統計課從沒搞清楚的事：算變異量為什麼要除以 n-1？什麼是「自由度」？

本文與 研華科技 合作，泛科學企劃執行。

每次 NVIDIA 執行長黃仁勳公開發言，總能牽動整個 AI 產業的神經。然而，我們不妨設想一個更深層的問題——如今的 AI 幾乎都倚賴網路連線，那如果哪天「網路斷了」，會發生什麼事？

想像你正在自駕車打個盹，系統突然警示：「網路連線中斷」，車輛開始偏離路線，而前方竟是萬丈深谷。又或者家庭機器人被駭，開始暴走跳舞，甚至舉起刀具向你走來。

這會是黃仁勳期待的未來嗎？當然不是！也因為如此，「邊緣 AI」成為業界關注重點。不靠雲端，AI 就能在現場即時反應，不只更安全、低延遲，還能讓數據當場變現，不再淪為沉沒成本。

什麼是邊緣 AI ？

邊緣 AI，乍聽之下，好像是「孤單站在角落的人工智慧」，但事實上，它正是我們身邊最可靠、最即時的親密數位夥伴呀。

當前，像是企業、醫院、學校內部的伺服器，個人電腦，甚至手機等裝置，都可以成為「邊緣節點」。當數據在這些邊緣節點進行運算，稱為邊緣運算；而在邊緣節點上運行 AI ，就被稱為邊緣 AI。簡單來說，就是將原本集中在遠端資料中心的運算能力，「搬家」到更靠近數據源頭的地方。

那麼，為什麼需要這樣做？資料放在雲端，集中管理不是更方便嗎？對，就是不好。

第一個不好是物理限制：「延遲」。
即使光速已經非常快，數據從你家旁邊的路口傳到幾千公里外的雲端機房，再把分析結果傳回來，中間還要經過各種網路節點轉來轉去…這樣一來一回，就算只是幾十毫秒的延遲，對於需要「即刻反應」的 AI 應用，比如說工廠裡要精密控制的機械手臂、或者自駕車要判斷路況時，每一毫秒都攸關安全與精度，這點延遲都是無法接受的！這是物理距離與網路架構先天上的限制，無法繞過去。

第二個挑戰，是資訊科學跟工程上的考量：「頻寬」與「成本」。
你可以想像網路頻寬就像水管的粗細。隨著高解析影像與感測器數據不斷來回傳送，湧入的資料數據量就像超級大的水流，一下子就把水管塞爆！要避免流量爆炸，你就要一直擴充水管，也就是擴增頻寬，然而這樣的基礎建設成本是很驚人的。如果能在邊緣就先處理，把重要資訊「濃縮」過後再傳回雲端，是不是就能減輕頻寬負擔，也能節省大量費用呢？

第三個挑戰：系統「可靠性」與「韌性」。
如果所有運算都仰賴遠端的雲端時，一旦網路不穩、甚至斷線，那怎麼辦？很多關鍵應用，像是公共安全監控或是重要設備的預警系統，可不能這樣「看天吃飯」啊！邊緣處理讓系統更獨立，就算暫時斷線，本地的 AI 還是能繼續運作與即時反應，這在工程上是非常重要的考量。

所以你看，邊緣運算不是科學家們沒事找事做，它是順應數據特性和實際應用需求，一個非常合理的科學與工程上的最佳化選擇，是我們想要抓住即時數據價值，非走不可的一條路！

邊緣 AI 的實戰魅力：從工廠到倉儲，再到你的工作桌

知道要把 AI 算力搬到邊緣了，接下來的問題就是─邊緣 AI 究竟強在哪裡呢？它強就強在能夠做到「深度感知（Deep Perception）」！

所謂深度感知，並非僅僅是對數據進行簡單的加加減減，而是透過如深度神經網路這類複雜的 AI 模型，從原始數據裡面，去「理解」出更高層次、更具意義的資訊。

以研華科技為例，旗下已有多項邊緣 AI 的實戰應用。以工業瑕疵檢測為例，利用物件偵測模型，快速將工業產品中的瑕疵挑出來，而且由於 AI 模型可以使用同一套參數去檢測，因此品管上能達到一致性，減少人為疏漏。尤其在高產能工廠中，檢測速度必須快、狠、準。研華這套 AI 系統每分鐘最高可處理 8,000 件產品，替工廠節省大量人力，同時確保品質穩定。這樣的效能來自於一台僅有膠囊咖啡機大小的邊緣設備—IPC-240。

此外，在智慧倉儲場域，研華與威剛合作，研華與威剛聯手合作，在 MIC-732AO 伺服器上搭載輝達的 Nova Orin 開發平台，打造倉儲系統的 AMR（Autonomous Mobile Robot） 自走車。這跟過去在倉儲系統中使用的自動導引車 AGV 技術不一樣，AMR 不需要事先規劃好路線，靠著感測器偵測，就能輕鬆避開障礙物，識別路線，並且將貨物載到指定地點存放。

當然，還有語言模型的應用。例如結合檢索增強生成 ( RAG ) 跟上下文學習 ( in-context learning )，除了可以做備忘錄跟排程規劃以外，還能將實務上碰到的問題記錄下來，等到之後碰到類似的問題時，就能詢問 AI 並得到解答。

你或許會問，那為什麼不直接使用 ChatGPT 就好了？其實，對許多企業來說，內部資料往往具有高度機密性與商業價值，有些場域甚至連手機都禁止員工帶入，自然無法將資料上傳雲端。對於重視資安，又希望運用 AI 提升效率的企業與工廠而言，自行部署大型語言模型（self-hosted LLM）才是理想選擇。而這樣的應用，並不需要龐大的設備。研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，體積僅如後背包大小，卻能輕鬆支援語言模型的運作，實現高效又安全的 AI 解決方案。

但問題也接著浮現：要在這麼小的設備上跑大型 AI 模型，會不會太吃資源？這正是目前 AI 領域最前沿、最火熱的研究方向之一：如何幫 AI 模型進行「科學瘦身」，又不減智慧。接下來，我們就來看看科學家是怎麼幫 AI 減重的。

語言模型瘦身術之一：量化（Quantization）—用更精簡的數位方式來表示知識

當硬體資源有限，大模型卻越來越龐大，「幫模型減肥」就成了邊緣 AI 的重要課題。這其實跟圖片壓縮有點像：有些畫面細節我們肉眼根本看不出來，刪掉也不影響整體感覺，卻能大幅減少檔案大小。

模型量化的原理也是如此，只不過對象是模型裡面的參數。這些參數原先通常都是以「浮點數」表示，什麼是浮點數？其實就是你我都熟知的小數。舉例來說，圓周率是個無窮不循環小數，唸下去就會是3.141592653…但實際運算時，我們常常用 3.14 或甚至直接用 3，也能得到夠用的結果。降低模型參數中浮點數的精度就是這個意思！ 

然而，量化並不是那麼容易的事情。而且實際上，降低精度多少還是會影響到模型表現的。因此在設計時，工程師會精密調整，確保效能在可接受範圍內，達成「瘦身不減智」的目標。

模型剪枝（Model Pruning）—基於重要性的結構精簡

建立一個 AI 模型，其實就是在搭建一整套類神經網路系統，並訓練類神經元中彼此關聯的參數。然而，在這麼多參數中，總會有一些參數明明佔了一個位置，卻對整體模型沒有貢獻。既然如此，不如果斷將這些「冗餘」移除。

這就像種植作物的時候，總會雜草叢生，但這些雜草並不是我們想要的作物，這時候我們就會動手清理雜草。在語言模型中也會有這樣的雜草存在，而動手去清理這些不需要的連結參數或神經元的技術，就稱為 AI 模型的模型剪枝（Model Pruning）。

模型剪枝的效果，大概能把100變成70這樣的程度，說多也不是太多。雖然這樣的縮減對於提升效率已具幫助，但若我們要的是一個更小幾個數量級的模型，僅靠剪枝仍不足以應對。最後還是需要從源頭著手，採取更治本的方法：一開始就打造一個很小的模型，並讓它去學習大模型的知識。這項技術被稱為「知識蒸餾」，是目前 AI 模型壓縮領域中最具潛力的方法之一。

知識蒸餾（Knowledge Distillation）—讓小模型學習大師的「精髓」

想像一下，一位經驗豐富、見多識廣的老師傅，就是那個龐大而強悍的 AI 模型。現在，他要培養一位年輕學徒—小型 AI 模型。與其只是告訴小型模型正確答案，老師傅 (大模型) 會更直接傳授他做判斷時的「思考過程」跟「眉角」，例如「為什麼我會這樣想？」、「其他選項的可能性有多少？」。這樣一來，小小的學徒模型，用它有限的「腦容量」，也能學到老師傅的「智慧精髓」，表現就能大幅提升！這是一種很高級的訓練技巧，跟遷移學習有關。

舉個例子，當大型語言模型在收到「晚餐：鳳梨」這組輸入時，它下一個會接的詞語跟機率分別為「炒飯：50%，蝦球：30%，披薩：15%，汁：5%」。在知識蒸餾的過程中，它可以把這套機率表一起教給小語言模型，讓小語言模型不必透過自己訓練，也能輕鬆得到這個推理過程。如今，許多高效的小型語言模型正是透過這項技術訓練而成，讓我們得以在資源有限的邊緣設備上，也能部署愈來愈強大的小模型 AI。

但是！即使模型經過了這些科學方法的優化，變得比較「苗條」了，要真正在邊緣環境中處理如潮水般湧現的資料，並且高速、即時、穩定地運作，仍然需要一個夠強的「引擎」來驅動它們。也就是說，要把這些經過科學千錘百鍊、但依然需要大量計算的 AI 模型，真正放到邊緣的現場去發揮作用，就需要一個強大的「硬體平台」來承載。

邊緣 AI 的強心臟：SKY-602E3 的三大關鍵

像研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，就是扮演「邊緣 AI 引擎」的關鍵角色！那麼，它到底厲害在哪？

一、核心算力
它最多可安裝 4 張雙寬度 GPU 顯示卡。為什麼 GPU 這麼重要？因為 GPU 的設計，天生就擅長做「平行計算」，這正好就是 AI 模型裡面那種海量數學運算最需要的！

你想想看，那麼多數據要同時處理，就像要請一大堆人同時算數學一樣，GPU 就是那個最有效率的工具人！而且，有多張 GPU，代表可以同時跑更多不同的 AI 任務，或者處理更大流量的數據。這是確保那些科學研究成果，在邊緣能真正「跑起來」、「跑得快」、而且「能同時做更多事」的物理基礎！

二、工程適應性——塔式設計。
邊緣環境通常不是那種恆溫恆濕的標準機房，有時是在工廠角落、辦公室一隅、或某個研究實驗室。這種塔式的機箱設計，體積相對緊湊，散熱空間也比較好（這對高功耗的 GPU 很重要！），部署起來比傳統機架式伺服器更有彈性。這就是把高性能計算，進行「工程化」，讓它能適應台灣多樣化的邊緣應用場景。

三、可靠性
SKY-602E3 用的是伺服器等級的主機板、ECC 糾錯記憶體、還有備援電源供應器等等。這些聽起來很硬的規格，背後代表的是嚴謹的工程可靠性設計。畢竟在邊緣現場，系統穩定壓倒一切！你總不希望 AI 分析跑到一半就掛掉吧？這些設計確保了部署在現場的 AI 系統，能夠長時間、穩定地運作，把實驗室裡的科學成果，可靠地轉化成實際的應用價值。

台灣製造 × 在地智慧：打造專屬的邊緣 AI 解決方案

研華科技攜手八維智能，能幫助企業或機構提供客製化的AI解決方案。他們的技術能力涵蓋了自然語言處理、電腦視覺、預測性大數據分析、全端軟體開發與部署，及AI軟硬體整合。

無論是大小型語言模型的微調、工業瑕疵檢測的模型訓練、大數據分析，還是其他 AI 相關的服務，都能交給研華與八維智能來協助完成。他們甚至提供 GPU 與伺服器的租借服務，讓企業在啟動 AI 專案前，大幅降低前期投入門檻，靈活又實用。

台灣有著獨特的產業結構，從精密製造、城市交通管理，到因應高齡化社會的智慧醫療與公共安全，都是邊緣 AI 的理想應用場域。更重要的是，這些情境中許多關鍵資訊都具有高度的「時效性」。像是產線上的一處異常、道路上的突發狀況、醫療設備的即刻警示，這些都需要分秒必爭的即時回應。

如果我們還需要將數據送上雲端分析、再等待回傳結果，往往已經錯失最佳反應時機。這也是為什麼邊緣 AI，不只是一項技術創新，更是一條把尖端 AI 科學落地、真正發揮產業生產力與社會價值的關鍵路徑。讓數據在生成的那一刻、在事件發生的現場，就能被有效的「理解」與「利用」，是將數據垃圾變成數據黃金的賢者之石！

👉 更多研華Edge AI解決方案
👉 立即申請Server租借

• id S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則？

期望值的定義是：它是可能結果的一種平均，但在計算平均時，機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果，它代表了如果我們重複賭很多次，或者隨機選出很多家戶，實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明，用機率模型算出來的期望值，真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中，每個可能結果的發生比例會接近它的機率，而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的，它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了：為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博，對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值，並且知道長期下來收入會是多少，所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具，讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多，大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場，他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡，但是保險公司知道機率，並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高，來保證有利潤。

• 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播，看到號碼球上下亂跳，然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢？ 1980 年的時候，賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆，這樣做會把球變重，因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候，他們贏了 120 萬美元。是的，他們後來全被逮到。

深入探討期望值

跟機率一樣，期望值和大數法則都值得再花些時間，探討相關的細節問題。

• 多大的數才算是「大數」？

大數法則是說，當試驗的次數愈來愈多，許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說，究竟需要多少次試驗，才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大，就需要愈多次的試驗，來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大，才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭，結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博，例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券，需要極多次的試驗，幾乎要多到不可能的次數，才能保證平均結果會接近期望值。

（州政府可不需要依賴大數法則，因為樂透彩金不像賭場的遊戲，樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面，彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說，各州所辦的樂透彩金，是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。）

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化，但要回答大數法則的適用範圍，較實際的答案就是：賭場的贏錢金額期望值是正的，而賭場玩的次數夠多，所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是，你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話，當然和賭場一樣多，但因為期望值是負的，所以以賭客整體來看，長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢，有些人輸很多，而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑，大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是：對賭場來說，結果並非不可測的。

• 有沒有保證贏錢的賭法？

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法，這種賭法每次下注的金額，是看前幾次的結果而定。比如說，在賭輪盤時，你可以每次把賭注加倍，直到你贏為止—或者，當然，直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶，這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎？不行，數學家建立的另一種大數法則說：如果你沒有無窮盡的賭本，那麼只要遊戲的各次試驗（比如輪盤的各次轉動）之間是獨立的，你的平均獲利（期望值）就會是一樣的。抱歉啦！

• 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎（拉霸）。從前，你丟硬幣進去再拉下把手，轉動三個輪子，每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲，會閃出許多很炫的畫面，而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣，有各種讓你眼花撩亂的中獎結果，還可以多台連線，共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法，但是長期下來，隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

• id S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是常態分布？

圖 13.3 和 13.4 裡的密度曲線，同屬一族特別重要的曲線：常態曲線。圖 13.7 再呈現了兩個常態密度曲線。常態曲線都是對稱、單峰、鐘形的，尾部降得很快，所以我們應該不會看到離群值。由於常態分布是對稱的，所以平均數和中位數都落在曲線的中間位置，而這也是尖峰所在。

常態曲線還有一個特別性質：我們可以用目測方式在曲線上找到它的標準差。對大部分其他的密度曲線，沒有法子這樣做。做法是這樣的。想像你要從山頂開始滑雪，山的形狀和常態曲線一樣。起先，你從山頂出發時，往下滑的角度非常陡：

幸好，在你還沒有直直墜下之前，斜坡就變緩了，你愈往下滑出去，坡度愈平：

曲率（curvature）發生改變的地方，是在平均數兩側、各距平均數一個標準差的位置。圖 13.7 的兩條曲線上都標示出了標準差。你如果用鉛筆沿著常態曲線描，應該可以感受到曲率改變的地方，進而找出標準差。

常態曲線有個特別的性質是，只要知道平均數及標準差，整條曲線就完全確定了。平均數把曲線的中心定下來，而標準差決定曲線的形狀。變動常態分布的平均數並不會改變曲線的形狀，只會改變曲線在 x 軸上的位置。但是，變動標準差卻會改變常態曲線的形狀，如圖 13.7 所示。標準差較小的分布，散布的範圍比較小，尖峰也比較陡。以下是常態曲線基本性質的總結：

常態密度曲線的特性

常態曲線（normal curve）是對稱的鐘形曲線，具備以下性質：

• 只要給了平均數和標準差，就可以完全描述特定的常態曲線。
• 平均數決定分布的中心，這個位置就在曲線的對稱中心。
• 標準差決定曲線的形狀，標準差是指從平均數到平均數左側或右側的曲率變化點的距離。

為什麼常態分布在統計裡面很重要呢？首先，對於某些真實數據的分布，用常態曲線可以做很好的描述。最早將常態曲線用在數據上的是大數學家高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777 – 1855）。

天文學家或測量員仔細重複度量同一個數量時，所得出的量測值會有小誤差，高斯就利用常態曲線來描述這些小誤差。你有時候會看到有人把常態分布叫做「高斯分布」，就是為了紀念高斯。

十九世紀的大部分時間中，常態曲線曾叫做「誤差曲線」，也就因為常態曲線最早是用來描述量測誤差的分布。後來慢慢發現，有些生物學或心理學上的變數也大致符合常態分布時，「誤差曲線」這個名詞就不再使用了。1889 年，高騰（Francis Galton）率先把這些曲線稱做「常態曲線」。高騰是達爾文的表弟，他開拓了遺傳的統計研究。

常態分布的形狀：鐘形曲線

人類智慧高低的分布，是不是遵循常態分布的「鐘形曲線」？IQ 測驗的分數的確大致符合常態分布，但那是因為測驗分數是根據作答者的答案計算出來的，而計算方式原本就是以常態分布為目標所設計的。要說智慧分布遵循鐘形曲線，前提是：大家都同意 IQ 測驗分數可以直接度量人的智慧。然而許多心理學家都不認為世界上有某種人類特質，可以讓我們稱為「智慧」，並且可以用一個測驗分數度量出來。

當我們從同一母體抽取許多樣本時，諸如樣本比例（當樣本大小很大、而比例的數值中等時）及樣本平均數（當我們從相同母體取出許多樣本時）這類統計量的分布，也可以用常態曲線來描述。我們會在後面的章節進一步細談統計分布。

抽樣調查結果的誤差界限，也常常用常態曲線來算。然而，即使有許多類的數據符合常態分布，仍然有許多是不符合的，比如說，大部分的所得分布是右偏的，因而不是常態分布。非常態的數據就和不平常的人一樣，不僅常見，而且有時比常態的數據還有趣。

68 – 95 – 99.7 規則

常態曲線有許多，每一個常態曲線都可以用各自的平均數和標準差來描述。所有常態曲線都有許多共同性質，特別要提的是，對常態分布來說，標準差是理所當然的量度單位。這件事實反映在下列規則當中。

圖 13.8 說明了 68 – 95 – 99.7 規則。記住這三個數字之後，你就可以在不用一直做囉嗦計算的情況下考慮常態分布。不過還得記住，沒有哪組數據是百分之百用常態分布描述的。不管對於 SAT 分數，或者蟋蟀的身長， 68–95–99.7 規則都只是大體正確。

年輕女性的身高常態

年輕女性的身高約略是平均數 63.7 英寸、標準差 2.5 英寸的常態分布。要運用 68 – 95 – 99.7 規則，首先得畫一個常態曲線的圖。圖 13.9 說明了這個規則用在女性的身高上會是什麼情況。

任何常態分布都有一半的觀測值在平均數之上，所以年輕女性中有一半高於 63.7 英寸。

任何常態分布的中間68%觀測值，會在距平均數一個標準差的範圍內。而這 68 %中的一半，即 34 %，會在平均數之上。所以有 34 %的年輕女性，身高在 63.7 英寸及 66.2 英寸之間。把身高不到 63.7 英寸的 50% 女性也加上去，可以得知總共有84%的年輕女性身高不到 66.2 英寸。所以推知超過 66.2 英寸的人占 16%。

任何常態分布的中間 95% 的值，在距平均數兩個標準差範圍內。這裡的兩個標準差是 5 英寸，所以年輕女性身高的中間 95% 是在 58.7（= 63.7 − 5）和 68.7（= 63.7 + 5）英寸之間。

另外 5% 女性的身高，就超出 58.7 到 68.7 英寸的範圍之外。因為常態分布是對稱的，這其中有一半的女性是在矮的那一頭。年輕女性中最矮的 2.5% ，身高不到 58.7 英寸（149 公分）。

任何常態分布中幾乎所有（99.7%）的值，在距平均數三個標準差的範圍內，所以幾乎所有年輕女性的身高，都在 56.2 及 71.2 英寸之間。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

樣本變異量是基本統計學一個很難懂也很難教的概念。初學統計學的學生一開始就遇到這個概念，如果沒學懂，很可能就對統計學喪失了信心或興趣。

這個概念難懂之處並不只在於它的意義或用處，更在於它的公式：

這個公式的分子是所謂「差方和」（sum of squared deviations），還不算太難懂。真正難懂的地方是分母：如果要求 「平均差方」（mean squared deviations），應該把差方和除以 n，為什麼要除以 n – 1？

n 是個「限制」，n-1 就是「自由」的？

一般老師對這個問題通常會回答說因為分子使用了樣本平均數，失去了一個「自由度」（degrees of freedom），所以除以 n – 1。有的老師還會進一步說，如果計算差方和使用的不是樣本平均數，而是母體平均數，則除以 n 即可。至於為何使用樣本平均數會失去一個「自由度」，有點耐心的老師會解釋：樣本平均數是原來 n 個數算出來的，有了樣本平均數，原來 n 個數就被「限制」住了，只有 n – 1 個是「自由」的。學生聽到這裡常常滿頭霧水。他們會想：原來 n 個數不是已經知道了嗎，說他們是「自由」究竟是什麼意思？而且就算「自由度」的概念懂了，又為什麼要把差方和除以自由度，除以 n 得到平均差方不是更直接了當嗎？

如果學生那樣反問，沒有耐心的老師可能會乾脆說：當 n 很大的時候，其實除以 n 和除以 n – 1 是差不多的，照著公式做就對了。學過數理統計學又超有耐心的老師則會說：這與統計推論有關，當我們用樣本變異量來估計母體變異量時，為了避免估計上的偏差，必須要除以 n – 1。

剛開始學基本統計學的學生聽了當然毫無頭緒，此時老師可能會說：你們以後去修數理統計學就會明白了，這個除以 n – 1 而不是除以 n 的方法喚作「貝索校正」（Bessel’s correction）。學生聽到這裡，大概也只好知難而退等以後再說了。不過誨人不倦的老師還會進一步說：其實這要看你用哪一種估計方法，如果你用「最大概似估計法」（MLE），除以 n 才是對的；有人選擇「最小均方誤差估計法」（MMSE）還除以 n + 1 呢。說到這裡，學生恐怕已經決定退選了。

我教基本統計學教了 20 幾年，常被學生追問這個問題，逼得自己也只好認真想出一些可以讓學生稍感滿意的答案。本文嘗試在不用高深數學的原則下來回答這個問題。

變異量的概念

首先，我們假設有一組 n 個數目的資料：x₁, x₂, …, x_n，它們的樣本平均數是：

變異量所要測量的是這一組資料彼此間差異的程度，它告訴我們資料的同質性或一致性。我們可以先想像這組資料全部相同的情況：資料彼此之間完全沒有差異，也就是同質性高到不能再高了，一致性也大到不能再大了，此時變異量為 0。如果資料彼此間差異極大，也就是同質性或一致性極低，此時變異量極大。

想像一個大聯盟球隊的球員，我們有這些球員上個球季打擊率的資料。如果這些資料的變異量極小，這代表球員們打擊能力大致相同，同質性極高；反之，如果變異量極大，則能力參差不齊，同質性低。再想像我們特別關注其中一位球員，我們有他參加大聯盟以來每個球季的打擊率。如果這些資料的變異量極小，這代表這球員每年打擊表現的一致性極高；反之，如果變異量極大，則一致性低。

然則為何變異量要用上面的公式計算？要算資料彼此間差異的程度，不是算出數目兩兩之間差異的總和或其平均值就好了嗎？這樣說雖然不無道理，但實際上大有問題。

設想我們把資料中所有數目依其大小標在一直線上，一共有 n 個點，則這些點兩兩之間一共會有 C(n,2) = n! / (n – 2) !2! 個距離，例如 n = 3 會有 3 個距離，n = 4 會有 6 個距離，n = 5 會有 10 個距離，等等。但這些距離並不是相互獨立的，因為除了相鄰兩點之間的距離外，其它的距離都可以算出來。舉例來說，若 n = 3 而三點為 x₁ < x₂ < x₃，則共有｜x₁ – x₂｜、｜x₂ – x₃｜、｜x₁ – x₃｜三個距離，但｜x₁ – x₂｜+｜x₂ – x₃｜=｜x₁ – x₃｜，也就是 3 個距離中只有 2 個是獨立的，第三個可以由這兩個獨立的距離算出來。推而廣之，直線上 n 個點 x₁ < x₂ < … < x_n，雖然可有 C(n,2) 個距離，只有｜x₁ – x₂｜、｜x₂ – x₃｜、｜x₃ – x₄｜…、｜x_n-1 – x_n｜這 n – 1 個相鄰兩點之間的距離是獨立的；這 n – 1 個距離知道之後，其它的距離也就知道了。這 n – 1 個相鄰兩點的「獨立」距離，包含了樣本變異量所有的資訊，因此我們不妨暫且把 n – 1 喚作「自由度」。換句話說，「自由度」就是樣本變異量所含獨立資訊的數目。

如果我們把總變異量定義為資料中這些獨立資訊的總和，則當我們把總變異量除以自由度 n – 1，我們就得到這些獨立資訊的平均變異量了。但這樣的定義有一個問題，我們看下式就明白了：

這就等於我們小學時學過的植樹問題：「一條路有 90 公尺，沿路每邊種了 10 棵樹，兩端都種，請問每邊樹與樹間的平均距離多少？」這樣來算變異量，除了用到資料最大數和最小數之間的「範圍」(range) 外，完全忽略了中間 n – 2 個相對點位置所含的資訊，因此它不是一個適當的方法。

此外，因為兩數相減可能得到負數，但距離必須是正的，所以我們常用絕對值來算距離。但絕對值函數 y = ｜x｜在 x = 0 的地方有個尖銳轉折，不是一個平滑函數，數學上不好處理。比較好的消去負號的方法是平方：負負得正。

因此統計學不用資料點兩兩之間距離絕對值的和來算總變異量，而是用每個資料點與平均數距離平方的總和，也就是前面所說的「差方和」：

差方和的好處是它用到了資料中每一點的位置，但它同時也必須用到樣本平均數。用了樣本平均數之後，資料中的n個點與平均數的距離就有一個限制了：

因此它們只包含了 n – 1 個獨立的資訊。我們把 n – 1 喚作「自由度」，也就是獨立資訊的數目。把差方和除以「自由度」就得到變異量；它可以詮釋為每個獨立資訊對資料所含總資訊——差方和——的平均貢獻。變異量因為用了距離的平方，必須開根號才能回到原來的距離單位。於是我們把變異量開根號，得到的結果，就是所謂「標準差」（standard deviation）：

為什麼要「貝索校正」？

如果這樣講學生還是不懂為何要除以 n – 1，那就只好祭出「貝索校正」的法寶了。以下嘗試用比較淺易的方法說明貝索校正，但我們必須先加強對資料的假設。

我們現在假設有一組 n 個從母體隨機抽樣得來的資料：x₁, x₂, …, x_n。雖然任何一組資料都可以計算其變異量，這裡我們假設資料是隨機樣本是有原因的。如果資料不是隨機樣本，它背後沒有一個母體，以下的討論便沒有意義。我們假設母體的平均數是 μ，而樣本的平均數是 x̄。

貝索校正的原理是：用以上定義的樣本變異量來估計母體變異量時，平均來說不會有偏差。如果我們用「≈」代表「平均來說」，我們可以用下式來表示這個陳述：

這個式子的左邊是樣本變異量，右邊是母體變異量。母體變異量的定義是相對於母體平均數的平均差方。理論上，母體的平均差方要用期望值來算，但為了避免使用高深數學，這裡直接用樣本資料對母體平均數的平均差方來算。因為在計算時除了資料各點以外沒有用到可以用資料算出來的數目，它的「自由度」是 n 而不是 n – 1。上式告訴我們：「平均來說」，樣本變異量等於母體變異量。所謂「平均來說」，意指從同一個母體中重複隨機抽出許多同樣大小的樣本，雖然每一個樣本的變異量不會一樣，當我們重複抽了很多很多樣本時，這些樣本變異量的平均數會恰恰等於母體變異量，不會有所偏差。這就是統計估計中所冀求的「無偏差性」（unbiasedness）。

統計估計的「無偏差性」需要證明。為了證明方便起見，我們先定義

．母體總差方和：

．樣本總差方和：

．平均數差方和：

TSS 是以母體平均數為中心的總差方和，將它除以 n 就得到母體變異量。RSS 是以樣本平均數為中心的總差方和，將它除以 n – 1 就得到樣本變異量。ESS 是假設資料中每個數目都被樣本平均數取代時的母體總差方和。

以下我們分四個步驟，先對每一個步驟做實質討論後，再證明貝索校正的無偏差性。

（1）是一個恆等式，它並不是「平均來說」才成立的；它告訴我們：TSS 可以分解為兩個部分：ESS 與 RSS。這個關係可以進一步闡釋如下：如果我們不知道樣本每一個數的數值而只知道樣本平均數，則我們在計算母體總差方和時，只好用平均數來取代每一個數。這樣算出來的母體總差方和就是 ESS；它只佔真正 TSS 的一部分。這一部分我們可以把它想成是樣本平均數所能「解釋」（Explain）的部分，也就是平均數這個資訊所能傳達的母體總資訊的部分，此所以我們以 ESS 來代表它。那麼剩下的部分呢？（1）告訴我們：母體總資訊不能被樣本平均數所解釋的部分，恰恰等於樣本總差方和。因為這個原因，我們把樣本總差方和也稱作「剩餘總差方和」（Residual Sum of Squares）而用 來代表。

（2）不是一個恆等式，它告訴我們：「平均來說」，ESS 只佔了 TSS 的 1/n；除非 n 很小，否則樣本平均數只能解釋母體總資訊的一個很小的部分。

（3）可從（1）與（2）用簡單的代數算出：既然 TSS = ESS + RSS，而 ESS「平均來說」只佔 TSS 的 1/n，那麼 RSS「平均來說」就佔 TSS 的  (n-1)/n 了。

我們再把（3）的兩邊除以 n – 1 就得到（4）：樣本總差方和除以 n – 1「平均來說」等於母體總差方和除以 n。這正是「貝索校正」：除以 n – 1 的樣本變異量「平均來說」，等於除以 n 的母體變異量！

現在我們可以了解「自由度」的真正意義了：我們把母體總差方和分成 n 等份，則樣本平均數「平均來說」所能「解釋」的只有一份，而這一份之外，樣本平均數不能「解釋」的 n – 1 份剛好就是樣本總差方和，這 n – 1 就是所謂的「自由度」。換句話說：我們知道了樣本平均數之後，樣本 n 個資料點只能「解釋」母體總差方和 n 等份中的 n – 1 份。這是為什麼我們在計算樣本變異量的時候要把樣本總差方和除以n-1。而這樣算的最終目的，就是為了要讓樣本變異量「平均來說」等於母體變異量。

數學證明

這裡只有（1）與（2）需要證明：

【（1）的證明】

【（2）的證明】

這個證明裡有兩個關鍵步驟。第一，我們應用了多項式平方展開的公式

這讓我們導出

第二，我們用了 x₁, x₂, …, x_n 是隨機樣本的假設而得到

的結果。隨機樣本的假設是指資料的每一個數都是從同一個母體抽出而獨立分佈的（identically and independently distributed）。在這個假設之下，x_i 與 x_j 是獨立的，因此它們的共變量為 0。在重複抽樣的情況下，x_i 有時候大於 μ，有時候小於 μ；x_j 也是；而且 x_i 跟 μ 的偏差與 x_j 跟 μ 的偏差是互相獨立的。因此，( x_i – μ )( x_j – μ ) 的值有時候為正，有時候為負；雖然大小不一，但「平均來說」，他們加起來會互相取消。此所以我們知道在理論上：

以上證明參考了

• R.A. Fisher, 1912. “On an Absolute Criterion for Fitting Frequency Curves.” Messenger of Mathematics 41, pp. 155-160. Republished in Statistical Science, Vol. 12, No. 1 (Feb., 1997), pp. 39-41.

但原文條理並沒有交代得很清楚，這裡主要是我自己的詮釋。

本文《統計學中算變異量為什麼要除以 n-1？什麼是「自由度」？》轉載自 Tse-min Lin 的部落格。