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交換禮物抽法其實不公平?數學家教你絕不失敗的玩法

Sharkie Lin_96
・2016/12/22 ・2611字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 434 ・四年級

一年一度的聖誕節又快要到了,大家最期待或是最感困擾的事情之一應該就是交換禮物吧!如果是和朋友交換的話,自然是邁向新年之前最期待的事;但如果是在職場上和不熟的同事交換,腦中小劇場演了好多究竟要如何拿捏分寸才好真是十分困擾。

交換禮物是件既期待又害怕傷害的活動!圖/By Kelvin Kay, en:user:kkmd - http://www.factoriaderegalos.comUploaded originally to English Wikipedia as en:Image:Gifts_xmas.jpg, 15:07, 18 June 2006 by en:User:Kkmd, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1478397
交換禮物是件既期待又害怕傷害的活動!圖/By Kelvin Kay, CC BY-SA 3.0, wikimedia commons

西方基督教的聖誕節傳統之一是秘密聖誕老人(Secret Santa),大家在匿名的情況下彼此不知道誰送誰什麼禮物,只知道自己要送哪一個人禮物,所以這活動叫做秘密聖誕老人;但在台灣的交換禮物派對,普遍來說在大庭廣眾之下送禮物、拆禮物、惡搞禮物才是活動的高潮,很少玩匿名的秘密聖誕老人。

今(2016)年 11 月英國數學家漢娜.弗萊(Hannah Fry)以及湯瑪士.伊凡斯(Thomas Oléron Evans)出了一本新書,叫做《聖誕老人的存在是不爭的事實》(The Indisputable Existence of Santa Claus)[1],裡頭就有一章專門介紹交換禮物的數學。無論匿名與否,交換禮物其實有很多種抽法,不同的抽法會影響誰是你/妳的送禮對象。

接下來我們就跟著英國數學家的腳步來看看交換禮物的數學吧!

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聖誕老人的存在是不爭的事實。圖/@ Amazon

第一種是最常見的方法,一個一個輪流抽,如果抽到自己的號碼再把紙條丟回去,算是一種基本常識,總不會有人希望抽到自己的禮物吧。可是如果最後一個人抽到自己的號碼呢?這時候沒有固定的解法,有可能隨便和一個人換禮物,但這種解法除了尷尬之外,同時失去交換禮物的意義;或者是大家全部重抽一次,不過這除了麻煩之外也難保下一次不會再發生同樣的事情,不論哪一種都有點棘手。

對數學家而言,交換禮物只不過是一種排列組合。來看看如果只有三個人交換禮物,抽禮物的順序是如何影響誰送誰的機率!

現在有 A、B、C 三個人玩交換禮物,我們將所有抽籤的可能性整理成以下的圖表,抽到誰就表示要送禮物給誰。當 A 第一個抽,有可能抽到 A、B、C 其中一個,將 A 抽到自己的狀態扣除,以 X 表示,因此這條路線的機率是 0,而這時 A 抽中 B 或 C 的機率各是 1/2。接下來輪到 B 準備抽籤,如果剛剛是 A 抽中了B,那 B 可以抽 A 或是 C 機率各是 1/2,不過這時如果 B 抽到 A 的話,那 C 就只能自己和自己交換禮物,因此也等於交換失敗(X);如果 B 抽到 C,那 C 就只剩下 A 可以抽,機率是 1。A 送 B、B 送 C、C 送 A的機率是 1/2 × 1/2 × 1 = 1/4。

那如果 A 一開始抽到 C 呢,換 B 抽的時候如果抽到自己就會丟回去重抽(X),所以只剩 A 可抽,機率為 1,換 C 抽的時候也只剩下 B 可抽。因此 A 送 C、B 送 A、C 送 B的機率是 1/2 × 1 × 1 = 1/2。

 

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從上圖發現兩條路線中送禮對象的機率竟然不同,C 送 B 的機率竟然是 C 送 A 機率的 2 倍。就算不是 A 先抽也一樣會發生同樣的問題。最常見的交換禮物抽法,實際上會影響送禮對象的機率,很顯然這種抽法並不公平,即使人數較多也是如此。

那如果換個方法大家一起抽呢?也就是一個一個抽卻不當場打開紙條,大家一起打開這樣就不會受到丟回去的紙條影響,可以把這樣的抽法視為一種排列組合。但如果是這種玩法的話,愈多人玩交換禮物,就會有愈高的機率有人抽到自己的禮物,一般來說大約是高達 63 %的機率有人會抽到自己的禮物[2],即使參與人數不同也大約是這個數字。應該沒人會有耐心這樣慢慢玩,只好捨棄第二種大家一起抽的方法。

抽一次就成功的交換禮物方法

從以上的兩種方法可以發現,玩交換禮物需要的是一種不會抽到自己名字的排列組合,在數學上稱為錯位排序(derangement)

英國數學家在書中提出了第三種方法能夠符合錯位排序,又有以下的優點:程序透明(大家自己動手抽不是用電腦)、公平(每個人送給其他人的機率相等)、有效率(一次搞定,絕不會再抽第二次)、秘密(包括主持人在內,沒人知道誰是誰的秘密聖誕老人,雖然這優點在台灣似乎不被認為是優點)。

方法像是下面的圖在紙的上方寫上自己的號碼 「你是 2 號」,下方則是寫上「送禮物給 2 號」,大家分別寫上屬於自己號碼如下:

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再來搜集所有的紙條,將它們翻到背面並將順序打亂,重新排列成一個直線。接著關鍵步驟來了,沿著中間的虛線剪開紙條。接著把紙張上半部(你是 O 號)向右移一個位置,最右邊的紙條則是移到最左邊,如此一來就完成了交換禮物的配對。紙條上面的號碼代表聖誕老人是幾號,下面的則是收禮物的人。最後大家在另外一張紙上填入自己的號碼和名字,如此一來就知道該把禮物送給誰了。

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第三種方法中不會有人抽到自己的號碼沒拿到禮物,而且只要抽一次就能完成,是一種簡單而有效的方法,唯一的小缺點是不會有兩個人互相送禮。英國數學家認為這未必是缺點反而是 Z > B 呢,看來這樣的認知也是文化上的差異。如果不想在聖誕節也感受到職場上表面河蟹的氣氛,可以考慮用第三種方法加上匿名。

話說第一種方法也不是完全沒用,可以用在想要送給心儀的對象卻又不敢直接送,人少少的交換禮物派對之下,不用默默祈禱也不一定要和主持人串通好,透過數學就能知道,如何讓你/妳的禮物送到對方手上的機率增加。

很數學的聖誕節

除了秘密聖誕老人之外,英國數學家還在書中介紹了許多關於聖誕節的數學,像是裝飾聖誕樹的數學、怎樣送禮效果才會好、控制烤雞溫度的方程式、分析與模仿英國女王的聖誕夜談話、聖誕老人在旅途中是胖了還是瘦了?不得不說英國數學家真的相當有創意,讓大家知道數學除了實用之外也很有趣。

而且兩位作者最近在推特上(@FryRsquared 和 @Mathistopheles)舉行聖誕節的「每日數學小活動」(The Indisputable Santa Mathematical Advent Calendar),從 12 月初開始到現在已經累積了許多數學謎題。第一天的活動是開放讀者投稿數學聖誕裝飾,最佳的五名可以獲得他們的新書。最後選出了六名,得獎作品在此網址。有興趣的讀者可以用#Christmaths 這個 hashtag 搜尋,會有更多有趣的貼文和圖片。

參考資料:

  1. Fry, H., Evans, T.O., The Indisputable Existence of Santa Claus, Doubleday, UK, 2016
  2. 黃俊瑋,交換禮物中的機率問題(The probability of exchanging gifts),2014

文章難易度
Sharkie Lin_96
24 篇文章 ・ 3 位粉絲
在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com


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每人要種多少棵樹,才能抵銷一年所排放的二氧化碳?大約 20 棵

ntucase_96
・2022/01/02 ・2822字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文轉載自 CASE 科學報你一年的碳排放量,要用幾棵樹來抵?單木材積及固碳量計算

氣候變遷是近年最受重視的議題之一,十九世紀以來,由於工業化的開展,人類製造的二氧化碳量年年攀升,造成地球氣候的劇烈改變。你知道你一年當中,上廁所、煮飯,上網搜尋資料,還有雙十一和黑色星期五的網購和外送,以及其他所有日常行為,共排放多少二氧化碳嗎?

根據行政院環保署的報告,2019 年台灣每人每年平均排放二氧化碳當量約為 10.96 公噸/人[1]。十公噸大約等於一台大卡車的重量,聽起來相當驚悚,不過,你有沒有想過,要種多少棵樹,才能抵銷你排放的二氧化碳業障呢?

圖/Pexels

計算一棵樹的材積量

將碳排放量換算成樹木材積,並不是一件太難的事情,但需要一些計算步驟。你可能會覺得,一棵樹的材積量有什麼難的?阿不就一根長長圓柱體,底面積乘上樹高就打完收工了。

如果抱著這樣的想法,那就大錯特錯了!因為樹幹不是圓柱體,而是類似圓錐的形狀,並且可以切分成轆轤體、圓柱體、拋物線體和圓錐體四個部分計算(圖 1),如果用圓柱體計算,會出現很大的誤差!

(圖 1)單木縱剖面圖。 圖/Case 科學報

為了盡可能計算出正確的材積,林業領域有一套特定的計算方式。根據行政院農業委員會辦理國有林林產物處分作業要點,材積式的公式如下:

立木材積=(胸高直徑)2×0.79×樹高×形數

上面的算式中,胸高直徑、樹高為測量值,0.79為固定數,而形數指的是「立木材積形態常數」,下面用更白話的方式說明專有名詞所代表的涵意。

  • 胸高直徑(DBH , diameter at breast height,後簡稱胸徑)是林木測量時,最重要的測量值,它不但與樹幹材積的關係相關,且測量容易、誤差也較少,因此是調查時相當重要的一項參數。顧名思義,胸高直徑指的是人類站立時,胸高位置處,該處樹圍的直徑長,臺灣胸高直徑位置,指的是距離地面 1.3 公尺處,與歐洲各國相同。
  • 樹高,很直觀,就是樹的高度。測量樹高的方式不少,有直接測量、三角測量法等,雖然觀念簡單,但實際上測量作業卻相當不容易,一棵樹動輒十幾公尺,知名的【撞到月亮的樹】台灣杉(Taiwania cryptomerioides),甚至可以高達 70 公尺。因此,測量樹高遠比測量胸徑要花更多時間和力氣[2]
  • 立木材積形態常數,是考慮前述樹幹並非圓柱體的狀態,將計算值乘以此常數,使材積數值趨近於真實的情況。形數可藉由查閱「臺灣林產處分調查用立木材積表」(簡稱立木材積表)得知,若想要測量的樹種類形並沒有列在立木材積表上,則形數以 0.45 計算。
台灣杉(Taiwania cryptomerioides)。圖/iNaturalist

現在,假設我們要測量路邊一棵行道樹的材積,我們需要先測量它的胸徑、樹高。一棵胸徑 47 公分,樹高 11.01 公尺的行道樹[3],材積為:

(0.47)2×0.79×11.01×0.45≒0.8646(m3)

也就是說,這棵行道樹的材積量為 0.8646 立方公尺。[4]

如何換算碳儲存量?

一棵活生生的樹木跟人一樣,含有許多水分,且並非通通由碳所構成,所以單位材積同樣要經過換算,才能知道這棵樹到底含有多少公斤的碳。材積換算成固碳量的算式如下:

固碳能力 = 材積×絕乾比重×碳含量比例

絕乾比重,指的是木材經過烘乾,水分完全蒸發後,剩下的重量比例,而碳量百分比代表絕乾狀態的木材中,所含有碳的比例。如果要從頭算起,需要花不少的時間,不過這裡提到的兩個數據,都有現成的文獻可以參考(表 1)[5]

(表 1)臺灣常見造林樹種絕乾比重、碳含量百分比及轉換係數。
學名依照TaiCOL網站紀載,註記 * 號者,代表與原文獻不同。 圖/Case 科學報

因此,假設剛剛我們量的那棵行道樹為樟樹(Cinnamomum camphora),那麼,絕乾比重為 0.37,含碳量為 47%,那麼,這棵樹所含的碳重為:

0.8646×0.37×0.47 ≒ 0.150(t) = 150(kg)

也就是說,今天路邊一棵胸徑 47 公分,樹高 11 公尺左右的樟樹,它的固碳量僅有 150 公斤(而已)。

答案揭曉啦!

到這邊,你每年燒掉的樹木數量,已經呼之欲出了,1 公斤的碳,完全燃燒後約會產生 3.67 公斤的二氧化碳[6],讓我們繼續沿用那棵樟樹的數據,一棵樹可以儲存 150 公斤的碳量,則燃燒一棵樹,可以產生 550.5 公斤的二氧化碳。

一開始提到,台灣人每年平均排放 10.96 公噸的二氧化碳,因此:

10.96×1000÷550.5≒19.91(棵)

也就是說,你一年的碳排放量,大約等於燒掉 20 棵一個人無法合抱的大樟樹。當然,環保署的報告是將全台灣工業、製造業排放量都一起平均,對於小老百姓來說,可能有點不公平,不過不可否認,這樣的數字仍然很驚人。

一棵樹能長成大樹,需要花很多的時間,相當不容易,所以,還是不免俗的呼籲大家,減少垃圾排放,落實永續生活,並且,有機會就多種樹,對地球、環境來說,才是更友善的做法!

註解

  1. 行政院環境保護署(2001)我國國家溫室氣體排放清冊報告
  2. 外業調查中,因為逐棵測量樹高過於花費時間和人力成本,所以會使用胸徑與樹高間的換算公式,讓測量人員只要量胸徑,就可以推斷出樹的高度,此函式即稱為樹高曲線式。樹高曲線式的函式不只一種,藉由量測樣區內樣木的胸徑及樹高資料,配適(fit)若干個樹高曲線式,再用其他樣區的資料,找出預測表現最好的樹高曲線式,接下來的調查,就可用胸徑量測值推估樹高。
  3. 此數值參照台北市行道路燈資訊網,樹籍編碼 DA0070211149 之行道樹。https://geopkl.gov.taipei/
  4. 算式中的胸徑單位為公尺(0.47 公尺 = 47 公分)
  5. 林裕仁(1998)森林減碳能力之推算方法。《農政與農情》第 193 期。https://www.coa.gov.tw/ws.php?id=17871&print=Y
  6. 1 莫耳的純碳重量為 12 克,1 莫耳的二氧化碳重量為 44 克,比例為 44÷12≒3.67

參考文獻:

  1. 中華民國國家溫室氣體排放清冊報告
  2. 中興大學森林系空間資訊研究室彙編講義-林木測計學 第五章 立木測計
  3. 行政院農業委員會辦理國有林林產物處分作業要點
  4. 森林減碳能力之推算方法
  5. 攀上70公尺高「撞到月亮的樹」 澳洲團隊首度為台灣杉攝下「等身照」——環境資訊中心
  6. 臺灣物種名錄

ntucase_96
84 篇文章 ・ 331 位粉絲
CASE的全名是 Center for the Advancement of Science Education,也就是台灣大學科學教育發展中心。創立於2008年10月,成立的宗旨是透過台大的自然科學學術資源,奠立全國基礎科學教育的優質文化與環境。