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真 ‧ 紅包公式

賴 以威
・2015/06/16 ・3215字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 482 ・五年級

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

前言:各位這幾天可能都看到了一則關於紅包公式的新聞。新聞因為針對的是一般大眾、又有時間篇幅限制,因此只能講很簡單的一道式子。比起那樣,我更想分享整個推導的過程和思考方式,包括在「複雜但精準」與「實用但有誤差」這兩者間的取捨,所以才又寫了這篇文章。

Photo Credit:Stephanie Chou
Photo Credit:Stephanie Chou

事情發生在上周五晚上,學長在我臉書上貼了張表格,詳細記錄不同情況下,參加朋友婚禮該包多少禮金。

婚禮行情3

我回想起數次去婚禮前,在LINE上面和朋友討論「你包多少?」、「五星級飯店哎,2600夠嗎?」更尷尬一點的,還得在距離禮金台不到10公尺之處掏皮包補錢。這張表格提供了一份公定價,真是太實用了。

它唯一的缺點是–也大了點。

業者根據經驗,依照台灣的5個地區、5種餐廳等級、3種參與人數(不出席、1人、2人)、4種交情關係,設計出來的表格共計有5×5×3×4=300個欄位。要是每次都得對照,省下來的紅包錢配眼鏡都不夠。反過來說,既然它是根據各種狀況所統計出來的數據,表示300種紅包金額並非各自獨立,而是彼此間有所關聯。比方說,交情越好就該包越多。這是常識,表格反映出來的價碼也是如此。

身為一位數學科普作家,前陣子出書後,我整天像擔心兒子娶不到老婆的爹,煩惱著都賣不好,數學沒人愛。絞盡腦汁想介紹數學、推銷新書

愛子心切的我決定犧牲周末晚上快樂時光,用數學將表格化繁為簡。

能做到這件事的數學工具有很多種,我選了統計學常用的「迴歸分析」:

了解兩個或多個變數間是否相關、相關方向與強度,並建立數學模型以便觀察特定變數來預測研究者感興趣的變數。

-wiki

先考慮稍微簡單的狀況:獨自參加台北的婚禮。固定「地區」跟「參與人數」後,要考慮的變數剩「交情」、「餐廳等級」,共有4×5=20種狀況。將交情由點頭之交到摯友用數字1~4表示,餐廳等級從辦桌到五星級飯店用數字1~5表示,再把這20組兩個輸入、一個輸出的數據放進去跑迴歸分析(嚴格來說應該稱之為多重迴歸分析),得到的迴歸方程式為

紅包金額= 975+372×交情+215×餐廳等級

四捨五入進位到百位得到

紅包金額= 1000+400×交情+200×餐廳等級

飯店等級 交情 表格金額 公式金額 差距
1 1 1600 1600 0
1 2 1800 2000 200
1 3 2200 2400 200
1 4 2600 2800 200
2 1 1800 1800 0
2 2 2200 2200 0
2 3 2600 2600 0
2 4 2800 3000 200
3 1 2200 2000 -200
3 2 2600 2400 -200
3 3 2800 2800 0
3 4 3200 3200 0
4 1 2200 2200 0
4 2 2600 2600 0
4 3 2800 3000 200
4 4 3200 3400 200
5 1 2200 2400 200
5 2 2600 2800 200
5 3 3200 3200 0
5 4 3800 3600 0

結果還不錯,20個數據裡有一半完全吻合,剩餘的一半也只有200元的差距。唯一的困擾是–跑出了幾2400、3400,這是絕對不會(除非參加舊情人)包的紅包數目。算了,先不管這個。我喜孜孜地跑去先發臉書動態,再回頭過來分析更複雜的狀況,將「區域」和「參與人數」一併考慮。

然後問題就來了。

我本身是在學術界做研究,做研究時永遠該注意的準則是:絕對不要以為問題很小就裝作沒看到,那樣的問題之後一定會變得很大,讓你很頭疼。

沒想到寫科普數學文章也一樣。

Photo Credit:Stephanie Chou
Photo Credit:Stephanie Chou

挑戰迴歸分析整個表格時,我遇到了兩個問題

  • 上述例子(獨自在台北出席婚禮)只有2個變數和20種組合,迴歸分析能提供一道精準簡潔的公式。當變成4個變數和300種組合,就很難用一道數學公式來捕捉禮金的變化。
  • 上述例子的禮金落在1800到3800之間,每次增加200或400,相對規律。300種組合時,禮金變化從800到10,000,中間跳過了4000、5000、7000~9999,非常不規律。

這兩個問題增加了迴歸分析的誤差。為此,我做了兩件事:

  1. 重新檢查表格,剔除「不出席」的狀況。因為不出席時,禮金只根據交情等級調整,其他變數都不會影響。這樣的特例會降低迴歸分析對於其他出席狀況的計算,變得更不準。也因此,接下來的分析僅針對「出席1人」與「出席2人」的狀況。
  2. 將輸出從「禮金金額」改成「禮金等級」,分級制度如下
等級 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
金額(千) 1.6 1.8 2.2 2.6 2.8 3.2 3.6 3.8 6.2 6.8 10

換句話說,迴歸分析不再分析各種狀況與「禮金金額」的關係,而是分析各種狀況與「禮金等級」的關係。如此一來就可解決不同禮金等級,金額變化不一的問題。經過這兩個處理後,得到的迴歸分析公式為

紅包等級=-5.375+0.465×地區+2.66×人數+1.08×交情+0.6575×餐廳等級

再將式子改成分數表示,整理可得到考慮更完整的紅包(等級)公式

Fig. 紅包公式

其中[.]是高斯符號,意思是將括號裡面的職四捨五入取到整數位。此公式算出來的結果與表格比對,只有2%的狀況出現紅包等級2的差距,其他都在1級以下,還算不錯。

搭配禮金等級表格,這才是最完整的紅包公式。不只賓客可以使用,新人也可以參考,評估自己會來的賓客大概屬於那些類型,該請怎樣的飯店,才能最大化收益(是把婚禮當成創業嗎?),或至少不虧本。

數學的威力

Photo Credit:Stephanie Chou
Photo Credit:Stephanie Chou

接下來是我的一些觀察。首先是「簡潔」與「完整」的取捨:從兩道婚禮公式可以看到,想考慮的狀況越完整,公式便會越複雜,直觀性、實用性就會降低。以我自己來說,恐怕也不會真的去用有高斯符號的紅包等級公式。

但儘管是那麼複雜的公式,比起表格還是簡單許多。這是一個充分展現數學化繁為簡、以簡御繁的例子:可以將龐大的表格表示成一道式子跟幾個較小的表格;之後,只要用一道式子,就可以算出不同狀況的紅包禮金。

我本身是做無線通訊研究,晶片設計中我們偶爾也會遇到這樣的問題,有些數字可以用表格(look-up table: LUT)存起來,也可以即時運算,前者的成本是記憶體空間,後者的成本是運算的能量消耗。各自有適合的狀況,也不一定都是要像這次一樣,把可以存的都改成用算的。

好像扯太遠了。

第二個重點,也是最重要的,就是透過迴歸分析,可以看到不同因素在決定禮金數目的比重。以禮金等級式子來說,地區、餐廳等級最不重要,光交情跳一級,就是地區跟餐廳同時加一級的分量。攜伴參加對禮金的影響是最大的。

「這些不用算啊,還蠻直觀的,是稍微想一下就可以下的結論。」

嗯啊,這麼說也沒錯,但地區、餐廳、交情、人數的比重是3:4:7:17,這就不是稍微想一下才能得到的,甚至,很認真地想也想不到,是唯有透過數學分析才能得到的。

數學不僅是一門御簡為繁的知識,更是一門能量化直觀概念的學問。」

這是受訪時我最想講的一句話。我的小孩書是《超展開數學教室》,還請各位支持了。

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文章難易度
賴 以威
32 篇文章 ・ 8 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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強核力與弱核力理論核心:非阿貝爾理論——《撞出上帝的粒子》
貓頭鷹出版社_96
・2023/01/28 ・1733字 ・閱讀時間約 3 分鐘

非阿貝爾理論

量子色動力學與弱核力理論有個更為奇特的性質,兩者都是「非阿貝爾理論」 (non-Abeliantheories)。非阿貝爾的意思是強核力與弱核力理論核心(參見【科學解釋 6】)的對稱群代數是不可交換的。簡單來說就是「A 乘 B」不等於「B 乘 A」。

一般人的常識會告訴你,如果隨便拿兩個數字 A 和 B,用 A 乘 B 的結果永遠會和用 B 乘 A 一樣,你用計算機怎麼試答案都不變。一個袋子裝三塊錢、兩個袋子總共是六塊錢;一個袋子裝兩塊錢,三個袋子總共還是六塊錢。

如果隨便拿兩個數字 A 和 B,用 A 乘 B 的結果永遠會和用 B 乘 A 一樣。圖/pixabay

這件事對數字永遠都成立,是千真萬確的事實。然而,我們有個很好的方法能定義出一套數學架構,其中的 AB 不等於 BA。實際上,數學家已經鑽研這個領域很多年了。

條條大路通數學

或許更驚人的是,物理學家竟然也在許多地方應用這套數學,因為某些和物理學相關的事物也是 AB 不等於 BA。矩陣就是我們表示這些東西的一種方式。現在我在倫敦大學學院為新生上的數學方法課就有介紹矩陣力學。以前我的學校制定了一套「新數學」的課綱,所以我在年僅十五歲的時候就多少認識一點矩陣了。

數學的一個矩陣是一群按照行列排列整齊的數字。把兩個矩陣 A 和 B 相乘,會得到另一個矩陣 C,方法是把對應的列和行上面的數字依序相乘。

這種矩陣聽起來可能不像某部電影裡面那掌控一切、創造虛擬實境的超級電腦一樣迷人,卻有用的多。這部電影的角色身穿黑色皮衣,還有出現著名的慢動作躲子彈鏡頭

慢動作躲子彈鏡頭。圖/giphy

我來舉個例子。

你可以用一個矩陣來描述你移動某個物體的結果。相乘的順序(AB 或 BA)在這個例子有明顯的區別。物體先在原地轉九十度再向前直直走十公尺,和先走十公尺再轉九十度,兩種移動方式最後的終點顯然不會相同。假設矩陣B代表旋轉,矩陣 A 代表直行,那麼合在一起的「旋轉後直行」就是矩陣(C = AB);這和「直行後旋轉」的矩陣(D = BA)必定不會相同。C 不等於 D,所以 AB 不等於 BA。要是 AB 和 BA 永遠相同,我們就沒辦法用矩陣來描述這類的移動過程了。正是因為矩陣的乘法不可交換―非阿貝爾,這個工具才會如此有用。

數學和真實世界密不可分

在狄拉克試圖要找出能描述高速電子的量子力學方程式時,矩陣被證實是他所需要的工具。實際上,電子有某項特性讓狄拉克不得不使用矩陣來表示它,這項特性與他描述電子自旋的語言同出一轍;所有原子的行為和元素周期表的規律,都與自旋有深刻的關聯。除此之外,這個性質也啟發狄拉克去預測有反物質的存在。

數學和真實世界之間似乎有緊密的關係,這讓我讚嘆不已。優秀的研究要能解決問題、也要能提出好的問題。而問題永遠比解答還要多,為了研究我們要付出許多的時間和金錢,因此大家得做出抉擇。數學是威力極大的工具,能幫助科學家檢查實驗數據、並從結果當中尋找最有趣的新實驗方向。就算有些方法和結論,好比矩陣及反物質,看起來可是相當古怪的。

秉持著這份精神,我要在繼續討論希格斯粒子搜索實驗之前,先繞個路來講微中子,最後這回要介紹的是一個很重要的真實結果。2012 年 3 月 7 日,中國的大亞灣核反應爐微中子實驗(DayaBay Reactor Neutrino Experiment)發表了最新的研究成果。

One of the Daya Bay detectors.圖/wikipedia

他們的實驗結果不但對標準模型影響重大,也會決定粒子物理學未來的研究走向。如果你只想要繼續讀希格斯粒子的故事,大可跳過這一段沒關係,下一節再見。但是微中子的粉絲可千萬別錯過精彩好戲了!

——本文摘自《撞出上帝的粒子:深入史上最大實驗現場》,2022 年 12 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

貓頭鷹出版社_96
50 篇文章 ・ 20 位粉絲
貓頭鷹是智慧的象徵。1992年創社,以出版工具書為主。經過十多年的耕耘,逐步擴及各大知識領域的開發與深耕。現在貓頭鷹是全台灣最重要的彩色圖解工具書出版社。最富口碑的書系包括「自然珍藏、文學珍藏、台灣珍藏」等圖鑑系列,不但在國內贏得許多圖書獎,市場上也深受讀者喜愛。貓頭鷹的工具書還包括單卷式百科全書,以及「大學辭典」等專業辭典。貓頭鷹還有幾個個性鮮明的小類型,包括《從空中看台灣》等高成本的視覺影像書;純文字類的「貓頭鷹書房」,是得獎連連的知性人文書系;「科幻推進實驗室」則是重新站穩台灣科幻小說市場的新系列,其中艾西莫夫的科幻小說,已經成為台灣讀者的口碑選擇。

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數學有多好用?從種馬鈴薯到上太空,那些我們沒發現的數學——《大自然的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/12/25 ・2278字 ・閱讀時間約 4 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

數學的共振系統存在於太陽系中

太陽系的動力系統充滿了共振。

月球的自轉由於受到其他天體的攝動(perturbation),因而有輕微的起伏,不過它的自轉週期與它環繞地球的公轉週期相同,這是自轉週期與軌道週期的「一:一」共振。因此,我們在地球上總是看到月球的同一側,從來無法看到月球的「背面」。

水星每隔五十八.六五日自轉一周,每隔八十七.九七日公轉太陽一周。二乘八十七.九七等於一七五.九四,而三乘五十八.六五等於一七五.九五,因此水星的自轉週期與軌道週期是一個「二:三」共振。事實上,長久以來,天文學家一直以為兩者構成「一:一」共振,以為兩個週期大約都是八十八日。

因為想要觀察像水星這麼接近太陽的行星,實在是一件很困難的事情。這使得天文學家相信,水星的一側熱得不可思議,而另一側則冷得不可思議,最後卻發現事實並非如此。不過共振還是存在,而且比單純的「一:一」更有意思。

在火星與木星之間,有一個寬闊的小行星帶(asteroid belt),其中包含了數千個微小的天體。這些小行星的分布並不均勻,在某些與太陽距離固定的軌道上,我們發現還有些「小行星子帶」,在其他距離上則幾乎找不到它們的蹤跡。這兩者都得歸因於與木星的共振。

火星與木星間的小行星帶。圖/wikipedia

希耳達群(Hilda group)小行星就位在小行星子帶,它們與木星形成「二:三」共振。也就是說,這群小行星所處的位置,剛好使它們在木星公轉兩圈的時間中環繞太陽三圈。而最有名的小行星帶隙(gap of asteroid),則是「一:二」、「一:三」、「一:四」、「二:五」與「二:七」的共振。

各位讀者也許有些擔心,為什麼共振同時能夠解釋小行星帶的叢聚與間隙呢? 答案是每一個共振都具有本身的動力學特徵,某些會造成叢聚效應,某些的作用則剛好相反,全都由共振比例數字來決定。

用數學來預測未來

數學的另一項功能是進行預測。

在了解天體的運動之後,天文學家便能預測月食、日食,以及彗星的回歸等等。他們知道應該將望遠鏡對準何處,才能重新發現運行到太陽背面、暫時無法觀測的小行星。由於潮汐主要是由日、月與地球的相對位置所控制,所以他們也能預測許多年後的潮汐。

(但這種預測的主要困難並非來自天文學,而是大陸的形狀與海底的地形,它們都能使某個高潮提前或延後。然而,即使過了一個世紀,這些地理因素也幾乎不會有什麼改變,因此一旦了解它們造成的效應之後,將這些效應考慮在內只是例行公事。)

反之,想要預測天氣則困難無數倍。對於控制天氣的數學,我們知道的跟控制潮汐的數學一樣多,可是天氣天生就有一種不可預測性。縱使如此,氣象學家仍能做出有效的短期預測,比方說三、四天以後的天氣。不過,天氣的不可預測性與隨機性毫無關聯。在第八章中,當我們討論到混沌概念的時候,將會詳加探討這個題目。

數學所能做的遠不止於預測。一旦了解某個系統如何運作,我們就不必再做個被動的觀察者了。我們可以試圖控制這個系統,讓它照我們的意思行事。可是最好不要野心太大,例如天氣控制就仍處於嬰兒期,我們還無法隨心所欲地造雨,即使天上有一大團現成的雨雲。

控制系統的例子不勝枚舉,從保持汽鍋溫度固定的恆溫器(thermostat)到中世紀式的造林。還有,假如沒有精妙的數學控制系統,太空梭就會在空中橫衝直撞,因為任何太空人絕對沒有足夠迅速的反應,可矯正它固有的不穩定性。至於使用電子式心律調節器幫助心臟病患者,則是控制的另一項實例。

這些例子,讓我們看到數學最為實際的一面,也就是它的實際應用:數學如何造福人群。

隱身文化幕後的數學工具

我們的世界奠立在數學基礎上,數學不可避免地深植於全球文化中。我們並非總能夠了解數學對我們的生活有多大影響,理由是它被人盡可能藏在幕後。

這是很合理的,譬如您找旅行社安排一次度假旅遊時,不必了解設計電腦或電話線的數學與物理理論,也不必了解使某座機場能起降最多架次飛機的最佳化(optimization)程式,或是為駕駛員提供正確雷達影像的信號處理方法。

當您收看電視節目的時候,也不必了解在螢幕上製造特殊效果的三維幾何、藉由衛星傳送電視訊號的編碼方式、解出衛星軌道運動方程式的數學技巧,以及在製造可將衛星送到定位的太空的各個零組件時,每個步驟所應用的數千種不同的數學工具。

還有,農夫在種植新品種的馬鈴薯時,也不必知道遺傳學統計理論,不必知道這理論如何幫助育種學家找出何種基因使這品種具有抗病性。

然而,以前一定有人了解這一切,否則飛機、電視、太空船、抗病性的馬鈴薯都不可能發明出來。現在也需要有人了解這一切,否則它們就不會繼續運作。而將來也需要有人發明新的數學,以便解決新出現的或迄今尚未有解的難題,否則當我們面對某種改變,必須解決新的問題,或是舊問題需要新的解答時,我們的社會便會崩潰。

假如數學以及所有植基其上的發展,突然之間從我們的世界消失,人類社會將在瞬間四分五裂。又假如數學從此停滯不前,再也不會向前邁出一步,我們的文明便會很快開始倒退。

——本文摘自《大自然的數學遊戲 》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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將數學具象化!從複雜數學世界中看見規則——《大自然的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/12/24 ・2696字 ・閱讀時間約 5 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

我還有另一個夢想。

我的第一個夢想「虛擬幻境機」只是個科技產物,它能幫助我們將抽象的數學視覺化,促使我們建立新的直覺,讓我們得以忽略數學問題中冗長沉悶的數字結構。

尤其重要的是,它能使數學家對心靈世界的探索變得更容易。但是,由於數學家在數學園地流連忘返時,偶爾也會創造出新景觀,因此虛擬幻境機也可扮演創造性的角色。

事實上,虛擬幻境機或者類似的產品,很快就會問世。

將數學的複雜運作歸類成簡單的模式

我將第二個夢想稱為「形態數學」(morphomatics),它並不是一種科技,而是思考方式。就創造性而言,形態數學具有極為重大的意義。但我卻不知道它是否真會出現,甚至不知道是否有此可能。

我希望答案是肯定的,因為我們都需要它。

上一章的三個例子「液滴、狐與兔、花瓣」彼此間的結構有很大的差異,可是對於這個宇宙如何運作,它們都顯示了相同的哲學觀。它們不像運動定律導出行星橢圓軌道那樣,能直接從簡單的定律導出簡單的模式。相反的,它們貫穿枝葉茂密的複雜性巨樹,最後在適當的尺度下,才終於陷縮成相當簡單的模式。

「水龍頭滴水」這個簡單的敘述,伴隨著極端複雜而不可思議的一連串變遷。

雖然我們已有了電腦模擬的證據,我們還是不知道從流體定律中「為何」會導致這些變遷。這是個簡單的結果,可是起因卻不單純。

在狐狸、兔子與草地構成的數學電腦遊戲中,則包含了許多複雜而隨機的規則。然而,這個人工生態的重要特徵,卻能以四個變數的動力系統來表現,精確度高達百分之九十四。

花瓣的數目是所有原基進行複雜交互作用的結果,但是藉著黃金角,這些作用卻剛好導致各種費布納西數。費布納西數是每位數學福爾摩斯的線索,而不是躲在幕後的元兇。在這個問題中,數學莫里亞提(Moriarty,譯注:福爾摩斯的死對頭)並非費布納西,而是動力學;是自然界的機制,而不是「自然界的數」。

花瓣的數目剛好是費布納西數。圖/envatoelements

在這三個數學故事中,蘊含著一個共同的訊息:自然界的模式都是「突現的現象」,它們從複雜性海洋中突然冒出來,就像波提且利(Sandro Botticelli, 1445-1510)的維納斯乍現於貝殼中,毫無預兆,而且超越了母體。

它們不是自然律的深層單純性帶來的直接結果,那些自然律在這個層級並不適用。它們無疑是從自然界的深層單純性間接衍生而來,但由於因果之間的路徑太過複雜,以致沒有人能夠追尋每一步足跡。

創造一種嶄新的數學

如果我們真想掌握模式的突現,首先需要擁有一個嶄新的科學方法,它要能跟重視定律與方程式的傳統方法並駕齊驅。電腦模擬就是其中一環,可是我們還需要更多。僅由電腦告訴我們某個模式存在,這樣並不能令人滿意,我們還想知道「為什麼」。

這就代表我們必須建立一種新的數學,這種數學能將模式當作模式處理,而不會僅視為細微尺度交互作用的偶然結果。

我並不想改變現存的科學思考方式,它已經帶我們走了很長、很長的一段路,我呼籲的是建立另一個與它相輔相成的體系。

晚近數學最驚人的特色之一,就是開始注重一般性原則與抽象的結構,重心已由定量問題轉移到了定性問題。偉大的物理學家拉塞福(Ernest Rutherford,1871-1937)曾經說過:「定性是差勁的定量描述」,但是這種心態現在已經沒什麼道理。

拉塞福的名言剛好應該倒過來說:定量是差勁的定性描述。因為,能幫助我們了解並描述自然的數學性質種類繁多,數字只不過是其中一種。我們若想將所有的自由度都擠進局限的數值體系,就絕對無法了解樹木的生長或沙丘的形成。

建立一種新數學的時機業已成熟。拉塞福對定性推理的批評,主要在於失之草率;而這種新數學則擁有相當的嚴密性,卻又包含了更多觀念上的靈活性。

我們的確需要一種研究模式的有效數學理論,這就是我將我的夢想稱為「形態數學」的原因。令人遺憾的是,科學的許多分支如今正朝相反方向發展。

舉例來說,DNA常被視為生物體形態與模式的唯一解答,然而當今的生物發育理論,卻不足以解釋為何有機與無機世界分享了那麼多的數學模式。或許,DNA是將動力學規則編入了密碼,而非僅僅控制發育完成的模式。假如真是這樣,當今理論顯然忽視了發育過程的許多關鍵步驟。

建立適當的自然數學體系

數學與自然形態有密切關聯的想法源自湯普生,事實上,還可以遠溯到古希臘人,甚至巴比倫人。然而,直到最近這些年,我們才開始發展堪稱適當的數學。

過去的數學體系本身都太死板,都是為了遷就鉛筆與紙張的限制而創製的。

比如說,湯普生注意到,有多種生物體的形狀與流體的形態極為相似,可是如果想要模擬生物體,當今的流體力學使用的方程式卻嫌簡單得過分。

如果我們在顯微鏡下觀察一個單細胞生物,最不可思議的就是它的運動顯得有明確的目的,看來好像真的知道該往哪裡走。事實上,它是以一種非常特殊的方式,對周遭的環境與內在的狀態做出回應。

生物學家正逐步揭開細胞運動機制的神祕面紗,這些機制比起傳統的流體力學可要複雜許多。細胞最重要的特色之一,是擁有所謂的「細胞骨架」(cytoskeleton),它是某種互相糾纏的管狀網絡,看起來就像一捆稻草,功能是做為細胞內部的剛性支架。

細胞骨架具有驚人的靈活性與動態結構,在某些化學物質的影響下,它可以完全消失無蹤;而不論任何地方需要支撐,又都可以在該處生長。

細胞質中的微管。圖/wikipedia

其實,細胞運動所憑藉的,就是拆卸某些骨架而改搭在另一處。

細胞骨架的主要成分是微管,在討論對稱時我曾經提到它。我在那一章說過,這種不尋常的分子呈長管狀,是由兩種單元:α─微管蛋白與β─微管蛋白組成的,兩者排列成如同西洋棋盤的黑白相間圖樣。

微管可藉增加新單元而生長,也能像香蕉皮那樣從頂端向後捲縮。它的捲縮速率遠大於生長速率,但這兩種傾向都可用適當的化學物質來刺激產生。

——本文摘自《大自然的數學遊戲 》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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