一年一度的聖誕節又快要到了，大家最期待或是最感困擾的事情之一應該就是交換禮物吧！如果是和朋友交換的話，自然是邁向新年之前最期待的事；但如果是在職場上和不熟的同事交換，腦中小劇場演了好多究竟要如何拿捏分寸才好真是十分困擾。

西方基督教的聖誕節傳統之一是秘密聖誕老人（Secret Santa），大家在匿名的情況下彼此不知道誰送誰什麼禮物，只知道自己要送哪一個人禮物，所以這活動叫做秘密聖誕老人；但在台灣的交換禮物派對，普遍來說在大庭廣眾之下送禮物、拆禮物、惡搞禮物才是活動的高潮，很少玩匿名的秘密聖誕老人。

今（2016）年 11 月英國數學家漢娜．弗萊（Hannah Fry）以及湯瑪士．伊凡斯（Thomas Oléron Evans）出了一本新書，叫做《聖誕老人的存在是不爭的事實》（The Indisputable Existence of Santa Claus）[1]，裡頭就有一章專門介紹交換禮物的數學。無論匿名與否，交換禮物其實有很多種抽法，不同的抽法會影響誰是你／妳的送禮對象。

接下來我們就跟著英國數學家的腳步來看看交換禮物的數學吧！

第一種是最常見的方法，一個一個輪流抽，如果抽到自己的號碼再把紙條丟回去，算是一種基本常識，總不會有人希望抽到自己的禮物吧。可是如果最後一個人抽到自己的號碼呢？這時候沒有固定的解法，有可能隨便和一個人換禮物，但這種解法除了尷尬之外，同時失去交換禮物的意義；或者是大家全部重抽一次，不過這除了麻煩之外也難保下一次不會再發生同樣的事情，不論哪一種都有點棘手。

對數學家而言，交換禮物只不過是一種排列組合。來看看如果只有三個人交換禮物，抽禮物的順序是如何影響誰送誰的機率！

現在有 A、B、C 三個人玩交換禮物，我們將所有抽籤的可能性整理成以下的圖表，抽到誰就表示要送禮物給誰。當 A 第一個抽，有可能抽到 A、B、C 其中一個，將 A 抽到自己的狀態扣除，以 X 表示，因此這條路線的機率是 0，而這時 A 抽中 B 或 C 的機率各是 1/2。接下來輪到 B 準備抽籤，如果剛剛是 A 抽中了B，那 B 可以抽 A 或是 C 機率各是 1/2，不過這時如果 B 抽到 A 的話，那 C 就只能自己和自己交換禮物，因此也等於交換失敗（X）；如果 B 抽到 C，那 C 就只剩下 A 可以抽，機率是 1。A 送 B、B 送 C、C 送 A的機率是 1/2 × 1/2 × 1 = 1/4。

那如果 A 一開始抽到 C 呢，換 B 抽的時候如果抽到自己就會丟回去重抽（X），所以只剩 A 可抽，機率為 1，換 C 抽的時候也只剩下 B 可抽。因此 A 送 C、B 送 A、C 送 B的機率是 1/2 × 1 × 1 = 1/2。

從上圖發現兩條路線中送禮對象的機率竟然不同，C 送 B 的機率竟然是 C 送 A 機率的 2 倍。就算不是 A 先抽也一樣會發生同樣的問題。最常見的交換禮物抽法，實際上會影響送禮對象的機率，很顯然這種抽法並不公平，即使人數較多也是如此。

那如果換個方法大家一起抽呢？也就是一個一個抽卻不當場打開紙條，大家一起打開這樣就不會受到丟回去的紙條影響，可以把這樣的抽法視為一種排列組合。但如果是這種玩法的話，愈多人玩交換禮物，就會有愈高的機率有人抽到自己的禮物，一般來說大約是高達 63 %的機率有人會抽到自己的禮物[2]，即使參與人數不同也大約是這個數字。應該沒人會有耐心這樣慢慢玩，只好捨棄第二種大家一起抽的方法。

抽一次就成功的交換禮物方法

從以上的兩種方法可以發現，玩交換禮物需要的是一種不會抽到自己名字的排列組合，在數學上稱為錯位排序（derangement）。

英國數學家在書中提出了第三種方法能夠符合錯位排序，又有以下的優點：程序透明（大家自己動手抽不是用電腦）、公平（每個人送給其他人的機率相等）、有效率（一次搞定，絕不會再抽第二次）、秘密（包括主持人在內，沒人知道誰是誰的秘密聖誕老人，雖然這優點在台灣似乎不被認為是優點）。

方法像是下面的圖在紙的上方寫上自己的號碼 「你是 2 號」，下方則是寫上「送禮物給 2 號」，大家分別寫上屬於自己號碼如下：

再來搜集所有的紙條，將它們翻到背面並將順序打亂，重新排列成一個直線。接著關鍵步驟來了，沿著中間的虛線剪開紙條。接著把紙張上半部（你是 O 號）向右移一個位置，最右邊的紙條則是移到最左邊，如此一來就完成了交換禮物的配對。紙條上面的號碼代表聖誕老人是幾號，下面的則是收禮物的人。最後大家在另外一張紙上填入自己的號碼和名字，如此一來就知道該把禮物送給誰了。

第三種方法中不會有人抽到自己的號碼沒拿到禮物，而且只要抽一次就能完成，是一種簡單而有效的方法，唯一的小缺點是不會有兩個人互相送禮。英國數學家認為這未必是缺點反而是 Z > B 呢，看來這樣的認知也是文化上的差異。如果不想在聖誕節也感受到職場上表面河蟹的氣氛，可以考慮用第三種方法加上匿名。

話說第一種方法也不是完全沒用，可以用在想要送給心儀的對象卻又不敢直接送，人少少的交換禮物派對之下，不用默默祈禱也不一定要和主持人串通好，透過數學就能知道，如何讓你／妳的禮物送到對方手上的機率增加。

很數學的聖誕節

除了秘密聖誕老人之外，英國數學家還在書中介紹了許多關於聖誕節的數學，像是裝飾聖誕樹的數學、怎樣送禮效果才會好、控制烤雞溫度的方程式、分析與模仿英國女王的聖誕夜談話、聖誕老人在旅途中是胖了還是瘦了？不得不說英國數學家真的相當有創意，讓大家知道數學除了實用之外也很有趣。

而且兩位作者最近在推特上（@FryRsquared 和 @Mathistopheles）舉行聖誕節的「每日數學小活動」（The Indisputable Santa Mathematical Advent Calendar），從 12 月初開始到現在已經累積了許多數學謎題。第一天的活動是開放讀者投稿數學聖誕裝飾，最佳的五名可以獲得他們的新書。最後選出了六名，得獎作品在此網址。有興趣的讀者可以用#Christmaths 這個 hashtag 搜尋，會有更多有趣的貼文和圖片。

參考資料：

1. Fry, H., Evans, T.O., The Indisputable Existence of Santa Claus, Doubleday, UK, 2016
2. 黃俊瑋，交換禮物中的機率問題（The probability of exchanging gifts），2014

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本文轉載自 CASE 科學報《你一年的碳排放量，要用幾棵樹來抵？單木材積及固碳量計算》

氣候變遷是近年最受重視的議題之一，十九世紀以來，由於工業化的開展，人類製造的二氧化碳量年年攀升，造成地球氣候的劇烈改變。你知道你一年當中，上廁所、煮飯，上網搜尋資料，還有雙十一和黑色星期五的網購和外送，以及其他所有日常行為，共排放多少二氧化碳嗎？

根據行政院環保署的報告，2019 年台灣每人每年平均排放二氧化碳當量約為 10.96 公噸／人^[1]。十公噸大約等於一台大卡車的重量，聽起來相當驚悚，不過，你有沒有想過，要種多少棵樹，才能抵銷你排放的二氧化碳業障呢？

計算一棵樹的材積量

將碳排放量換算成樹木材積，並不是一件太難的事情，但需要一些計算步驟。你可能會覺得，一棵樹的材積量有什麼難的？阿不就一根長長圓柱體，底面積乘上樹高就打完收工了。

如果抱著這樣的想法，那就大錯特錯了！因為樹幹不是圓柱體，而是類似圓錐的形狀，並且可以切分成轆轤體、圓柱體、拋物線體和圓錐體四個部分計算（圖 1），如果用圓柱體計算，會出現很大的誤差！

為了盡可能計算出正確的材積，林業領域有一套特定的計算方式。根據行政院農業委員會辦理國有林林產物處分作業要點，材積式的公式如下：

立木材積＝（胸高直徑）²×0.79×樹高×形數

上面的算式中，胸高直徑、樹高為測量值，0.79為固定數，而形數指的是「立木材積形態常數」，下面用更白話的方式說明專有名詞所代表的涵意。

• 胸高直徑（DBH , diameter at breast height，後簡稱胸徑）是林木測量時，最重要的測量值，它不但與樹幹材積的關係相關，且測量容易、誤差也較少，因此是調查時相當重要的一項參數。顧名思義，胸高直徑指的是人類站立時，胸高位置處，該處樹圍的直徑長，臺灣胸高直徑位置，指的是距離地面 1.3 公尺處，與歐洲各國相同。

• 樹高，很直觀，就是樹的高度。測量樹高的方式不少，有直接測量、三角測量法等，雖然觀念簡單，但實際上測量作業卻相當不容易，一棵樹動輒十幾公尺，知名的【撞到月亮的樹】台灣杉（Taiwania cryptomerioides），甚至可以高達 70 公尺。因此，測量樹高遠比測量胸徑要花更多時間和力氣^[2]。

• 立木材積形態常數，是考慮前述樹幹並非圓柱體的狀態，將計算值乘以此常數，使材積數值趨近於真實的情況。形數可藉由查閱「臺灣林產處分調查用立木材積表」（簡稱立木材積表）得知，若想要測量的樹種類形並沒有列在立木材積表上，則形數以 0.45 計算。

現在，假設我們要測量路邊一棵行道樹的材積，我們需要先測量它的胸徑、樹高。一棵胸徑 47 公分，樹高 11.01 公尺的行道樹^[3]，材積為：

(0.47)²×0.79×11.01×0.45≒0.8646(m³)

也就是說，這棵行道樹的材積量為 0.8646 立方公尺。^[4]

如何換算碳儲存量？

一棵活生生的樹木跟人一樣，含有許多水分，且並非通通由碳所構成，所以單位材積同樣要經過換算，才能知道這棵樹到底含有多少公斤的碳。材積換算成固碳量的算式如下：

固碳能力 = 材積×絕乾比重×碳含量比例

絕乾比重，指的是木材經過烘乾，水分完全蒸發後，剩下的重量比例，而碳量百分比代表絕乾狀態的木材中，所含有碳的比例。如果要從頭算起，需要花不少的時間，不過這裡提到的兩個數據，都有現成的文獻可以參考（表 1）^[5]。

因此，假設剛剛我們量的那棵行道樹為樟樹（Cinnamomum camphora），那麼，絕乾比重為 0.37，含碳量為 47％，那麼，這棵樹所含的碳重為：

0.8646×0.37×0.47 ≒ 0.150(t) = 150(kg)

也就是說，今天路邊一棵胸徑 47 公分，樹高 11 公尺左右的樟樹，它的固碳量僅有 150 公斤（而已）。

答案揭曉啦！

到這邊，你每年燒掉的樹木數量，已經呼之欲出了，1 公斤的碳，完全燃燒後約會產生 3.67 公斤的二氧化碳^[6]，讓我們繼續沿用那棵樟樹的數據，一棵樹可以儲存 150 公斤的碳量，則燃燒一棵樹，可以產生 550.5 公斤的二氧化碳。

一開始提到，台灣人每年平均排放 10.96 公噸的二氧化碳，因此：

10.96×1000÷550.5≒19.91（棵）

也就是說，你一年的碳排放量，大約等於燒掉 20 棵一個人無法合抱的大樟樹。當然，環保署的報告是將全台灣工業、製造業排放量都一起平均，對於小老百姓來說，可能有點不公平，不過不可否認，這樣的數字仍然很驚人。

一棵樹能長成大樹，需要花很多的時間，相當不容易，所以，還是不免俗的呼籲大家，減少垃圾排放，落實永續生活，並且，有機會就多種樹，對地球、環境來說，才是更友善的做法！

註解

1. 行政院環境保護署（2001）我國國家溫室氣體排放清冊報告。
2. 外業調查中，因為逐棵測量樹高過於花費時間和人力成本，所以會使用胸徑與樹高間的換算公式，讓測量人員只要量胸徑，就可以推斷出樹的高度，此函式即稱為樹高曲線式。樹高曲線式的函式不只一種，藉由量測樣區內樣木的胸徑及樹高資料，配適（fit）若干個樹高曲線式，再用其他樣區的資料，找出預測表現最好的樹高曲線式，接下來的調查，就可用胸徑量測值推估樹高。
3. 此數值參照台北市行道路燈資訊網，樹籍編碼 DA0070211149 之行道樹。https://geopkl.gov.taipei/
4. 算式中的胸徑單位為公尺（0.47 公尺 = 47 公分）
5. 林裕仁（1998）森林減碳能力之推算方法。《農政與農情》第 193 期。https://www.coa.gov.tw/ws.php?id=17871&print=Y
6. 1 莫耳的純碳重量為 12 克，1 莫耳的二氧化碳重量為 44 克，比例為 44÷12≒3.67

參考文獻：

1. 中華民國國家溫室氣體排放清冊報告
2. 中興大學森林系空間資訊研究室彙編講義－林木測計學 第五章 立木測計
3. 行政院農業委員會辦理國有林林產物處分作業要點
4. 森林減碳能力之推算方法
5. 攀上70公尺高「撞到月亮的樹」 澳洲團隊首度為台灣杉攝下「等身照」——環境資訊中心
6. 臺灣物種名錄

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