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捷運地下委員會的旅行業務員問題

賴 以威
・2015/05/18 ・6172字 ・閱讀時間約 12 分鐘 ・SR值 463 ・五年級

才到中正紀念堂站嗎?今天看書效率還挺高的。

孝和放下手中的講義。

Photo credit: George Alexander Ishida Newman
Photo credit: George Alexander Ishida Newman

上大學後,他養成在捷運上閱讀的習慣。早上11點的捷運車廂空蕩蕩,彷彿是為了將郊區的新鮮空氣運送到市中而行駛,只有孝和與另一位乘客,那人身旁擺了個紙箱,乍看之下也是剛上大學的年紀,卻散發出一股同學沒有的氣息。正確地說,是少了大學生的青春氣息,更像社會人士。

為什麼可以這時候在捷運上,業務員嗎?不,業務員不應該穿Uniqulo襯衫跟牛仔褲……,孝和猜測起對方背景,藉此打發時間。

列車抵達台電大樓終點站。孝和下車,轉身面對月台,等往公館的下一班列車。忽然,他意識到月台上只有自己一人。

那傢伙不見了。

幾天後孝和又遇見他了。

那人坐在相同的位子,偶爾看手機,大多時間往漆黑的窗外看著。或許是錯覺,孝和覺得投影在窗戶上的那張臉不時窺視自己。比起無趣的學校,曾經莫名其妙消失的傢伙讓孝和更感興趣。他沒在公館下車,一路來到了終點站新店。下車後,孝和保持一段距離,用眼角餘光觀察對方,兩人一前一後上電扶梯、出站。站外的洗手間,清潔人員正擺上「清理中」的黃色告示,那傢伙卻視若無睹地進去。

「不好意思。」

孝和低聲道歉後也跟了進去。

那傢伙站在最內側的小便斗前,與孝和對望了一秒,又像沒看見他似地,轉過頭吹起口哨。孝和走向小便斗。忽然,三間廁所門都被推開,三個邋塌的中年男子走出來,擋住孝和的去路,從他們緊靠的身上傳來一股刺鼻體味。孝和察覺不對勁,準備轉身離開,卻被一支拖把從背後頂住。

「不要動。」

清掃人員的聲音從看不見的死角傳來。

「上完廁所的瞬間最舒服了,呼。你是怎麼發現的?」

孝和沒回答。對方吹著口哨走過來,似乎是英國搖滾天團U2的「With or without you」旋律。他伸出手:「我叫賴皮,你好。」

「你還沒洗手。」

Photo credit: arianne
Photo credit: arianne

「真的有『捷運地下委員會』這個組織?」

「敝人為初代會長,鏡頭在哪裡?」

「沒那種東西。」

孝和伸手制止賴皮比Ya的手勢。儘管剛認識,兩人卻像老友一樣打鬧著。孝和覺得賴皮和他高中死黨很像,都是思考很超展開的人。以前死黨還說過「籃球隊先發五人,棒球隊先發九人,為什麼女朋友只能先發一人」這種莫名其妙的話。

「不能拍照噢,禁止攝影。」

賴皮露出正經的表情,孝和吐槽道:「這裡是博物館嗎?」

事實上,這裡恐怕是跟博物館相差最遠的地方了。

在孝和眼前展開的是一條昏暗的捷運隧道,約四、五米挑高,往隧道深處望去有種整個人要被吸進去的錯覺。軌道上鋪了一好幾大片塑膠地板,他們坐在上方。空氣中瀰漫一股柴油發電的油氣味,幾十條電線從發電機出發,像地底才有的藤蔓品種,攀爬上水泥牆,抵擋不過重力,從隧道頂垂吊下來,開出一朵朵澄黃色的工業燈泡。不遠處,有一塊用伸縮圍欄拉出的區域,幾片模糊的身影側躺在那兒。更遠處有許多箱子,整齊堆疊著。

二十分鐘前,賴皮帶孝和搭上終點站是台電大樓的列車,

「趕快躲到椅子下。」,賴皮邊指揮孝和,自己躲到對面椅子底下。站務人員的腳從他們面前經過,沒停下來,不知道是沒看到,還是跟賴皮有默契。他們在折返的袋狀軌處扳開車門,步行到原本作為擺放備用列車,如今已荒廢的軌道。

這是捷運地圖上沒有的區域,同時也是捷運地下委員會的總部。

「還是不相信嗎?」

賴皮發出嘖嘖嘖的聲響,皺起眉頭:「人類真容易被『常識』束縛,常識裡不該有的存在,親眼見到了也無法相信。」

他裝起客服人員的腔調:「各位先生女士,捷運地下委員會起源於民國八十五年。當時淡水線剛通車,遊民喜歡躲進尚未啟用的隧道裡生活,當局發現後,一方面同情遊民生活,一方面怕強力驅趕引發社會問題,便睜一隻眼閉一隻眼。為了感謝捷運局通融,遊民主動幫忙工程。雙方就像小丑魚跟海葵互利共生。爾後捷運網路發達,遷徙至地下的遊民也越來越多,便成立了捷運地下委員會。除了協助工程,今年更將觸角延伸至送貨服務。」

「 送貨服務?」

賴皮點點頭:「捷運網路就像台北市的血管,血管能輸送氧氣,捷運當然也能送貨。」

我們不僅是小丑魚,還是紅血球。賴皮雙手插腰,一臉得意的樣子。

Photo credit: creativegaz
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地下委員會的送貨方式是這樣的:某幾站的廁所掃具間裡設有販賣機,販售一張50元、上面繪製了「U2」的黑底紅字貼紙,販賣機上有QR code可加LINE ID。

「為什麼叫U2?」

孝和把玩著賴皮遞給他的貼紙

「因為是捷運(underground)的地下(underground)服務委員會啊,剛好兩個U。」

「台北捷運叫做MRT又不是underground,根本是因為你喜歡U2吧。」

「那是巧合。」

賴皮不理會孝和,繼續解釋:「客人得坐在第一節車廂末端的靠右三人座,將物品貼上貼紙,再用LINE告訴我們此刻正通過哪一站,要送達的車站,再把物品放在座位底下,我們就會去收貨。」

「不會被別人拿走嗎?」

賴皮用「這是什麼問題」的表情瞪了孝和一眼,「現在捷運上每個人都在玩手機,不會有人注意到座位底下的。況且,這裡是台北市,都市人最擅長對奇怪的事情裝作沒看到。」

果然又是常識害的嗎,孝和心想。

「收到後,我們會於24小時以內以遺失物品的名義送達到該站站務。之後,收件人就可以去取貨了。」

解釋完,賴皮又吹起口哨,這次換成U2的「Pride(In the name of love)」。孝和採取正面攻擊發問:「幹嘛告訴我這麼多?」

「因為我們需要你的幫忙。」

賴皮露出狡猾的笑容。到這邊起才是重點。

賴皮起身走向牆邊,孝和跟在後頭,牆上貼了幾十張表格,記錄捷運不同站間的乘車時間。

表1

「我們最近送貨服務越做越好,開始有些忙不過來,所以得好好規劃起送貨流程。好比說,等等輪到仁叔送貨。」

賴皮往休息區一指,也不管孝和到底有沒有搞清楚仁叔是誰,

「他得送到『板橋、中山、動物園、徐匯中學、南京復興、市政府、善導寺、大安森林公園』八站。你覺得送貨順序怎麼排會比較好?」

「這是旅行業務員--」

Photo credit: katerha
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賴皮打斷孝和,他說「我是這樣安排的:

賴皮的直覺法 台電大樓 板橋 徐匯 中山 南京復興 市政府 動物園 大安森林 善導寺 台電大樓 總和
18 35 14 4 11 26 21 9 13 151

根據捷運局公布的時間,需要花--」

「151分鐘。」

換孝和打斷賴皮。

「好厲害!這麼快就算出來了。」

賴皮提高音量,發出由衷的讚美,孝和的表情沒有任何變化,依然專注地看著牆上的表格。

「地表人真沒禮貌,被讚美了難道不該道謝嗎?」

「你有兩隻手跟兩隻腳,好厲害。」

「這跟那有什麼關係?」

「看吧,你也沒說謝謝。聽到對方陳述一件事實,本來就不需要道謝吧。」

賴皮做出下巴脫臼的誇張姿勢,然後嘴角露出反擊的笑容

「也是,畢竟是數學天才孝和嘛。」

突然被叫出本名,孝和還沒反應過來,一本書先出現在眼前,

「上週有人用我們的服務送了這本《超展開數學教室》,我一看,就覺得書裡的人好眼熟,跟捷運上常看到的某位大學生很像。」

被將軍了,孝和哭笑不得。前陣子,他們高中時期和老師雲方用數學解決各種生活問題的經歷被出版後,死黨阿叉還用LINE問他:「怎麼辦,會不會有人在路上認出我們啊?」

「你放心吧,書被分在數學類科普,通常不會賣很好。」

「什麼嘛--」

孝和這才意識到原來阿叉是巴不得被認出來。沒想到先一步被發現的是他,還因為這本書被捲入了這近似都市傳奇的組織。

「我知道了。你要我幫忙排送貨流程嗎?」

賴皮點點頭,「跟聰明人講話真輕鬆。現在都靠我慢慢排,其他人懶得要命,要是不事先排好,他們就會隨便選。像仁叔每次都選『最近的下一站』,照他的方法這趟得花181分鐘,

最鄰近搜尋法 台電大樓 中山 南京復興 善導寺 大安森林 市政府 板橋 徐匯 動物園 台電大樓 總和
11 4 10 9 17 23 35 41 31 181

比我規劃的多了半小時,太浪費……」

賴皮劈哩啪啦講著,孝和將他的話視為背景噪音,腦海裡開始運算。等賴皮告一段落,他才開口

「這是標準的旅行業務員問題(Traveling salesman problem)。」

「嘎?」

「我剛一開始就說了,是你打斷我的。」

「想像有位業務員要造訪很多城市,城市間有道路連接。以造訪完所有城市為前題,業務員該如何規劃造訪順序,才能走最短距離、花費最少時間。」

孝和在地下幾十公尺深的地方上起數學課:「仁叔的『最近站為下一站』是最鄰近搜尋法(nearest neighbor search)。」

「仁叔的方法也是數學家提出來的?當數學家也沒想像中的難嘛。」

賴皮不以為然說,孝和瞪了他一眼:「最鄰近搜尋法的優點在於簡單,但效果通常不好,用像你這種程度的大腦去規劃一下,往往就可以得到更好的結果。」

「太失禮了吧,什麼叫做『像我這種程度的大腦』,全台灣有誰比我更了解捷運,你能背出淡水信義線沿線每一站嗎?淡水、紅樹林……」

賴皮念咒似地背起來,孝和研究乘車時間表格,圈起其中幾個欄位。

「大安森林公園、信義安和、大安……顛倒了……這幾站安來安去真煩,你知道嗎,我常因此被下錯站的觀光客問路……101、象山站!」

「不錯嘛,真的背完了。」

「當然,哈哈。你把這幾個圈起來做什麼?」

孝和原本想說「這才叫讚美,因為你做了超乎預期的事」,但看到賴皮一臉得意,他反而失去了嘲諷的興致。

「另一種簡單的方法叫做貪婪演算法:每次都將最短的兩站間路徑加進路線。比方說,中山站到南京復興之間的路徑最短,只要4分鐘,所以是第一條要納入的路徑。再來,善導寺跟中山站之間的路徑第二短,只有7分鐘,也要納入路徑。這麼一來會得到『善導寺→中山→南京復興』或反過來『南京復興→中山→善導寺』兩種路線。」

「再來是9分鐘的市政府到善導寺,路線擴充成『大安森林公園→善導寺→中山→南京復興』嗎?」

孝和點點頭。其實旅行業務員問題還有很多效果更好的演算法,例如插入法(insertion algorithm)、分支界定法(branch and bound),但講解起來太過複雜,他便選了跟最鄰近搜尋概念相似的貪婪演算法。孝和列出貪婪演算法結果:

貪婪演算法 台電 板橋 徐匯 大安森林 動物園 市政府 善導寺 中山 南京復興 台電大樓 總和
18 27 25 21 26 9 7 4 16 153

「共計153分鐘。」

「比我的規劃慢2分鐘。」

賴皮摸摸下巴,對孝和投以懷疑的眼神。孝和不屑地鼻子噴了口氣,冷笑說:「有經驗的人靠直覺解旅行業務員問題,本來就可以得到不錯的結果。但你剛才不是嫌只有你才會排嗎?貪婪演算法的話只要遵守規則,仁叔也能排出跟你精心設計路徑差不多的結果噢。」

孝和頓了頓,「只要善用數學,一般人跟『專家』的距離就能縮小。更何況我還沒講完。」

孝和指著倒數的中山站和南京復興說,「我們交換這兩站順序。從『善導寺→中山→南京復興→台電大樓』變成『善導寺→南京復興→中山→台電大樓』。有兩條路徑會因此變更。」

孝和畫出示意圖

2opt

「因為有兩條路變換,稱之為二元素優化(2-opt),優化後變成151分鐘,跟你的方法一樣了。」

賴皮表情變得複雜,他既不想被超過,又因為找到好方法而開心。孝和看了好笑,用帶點安慰的口吻說:「你的路徑也可以靠2-opt改善。另一種方法是直接調整某站在排序裡的位置。比方說把南京復興從善導寺跟中山之間,移到動物園跟市政府之間。這個調整會導致三條路徑要重算,因此稱為『三元素優化(3-opt)』。」

3opt

「優化後再少4分鐘。重複2/3-opt四次後可以得到這樣的結果

貪婪演算法+2/3-opt 台電大樓 板橋 善導寺 市政府 動物園 南京復興 徐匯 中山 大安森林 台電大樓 總和
18 14 9 26 18 18 14 10 10 137

只要137分鐘就能送貨完畢,比仁叔的方法快了25%。整套調整的方法稱為Lin-Kernighan演算法。」

賴皮拿起筆自己算起來,孝和注意到他握筆姿勢怪怪的,宛如小學生的字體逐漸填滿整張白紙。

圖1

幾十分鐘後,賴皮讚嘆:「原來這就是數學,將事情變得有邏輯,用有系統的方法解決。」

一個念頭在孝和心中閃過:「賴皮,你該不會--」

「嗯,我是在捷運上被發現的棄嬰。當時收留我的就是仁叔。捷運地下委員會最初也是為了照顧我而成立的組織。」

原來眼前的人連身分證都沒有,是真正的幽靈人口。

孝和揣摩著遊民們撿到賴皮時的心境。一個新生兒的出現,對他們來說必然是個負擔,但或許也帶來了生存下去最必須擁有的兩種情感:「希望」與「被需要」。

賴皮搔搔頭說:「名字是仁叔亂取的,我才不是真的姓賴咧。我的知識都是自學來的,雖然常聽說上學很無聊,不過我還是羨慕能上學的人。所以看到你們的《超展開數學教室》才這麼興奮。我想體驗看看,就算一次也好,進教室聽課。」

「你會失望的。」

「失望也是人生的一部分。」

賴皮攤了攤手。孝和搖頭回答:「好吧。那你有沒有想過乾脆離開地底,回到正常社會生活呢?」

賴皮笑著回答:「對我來說這裡是家。儘管家裡比較髒亂,環境比較不好,但你會因此離開家裡嗎?」

孝和完全懂賴皮的意思。他自己也是這樣想,所以儘管這幾年來台灣狀況越來越不好,但他依然沒接受長輩們的建議,到國外念大學。一股莫名其妙的認同感驅使他說出:「好人做到底,我回去後寫個程式。以後你們只要輸入站名,程式就能輸出最佳送貨順序。」

「太棒了!身為地下委員會主席,我要好好感謝你的幫助。」

賴皮從口袋裡掏出厚厚一疊的貼紙。

「我授予你地下委員會榮譽委員,可終生免費使用送貨服務。」

誰需要這種東西啊,孝和正想推辭時:「附帶一提,你也可以在雨傘上貼這個。要是雨傘掉在捷運上,趕快傳LINE給我,我們立刻幫你送回去。這算是變形的失物代拾服務。」

這就蠻有用了,孝和收下了貼紙。賴皮轉身,俐落地從軌道跳上月台,回頭對賴皮伸出手:「我送你回去吧。」

遲疑了一下,孝和伸手與賴皮相握:「你到現在還是沒洗手。」

「哈哈哈。」

「賴皮這名字取得不錯,跟你的個性很貼切。」

「當然,家人取的嘛。」

孝和仰望月台上的賴皮,工業燈泡的光澤在他眼底流動,襯著昏暗的捷運地下隧道,顯得格外閃亮。

一周後,孝和把程式寄給賴皮,附了一份程式碼說明。如今每當想起有一群人,定居在巨大的捷運地下網路中,孝和就感到奇妙。

Photo credit: Y'amal
Photo credit: Y’amal

捷運車門打開,上午十一點的捷運空蕩蕩,彷彿只是為了運送郊區的空氣到市區。他從包包裡拿出一件籃球球衣,一本在二手書店找到的歷史小說,這是要給高中死黨阿叉以及他女友商商的。他在書裡夾了張紙條,上面寫了「下周四一起回學校看老師」,再將書與球衣裝進袋子,貼上U2貼紙。

捷運停車,上來一整群校外教學的國小學生,用高分貝的交談塞滿整節車廂。孝和站起來,往第一節車廂走去。來到最末端的座位,他瞥見座位底下隱約有個物體的輪廓。有人先一步送了貨嗎?他彎下腰檢查。

此時,後方傳來一陣熟悉的聲音:「客人,送貨嗎?」

 

註:更多孝和的故事,請參考《超展開數學教室

Photo credit: Stacy
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賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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比大還要再大!比「無窮」還要更大是什麼概念?——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/28 ・2660字 ・閱讀時間約 5 分鐘

我們都知道無窮(infinity)是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時,一定會想知道一件事:

什麼事物比無窮大?圖/經濟新潮社

比無窮還大?有可能嗎?

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題,也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」,而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看,但我們或許應該先訂好遊戲規則,讓大家知道該怎麼思考。

具體說來,我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物?如果是有限的量,要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易,但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷,所以必須選擇簡單明瞭的規則,用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼,在一般、有限的狀況下,我們通常怎麼判定「較大」?我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思?

右邊這一堆比左邊的更大圖/經濟新潮社

沒錯,用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人,這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念,我們該如何解釋右邊這堆較大?真的,試試看就知道。這個概念太基本了,其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時,數學中有個常用的技巧,就是提出完全相反的問題,看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?

我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?圖/經濟新潮社

我們不能用「相等」這個詞,因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思,以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來,一個對一個。如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。

如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。圖/經濟新潮社
圖/經濟新潮社

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來,就能得到「較大」的定義。

圖/經濟新潮社

現在問題已經定義清楚了,答案也隨之確定。那麼,世界上有什麼事物比無窮更大?答案是「是」還是「否」?世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘?現在我們可以思考之後猜猜看。

無窮跟無窮 +1 誰比較大?

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子,裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體,袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大?好吧,如果是無窮加一呢?

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響,但我們用配對規則來確認看看。首先,我們可以把無窮袋中的物體排成一排,這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

如果我們以最顯而易見的方式配對,無窮加一看起來當然更大。

不過要小心!規則指出,兩個事物必須無法正好兩兩配對,才會有一者較大。(最好經常回頭看清楚規則!)還有一種配對方法確實可行,而且兩方都不會有剩餘:

如果你覺得這樣好像在騙人,請花點時間告訴自己,這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對,而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體,不會有物體配對不到,所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮!

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

無窮大飯店!如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊,沿著走廊有一排房門,連綿不絕地延續下去,無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭,所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房,每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌,飯店裡每間房間都住滿了(對,這個世界裡有無限多個人)。如果沿走廊隨意走一段距離,選一扇門敲幾下,就會聽到:「有人!請勿打擾!」無限多間房間,裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說:「請問還有房間嗎?」我們不是第一天在無窮大飯店工作,當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說:「各位來賓,抱歉打擾一下,請各位來賓搬到下一間房間。沒錯,請收拾好行李,走出房門,朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作,祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後,就有房間給新住客了。

無限多間房間,無限多加一位住客,房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

無窮加五、無窮加一兆……都沒關係,這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對,可以多裝進一位客人。無窮非常大,任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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圓型 = 三角形?形狀之間的秘密關係——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/27 ・1427字 ・閱讀時間約 2 分鐘

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

數學家通常都想很多,這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念,試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時,很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問:形狀是什麼?構成形狀的要素是什麼?我們以形狀分辨物體時,會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的,以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼?當我們說某樣東西是圓形時,看到的是什麼呢?

形狀百百種,可以量化嗎?

當然,這些問題沒什麼意義。就實際用途而言,我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想,形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了,我們或許會問自己這個問題:

世界上有多少形狀?圖/經濟新潮社

這個問題很簡單,但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法,稱為廣義龐卡赫猜想(generalized Poincaré conjecture,或譯龐加萊猜想)。這個猜想提出至今已經超過一百年,目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多,有一位數學家解出這個問題的大部分,因此獲得了100萬美元獎金,但還有許多種形狀沒有找到,所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀?如果沒有更好的點子,有個不錯的方法是畫出一些形狀,看看會有什麼結果。

我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社
我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎?波浪線(squiggle)應該全部算成一大類,還是應該依彎曲的方式細分?我們需要一種通用規則來解決這類爭議,才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師,通常會希望規則既嚴謹又精確:必須長度、角度和曲線都完全相等,兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學(geometry)這個數學領域。在這個領域裡,形狀嚴格又精確,經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

決定兩個形狀是否相同的規則相當多。圖/經濟新潮社

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀,但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則,它能夠把所有的形狀分成若干類別,但類別的數量又不至於太多。

所以三角形可以等於圓形。圖/經濟新潮社




——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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另外一個你可能存在嗎?從宇宙誕生到現在,你的存在需要經過一千兆個「偶然」——《宇宙大哉問》
天下文化_96
・2022/09/23 ・3064字 ・閱讀時間約 6 分鐘

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

  • 作者/豪爾赫.陳、丹尼爾.懷森
  • 譯者/徐士傑、葉尚倫

還有另一個你嗎?

如果世界上某個地方有另一個版本的你,會不會很奇怪?

這是什麼科幻劇情?圖/天下文化提供

你們兩個之間有很多共通點,喜歡吃的水果(香蕉)、不喜歡吃的水果(桃子)、擁有同樣的技能(製作香蕉冰沙)和相同的缺點(香蕉冰沙吃了停不下來)、同樣的記憶、幽默感以及個性。當你知道有其他版本的你存在時,你會覺得很怪異嗎?你會想與他們會面嗎?

想像一下更詭異的情況:有個人幾乎和你完全一模一樣,僅稍稍有些不同。如果這個人比你更好呢?也許他做的水果冰沙更加美味,或者生活的方式更有意義。或者,這個人比較沒有才華,但是比較卑鄙,就像是邪惡的分身呢?

假如有幸能見到另一個你,或許你可以發現自己的更多可能。圖/天下文化提供

這有可能嗎?

雖然讓人難以想像,但物理學家不能排除另一個你存在的可能性。事實上,物理學家不只認為另一個你是可能存在的,甚至認為另一個你存在的可能性更高。也就是說,就在此刻,當你讀到這篇文章時,可能有另一個你正在某個地方,穿著和你一樣的衣服,以相同的方式坐著,甚至讀著同樣的一本書(好吧,也許是稍微有趣的版本)。

搞不好另一個你也正在看這篇文章喔!圖/天下文化提供

要瞭解另一個你存在的意義及可能性,我們得先考慮你的存在有多麼獨特。

你存在的機率

乍看之下,世界上有另一個與你毫無二致的人,機率好像是微乎其微。畢竟,想像一下,為了讓宇宙創造你,有多少事情必須發生,而且要環環相扣,缺一不可。

超新星必須在氣體和塵埃雲附近爆炸,藉著震動造成引力崩坍,形成我們的太陽和太陽系。這些塵埃中的一小塊(不到萬分之一)必須聚集在一起形成行星,並與太陽保持合適的距離,這樣水就不會結冰或變成蒸汽。生命一定要開始,恐龍必須滅絕,人類不得不演化,羅馬帝國必須崩潰,而你的祖先必須逃過黑死病。然後,你的父母必須相遇並且喜歡上了彼此。你的母親務必在正確時間排卵。在與數十億顆精子的馬拉松游泳賽中,帶有你一半基因的精子必須衝刺獲勝。單單是讓你誕生,就需要這一連串事件。

宇宙必須經歷一連串事件,才會有現在的你。圖/天下文化提供

想一想你在生活中做出的所有決定,使你成為今日的你。你有沒有吃很多香蕉。你有沒有遇到那個重要的朋友。你那時候決定待在家裡,否則會被水果推車碾過。不知何故你發現了這本關於宇宙的蠢書,並決定閱讀它。所有的一切,都從四十五億年前開始,導致了你此時此刻在這裡存在。

假如所有事情以完全相同方式再次發生,從而造就另一個你的機會有多大?這似乎不太可能,對吧?

也許不是喔!讓我們回溯所有導致你出現的隨機事件、決定和時刻,並試著計算機率是多少。

讓我們從今天開始算起:你醒來後做了多少決定呢?你可能決定怎樣起床,穿什麼衣服,吃什麼早餐。即使是看起來很小的決定,也可能改變你的人生歷程。例如,你選擇穿有香蕉圖案的襯衫或者是領帶,可能影響你未來的配偶有沒有注意到你。

讓我們假設,你每分鐘大約會做出一兩個可能改變人生的決定;這聽起來好像很有壓力,但如果你贊同量子物理學和混沌理論,數字應該會更高。假設每分鐘只有幾個決定,那麼你每天就要做出數千個重要決定,每年就高達約一百萬個。如果你超過二十歲,人生到目前為止,就已經做出超過兩千萬個決定,才會有今日的你。

接下來,假設你做的每個決定只有兩種可能,例如 A 或 B,或者香蕉和桃子。好啦,我知道通常要選擇的項目很多(譬如,早餐店的菜單選項多不勝數),但讓我們簡化問題。要計算那兩千萬次決定而成為你的可能性,你必須取 2 的兩千萬次方,即 220,000,000

如果你超過二十歲,人生到目前為止,就已經做出超過兩千萬個決定,才會有今日的你。圖/天下文化提供

為什麼?因為每做一次決定就會讓可能的數目加倍。舉例來說,你必須選擇從哪邊(左邊或右邊)下床、早餐吃什麼水果(香蕉或桃子),以及上班搭什麼交通工具(火車或公車),總共就有 2×2×2(或 23)種開啟一日行程的方式。你從左邊下床、吃香蕉並坐公車的機率是 23 分之一,或說 8 分之一。

因此,如果你在生活中做出兩千萬個 A 或 B 的決定,那就意味你的生活可能有 220,000,000 種不同的結果。這真是一個驚人的數字,是吧!但我們才剛開始暖身而已!

我們還必須考慮你的出生機率,包含你父母做決定的可能結果。如果將你父母的決定算進來,就必須再加上四千萬個決定(你父母各兩千萬個)。再加上你四個祖父母,還有八千萬個。曾祖父母呢?還有一億六千萬個。你瞭解了嗎?每回推一個世代,祖先數量就增加一倍,影響你出生的決定數量也跟著加倍。人類已經在地球上生活了至少三萬年,或許可換算為大約一千五百個世代。若將你所有祖先全部考慮進來,可能的數量會更龐大。

如果再將你父母的決定算進來,就必須再加上四千萬個決定。圖/天下文化提供

其實,真要計算起來實際情況更加複雜,如果回溯得夠遠,你會發現親戚之間盤根錯節的關係,同一個人可能在你的家譜中重複出現,除了引發令人尷尬的話題之外,也讓數學計算變得更加複雜。為簡單起見,我們假設你每代只受到兩個人的影響。這仍然有 1,500 代× 2 人× 2,000 萬個決定= 600 億個決定。及至目前為止,你發生的機率是 260,000,000,000 分之一。

只算到這裡就夠了嗎?讓我們考慮人類史前歷史並回溯到數十億年前最小微生物演化之時。在大約三十五億年前,地球上的生命開始孕育。如果你不得不製作年代如此久遠的家譜,就會發現祖先主要是微生物和簡單植物。他們大概無法做出有意識的決定,但仍會遭受到隨機事件影響,諸如風如何吹動,陽光是否照耀,天降甘霖與否等等。

假設你的微生物祖先每天至少受到一個隨機事件影響,每個隨機事件也有兩種可能結果(例如,一塊石頭是否砸落在你的微生物祖先身上)。這意味我們必須將另外一兆(1,000,000,000,000)個決定事件添加到我們的機率中。

現在,讓我們回到四十五億年前太陽系剛形成的時候,找到你的構成原子之前所在的恆星或行星,然後再一路回到一百四十億年前的大霹靂。讓我們做個超級的低估,假設在那些日子裡,每天都發生了一件可能影響你來到人世的重要大事。直到今日,大約有一千兆個關鍵事件,你存在的機率陡然劇降到約21,000,000,000,000,000 分之一。

總而言之,你存在的機率大概是 2 的 1000 兆次方分之一。圖/天下文化提供

——本文摘自《宇宙大哉問:20個困惑人類的問題與解答》,2022 年 8 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

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