交換禮物抽法其實不公平？數學家教你絕不失敗的玩法

本文由 建研所 委託，泛科學企劃執行。 

當你走進一棟建築，是否能感受到它對環境的友善？或許不是每個人都意識到，但現今建築不只提供我們居住和工作的空間，更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生，正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題，確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染，同時提升我們的生活品質。然而，要成為綠建築並非易事，每一棟建築都需要通過層層關卡，才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境，政府自 1999 年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立，旨在透過標準化的建築評估系統，鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時，為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法，自 2003 年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至 2024 年為止，已有 130 件優良綠建築、31 件優良智慧建築得獎作品，涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築，不僅提升建築物的整體性能，也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

說這麼多，你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程，要經歷哪些標準與挑戰？

綠建築標章	智慧建築標章	綠建材標章

第一招：依循 EEWH 標準，打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源，是綠建築（green building）的核心理念，但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單，而是涵蓋建築物的整個生命週期，也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內，都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準，讓我們先回到 1990 年，當時英國建築研究機構（BRE）首次發布有關「建築研究發展環境評估工具（Building Research Establishment Environmental Assessment Method，BREEAM®）」，是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後，於 1998 年推出「能源與環境設計領導認證」（Leadership in Energy and Environmental Design, LEED）這套評估系統，加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶，氣溫高，濕度也高，得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生，四個英文字母分別為 Ecology（生態）、Energy saving（節能）、Waste reduction（減廢）以及 Health（健康），分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級，設有九大評估指標。

我們就以「台江國家公園」為例，看它如何躍過一道道指標，成為「鑽石級」綠建築的國家公園！

位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園，也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時，還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築，其外觀採白色系列，從高空俯瞰，就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落；從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊，生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構，設計自然護岸，保留基地既有的雜木林和灌木草原，並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物，採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙，不僅強化了環境的保護力，也提供多樣的生物棲息環境，使這裡成為動植物共生的美好棲地。

第二招：想成綠建築，必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築，使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中，對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出，一路到今日，國際間對此一概念的共識主要包括再使用（reuse）、再循環（recycle）、廢棄物減量（reduce）和低污染（low emission materials）等特性，從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時，使用自然材料與低 VOC（Volatile Organic Compounds，揮發性有機化合物）建材，亦可避免對人體產生危害。

在綠建築標章後，內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度，以建材生命週期為主軸，提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說，為確保室內環境品質，建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件；為了防溫室效應的影響，須使用本土材料以節省資源和能源；使用高性能與再生建材，不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性，也強調材料本身的再利用性。

在台江國家公園內，綠建材的應用是其獲得 EEWH 認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念，更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設，並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料，為鳥類和小生物營造棲息空間，讓「蚵殼磚」不再只是建材，而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆，整體綠建材使用率為 52.8%。

在日常節能方面，台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如，引入樓板下的水面蒸散低溫外氣，屋頂下設置通風空氣層，高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出，廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地，創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企，如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流，不僅提升了隔熱效果，減少空調需求，讓建築如同「與海共舞」，在減廢與健康方面皆表現優異，展示出綠建築在地化的無限可能。

在綠建材的部分，另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程，其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材，比方提高高爐水泥（具高強度、耐久、緻密等特性，重點是發熱量低）的量，並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」，還用再生透水磚做人行道鋪面。

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區，首先，他們捨棄金屬建材，讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是，他們也將施工開挖的土方做回填，將有高地差的荒地恢復成平坦綠地，本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪，無痛轉綠。

等等，這樣看來建築夠不夠綠的命運，似乎在建材選擇跟設計環節就決定了，是這樣嗎？當然不是，建築是活的，需要持續管理–有智慧的管理。

第三招：智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率，除了從建築設計與建材的使用等角度介入，也須適度融入「智慧建築」（intelligent buildings）的概念，即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性，使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器，用於蒐集環境資料和使用行為，並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

為了推動建築與資通訊產業的整合，內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度，為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂，目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例，為了掌握建築物生命週期中的能耗，需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標，評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面，則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境，以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中，充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新 8 大指標先進技術，來達成兼顧環保和永續發展的理念，也是利用建築資訊模型（BIM）技術打造的指標性建築，受到國際矚目。

在興建階段，為了保留基地內 4 棵原有老樹，團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描，並將大小等比例匯入 BIM 模型中，讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離，確保施工過程不影響樹木健康。此外，在大樓啟用後，BIM 技術被運用於「電子維護管理系統」，透過 3D 建築資訊模型，提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護，包括保養計畫、異常修繕及耗材管理，讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入 BIM 技術的應用，從建造設計擴展至施工和日常管理，使建築生命周期的管理更加智慧化。以 FM 系統 ( Facility Management，簡稱 FM ) 為例，該系統可在雲端進行遠端控制，根據會議室的使用時段靈活調節空調風門，會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣，而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率，保持低頻運作，實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

總結

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現，從源頭減少碳足跡；綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小，並保障居民的健康；智慧建築標章運用科技應用，實現能源的高效管理和室內環境的精準調控，增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用，讓建築不僅是滿足基本居住需求，更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

理解期望值，有助於分析賭場裡的大部分賭局，以及美國中西部和英國的嘉年華會中，常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法：骰子擲好運（chuck-a-luck）。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力：你從 1 到 6 挑一個號碼，莊家一次擲三顆骰子，如果三個骰子都擲出你挑的號碼，莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼，莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼，莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現，那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子，你有三次機會贏，而且，有時候你還不只贏 1 美元，最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安．李維絲（Joan Rivers）的名言（按：她的名言是：「我們能聊一聊嗎？」），問一句：「我們能算一算嗎？」（如果你寧願不算，可以跳過這一節。）不管你選哪個號碼，贏的機率顯然都一樣。不過，為了讓計算更明確易懂，假設你永遠都選 4。骰子是獨立的，三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6＝1/216，你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

僅有兩個骰子出現 4 點的機率，會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布，我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4，有三種彼此互斥的情況：X44、4X4 或 44X，其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6＝5/216，第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加，可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216，你有這樣的機率會贏得 2 美元。

同樣的，要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率，也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6＝25/216，得到 X4X 和 XX4 的機率亦同，三者相加，得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率，因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率，我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1（或是100％）減去（1/216 +15/216 + 75/216），得出的答案是 125/216。所以，平均而言，你每玩 216 次骰子擲好運，就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來，就可以算出你贏的期望值（$3×1/216）+（$2×15/216）+（$1×75/216）+（–$1×125/216）＝$（–17/216）＝–$0.08。平均來說，你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局，大概就要輸掉 8 美分。

尋找愛情，有公式？

面對愛情，有人從感性出發，有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好，但加起來⋯⋯也不是很妙。不過，如果善用兩者，成功的機率可能還是大一些。回想舊愛，憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣，並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人，很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中，假設女主角——就叫她香桃吧（按：在希臘神話中，香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物，象徵愛與美）有理由相信，在她的「約會生涯」中，會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說，N 可能等於 2；對另一些人來說，N 也許是 200。香桃思考的問題是：到了什麼時候我就應該接受X先生，不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」？我們也假設她是一次遇見一個人，有能力判斷她遇到的人是否適合她，以及，一旦她拒絕了某個人之後，此人就永遠出局。

為了便於說明，假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士，她對這些人的排序如下：3—5—1—6—2—4。這是指，在她約過會的這 6 人中，她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名，對第二人的喜歡程度排第 5 名，最喜歡第三個人，以此類推。如果她見了第七個人，她對此人的喜歡程度超過其他人，但第三人仍穩居寶座，那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人，她就更新追求者的相對排序。她在想，到底要用什麼樣的規則擇偶，才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中，選出最好的。

要得出最好的策略，要善用條件機率（我們會在下一章介紹條件機率）和一點微積分，但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好，且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面，她大概需要拒絕前面的 37％，之後真命天子出現時（如果有的話），就接受。

舉例來說，假設香桃不是太有魅力，她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設，這 4 個人與她相見的順序，是 24 種可能性中的任何一種（24＝4×3×2×1）。

由於 N＝4，37％ 策略在這個例子中不夠清楚（無法對應到整數），而 37％ 介於 25％ 與 50％ 之間，因此有兩套對應的最佳策略如下：

（A）拒絕第一個對象（4×25％＝1），接受後來最佳的對象。

（B）拒絕前兩名追求者（4×50％＝2），接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略，香桃會在 24 種可能性中的 11 種，選到最好的追求者。採取 B 策略的話，會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列，如同前述，1 代表香桃最偏好的追求者，2 代表她的次佳選擇，以此類推。因此，3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇，再來遇見第二選擇，第三次遇到最佳選擇，最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B，代表在這些情況下，採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

1234；1243；1324；1342；1423；1432；2134（A）；2143（A）；2314（A, B）；2341（A, B）；2413（A, B）；2431（A, B）；3124（A）；3142（A）；3214（B）；3241（B）；3412（A, B）；3421；4123（A）；4132（A）；4213（B）；4231（B）；4312（B）；4321

如果香桃很有魅力，預期可以遇見 25 位追求者，那她的策略是要拒絕前 9 位追求者（25 的 37％ 約為 9），接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證，但是這個表會變得很龐雜，因此，最好的策略就是接受通用證明。（不用多說，如果要找伴的人是男士而非女士，同樣的分析也成立。）如果 N 的數值很大，那麼，香桃遵循這套 37％ 法則擇偶的成功率也約略是 37％。接下來的部分就比較難了：要如何和真命天子相伴相守。話說回來，這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本，其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》，2023 年 11 月，大牌出版，未經同意請勿轉載。

前言：本文為鑑識系列中，罕見提及統計學的故事。不過，繁複的計算過程全部省略，僅討論統計概念和辦案原理。請害怕數學的讀者放心。

荷蘭護理人員 Lucia de Berk，長年於海牙茱莉安娜兒童醫院（Juliana Kinderziekenhuis）的 1 個病房，與紅十字醫院（Rode Kruis Ziekenhuis）的 2 個病房工作。2001 年 12 月，她因謀殺罪嫌被捕。^[1]

超幾何分佈

警方起先偵辦 2 名住院病患的死因，發現是中毒身亡；後來連帶調查 1997 至 2001 年間，幾家醫院可能的謀殺案件，於是找上了她。^[2]在法庭上，司法心理學家 Henk Elffers 用機率的概念，證明 Lucia de Berk 有罪。簡單來說，就是計算嫌犯現身出事班次的機率。他採取的統計方法，叫做超幾何分佈（又稱「超幾何分配」；hypergeometric distribution）。^[1]

超幾何分佈適合用在從一個母數中，隨機抽取樣本，不再放回的情形。例如：袋子裝有 N 顆球，其中 L 顆為紅球。一把抓出 n 顆球，不特別挑選的話，紅球碰巧被抓到的機率為 X。^{[3, 4]}以此類推，在此案被調查的時間範圍內，病房總共有 N 個班次，其中 Lucia de Berk 值了 L 班，而有醫療事故的班次共 n 個。如果不刻意安排，則她正好出現在事故班次的機率為 X。^[1]（公式介紹。^[4]）

此處實際帶入數據後得到的答案，說明 Lucia de Berk 理論上應該只有 3 億 4 千 2 百萬分之一（X = 1 / 3.42 x 10⁸）的機率，會剛好在醫療事故發生的班次值班。因此，法庭認定她的頻繁出現（> 1 / 3.42 x 10⁸），絕非巧合。^{[1, 2, 5, 6]}2003 年，Lucia de Berk因 7 起謀殺和 3 次殺人未遂，^[2]被判終身監禁。^[5]

統計謬誤

當時有位醫師任職於 Lucia de Berk 待過的一家醫院。他的女性姻親 Metta de Noo-Derksen 醫師，以及 Metta 的兄弟 Ton Derksen 教授，都覺得事有蹊蹺。^[7]Metta 和 Ton 檢視死者的病歷紀錄，並指出部份醫療事故的類型和事發時間，與判決所用的數據對不起來。因為後者大半仰賴記憶，他們甚至發現有些遭指控的班次，Lucia de Berk 其實不在現場。然而，光是這些校正，還不足以推翻判決。^{[1, 7]}

所幸出生於英國的荷蘭萊頓大學（Universiteit Leiden）統計學榮譽教授 Richard Gill，也伸出援手。^[2]在協助此案的多年後，他的團隊發表了一篇論文，解釋不該使用超幾何分佈的理由，例如：^[1]

1. 護理人員不可互換：所有受訪醫師都說，護理人員可以相互替換；但是護理人員覺得，他們無法取代彼此。由於各別的個性與行事風格迥異，他們對病患的影響也不同。^[1]
2. 醫療事故通報機率：既然每個護理人員都有自己的個性，他們判定某事件為醫療事故，並且通報醫師的機率也不一樣。^[1]畢竟醫院的通報規定是一回事；符合標準與否，都由護理人員判斷。比方說，有個病患每次緊張，血壓就破表。那就讓他坐著冷靜會兒，再登記第二次測量的正常結果即可。不過，難免會有菜鳥護士量一次就嚇到通報，分明給病房添亂。
3. 班次與季節事故率：夜間與週末只剩護理人員和少數待命的醫師；季節性的特定病例增減；以及病患的生理時鐘等，都會影響出事的機率。^[1]
4. 護理排班並不平均：護理人員的班次安排，理想上會有帶狀的規律。可能連續幾天都是白班，接著是幾個小夜班之類的，^[1]比較方便調整作息。此外，護理人員的資歷和個性，通常也會被納入考量。^[1]以免某個班次全是資深人員；但另個班次緊急事故發生時，卻只剩不會臨機應變的新手。在這樣的排班原則下，如果單看某個時期的班表，每個人所輪到的各類班次總數，應該不會完全相同。
5. 出院政策曾經改變：茱莉安娜兒童醫院在案發期間，曾經針對確定救不活的小病患，是否該在家中或病房離世，做過政策上的調整。帳面上來說，算在病房裡的事故量絕對會有變化。^[1]

總之，太多因素會影響護理排班，或是干擾醫療事故的通報率，因此不能過度簡化成抽取紅球那樣的隨機概念。更嚴重的是，Henk Elffers 在計算過程中，分開處理 3 個病房的機率，然後再相乘。Richard Gill 的團隊強調，這樣會造成在多處上班的護理人員，比只為一處服務者，看起來有較高的嫌疑。^[1]

帕松分佈

因應這種情境，Richard Gill 教授建議採用帕松分佈（又譯「布阿松分配」；Poisson distribution），^[1]一種描述特定時間內，事件發生率的統計模型。^[8]有別於先前的計算方法，在這裡事故傾向（accident proneness），以及整體排班狀況等變因，都納入了考量。前者採計護理人員通報醫療事故的意願強度；後者則為輪班的總次數。這個模型通常是拿來推估非尖峰時段的來電、大城市的火災等，也適用於 Lucia de Berk 的案子。^[1]（深入瞭解公式和計算（p. 4 – 6）。^{[1, 8]}）

雖然此模型的細節複雜，統計學家得大費周章解釋給法官聽，但是考慮的條件比較趨近真實。倘若套用原始判決的數據，這個計算最後的答案是 0.0206161，意即醫療事故本來就有 49 分之 1 的機率，會與 Lucia de Berk 的班次重疊。如果帶入 Mettade Noo-Derksen 和 Ton Derksen 校正過的數據，機率更高達 9 分之 1。^{[1, 9]}換句話說，她單純是倒楣出現在那裡，就被當作連續殺人犯。^[6]

其他證據與翻案

大相逕庭的計算結果，顯示出選擇正確統計模型的重要性。然而，最不合理的，是以機率作為判決的主要根據。就謀殺案件來說，怎能不忠於病歷或驗屍報告？Richard Gill 教授接受美國犯罪學講師 Jon Robins 的訪問時，表示後來由醫師和毒物學家組成的獨立團隊，被允許瀏覽當初沒送上法庭的關鍵資料。^[2]他們發現原本被視為受害者的病患，根本都喪命於自然死因。^{[2, 6]}

在各方人士的協助下，Lucia de Berk 還是歷經兩次上訴失敗。^[6]她曾於 2008 年，被允許在家等候重審結果。^[1]但直到 2010 年 4 月，司法才還她清白。^[7]Ton Derksen 認為，在荷蘭像這樣誤判的案件，約佔總判決數的 4 至 11%，也就是每年 1,000 人左右。不過，2006 到 2016 年間被判刑的 2 萬 3 千人裡，只有 5 個上訴到最高法院，而且僅 Lucia de Berk 的案子得以平反。^[10]

參考資料

1. Gill RD, Groeneboom P, de Jong P. (2018) ‘Elementary Statistics on Trial—The Case of Lucia de Berk’. Chance 31, 4, pp. 9-15.
2. Robins J. (10 APR 2020) ‘Ben Geen: Statisticians back former nurse’s in last chance to clear name’. The Justice Gap.
3. 「超幾何分佈」國立高雄大學統計學研究所（Accessed on 03 FEB 2023）
4. 李柏堅（06 FEB 2015）「超幾何分配」CUSTCourses on YouTube.
5. Sims J. (24 FEB 2022) ‘Are We in the Midst of a Data Illiteracy Epidemic?’. Inside Hook.
6. Schneps L, Colmez C. (26 MAR 2013) ‘Justice Flunks Math’. The New York Times.
7. Alexander R. (28 APR 2013) ‘Amanda Knox and bad maths in court’. BBC News.
8. 李伯堅（04 FEB 2015）「布阿松分配」CUSTCourses on YouTube.
9. Wilson D. (13 DEC 2022) ‘Red flag to be wary of when hunting a killer nurse’. The Herald, Scotland.
10. ‘One in nine criminals may have been wrongly convicted – research’. (21 NOV 2016) Dutch News.

一年一度的聖誕節又快要到了，大家最期待或是最感困擾的事情之一應該就是交換禮物吧！如果是和朋友交換的話，自然是邁向新年之前最期待的事；但如果是在職場上和不熟的同事交換，腦中小劇場演了好多究竟要如何拿捏分寸才好真是十分困擾。

西方基督教的聖誕節傳統之一是秘密聖誕老人（Secret Santa），大家在匿名的情況下彼此不知道誰送誰什麼禮物，只知道自己要送哪一個人禮物，所以這活動叫做秘密聖誕老人；但在台灣的交換禮物派對，普遍來說在大庭廣眾之下送禮物、拆禮物、惡搞禮物才是活動的高潮，很少玩匿名的秘密聖誕老人。

今（2016）年 11 月英國數學家漢娜．弗萊（Hannah Fry）以及湯瑪士．伊凡斯（Thomas Oléron Evans）出了一本新書，叫做《聖誕老人的存在是不爭的事實》（The Indisputable Existence of Santa Claus）[1]，裡頭就有一章專門介紹交換禮物的數學。無論匿名與否，交換禮物其實有很多種抽法，不同的抽法會影響誰是你／妳的送禮對象。

接下來我們就跟著英國數學家的腳步來看看交換禮物的數學吧！

第一種是最常見的方法，一個一個輪流抽，如果抽到自己的號碼再把紙條丟回去，算是一種基本常識，總不會有人希望抽到自己的禮物吧。可是如果最後一個人抽到自己的號碼呢？這時候沒有固定的解法，有可能隨便和一個人換禮物，但這種解法除了尷尬之外，同時失去交換禮物的意義；或者是大家全部重抽一次，不過這除了麻煩之外也難保下一次不會再發生同樣的事情，不論哪一種都有點棘手。

對數學家而言，交換禮物只不過是一種排列組合。來看看如果只有三個人交換禮物，抽禮物的順序是如何影響誰送誰的機率！

現在有 A、B、C 三個人玩交換禮物，我們將所有抽籤的可能性整理成以下的圖表，抽到誰就表示要送禮物給誰。當 A 第一個抽，有可能抽到 A、B、C 其中一個，將 A 抽到自己的狀態扣除，以 X 表示，因此這條路線的機率是 0，而這時 A 抽中 B 或 C 的機率各是 1/2。接下來輪到 B 準備抽籤，如果剛剛是 A 抽中了B，那 B 可以抽 A 或是 C 機率各是 1/2，不過這時如果 B 抽到 A 的話，那 C 就只能自己和自己交換禮物，因此也等於交換失敗（X）；如果 B 抽到 C，那 C 就只剩下 A 可以抽，機率是 1。A 送 B、B 送 C、C 送 A的機率是 1/2 × 1/2 × 1 = 1/4。

那如果 A 一開始抽到 C 呢，換 B 抽的時候如果抽到自己就會丟回去重抽（X），所以只剩 A 可抽，機率為 1，換 C 抽的時候也只剩下 B 可抽。因此 A 送 C、B 送 A、C 送 B的機率是 1/2 × 1 × 1 = 1/2。

從上圖發現兩條路線中送禮對象的機率竟然不同，C 送 B 的機率竟然是 C 送 A 機率的 2 倍。就算不是 A 先抽也一樣會發生同樣的問題。最常見的交換禮物抽法，實際上會影響送禮對象的機率，很顯然這種抽法並不公平，即使人數較多也是如此。

那如果換個方法大家一起抽呢？也就是一個一個抽卻不當場打開紙條，大家一起打開這樣就不會受到丟回去的紙條影響，可以把這樣的抽法視為一種排列組合。但如果是這種玩法的話，愈多人玩交換禮物，就會有愈高的機率有人抽到自己的禮物，一般來說大約是高達 63 %的機率有人會抽到自己的禮物[2]，即使參與人數不同也大約是這個數字。應該沒人會有耐心這樣慢慢玩，只好捨棄第二種大家一起抽的方法。

抽一次就成功的交換禮物方法

從以上的兩種方法可以發現，玩交換禮物需要的是一種不會抽到自己名字的排列組合，在數學上稱為錯位排序（derangement）。

英國數學家在書中提出了第三種方法能夠符合錯位排序，又有以下的優點：程序透明（大家自己動手抽不是用電腦）、公平（每個人送給其他人的機率相等）、有效率（一次搞定，絕不會再抽第二次）、秘密（包括主持人在內，沒人知道誰是誰的秘密聖誕老人，雖然這優點在台灣似乎不被認為是優點）。

方法像是下面的圖在紙的上方寫上自己的號碼 「你是 2 號」，下方則是寫上「送禮物給 2 號」，大家分別寫上屬於自己號碼如下：

再來搜集所有的紙條，將它們翻到背面並將順序打亂，重新排列成一個直線。接著關鍵步驟來了，沿著中間的虛線剪開紙條。接著把紙張上半部（你是 O 號）向右移一個位置，最右邊的紙條則是移到最左邊，如此一來就完成了交換禮物的配對。紙條上面的號碼代表聖誕老人是幾號，下面的則是收禮物的人。最後大家在另外一張紙上填入自己的號碼和名字，如此一來就知道該把禮物送給誰了。

第三種方法中不會有人抽到自己的號碼沒拿到禮物，而且只要抽一次就能完成，是一種簡單而有效的方法，唯一的小缺點是不會有兩個人互相送禮。英國數學家認為這未必是缺點反而是 Z > B 呢，看來這樣的認知也是文化上的差異。如果不想在聖誕節也感受到職場上表面河蟹的氣氛，可以考慮用第三種方法加上匿名。

話說第一種方法也不是完全沒用，可以用在想要送給心儀的對象卻又不敢直接送，人少少的交換禮物派對之下，不用默默祈禱也不一定要和主持人串通好，透過數學就能知道，如何讓你／妳的禮物送到對方手上的機率增加。

很數學的聖誕節

除了秘密聖誕老人之外，英國數學家還在書中介紹了許多關於聖誕節的數學，像是裝飾聖誕樹的數學、怎樣送禮效果才會好、控制烤雞溫度的方程式、分析與模仿英國女王的聖誕夜談話、聖誕老人在旅途中是胖了還是瘦了？不得不說英國數學家真的相當有創意，讓大家知道數學除了實用之外也很有趣。

而且兩位作者最近在推特上（@FryRsquared 和 @Mathistopheles）舉行聖誕節的「每日數學小活動」（The Indisputable Santa Mathematical Advent Calendar），從 12 月初開始到現在已經累積了許多數學謎題。第一天的活動是開放讀者投稿數學聖誕裝飾，最佳的五名可以獲得他們的新書。最後選出了六名，得獎作品在此網址。有興趣的讀者可以用#Christmaths 這個 hashtag 搜尋，會有更多有趣的貼文和圖片。

參考資料：

1. Fry, H., Evans, T.O., The Indisputable Existence of Santa Claus, Doubleday, UK, 2016
2. 黃俊瑋，交換禮物中的機率問題（The probability of exchanging gifts），2014