網站更新隱私權聲明
本網站使用 cookie 及其他相關技術分析以確保使用者獲得最佳體驗,通過我們的網站,您確認並同意本網站的隱私權政策更新,了解最新隱私權政策

1

13
1

文字

分享

1
13
1

如不確定性原理一般的人生:海森堡誕辰|科學史上的今天:12/5

張瑞棋_96
・2015/12/05 ・1380字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 543 ・八年級

1941年9月,德軍佔領丹麥已近一年半,德國物理學家海森堡特地前來哥本哈根大學拜訪波耳(Niels Bohr)。他走進熟悉的校園,心中感慨萬千,更為曾經亦師亦友的波耳將會如何待他而忐忑不安。等到會晤結束後,海森堡沮喪地向波耳道別,他心裡明白恩師與他真的從此恩斷義絕了……。

維爾納‧海森堡。圖片來源:wikimedia

他初識波耳已是十九年前,那時他還在攻讀博士學位,隨著老師前往哥廷根聆聽波耳的講學,得以結識這位物理巨擘。想必他留給波耳極佳的印象,兩年後特地通知他有筆獎學金可以讓他前往哥本哈根接受波耳一年的指導。因此已取得博士學位,正跟著玻恩(Max Born)作研究的海森堡在獲得玻恩首肯後,欣然前往。

這短短的一學年影響深遠。他深入探討波耳的氫原子模型,發現它假設電子分佈在不同能階,就像行星一樣在特定軌道繞行。但其實我們根本無從得知這些軌道的距離遠近,甚至是不是真的有所謂的軌道;我們唯一能觀測到的只有電子躍遷前後的能量差異,以及所產生或吸收之電磁波的頻率。因此,海森堡主張無需行星軌道這種古典模型的假設,而應該用觀測到的能量與頻率來描述粒子的行為。回到德國後,在玻恩與同僚約爾丹(P. Jordan)的協助之下(幫他用數學本來就有的矩陣解決複雜的運算),海森堡於1925年發表矩陣力學,開創了量子力學的理論基礎。

第二年,在波耳的力邀之下,海森堡來到哥本哈根大學講課同時擔任波耳的助理。1927年,他發表了更令古典物理搖搖欲墜的「海森堡測不準原理」──不可能同時確定粒子的位置與動量。他曾用淺顯易懂的方式說明:想知道粒子愈精確的位置就得用波長更短的光來「照射」,而波長越短能量就越強,也就更會改變粒子的動量,所以永遠都會顧此失彼。但波耳卻給他當頭棒喝:這樣的解釋等於承認粒子有客觀的位置和動量,只是我們無法精確測出來;這還是未脫古典物理的觀念。事實上,原本就沒有精確的位置與速度,所以粒子才有波粒二象性。

海森堡大澈大悟:不確定性並非測量的誤差,而是萬物的本質。問客觀事實是什麼是沒有意義的,只有觀測者所量得的結果才有意義。因此我們應該改稱為「不確定性原理」了;它為日後的哥本哈根詮釋奠下根基,海森堡與波耳並列哥本哈根學派的創立者。海森堡成為物理界耀眼的新星,1932年還獲頒諾貝爾物理獎,未來一片光明,直到納粹崛起……。

當他的科學家朋友們或為顧全性命,或不願為納粹效命而紛紛逃離德國時,海森堡卻基於愛國情操留了下來,甚至後來還接受徵召擔任原子彈計畫的主持人。很多科學家因為他為虎作倀而對他唾棄,其中也包括波耳。海森堡即是為此前來丹麥試圖向波耳解釋。

我們已經知道波耳並不接受,從此未再與海森堡見面。關於此次晤談的內容,兩人都未透露太多,因此海森堡究竟是為了克服原子彈的研發瓶頸,才來尋求波耳的協助?或只是來告訴波耳他決不會讓原子彈研發成功,尋求波耳對他為納粹服務一事諒解?至今科學家與史學家們仍各有主張,其真相究竟如何,恐怕就像海森堡的不確定性原理,永遠無法得知了。

延伸閱讀:10月7日──波耳誕辰

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

 

文章難易度
所有討論 1
張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 399 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。


1

0
0

文字

分享

1
0
0

花了三百年才證明的世紀難題:費馬的最後定理

數感實驗室_96
・2019/08/17 ・2551字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 538 ・八年級

數感實驗室/朱倍玉

如果有人突然問你: \(  a^{2}+b^{2=} \)? 台灣學生大概像膝反射一樣,自然而然地答出 \( c^{2} \)

直角三角形,直角的兩鄰邊長的平方和等於斜邊長的平方。這是人人都熟悉的畢氏定理,也是百年數學之謎「費馬最後定理」的一部分。

費馬提出的世紀難題

費馬的本業是律師,但因為熱衷數學研究而被譽為業餘數學王子。圖/wikipedia

費馬(Pierre de Fermat)是 17 世紀的一名律師,數學是他業餘的興趣,當時與他書信往來的包括了笛卡爾、帕斯卡、惠更斯等歷史上知名的數學家。雖然費馬本業跟數學天差地遠,但他相繼提出微積分、機率論與數論的研究,在數學界的貢獻不輸職業數學家,也因此獲得「業餘數學家王子」的封號。

研究《算數》(Arithmetica)這本書時,費馬在書的空白處寫下「\(  a^{n}+b^{n}=c^{n} \),當 \(  n>2  \) 時無正整數解」,並且用拉丁文留下一句話「我發現了一個極為美妙的證明,可是空白處太小所以沒寫下來」。

短短一條小學生就能理解的式子,再加上一句話,卻讓後世的數學家們花了足足三百年,直到 1995 年才由懷爾斯(Andrew John Wiles)教授完成證明,而這項證明,被稱為上個世紀的大任務。

(2019/8/20) 編按:原文提及費馬定理時敘述為「無解」,實為「無正整數解」,特此更正。

懷爾斯在費馬的出生地前留影,其後是「費馬猜想」的雕刻。圖/wikipedia

立志要趁早,十歲許願解題的懷爾斯

這個世紀大任務的起點是懷爾斯 10 歲那年。他在圖書館翻閱一本講述費馬最後定理歷史的書,當時,他便對費馬留下來的難題產生濃厚興趣。在其他人才正要認識三角形的年紀,懷爾斯已經下定決心要解決這道流傳百年的難題。正好,又提供大家一個立志要及早的偉人例證。

跟很多成就大事的人一樣,懷爾斯在研究費馬最後定理的過程並非一帆風順。他踏入數學界的時期,正好是數學界準備放棄費馬最後定理的時候。大多數學家認為費馬最後定理無法證明,紛紛轉往其他領域。懷爾斯的指導教授也不例外,要懷爾斯放棄夢想,別白忙一場。也因此除了夢想外,他同時開始研究橢圓曲線註1這個領域。

然而事實上在更早以前,日本數學家谷山豐和志村五郎提出「谷山-志村猜想」,他們認為橢圓曲線與「模形式」註2可能有關聯。但是,橢圓曲線或是它與模形式的關聯跟費馬最後定理有什麼關係呢?1985 年,德國數學家佛列(Gerhard Frey)將谷山-志村猜想與費馬最後定理連結,他認為谷山-志村猜想可能可以協助完成費馬最後定理的證明。

後來,法國數學家賽爾(Jean-Pierre Serre)、美國數學家里貝特(Ken Ribet)也投入研究。他們發現只要證明出谷山-志村猜想就可以完成費馬最後定理的證明,才再次啟動懷爾斯的世紀難題證明之路。

卡茲協助懷爾斯完成證明費馬最後定理的最後一哩路。圖/wikipedia

於是,長達 7 年的時間,懷爾斯致力於研究谷山-志村猜想與費馬最後定理,他也找來另一位數學教授卡茲(Nicholas Katz)加入研究。懷爾斯是一個很低調的人,為了避免引起眾人的懷疑與關注,他在學校開設新課程,好讓卡茲協助他找到證明費馬最後定理所需要的最後一項工具──類數公式註3

由於懷爾斯從未說明開課目的,也沒向學生解釋這個公式將幫助他們通往費馬最後定理,只是不停地證明,難度相當高,搞到最後台下聽眾就只剩下卡茲。不久後,懷爾斯正式完成所有證明。他選擇在劍橋大學舉辦三場研討會,對外宣稱研討會的內容討論的是橢圓曲線和模形式,完全沒提到費馬最後定理。

當時有些謠言,這場研討會似乎有更勁爆的突破要發生,許多學者因此前來。研討會上,懷爾斯從橢圓曲線、模形式,一路證明到費馬最後定理,帶給台下聽眾滿滿的驚喜。隔天報章雜誌上,到處都在報導世紀難題已經解決的喜訊。

Diophantus-II-8-Fermat
儘管過程如此曲折,世紀難題終究還是從未竟之謎的名單中消除了。圖/wikipedia

以為解開了嗎?過程曲折離奇

然而「福兮,禍之所伏」,驚喜後面還藏了一個巨大的驚嚇。當懷爾斯的證明手稿進入審查階段,卡茲與懷爾斯反覆驗證時,他們找到一處先前完全沒發現的錯誤。

人們尖銳地檢視著懷爾斯的失誤,漫天的喜訊瞬間化成毫無遮掩的嘲諷。懷爾斯接受訪問時也表達,在備受矚目的狀態下進行研究並不是他的風格。他把自己關在書桌前,試圖解決這個錯誤,然而不論怎麼做都沒辦法突破。

就在陷入絕望之際,他偶然在桌邊看到一份關於「岩澤理論」的論文。一時靈光乍現,他運用了岩澤理論來化解掉原先證明的錯誤,完成證明。1995 年,世紀難題才正式從未竟之謎的名單中消除。

「或許,我能給出關於我研究數學的歷程最貼切的描述,就是進入一棟大房子。當一個人開始探索第一個全黑的房間時,裡頭一片漆黑,他會在家具中邊跌倒邊摸索。漸漸地知道家具的位置。六個月後,你會找到開關並且打開燈。開燈的那一瞬間,整個房間被光線壟罩,你終於,能清楚地看見你站在哪裡」

——懷爾斯(Andrew John Wiles)

BBC拍攝了一部關於破解費馬最後定理的紀錄片,這段話正是懷爾斯在片頭的開場白。

破解費馬最後定理的世紀任務就像是完成一場接力式的拔河比賽,仰賴歷史上許多數學家的一臂之力,更需要在時間的沖刷與眾人的關注下承擔壓力的決心。從這個例子我們也可以看到,數學不是計算,更不是算得快就叫數學好。它是思考與邏輯,能讓許多人投入一生也樂此不疲的遊戲。

今年的 8 月 17 日,正好是費馬的 418 歲生日,特別寫這段費馬留給後人的禮物來祝他生日快樂!

註釋:

  1. 橢圓曲線(Elliptic Curve)是二元三次曲線的一種形式,其圖形並非橢圓,而是圓環狀。
  2. 模形式(Modular forms)是具有極複雜對稱性的複數平面函數。
  3. 類數公式(Class number formula)與環的有限序列有關。

資料來源:

 

所有討論 1
數感實驗室_96
141 篇文章 ・ 21 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/