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真 ‧ 紅包公式

賴 以威
・2015/06/16 ・3215字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 482 ・五年級

前言:各位這幾天可能都看到了一則關於紅包公式的新聞。新聞因為針對的是一般大眾、又有時間篇幅限制,因此只能講很簡單的一道式子。比起那樣,我更想分享整個推導的過程和思考方式,包括在「複雜但精準」與「實用但有誤差」這兩者間的取捨,所以才又寫了這篇文章。

Photo Credit:Stephanie Chou
Photo Credit:Stephanie Chou

事情發生在上周五晚上,學長在我臉書上貼了張表格,詳細記錄不同情況下,參加朋友婚禮該包多少禮金。

婚禮行情3

我回想起數次去婚禮前,在LINE上面和朋友討論「你包多少?」、「五星級飯店哎,2600夠嗎?」更尷尬一點的,還得在距離禮金台不到10公尺之處掏皮包補錢。這張表格提供了一份公定價,真是太實用了。

它唯一的缺點是–也大了點。

業者根據經驗,依照台灣的5個地區、5種餐廳等級、3種參與人數(不出席、1人、2人)、4種交情關係,設計出來的表格共計有5×5×3×4=300個欄位。要是每次都得對照,省下來的紅包錢配眼鏡都不夠。反過來說,既然它是根據各種狀況所統計出來的數據,表示300種紅包金額並非各自獨立,而是彼此間有所關聯。比方說,交情越好就該包越多。這是常識,表格反映出來的價碼也是如此。

身為一位數學科普作家,前陣子出書後,我整天像擔心兒子娶不到老婆的爹,煩惱著都賣不好,數學沒人愛。絞盡腦汁想介紹數學、推銷新書

愛子心切的我決定犧牲周末晚上快樂時光,用數學將表格化繁為簡。

能做到這件事的數學工具有很多種,我選了統計學常用的「迴歸分析」:

了解兩個或多個變數間是否相關、相關方向與強度,並建立數學模型以便觀察特定變數來預測研究者感興趣的變數。

-wiki

先考慮稍微簡單的狀況:獨自參加台北的婚禮。固定「地區」跟「參與人數」後,要考慮的變數剩「交情」、「餐廳等級」,共有4×5=20種狀況。將交情由點頭之交到摯友用數字1~4表示,餐廳等級從辦桌到五星級飯店用數字1~5表示,再把這20組兩個輸入、一個輸出的數據放進去跑迴歸分析(嚴格來說應該稱之為多重迴歸分析),得到的迴歸方程式為

紅包金額= 975+372×交情+215×餐廳等級

四捨五入進位到百位得到

紅包金額= 1000+400×交情+200×餐廳等級

飯店等級交情表格金額公式金額差距
11160016000
1218002000200
1322002400200
1426002800200
21180018000
22220022000
23260026000
2428003000200
3122002000-200
3226002400-200
33280028000
34320032000
41220022000
42260026000
4328003000200
4432003400200
5122002400200
5226002800200
53320032000
54380036000

結果還不錯,20個數據裡有一半完全吻合,剩餘的一半也只有200元的差距。唯一的困擾是–跑出了幾2400、3400,這是絕對不會(除非參加舊情人)包的紅包數目。算了,先不管這個。我喜孜孜地跑去先發臉書動態,再回頭過來分析更複雜的狀況,將「區域」和「參與人數」一併考慮。

然後問題就來了。

我本身是在學術界做研究,做研究時永遠該注意的準則是:絕對不要以為問題很小就裝作沒看到,那樣的問題之後一定會變得很大,讓你很頭疼。

沒想到寫科普數學文章也一樣。

Photo Credit:Stephanie Chou
Photo Credit:Stephanie Chou

挑戰迴歸分析整個表格時,我遇到了兩個問題

  • 上述例子(獨自在台北出席婚禮)只有2個變數和20種組合,迴歸分析能提供一道精準簡潔的公式。當變成4個變數和300種組合,就很難用一道數學公式來捕捉禮金的變化。
  • 上述例子的禮金落在1800到3800之間,每次增加200或400,相對規律。300種組合時,禮金變化從800到10,000,中間跳過了4000、5000、7000~9999,非常不規律。

這兩個問題增加了迴歸分析的誤差。為此,我做了兩件事:

  1. 重新檢查表格,剔除「不出席」的狀況。因為不出席時,禮金只根據交情等級調整,其他變數都不會影響。這樣的特例會降低迴歸分析對於其他出席狀況的計算,變得更不準。也因此,接下來的分析僅針對「出席1人」與「出席2人」的狀況。
  2. 將輸出從「禮金金額」改成「禮金等級」,分級制度如下
等級1234567891011
金額(千)1.61.82.22.62.83.23.63.86.26.810

換句話說,迴歸分析不再分析各種狀況與「禮金金額」的關係,而是分析各種狀況與「禮金等級」的關係。如此一來就可解決不同禮金等級,金額變化不一的問題。經過這兩個處理後,得到的迴歸分析公式為

紅包等級=-5.375+0.465×地區+2.66×人數+1.08×交情+0.6575×餐廳等級

再將式子改成分數表示,整理可得到考慮更完整的紅包(等級)公式

Fig. 紅包公式

其中[.]是高斯符號,意思是將括號裡面的職四捨五入取到整數位。此公式算出來的結果與表格比對,只有2%的狀況出現紅包等級2的差距,其他都在1級以下,還算不錯。

搭配禮金等級表格,這才是最完整的紅包公式。不只賓客可以使用,新人也可以參考,評估自己會來的賓客大概屬於那些類型,該請怎樣的飯店,才能最大化收益(是把婚禮當成創業嗎?),或至少不虧本。

數學的威力

Photo Credit:Stephanie Chou
Photo Credit:Stephanie Chou

接下來是我的一些觀察。首先是「簡潔」與「完整」的取捨:從兩道婚禮公式可以看到,想考慮的狀況越完整,公式便會越複雜,直觀性、實用性就會降低。以我自己來說,恐怕也不會真的去用有高斯符號的紅包等級公式。

但儘管是那麼複雜的公式,比起表格還是簡單許多。這是一個充分展現數學化繁為簡、以簡御繁的例子:可以將龐大的表格表示成一道式子跟幾個較小的表格;之後,只要用一道式子,就可以算出不同狀況的紅包禮金。

我本身是做無線通訊研究,晶片設計中我們偶爾也會遇到這樣的問題,有些數字可以用表格(look-up table: LUT)存起來,也可以即時運算,前者的成本是記憶體空間,後者的成本是運算的能量消耗。各自有適合的狀況,也不一定都是要像這次一樣,把可以存的都改成用算的。

好像扯太遠了。

第二個重點,也是最重要的,就是透過迴歸分析,可以看到不同因素在決定禮金數目的比重。以禮金等級式子來說,地區、餐廳等級最不重要,光交情跳一級,就是地區跟餐廳同時加一級的分量。攜伴參加對禮金的影響是最大的。

「這些不用算啊,還蠻直觀的,是稍微想一下就可以下的結論。」

嗯啊,這麼說也沒錯,但地區、餐廳、交情、人數的比重是3:4:7:17,這就不是稍微想一下才能得到的,甚至,很認真地想也想不到,是唯有透過數學分析才能得到的。

數學不僅是一門御簡為繁的知識,更是一門能量化直觀概念的學問。」

這是受訪時我最想講的一句話。我的小孩書是《超展開數學教室》,還請各位支持了。

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文章難易度
賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室


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喝母乳的寶寶能提升神經認知功能?——是真的!而且「曾經喝過就有效」

查克爸
・2021/10/26 ・3015字 ・閱讀時間約 6 分鐘

喝母乳的寶寶,真的會更聰明嗎?母乳不僅能夠提供小寶寶所需的營養以及免疫力,而透過母親的生理機制,更能將各種符合自己孩子需求的成分,客製成孩子專屬的母乳。需要發育大腦,就多給些相關的成分,如果要長肌肉也沒問題,媽媽隨時隨地都準備為孩子產製最適合的母乳,這可是任何產業都難以複製的機能。因此母乳被說是對寶寶是最好的禮物,想當然各種與母乳哺育相關的研究主題,便是眾多學者探討了解的目標。

其中,研究智力發展應該是最吸引人的主題之一,不過目前為止也是有研究指出,母乳哺育的孩子,他們的平均智商與沒有母乳哺育的孩子相差無幾,這不知潑了多少人一身的冷水,掃了無數爸媽的興致。但以前的證據說智商沒差異,不代表新的研究一樣沒差異,科學這件事就是會不斷變化,產出新的結論,全世界仍有不少研究都提出母乳可能使寶寶更聰明。

這次要介紹的羅徹斯特大學醫學中心(URMC)神經科學研究所(Del Monte Institute for Neuroscience)的成果就是其中之一,他們這次提出的新證據是與認知能力有關,而且他們的結論應該會讓人眼睛一亮,因為他們發現,母乳哺育的時間長短與 9-10 歲兒童的部分認知發展有關連,而且只要孩子有吃母乳一段時間就可以看出差異[1]

人類積極探索智力,母乳與智力的關係更是熱門主題之一。圖/Pixabay

改變研究方向,找出母乳與智力之間的正向證據

隨著各種研究產出,我們得以知道智力受到很多變項影響,尤其是與父母親直接相關的因素,例如父母的社經地位、智力程度、學經歷等都可能使孩子擁有較高的智力。換句話說,也就是研究者比較了相同教育程度或是經濟程度的母親後,結論是不管有沒有哺餵母乳,他們孩子的智商分數可能相近。

既然知道多種因素可以影響智力,便要在研究方法的設計下足功夫,因為要盡可能控制所有影響,讓母乳哺育的小孩,以及沒有母乳哺育的小孩都能在同一個基準線上比較,才能看出客觀上的差異,或可說是未能控制好混雜因素[2]

不過就如開頭所說,研究目標、方法不同,看到的成果就不一樣,羅徹斯特大學醫學中心這篇藉由分析青少年大腦認知發展研究計畫[3](The Adolescent Brain Cognitive Development Study;ABCD Study)數據的報告,就看到了母乳與認知的正向關係,改而分析更細項的各種認知能力[4],其涉及了執行與感知、學習、記憶、理解、意識、推理、判斷、直覺和語言相關的等各種任務技能。

認知能力分好多,研究分析哪些?

這個認知研究採用 ABCD 研究數據來探討,但為了減少測量誤差的影響(例如孩童曾經暴露會接觸酒精的環境、未參加訪視的兒童等因素),研究者最終保留了 9,116 名兒童的數據,並以此分析母乳哺育時間與神經認知能力之間的關係。那列入分析的認知能力向度有哪些?

向度一共有三項,而且跟每個人都有關,分別是一般能力(general ability)、執行能力(executive function)以及記憶力(memory),而這三項能力各自有其解釋在,如一般能力,美國心理學會對此提出的解釋定義是,一種可以被衡量的能力,且被認為是基礎能力,用來處理所有與智力相關的任務。

再來是執行能力,這個能力則可用來管理和控制工作記憶、注意力,也跟抽象思考等種種認知過程有關,像是設定目標、想像並預見;最後一個是大家耳熟能詳的記憶力,是透過大腦系統所儲存的訊息,是能回憶特定訊息或曾經有過的經歷。

不過這些能力的發展程度真的能評量嗎?放心,各項認知能力背後有眾多的研究依據,也發展出各種不同的測量方式來評定。像是「魏氏兒童智力量表的矩陣推理測驗」就在這個研究被用來測量知覺推理和組織、空間訊息處理等相關的能力;而美國國立衛生研究院的 NIH Toolbox®-Cognition battery,也在這個研究裡被整合運用評估兒童的神經和行為功能。最後通過次數以極多的神經認知測驗,也才讓研究結果得出有吃母乳的小朋友,是能改善某個認知能力。

針對各種能力、認知所開發的測驗,不斷的被開發出來並應用。圖/Pexels

母乳真的有助於認知能力!是哪一項呢?

研究要分析的有一般能力、執行能力以及記憶力,那究竟哪像能力獲得提升呢?鏘鏘,從數據提供的結論是一般能力(general ability)與母乳哺育的時間長短有顯著關聯[1]。但你可能會說「怎麼才提升一種能力?」,這時候我們要關注的是,在心理學上的一般能力也包含多種能力,一般能力只是所有分向能力的統整稱呼。

研究中把這九千多位 9-10 歲的孩子,依照他們吃母乳的時間長短分成四組,第一組是 0 個月的控制組,接著是三組母乳哺育的實驗組,分別是 1-6 個月、7-12 個月以及吃母乳超過 12 個月的寶寶,可以看到在母乳哺育期最短的 1-6 個組別寶寶,他們在一般能力的測驗結果,比起沒吃母乳的寶寶有所提升,而且隨著母乳哺育的時間變長,孩子們在一般能力的發展程度也越來越高。

用另外一個角度來看研究結果就是,今天有某一個家庭選擇餵養母乳,即便哺育期間落在有點長又不算太長的 2 個月或是半年內,對寶寶的神經認知發展來說也是有幫助的,這也符合研究人員的設定目標,因為這有望幫助改善人們的動機,讓更多人想要母乳哺育,不只告訴每個家庭們可以量力而行,也藉此呼籲政府、社會企業能夠更設身處地為媽媽們著想。

母乳哺育與一般能力認知的關聯性較高,且隨著期間變長而增加。資料/參考資料1

研究成果重要,但更該考慮「人」

各種母乳相關的科學證據報告,讓母乳對孩子的好處不言而喻,這次介紹的研究也是,也的確可以藉由這些證據協助家庭做出決定,讓他們決定是否要餵養母乳,但這篇研究成果的重點,是希望能夠「鼓勵」家庭選擇用母乳哺育寶寶,而不是「非得要」。

不可否認的是,母乳哺育對媽媽們是一個壓力來源,常常聽到「給寶寶最好的」,反而讓各種美好變成壓力,像是聽到哪位媽媽不給寶寶吃母乳,各種批評襲來,不餵母乳變成一種罪過。而如果選擇母乳哺育,又可能因為家人不支持而宣告放棄。

母乳對寶寶有幫助,但家人彼此間的支持才更重要。圖/Pixabay


研究也實實在在告訴我們,餵養母乳的意願及時間長短,可是牽涉眾多因素,其中個體因素如教育程度、年齡會改變想法,還有環境和社會文化影素也會影響,例如就業問題、丈夫支持程度、家人態度也都大大的參雜其中[6]

因此每個家庭間的討論、媽媽的個人意願都很重要,有了共識後再來下決定,而當你們決定好要給寶寶母乳,又就差那決定性的臨門一腳時,不妨想想這篇研究提出的結論,「只要曾經給寶寶喝母乳,便有機會提升他特定的認知能力喔」。

參考資料

  1. Lopez, D. A., Foxe, J. J., Mao, Y., Thompson, W. K., Martin, H. J., & Freedman, E. G. (2021). Breastfeeding Duration Is Associated With Domain-Specific Improvements in Cognitive Performance in 9-10-Year-Old Children. Frontiers in public health, 9, 657422. https://doi.org/10.3389/fpubh.2021.657422
  2. Walfisch, A., Sermer, C., Cressman, A., & Koren, G. (2013). Breast milk and cognitive development–the role of confounders: a systematic review. BMJ open, 3(8), e003259. https://doi.org/10.1136/bmjopen-2013-003259
  3. https://abcdstudy.org/
  4. https://dictionary.apa.org/cognitive-ability
  5. Natland ST, Andersen LF, Nilsen TI, Forsmo S, Jacobsen GW. Maternal recall of breastfeeding duration twenty years after delivery. BMC Med Res Methodol. 2012 Nov 23;12:179. doi: 10.1186/1471-2288-12-179. PMID: 23176436; PMCID: PMC3568415.
  6. Shi, H., Yang, Y., Yin, X. et al. Determinants of exclusive breastfeeding for the first six months in China: a cross-sectional study. Int Breastfeed J 16, 40 (2021). https://doi.org/10.1186/s13006-021-00388-y

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查克爸
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查克爸|醫學生物技術領域 碩士,現職為開發自然科學評量工具的研究 人員,將各種研究設計為科學教育評量工具的同時,也投入喜愛的科普領域。
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