雪花飄飄何所賜：克卜勒的雪花禮物

• 文／賴昭正｜前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

根本沒有理由假設世界有一個開始。認為事物必須有開始的想法實際上是由於我們思想的貧乏。
—— Bertrand Russell（1950 年諾貝爾文學獎）

「天上的星星千萬顆，世上的妞兒比星多，啊，傻孩子，想一想，為什麼失眠只為⋯⋯」（註一）不！世上的妞兒不會比星多，為什麼失眠也不是只為「她一個」，而是遐想著天空這麼多的星星是哪裡來的？為什麼不停地對著我咪咪地微笑？⋯⋯沉靜晴朗的夜晚，仰望著天空，有多少人不會為閃耀的星空沈思著迷呢？因此相信人類很早就在思考這個問題：在中國有盤古開天闢地，其身形化為日月星辰、山川河流，逝世時將精靈魂魄變成了人類之傳說。

而古希臘人（公元前 750-650 年） 則認為起初世界處於一種虛無混沌狀態，突然從光中誕生了蓋亞（Gaia，地球母親）以及其「他」具有人性的諸神，在沒有男性幫助的情況下，蓋亞生下了烏拉諾斯（Ouranos，天空），後者使她受精，生出了第一批泰坦（Titan）。泰坦後代普羅米修斯（Prometheus） 用泥塑人，雅典娜（Athena）為泥人注入了生命，宙斯（Zeus） 創造出一個擁有驚人美貌、財富、欺騙心、和撒謊舌頭的女人潘多拉（Pandora），給了她一個盒子，令永遠不要打開，但好奇心最後戰勝了，她終於打開盒子釋放出各種邪惡、瘟疫、悲傷、不幸、和在盒子底部的希望——現今打開「潘多拉盒子」的來源。

除了神話和傳說外，宗教在宇宙觀的發展上也佔了重要的地位。西方的宗教如基督教主要認為宇宙是一個由超自然力量之神創造出來的，人死後會上永生天堂。而東方的宗教如佛教則認為宇宙是無始無終的，沒有起點或終點，因此無所謂宇宙的起源與創造，人會以不同的面貌和形式，不斷生死輪迴。歐洲宗教在十六世紀前一直認為人與地球在這宇宙中佔了一個特殊的中心地位，因此深深影響了基於證據、推理、和辯論的宇宙觀發展。

中國古代的天文學

中國古代的宇宙觀有蓋天說、宣夜說、渾天說三學派，蓋天說認為「天圓地方」，天覆蓋著地，但由於地是方的，故而有四個角是無法覆蓋的，因此這四個角上有八根柱子支撐著整個天空。宣夜說則認為「日月眾星，自然浮生於虛空之中，其行其止，皆須氣焉」，即整個天體漂浮於氣體之中。渾天說雖然也認為「天圓地方」，但天是一個圓球，而不是蓋天說中的半圓，地球在天之中，類似於雞蛋黃在雞蛋內部一樣。東漢張衡（78-139 年）將「渾天說」發展成為一套系統的理論，並透過其所製作的「渾天儀」來加以演示，使渾天說成了中國宇宙結構的權威理論。渾天說的基本觀點認為日月星辰都佈於一個「天球」之上，不停地運轉著。

中國帝王自稱為「天子」，因此天文觀測的目的是為了帝王預測天下的禍福，用以指導治國理政、風水地理、農業民生、中醫人文的；天命如果有所改變，就會通過天象昭示天下。因此雖然中國是世界上最早發明曆法的國家之一，也為我們留下了許多寶貴的觀測資料，如記錄了 1054 年 7 月 4 日金牛座超新星的爆發，但古代的天文是皇權統治的一種工具而已，因此中國的天文學難以在民間發展，也不可能出現以科學為目的的天文研究。

地球中心模型

反觀西方世界，天文學在古典希臘則早已經是數學的一個分支。柏拉圖（Plato，公元前 427-347 年）鼓勵年輕的數學家蛇床子（Eudoxus of Cnidus，公元前 410-347 年）發展天文學體系，於公元前 380 年左右提出第一個以地球為中心的宇宙模型，認為一系列包含恆星、太陽、和月亮的宇宙球體都圍繞地球旋轉。

亞里士多德（Aristotle，公元前 384-322 年）識這些宇宙球體為物理實體，裡面充滿了導致球體移動之神聖和永恆的「以太」（ether）。他將這些球體分為陸地（terrestrial） 和天界 （celestial） 兩個領域。陸地領域包括地球、月球、及它們之間的月下區域，以變化和不完美為其標誌。天界是月球上方的領域，在這裡秩序井然，完美無缺。恆星固定在一個天球上，該天球每 24 小時圍繞地球旋轉一次。

這個模型在接下來的幾個世紀裡得到了進一步的發展：希臘裔埃及天文學家、數學家、和地理學家托勒密（Claudius Ptolemy, 85-165）仔細研究以前所有天文學家的工作，了解到用肉眼觀察夜空中物體的方法後，透過他出色的數學技能開發出自己的天體運動模型，於公元 150 年出版了一本現在稱為《Almagest》（最偉大）的書籍來闡述其論點。

他認為地球是一個靜止的球體，位於一個大得多的天球的中心；這個天球攜帶著恆星、行星、太陽、和月亮以完全均勻的速度圍繞地球旋轉，從而導致它們每天的升起和落下。完美的運動應該是圓周運動，因此托勒密認為這些表面上不規則的天體運動實際上是由規則的、均勻的圓周運動組合成的：運動的中心不但偏離了地球，而且還沿著主要圓形軌道上的點依較小的「本輪」圓圈（epicenter）移動。托勒密在該書目錄後留言謂：

我知道我天生必死，轉瞬即逝； 但當我隨心所欲地描繪天體的曲折軌跡時，我的腳不再接觸大地，而是站在宙斯面前，盡情享受神的美味。

此後的 1500 年，托勒密書中的表常被用來預測天體在夜空中的位置；而其以地球為中心的宇宙觀也幾乎統領了以後 2000 年的天文物理發展！

太陽中心模型

1543 年，波蘭哥白尼（Nicolas Copernicus，1473-1543）在德國紐倫堡出版《De revolutionibus orbium coelestium》 （論天體運轉，註二） 一書，提出日心系統，謂地球不在宇宙中心之特別位置，而是與其他行星一起在圍繞太陽的圓形軌道上運動。不幸的是它表面上不規則的天體運動之複雜並不亞於托勒密地心系統；還有，如果地球在動，為什麼星星總是在同一個地方出現——除非它們離地球很遠（註三）？因此該書出版後從未獲得廣泛支持。儘管如此，在日心系統裡，行星繞日具有地心系統所沒有的周期性！

十七世紀初，在新發明之望遠鏡的幫助下，意大利天文、數學、哲學家伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）發現了圍繞木星運行的衛星，終於對地球位於宇宙中心的觀念造成致命的打擊：如果衛星可以繞另一顆行星運行，為什麼行星不能繞太陽運行？伽利略因之慢慢地深相地球繞日說，但被羅馬教會禁止「堅持或捍衛」哥白尼理論。晚年於 1630 年出版《Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano》（關於兩大世界體系——托勒密和哥白尼——的對話）， 在最後一章裡用潮汐現象來證明地球是在動，不是靜止地在宇宙中心（註四）。

大約就在那個時候，德國數學、天文學家開普勒（Johannes Kepler 1571-1630）「盜取」導師丹麥天文學家布拉赫（Tycho Brahe，1546-1601）的豐富實驗資料構建了日心的定量模型，在 1618 年至 1621 年期間出版（立刻成為天主教會禁書的）《Epitome Astronomiae Copernicanae》（哥白尼天文學概要），提出描述行星體如何繞太陽運行的（開普勒）三定律：（1）行星以太陽為焦點在橢圓軌道上運動，（2）無論它在其軌道上的哪個位置，行星在相同的時間內覆蓋相同的空間區域，及（3）行星的軌道周期與其軌道的大小（半長軸）成正比。

開普勒終於解開行星之謎：行星以橢圓形——不是完美的圓形——圍繞太陽運轉。開普勒第三定律謂：行星與太陽的距離與其繞太陽公轉所需的時間存在精確的數學關係。這條定律激發了牛頓（Isaac Newton,1643-1727）的靈感，證明橢圓運動可以用引力與距離的平方反比定律來解釋。

平方反比定律

人類事實上好像很早就注意到了所有物質都互相作用，例如亞里士多德認為物體由於其內在的引力（沉重）而趨向一個點，伽利略則注意到物體被「拉」向地球中心。英國博學士胡克（Robert Hooke，1635-1703）在 1670 年的格雷沙姆演講 （Gresham lecture） 中謂萬有引力適用於「所有天體」，並添加了萬有引力隨距離減小的原理，及在沒有任何這種動力的情況下，物體會直線運動。到 1679 年，胡克認為萬有引力具有「距離平方反比」依賴性（註五），並在給牛頓的一封信中傳達了這一點：「我（胡克）的假設是引力總是與距中心距離成雙倍比例。」

牛頓因為害怕其他科學家和數學家竊取了他的想法，喜歡把他的工作隱藏起來、不發表；因此直到 44 歲才在英國天文學家哈雷（Edmond Halley）說服下，寫了一篇關於他的新物理學及應用在天文學的完整論述；一年多後（1687 年），發表了後來成為物理經典的《Philosophiae Naturalis Principia Mathematica》（自然哲學數學原理）或簡稱為《Principia》（原理）。

儘管牛頓在《原理》中承認胡克曾經提出太陽系中的平方反比定律，但胡克仍然對牛頓聲稱「發明」了這一定律感到不滿。胡克是一位才華橫溢、但是又駝背又矮的科學家：發現彈性定律（胡克定律）、發現有機體基本單位的「細胞」、發明顯微鏡（使他成為細胞理論的早期支持者）。 當胡克要求牛頓承認他已經預料到後者在陽光中顏色的一些研究結果時，牛頓寫了一封諷刺的拒絕信，影射了胡克的小身材謂：「如果我看得更遠，那是因為站在巨人的肩膀上」（事實上，牛頓的許多創見都不是站在巨人之肩膀上的——被譽為是有史以來最偉大的物理學家，不是沒有道理的）。

自然哲學數學原理

牛頓在《自然哲學數學原理》裡用同一個定律解釋了一系列以前不相關的現象：太陽-行星運動、行星-衛星運動、軌道物體、拋射體、鐘擺、地球附近的自由落體、彗星的偏心軌道、潮汐變化、以及地球軸的進動等等，具體地證明了「萬有引力」定律：「⋯⋯所有物質吸引所有其它物質的力與它們質量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比」。這項工作使牛頓成為科學研究的國際領導者，「自然哲學數學原理」被公認為有史以來最偉大的科學著作。

但除了受過幾何學訓練的數學家外，《原理》事實上是一本非常難以理解的書，更糟的是：裡面充滿了矛盾和不一致，而且還點綴著一些令人毛骨悚然的錯誤（一些錯誤是計算和演示中的徹底錯誤，其它則是邏輯上的空白：沒有證明、只是猜測）。在牛頓時代，很少有人能讀懂它，而今天幾乎沒有人嘗試過。牛頓任教之劍橋大學的學生曾這樣諷刺：「有一個人寫了一本他和任何人都無法理解的書」。

《原理》在那個時代還有一個很大的邏輯問題：那時的物理學家認為世界是一部大機械，作用是必須透過物質撞擊或擠壓物質的接觸來達成的；從遠處發出穿過虛空的無形作用力量是魔法、神秘的、非科學的！為了阻止不可避免的批評和挑釁，牛頓先下手為強，在《原理》一書謂：

「我已經用重力解釋了天空和海洋的現象，但我還沒有為重力提出一個原因。 ⋯⋯我還不能推斷⋯⋯這些重力特性的原因。我不需要假設，因為任何不是從現像中推導出來的東西都必須被稱為假設；而假設——無論是形而上學的、還是物理的、基於神秘特性的、或機械的⎯在實驗哲學中都沒有地位⋯⋯。在本哲學中，特定的命題是從現像中推斷出來的，然後通過歸納來概括。」

所以重力不是機械的、不是神秘的、不是假設；牛頓用數學及結果證明了這一點：「重力確實存在，並根據我們制定的定律起了作用，足以解釋天體和海洋的所有運動」，因此即使它的本質不能被理解，但我們不能否認它。牛頓認為這就「夠了」。

靜態的宇宙

當牛頓抬頭仰望月亮、太陽、和行星以外的天空時，他沒有發現任何物體的運動，因此宇宙應該是靜止的。而如果萬有引力可以用在所有的天體上，科學家再沒有任何理由認為人類很特別，我們所處在的地方在宇宙中佔了一個很獨特的地位。這在現代物理宇宙學中被稱為「宇宙學原理（Cosmology principle）」的概念，認為這些力會在整個宇宙中均勻地作用，因此從足夠大的尺度上觀察時，宇宙中物質的空間分佈應該是均勻的、沒有方向性的。同樣地，我們現在所處在的時刻也沒理由是個很特殊的時刻。顯然地，宇宙永遠就是那樣地存在，它沒有開始，也不會有終結—因為如果有開始，那顯然就應有創造者，這不是太宗教了嗎？

牛頓的引力理論實際上需要一個持續的奇蹟來防止太陽和恆星被拉到一起。在 1666 年至 1668 年之間之手稿《De Gravitatione》 （引力）中，牛頓闡述對空間和宇宙的看法：一種「無限而永恆」的神力與空間共存，它「向各個方向無限延伸」。牛頓設想了一個無限大的宇宙，上帝在其中將星星放置在正確的距離上，因此它們的吸引力抵消了，就像平衡針在它們的點上一樣精確。所以宇宙可以保持靜態，不會崩潰到無任何一點（無限大的宇宙沒有中心點）。

有限的宇宙

但是此一充滿著星球的無限宇宙在羅輯上是有幾個很嚴重的問題。例如雖然兩物體間的作用力與距離的平方成反比（收斂系列），但作用的星球數卻是與距離的平方成正比，正好抵消了前者的效應；因此，

（1）宇宙中的任何一點均應感受到無限大、往四面八方外拉的重力，所以物體不可能存在的！

（2）宇宙中的任何一點均應看到無限多的星光，所以夜晚的天空不應是黑暗的（註六）。

事實上亞里士多德早就回答了這個問題：物質宇宙在空間上一定是有限的，因為如果恆星延伸到無限遠，它們就無法在 24 小時內繞地球旋轉一圈。1610 年，開普勒也提出既然夜晚的天空是黑暗的，所以宇宙中的恆星數量必須是有限的！這有限宇宙的觀點一直到二十世紀初期還是被歐洲宗教及大部分科學家所接受（註三），造成了愛因斯坦犯下他一生最大的錯誤（詳見愛因斯坦的最大錯誤——宇宙論常數）。

如何解決牛頓之無限宇宙論與宗教之有限宇宙論間的衝突呢？請待下回分解吧。

註解

• 註一：高山（作曲沈炳光之夫人黄任芳？）：《牧童情歌》。
• 註二：該書非常複雜難懂，科學歷史學家稱它為一本沒有人讀的書。
• 註三：Giodano Bruno（1548-1600），意大利哲學家、天文學家、數學家、和神秘學家；因為堅持非正統的想法——包括宇宙是無邊緣的，恆星是離地球很遠的太陽、有它們自己在上面可能存在生命的行星，而付出被羅馬天主教酷刑，在火刑柱上燒死的代價——為一有名的宗教迫害案件例。
• 註四：晚年被羅馬天主教強迫收回（在審判庭上寫了悔過書），因此不像註三的 Bruno，只被軟禁在家到逝世。說來有點可笑，伽利略之「證明」地球在動的理論完全是錯誤的：例如潮汐每天應該出現兩次，但他的證明只出現一次而已。但伽利略發現相對論原理，正確地解釋了為什麼我們沒感覺地球在動。
• 註五：引力與距離的平方反比定律最早由布利亞爾杜斯（Ismael Bullialdus）於 1645 年提出；但他不但不接受開普勒的第二和第三定律，也認為太陽的力量在近日點是排斥的。
• 註六：為紀念十九世紀的德國天文學家歐博耳（Heinrich Olbers, 1758-1840） 在這方面的深入研究，現在被稱為「歐博耳悖論（Olbers paradox）」 。

在上一篇中，我們看到克卜勒為哥白尼的日心說挺身而出，並透過《宇宙的秘密》、《新天文學》兩本書奠定了今日克卜勒第一、第二定律的基礎，接下來，我們即將進入克卜勒的另外一本重要著作：《世界的和諧》。

• 在紛亂、窮苦的人間，三本書，讓克卜勒成為「星空的立法者」（上）

在發行《新天文學》後，克卜勒擁有全歐洲最精準的行星預測方法，他開始發行自己出版的預測年曆，當作一部分多出來的收入，他希望自己以後能夠不依靠國王的經費，隨心所欲的出書。

此時，是他天文研究的巔峰、人生的最低谷

同時，有鑑於《新天文學》中太多數學論證，不大容易讓學生理解預測行星的方法，克卜勒開始著手撰寫了天文教科書《哥白尼天文學概要》(Epitome Astronomiae Copernicanae)，這本書將成為 17 世紀所有天文學家必讀的經典。

克卜勒的天文研究雖然來到了巔峰時期，但他的現實生活並不順遂，第一任妻子和三個兒女的接續病逝，他所居住的地區也開始瀰漫著宗教紛爭，正一步步走向無法挽回的「三十年戰爭」。

1618 年初，克卜勒原本打算繼續撰寫第谷未完成的「魯道夫星表」，但心力憔悴的他希望從另一個新研究中尋找到心靈慰藉，於是他寫信告訴朋友：「我暫緩了魯道夫星表的工作，並且開始將我的心力投入在研究『和諧』」。

低潮中的慰藉，研究「和諧」與天體音樂

什麼是「和諧 (harmony)」？和諧的概念源自於人類觀察大自然的現象，發現大自然存在著某種特殊的數學比例。

在西元前 600 年，希臘數學家畢達哥拉斯發現，撥動特定比例的弦長能夠產生特定的音高，畢達哥拉斯也將音樂上的「和諧」推廣到行星運動上，行星和地球的距離每繞行一個周期都會伴隨著固定的比例變化，就像是行星擁有自己的旋律、特定的音階，這種想法被稱之為「天體音樂 （music of the spheres） 」。 

克卜勒希望將《宇宙的秘密》的幾何概念和《新天文學》的物理概念推廣到「天體音樂」的概念中。

現在，讓我們回顧一下克卜勒前兩本重要著作，《宇宙的秘密》、《新天文學》。

在《宇宙的秘密》中，克卜勒認為「上帝是用幾何當作建材搭建宇宙」 ，如今他將自己的正多面體理論延伸結合「天體音樂」，試圖用五種正多面體當作基底來解釋各個行星的旋律。

在《新天文學》中，克卜勒寫出了單一行星：火星的橢圓軌跡，他了解到行星的離心率造就了行星忽快忽慢的現象，在經過幾年的套用後，克卜勒了解到每個行星的離心率都不相同。

此後，克卜勒開始著手繼續研究哥白尼概念中提到的「準則」：行星週期和行星跟太陽距離的關係。

《世界的和諧》：週期定律的現世

克卜勒和畢達哥拉斯不同，他對於數值特殊的比例不感興趣，他想要知道的是週期和平均距離精確的數學關係，在他擁有六個行星的完整軌跡的情況下，克卜勒能夠將所有資料攤在一起，花點時間和心思仔細查看它們之間的關聯性。

1618 年的 5 月，克卜勒找到了他渴求的數學關係式：週期平方和行星半長軸的三次方成正比關係，這就是克卜勒的第三定律「週期定律」，是牛頓寫出萬有引力定律的基礎之一。

1619年，克卜勒出版了《世界的和諧》，結束了他長達 20 幾年的解密日心說的旅程，此時，克卜勒再也都止不住他的狂喜了，他在《世界的和諧》中的最後一章寫下：

「我已經擲下了骰子，也寫好了書，不管你是同輩還是前輩，這並不重要。既然上帝等待了祂的研究者足足六千年，我大可等待一百年後的讀者。」

1627 年，克卜勒出版了「魯道夫星表」，結合了第谷的完整觀測資料加上克卜勒的預測模型，成了當時資料最完整最精準的星表。

科學史上第一位「天文物理學家」

在一個世紀後，牛頓運用自己獨創的萬有引力和微積分，重新證明了克卜勒三大定律，利用漂亮的數學工具解釋了克卜勒多年來的努力，問到克卜勒的成就，牛頓只簡單的評論：「他（克卜勒）當然是用「猜」的，他知道軌跡非圓是卵形，於是他就猜會是橢圓。」

或許我們不該懷疑克卜勒是否猜出橢圓，而是要詢問為何只有克卜勒能夠發現橢圓？

因為他是第一個將「物理」導入天文學的天文學家^註，他不聽信老師馬斯特林 (Maestlin)「不該把物理學引入天文學」的勸言，堅持使用具有物理意義的「距離規則」來思考天文，有了根據行星運動建立的基礎物理定義，儘管克卜勒當時只有幾何工具，透過誤差分析不斷的改進預測模型，克卜勒會發現橢圓也是遲早的事情。

克卜勒一生堅信自己的天文物理觀，從始至終都不知道自己已經悄悄地成為科學史上第一位「天文物理學家」。

註解

此觀點出自於 Owen Jay Gingerich 的《Johannes Kepler and the New Astronomy》中，他在內文提到：如果克卜勒能從 20 世紀的字稱呼自己，我猜他會希望稱做自己為宇宙學家，但我會傾向我們能尊稱他為「第一個天文物理學家」。

參考資料

1. Aiton, E.J. (1969). Kepler’s second Law of Planetary Motion. Isis A Journal of the History of Science Society, 60, 75-90.
2. Wilson, C. (1968). Kepler’s derivation of the elliptical path. Isis A Journal of the History of Science Society, 59, 5-25
3. Gingerich, O. (1972). Johannes Kepler and the New Astronomy. Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, 13, 346-373
4. James, R.V. (1999). Johannes Kepler and the New Astronomy. New York：Oxford University Press
5. 姚珩、黃瑞秋 (2003)。克卜勒行星橢圓定律的初始內涵。科學教育月刊，第 256 期， 第 33-45 頁。
6. 姚珩 (2004)。行星面積定律的建立。科學教育月刊，第 257 期，第 32-38 頁。
7. International LaRouche Youth Movement. (2006). Presentation of Kepler’s Astronomia Nova.
8. 維基百科：Rudolphine Tables、Harmonices Mundi、Johannes Kepler、Musica universalis

作者資訊

• 仰望天空的智人

目前為高三自學生，在升上高三的那個暑假，毅然決 然走上自學的道路。希望在有限的青春，不要只是僅追求紙上的對錯，而是時時刻刻的詢問世界，「為什麼？」。

• 作者／仰望天空的智人｜目前為高三自學生，在升上高三的那個暑假，毅然決 然走上自學的道路。希望在有限的青春，不要只是僅追求紙上的對錯，而是時時刻刻的詢問世界，「為什麼？」。

從三本著作了解克卜勒的天文物理觀

在歷史長河中，天文學家們提出了各種五花八門的理論，嘗試理解天上六顆讓人捉摸不定的行星，但唯有一個人的理論能夠毫無誤差¹的精準預測，時至今日仍舊屹立不搖，他的名字是——約翰尼斯．克卜勒 (Johannes Kepler) 。

克卜勒是第谷．布拉赫 (Tycho Brahe) 的得意助手，生前時，他鼓舞了同時代的伽利略公布真相，在死後，也啟發一百年後的牛頓建立了牛頓三大運動定律。

而克卜勒一生的天文成就被萃取成了「克卜勒三大定律」，最終被寫入到了現今的物理課本中。

克卜勒一生發表了許多影響後世的劃時代著作，涵蓋數學、天文、光學，現在，請讓我們將視野聚焦在三本克卜勒的天文鉅作：《宇宙的秘密》、《新天文學》、《世界的和諧》，分別象徵著，開始、轉折、結束，仔細端詳三個不同時期的克卜勒，如何逐漸完整他的「天文物理觀」。

《宇宙的秘密》：最早公開支持哥白尼理論的書籍之一

原先主張地心說的托勒密認為：行星是繞行地球在固定的球殼上一層又一層，如同洋蔥一般，自從古希臘後裔托勒密完成他的《天文學大成》開始， 一千多年以來，地心說一直都是西方天文學的主宰。

而 16 世紀時，主張日心說的哥白尼認為行星其實是繞行太陽，所有行星都和太陽冥冥之中都遵守著一個「通則」，且每個行星都和太陽保持著特定的比例關係。

• 延伸閱讀：讓世人驚呆了的「日心說」在提出的開始，根本就不受重視？！——《全球科技大歷史》

1595 年，身為講師的克卜勒，在授課的時候畫出了正三角形鑲嵌在圓形裡的示意圖，他突然靈光一閃，如果他在正三角形裡面又多鑲嵌一個小圓，這樣兩個圓就會有了比例的關係了！這不就像是哥白尼概念中提到的「每個行星和太陽都有特定的比例關係」嗎？

當時，哥白尼沒有解釋每個行星保持特定比例的原因，但現在克卜勒隱約領悟並認為「上帝是用幾何創造宇宙的」。

因此克卜勒開始展開了自己的調查，但他發現在二維平面上是行不通的，他又問了自己一次：「為何上帝只創造了水星、金星、地球、火星、木星、土星，這六顆行星？」

他聯想到了三維空間中的正多面體只有五種，克卜勒高興極了，他認為上帝是用「幾何」當作建材，並藉此來聯繫各個行星。

到了 1597 年，克卜勒發表《宇宙的秘密》（Mysterium Cosmographicum），這是克卜勒的第一本天文作品，同時也是歷史上第一本公開認同哥白尼理論的書籍，他迫不及待把自己發現的宇宙秘密隨機寄給其他天文學家，想要了解真正的專家將會如何看待自己引以為傲的觀點。

堪比古代交友軟體，一本書牽起了三人緣分

其中一本《宇宙的秘密》輾轉來到了義大利，到了一位還不有名的數學教授手中，這位數學教授告訴克卜勒：「我已經身為哥白尼的信徒很久了，私下也收集了一些能夠證明地球運動的物理現象唷！」克卜勒被他像是「回音」的名字逗樂，而這位數學教授的名字是——伽利略．伽利萊 (Galileo Galilei) 。

克卜勒鼓勵伽利略公開他的發現：「要對自己有信心啊！如果你是正確的話，或許一些學者會離你遠去，但真相就是最好的證據！」雖然克卜勒沒有馬上收到伽利略的回信，但未來兩人將會一起在不同地方，合作並支持哥白尼的日心說。

• 延伸閱讀：伽利略誕辰｜科學史上的今天：2/15

此外，也有一本書來到了第谷．布拉赫 (Tycho Brahe) 的手中，雖然第谷不認同克卜勒的觀點，但第谷看出了克卜勒的才華，並認為克卜勒擁有卓越的數學能力，只要擁有少數資料就能夠獨自建立預測模型。

雖然第谷回信稱讚克卜勒的巧妙的推測，但第谷認為哥白尼的觀測資料不太精確，因此第谷邀請克卜勒到自己的天文台工作，希望克卜勒能夠好好善用他更精準的觀測資料。

克卜勒獲得進入到當時一流天文台的機會，開始了他長達 20 幾年的天文研究。

《新天文學》：等面積定律的起源

《新天文學》（Astronomia Nova）在當時是一本與眾不同的天文書籍，它只單一討論一個行星的運動，克卜勒認為只要了解火星的運動，就等於了解其他行星的運動，但克卜勒卻沒有想到，了解單一行星的運動將會是一條崎嶇難行的道路。

克卜勒一直在思考如何將哥白尼的概念帶入到火星的運動上，首先，他根據行星「在近日點較快，在遠日點較慢」的物理現象了設立了距離規則：行星運行速度和行星到太陽的距離是反比關係。

克卜勒進一步將所有火星到太陽的距離加總起來，說明這就是火星繞行一周掃過的面積，面積能夠代表著火星走過的時間，克卜勒此時建立了我們今日熟知的第二定律「等面積」概念：相同時間內，行星掃過相同的面積。

《新天文學》：什麼？軌道不是圓的！

然而，當克卜勒將自己發現的「新穎物理方法」嘗試應用在偏心圓上時，卻出現了誤差，不過克卜勒心中沒有一絲動搖，他將結果和實際觀測資料比對，推測出火星軌道應該是「非圓」。

真正的軌道比想像中的扁平狹長，克卜勒用肉球來比喻，這就如同從肉球中間擠壓出來的形狀，克卜勒暫稱這個非圓軌跡為「卵形 (oval) 」。

1604 年，克卜勒寫信給自己的朋友，向他抱怨自己已經嘗試了 20 種不同的方法來產生卵形軌跡，卻產生出了和偏心圓相反的誤差。克卜勒推測真正的軌跡就會在圓形和卵形之間，並開始針對這個誤差專研，他認為自己距離真正的軌跡不遠了。

就在克卜勒窮途末路的時候，他突然從誤差中看到了一個常見的數字，一個克卜勒之前在修正火星距離中，曾出現過的數字。

在之前嘗試偏心圓的時，克卜勒發現偏心圓所得到的模型距離和實際觀測值會有誤差，需要經過一個簡單的修正才會符合觀測值，就在此刻他領悟到了這個修正的意義，這就是火星運行的秘密，具有物理意義的「徑向擺盪」，而從當今的數學視角來看，克卜勒的修正就是橢圓在極座標的距離公式： 1+ecosθ

克卜勒是個傑出的數學家，他雖然知道這是橢圓，但他不相信行星的秘密是如此簡單的圓錐曲線，他試圖用其他方法解釋徑向擺盪，但各種方法都沒辦法像橢圓一樣毫無誤差的精準預測。

1605 年，克卜勒領悟到橢圓本身就能代表行星運行的物理現象，他找到了「橢圓軌跡」的規則：行星以橢圓軌跡繞行太陽，而太陽在其中一個焦點上。

如今，這項橢圓的規則也成為了我們所說的克卜勒第一定律。

但克卜勒工作還沒有完成，他該思考究竟要如何說服當時的其他天文學家，直至 1609 年，克卜勒終於發表了《新天文學》，細心拆解了托勒密和第谷的行星系統，並建立了最精準的橢圓軌跡模型，克卜勒成了世上第一個「摸清行星運動的天文學家」

現在，我們已經知道《宇宙的秘密》、《新天文學》在天文學中的關鍵角色，下一篇文章中，我們將從《世界的和諧》這本書，找到最後一條定律的源頭，完成克卜勒成為星空立法者的最後一哩路……

• 在紛亂、窮苦的人間，三本書，讓克卜勒成為「星空的立法者」（下）

註解

1. 克卜勒認為第谷觀測資料的誤差最大到兩角分，而克卜勒用橢圓預測出來的火星位置都是角秒的誤差，由於克卜勒的預測結果都在觀測值的誤差內，基本上能夠說克卜勒的預測幾乎等同於實際觀測。

參考資料

1. Aiton, E.J. (1969). Kepler’s second Law of Planetary Motion. Isis A Journal of the History of Science Society, 60, 75-90.
2. Wilson, C. (1968). Kepler’s derivation of the elliptical path. Isis A Journal of the History of Science Society, 59, 5-25
3. Gingerich, O. (1972). Johannes Kepler and the New Astronomy. Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, 13, 346-373
4. James, R.V. (1999). Johannes Kepler and the New Astronomy. New York：Oxford University Press
5. 姚珩、黃瑞秋 (2003)。克卜勒行星橢圓定律的初始內涵。科學教育月刊，第 256 期， 第 33-45 頁。
6. 姚珩 (2004)。行星面積定律的建立。科學教育月刊，第 257 期，第 32-38 頁。
7. International LaRouche Youth Movement. (2006). Presentation of Kepler’s Astronomia Nova.
8. 維基百科：Rudolphine Tables、Harmonices Mundi、Johannes Kepler、Musica universalis

文/邱韻如

 冰雪奇緣在台灣

全台各地紛紛傳出下雪的消息，大家都為這六角冰晶興奮不已，尤其是生平第一次在台灣看到雪的朋友，必定難忘這段「冰雪奇緣」。

迪士尼卡通《冰雪奇緣》的製作團隊，為了打造這部影片裡的雪花，敦聘專門研究雪花的物理學家當顧問，繪製了2千多種不同形狀的雪花。因為不同濕度與其他外在條件，都會造成雪花結晶的不同，所以沒有一個雪花結構是完全一樣的。

最早出書研究雪花形狀的科學家，是克卜勒（Johannes Kepler,1571–1630），他在1611年出版《論六角雪花》這本書，描述了雪花的六角結構，成為結晶學的先驅。

雪花飄飄何所賜？

1611年新年，克卜勒還在魯道夫二世的宮廷擔任皇家天文學家，但是薪俸老被積欠，他的太太芭芭拉從1610年底就得了重病，不斷發燒。這時的布拉格，天寒地凍，克卜勒走在查理大橋上，正傷腦筋要如何籌措新年禮物回報他的贊助人兼好友Johannes Matthaeus Wacker von Wackenfels (1550–1619)。他仰天問上蒼，像我這樣一無所有的窮學者，能買什麼禮物啊？雪花飄在他的身上，克卜勒看著這微不足道的雪花，有了好點子。他寫了這本24頁的小書，送給贊助人當作微薄的新年禮物。這本用拉丁文撰寫的小書，題為《Strena Seu De Nive Sexangula》（翻譯成英文是A New Year’s Gift:On the Six-Cornered Snowflake）。

這裡面還有一些文字隱喻。拉丁文的nive和nix，都是指雪（snow）。巧的是，德文nix的意思是nothing。克卜勒在書一開始，就不斷的提到Nihil, Nihilo, Nihili等，這幾個字都是nothing的意思。

Cum non sim nescius, quam tu ames Nihil, non quidem ob pretii vilitatem, sed propter lascivi passeris lusum argutissimum simul et venustissimum: facile mihi est conjicere, tanto tibi gratius et acceptius fore munus, quanto id Nihilo vicinius.

Quicquid id est, quod aliqua Nihili cogitatione tibi allubescat, id et parum et parvum et vilissimum et minime durabile, hoc est pene nihil esse oportet. Qualia cum in rerum natura multa sint, est tamen inter ea delectus. Cogitabis fortasse de uno ex atomis Epicuri: verum id Nihil est. Nihil vero a me habes antea. Eamus itaque per elementa, hoc est per ea, quae sunt in unaquaque re minima.

《De Nive Sexangula》前兩段文字（拉丁文）

來自上天的禮物：禮輕情意重

對於克卜勒這樣擁有Nothing的人，所能付出的也是Nothing。天上飄下的nix啟發了他這份近似Nothing(nix)禮物的靈感，禮輕但情意重。

What do astronomers and mathematicians “who have Nothing and receive Nothing” have to give, but Nothing? [2]

送出這份雪花禮物之後，他更加一無所有了。1611年對克卜勒來說，是難熬的一年。帕紹軍隊來到布拉格，把傳染病帶進城裡，也把支持他生計的皇帝魯道夫二世趕下台。年初，三個小孩都染上天花，最大和最小的都倖存下來，但年僅六歲的兒子Friderich卻於二月過世，大病初癒的太太也悲傷消沈，於七月過世。在戰亂中，人的生命變得微不足道，更不知道未來的希望在哪兒。1612年，魯道夫二世駕崩，42歲的克卜勒同時遭遇政治劇變、宗教緊張以及家庭悲劇，於是舉家離開布拉格，前往林茲(Linz)開展新的生活。

虎克透過他打造的顯微鏡畫出雪花

1635年，法國著名哲學家和數學家笛卡兒(René Descartes,1596~1650)，用文字詳細描述了他用肉眼觀察到的雪花結構[1]。1665年，虎克(Robert Hooke,1635~1703)在《Micrographia》(顯微圖譜) 書中，描繪出他從顯微鏡中所看到的雪花。

雪花與砲彈的堆積

克卜勒怎會研究雪花的結構？這和他先前思考過砲彈怎麼堆有關係。也就是說，雪花的形狀研究跟堆砲彈有關！

圖3. 克卜勒《論六角雪花》裡的兩個圖。

堆砲彈的問題起自於沃爾特·雷利爵士（Sir Walter Raleigh,1552-1618）[1]給了他的助手兼朋友哈利歐特（Thomas Harriot,1560-1621）[2]一個問題：在甲板上堆砲彈，要怎麼堆才會最節省空間呢？

哈利歐特曾在1591年出版一本關於各種堆疊問題的研究，並曾發展出某種早期的原子論來。克卜勒也研究球的各種排列，於1606年寫信給哈利歐特，並在1611年《關於六角雪花》（On the six-cornered snowflake）中再次提出堆砲彈的方式，這就是所謂的克卜勒猜想（Kepler conjecture）。

克卜勒為何會對堆球有興趣？猜想可能和他研究宇宙的奧秘有關。克卜勒在1596年出版的《宇宙的奧秘》書中以『柏拉圖多面體』及以球的內接和外切５種正多面體來描述各行星與太陽距離的關係，這種數學與天文的巧合，真是巧合到令人讚嘆！

見微知著：飄飄何所似？

在台灣各地興奮大喊「下雪了」的這一天(2016年1月24日)，中央氣象局在下午的新聞裡解釋說：目前各測站還沒有觀測到下雪現象，不排除是「霰」在天空結成，落地時還沒融化，才讓民眾有機會捕捉到難得畫面。氣象局特別強調：雪和霰不同，雪的結晶是六角形，通常發生在零下5度的低溫環境，重量也比較輕，但冰霰較重，也非六角形結晶，掉到地面速度較快，有時候掉到地上還會反彈，可作為民眾判斷依據。

不少民眾開始注意自己所看到的「雪」是不是「雪」。在電腦前面藉觀看好友臉書賞雪的我，看到不少好友都用相片「證明」他們看到的是六角冰晶～名副其實的「雪」。

在冰冷的此時此刻，更加佩服與感謝，四百多年前，見微知著的克卜勒送給大家的這份新年禮物。

參考資料

• [1] Historic Snowflakes in SnowCrystals.com
• [2] On the Six-Cornered Snowflake

延伸閱讀

• [1] 沃爾特·雷利爵士（Sir Walter Raleigh,1552-1618），英國伊莉莎白時代著名的冒險家，是名廣泛閱讀文學、歷史、航海術、數學、天文學、化學、植物學等著作的知識分子。
• [2] 托馬斯‧哈利歐特(Thomas Harriot,1560-1621)是英國數學家兼天文學家，他比伽利略更早透過望遠鏡畫月球表面，但卻少為人知，絕大多數人還是以為伽利略是第一個畫月球表面的人。（進一步參考：邱韻如(2012)，伽利略不是第一個用望遠鏡窺月的人？刊登於《科學月刊》43卷10期）