《裙拖六幅湘江水──裙子的奧妙》——2019數感盃 / 國中組專題報導類佳作

本文由 高柏科技 合作，泛科學撰文

林唯耕剛回台灣任教時，曾在清華大學的實驗室裡用一立方公分的「氨」做實驗。沒想到氨氣意外洩漏，那股刺鼻的氣味瞬間瀰漫整棟大樓，引來眾多師生抗議。

「從此以後，我再也不敢在實驗室裡用氨了。」他在《思想實驗室》的訪談中，帶著笑意回憶這段往事。

這段插曲聽來像是一則工程師的寓言：在理論模型中，氨是太空熱控系統的理想介質；但在現實的辦公大樓裡，它首先是逼人逃竄的臭味。公式本身沒有錯，但現實世界永遠比公式更複雜——它包含了人、成本、風險，以及必須為後果負責的工程師。

高柏科技技術專家、清華大學榮譽退休教授林唯耕 ，曾任職於美國 OAO 工程部熱流組，深耕電子構裝散熱與熱管技術多年。隨著 AI 浪潮席捲全球，他鑽研一輩子的老問題再次被推向科技產業的核心：當晶片運算速度無止境攀升，那股伴隨而生的熱，究竟該往哪裡去？

熱不會讀新品發表會

科技巨頭在發表會上熱衷於談論大型語言模型、GPU 規格與驚人的算力。這些詞彙在投影片上光鮮亮麗，彷彿進步毫無邊界。然而，每一次數位運算都紮實地發生在實體晶片上。晶片會發熱、材料會疲勞老化，一旦設備過熱，系統便會降頻保護。在物理現實面前，再動聽的發表會敘事也必須低頭。

回顧個人電腦發展早期，晶片幾乎不需專屬散熱元件。隨後，鋁製鰭片、風扇、熱管到均溫板逐一登場。這段歷程常被視為技術升級，其實更像是對空間的極限勒索：晶片功率翻倍，發熱源的面積卻沒變大，機箱空間也不可能無限擴張。

林唯耕指出，散熱設計的核心只有三要素：功率、熱源面積與空間限制。他舉例，在標準的 1U 機箱中，若發熱面積約為三十乘三十毫米，氣冷系統在達到八百瓦時就會面臨瓶頸。這並非固定的物理常數，而是取決於空間、面積與氣流的動態平衡。最現實的代價在於，風扇轉速提升的背後，是噪音、電力損耗與空間占用。

因此，「液冷技術」的興起並非單純為了追求酷炫，而是算力密度提升後的必然選擇。它能更精準地帶走晶片廢熱，卻也將新的挑戰帶入機房：漏液風險、流道堵塞、材料相容性，以及維運時的難度。工程的進步，本質上鮮少是徹底消滅問題，更多時候是選擇一組「比較值得承擔」的新問題。

太空教他的，不是把答案搬回地面

太空熱控工程之所以迷人，是因為它剝奪了地球上最常見的散熱工具。在真空宇宙中，沒有空氣能讓風扇製造對流；受光面溫度破百度，陰影處卻極度嚴寒。工程師必須純粹仰賴熱傳導、熱輻射，以及熱管與環路型熱管（LHP）來搬移熱能。

熱管運作的關鍵在於「相變」——液體蒸發時吸收大量潛熱，冷凝後重回循環。林唯耕比較了銅與水的熱傳導能力：在他設定的特定條件下，實心銅塊約能傳導 120 瓦的熱能；但若每秒有一立方公分的水發生蒸發相變，移熱量可瞬間拉升至 2.4 千瓦（kW）。他強調「每秒」的觀念，因為散熱談的是動態流動速率，而非靜態的冷卻魔法。

儘管如此，太空科技並不能直接套用到地面。太空元件因考量重量、功耗與維修難度，偏好無馬達幫浦的被動式設計；但地面 AI 伺服器面臨更高的熱負載與環境溫度，往往仍需幫浦驅動流量。當年那場「氨氣洩漏」事故正是最好的提醒：技術是否「先進」，與它是否「適合」當下的場景，始終是兩回事。

好論文，為什麼仍可能造不出好產品

學術研究致力於證明「可行性」，而工業現場則要求「可重複性」——不僅要能運作，還得確保每台出廠的設備都不漏水。林唯耕將此定義為「從 0 到 1」與「從 1 到 100」的差別。後者涉及良率、成本、公差與客戶信任。論文中那次最完美的實驗數據，在產線上往往未必管用。

他從不避談失敗。在高柏科技早期與學界合作時，也曾遇過實驗數據無法複製，或研究方向偏離產業需求。這未必是雙方努力不夠，而是彼此對「成功」的標準不同。為了解決這道鴻溝，高柏科技推動「柏苗啟航創新培育計畫」，每年投入逾千萬資金與成大、中山、台科大等校合作，並指派專業人才在過程中持續微調、校正，確保研發貼近產線現實。

他分享了近期一項液冷工質校正專案。團隊使用非侵入式的超音波流量計進行觀測，但由於儀器預設以「水」校正，換成其他化學流體後讀數便出現誤差。最初嘗試用幫浦壓差推算，卻發現缺乏重複性，數據甚至推導出不合理的蒸發率。最後團隊回歸基本面，改用秤重法搭配能量平衡進行交叉驗證，才讓數據成功收斂。

這個故事真正的價值不在於「產學雙贏」的口號，而在於那段不夠優雅的挫折：假設失效、數據混亂、方法砍掉重練。也正是在這種時刻，企業需要的不只是會算數的人才，而是能洞察研究何時「走鐘」，並有權力喊停、要求重來的關鍵決策者。

林唯耕坦言，過去在校園裡總認為「技術第一、成本第二」，進入商界後才驚覺行銷與信任關係往往才是關鍵。這番話雖然不如科技突破那樣動聽，卻是產品能否進入市場的殘酷真相。再卓越的散熱設計，若無法穩定生產或贏得客戶信任，也僅止於一份精美的報告。

AI 會給答案，誰來負責出貨？

訪談尾聲，主持人國威提出了一個時代難題：假設 AI 能在彈指間生成散熱架構、材料配方與流道設計，企業該選擇全面擁抱 AI 的速度，還是保留緩慢但穩定的工程驗證，以規避潛在的失效風險？

林唯耕拒絕落入二選一的框架。他的觀點是：兩者並存。AI 擅長處理資訊、生成草案；但工程師仍須實作原型，進行嚴苛的性能與可靠度測試，最終由人決定是否出貨。這並非盲目崇拜人類直覺，而是基於一項事實：AI 的資料庫裡，通常沒記載下一次「意外洩漏」或「材料疲勞」的細節，且模型永遠無法為量產結果擔負法律與商業責任。

在 AI 時代，最稀缺的未必是熟練下指令（Prompt）的人，而是具備這種能力的人：能預判答案可能在哪裡出錯、能設計實驗將問題「逼」出來，並且願意為最終的量產品質負起責任。

大眾習慣將雲端想像成輕盈、無重量的空間。但現實中，雲端是由龐大的機房架構而成，裡面裝滿了晶片、管線、泵浦與冷卻液。虛擬算力的每一次擴張，都會在實體世界留下發熱的足跡。散熱工程師的價值，就是不讓這筆物理帳單，被埋沒在光鮮亮麗的投影片背後。

本文轉載自諾貝爾化學獎專題系列，原文為《【2011諾貝爾化學獎】具有黃金比例的晶體 — 準晶》

• 譯者／蔡蘊明｜台大化學系名譽教授
• 圖／曹一允｜美國德州農工大學 Karen Wooley 教授指導下取得博士，現於日本萊雅公司進行研究。

十重對稱的黃金比例

當丹尼．謝西曼（Daniel Shechtman）將這個讓他得到 2011 年諾貝爾化學獎的發現登記於實驗記錄簿上時，在後面寫下了三個問號，因為從那些在他眼前的晶體裡面的原子，產生了一個不可能的對稱性，那就好像一個足球——一個球面 ——不可能只由正六邊形組成。從此之後，有趣的馬賽克圖案（Mosaic）、數學裡面的黃金比例以及藝術，幫科學家們解釋了謝西曼那令人困惑的觀察。

「Eyn chaya kazoo」，丹尼．謝西曼用希伯來語告訴自己「不可能有這種東西」。時值 1982 年 4 月 8 號的早晨，他正在研究的物質，是一個由鋁和錳組成的混合物，看起來很奇怪，因此他用電子顯微鏡，企圖從原子的層次來觀察，但是透過電子顯微鏡得到的圖像，卻違反了所有的邏輯：他看到一些同心圓，每一個都是由十個相互等距的亮點所組成（圖 1）。

謝西曼迅速地將灼熱的熔化金屬冷卻下來。這種溫度的突然改變應該會讓原子的排列混亂，但是他所觀察到的圖案，卻說出了一個完全不同的故事：那些原子以一種違反自然定律的方式而排列。謝西曼一再重複地數著那些點，四個或六個點是可能的，但十個是絕不可能。他在實驗記錄簿上寫下：十重對稱？？？

一個未知的發現

為了瞭解謝西曼的實驗結果，以及為何他會如此驚訝，讓我們想像下面的一個課堂實驗：一位物理老師讓光通過一個鑿有縫隙的金屬板，一個被稱為繞射光柵的物體（圖 2），當光波通過這個光柵時，它會產生折射，就好像海浪的波紋通過一個防波堤的開口一般。

在光柵的另一邊，波紋以一個半圓方式散開，並與其它的波紋相交，波峰與波谷相互地加強或減弱。在繞射光柵後面的螢幕上，一種具有明暗的紋路出現，稱為繞射圖紋。

這就是謝西曼在 1982 年 4 月早晨所得到的那種繞射圖紋（圖 1），只不過他的實驗是不同的：他不是用光，而是用電子（註：電子具有波的性質），而他的光柵就是那個快速冷卻了的金屬原子之間的縫隙。

此外，他的實驗是三度空間的，而非平面的。

那個繞射圖紋顯示，在那金屬之內的原子是排列成一個整齊有序的晶體。這當然不意外，幾乎所有的固體物質，不論是冰塊或金子，都具有整齊的晶體。雖然謝西曼使用電子顯微鏡非常有經驗，然而，一個由十個亮點排列成的圓形，卻是過去他從未看到過的。

更有甚者，這樣的晶體並沒有被列在國際晶體規格表之內，那是一個結晶學的主要參考指引。在當時的科學，明訂了一個由十個亮點排列成的圓形圖紋是不可能的，而其證明是非常簡單而明顯的。

違反所有邏輯的圖紋

在一個晶體中，原子是以固定而重複的方式排列的。決定於化學的組成，它們會具有不同的對稱性。在圖 3a 中，我們可以看到每一個原子是由三個原子圍繞著，而形成不斷重複的排列圖案，產生一個三重對稱；將此圖案轉動 120 度，又會得到相同的圖案。

同樣的原理發生在四重對稱（圖 3b）以及六重對稱（圖 3c），圖案不斷重複。當你個別地轉動 90 度或 60 度，相同的圖案會重複出現。

然而，五重對稱（圖 3d）是不可能的，某些原子之間的距離會小於其它原子之間的距離，也就是說，相同的圖案不會重複。科學家認為這足以證明五重對稱不可能存在於晶體中。同樣的原因存在於七重對稱或更高重的對稱。

謝西曼卻發現，他的圖案轉動一個圓的十分之一的角度（36 度）時，又可得到相同的圖案。他的確看到了一個被認為不可能的十重對稱，因此，不意外地，他在實驗記錄簿上寫下了三個問號。

基本假設出錯了

在美國國家標準局（NIST），謝西曼從他的辦公室向外探頭，望了望走廊，希望能看到某一個可以與他分享發現的人，但是走廊空無一人，所以他回到電子顯微鏡前，對那個晶體繼續進一步的實驗。其中他重複地確認所得到的不是巒晶（twin crystal）：兩種共生的晶體享有相同的晶面，而導致了奇怪的繞射圖紋；但是他無法找到任何的跡象顯示那是巒晶。

除此之外，他將電子顯微鏡下的晶體轉動，看看到底要轉多少度可以讓這個十重對稱的繞射圖紋重複出現。實驗顯示晶體的對稱性與圖紋的十重對稱不同，但仍然是一個不可能的五重對稱。謝西曼的結論是：科學界的基本假設是錯誤的。

當謝西曼告訴科學家們他的發現時，他面對了完全的否定，一些同事們甚至認為這根本是無稽之談，許多人宣稱他所得到的是巒晶。實驗室的主管丟給了他一本結晶學教科書，建議他讀讀。謝西曼當然知道教科書裡面說了什麼，但是他更相信自己的實驗。

根據謝西曼的回憶，所有的騷動終於導致他的老闆要求他離開那個研究小組，狀況變得非常難堪。

與已知奮戰

謝西曼是在以色列科技大學（Technion-Israel Institute of Technology）修得博士學位的。在 1983 年，他引發了在他母校任職的伊蘭．布雷契（Ilan Blech）對這個研究的興趣，他們合力企圖解釋此一繞射圖紋，並轉譯成為原子在晶體內的排列模式。

於 1984 年夏，他們送了一份論文稿到應用物理期刊（Journal of Applied Physics），但是該稿似乎在收到當日，就即刻被編輯退回。

接著，謝西曼向約翰．康（John Cahn）提出要求。康是一位著名的物理學家，也是當初邀聘謝西曼到 NIST 的人。謝西曼希望康能看看他的數據。這位通常很忙的學者終於答應，接著，康與一位法國的結晶學家丹尼斯．格拉提亞斯（Denis Gratias）諮詢，看看謝西曼是否忽略了什麼，但是根據格拉提亞斯的檢驗，謝西曼的實驗是可以信賴的，格拉提亞斯如果親自做那些實驗，也會使用同樣的方法。

在 1984 年的十一月，偕同了康、布雷契與格拉提亞斯，謝西曼等人終於在 Physical Review Letters 這份期刊中，共同發表了他的數據。這篇論文像顆炸彈一般，投在結晶學者之間。它質疑了他們的科學學門中的最基本教條：所有的晶體具有重複的週期性結構模式。

揭開知識的迷障

現在這項發現觸及了更多的讀者，而謝西曼成為了更多批評的目標。不過，在此同時，全世界的結晶學者們都產生了一種似曾相識的感覺，許多人在分析一些其它的物質時，也曾經得到過類似的繞射圖紋，但是當初，他們都將之視為巒晶的證據。現在，他們開始翻箱倒櫃，找出以前的實驗記錄簿，很快發現有些其它的晶體也會產生這種看似不可能的圖紋，譬如八重和十二重的對稱。

在謝西曼發表了他的發現之後，他仍然不知道那個奇怪的晶體內部結構到底如何。顯然地，它的對稱性是五重的，那是何種堆疊方式呢？這個答案卻從另一個未曾料到的領域而得：數學中的馬賽克遊戲。

用以解謎的馬賽克

數學家們喜歡用迷團和邏輯問題來挑戰自我。於 1960 年代，他們開始思索是否可以用有限數目的圖案塊，舖出不會重複的馬賽克圖案，創造一種所謂的「非週期馬賽克」。

頭一個成功的嘗試是在 1966 年，由一位美國的數學家所發表，但是他需要超過兩萬種圖案塊來做到，這很難讓著迷於精簡的數學家滿足。當更多的數學家投入這項挑戰，需要的不同圖案塊數目穩定下修。

終於，在 1970 年代中期，一位英國數學教授羅傑．潘洛斯（Roger Penrose）對此問題提出了一個最漂亮的解答。他用僅僅兩種圖案塊創造出非週期馬賽克，例如一胖一瘦的菱形（圖 4-1）。

潘洛斯的馬賽克在好幾個不同方面啟發了學界，其中之一是他的發現被用來分析中世紀伊斯蘭綺理（Girih）圖案。我們也發現阿拉伯藝術家早在 13 世紀就創造出了非週期馬賽克，這種馬賽克裝飾著非凡的西班牙阿罕布拉宮，還有伊朗 Darb-i Imam 寺廟的入口和穹頂。

結晶學者艾倫．馬凱（Alan Mackay）運用潘洛斯的馬賽克於另一個方面，他想探究構成物質的原子是否也能如同非週期馬賽克的圖案般排列。他做了一個實驗，用代表原子的圓圈放置在潘洛斯的馬賽克圖案的交點位置（圖 4-2），然後用這樣的圖案作成繞射光柵，來看會得到何種繞射圖案，結果得到一個十重對稱——十個光點圍成一圈。

馬凱的模型與謝西曼的繞射圖紋之間的關聯性，接著被物理學家保羅．史坦哈特（Paul Steinhardt）與多夫．李凡（Dov Levine）所發現。謝西曼的論文在 Physical Review Letters 這份期刊上發表之前，編輯將該文稿交由其他的科學家審核，在這個過程中，史坦哈特有機會看到這份文章，他早就對馬凱的模型熟悉，因此體認到馬凱的理論模型，存在現實世界中，亦存在於謝西曼在 NIST 的實驗室裡。

在 1984 年的聖誕夜，就在謝西曼的論文出刊後的四週，史坦哈特與李凡發表了一篇論文，其中描述了準晶體（quasicrystal）以及它的非週期馬賽克排列。在這篇論文中，準晶體得到了它的名字。

關鍵的黃金比例

準晶體與非週期馬賽克具有一項共同的迷人特質，那是一個在數學與藝術中不斷出現的黃金比例，亦即數學常數 tau。例如：在潘洛斯的馬賽克中，胖的和瘦的菱形數目的比例是 tau；類似地，準晶體中原子間的不同距離的比例，總是與 tau 相關。

13 世紀的義大利數學家費布那西（Fibonacci），從一個有關兔子繁殖的假設性實驗中找到的一系列數字中，描述了這個數學常數 tau。在這個著名的數列中，每一個數字是前兩個數字之和：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144 等等。如果將一個費氏數列中較大的數字除以前一個數字，例如 144/89，你就會得到一個接近黃金比例的數字。

當科學家想要用一個繞射圖紋來描述準晶體中的原子排列時，費氏數列與黃金比例對他們是很重要的。費氏數列也可以解釋 2011 年的諾貝爾化學獎所表彰的發現，為何改變了化學家對晶體結構的規律性之看法。

不會重複的規律

先前，化學家解釋晶體的規律性在於一個週期性不斷重複的模式。費氏數列雖然不會重複，卻也是規律的，因為它遵守一個數學的規則。

在準晶體中，原子間的距離與費氏數列相關，原子以規律的方式排列，化學家可以預測一個準晶體中的結構是何樣，不過這種規律性與具有周期性結構的晶體是不同的。

在 1992 年，這個認知導致了國際結晶學會改變了他們對晶體的定義。先前對晶體的定義是「一個物質，其中組成的原子、分子或離子以一個整齊而且重複的方式堆疊成立體的型態」，現在新的定義是「任何固體，基本上具有可區別的繞射圖紋」，這個定義比較寬廣，而且允許未來可能發現的其它種晶體。

準晶體也存在於…

從他們 1982 年的發現之後，數以百計的準晶體在全球許多實驗室中被合成，但一直到了 2009 年的夏天，科學家才第一次報導了天然的準晶體。他們發現了一種採自東俄的哈吐卡（Khatyrka）河的樣本中之礦石。這種礦石是由鋁、銅和鐵組成，具有一個十重對稱的繞射圖紋。它被稱為二十面石（icosahedrite），此名源自於二十面體（icosahedron），那是一種具有 20 個正三角形面的幾何固體，黃金比例存在於其幾何結構中。

準晶體也被發現存在於一種世界上最耐用的鐵當中。在嘗試不同組合的金屬時，一家瑞典的公司成功的製備出一種鐵，具有許多令人驚訝的良好特質。分析它的原子排列結構時，顯示它具有兩種相：硬鐵的準晶體嵌在一種較軟的鐵中，此一準晶體具有一種盔甲的功能。現在它被用於刮鬍刀片，以及眼睛手術的細針等產品中。

除了特別堅硬外，準晶體能像玻璃般輕易的碎裂。

由於其特殊原子排列結構，它們也是很差的熱與電的導體，以及含有不具黏性的表面。其低熱傳導的性質可以讓它們成為有用的熱電材料，能將熱轉為電，發展這種材料的目的在解決熱能的再利用，例如用在汽車與卡車上。現在科學家們正在實驗將準晶體用做像是煎鍋，以及節能的發光二極體（LED）之表面塗料，或是作為引擎的隔熱等等。

保持開放的心

謝西曼的故事並非唯一。

在科學的歷史中，一再地有研究工作者被迫與已經建立的「真理」作戰。事後看來，那些真理不過是一些假設。謝西曼和他的準晶體所面對過的最嚴厲批評，來自於鮑林（Linus Pauling），他曾得過兩次諾貝爾獎。這很清楚地顯示，即使是我們最偉大的科學家，也無法免疫於被陷在舊教條當中。

保持一個開放的心態，勇於質疑已經建立的知識，實際上可能是科學家們最重要的性格特質。

參考資料

• 本文譯自諾貝爾化學獎委員會公佈給大眾的新聞稿：http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/2011/info_publ_eng_2011.pdf
• 若需要進一步的資訊，請至以下網頁點選：http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/2011/sciback_2011.pdf

• 作者：王浤齡、陳玟蓉、高珮珊／台北市立大同高級中學

「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2021 數感盃青少年寫作競賽／高中組專題報導類佳作之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

在拍照時，我們總是希望能夠自然地呈現出最漂亮的自己，但這是一件何其困難的事情。法國傳奇攝影師——羅伯特・杜瓦諾曾說：「如果我知道如何拍出好照片，那我每次都會拍出好照片了。」然而有沒有什麼拍攝方法，可以讓照片中的身材比例變得更完美呢？ 

有一天，我和一群朋友到某間知名服飾店逛街，試穿今年流行的秋冬款，並拍照片比較看看，選出較適合自己的衣服。在過程中，我發現一個問題：「為什麼在店家試穿時，全身鏡映照出的自己總是比照片中好看？」

嘗試幾次後，我們發現這是因為自己的身材比例，在鏡子與照片中的呈現是不一樣的，服飾店內的全身鏡，總是使腿的比例看起來比較長。

於是我們開始好奇，拍照時要如何拍攝出如同店裡的全身鏡具有長腿效果的方法，以及，是什麼原因讓這間服飾店內的全身鏡會有這樣長腿的效果呢？ 

上網搜尋之後，發現在這個社群軟體發達的時代，網路上有許多人分享不用俢圖軟體，就能「拍」出完美比例的文章或是教學影片，其結論是：「把手機或相機傾斜一個角度，就可以讓人的腿在照片中的比例變長。」然而，所謂的「傾斜一個角度」到底是幾度，卻沒有網站提供。

事實上，每個人身高比例皆不相同，取景的遠近都不一樣，甚至使用的拍攝器材也不 盡相同，使這個「角度」也會因情況而有所不同。因此，我們試著用所學的數學工具，去推論出不同人在拍照時，手機應該要傾斜幾度才能達到想要的長腿效果？ 

關於服飾店內全身鏡有長腿效果的原因，我在觀察這些鏡子後，發現它們都有傾斜（如圖一），而且與地面都是夾 80 度。這個傾斜角度到底有什麼樣的用意呢？我們試圖去解開這個業界沒有說出來的秘密。 

首先，我們先解釋物理上的「成像原理」。人的眼睛之所以能看到物體、相機可以拍到畫面，都是因為物體反射的光線，進入到眼睛內的視網膜、或是相機裡的底片後所成的「像」。

成像的原理與國中理化所教的凸透鏡成像原理相同，是由三條光線所交會而成的像（圖二），其中平行光通過透鏡後會穿過焦點，而穿過焦點的光通過透鏡後會成為平行光，交會處就是成像地點；並且第三條穿過透鏡的直線光也會與前兩條相交，因此可以由物距與像距算出成像縮放的倍率。 

如果我們在成像位置放一個平面，當成像的平面與物體是平行時，像會與實物相似，但是上下顛倒；但是如果把成像平面傾斜一個角度的話，成像的比例就會因為傾斜的角度，而 與實物的原比例不同。 

我們想要研究相機傾斜角度對照片中人物的身材比例的影響。 

考慮拍攝時，相機高度與被拍攝者的肚臍位置相同，如上面圖三所示，點 D 為相機的焦點，物體反射的光線直線穿過 D點，在另一側的平面上呈現一個倒立的像。

把 \( \overline{AC} \) 當成為一位站立著的被拍攝者， \( \overline{AB} \) =b 為被拍攝者的頭頂到肚臍的長度，即為身長；而 \( \overline{BC} \) =l 為被拍攝者的肚臍到腳底的長度，即為腿長； \( \overline{BD} \) =d 為被拍攝者與相機的距離。

當成像平面垂直地面時，若把像距等比例放大到等於物距時（即是 \( \overline{DI} \) =d ），則 \( \overline{HJ} \) 會是一個全等的倒立像，即 \( \overline{HI} \) =l 為像的腿長、 \( \overline{IJ} \) =b 為像的身長。

若把成像平面傾斜一個角度，轉成 \( \overline{EJ} \) ， 則像的身長會被拉成 \( \overline{IJ} \) → \( \overline{FJ} \)  ，像的腿長會被拉成 \( \overline{IH} \) → \( \overline{FE} \) 。

接下來，我們將推導出一條公式，可以算出相機該傾斜幾度，才能讓被拍攝者的身長及腿長呈現我們所想要的比例。 

假設在照片中，身長比腿長的比例為 \( \overline{FJ} \) : \( \overline{EF} \) =1 : r，先求出 \( \overline{HD} \) : \( \overline{HE} \) 。

如圖四，我們利用「孟氏定理」， ΔJEH 被直線 \( \overline{FD} \) 所截的線段比為

 \( \frac{\overline{JI}}{\overline{IH}} \) ✕ \( \frac{\overline{HD}}{\overline{DE}} \) ✕ \( \frac{\overline{EF}}{\overline{FJ}} \) =1  \( \Rightarrow \) \( \frac{b}{l} \) ✕ \( \frac{\overline{HD}}{\overline{DE}} \) ✕ \( \frac{r}{1} \) =1，則 \( \frac{\overline{HD}}{\overline{DE}} \) = \( \frac{l}{br} \) 。

又因為圖三中， \( \overline{IH} \) // \( \overline{EG} \) ，所以 \( \frac{l}{br} \) = \( \frac{\overline{HD}}{\overline{DE}} \) =  \( \frac{\overline{DI}}{\overline{DG}} \) = \( \frac{d}{\overline{DG}} \)  \( \Rightarrow \)  \( \overline{DG} \) = \( \frac{bdr}{l} \)

\( \overline{IG} \) = \( \overline{DG} \) – \( \overline{DI} \) = \( \frac{bdr}{l} \) -d

因為 ΔEFG ≈ ΔJFI，所以  \( \frac{\overline{IF}}{\overline{FG}} \) =  \( \frac{\overline{FJ}}{\overline{EF}} \) =  \( \frac{1}{r} \) ；可推得：

\( \overline{IF} \) = \( \frac{1}{(1+r)} \) ✕ \( \overline{IG} \) = \( \frac{1}{(1+r)} \) ✕  \( \left ( \frac{bdr}{l}-d \right ) \)

因此，若相機傾斜的斜率為 m，則

從這個公式可知，我們只要知道以下數據，代入公式之中即可算出相機的斜率：

若圖中 \( \overline{AJ} \) 的斜率與 \( \overline{CH} \) （原文使用的是雙箭頭線段符號，但公式表中找不到，所以就先以線段符號代替）的斜率分別令成 m_b 與 m_l ，則相機傾斜的斜率公式可用斜率簡化表示為

我們根據此公式進行以下實作。 

拍攝工具為 iPhone 手機，被拍攝同學的身體數據如下表一： 

我們設定畫面高度與人物身高的比例黃金比例（約為 1：0.618），而由〈物距計算器〉網站，可算出此畫面下的拍攝距離為 144.7 公分。並且，我們希望拍攝出的身長與腿長也是黃金比 例，即  \( r=\frac{1}{0.618}=1.618 \)。

由表一，因為 m_b = －身高 / 物距 =  \( \frac{-67.5}{144.7} \)，m_l = 腿長 / 物距 =  \( \frac{95.5}{144.7} \)，所以帶入公式可得：

因此，拍攝時手機傾斜的斜率約為 8.538，換算成角度： 

所以手機在拍攝這位同學時應該要傾斜 83.3°。

下圖是手機傾斜前後拍照出來的照片效果對比： 

從右圖看得出來，照片中的腿部確實有拉長的效果，其比例為 1 : 1.84，但並非是當初我們給 定的黃金比例。這個原因是來自於 iPhone 手機鏡頭視角的限制，當手機傾斜時，放在腰部的高度，被拍者會無法全身入鏡。所以，我們將手機高度降低至能夠完全拍攝到整個人，因而導致加大拉長效果。

因此，我們建議在拍攝時，若需要降低手機高度，則手機與地面夾角，要比原計算出來的角度更接近 90° 一點。 

接下來，我們利用研究的結果去計算，各個年齡層與性別的人在拍照時，身長與腿長在照片中要呈現黃金比例，手機適當的傾斜角度分別為幾度。

下圖五，是內政部〈建築使用行為與本土人因工程關連性研究〉指出的 19 項人體計測尺寸中的部份數據；而下圖六，則是將圖表的數據進行以下的計算，去推論一般人平均的身長與腿長。

• 膝蓋高度 − 膝膕高度 = 大腿厚度 
• 坐高 − 大腿厚度 = 身長（頭頂到肚臍） 
• 身高 − 身長 = 腿長 

把各個年齡層與性別的平均身長與腿長整理成下表二。最後，我們各別將數據代入公式計算得出，不同人在拍照時，手機的傾斜角度，如下表三所示。 

表格三中，65 歲以上的民眾要拍出黃金比例的手機角度比較垂直，是因為數據的統計有將駝背也考慮進去，導致統計出的結果，相對其它年齡層來說腿的比例較長。但普遍來說， 在未滿 65 歲的各個年齡層拍照時，手機傾斜角度分布在 65 ~ 70° 之間。

然而，考慮到手機傾斜時又要全身入鏡，需要降低手機拍攝的高度，會更加拉大腿長的比例，因此，一般人在拍照時，若想讓身長比腿長接近黃金比例的話，我們建議：

服飾業內不能說的秘密，全身鏡傾斜 80° 的原因！

在前文中，我們想探討第二個問題，是服飾店的全身鏡為什麼都與地面夾 80°。其斜置的原因，明顯是要讓腿看起比較長，但為何不用其它的角度而恰好是 80° 呢？ 

斜鏡面會產生仰視效果，讓人感覺鏡中的人像向後仰，使腿的視覺效果變長。事實上， 長腿效果與我們研究的主題一致，同樣是實物（鏡中後仰的人像）與成像平面（視網膜）不平行，因此後仰角度與視覺比例的關係，符合前文推論的公式。

如下圖七所示，全身鏡傾斜 80° 後，由於鏡子和直立的人夾角 O 為 10°，因為鏡射原理，鏡子和像的夾角也為為10°， 所以像會傾斜 70°，且 ∠ACD = ∠AOB = 10° 。

實際到店家測量全身鏡前的走道寬度，約為 78 公分。也就是一般民眾會站在距離約 78 公分的位置使用全身鏡，即 \( \overline{DE} \) = 78，則 

78+ \( \overline{EC} \) = \( \overline{DC} \) = \( \overline{AC} \) cos(10º)

 \( \Rightarrow \) 78+ \( \overline{EC} \) = 2 \( \overline{BC} \) cos(10º)

 \( \Rightarrow \) 78+ \( \overline{EC} \) = 2 \( \overline{EC} \) cos(10º)

因此，可以算出 \( \overline{EC}=\frac{78}{2cos^{2}(10^{\circ})-1}\approx 83 \)

所以當我們照鏡子時，眼睛與成像的距離為 78+83=161 公分。若成年女性（平均身長 75.6 公分、 腿長 81.8 公分）使用服飾店的全身鏡時，看到鏡中自己的比例（腿長 / 身長）為 r，則

 \( \frac{(1+r)\times \left ( -\frac{75.6}{161} \right )\times \left ( \frac{81.8}{161} \right )}{r\times \left ( -\frac{75.6}{161} \right )+\left ( \frac{81.8}{161} \right )}=tan(70^{\circ})\approx 2.747 \)

 \( \Rightarrow \) r ✕ [(-0.4696) ✕ 0.5081+2.747 ✕ 0.4696] = 0.4696 ✕ 0.5081 + 2.747 ✕ 0.5081

 \( \Rightarrow r=\frac{0.4696\times 0.5081 + 2.747\times 0.5081}{ [(-0.4696)\times 0.5081+2.747\times 0.4696] }=\frac{1.63435446}{1.0.5138744}\approx 1.565 \)

這個結果非常接近黃金比例。

用其它年齡層與性別的數據去計算，也可得到 r ≈ 1.618 ± 0.05

因此，我們發現服飾店會在店內全身鏡會斜置 80° 的原因，很可能是因為要讓顧客認為穿上自家的衣服後，會讓比例接近於黃金比例，以提升購買慾望。

結合我們計算的數據和實作的結果，可以得出一些結論：大多數的人拍攝時，如果想要拍出身體的比例接近黃金比例，手機需要傾斜的角度大約為 65° ~ 70°。若將傾斜時，可能會把手機高度降低的因素考慮進去，則是以 70° 為最佳角度。

下次拍照時，不妨也將手機傾斜成 70°，或許會有意想不到的效果！

參考資料

• 均一教育平台
• 內政部建築研究所研究報告
• 物距計算機