0

0
1

文字

分享

0
0
1

關注數學圖形的藝術大師:艾雪——《圖解圖樣設計》

PanSci_96
・2017/06/17 ・2169字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 551 ・八年級

立即填寫問卷,預約【課程開賣早鳥優惠】與送你【問卷專屬折扣碼】!

 

本章節要嘗試敘述艾雪對數學圖形的關注。M.C. 艾雪(Maurits Cornelis Escher)於 1898 年出生於荷蘭。提到荷蘭出生的畫家,可以舉出希羅尼穆斯.波希(Hieronymus Bosch)、布勒哲爾(Pieter Bruegel the Elder)、林布蘭、梵谷、蒙德利安等西洋美術史上赫赫有名的藝術大師,但是為何在西洋美術史的脈絡中卻未提到艾雪呢?

M.C. 艾雪。圖/Photographer: Hans Peters (ANEFO) – Ga het na (Nationaal Archief NL), CC BY-SA 3.0, wikimedia commons.

由於主流的西洋美術史有聚焦在繪畫、雕刻領域的傳統,艾雪只創作小型的版畫作品,而且畫的內容多是與美術界的動向無關的主題,或許是因為這樣,他才不得不被排除在主流的西洋美術史之外。而或許也是因為這個緣故,直到現今許多報導在介紹艾雪時,除了稱呼他為版畫家外,以平面藝術家(graphic artist)介紹他的人也不在少數,是一位極具現代感的藝術創作者。

艾雪的父親為國家土木技術官僚(曾經赴日本任職)、兄長為地質學家(後 來成為萊登大學校長),因此可以說是從小就在充滿理科素養的環境中長大。 此外,母親是財政部長的女兒,妻子的娘家是俄羅斯出身的資本家,生活環境 相當優渥,因此艾雪在作品賣不出去的時期,也能無後顧之憂、百分之百專心投入創作。雖然接受父親的建議進入建築裝飾美術大學修習建築課程,但是在學中仍以版畫製作為志向,開始踏上版畫家之路。

G. 波利亞 17 種類型的圖樣。圖/《圖解圖樣設計》

艾雪於 1922 年赴阿爾罕布拉旅行時對圖樣產生興趣,當時他的哥哥立刻提供最新的論文等資訊供他參考。他在這些論文資料中受到數學家波利亞.哲爾吉(G. Pólya)的圖樣啟發,創作出一系列的圖樣作品。從地質學家哥哥的研究物件中也獲得其他多面體的圖樣,因此創作出「星」和「重力」等多面體題材的相關作品。德國數學家莫比烏斯發表的「莫比烏斯帶(Möbiusband)」,也讓他獲得啟示而創作了「騎士」、「紅螞蟻」、「結」等作品。

艾雪的代表作《升與降》、《瀑布》,是以羅傑.潘洛斯發表的圖形為基礎而創作的作品。

艾雪以潘洛斯圖形為基礎創作的《瀑布》。圖/Fair use, wikimedia commons.

潘洛斯是英國的數學家,同時也兼具宇宙物理學家、理論物理學家的身分, 從 10 歲起就因著迷於拼圖甚至自創拼圖而聞名。1954 年在阿姆斯特丹國際數學會議中接觸到艾雪的作品後,便成為艾雪的粉絲,還把自己研究的不可能三 角形和不可能階梯(impossible figures)的圖形送給艾雪,並以此為契機,開始跟艾雪有直接的交流。

圖/《圖解圖樣設計》

潘洛斯後來發表了「潘洛斯鋪磚法」(Penrose tiling)的研究成果,可惜當時艾雪已經去世。潘洛斯曾感嘆地說:「如果艾雪還在世的話,一定會創作出非常傑出的作品吧!」。潘洛斯除了與艾雪有所交流外,也是和史蒂芬.霍金(Stephen Hawking)共同研究黑洞的宇宙物理學家,以及提倡量子論和相對論相關「扭轉理論」(Twister Theory)的知名尖端理論物理學家。

此外,艾雪受到 H.S.M 考克斯特(H.S.M. Coxeter)在論文中刊載的圖形的衝擊, 頻繁地與考克斯特交流。但是艾雪並非取徑於考克斯特艱深的數學文本,而僅僅是以所提供的圖形為參考,採取自已的解讀方式創作「圓極限系列」,並成為艾雪晚年的代表性作品。他選用最高級的櫟木材料,在極為精緻的木彫版上,竭盡心力地創造一幅幅極為細膩的版畫創作。

H.S.M 考克斯特在論文中刊載的圖形。圖/《圖解圖樣設計》

艾雪在進行一系列的圖樣創作時,提出了在經驗上,設定相鄰界線的顏色 時,只要用 3 種或 4 種顏色來上色就能區分開來。這個問題在數學領域中被稱為四色問題,吸引了歷年來的數學家進行研究證明。一直到 1976 年由兩位數學 家成功提出證明才畫下休止符。要證明這個命題需要龐大的數學演算作業,因 此必須等待超級電腦出現才有可能進行演算。現在稱這項問題的證明為四色定理(four color theorem)。

艾雪首度的大型作品展覽是經由結晶學家 C.H. 麥克基拉菲(C.H. MacGillavry),在 1954 年的阿姆斯特丹國際數學會議中進行發表和展覽,而最初主要的艾雪作品集,也是由麥可基拉菲編纂,後續正式的艾雪研究書籍則由數學家 D.S. 夏特雪耐德所撰寫(兩者皆為女性研究者)。

對於科學家們而言,艾雪就像一位將最新的數學論點(topic)昇華為藝術表現的教祖般受到尊崇。之後,艾雪主要的書籍也是由科學領域的專家們持續撰寫。在科學和數學的領域裡,從來沒有一位藝術家受到如艾雪般的敬重和喜愛。

以上並沒有提到跟艾雪同時代的美術相關者的名字,而是偏重數學家和結晶學家們的敘述。然而,不可思議的是,艾雪本身對於數學並沒有太大的興趣。 他經常提到:「從小成績就不太好,數學也不擅長」。事實上,艾雪的學校成績確實不佳,也曾經留級。

艾雪對於數學圖形持續投注關愛的眼神,但是並非朝著成為數學家的目標 努力,而是不斷地思索著身為創作者獨自解決問題的策略並且持續進行創作。 艾雪雖然也將物質的分界面和光的反射面當做版畫的題材,但是這些數學圖形對艾雪來說,其實也就只是創作上的分界面和反射面而已。


 

 

 

本文摘自《Pattern Design 圖解圖樣設計》易博士出版社出版。

文章難易度
PanSci_96
1011 篇文章 ・ 1133 位粉絲
PanSci的編輯部帳號,會發自產內容跟各種消息喔。

0

1
0

文字

分享

0
1
0
準備出國啦!Surfshark VPN 快趁黑五買起來,上網購物最安心
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/11/01 ・2113字 ・閱讀時間約 4 分鐘

立即填寫問卷,預約【課程開賣早鳥優惠】與送你【問卷專屬折扣碼】!

 

本文由 Surfshark VPN 贊助。

兩、三年以來的防疫生活,終於迎來全面 0+7 的這一天啦!返國之後不再需要隔離的一天來了,冰友們,你是不是已經收拾好心情、收拾好行李,在進行機+酒的比價了呢?除了規劃好出國行程、找好景點與美食店家,想要讓自己不可或缺的網路生活也更加安全,一定要趁即將到來了感恩節黑五期間,把超優惠的 Surfshark VPN 服務買起來,為自己的網路生活加買最平安的保險!

Surfshark 黑五限時 18 折折扣,額外加送兩個月
專屬連結:https://lihi2.cc/8XwRN

在疫情下,網購成為了更多人的日常。不僅各樣的在地購物節為網友帶來眾多優惠,全球化的購物活動,台灣當然也不會缺席!美國感恩節(Thanksgiving)都是 11 月第四個星期四,但是感恩節後的週五,便是聖誕節前的購物佳期啟動日,這一天通常都會業績超標(在收支表上呈現正向收入(顯示為黑色字體,而非赤字的紅色字體),各家的瘋狂優惠都會在黑五祭出!相信許多精打細算的朋友,對黑五購物節絕對不陌生(很可能還搶過很多優惠!!)

網購怎能漏掉「亞馬遜」!

雅虎奇摩之於台灣,就像是亞馬遜(Amazon.com)之於美國那麼的有名!絕對也是什麼都賣、什麼都不奇怪的最佳代表。

如果你平常就很喜愛一些美國品牌,趁著黑五的日子到亞馬遜清空購物車,覺對優惠不會讓你失望。這時候,透過 Surfshark 連線到亞馬遜美國站,絕對會顯示的價格絕對讓你眼睛為之一亮,這時候最新搭載 M2 晶片的 iPad Pro,獨家支援動態島顯示的 iPhone 14 Pro,絕對是最好入手的時機。除此之外,亞馬遜平台經典的 Kindle 閱讀器,也是超合適的禮物,送禮自用兩相宜啊!另外要特別留意,購買時可以確認商品有沒有幫忙送到台灣,如果還沒有,可以先跟美國的朋友確認一下,邀請他們回國時幫你一起帶回來!

跨國追劇最爽快

對於喜愛追劇的朋友,品味可能相當豐富且多元,畢竟欣賞優秀影視作品,不現語言,更是不限地區啊!只不過,若是你訂閱 Netflix 等跨國 OTT 服務,都會有各地不同的上架影視作品,可能會讓你無法在第一時間就能夠立即「追」到劇,讓你等得心癢癢!還好這一切只要連上 Surfshark VPN 都能解決,Surfshark 支援超過 100 國的 VPN 連線,無論你想看韓國、日本還是哪一國的最新戲劇,通通讓你一秒追到最新進度!

Surfshark 黑五限時 18 折折扣,額外加送兩個月

專屬連結:https://lihi2.cc/8XwRN

出差大陸翻牆超方便

在過往出國、返國都需要隔離的階段,肯定讓不少工作上需要經常往返多國之間的朋友,感到生活驟變。所幸,在防疫政策解封之後,一切都可逐漸恢復正常。對於經常有需要到中國大陸出差的朋友,肯定都會感受到網路斷聯的不方便,因為無論是 LINE、Facebook Messenger、YouTube、Gmail 等你可很能天天都在使用的網路服務,大陸都無法使用。這還不打緊,連跟家人、朋友報平安也很不便。這時候 Surfshark 連上,就可以幫助你輕鬆「翻牆」,跟台灣親人網路無距離!

 

上網不留痕跡,不被追蹤最自由

對於一個人來說,最私密的資料之一,除了你的個資,就屬我們每天耗費大量時間逗留的網路。我們所在網路上留下的痕跡,絕對是超真實的自己,當然你不會期待這樣的自己被「搜尋引擎」、「網路廣告」公司了解得太透徹,好像你在網路上的一言一行,都被監視著。

..0000000\0;也可隱藏IP位置,避免被廣告商追蹤;更可以為你我阻擋惡意程式、釣魚軟體等,讓你防止被攻擊,以及被網路充斥的廣告打擾,好處多又多!

如果對於 Surfshark 還覺得不夠熟悉的話,不得不告訴大家,今年 Surfshark 榮獲第六屆 CyberSecurity Breakthrough 頒發的「VPN 年度最佳解決方案」(VPN Solution of the Year),也就是成為今年最推薦的 VPN 方案。CyberSecurity Breakthrough 是全球領先的獨立市場情報組織,致力於表揚當今全球資訊安全市場上的頂尖企業、技術和產品。有了他們「掛保證」,代表 Surfshark 絕對是品質、信譽都讓你安心的VPN 服務。

講了這麼多,是不是讓你感到很心動了。如果你原本就是網路重度使用者,用來上網的設備是樣樣都有,Surfshark 一個帳號就能支援所有設備,CP 值超高!趁著年度超狂黑五購物節的到來,送給你自己兩年安心無虞的網路生活,肯定是送自己的最好禮物!

Surfshark 黑五限時 18 折折扣,額外加送兩個月
專屬連結:https://lihi2.cc/8XwRN

文章難易度
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
155 篇文章 ・ 268 位粉絲
充滿能量的泛科學品牌合作帳號!相關行銷合作請洽:contact@pansci.asia

0

1
0

文字

分享

0
1
0
你用對數學了嗎?換種說法讓問題變清晰——《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》
天下文化_96
・2022/12/02 ・2888字 ・閱讀時間約 6 分鐘

立即填寫問卷,預約【課程開賣早鳥優惠】與送你【問卷專屬折扣碼】!

 

在我以數學家自居時,我所發現的最強大捷徑之一是,找到合適的用語來討論問題。很多時候,我們會用一種讓人摸不清情況的措辭去表達這個問題,只要能找到另一種說法,把這道謎題轉化成新的用語,答案就會突然明朗許多。換個語言,我們就可以從企業銷售資料的含糊數字中,辨認出奇特的相關性。

人生的大部分時間都是一場遊戲,但把這場遊戲轉化成你知道如何得勝的遊戲,可以給你絕佳的優勢。在我仍是見習數學家的時候,發現了最令我興奮的啟示之一:

把幾何轉換成數字的詞典可提供捷徑通往超空間──也就是我成為專業數學家之後一直在探索的多維宇宙。

「合適的語言」

除非找到合適的語言來描述,否則科學及其他領域有愈來愈多的概念看起來好像根本不存在,「湧現」(從組成成分產生的性質)的概念就是一例。舉例來說,如果講水的個別分子 H2O,很難描述水的溼潤性質。

如果講水的個別分子H2O,很難描述水的溼潤性質。圖/pexels

儘管科學似乎暗示,你可以把一切化約成這些基本粒子的行為及決定其行為的方程式,但這種語言通常完全不能描述現象。一群鳥的遷徙不能用組成鳥身體的原子運動方程式來描述。若堅持用個體經濟學的語言,就不容易了解總體經濟學;即使個體經濟變化是造成總體經濟現象的原因,但使用個別財貨本身的語言,仍然不可能理解利率上升對通貨膨脹的影響。就連自由意志與意識的概念,實際上也不能藉由神經元和突觸的討論來描述。

轉變帶來改變

找到不同的措辭來談論情緒狀態,可以從根本上改變你的感受。與其說「我很難過」(這種說法很像是把你和悲傷硬生生畫上等號),你大可改說「悲傷與我同在」,於是悲傷忽然有機會繼續前進。正如十九世紀的美國心理學家詹姆斯(William James)所寫的:

「我這代人最重要的發現是,人能藉著轉變心智態度來改變生活。」

然而語言的力量不單單影響個人,語言在現實世界的社會結構中也扮演十分重要的角色。社會可以透過命名讓事物露面,而民族國家的概念既是從語言中變出來的,也是由地理或一群人變出來的。

轉換語言有時意味著,某些能用某種語言清楚表達的想法,改用另一種語言卻變得難以描述。圖/pexels

轉換語言有時意味著,某些能用某種語言清楚表達的想法,改用另一種語言卻變得難以描述。德文的名詞有性別之分,所以可以玩一玩在英文中玩不了的文字遊戲。詩人海涅(Heinrich Heine)寫說,覆蓋著白雪的松樹愛慕一棵晒黑的東方棕櫚;在德文中,松樹是陽性名詞,棕櫚是陰性名詞,但這種細微變化在翻譯成英文後就消失了。

有時情況也會反過來。用英文可以講「他的車和她的車」,但用谷歌翻譯譯成法文時會攪在一起,變成「savoiture et sa voiture」(他的車和他的車),因為車子的性別比車主的性別重要。在俄文中,你所能想像出各種類型的雪和暴風雨都有不同的用字。有些語言只有五個表達顏色的詞,但英語的相關用詞有很多。我在前面強調過,模式(pattern)對我來說是重要的概念,然而當我嘗試把 pattern 這個字翻譯成法文時,卻發現沒有一個詞能夠描述它在英文裡代表的許多層面。

我的偶像高斯也對語言差異的重要性深深著迷。在學校裡,老師對他運用拉丁文和閃電般迅速精通古典文學的能力印象深刻。事實上,接受布朗施維克公爵資助的高斯,差點就選擇讀語文學(研究語言史的學門),而不是數學。

數學背後的不只有一種「語言」

我自己走上數學這條路的歷程也有點相似。小時候我想當間諜,以為語言是和全世界特務同行溝通的重要技能,所以在讀綜合中學時報名了校內所有的語言課:法語、德語、拉丁語,甚至開始收聽 BBC 的俄語廣播課程。

只不過,我在外語學習方面不像高斯那麼有天分,這些語言在我看來全是不規則動詞和奇怪的拼字。間諜生涯夢碎,我變得非常沮喪。

此時貝爾森先生給我一本書,書名叫做《數學的語言》(The Language of Mathematics),我才明白數學也是一種語言。我覺得他看出我正渴望一種沒有不規則動詞、一切都解釋得通的語言,但他也知道,我抗拒不了這種語言描述周遭世界的強大說服力。

數學不只是一種語言,而是許多種語言。圖/pexels

我在這本書裡發現,數學方程式可以述說行星橫越夜空的故事,對稱性可以解釋泡泡、蜂巢或花朵的形狀,數字是和聲學的關鍵。如果你想描繪宇宙,你需要的不是德語、俄語或英語,而是數學。

《數學的語言》還告訴我,數學不只是一種語言,而是許多種語言,它很擅長創作詞典,可把一種語言轉換成另一種,好讓捷徑在新的語言中出現。

數學史上不時會有類似的輝煌時刻。

換種方式讀懂世界

十六世紀的義大利科學家伽利略(Galileo Galilei),意識到代數語言理解自然界的本領,曾寫下一段很有名的文字:

「如果不先學會理解這種語言,認識它的書寫符號,就無法了解宇宙。它是用數學語言寫成的,所用的書寫符號是三角、圓和其他幾何圖形,沒有這些符號就一個字也看不懂;沒有這些,就會像在黑暗迷宮中徘徊。」

在宇宙的諸多故事裡,他希望讀懂的是,了解物體如何落地的難題。東西掉到地上或飛過空中的方式有什麼規律嗎?因為物體通常掉落得太快,要蒐集物體從高樓掉落的資料很困難,但伽利略想到聰明的點子,可放慢實驗速度,方便他蒐集所需的資料。他不是讓東西落下,而是去探討球滾下斜坡的方式,這對他來說速度夠慢,可以記錄球每過一秒滾動了多遠。

斜面必須夠平滑,球才不會因摩擦力減速。伽利略希望盡量接近球在空間中落下的情形。他搭起光滑的表面,開始記錄球每秒行進的距離,馬上就發現有個非常簡單的模式浮現出來了。如果球在一秒後移動了 1 單位的距離,那麼在下一秒它會滾過 3 單位的距離,再下一秒是 5 單位的距離。隨後的每一秒,球都在加速,滾過更多地方,但它走過的距離只有奇數。

等到伽利略考慮行進了一段時間的總距離,物體落地方式的祕密就曝光了。

行進 1 秒後的總距離= 1 單位

行進 2 秒後的總距離= 1 + 3 單位= 4 單位

行進 3 秒後的總距離= 1 + 3 + 5 單位= 9 單位

行進 4 秒後的總距離= 1 + 3 + 5 + 7 單位= 16 單位

總距離永遠是平方數。圖/天下文化

你注意到模式了嗎?總距離永遠是平方數。但為什麼奇數會與平方數有關呢?把數字轉換成幾何,就可以找到答案。

——本文摘自《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
113 篇文章 ・ 597 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

0

1
2

文字

分享

0
1
2
原來數學也可以用在這裡?生物巧妙運用數學模式,克服了移動上的物理限制——《生物世界的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/10/26 ・1541字 ・閱讀時間約 3 分鐘

立即填寫問卷,預約【課程開賣早鳥優惠】與送你【問卷專屬折扣碼】!

 

步調模式千變萬化

生物體移動時所受的限制是屬於物理學的。如果該生物使用的是肢體,這些肢體必須強壯到可以支撐作用在牠們上面的力量。(我看過不少設計較差的機器人在移動時散掉。)其他形態的移動也一樣,如果是游泳,該動物就要全力對付流體力學的定律。物理定律影響動物的移動是很明顯的,不值得奇怪。顯然,在這個情形當中,數學提供了各式各樣的模式,而被生物學拿來運用。很少不會用到,不管多麼奇特。

游泳時要全力對付流體力學定律。圖/Pexels

物理學的影響還要更深入。單有腿也沒有用,除非你有可以控制腿的神經系統。運動與神經網路是一體的,兩者一定要一起演化,而不是個別的。另外,正如負責感覺的神經網路一定會模擬外在世界的模式,因此負責運動的神經網路,必定會模擬動物身體的機械性模式。

我很懷疑這種共同演化真的有可能或很容易發生,因為下面這個顯著的事實:像肢體這樣的物理系統的自然振盪模式,跟神經網路的振盪模式是一樣的。早在肢體和腦變成完整的生物結構之前,就已經有一種普遍的步調韻律存在了,潛在地將動物的肢體關聯到腦。步調節奏提供了存在於演化相空間中、等待被使用的模式。

形形色色的生物移動

這模式的確一直被應用。差不多所有的生物都會移動,甚至連最固定不動的植物也會向光彎曲,最微小的浮游生物也會隨波逐流——但是,獵豹在追逐獵物時,可以跑到每小時一百一十公里,這移動真是快速啊!

生物體的種類這麼多,而移動的方式也是千變萬化。細菌利用會旋轉的微小螺旋槳使自己在水中推進,就像船一樣;像草履蟲(Paramecium)這類單細胞生物,則能藉由揮動鞭毛來選擇運動的方向。

(圖七○)Centronotus gunnellus 這種鰻魚肌肉收縮的波形。圖/《生物世界的數學遊戲》

運動的數學模式形形色色,更是令人印象深刻:草履蟲鞭毛的移動有如行進波,就像是玉米田在微風吹拂下產生的浪波;細菌的旋轉螺旋所成幾何圖案之美是無可比擬的;蛇和鰻是靠肌肉收縮做波狀蠕動行進(圖七○);響尾蛇在熱燙的沙漠中滾動,像一個捲曲的彈簧;尺蠖走動時是尾巴頂到頭部,整個身子呈 ∩ 狀,然後前端再向前行並伸展成-字形。

信天翁滑翔時羽翼僵直不動,偶爾慵懶地鼓翼一下,以有蹼的腳劃過水面,而後用笨拙卻迷人的方式飛跑而起;大象拖著沉重的腳步,緩慢橫過空曠的熱帶大草原,一次移動一隻腳(圖七一),模式就像那隻在海邊市鎮漫步的拉布拉多獵犬。

(圖七一)大象的慢步行走。圖/《生物世界的數學遊戲》

駱駝行走的模式又不一樣了:先同時移動兩隻左腿,然後是兩隻右腿〔稱為「溜蹄」(pace)〕,身子左右搖擺有如醉漢一般。松鼠又是另外一種模式:跳一下,停一下,然後再跳一下;如果遇到警訊,就省掉「停」的步驟。

Carparachneaureoflava 這種車輪蜘蛛會像一個有八個輪輻的輪子般,滾過沙漠。世界上有一種會跳躍的蛆〔較正式的稱呼為Ceratitis capitata(地中海果實蠅)的幼蟲〕,會把自己扭曲成 ∩ 形,然後再伸直,就像一顆砲彈般跳入空中,形成一個完美的拋物線。

——本文摘自《生物世界的數學遊戲》,2022 年 9 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
113 篇文章 ・ 597 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。