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交換禮物抽法其實不公平?數學家教你絕不失敗的玩法

Sharkie Lin_96
・2016/12/22 ・2611字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 434 ・四年級

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

一年一度的聖誕節又快要到了,大家最期待或是最感困擾的事情之一應該就是交換禮物吧!如果是和朋友交換的話,自然是邁向新年之前最期待的事;但如果是在職場上和不熟的同事交換,腦中小劇場演了好多究竟要如何拿捏分寸才好真是十分困擾。

交換禮物是件既期待又害怕傷害的活動!圖/By Kelvin Kay, en:user:kkmd - http://www.factoriaderegalos.comUploaded originally to English Wikipedia as en:Image:Gifts_xmas.jpg, 15:07, 18 June 2006 by en:User:Kkmd, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1478397
交換禮物是件既期待又害怕傷害的活動!圖/By Kelvin Kay, CC BY-SA 3.0, wikimedia commons

西方基督教的聖誕節傳統之一是秘密聖誕老人(Secret Santa),大家在匿名的情況下彼此不知道誰送誰什麼禮物,只知道自己要送哪一個人禮物,所以這活動叫做秘密聖誕老人;但在台灣的交換禮物派對,普遍來說在大庭廣眾之下送禮物、拆禮物、惡搞禮物才是活動的高潮,很少玩匿名的秘密聖誕老人。

今(2016)年 11 月英國數學家漢娜.弗萊(Hannah Fry)以及湯瑪士.伊凡斯(Thomas Oléron Evans)出了一本新書,叫做《聖誕老人的存在是不爭的事實》(The Indisputable Existence of Santa Claus)[1],裡頭就有一章專門介紹交換禮物的數學。無論匿名與否,交換禮物其實有很多種抽法,不同的抽法會影響誰是你/妳的送禮對象。

接下來我們就跟著英國數學家的腳步來看看交換禮物的數學吧!

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聖誕老人的存在是不爭的事實。圖/@ Amazon

第一種是最常見的方法,一個一個輪流抽,如果抽到自己的號碼再把紙條丟回去,算是一種基本常識,總不會有人希望抽到自己的禮物吧。可是如果最後一個人抽到自己的號碼呢?這時候沒有固定的解法,有可能隨便和一個人換禮物,但這種解法除了尷尬之外,同時失去交換禮物的意義;或者是大家全部重抽一次,不過這除了麻煩之外也難保下一次不會再發生同樣的事情,不論哪一種都有點棘手。

對數學家而言,交換禮物只不過是一種排列組合。來看看如果只有三個人交換禮物,抽禮物的順序是如何影響誰送誰的機率!

現在有 A、B、C 三個人玩交換禮物,我們將所有抽籤的可能性整理成以下的圖表,抽到誰就表示要送禮物給誰。當 A 第一個抽,有可能抽到 A、B、C 其中一個,將 A 抽到自己的狀態扣除,以 X 表示,因此這條路線的機率是 0,而這時 A 抽中 B 或 C 的機率各是 1/2。接下來輪到 B 準備抽籤,如果剛剛是 A 抽中了B,那 B 可以抽 A 或是 C 機率各是 1/2,不過這時如果 B 抽到 A 的話,那 C 就只能自己和自己交換禮物,因此也等於交換失敗(X);如果 B 抽到 C,那 C 就只剩下 A 可以抽,機率是 1。A 送 B、B 送 C、C 送 A的機率是 1/2 × 1/2 × 1 = 1/4。

那如果 A 一開始抽到 C 呢,換 B 抽的時候如果抽到自己就會丟回去重抽(X),所以只剩 A 可抽,機率為 1,換 C 抽的時候也只剩下 B 可抽。因此 A 送 C、B 送 A、C 送 B的機率是 1/2 × 1 × 1 = 1/2。

 

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從上圖發現兩條路線中送禮對象的機率竟然不同,C 送 B 的機率竟然是 C 送 A 機率的 2 倍。就算不是 A 先抽也一樣會發生同樣的問題。最常見的交換禮物抽法,實際上會影響送禮對象的機率,很顯然這種抽法並不公平,即使人數較多也是如此。

那如果換個方法大家一起抽呢?也就是一個一個抽卻不當場打開紙條,大家一起打開這樣就不會受到丟回去的紙條影響,可以把這樣的抽法視為一種排列組合。但如果是這種玩法的話,愈多人玩交換禮物,就會有愈高的機率有人抽到自己的禮物,一般來說大約是高達 63 %的機率有人會抽到自己的禮物[2],即使參與人數不同也大約是這個數字。應該沒人會有耐心這樣慢慢玩,只好捨棄第二種大家一起抽的方法。

抽一次就成功的交換禮物方法

從以上的兩種方法可以發現,玩交換禮物需要的是一種不會抽到自己名字的排列組合,在數學上稱為錯位排序(derangement)

英國數學家在書中提出了第三種方法能夠符合錯位排序,又有以下的優點:程序透明(大家自己動手抽不是用電腦)、公平(每個人送給其他人的機率相等)、有效率(一次搞定,絕不會再抽第二次)、秘密(包括主持人在內,沒人知道誰是誰的秘密聖誕老人,雖然這優點在台灣似乎不被認為是優點)。

方法像是下面的圖在紙的上方寫上自己的號碼 「你是 2 號」,下方則是寫上「送禮物給 2 號」,大家分別寫上屬於自己號碼如下:

%e8%9e%a2%e5%b9%95%e6%88%aa%e5%9c%96-2016-12-21-111

再來搜集所有的紙條,將它們翻到背面並將順序打亂,重新排列成一個直線。接著關鍵步驟來了,沿著中間的虛線剪開紙條。接著把紙張上半部(你是 O 號)向右移一個位置,最右邊的紙條則是移到最左邊,如此一來就完成了交換禮物的配對。紙條上面的號碼代表聖誕老人是幾號,下面的則是收禮物的人。最後大家在另外一張紙上填入自己的號碼和名字,如此一來就知道該把禮物送給誰了。

%e8%9e%a2%e5%b9%95%e6%88%aa%e5%9c%96-2016-12-21-112

第三種方法中不會有人抽到自己的號碼沒拿到禮物,而且只要抽一次就能完成,是一種簡單而有效的方法,唯一的小缺點是不會有兩個人互相送禮。英國數學家認為這未必是缺點反而是 Z > B 呢,看來這樣的認知也是文化上的差異。如果不想在聖誕節也感受到職場上表面河蟹的氣氛,可以考慮用第三種方法加上匿名。

話說第一種方法也不是完全沒用,可以用在想要送給心儀的對象卻又不敢直接送,人少少的交換禮物派對之下,不用默默祈禱也不一定要和主持人串通好,透過數學就能知道,如何讓你/妳的禮物送到對方手上的機率增加。

很數學的聖誕節

除了秘密聖誕老人之外,英國數學家還在書中介紹了許多關於聖誕節的數學,像是裝飾聖誕樹的數學、怎樣送禮效果才會好、控制烤雞溫度的方程式、分析與模仿英國女王的聖誕夜談話、聖誕老人在旅途中是胖了還是瘦了?不得不說英國數學家真的相當有創意,讓大家知道數學除了實用之外也很有趣。

而且兩位作者最近在推特上(@FryRsquared 和 @Mathistopheles)舉行聖誕節的「每日數學小活動」(The Indisputable Santa Mathematical Advent Calendar),從 12 月初開始到現在已經累積了許多數學謎題。第一天的活動是開放讀者投稿數學聖誕裝飾,最佳的五名可以獲得他們的新書。最後選出了六名,得獎作品在此網址。有興趣的讀者可以用#Christmaths 這個 hashtag 搜尋,會有更多有趣的貼文和圖片。

參考資料:

  1. Fry, H., Evans, T.O., The Indisputable Existence of Santa Claus, Doubleday, UK, 2016
  2. 黃俊瑋,交換禮物中的機率問題(The probability of exchanging gifts),2014
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Sharkie Lin_96
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在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

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用這劑補好新冠預防保護力!防疫新解方:長效型單株抗體適用於「免疫低下族群預防」及「高風險族群輕症治療」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2023/01/19 ・2874字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 台灣感染症醫學會 合作,泛科學企劃執行。

  • 審稿醫生/ 台灣感染症醫學會理事長 王復德

「好想飛出國~」這句話在長達近 3 年的「鎖國」後終於實現,然而隨著各國陸續解封、確診消息頻傳,讓民眾再度興起可能染疫的恐慌,特別是一群本身自體免疫力就比正常人差的病友。

全球約有 2% 的免疫功能低下病友,包括血癌、接受化放療、器官移植、接受免疫抑制劑治療、HIV 及先天性免疫不全的患者…等,由於自身免疫問題,即便施打新冠疫苗,所產生的抗體和保護力仍比一般人低。即使施打疫苗,這群病人一旦確診,因免疫力低難清除病毒,重症與死亡風險較高,加護病房 (ICU) 使用率是 1.5 倍,死亡率則是 2 倍。

進一步來看,部分免疫低下病患因服用免疫抑制劑,使得免疫功能與疫苗保護力下降,這些藥物包括高劑量類固醇、特定免疫抑制之生物製劑,或器官移植後預防免疫排斥的藥物。國外臨床研究顯示,部分病友打完疫苗後的抗體生成情況遠低於常人,以器官移植病患來說,僅有31%能產生抗體反應。

疫苗保護力較一般人低,靠「被動免疫」補充抗新冠保護力

為什麼免疫低下族群打疫苗無法產生足夠的抗體?主因為疫苗抗體產生的機轉,是仰賴身體正常免疫功能、自行激化主動產生抗體,這即為「主動免疫」,一般民眾接種新冠疫苗即屬於此。相比之下,免疫低下病患因自身免疫功能不足,難以經由疫苗主動激化免疫功能來保護自身,因此可採「被動免疫」方式,藉由外界輔助直接投以免疫低下病患抗體,給予保護力。

外力介入能達到「被動免疫」的有長效型單株抗體,可改善免疫低下病患因原有治療而無法接種疫苗,或接種疫苗後保護力較差的困境,有效降低確診後的重症風險,保護力可持續長達 6 個月。另須注意,單株抗體不可取代疫苗接種,完成單株抗體注射後仍需維持其他防疫措施。

長效型單株抗體緊急授權予免疫低下患者使用 有望降低感染與重症風險

2022年歐盟、英、法、澳等多國緊急使用授權用於 COVID-19 免疫低下族群暴露前預防,台灣也在去年 9 月通過緊急授權,免疫低下患者專用的單株抗體,在接種疫苗以外多一層保護,能降低感染、重症與死亡風險。

從臨床數據來看,長效型單株抗體對免疫功能嚴重不足的族群,接種後六個月內可降低 83% 感染風險,效力與安全性已通過臨床試驗證實,證據也顯示針對台灣主流病毒株 BA.5 及 BA.2.75 具保護力。

六大類人可公費施打 醫界呼籲民眾積極防禦

台灣提供對 COVID-19 疫苗接種反應不佳之免疫功能低下者以降低其染疫風險,根據 2022 年 11 月疾管署公布的最新領用方案,符合施打的條件包含:

一、成人或 ≥ 12 歲且體重 ≥ 40 公斤,且;
二、六個月內無感染 SARS-CoV-2,且;
三、一周內與 SARS-CoV-2 感染者無已知的接觸史,且;
四、且符合下列條件任一者:

(一)曾在一年內接受實體器官或血液幹細胞移植
(二)接受實體器官或血液幹細胞移植後任何時間有急性排斥現象
(三)曾在一年內接受 CAR-T 治療或 B 細胞清除治療 (B cell depletion therapy)
(四)具有效重大傷病卡之嚴重先天性免疫不全病患
(五)具有效重大傷病卡之血液腫瘤病患(淋巴肉瘤、何杰金氏、淋巴及組織其他惡性瘤、白血病)
(六)感染HIV且最近一次 CD4 < 200 cells/mm3 者 。

符合上述條件之病友,可主動諮詢醫師。多數病友施打後沒有特別的不適感,少數病友會有些微噁心或疲倦感,為即時處理發生率極低的過敏性休克或輸注反應,需於輸注時持續監測並於輸注後於醫療單位觀察至少 1 小時。

目前藥品存放醫療院所部分如下,完整名單請見公費COVID-19複合式單株抗體領用方案

  • 北部

台大醫院(含台大癌症醫院)、台北榮總、三軍總醫院、振興醫院、馬偕醫院、萬芳醫院、雙和醫院、和信治癌醫院、亞東醫院、台北慈濟醫院、耕莘醫院、陽明交通大學附設醫院、林口長庚醫院、新竹馬偕醫院

  • 中部

         大千醫院、中國醫藥大學附設醫院、台中榮總、彰化基督教醫療財團法人彰化基督教醫院

  • 南部/東部

台大雲林醫院、成功大學附設醫院、奇美醫院、高雄長庚醫院、高雄榮總、義大醫院、高雄醫學大學附設醫院、花蓮慈濟

除了預防 也可用於治療確診者

長效型單株抗體不但可以增加免疫低下者的保護力,還可以用來治療「具重症風險因子且不需用氧」的輕症病患。根據臨床數據顯示,只要在出現症狀後的 5 天內投藥,可有效降低近七成 (67%) 的住院或死亡風險;如果是3天內投藥,則可大幅減少到近九成 (88%) 的住院或死亡風險,所以把握黃金時間盡早治療是關鍵。

  • 新冠治療藥物比較表:
藥名Evusheld
長效型單株抗體
Molnupiravir
莫納皮拉韋
Paxlovid
倍拉維
Remdesivir
瑞德西韋
作用原理結合至病毒的棘蛋白受體結合區域,抑制病毒進入人體細胞干擾病毒的基因序列,導致複製錯亂突變蛋白酵素抑制劑,阻斷病毒繁殖抑制病毒複製所需之酵素的活性,從而抑制病毒增生
治療方式單次肌肉注射(施打後留觀1小時)口服5天口服5天靜脈注射3天
適用對象發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人(18歲以上)的輕症病患。發病7天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與孩童(年齡大於28天且體重3公斤以上)的輕症病患。
*Remdesivir用於重症之適用條件和使用天數有所不同
注意事項病毒變異株藥物交互作用孕婦哺乳禁用輸注反應

免疫低下病友需有更多重的防疫保護,除了戴口罩、保持社交距離、勤洗手、減少到公共場所等非藥物性防護措施外,按時接種COVID-19疫苗,仍是最具效益之傳染病預防介入措施。若有符合施打長效型單株抗體資格的病患,應主動諮詢醫師,經醫師評估用藥效益與施打必要性。

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你能想像棒球穿牆嗎?突破物理世界的常識:量子穿隧——《阿宅聯盟:量子危機》
未來親子學習平台
・2023/01/20 ・1226字 ・閱讀時間約 2 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

想像一個全壘打王,面對前方的來球,大棒一揮,球越過了全壘打牆,到了牆的另外一邊。

Home~~~Run!圖/GIPHY

但假如,那個全壘打牆變成了兩層樓高呢?也許,他更大力地擊球(給球更多的能量),那顆球還是能夠飛越過全壘打牆,到牆的另外一邊。但如果,那全壘打牆變成了三十層樓高呢?我想會認為,除非靠機器,否則再厲害的全壘打王,不管用了多少力氣,他應該都無法讓球飛過三十層樓那麼高。

上述的例子,正顯示了我們日常生活中的物理原則:只要物體(球)的能量不足以跨越障礙物(牆),那麼它永遠不可能到達障礙物的另一側——但是,在量子的世界,卻不是這樣。

粒子是怎麼跨越各種障礙的?

量子力學裡,一個粒子具備的能量即使不足以跨越障礙,它仍然有小機率會出現在障礙的另一邊;而且,若粒子的能量跟跨越障礙所需要的能量愈接近、或是說只少一點,那麼這個粒子出現在障礙另一邊的機率就愈大。

這樣神奇的現象,彷彿就像是粒子挖了隧道穿過障礙一般(儘管並沒有真的隧道),所以稱為「量子穿隧」效應。

不過,在丟球的例子裡,我們可以想像,若是牆愈高或愈厚,那麼球就愈難飛過牆壁。同樣地,在量子力學的情形下,雖然粒子有可能在能量不足的狀況下穿過障礙,但要是障礙無限高或無限厚的話,那麼粒子就還是過不去的

儘管在量子力學的情況下,障礙無限高或無限厚,粒子還是過不去的。圖/Envato Elements

事實上,量子穿隧效應跟我們先前提到的「物質具有波的特性」非常有關係。想像水池中間有一顆大石頭,池中的水波在遇到石頭這個障礙物時,會從旁邊繞道而過;但如果是一般物質,一旦遇到障礙物就直接被擋住了,沒辦法繞道而行。

就是因為在量子世界,物質也具有波的特性,我們才會看到粒子的穿隧效應。儘管量子效應感覺很奇特,但它在很多方面都有實際的影響。

例如,我們知道太陽核心是依賴核融合反應來產生能量;在過程中,會將兩個氫原子核,融合成更重的原子核。但因為氫原子核都帶正電,要抵抗正電荷間的排斥力,將它們融合在一起,其實非常困難。也幸虧有量子穿隧效應,太陽內部的氫原子核才能克服電荷排斥力的阻礙,順利融合在一起,並製造能量。

所以,在地球的我們,能夠享受到太陽的光和熱,說起來也要感謝量子穿隧效應呢!

——本文摘自《阿宅聯盟:量子危機》,2022 年 11 月,未來出版,未經同意請勿轉載

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「量子狀態」聽起來好難?其實就是機率與疊加——《阿宅聯盟:量子危機》
未來親子學習平台
・2023/01/19 ・1256字 ・閱讀時間約 2 分鐘

想像我們往水池內丟兩顆石頭,以石頭的落點為中心,會個別產生漣漪,在水面上擴散開來。

而當兩個漣漪互相接觸時,交會之處的水面其實同時反應了兩個漣漪的影響;可以說,兩個漣漪疊加在一起了。漣漪是靠水傳遞的一種波,稱為水波;而「疊加」的現象,就是屬於波的一種特性

當兩個漣漪相互接觸時,會疊加在一起。圖/Envato Elements

物質的波,也就是物質波,同樣存在疊加的特性。只不過,物質波跟水波不同的地方在於,它不需要依賴「水」這種實際的東西來傳遞,而是一種「機率波」。機率波的數學形式長得像波,而它代表的,是量子系統處於不同狀態的機率分布

量子系統的狀態:機率波

當我們在描述量子系統的狀態時,就會用到「機率波」的概念。舉例來說,在電玩遊戲中要是打怪成功,死掉的怪物會留下寶物。怪物可能有 50% 的機率掉落寶物 A,也有 50% 的機率掉落寶物 B,但我們不會在事前就知道怪物會留下哪種寶物。

所以,怪物可以說是同時擁有「掉落寶物 A」和「掉落寶物 B」這兩種狀況,直到我們成功打完怪,才能確定牠究竟帶哪一種寶物。類似地,機率波告訴我們的,就是量子系統「有多少機率處於狀態 A、又有多少機率處於狀態 B」的資訊;如同兩個水波在水面上疊加,A 和 B 這兩個狀態同時存在這個量子系統上。所以,我們把量子系統「同時處於不同狀態疊加」的狀況,稱為「疊加態」

直到我們打怪成功,才能確定究竟掉哪一種寶物。圖/GIPHY

另一方面,也跟打完怪物才知道掉什麼寶物類似,在我們實際觀測量子系統前,並無法知道會看到狀態 A 還是狀態 B,要觀測完才會知道。因為量子疊加的特殊性質,科學家想到,或許可以拿來做一些實際的運用。

例如,在現代的電腦運算中,「位元」是資訊的最小單位,可以用 0 或 1 這兩個數值來表示。那麼,我們也許能夠把「同時存在兩種不同狀態的量子系統」當作位元使用,讓它的兩種狀態分別代表 0 跟 1 來儲存資訊,而這就被稱為量子位元

由於物理性質的不同,量子位元在某些狀況下,可以運算得比傳統位元更有效率;利用量子位元建構的電腦,就稱為量子電腦。雖然目前已經有少數量子電腦問世,能以最多一百多個量子位元進行運算,但要能大規模運用在日常生活中,除了要再想辦法增加量子位元之外,還有許多難題要克服,所以,現在就先讓漫畫的想像來代替很可能成真的未來吧。

——本文摘自《阿宅聯盟:量子危機》,2022 年 11 月,未來出版,未經同意請勿轉載

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