，金工（或珠寶）、服飾、配件等設計透過充滿自信模特兒的身體與走秀，散發出屬於幾何藝術的時尚美感。

在這裡，每一場表演、每一場講座，分享者的眼神都是亮的，說到數學藝術就有止不住的興奮感；對我來說參加 Bridges 就像是回家那樣親切，感到彼此不分種族與國界。

舞動數學──跳出你心中的數學

幾何金工時尚還能和舞蹈跨界合作！瑞典設計師莉娜．畢爾戈思朵特 (Lena Birgitsdotter) 與舞者伊娃．英格瑪森 (Eva Ingemarsson) 製作了一段優雅且富有詩意的舞作──Aerial Cube／Concrete，藉由可動的頂點設計，立方體便可產生無限的幾何形態：

這讓我想到台灣單挑概念工作室的PRISM01幾何金工創作與舞者趙敦毅的舞立方表演。在她們的分享會後，我前去介紹台灣的金工設計與幾何舞蹈，發現瑞典與台灣作品的相異與相同；可以確知的是，即使遠在地球的兩端，人類追求數學幾何之美的心靈是相通的。

相對於 Aerial Cube／Concrete 的獨舞，Dance your PhD （跳出你的博士論文） 2017 年獲勝者南西．薛利奇 (Nancy Scherich) 編了一齣以辮群為主題的當代舞作－Representations of the Braid Group。

在舞作中，薛利奇運用了三大原則吸引觀眾的目光：將計算過程中使用到的矩陣加以視覺化 (look for visuals in your computations)，注重舞台整體效果的他們製造出一些抽象的場景 (create abstract landscapes)，並且在舞者或週遭環境標上一些明顯的線索與標籤 (use visual clues and labels)，讓觀眾更容易進入狀況。

在 Bridges 2018 的講座「Turning Math into Dance」中，薛利奇分享了創作緣由與概念。數學家認為，不可能把數學的美傳播出去；對一般人來說，數學是可怕駭人的，兩者之間有極大的鴻溝。

薛利奇希望藉由舞蹈翻轉一般民眾對於數學的印象，對她個人而言，跳舞和研究數學都是生命中不可或缺的熱情，因此她決定以舞蹈跳出她的博士研究（延伸閱讀：Dance Your Ph.D.：看不懂科學研究？那就用舞蹈跳給你看！），也因此登上了《科學－Science》期刊，我在講座現場完全可以感受到她對這件事的專業與熱情！

數學捕手──玩轉生活中的數學教育

Bridges 的家庭日 (Family Day) 為一般民眾準備了許多工作坊（點我連結），包括摺紙、手作、桌遊、益智玩具、環境聲音感測、科學秀、體感幾何、自造小旅行、VR 幾何體驗等活動，也開放數學藝術展覽、數學劇場、數學詩朗讀、短片欣賞供民眾參與，根本無一處不是數學的守備範圍，我在現場只覺得目不暇給非常精彩，十分羨慕瑞典的大人與孩童可以一次體驗到來自全球的數學藝術活動。

一起成為數學與藝術的 Bridges 吧！

Bridges 建立了許多橋梁，讓數學與其他領域有著趣味與深刻的鍵結；每位參與的人都是一座橋，回去各自的國家以後成了一座又一座的橋，把數學的美感與樂趣推廣到世界各地。

透過這幾天的觀察，我發現台灣的數學藝術其實不輸外國，也不禁尋思台灣未來是否有可能舉辦 Bridges 研討會？或許未來哪一年，台灣也能夠辦這樣的大型活動。因為結合數學與藝術的超能力，就來自人類無垠的想像力！

註解

• 註1：2018 年也有具紀念意義的攤位，介紹剛去世的知名數學藝術家 Koos Verhoeff 與他在世界各地的作品（如海德堡購物中心 Mathematikon 的大型雕塑），讓人深深感覺到 Bridges 是個相當溫暖的社群。資料來源：沙爾汗吉紀念網頁
• 註2：正式音樂之夜 (formal music night) 的第二場表演則是請到瑞典音樂團體 Varité Velociped，他們的音樂表演雖然和數學關聯較小，但擁有高超的音樂技巧、嗨翻全場的幽默感（像是用睡褲進行演奏）與文化感染力，以 ABBA 經典歌曲與美國民謠大合唱獲得高度共鳴與歡樂。

參考資料

1. Shrestha, S., Mathematics Art Music Architecture Education Culture. Nexus Network Journal, 2018. 20(2): p. 497-507.

延伸資料-Bridges 2018相關網站

1. 官方網站
2. 線上藝廊
3. 相關活動
4. 論文集
5. 詳細議程
6. 家庭日活動

本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會（國藝會）國際交流計畫補助。

我們曾在讓人好玩又好學的「數學遊樂場」，在台灣有嗎？一文中，分別介紹了美國華盛頓 Harry Thomas Sr. playground 與竹北嘉豐數學公園，也一起思考了臺灣的數學公園是否能能夠掙脫對數學的貧乏想像與設計［1］。那麼，還有沒有更多有意思的數學公園呢？

2018 年的夏天我前往瑞典參加 Bridges 2018 全球數學藝術展覽與會議，在抵達瑞典科技博物館 (Tekniska Museet) 時發現了他們令人驚艷的「數學花園」(The Mathematical Garden)。這個於 2017 年 9 月開幕的數學花園是動物園島 (Djurgården) 博物館園區的最新景點［2］，也是個令人興奮、融合數感、美感、身體感於一體的北歐數學遊樂場！

數學是描述宇宙秩序的學問，在生活中無所不在並且千變萬化，以圖樣、對稱、數列、碎形、黃金比例的形式存在於自然、藝術、音樂或是人類科技中；而數學花園提供了各種互動體驗，讓來到博物館的遊客可以自由探索數學的樂趣。接下來就讓我開始介紹數學花園的各項設計吧［1］！

家裡也好想有一組的五邊形鋪磚

從博物館的大門開始就有玄機：我們都看過磁磚是四邊形、六邊形甚至是三角形，但你有看過連續的五邊形鋪磚嗎？（延伸閱讀：五迷們難以達成的願望之一：用正五邊形磁磚鋪地板）如果沒有，現在就讓你看看！

博物館大門口的五邊形鋪磚，這是業餘數學家瑪喬里．賴斯 (Marjorie Rice，1923-2017) 所設計的。原本只有高中學歷的她，讀了人稱葛老爹的科普專欄作者葛登能 (Martin Gardner，1914-2010) 在《科學美國人》的專欄後，開始研究起這個題目，並且發展了一套系統最終找出四種新型態的凸五邊形鋪磚［3］。

不過由於瑪喬里．賴斯去年 (2017) 離世，今年 Bridges 開幕演講也邀請了數學家桃樂絲．舒特內德 (Doris Schattschneider)，聊聊這位家庭主婦在數學史上留下的傳奇故事［4］。

用雙腳走出答案的數學迷宮

面向博物館右側的是兩個看似簡單但其實相當狡猾的數學迷宮，在螢幕前面讀這篇文章的你，不妨也照著下圖圖說的規則試著解謎看看吧！我和我與會的小夥伴可是嘗試了好幾天才解出來啊！

一個人玩迷宮不夠過癮的話，在數學花園裡也可以揪夥伴一起玩。博物館門口兩側佇立著像盤子一般的拋物面，可以讓人試著找到拋物面的焦點後說悄悄話，問問你的夥伴在另一邊聽不聽得見？

不只有數感，再來點音感吧

英國數學家希爾維斯 (James Joseph Sylvester，1814-1897) 曾說過：「難道不能形容音樂是數學的感性，而數學是音樂的理性？」 (May not music be described as the mathematics of the sense, mathematics as music of the reason？)［5］

下圖右側高高低低的金屬管是由木琴構成，觀眾敲擊這些柱子會聽見不同音調但悅耳和諧的聲音，可以探索柱高與音調的關係培養數感與音感，進而演奏出屬於自己的音樂；左側地面則是石頭製成的黑色木琴，敲擊時的動作就像是在打鼓一般有韻律感。

覺得只用手敲玩音樂不夠？在數學花園還可以卯起來大跳特跳。圖中最右方兩個女孩正在九宮格金屬板上遊玩，藉由身體感的律動撞擊下方的金屬片製造出悅耳的聲音，就像在一台數學跳舞機上盡情舞動；另一個可以踏上去的遊具是前方的白色柱子，其高度代表不同的分數，如 1/7、1/6、1/2、1/1，呼應音樂裡不同音之間的頻率比關係，踏在上方就像是踩高蹺需要專注才能平衡。

自然界無所不在的數學密碼

造型靈感來自鸚鵡螺線 (nautilus shell) 的滑梯，兼具數感、美感以及遊樂場設計中重要的身體感，讓孩子在攀爬時覺得十分刺激且充滿挑戰性，對於數學有多重體驗與記憶，不只是課堂的考題。

自然界之中無處不藏著數學的密碼，除了滑梯之外，還有以瑞典數學家科赫命名的科赫曲線 (Koch curve) 之造形柵欄，依照費氏數列分支的亭子，以及遊樂場地面貫穿整個數學花園的黃金螺線，希望讓大家從自然中認識黃金比例、費氏數列與碎形。

不僅如此，附近還有一些箱子種植向日葵與雛菊，會議結束約一個多月遇上向日葵收成，科技博物館邀請 Bridges 2018 的與會數學家、藝術家提供名字與一句想對孩子說的話，將綁在向日葵上面分送給 5 至 7 歲的孩童，讓他們可以認識來自世界各地的數學家與藝術家。

認識世界各地不同的人和文化還有不一樣的角度：數學花園的魔方陣 (magic square) 並非僅以傳統西方的視角詮釋，而是以中國傳說故事裡在洛水出現的神龜背上刻的九宮花紋或圖點呈現［6］；一旁可讓孩童攀爬的柱體高度則是呼應龜殼上的點數。

最後是由許多三角形構成的大型多面體遊具，小孩與大人可以踏著繩子攀爬，需要身體的協調、平衡以及對於踏點的判斷，才能順利在多面體中穿梭與擺動。

而其中最數學的玩法，是數學家亨利·西日曼 (Henry Segerman) 號召的手牽手 360 大合照，大家都玩得不亦樂乎。

註釋

數學花園在設計上分成四大類，分別是：

1. 自然中的數學 (mathematics in nature)
2. 音樂裡的數學 (musical mathematics)
3. 演算法、最佳化與迷宮 (algorithms, optimization and mazes)
4. 形狀、胚騰、鋪磚 (shapes, patterns and tessellations)

由於說明牌的遊具規劃與現場有少許出入，因此本文並未詳列四大類型的每個遊具，而是選擇介紹互動性與趣味性較高的設計。在官方網頁中，策展人 Lars Paulsson 也有建議幾種玩法。

參考資料

1. Shark Lin，「讓人好玩又好學的「數學遊樂場」，在台灣有嗎？」，2017
2. The Mathematical Garden – Tekniska museet，2017
3. UniMath，[幾何學突破] 發現凸五邊形鋪磚的第 15 型，2015
4. Doris Schattschneider, Marjorie Rice and Her Pentagonal Tilings, Proceedings of Bridges 2018: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture, 2018
5. 蔡聰明，音樂與數學：從弦內之音到弦外之音，1994
6. 趙崇良，失落的古文明：「河圖洛書和八陣圖」之我見，2010

• 本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會國際交流計畫補助。