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整數數列A274119的故事

Bridan
・2016/06/19 ・2527字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 493 ・六年級

2016 端午好運接「粽」而來,這段時間我與網友們聯合申請幾個數列成功,在此除了以較淺顯易懂的方式介紹 OEIS A274119 數列的故事,分享我們的喜樂之外,希望藉由這個故事,讓有志於數學研究的朋友參考,看能不能有更多有趣的數學新發現。

一切的故事從一題 2003 倍數開始,它是我小朋友學校所出的資優數學考題,題目是:

請問 (1 x 3 x 5 x ….. x 2001) + (2 x 4 x 6 x ….. x 2002) 是否為 2003 的倍數?

平時小朋友會分享學校有趣的題目,考驗看我會不會解,天啊,這題數目之大,一般計算機是算不出來的,還好我會用 Python 寫程式,可以驗算答案可以整除,但是個人並非數學系畢業,同時把這題目放在研發養成所部落格上看有沒有精簡有效解法。

那時沒有想到 modular arithmetic 可以輕易證明答案是整除的,這方法是網友 z423x5c6 所提供。

甚麼是 modular arithmetic?簡單說除法餘數可以加減乘除,看看幾個例子就懂,

5 / 11 = 0 … 5

2 / 11 = 0 … 2

(5 + 2) / 11 = 0 … 7

(5 x 2) / 11 = 0 … 10

(5 + 11) / 11 = 1 … 5

(5 – 11) / 11 = 0 … -6

A / B = C … D 在數學上除法餘數會用右式表示,A ≡ D mod B

只要證明(1 x 3 x 5 x ….. x 2001) + (2 x 4 x 6 x ….. x 2002) ≡ 0 mod 2003,就可解出來,

(1 x 3 x 5 x ….. x 2001) + (2 x 4 x 6 x ….. x 2002)

≡[1 x 3 x 5 x ….. x 2001 + (2-2003) x (4-2003) x (6-2003) x ….. x (2002-2003)] mod 2003

≡[1 x 3 x 5 x ….. x 2001 + (-2001) x (-1999) x (-1997) x ….. x (-1)] mod 2003

≡[1 x 3 x 5 x ….. x 2001 – 2001 x 1999 x 1997 x ….. x 1] mod 2003

≡ 0 mod 2003     整除

在求解題目時,與網友赤子西瓜同時發現如下規則,

(1 + 2) / 3 = 1

(1 x 3 x 5 + 2 x 4 x 6) / 7 = 9

(1 x 3 x 5 x 7 x 9 + 2 x 4 x 6 x 8 x 10) / 11 = 435

以及香港網友 flyingdusts 的提醒,1, 9, 435, … 在 OEIS 是一個全新數列,還沒人申請,因此大家聯名登記了這個數列 A273889

我們四人都不是職業數學家,網友 flyingdusts 是香港一所小學的中文老師,沒錯就是中文老師不是數學老師,但對業餘數學非常熱愛;網友 z423x5c6 是一位維基百科的貢獻者,正準備就讀香港一所大學;網友赤子西瓜,雖然是一位國中一年級的學生,由於他的勤學,整體文化程度早已超過同齡的學子;而個人只是一位資深電子產品開發者,從我們的例子,可以了解數學的研究可以跨界合作,它也不是數學家專屬的工作,其實數學蠻貼近日常生活,只是大家沒特別留意而已。

OEIS (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences整數數列線上大全)它是數學家尼爾·斯洛恩Neil James Alexander Sloane)在 1960 年代中開始搜集整數數列,於 1996 年設置網站供大眾查閱,然後每年有上萬件各類研究者提供新數列登錄,從 A273889 就知道這是第 273889 號數列。

我們怎麼會知道這個全球性的數學資料庫?再把時間往前推移三年,在 2013 年暑假,我的小朋友當時考驗我一題總和 22,這題目的解法正是最近一部電影「天才無限家」主角拉馬努金所研究領域之一 ─ 整數分拆問題,為了求解它而開始研究 OEIS 數列。

計算數列的目的,個人原先以為只是為了科學研究,但研讀一些 OEIS 數列後,才發現有人用它記錄音樂旋律甚至數位圖檔!?其實 OEIS 資料庫登記的數列,以排列組合的數量佔最大宗,並且這個資料庫,現在約以每月上千筆資料的速度在增長。三年前查了一下,全台灣約十二人登記會員,有數條數列被核可,上千條資料補充,對數列有興趣的朋友可以加入研究行列,這甚至小學生都可以參加 (不過要會英文及寫程式),只要一張紙一枝筆以及一顆沉靜的心,應該可以尋找到自己的數列,就像天文學家在浩瀚的星空中尋找未名的星星一樣。

不過請注意,OEIS 是一個數列資料庫,許多科學論文與其連結,因此它要求刊登的內容必須正確無誤,並且具有實質意義的數列,而非硬湊出來的,除了內容說明以英文撰寫外,還須附上程式,如果知道公式也附上,建議數列項目 100 項以上,可以與他人聯名發表,並以真名發表,否則應該不會正式刊登。

在登錄 A273889 數列後,由於 z423x5c6 遲未申請 OEIS 帳號,無法將他同列數列作者群中,等他申請好了要加名,多數人持反對態度,並不認同他的數學證明貢獻就可以列名,因此鼓勵他另外申請一個他發現的三重階乘的 A274117 數列,

(1 x 4 x 7 + 2 x 5 x 8) / 9 = 12

(1 x 4 x 7 x 10 x 13 + 2 x 5 x 8 x 11 x 14) / 15 = 1064

同時,網友 z423x5c6 也發現 IBM 的研究員 Chai Wah Wu受到 A273889 證明的啟發又找出數列 A273983,表示這系列數列的新發現受到專家肯定,他發現的數列是,

(2 x 4 – 1 x 3) / 5 = 1

(2 x 4 x 6 x 8 – 1 x 3 x 5 x 7) / 9 = 31

(2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 – 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x 11) / 13 = 2745

受到這些數列研究的啟示,想找一個可以整合這些數列的公式,想出來之後,又再想有沒有通式可以整除,結果還真被我想到,

 

因此用它申請了 A274119,第一個以 Bridan formula B(n,k,a,b)公式申請的數列,

(2 x 2 x 2 x 2 x 2 + 1 x 1 x 1 x 1 x 1) / 3 = 11

(2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 1 x 2 x 3 x 4 x 5) / 7 = 120

(2 x 4 x 6 x 8 x 10 + 1 x 3 x 5 x 7 x 9) / 11 = 435

以及第二個 B(2n+1,1,2,1) 數列 A274136

(2 x 3 – 1 x 2) / 4 = 1

(2 x 3 x 4 x 5 – 1 x 2 x 3 x 4) / 6 = 16

(2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 – 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6) / 8 = 540

最後補充一些花絮,申請 A273889 數列時,網友 z423x5c6 未能列名,個人覺得非常遺憾,如果沒有他的幫助是不可能找到這麼多數列,因此在 OEIS 討論版以事實陳述並強烈推舉 z423x5c6 的貢獻,終於獲得 Sloane 首肯而名列作者群中,從這裡學到的經驗是正面的貢獻可以極力爭取應有的榮耀。還有申請數列時,了解台灣部落格文,美國竟然沒辦法直接閱讀,竟然要七十多歲的 Sloane 翻牆過來,光想像這畫面就又為這篇故事橫添一筆趣味!

圖/奧瑪的抉擇:翻牆藝術

目前找出這些數學式的感想為,以前大家都是在尋找一維的數列變化,但以後可能會出現很多這類二維數列(數列之間的關係),這算是這系列數列的創舉。

暑假將至,有興趣的朋友可以嘗試用 B(n,k,a,b) 尋找質數數列(2,3,5,7,11,13,…),到目前為止,還沒有人可以完整找到質數數列,如果你找得到,數學史絕對會記錄你的大名,因為目前是以數學質數保護密碼系統不易被破解,以前數學家採用多項式尋找,而現在多了一樣工具,或許可以挖到寶藏,從別人的研究再發現,科技的發展就是這樣慢慢進步的。


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Bridan
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資深的電子產品研發人員,興趣廣泛,喜愛閱讀以及研究新奇事物。 為研發養成所部落格版主 https://4rdp.blogspot.tw/


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就是想知道十萬個植物的為什麼!解開植物生長之謎的駭客兼翻譯——蔡宜芳專訪

鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/04/06 ・3848字 ・閱讀時間約 8 分鐘

本文由 台灣萊雅L’Oréal Taiwan 為慶祝「台灣傑出女科學家獎」15周年而規劃,泛科學企劃執行。

2018 年「台灣傑出女科學家獎」傑出獎第十一屆傑出獎得主

  • 中研院分子生物研究所特聘研究員蔡宜芳,畢業自台灣大學植物系,在美國卡內基美隆大學(Carnegie Mellon University, CMU)取得博士,後於加州大學聖地牙哥分校(University of California, San Diego, UCSD)進行博士後研究,研究專長為植物分子生物學。主要從事細胞膜蛋白的功能研究,在硝酸鹽轉運蛋白研究領域有卓越貢獻。2021 年蔡宜芳特聘研究員榮獲美國國家科學院(National Academy of Sciences, NAS)外籍院士(international members)。

如果妳撿到蔡宜芳掉的手機,可能很難立即知道失主是誰,甚至有點摸不著頭緒:因為她手機裡超過 80% 的照片,都是植物。為何會選擇植物作為研究領域?身為中研院分子生物研究所特聘研究員,在植物分子生物學領域貢獻卓著的她卻說,這個決定其實「不太科學」,因為起心動念是自己「真的很喜歡植物」。

因為喜歡所以好奇,因為好奇而想要知道更多:許多 love story 都是這樣開始的,而研究領域的開展又何嘗不是一場超浪漫故事呢?也因為一般人都不夠認識植物,聽不懂植物的細語呢喃,更需要蔡宜芳這般熱愛植物的科學家,擔任植物駭客兼翻譯,讓不辨菽麥者也能偷聽花開的聲音。

故事,從一株異變的阿拉伯芥開始說起。

植物對於氮肥的攝取機制與調控方法正是蔡宜芳的研究主題。圖/劉志恒攝影

分子生物學突破:發現植物吸收硝酸鹽的關鍵蛋白 CHL1

上世紀 50 年代起的「綠色革命」,大幅提升了糧食生產量,餵飽了激增的地球人口,「氮肥」在其中功不可沒。它對植物開花結果至關重要,然而植物透過什麼機制攝取氮肥?如何調控才能更有效地吸收?蔡宜芳研究的正是其中的分子機制。

氮,是生物存活的重要元素;從推動光合作用的葉綠素、各種代謝反應的酵素,到與遺傳相關的核酸中,都有氮的存在。但對植物來說,要取得氮元素卻出乎意料地困難;大氣的組成中近五分之四為氮氣,但是除了藉由少數有固氮能力的微生物以外,植物只能使用在土壤中非常少量的氮源,吸收的型態有「氨鹽」與「硝酸鹽」,其中又以硝酸鹽為主。

但是,硝酸鹽是帶電離子,無法自行通過脂質構成的細胞膜,那到底植物如何利用硝酸鹽呢?為了解開這個長年來的謎題,蔡宜芳將目光投向一棵無法正常吸收硝酸鹽的阿拉伯芥突變株,並利用當時最新發展出來的分子生物技術,試圖找到出關鍵基因。蔡宜芳表示,這個無法正常吸收硝酸鹽的突變株,在她約 10 歲時就被荷蘭研究者發現,這麼多年來在傳統技術底下被研究得相當透徹;卻直到她開始進行博士後研究,伴隨植物分子生物相關技術發展,才有方法找到關鍵的轉運蛋白。

這樣的研究自然充滿了挑戰,因為新技術還不穩固,就連實驗室老闆都曾勸她放棄。不願投降的她,決定一邊持續研究氮代謝,一邊到其他研究室學細胞膜研究的新技術,1994 年,蔡宜芳從美國回到台灣,持續研究進一步發現, 位在植物細胞膜上的 CHL1 硝酸鹽轉運蛋白,除了作為硝酸鹽的「搬運工」,還有其他異想不到的功能。在你我的印象當中,植物是被動的吸收養分:但其實當土壤中的的硝酸鹽變化時,植物會主動改變硝酸鹽的運作模式,這就是蔡宜芳團隊在 2003 年的重大發現。運作模式的改變正來自於 CHL1 蛋白的磷酸化轉換,因此 CHL1 蛋白也具備作為「傳令兵」的功能。透過 CHL1,植物便能感應周圍的硝酸鹽濃度,幫助植物調控基因表現,以便能更有效率地利用硝酸鹽。

掌握硝酸鹽吸收的調控,在農業領域十分有發展潛力,蔡宜芳的研究進一步轉向,對接實際應用,期盼為農業的永續未來提供新解方。除了 CHL1硝酸鹽轉運蛋白的機制外,她也針對阿拉伯芥如何吸收與輸送硝酸鹽到不同組織的分子機制展開探索。近期更研究探討是否能以育種或基因調控的方式,增進植物吸收硝酸鹽的效率。由於硝酸鹽非常容易在環境中流失,因此多數的氮肥施放到田間後,植物也往往吸收不了;如果可以改善植物的吸收效率,就能減少施肥的浪費,連帶減少製造氮肥耗用的能源,也讓農作物長得更好。

好消息是,透過基因調控,蔡宜芳團隊已經在阿拉伯芥、菸草及水稻上實驗成功,並取得相關專利,期待未來將授權給生物科技公司進行下一步。

培養科學研究必備品:好奇心、科學思辯與毅力

蔡宜芳從事研究的初衷是因為對植物的喜愛與好奇心,對她來說和植物有關的十萬個為什麼,猶如始終永遠拼不完的大型拼圖,從小時候就在蔡宜芳的心中佔據了重要位子,於是她「追根究柢」(如字面上意義),想靠自己解開植物現象背後的秘密。

人們對自己不了解又無法回嘴的植物充滿了誤解,往往覺得植物跟動物一點也不同,然而在蔡宜芳看來絕非如此,她表示,已經有研究發現,當我們這些動物咬下蔬菜的瞬間,植物裡頭負責傳導的的鈣離子就會產生變化。「大家都覺得植物不會動不會叫,但其實植物是有感知的。」蔡宜芳表示,植物其實都知道,只是用我們不懂的方式在表達,要靠研究才能一句一句地破解植物的密語。

圖/劉志恒攝影

當然研究也不能自己埋頭苦幹,交流非常重要。蔡宜芳擔任植物學期刊 《Plant Physiology》 編輯多年,但回憶起剛建立獨立實驗室的階段,面對那麼多來自審稿人的刁鑽問題,當時的自己也難免生氣。一旦轉換身份成為審稿人,被審的經驗也讓她更明白審查論文時該注意的重點,一來一往的思辨與答辯,反而讓她覺得很好玩。

「我自己有個突破,是因為被質疑的時候很生氣,可是不能光氣,也要想辦法解決。就在生氣的時候,想出來的方法,最後變成我們實驗室很新的工具。」而她也認為自己在替《Nature》等重要期刊審稿時,認真地給出言之有物的評論,幫她累積了領域內的信譽,才讓期刊編輯的位置找到了她。

蔡宜芳曾擔任植物學期刊《Plant Physiology》編輯。圖/《Plant Physiology》網頁截圖

像投稿審稿這般來回思辨的訓練,對科學家的養成非常重要,然而蔡宜芳觀察,科學思辨在台灣教育裡比較缺乏。她舉例,在美國課堂上,老師會要學生先讀一篇論文,接下來整堂課則要學生批評論文有什麼問題。「我們在台灣被訓練的人,都會把 paper 當作傳世經書在讀,讀懂它就覺得很開心了——要去批評它,我們真的沒有習慣。」蔡宜芳坦言那過程對她來說曾經非常痛苦,但會痛就代表該變。

她就此改變了思路:面對知識,蔡宜芳要求自己不僅要讀懂,還要有餘力批評它,說出對、錯在哪裡。蔡宜芳認為,科學就是得永遠抱持著質疑的態度,在不疑處有疑,才能找到真正的答案。「在我自己的實驗室裡面,我也一直在逼學生要去思考」。

蔡宜芳在實驗室中,會不斷要求學生思考、批判。圖/劉志恒攝影

而除了好奇心及思辨能力之外,蔡宜芳認為「毅力」也是科學家在科學界持續前進的重要特質。經驗告訴她,在科學研究中遇見失敗比遇見成功的次數多太多了,革命十次稀鬆平常,如何二十次甚至三十次之後還能繼續往前走?那絕對需要強大的毅力來抗壓才行。

說到壓力,身為科學界的女性,蔡宜芳認為,自己的成長環境中,性別造成的影響並不大,以她所在的中研院分生所為例,研究人員性別比例很平均。但若深入細究,「無意識偏見」(unconscious bias)仍難以避免。她以自己帶過的學生為例,生科領域在大學時期男女比例大約是各半,但隨著碩士、博士一路往上,男性的比例逐漸多於女性。因為許多女學生在面臨職涯選擇的時候,往往會被迫以家庭或是男性伴侶的事業為優先,這種狀況回過頭來又讓部分老師覺得「教育女生有時會是浪費」,成為惡性循環。

榮獲過許多科學成就獎項的她,時常是唯一獲獎的女性,而就在接受採訪不久前,她又獲頒一個獎項,直到頒獎當天的照片寄回到所上,「一片黑西裝裡面,就我穿黃色!」她笑道。所上第五屆台灣女科學家傑出獎得主鍾邦柱老師看到照片時,也對她苦笑說:「哎,革命尚未成功,同志仍需努力。」

「先不要去想會有這個東西,做該做的事情。真正不平的時候,不要安靜不講。」儘管環境仍待改變,蔡宜芳建議女科學人自己先跨出一步,就如同她自己一路走來的態度。

一株莫名異變的阿拉伯芥,遇上一位不放棄的科學家兼植物迷,造就了改變農業、甚至是整體生態未來的契機。如果妳的手機也跟蔡宜芳一樣,裝的幾乎全是自己感興趣、想研究的東西的照片,請別質疑自己是不是怪怪的,或許妳也將靠著研究,改變世界,這是我能想到最浪漫的事了。

台灣傑出女科學家獎邁入第 15 年,台灣萊雅鼓勵女性追求科學夢想,讓科學領域能兩性均衡參與和貢獻。想成為科學家嗎?妳絕對可以!傑出學姊們在這裡跟妳說:YES!:https://towis.loreal.com.tw/Video.php

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