黎曼誕辰｜科學史上的今天：9/17

• 文｜賴昭正／前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

自從數學家入侵（狹義）相對論後，我自己也搞不懂了。
——愛因斯坦（Albert Einstein），1921 年諾貝爾物理獎得主

在「畢業求職碰壁，在伯爾尼專利局思索的愛因斯坦」裡，筆者提到了 1905 年愛因斯坦在專利局一口氣寫了五篇諾貝爾獎級的論文，投到德國名雜誌《物理年鑑》（Annalen der Physik），創造了理論物理界的一個「奇蹟年」。愛因斯坦曾希望他在《物理年鑑》這傑出期刊上的大量論文能夠讓他擺脫默默無聞的三流專利審查員，獲得一些學術認可，甚至找到一份學術工作；但是事與願違，反應卻是非常冷淡。

正在絕望之際，愛因斯坦於 1906 年 3 月突然收到了一位物理學家的反應；令他驚奇的是：這位物理學家竟然不是別人，而是當時歐洲受人尊敬的理論物理學大師普朗克（Max Planck）！

普朗克寫信告訴他說那篇題爲「關於運動物體的電動力學」（Zur Elektrodynamik bewegter Körper）論文「立即引起了我的熱烈關注」。在該論文出版後，普朗克立即在柏林大學講授相對論！由於他的影響，這個理論很快在德國被廣泛接受，並公開地為愛因斯坦理論辯護，反對一波又一波的懷疑論者，終於使這篇完全改變牛頓之時空觀念的論文與量子力學一起開創了近代物理學（詳見「除了發現量子力學，普朗克還有第二個重大發現是什麼？」）。

可是愛因斯坦真的是首位發現狹義相對論的物理學家嗎？

馬克斯威方程式：用簡單的公式解釋電磁學

在「近代物理的先驅：馬克斯威」裡，筆者提到曾被評選為有史以來第三大物理學家馬克斯威用簡潔數學方程式闡釋了當時已知的電磁現象。從那些簡潔的方程式中，他看出了原來的安培定律只適用於穩定的電流情況，因此人為地加進去一個現在稱為「位移電流」（displacement current）的項目！此「位移電流」不但解決了時變電場如何產生（誘導）磁場的問題（安培—馬克斯威定律），也讓馬克斯威看出電、磁本是一家人的對稱關係，使他成為第一位統合了自然界兩種不同作用力的科學家！也就是這一項令他在 1865 年導出電磁波的存在，並證明光事實上就是一種電磁波！

這現在所謂的「馬克斯威方程式（Maxwell′s Equations）」事實上有一個很大的問題：與具有 300 多年歷史之牛頓力學衝突！在牛頓力學裡，速度是「相對」的；但馬克斯威方程式中卻包含與光源運動無關的「定值」光速（讀者注意到沒：牛頓第二定律公式只含加速度、沒有速度）！因此儘管後者在解釋電磁現象的成功是無可置疑的，不少理論物理學家還是想修正它使其能容於牛頓力學；其中最著名的就是眾所皆知的：認為空間充滿了絕對靜止的「以太」，「光速為定值」就是相對於這一固定的「以太」而言——這不但解決了光速問題，還使電磁波有個「機械」的基礎（像聲波需要靠空氣來傳播）。

於是實驗物理學家開始設計各種實驗來偵測這一「以太」或者地球在這一「以太」中的運動速度；不幸的是各種實驗都是空手而歸：偵測不到地球在「以太」中的運動速度（其中最著名的就是 1887 年之麥可森—莫利（Albert Michelson and Edward Morley）實驗）。於是理論物理學家就開始尋找各種理論來解釋這些失敗的原因……。

其中「最簡單的解釋」是：馬克斯威方程式適用於在「以太」中做等速運動的任何慣性系統（inertial frame）——稱為「相對性原理」（principle of relativity）。

相對性原理——伽利略

法國數學、物理、工程、哲學家龐加萊（Henri Poincaré）於 1904 年將「相對性原理」定義為：根據該原理，物理現象的定律無論是對於固定的觀察者，或等速平移運動的觀察者，都應該是相同的；所以我們沒有、也不可能有任何方法來辨別我們是否正在做這樣的運動。

事實上早在 1632 年，伽利略（Galileo Galilei）在「關於兩個主要世界系統的對話」（Dialogue Concerning the Two Chief World Systems）中，即已明確地闡述這一原理。正是因為這一個原理，所以我們沒有感覺到地球自轉及圍繞太陽運行（加速不夠快，所以大約是一個慣性系統）；因此不管你什麼時候在台北或北京做實驗，所得到的結果或定律都應該是一樣的。

到了 19 世紀末、20 世紀初，物理學家已經完全接受這一原理。在數學上，他們謂牛頓力學定律必須符合「伽利略坐標轉換」（Galilean transformation）公式：物理定律不應因從甲坐標轉換到另一慣性系統之乙坐標而改變。馬克斯威方程式不符合這一坐標轉移，因此上面所提到的「最簡單的解釋」顯然不對！所以光速為定值還是一個謎。

洛倫茲與龐加萊

洛倫茲（Hendrik Lorentz, 1902 年諾貝爾物理獎得主）毫無疑問是十九世紀下半葉和二十世紀上半葉最偉大的物理學家之一。由於測不出地球在以太中的運動，洛倫茲提出理論謂：設備通過以太時，可能導致設備在運動方向上沿其長度方向收縮（空間收縮）。他進一步假設運動系統的「局部虛擬」時間^[註1]也必須相應地改變（時間膨脹），導出了馬克斯威方程式必須符合的「洛倫茲（坐標）轉換」（Lorentz transformation）公式。

事實上龐加萊在 1898 年時即已意識到：「科學家必須將光速的恆定性作為一個假設，才能為物理理論提供最簡單的形式。」在相對性原理或洛倫茲轉換的物理解釋，龐加萊的貢獻至少比愛因斯坦早了 5 年；而在其它方面，他們的許多貢獻則可以說是同時發生的：例如不少科學家認為龐加萊 1905 年 6 月在法國科學院所宣讀的「關於電子動力學（Sur la dynamique de l’électron）」）刪節版，似乎「預見」了愛因斯坦 1905 年的相對論。

愛因斯坦

1905 年，愛因斯坦在題為「關於運動物體的電動力學」的論文引言裡，開宗明義地謂「不要爭辯」光速了：

我們建議將「相對性原理」這個猜想（conjecture）提升到一個公設（postulate）的地位，並引入另一個表面上與前者不調和（irreconcilable）的公設，即光是在真空中的傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值 c^[註2]。 這兩個假設足以（讓我們）透過適用於靜止物體（狀態）之馬克斯威理論，導出一個簡單且不矛盾（consistent）的電動力學理論。

然後開始討論「運動學」，以光在任何等速坐標中都相同為出發點，用簡單的數學討論同時性的定義、關於長度和時間的相對性、從一個固定系統到另一個系統的時間與空間之坐標轉換理論、運動剛體和運動時鐘方程的物理意義、及速度的組成（相對運動的速度相加）。在這一章節裡愛因斯坦不需任何極端近似，就能推導出「洛倫茲轉換方程式」、時間膨脹（time dilation）、「洛倫茲—傅玆久拉空間收縮」Lorentz－FitzGerald contraction）等等學物理的都耳熟能詳想的的觀念。

第二章「電動部分」所用的數學就複雜多了。愛因斯坦在這裡將新的空間和時間理論應用於馬克斯威電動力學，證明電場與磁場是一物的兩面，因運動者的觀點而不同；馬克斯威實際上是遵循慣性運動的相對性原理：但因為我們一直認為空間和時間具有牛頓性質，而不是狹義相對論，故我們沒有注意到它而已。

狹義相對論的關鍵是同時性的相對性，只有在相對運動速度很小的情況下，牛頓的絕對時間和空間觀念才能（近似地）適用。所以原來是牛頓力學，而不是「馬克斯威方程式」錯了！所以愛因斯坦在該論文的最後一節裡「修正」牛頓第 2 運動定律，得到電子^[註3]的動能：

式中 v 為電子的運動速度，m₀ 為電子的質量。愛因斯坦只指出「（所以）大於光速的速度……，沒有存在的可能性」^[註4]。

所以，到底是誰發現相對論？

德國物理學家郭夫曼（Walter Kaufmann）可能是第一個注意到愛因斯坦這篇論文之一的人：1905 年，他比較了洛倫茲和愛因斯坦的理論，謂大部分的物理學家可能會較喜歡後者的方法，但他認為這兩種理論在觀察上是等價的，因此他把相對性原理稱為「洛倫茲—愛因斯坦理論」。

這算是客氣的了！1953 年，英國數學、物理、歷史學家魏達克爾（Edmund Whittaker）爵士在總體評價上是正面的「以太和電理論史」（A History of the Theories of Aether and Electricity）一書中聲稱：相對論是龐加萊和洛倫茲的創造，愛因斯坦的貢獻並不大。

事實上我們應該放棄優先權的無意義爭論，探討不同方法之間的異同才能看出愛因斯坦的貢獻。愛因斯坦徹底消除了在物理學中沒有任何作用的以太，以光在任何等速坐標中都相同為出發點，探討了「同時」、空間、和時間的相對性。相比之下，龐加萊認為以太是一種定義了「真實」空間和時間的特殊參考系統，其它框架中測量的空間和時間則只是「表面的」。 愛因斯坦從他的兩個假設，用最少的數學知識，導出了當時需要幾個極端近似的洛倫茲轉換式；而龐加萊則因這樣的轉換可使馬克斯威方程式保持不變，而「被動地」反向導出這些轉換。愛因斯坦的論文不是因為要解釋實驗結果而東拼西湊出來的，它是「從公理開始，然後從中進行推論……」的美麗又簡單的理論。從他的假設中準確地推導出了當時需要幾個極端近似才能得到的結果。

洛倫茲在十年後終於完全意識到他自己的論點和愛因斯坦的論點之間的區別，謂「如果我現在必須寫最後一章，我當然應該給愛因斯坦的相對論一個更突出的位置……。（他的）運動電磁現象理論系統具有我無法達到的簡單性。」儘管如此，洛倫茲（1853～1928）從未接受愛因斯坦的相對論觀點——這讓愛因斯坦非常傷心，因為洛倫茲是他最敬佩的四位物理學家之一（其他三位是伽利略、牛頓、馬克斯威）。

閔可夫斯基時空

愛因斯坦在那篇論文裡一共提了 15 次的「空間」，但從來沒有將它和「時間」連在一起，所以他當時應該沒想到在他的新運動學裡，空間和時間處於完全相同地位。將時間和空間組合成一個現在稱為「閔可夫斯基時空（Minkowski space或spacetime）」之嶄新觀念的功勞歸於他在蘇黎世聯邦理工學院就讀時的數學老師閔可夫斯基（Hermann Minkowski）。這一新觀點奠定了相對論的數學基礎，完成了近代物理學家所熟悉之（狹義）相對論形式^[註5]。

愛因斯坦在理工學院就讀時，常常表現出一副無所不知的態度，不但很少注意閔可夫斯基的課，也常翹課，因此閔可夫斯基稱他為「懶狗 （lazy dog）」。愛因斯坦發表相對論後，閔可夫斯基評論道「我真不敢相信他能做到」。而愛因斯坦則一開始就反對閔可夫斯基所提之時空為一體的新觀念；在他第一次聽到它時甚至貶低它，謂那是「多餘的博學」，並抱怨「自從數學家入侵相對論後，我自己也搞不懂了」！誰又想到如果不是這一新觀念及其數學，他後來的廣義相對論將永遠發展不出來！

1908 年 9 月 21 日，閔可夫斯基（已經被挖角到德國哥廷根大學）在第 80 屆德國自然科學家和醫師大會上的演講謂：

……，擺在你們面前的空間和時間觀是從實驗物理學的土壤中產生的，因此蘊含著它們的力量。它們是革命性的（radical）。 從此，空間本身和時間本身注定要消逝於虛無之中，唯有兩者的某種結合才能保持獨立的現實。

在閔可夫斯基時空裡，單獨的空間和時間都不再是絕對的，而是因觀察者的運動狀態而異；但一體的時空則還是絕對的（詳見「牛頓的水桶」），比如所有觀察者測量得到的「兩點時空之距離」都是相同的。

有兩件事似乎說明了閔可夫斯基獨立地得出了愛因斯坦的狹義相對論和時空概念：

1. 閔可夫斯基不可能那麼快的就於 1908 年報告、並發表 59 頁的成熟四維時空物理學，其內容充分地顯示了他對所有實驗都未能檢測到相對於絕對空間之均勻運動的原因有最深刻的理解；
2. 他的學生玻恩（Max Born，1954 年諾貝爾物理獎得主）的回憶也證實閔可夫斯基獨立地在思考平面時空物理學。玻恩回憶說：在 1905 年初夏的一次內部研討會上，閔可夫斯基「偶爾提到」他的時空研究；「（但）因為他希望先弄清楚其所有輝煌的數學結構，因此沒有（提早）發表它們」，而讓愛因斯坦搶得先機。」

結論

從上面的分析看來，愛因斯坦那篇文章所討論到的幾乎都「古已有之」^[註7]；因此像普朗克與波思（Satyendra Bose）一樣，愛因斯坦可能根本沒想到該篇電動力學論文是「革命性的」。知己莫若己，1905 年，在寫給好友哈比希特（Conrad Habicht）的信中，他只說「第一篇涉及輻射和光的能量特性，非常具有革命性：……第四篇論文現在還只是一個粗略的草稿，它是對時空理論進行修改之運動體的電動力學。」以「馬後砲」之明來看，第一篇光量子的假設只是量子力學發展中（或許是很重要）的一個螺絲而已，但第四篇相對論則是一下子推翻了三百多年古典物理中的時空觀念，讀者說那個具有革命性呢？所以愛因斯坦真的知道他發現了革命性的相對論嗎？

後記

1915 年，愛因斯坦又發表了後來讓他一夜成名的廣義相對論，改寫了牛頓萬有引力理論；但也好事多磨，曾發生與非常傑出的數學物理學家、閔可夫斯基好友希爾伯特（David Hilbert）^[註6]爭吵發現廣義相對論之頭銜。愛因斯坦也沒有因廣義相對論而獲得諾貝爾獎；他之獲得諾貝爾獎主要還是因他那自認為「非常具有革命性」的論文。

爭論如此之多，愛因斯坦為什麼要發表相對論呢？知己莫若己，且聽他道來：「我有時會問自己，我是如何發展相對論的。我認為其原因是：一個正常的成年人從不去思考空間和時間的問題——這些都是他小時候就想到的；但我的智力發育遲緩，因此長大後才開始思考空間和時間。」什麼？愛因斯坦發育遲緩？怪不得筆者曾為文謂愛因斯坦其實沒那麼神？反觀筆者自己，小時候從沒想過空間和時間，長大後也只知「生活空間」及「善用時間」而已，真是白痴一個！

註解

1. 在愛因斯坦發表相對論之前，一般物理學家都認為只有一個絕對的時間。
2. 愛因斯坦從來沒有說明為什麼要第二個光速為定值的假設，因為這似乎是多餘的：如果馬克斯威理論謂光速在一（靜態）體系內為 c，那麼依照第一個「相對性原理」的假設，在任何其它慣性坐標體系內的光速不應也是 c 麼？在網絡上有許多猜測與討論，但筆者認為是因為當時馬克斯威理論尚不容於古典之故。又，光速是一個實驗可以測出來的物理量，怎麼可以「假設」呢？
3. 因為可以假設物體帶有非常微量的電荷，所以愛因斯坦大膽地認為其結論適用於「所有物體」。
4. 當電子的運動速度比光速小多時，該公式就得回牛頓的動能公式。該公式暗示電子的質量會因運動而增加，因此在網路上可以看到許多誤認為該文提出了「質能相等」的觀念（洛倫茲等人也早就「暗示」了）。事實上愛因斯坦在該文中從未提及這些字眼；而在幾個月後又發表了一篇短文，從該公式推導出「物體的質量是其能量含量的量度：如果能量變化為 L，則質量在相同意義上的變化為 L/c²」，但也沒提及「質能相等」的觀念——儘管如此，物理學家還是將提出 E=mc² 的功勞歸於愛因斯坦（詳見「愛因斯坦其實沒那麼神？」）。這篇短文事實上一開始就在邏輯上受到批評，而第一位批評的不是別人，竟然正是「發掘」他的普朗克！
5. 正像波爾（Niels Bohr）等人在普朗克及愛因斯坦之後完成了近代物理的量子力學一樣（詳見《量子的故事》）。
6. 正是他將閔可夫斯基挖角到德國哥廷根大學，使得該校成為當時全世界之數學物理學重鎮。可惜閔可夫斯基英年早逝，1909 年元月，正當相對論起飛時死於急性盲腸炎，時年才 45 歲。
7. 不少物理學家及歷史學家都認為如果要發諾貝爾相對論獎，則除了愛因斯坦外，也應該包括洛倫茲及龐加萊。

延伸閱讀

• 賴昭正：《我愛科學》（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版）：裡面收集了：「乙太存在與否的爭辯」(科學月刊，2017 年 5 月號）、「牛頓的水桶」(科學月刊，2013 年 8 月號）、「愛因斯坦其實沒那麼神？」（泛科學，2016／03／16）等。
• 「近代物理的先驅－馬克士威」（科學月刊，2019 年 3 月號）。
• 「「懂廣義相對論的第三者是誰」（泛科學，2021／02／19）。
• 「畢業求職碰壁，在伯爾尼專利局思索的愛因斯坦」（泛科學，2021／05／18）。
• 「思考別人沒有想到的東西——誰發現量子力學？」（泛科學，2022／06／01）。
• 「抱歉了愛因斯坦，但我真的沒辦法頒獎給那個酷理論—為何相對論與諾貝爾獎擦身而過？」（泛科學，2021／07／28）。
• 「愛因斯坦其實沒那麼神？」（泛科學，2016／03／16）。
• 「除了發現量子力學，普朗克還有第二個重大發現是什麼？」（泛科學，2022／07／16）。
• 《量子的故事》， 新竹凡異出版社，第二版 （2005）。
• 「數理化科學裡有天才嗎？」（科技報導，2018 年 11 月號）。

• 作者／豪爾赫．陳、丹尼爾．懷森
• 譯者／徐士傑、葉尚倫

宇宙從何而來？

每當仰望滿天星斗絢爛壯麗的夜空，或驚嘆微觀世界錯綜複雜的美景時，你不禁會問：「這一切從何而來？宇宙為什麼存在？是什麼東西或是誰負責這一切？」

長期以來，人們一直不斷臆測，讓人驚嘆不已的宇宙真實起源。當然，這比起我們擁有物理學或漫畫的時間要長得多。瞭解宇宙起源很重要，因為有可能會解釋我們存在的來龍去脈。我們想知道我們是怎麼來的，因為這問題的答案可能揭露：我們為什麼在這裡，以及我們應該如何度過時間。如果你知道宇宙從何而來，你的生活方式可能會改變。

因此，在所有問題中最大的問題是，物理學究竟可以告訴我們什麼？

在一開始的時候

在我們問宇宙從何而來或它是如何形成之前，我們需要先退一步想想。我們首先要問的應該是「宇宙是誕生出來的，還是本來就一直存在？」

你可能會驚訝的發現，物理學對這個問題有很多論述。可惜的是，很多論述內容並不是很一致。事實上，量子力學和相對論這兩個偉大的理論，在宇宙主題上指出了兩個截然不同的方向。

量子宇宙

量子力學表明宇宙遵循著我們不熟悉的規則。根據量子力學，粒子和能量以奇怪和不確定的方式表現。這可能令人非常困惑，但幸運的是，這跟我們手上的問題並不相關。因為量子力學對宇宙的過去和未來實際上是一清二楚的。

量子力學用量子態來描述事物。量子態告訴你，與量子對象交互作用時，事情可能發生的概率。例如，它可能會告訴你粒子位置的機率。你可能不知道粒子現在在哪裡，但你可以知道它可能在哪裡。

量子態很有趣，因為如果你知道今天量子物體的狀態，你可以用它來預測明天、兩週後，或者十億年後的狀態。量子力學中最著名的方程式是薛丁格方程式，跟貓和盒子無關。薛丁格方程式告訴你：如何利用你對宇宙的瞭解並將宇宙向未來投射。它也可以反推，可以利用你對現在的瞭解，告訴你宇宙在過去是什麼樣子。

根據量子力學，這種預測能力沒有時間限制。它的基本原則是：量子資訊不會消失，只是轉變為新的量子態。也就是說，如果你知道宇宙今天的量子態，就可以計算出它在任何時間點的量子態。量子力學告訴我們，宇宙在時間上永遠向後和向前推展。

這代表一個非常簡單的事實：宇宙一直存在，並將永遠存在。如果我們對量子力學的理解是正確的，那麼宇宙就沒有起始點。

相對論宇宙

然而，愛因斯坦相對論卻告訴我們一個截然不同的故事。量子力學有個問題，它通常假設空間是靜態的，就像一個固定的背景，你可以在那裡懸掛粒子和場。但是相對論告訴我們，這觀念大錯特錯。

根據相對論，空間是動態的，它可以彎曲、伸展和壓縮。我們可以看到空間在黑洞或太陽之類的重物體附近彎曲。愛因斯坦的理論還描述了整個空間如何膨脹。空間不僅僅是平坦的空虛；它被重物局部扭曲，並且愈來愈大。

這個瘋狂的想法最初來自於相對論中的數學，但現在我們有實驗能加以證明。透過望遠鏡，我們可以看到星系每年愈來愈快的遠離我們。宇宙中的一切似乎都變得愈來愈分散和愈來愈冷，就像氣體在膨脹時冷卻一樣。

對宇宙的起源來說，這代表什麼含義呢？呃……如果把時鐘倒轉，我們的觀察預測出宇宙曾經更熾熱、更密集。如果回溯足夠遠的時間，宇宙就會到達一個特殊的點：奇異點。

此時，宇宙的密度實在是太大了，甚至讓相對論的計算結果顯得有點荒謬。相對論預測宇宙變得非常緊密，空間又異常彎曲，最終達到了一個無限密度點。

按照相對論的觀點，宇宙在某種程度上確實有個開端，或者說至少有個「特殊時刻」。我們所看到的一切，包括所有空間，都來自奇異點。可惜的是，相對論不能告訴我們那一刻發生了什麼，但我們知道它與之後的任何時空點都不一樣。它就像一堵無法跨越的牆，無法用相對論解釋。

孰是孰非？

現代物理學的兩大支柱以大相逕庭的觀點來解釋可能的宇宙起源。一方面，量子力學告訴我們宇宙是永恆的，一直存在。另一方面，相對論告訴我們宇宙來自一個發生在一百四十億年前的無限密度點。

我們知道量子力學不可能完全正確，因為它沒有辦法描述關於宇宙的某些事。例如，量子力學沒有辦法描述重力或空間彎曲。但同時，我們也知道相對論並不完全正確，因為它在奇異點處崩潰，並且忽略了宇宙的量子性質。

——本文摘自《宇宙大哉問：20個困惑人類的問題與解答》，2022 年 8 月，天下文化，未經同意請勿轉載。

• 文／賴昭正 前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

你聽過「雙胞胎悖論」嗎？

我有時會問自己，我是如何發展相對論的。我認為其原因是：一個正常的成年人從不去思考空間和時間的問題——這些都是他小時候就想到的；但我的智力發育遲緩，因此長大後才開始思考空間和時間。

——愛因斯坦（Albert Einstein)），1921年諾貝爾物理獎得主

1905 年，愛因斯坦在題為「關於運動物體之電動力學」的論文裡，從兩個簡單的假設，得到結論謂如果張三與李四相對運動，則張三會認為李四的手錶跑得比較慢。在證明這一稱為「時間膨脹」（time dilation）的現象後，寫道：

由此產生以下奇怪結果。如果（開始時）A 點和 B 點在（靜止坐標）K 中觀察是同步的（即同一時刻），但 A 處的時鐘以速度 v 沿 AB 線到 B，則在到達 B 時，兩個時鐘將不再是同步：移動到 B 後的 A 時鐘將落後於保持不動的 B 時鐘…。我們得出這樣的結論：如果兩個 A 處同步的時鐘，其中一個以恆定速度沿閉合曲線移動 t 秒後返回 A 處，則保持靜止的時鐘將發現剛返回的時鐘慢了 tv²/（2c²）秒（c 為光速）。

或許是怕像筆者這樣智力發育遲緩的讀者難懂，愛因斯坦於 1911 年重申並詳細說明這一現象如下：

如果我們把一個活的有機體放在一個盒子裡……我們可以安排這個有機體在經過任意長時間的飛行後，在幾乎沒有改變的情況下返回到它原來的位置。此時保持在原來位置的相應有機體已經早已讓位於新一代，但對於移動的有機體來說，只要運動以接近光速進行，漫長的旅程只是一瞬間而已。

名物理教科書作者雷斯尼克（Robert Resnick）更清楚地解讀謂：

如果靜止的有機體是一個人，而旅行的是他的雙胞胎，那麼旅行者回到家時會發現他的雙胞胎兄弟比自己老得多。但在相對論中，任何一個雙胞胎都可以將另一個視為旅行者，因此再碰面時將比他自己年輕。這在邏輯上看來是一個矛盾的現象，因此被稱為「雙胞胎悖論」（twin paradox）。

「雙胞胎悖論」可以說是相對論中最著名的想像實驗，為許多教科書與通俗科學文章所討論的對象；但筆者卻發現在「泛科學」裡只有一篇書評的文章中提到它！

難道真如諾貝爾獎得主普朗克（Max Planck）所說的：「一個新的科學真理之所以勝利，不是因為說服了它的對手，讓他們看到了光明，而是因為它的對手最終會死去，而熟悉它的新一代會成長起來」？在習以為常的熏陶下，現在的「新一代」已經不再認為「雙胞胎悖論」是值得討論的悖論？

如果你不是這樣的「新一代」，那本文是為你所寫的，相信你在這裡將讀到在其它地方找不到之「雙胞胎悖論」的白話文解讀（不用任何數學）。

同步與同時的「相對性」

普朗克謂：「光速之於相對論就像基本的作用量子之於量子論：光速是相對論的絕對核心。」

可是如何測量光速呢？從甲處發一道光到乙處，將甲乙之距離除以光旅行的時間就得到光速。當然，要能精確地測得光速，甲乙兩處的時鐘必須是互相校正過的、同步（synchronized）的。如何校正甲乙的時鐘呢？相信很多人小時候就已經知道了：將兩個時鐘帶到同一處，然後像電影中之突擊隊，在出發前由隊長發命令說：「讓我們校正時間，現在是……」 。

可是愛因斯坦不知道為什麼竟然沒有想到這一點？或許真的是「智力發育遲緩」，他竟然建議在乙處放一面鏡子來反射甲處在零時刻所發的光，如果乙處接到光的時刻正是甲處光來回所需之時間的一半，我們便說甲乙兩處的時鐘同步化了。用這種方法來同步化時鐘，很顯然在邏輯上我們便不可能測單方向的光速是否為定值了，所以愛因斯坦增加了一個假設，即光是在真空中的傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值 c！

如果我們將同步化的甲乙兩個時鐘分別放在火車月台的兩端，讓它們在同一時刻（零點）往月台中心發射一道激光，則站在月台中心的賴教授應該「同時」收到來自甲乙兩端的激光（圖一 a）。

但坐在從乙往甲方向以等速 v 行駛之車廂內的李教授，卻發現甲、乙激光發射後一直在以同一速度 c 逼近賴教授（圖一 c）；但因賴教授在往乙方向運動，因此如果光同時到達賴教授處（任何人都同意的「事件」，否則賴教授不是說謊就是頭腦有問題），李教授將下結論謂：甲乙兩個時鐘並不同步，甲時鐘顯然先發射，因此比乙時鐘快（甲的零點比乙的零點早）！

所以「同時」將因觀察者之運動而異：賴教授說甲乙兩激光是同時發射的，李教授卻說甲激光先發射的！如果李教授坐的火車是由甲往乙方向行駛呢？他將發現乙激光是先發射的！

這似乎是很明顯的結論，為什麼要等愛因斯坦告訴我們、難道牛頓沒想到嗎？牛頓不是沒想到，而是他認為宇宙中有一獨立於任何觀察者的時鐘，稱為「絕對時間」，所以「同時」是絕對，不會因觀察者之相對運動而異。

但事實上這結論與絕對時間無關，而是因愛因斯坦之假設—光的傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值—造成的！如果不是這一假設，則光的傳播速率將與發射體運動狀態有關（古典力學），李教授會認為乙激光是以 c-v 逼近、而甲激光則是以 c+v 追趕以 v 速運動的賴教授（圖一 b），因此兩道激光當然還是同時到達賴教授處！所以李教授和賴教授都同意時鐘是同步的。

所以很明顯地應是愛因斯坦的「同時相對性」改變了人類根深蒂固的「絕對同時性」觀念。如果我們將「發射激光」改成孿生子（雙胞胎）的「生日慶典」，則賴教授將說他們是同時出生的；但是李教授則會因其運動狀態而說甲孿生子先出生（比較老）或乙孿生子先出生。這不正是「雙胞胎悖論」的一個影本嗎？我們在這裡事實上還看到一個很重要的現象：參考坐標（運動方向）的改變，可能顛倒兩個不同事件的「先後次序」！

雙胞胎悖論

假設雙胞胎張四決定乘坐等速高速太空船去旅行。因他決定一去不回，故在旅行前與張三痛哭擁抱，答應在死前一刻依自己的時鐘將年齡紀錄下來，「寄」回地球。

依照經驗，如果兩人的生理機能完全不受外界的影響，則兩人的壽命應該一樣長；但是依照相對論，張三認為張四是在運動，其（生理）時鐘跑得較慢【稱為「時間膨脹」現象】，因此活得較長；同樣地，張四認為張三是在運動，其（生理）時鐘跑得較慢，因此活得較長！誰對呢？智力發育遲緩的筆者認為這是矛盾的，一定有一個人錯，但愛因斯坦說兩人都沒錯，要筆者耐心地等一等……。

歲月如梭，張四的信終於抵達地球了；打開一看，怎麼？他的壽命竟然與張三一樣！筆者一個頭兩個大，顯然是不應該學物理—尤其是相對論！請讀者幫幫忙吧！

假設張四離開10年（他的時間）時突然想家，於是緊急剎車，將太空船轉個方向，緊急加速到原來的速度（為了方便，我們可以假設整個過程是「瞬間」），10 年後終於又回到地球，跟雙胞胎張三重新會合，正要擁抱時卻發現張三已經比他老多了！這正是上面愛因斯坦及雷斯尼克所說的結果。

這看似矛盾的結果事實上是很容易理解的：張四在太空中的「緊急剎車、將太空船轉個方向、緊急加速到原來的速度」破壞了兩人運動的對稱性。我們雖然沒有辦法感受到自己是在靜止狀態或者是在等速運動，但我們卻可以知道自己是在加速。所以張四在太空中的急轉彎，不但破壞了兩人運動的對稱性，也應該是造成他們年齡差異的原因。我們可以從兩方面來看為什麼改變速度（加速）造成年齡差異。

從相對論來看，在去程及回程的等速運動時，張四應該一直認為張三比他年輕。但在前面的火車站實驗中，我們發現李教授的火車行駛方向改變會造成「先後次序」的顛倒，因此張四在太空急（「瞬間」）轉彎的過程中會發現張三（「瞬間」）老了許多（不怕數學讀者，可參見附錄二）：多得超過了剛提到之等速運動時的年輕數，因此張四在相會時將發現張三比他老！從張三的角度來看，他從未加速，因此認為在運動的張四一直比他年輕！不止如此，他依相對論所算出來的年齡差距，也正是張四依他自己之坐標（包括等速與改速）所算出來的！

相信某些讀者要問：「老」是生理現象，張四的坐標轉換怎麼會使張三變老呢？火車站實驗中的「先後次序」顛倒，只是李教授的觀點而已，並沒有實質的物理意義，賴教授不是不同意嗎？1905年的相對論沒有回答這個問題，這答案 10 年後才在廣義相對論中出現（詳見愛因斯坦一生中最幸運的靈感-廣義相對論的助產士）：加速可以視為是一種重力現象，時間在重力場中跑得比較慢【稱為「重力時間膨脹」（gravitational time dilation）】。

所以張四在太空中急速的減速及加速將造成強大的重力場，使得其（生理）時鐘變得非常慢，因此在這期間老得也非常慢（在黑洞附近的人—如果不被吸進去的話—幾乎可以長生不老）！

• 延伸閱讀：跌入黑洞的瞬間，會發生什麼事？——《高手相對論》

長度收縮

特殊相對論還預測一個稱為「長度收縮」（length contraction）的怪現象，謂：一位快跑健將拿著一根棍子沿著棍子方向以速度v飛跑,旁觀人會認為棍子長度變短。這一個怪現象事實上在月台的實驗上已經看到了：要決定兩點之間的距離，我們必須「同時」測兩點的坐標；李教授認為甲的零點比乙的零點早，因此必須「稍等」甲一下才能「同時」記錄甲、乙兩點的坐標，但這一「稍等」，因為甲在往乙方向運動，不是使得測得的距離變短嗎^註？

如果讀者不怕數學，讓我們在這裡用點數學來看「長度收縮」這一怪現象，希望能幫助讀者更進一步了解。

圖二是旁觀者的坐標，顯示在 t=a 時，棍子的前端進入原點 x=0，然後沿軌跡 x=v(t-a) 繼續前進；棍子的後端則在 t=b 時進入原點，然後沿軌跡 x=v(t-b) 繼續前進。

圖二中的 bc 是棍子後端剛進入原點時，旁觀者的「同時」線，即線上每一點的時間都是 t=b（同步化）。測量棍子的長度必須「同時」觀察其前端及後端的位置，因此他測量得到的棍子長度為 be（他不知道那個時刻棍子前端事實上已經到達 d 點了）！bd 是快跑健將的同時線，其 x 坐標 (x_d-x_b) 則是 他測量的棍子長度，比 be 長；所以旁觀者說「棍子變短了」。

如果快跑健將的速度不快，則前、後端軌跡將趨近於成垂直，不同運動狀態的「同時」便趨近於相同，我們便又回到我們所熟知的牛頓世界了！

結論

愛因斯坦1905年的相對論中之「光傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值」假設徹底地毀滅了物理學中「同時」的觀念，因之產生了一些與日常經驗不符的奇怪現象，如「長度收縮」及著名的「雙胞胎悖論」。

希望本文的解釋不但能讓讀者見怪不怪，甚至發現其實不怪；了解相對論裡所有「矛盾」現象都是因為不同觀察者在「自說自話」造成的：例如在棍子的例子裡，靜止觀察者談論的是他（靜止觀察者）在某個時刻測量得到的長度，而移動觀察者談論的則是他自己（移動觀察者）在另一個瞬間測量的長度。

時間及空間是人類製造出來便利溝通的語言，如果李教授不認為甲地先發射，他沒辦法解釋為什麼賴教授同時看到甲乙兩地發射出來的光（實際經驗到的物理現象）；所以「自說自話」原來是為了保持物理定律的不變性（物理定律是用來解釋我們實際經驗到的物理現象）。這些「自說自話」事實上也不是隨便說的，而是靠「洛倫茲轉換」（Lorentz transformation）連接在一起的。

附錄一：「後見之明」輕鬆地推導「洛倫茲（坐標）轉換」公式

K’ 坐標以 + v 速度相對於 K 坐標運動。如果坐標在 t=0 時重合，加上時、空的均勻性（變數沒有二次方）：

…………………………………………………………(1)

β 為待解的常數。如果在 t=0 時發射一道光，則光的軌跡為 x=ct；代入上式，得

…………………………………………………………(2)

因為 K’ 坐標及 K 坐標的對稱性：

…………………………………………………………(3)

將 (3) 代入 (2) 解得

…………………………………………………………(4)

從 x = β ( x’ + vt’ ) 解 x’ ，然後代入(1)，化簡可得到

…………………………………………………………(5)

公式(1) 、(5), 及(4)就是「洛倫茲（坐標）轉換」公式。長度收縮中之快跑健將棍子的同時線方程式為公式(5) :

附錄二：雙胞胎悖論的數學

假設雙胞胎甲留在地球，雙胞胎乙決定以 v 速度往太空地球 S 旅遊，則甲（x , t）、乙( x’ , t’）兩人的坐標轉換為（為了方便，將光速定為 1，所以 v 應該小於 1 ）：

圖三為甲的坐標圖：太空地球 S 的位置為（ x_s , t_s）。依照上面公式轉換，對乙來說，其坐標為( x’_s , t’_s ）。去程時，乙在 S 時的同時線（該線上每一點的時鐘都「同步」） t₁s 為：

在到達 S 時，乙瞬間改變方向，其同時線瞬間變為 t₂s ：

這兩個方程式的時間零點分別為 t₀ 及 t₃ ，因此不能直接用它們來算去程及回程的同時點 t₁ 及 t₂ ；但因為對稱的關係，我們可以將 t₁s 延長到 x=2x_s 處，用  t’_s=β ( t-vx ) 解得：

所以乙的回程坐標轉換一下子讓甲老了

t₂ – t₁ = v2x_s

……舉個實際的例子：如果 v=0.6, x_s=6，則 β=1.25，所以對甲來說，乙需要 10（=6/0.6） 年才能到達 S ，也需要 10 年才能回來，因此乙回來時，甲應該已經 20 歲了（為了說明方便，假設他們一出生，乙就到太空旅行）。甲的 S 坐標為（6 , 10），透過坐標轉換，乙的 S 坐標為（0 , 8）；所以甲認為乙的時鐘比較慢，只要花 8 年（乙時鐘）的時間就可以到達 S，同樣地也只要花 8 年時間回來，所以乙回來時應該只有 16 歲！

透過乙在 S 時的同時線，可以解得當 x=0 時，t₁=6.4。所以對乙來說，他已經 8 歲了，但甲才 6.4 歲，顯然比他年輕（老得慢）！同樣地，在回程時，乙也應該認為他老了 8 歲，但甲才老了 6.4 歲，所以乙回到老家時，乙應該已經 16 歲，但甲才 12.8 歲，比他年輕！

但前面不是說過甲應該已經 20 歲了嗎？矛盾？不！我們忘了乙坐標轉換時的「時差」 ：7.2 年！將這「時差」加進去，乙也計算出甲的年齡應該是 20 歲（=6.4+7.2+6.4）！

甲、乙兩個人的結論相同，沒有矛盾！愛因斯坦沒有騙我們！

註：

要決定兩點之間的距離，我們必須「同時」測兩點的坐標；同樣地，要決定兩個事件發生的時差（時間），我們必須在「同點」測兩個事件發生的時刻。相對論不但毀滅了物理學中「同時」的觀念，事實上也摧殘了「同點」的觀念：沒有絕對的空間，「同點」因運動者而異。所以我們也應該可以在類似月台的簡單實驗上尋找到「時間膨脹」的現象（請讀者幫幫忙吧）。

延伸閱讀

愛因斯坦一生中最幸運的靈感-廣義相對論的助產士（科學月刊，2021 年 5 月號）。