這裡呈示了 r=0 到 2.8 之間的圖表，可以看出在 r 超過 2.5 時，振盪發生，即使如此、依舊回歸平衡值。
當我們將 r 值逐步增加，一切看似並無異常；當 r=2.8 時，我們發現圖形出現了週期性的振盪，但最後依舊回歸平穩。順帶一提，我們可以藉由「分枝圖」(bifurcation diagram) 來觀察 x 的穩定值與 r 的關係，在 r=0 至 2.8 之間，x 穩定值有攀升趨勢；在 r=1.5 時，根據前述的例子，x 的穩定值落在 0.33 左右，從下圖也可以直接看出：
呈現 x 穩定值與 r 之間的分枝圖，r=0 與 r=2.8 之間，穩定值有攀升趨勢；在前述例子中，r=1.5 對應到的穩態相當於 x=0.33 上下。
我們繼續調大 r 值。正當一切看似正常發展時，詭異的事情發生了：
當 r 大於 3 時，週期性的振盪發生，且不再回歸平穩值。由左至右分別是 r=3.1、r=3.45、與 r=3.55 的圖表。
在此之前，一切族群的數量都是平穩的，但在 r 超過 3 左右，持續的振盪出現了，且自此「平衡點」不復存在；不僅如此，當 r 值不斷調升，顯示出來的圖像從原本 2 個值、4 個值、到更多值之間來回振盪。值得一提的是，這種「週期性振盪」的現象在生態圈與人口變化中是確實存在的，很有可能前一年數量減少、今年數量增加、明年數量又再減少。讓我們來看看對應的分枝圖：
圖為 r=2.8 至 3.55 之間的分枝圖，可以發現數目振盪導致的「分岔」。
這對應於原本從 2 個值之間的擺盪、分岔成 4 個值之間的擺盪、再分岔成 8 個值之間的擺盪……如此往復。此外，如果你留意橫軸 r 之間的間隔，會發現：當 r 愈大時，分岔的速度也愈快！
現在讓我們繼續將 r 值調升，來看看會發生什麼事：
隨著 r 不斷提升，系統呈現隨機的跡象，在 r 超過 4 時系統發散。上圖分別演示了 r=3.56、r=3.58、r=3.65、r=3.8、r=4 與 r=4.01 的情景。
話不多說，我們直接來看看分枝圖：
在 r=3.55 至 r=4 之間的分枝圖，分岔不斷衍生、並進入隨機的模式。
令人毛骨悚然的結果出現了！前面我們觀察到，當r提升時，系統會出現週期性的振盪，對應於分枝圖中的「分岔」，且分岔的速率會不斷增快、再增快；而在 r 超過 3.5699 時，規律的振盪、分岔將不復存在，取而代之的是一團無法預測的隨機——這就是所謂的「混沌」(chaos)。
混沌、股票市場、以及蝴蝶效應
現在讓我們看一下完整的分枝圖長什麼樣子：
單峰映射的分枝圖，從 r=1 至 r=4，可以看出系統在 r 超過一定值後進入混沌狀態。
換而言之，當系統的變量到一定程度時，將會變成隨機且無法預測的。以人口為例，一開始我們假設的情況很簡單，就是 60 萬人口與 r=1.5 的成長率；接著我們發現，無論人口基數如何，只要 r 維持原狀，數年、乃至於數十年後的平衡點都是相近的。然而，當r值提升後，平衡點的值便會浮動了，r=3 之後週期性的振盪便出現了、且分岔點不斷加速倍增；緊接著，我們赫然發現：
科學研究者，1999年生於台北，目前於美國佛羅里達大學(University of Florida)攻讀物理學博士。2022年於美國羅格斯大學(Rutgers University)取得物理學學士學位，當前則致力於學術研究、以及科學知識的傳播發展。 同時也是網路作家、《隨筆天下》網誌創辦人，筆名辰風，業餘發表網誌文章，從事詩詞、小說、以及文學創作。
瑞士洛桑大學（Université de Lausanne）生態暨演化學系的生物學家 Nicolas J. Fasel 博士，收到一封以荷蘭文書寫的電子郵件。[1]裏頭附帶的網址，據說能連結到，在某教堂閣樓裡偷拍的性交影片。[1, 2] Fasel 博士起先懷疑遇到詐騙，然而主旨寫著「大棕蝠陰莖」。他想若是投其所好，未免也太過精準。於是，Fasel 博士冒著風險點開。[1]
狐禪
