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科學心靈的藝術探索

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・2014/04/29 ・2795字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 554 ・八年級

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艾雪_早鳥資訊

這個世界存在什麼?世界是規律運行的嗎?這些絕對是科學探索的核心問題!而世界知名的平面藝術家,被封為「錯覺藝術大師」、「20世紀科學與藝術合謀的奇花」的艾雪,精采神妙地運用版畫藝術進行解題與深究,帶給人們的不只有科學知識的增長,也富含科學心智的感動。有人主張,艾雪的作品是數理邏輯與平面藝術的無限結合,是心理遊戲與空間透視的趣味解謎;對外界的解讀,艾雪也曾迷惑地說:「對我來說,這些作品到底是數學?還是藝術?仍然是個疑問。」

莫里茲.柯奈利斯.艾雪(Maurits Cornelis Escher)是荷蘭的雷歐瓦登市人,生於1898年6月17日。中學時美術課是由梵得哈根(F.W. Van der Haagen)教導,奠立了他在版畫方面的技巧。21歲時進入哈爾倫建築裝飾藝術專科學校讀三年,在該校受到一位老師美斯基塔的木刻技術訓練,這位老師的強烈風格,對艾爾後來的創作影響很大。艾雪曾說:「如果我們想建構一個宇宙,不能讓他是模糊不清的抽象物,而必須是可以識別的具體形象。」這無疑是一種科學甚至科技精神的「原型」。他的代表風格是建立在對於限定平面空間的配置思考而來的,例如「規則劃分的平面」,與由此發展而來的「滑動反射」、「轉換」、「軸心分裂」原則,以及後來走入的立體規則劃分平面,甚至到更加複雜的圓形規則劃分平面。由於他作品所顯露的規律但又充滿抽象概念的內容,常使許多數學家將艾雪的版畫,與數學或幾何定則連結……2011年,巴西里約的「艾雪的魔幻世界」,成為全球最受歡迎的展覽,每日平均參觀人數9677人,近期在有心人士與團體的策展及安排下,於台北故宮博物院以同名主題「艾雪的魔幻世界」展出,原本已是一場華麗豐盛的藝術饗宴,知曉內容意涵與創作背景,更能獲得一種「藝術科學新品種」的領會!

觀賞艾雪的作品總讓人思緒澎湃,聯想的向度與層面也會如其風格般地廣闊無彊,像是觀展當日,我不禁想到:如果學子表達強烈的理工興趣與繪畫偏好,那麼社會、學校、家長和學子將如何按照現今喊得滿天嘎響所謂「適性揚才」準則加以栽培?會從「理工為主,繪畫為輔」(或反之)加以定位,或是以「理工為業,繪畫為樂」(或反之)從事輔導,還是最後無奈而「務實」地選擇「棄畫從理」(或反之)?總覺得現今「流行」的「適性揚才」當中之「性(性向?)」,很多成分上要不是指一種個人片面的「喜惡偏好」,要不就只是一種可估價、可販賣的經濟技能(將來在社會市場上能找到待遇好一點的工作),僅此而已,並非甚至無關世界的真理與良善,距離真正的生活、生命與人類「本性」也十分遙遠,探其核心思想,它仍是將人們與其發展以「分門別類」的「效率生產製造觀」!?

艾雪讓世人驚艷的這些作品並無法滿足自己,他如同科學家一樣地探索世界,認識世界萬物的極限和基本規則。因此,他創造出一派新的研究領域,稱為「進化分割」(evolutionary tiling),一種不斷變化的分割方式,而這種變化本身是唯一不變的因素。歐幾里德在「幾何原本」書中證明:在三度空間中,只有五種正多面體可以無空隙地堆疊填滿整個空間,正式所謂的「柏拉圖立體」(Platonic solids)(正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體)。但是我們所知道的世界,並不是一個柏拉圖立體,這也是為什麼艾雪經常運用非歐幾何學。「非歐幾何的世界呈現了豐富的可能性,因此是數學家的研究重點。但是在現實世界中,我們透過有限的感官認識它,嘗試提升二維平面也能產生新奇的見解。」

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credit: CC by Barbara.Doduk@flickr
credit: CC by Barbara.Doduk@flickr

前些日子品讀維克多・巴巴納克《為真實世界設計》、杰・哈爾曼《大黃蜂飛得比波音747還快》、尼爾・波斯曼的《通往未來的過去》,題材迥異,卻正巧皆對現代文明在工業革命以後結合科技專業(分門別類)的科學發展中出現的扭曲、偏差、疏漏甚至荒謬提出了擲地有聲的批判,應當也某種程度地呼應了波普對孔恩思想為主流的科學哲學觀當中成王敗寇式的「歷史主義」的嚴厲指控,都不禁讓人重新審思:現今存在、流傳下來(去)(即便透過所謂的典範轉移)、競爭勝出的科學型態與科技文明,像是學術學院領導與主宰、同儕審查、科學期刊計點制度、企業研發、團隊競爭型計畫科研、科研傾斜商業…,這些建制與形式上「贏者全拿」的狀態是否就是較好較優的?在文明的演進中,我們是不是貶抑了一些也失缺了一些其實真好真優的科學人、事、物?如果答案為是,除了重新質疑自啟蒙年代以來科技樂觀主義者所持有的「進步主義」,我們是否反而應該對未來文明的可能性懷抱更多的投入與希望?

2013年,國立臺灣師範大學數學系許志農教授及其團隊,以「遊戲中的數學,數學中的遊戲」獲得國科會科學教育發展處的補助,剖開了艾雪作品中謎踪式的構圖,將藝術作品中蘊藏的幾何規律解構出來。「艾雪生活在二十世紀藝術繁盛時期,但他不屬於任何畫派,他就是艾雪。艾雪不僅在藝術界享有盛名,影響及於當代數學、科學、心理學界,以及科幻小說、文學設計與蒙太奇藝術,他留下充滿巧思的作品,至今仍令各界神往。」除此之外,細看艾雪的魔幻世界,會發現其中對於人性與社會的關懷,以及艾雪長久以來對於不同科學問題的興趣,例如他在凹凸形體鑲嵌的研究上,有其精闢的見解,甚至促成「結晶學」這門新興學門的精進,而在其他平面分割的作品裡,「則透過圖像與背景的操弄變換,或是無限推展的手法,試圖創造出一個無限的規律。」

觀賞艾雪大力著墨的「不可能存在的事物」系列作品,例如「上下階梯」(運用在數學界頗富盛名的潘洛斯(R. Penrose)階梯)、「水瀑」,更是發人省思。「通過利用人腦的弱點和扭曲的角度來看,艾雪成功地使我們相信我們所看到各種不可能的事物,這場『騙局』是那麼有說服力,因為我們的大腦被強制輪流注意畫作不同的細節,在這些作品中的任何一個細節都是可能發生並合乎邏輯的,但所有細節整體組合起來卻是不可能發生的(例如永動機)。」這一成就與向度,無非鄭重宣告也提醒世人,就算「證據說話、眼見為憑、資訊充分」的正確方式與精準觀點,仍無法完全排除結論整體的荒謬性!

「這個世界存在什麼?世界是規律運行的嗎?艾雪雖沒有替這些問題提供明確的解答,但是他成功地琢磨問題,無論在藝術或科學上都得到了顯著的成就。艾雪透過畫作,一再探索人類如何觀察自然、理解自然,甚至預測大自然的運行法則。」這次故宮博物院「艾雪的魔幻世界」展覽,帶往欣賞的三位六、七歲小朋友,在語音導覽設備的幫助下,超出預期地用心、耐心觀賞、聆聽上百幅的重點作品,不時還交流品賞心得,這些我以為嚴肅、深奧的「事物」,他們居然展現出毫不遜色的鑑賞能力與品味興致,雖然可能又造成「局部推導整體結論的荒謬性」,但我依然對充分融合藝術與科學的新文明充滿期待與希望!

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森林學研究所畢業 曾任台大創發社幹部(臉書社團 "創發社CAIV" 召集人 ) 某屆倪匡科幻獎得主 從事教育工作 科學科幻 自然生態 文藝創意 一切"豐富生命"的愛好者...

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藝術與科學的詩性相遇:《匯聚:從自然到社會的藝術探索》國際交流展
PanSci_96
・2024/06/04 ・3873字 ・閱讀時間約 8 分鐘

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本文由策展人紀柏豪提供

想享受一場同時兼具科技與藝術的饗宴嗎?來《匯聚:從自然到社會的藝術探索》國際交流展看看吧!

在當代社會中,藝術的角色正持續演進——它創造了一種新的美學,與社會、科學以及技術變革緊密相連。當社會面臨的挑戰因其複雜性而難以僅靠單一學科解決時,藝術研究因其跨越、融合不同知識領域的能力而具有新的意義。今日,許多創作者和機構採用跨學科方法,將藝術與自然、科學與感性、想像力與現實結合,創造嶄新的經驗、知識和美學。

在藝術與科學這兩個看似迥異的領域中,存在著一個共通的追求——深入理解我們所處的世界。這一追求不僅體現了人類對知識渴望的本能,也反映了我們對於更高層次的自我認知和宇宙認識的探索。藝術家透過創作,探索人類經驗的多樣性和情感的複雜性,用畫筆、雕塑、數位媒介來表達對世界的主觀理解。這種理解可能源於個人感受,也可能反映了廣泛的社會和文化現象。

藝術提供了一種通過感知和情感來接觸和理解世界的方式,使我們能夠透過個別經驗來抵達普遍的真理。科學則通過觀察、實驗和分析來探究自然界的法則和現象,尋求對世界的客觀理解。科學方法使我們能夠系統地收集資料、建立理論並驗證假設,從而深化對物理世界的認識。不僅解答了關於自然界的問題,也幫助我們理解了人類自身在這個宇宙中的位置和作用。

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儘管藝術和科學在方法和目的上有所不同,但它們都反映了人類對於更加全面和深刻理解世界的共同願望。藝術讓我們透過感受和想像來擴展對世界的認識,而科學則通過理性和證據來揭示秩序和結構。由國科會指導、國家實驗研究院主辦的《匯聚:從自然到社會的藝術探索》國際交流展,邀請觀眾一同探索藝術與科學的交會,體驗它們如何共同塑造我們對世界的認識和感知,並反思這一過程如何豐富我們的文化與知識視野。

展覽單元介紹

宇宙共生 —— 科技與宇宙的多維依存

當你仰望星空,有沒有想過我們與宇宙的關係?「宇宙共生」單元展示了科技如何將人類感性延伸至浩瀚的宇宙空間。麻省理工學院媒體實驗室的太空探索倡議小組(MIT Media Lab Space Exploration Initiative)帶來了在極端環境下的實地太空模擬,研究生存策略和科技應用。與之並置的《與細菌混了三千年》(3000 Years Among Microbes)則從微生物的角度重新審視太空探索中的殖民語言,帶來全新的太空想像。藝術家利用極端地貌與顯微影像並置,模糊人與微生物的分野,探討共生體概念在星際生態系中的應用。

感官賦能 ——透過科技重塑環境感知

「感官賦能」單元探索藝術家如何通過科技媒介重塑我們對環境的感知。兩位智利藝術家妮可·拉希利耶(Nicole L’Huillier)與派翠西亞·多明格斯(Patricia Domínguez)的《全像乳糜》(Leche Holográfica)是一場冥想式祈願,透過與不同元素的共鳴和諧,讓我們得以在螺旋時空中構想未來。

值得一提的是,藝術家妮可·拉希利耶與派翠西亞·多明格斯曾透過智利與歐盟的合作,在歐洲核子研究組織(CERN)進行藝術駐村計畫,並在那裡發展她們的作品。CERN 以其在粒子物理學上的重大科研成果而聞名,但即使是最前沿的科學研究,也需要藝術家的啟發。這樣的跨域合作不僅揭示了科學現象的美麗與複雜,更為科學研究注入了新的靈感和視角。藝術家的創意與想像力,能夠以不同於科學的方法來詮釋數據與實驗結果,從而開拓更廣泛的理解和應用。

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拉脫維亞藝術家羅莎‧史密特(Rasa Smite)和萊提斯‧史密茨(Raitis Smits)的《深度感知》(Deep Sensing),通過拉脫維亞伊爾本(Irbene) RT-32電波望遠鏡的歷史敘事,象徵性地橋接了技術的過去與現在,探問「為何擁有地球還不足以滿足人類?」該望遠鏡被前蘇聯遺棄,而藝術家們重返此地,探索這個巨大天線在當代的價值。虛擬點雲天線追蹤從太陽到地球的宇宙粒子流動,創造出沉浸式的視覺和聲音景觀,讓觀眾更易於理解氣候變遷的影響。

羅莎‧史密特和萊提斯‧史密茨是里加RIXC新媒體文化中心的共同創辦人,他們的作品結合科學數據、聲音化和視覺化、人工智慧和擴增實境技術,創造出前瞻性的網絡藝術。他們的作品曾在威尼斯建築雙年展、拉脫維亞國家藝術博物館等地展出,並獲得多項國際獎項。

網絡交織 —— 科技與社會的複雜關係

「網絡交織」單元深入探討科技如何影響我們的社會結構和人際關係。瑪麗莎·莫蘭·賈恩(Marisa Morán Jahn)的《銅色景觀》(Copperscapes)展示了銅在全球化勞動中的角色,揭示了這一自然元素如何影響我們的日常生活。她的作品以銅色眼睛作為見證,表現出礦區社區所承受的「身體負擔」,並在影片《銅的私處史》中探討礦物經濟的複雜性,突顯採礦活動對身體及地球主權的影響。

瑪麗莎·莫蘭·賈恩是具有厄瓜多和中國血統的藝術家,其作品致力於重新分配權力,展示藝術作為社會實踐的可能性。她的作品曾在歐巴馬時期的白宮、威尼斯建築雙年展、古根漢美術館等地展出,並獲得聖丹斯電影節和創意資本等獎項。

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李紫彤與孫詠怡的《岔經濟》(Forkonomy)利用區塊鏈技術,重新構想財產與國家之間的連結,探討擁有權背後的政治意義。這個藝術與社會運動計畫,通過工作坊和數位契約,探討如何購買或擁有一毫升的南海,並質疑現有的性別勞動分工和所有權制度。

李紫彤是台灣的藝術家兼策展人,作品結合人類學研究與政治行動,曾在國內外多個知名展覽中展出。孫詠怡是出生於香港的藝術家和程式撰寫者,專注於數位基礎設施的文化意義及廣泛權力的不對等問題,作品曾獲得林茲電子藝術節金尼卡獎等多項國際獎項。

印度藝術家艾蒂·桑德爾(Aarti Sunder)的《深海節點故事》(Nodal Narratives of the Deep Sea)將海底電纜這一隱藏基礎設施帶入視野,探討其與現代化項目、資本主義擴張及殖民主義的關聯。她的作品通過繪畫、物件和影片,展示了數據傳輸的路徑及其對生態系統的影響。

艾蒂·桑德爾的創作涉及影像、寫作與繪畫,專注於探討科技政治和基礎設施相關議題。她的作品曾在柏林藝術學院、新加坡雙年展、世界文化之家等國際場所展出。

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科藝匯聚 —— 跨學科的創新邊界

「科藝匯聚」單元彰顯了藝術與科學共同探索未知領域的力量。國家太空中心的《來自遙遠的訊息》管絃樂曲選粹、麻省理工學院前衛視覺研究中心(CAVS)的歷史檔案,以及臺灣共演化研究隊的「邊界測繪學」年度計畫成果,展示了藝術家與科學家跨域合作的豐富成果和未來潛能。

跨域交流與活動

在展覽期間,策展團隊與台灣致力於促進科學家與藝術家合作的「共演化研究隊」規劃了一系列精彩的跨域交流活動,讓大家能近距離與藝術家、科學家們交流,體驗科技與藝術如何共同作用於當代社會。

活動包括圓桌論壇、藝術家講座和放映會,涵蓋了多個有趣且深入的主題。例如,在「宇宙共生」週末,觀眾可以參與討論極地科學與藝術實踐的圓桌論壇,聆聽來自麻省理工學院媒體實驗室「太空探索倡議」的成員分享他們在極端地貌探索的經驗。另一活動是國家太空中心委託製作的管弦樂曲《來自遙遠的訊息》放映會,由作曲家趙菁文進行演前導聆,帶領觀眾進入一場視覺與聽覺的雙重盛宴。

在「網絡交織」週末,藝術家李紫彤與孫詠怡將帶來一場關於區塊鏈技術應用於南海議題的討論,這場圓桌論壇將探討技術如何影響社會結構和資源分配。印度藝術家艾蒂·桑德爾則會在線上分享她對於海洋及網路基礎設施的研究與創作,揭示隱藏在我們日常生活背後的複雜科技網絡。

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「感官賦能」週末將邀請拉脫維亞藝術家羅莎‧史密特和萊提斯‧史密茨現場分享他們的作品《深度感知》,並探討電波望遠鏡的技術敘事,展示如何通過藝術手段使抽象的科學數據變得可以感知。這不僅讓觀眾更易於理解氣候變遷的影響,也體現了藝術在科學溝通中的重要角色。他們將分享長期研究「自然廣播」的概念,以及每年舉辦「藝術科學節」的經驗。

在「科藝匯聚」週末,觀眾可以參與科學家與藝術家的提案室,直接感受跨領域合作的火花。這些活動將展示跨學科合作如何激發創新,促進我們對世界更深層次的理解。此外,拍攝麻省理工學院前衛視覺研究中心創始人故事的紀錄片將在台灣首映,導演並將與觀眾進行映後座談,分享創作背後的故事和啟發。

藝術與科學的相互啟發,不僅僅是知識和美學的結合,更是對創新與理解的共同追求。在這個亟需跨學科解決方案的時代,這樣的合作顯得尤為重要,為我們探索未知領域提供了無限可能。這次展覽通過多樣的跨域交流活動,讓觀眾能夠親身體驗並參與其中,進一步體會到藝術與科學融合所帶來的豐富成果和未來潛力。

展覽資訊

  • 展覽名稱:《匯聚:從自然到社會的藝術探索 | 國際交流展》
  • 日期:2024/5/10 至 2024/8/10
  • 時間:週一至週五 09:00-18:00(國定假日休)
  • 地點:科技大樓一樓大廳(臺北市大安區和平東路二段106號)
  • 指導單位:國家科學及技術委員會
  • 主辦單位:國家實驗研究院
  • 策展人:紀柏豪
  • 執行單位:融聲創意
  • 協力單位:共演化研究隊
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民眾黨是未來台灣政治的樞紐?
林澤民_96
・2024/01/30 ・3382字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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一、前言

選後的立法院三黨不過半,但民眾黨有八席不分區立委,足以與民進黨或國民黨結成多數聯盟,勢將在國會居於樞紐地位。無獨有偶的是:民眾黨主席柯文哲在總統大選得到 26.5% 的選票,屈居第三,但因其獲得部分藍、綠選民的支持,在選民偏好順序組態的基礎上,它卻也同樣地居於樞紐地位。這個地位,將足以讓柯文哲及民眾黨在選後的台灣政壇持續激盪。

二、柯文哲是「孔多塞贏家」?

這次總統大選,誰能脫穎而出並不是一個特別令人殷盼的問題,更值得關心的問題是藍白綠「三跤㧣」在選民偏好順序組態中的消長。台灣總統大選採多數決選制,多數決選制英文叫 first-past-the-post(FPTP),簡單來講就是票多的贏,票少的輸。在 10 月中藍白合破局之後,賴蕭配會贏已經沒有懸念,但這只是選制定規之下的結果,換了另一個選制,同樣的選情可能就會險象環生。

從另一個角度想:選制是人為的,而選情反映的是社會現實。政治學者都知道天下沒有十全十美的選制;既定的選制推出了一位總統,並不代表選情的張力就會成為過眼雲煙。當三股社會勢力在制度的帷幕後繼續激盪,台灣政治將無法因新總統的誕生而趨於穩定。

圖/作者自製

如果在「三跤㧣」選舉之下,選情的激盪從候選人的得票多少看不出來,那要從哪裡看?政治學提供的一個方法是把候選人配對 PK,看是否有一位候選人能在所有的 PK 中取勝。這樣的候選人並不一定存在,如果不存在,那代表有 A 與 B 配對 A 勝,B 與 C 配對 B 勝,C 與 A 配對 C 勝的 A>B>C>A 的情形。這種情形,一般叫做「循環多數」(cyclical majorities),是 18 世紀法國學者孔多塞(Nicolas de Condorcet)首先提出。循環多數的存在意涵選舉結果隱藏了政治動盪。

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另一方面,如果有一位候選人能在配對 PK 時擊敗所有的其他候選人,這樣的候選人稱作「孔多塞贏家」(Condorcet winner),而在配對 PK 時均被擊敗的候選人則稱作「孔多塞輸家」(Condorcet loser)。三角嘟的選舉若無循環多數,則一定會有孔多塞贏家和孔多塞輸家,然而孔多塞贏家不一定即是多數決選制中贏得選舉的候選人,而多數決選制中贏得選舉的候選人卻可能是孔多塞輸家。

如果多數決選制中贏得選舉的候選人不是孔多塞贏家,那與循環多數一樣,意涵選後政治將不會穩定。

那麼,台灣這次總統大選,有沒有孔多塞贏家?如果有,是多數決選制之下當選的賴清德嗎?我根據戴立安先生調查規劃的《美麗島電子報》追蹤民調第 109 波(1 月 11 日至 12 日),也是選前最後民調的估計,得到的結果令人驚訝:得票墊後的柯文哲很可能是孔多塞贏家,而得票最多的賴清德很可能是孔多塞輸家。果然如此,那白色力量將會持續地激盪台灣政治!

我之前根據美麗島封關前第 101 波估計,侯友宜可能是孔多塞贏家,而賴清德是孔多塞輸家。現在得到不同的結果,顯示了封關期間的三股政治力量的消長。本來藍營期望的棄保不但沒有發生,而且柯文哲選前之夜在凱道浩大的造勢活動,還震驚了藍綠陣營。民調樣本估計出的孔多塞贏家本來就不準確,但短期內的改變,很可能反映了選情的激盪,甚至可能反映了循環多數的存在。

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三、如何從民調樣本估計孔多塞贏家

根據這波民調,總樣本 N=1001 位受訪者中,如果當時投票,會支持賴清德的受訪者共 355 人,佔 35.4%;支持侯友宜的受訪者共 247 人,佔 24.7%。支持柯文哲的受訪者共 200 人,佔 19.9%。

美麗島民調續問「最不希望誰當總統,也絕對不會投給他的候選人」,在會投票給三組候選人的 802 位支持者中,一共有 572 位對這個問題給予了明確的回答。《美麗島電子報》在其網站提供了交叉表如圖:

根據這個交叉表,我們可以估計每一位明確回答了續問的受訪者對三組候選人的偏好順序,然後再依這 572 人的偏好順序組態來判定在兩兩 PK 的情形下,候選人之間的輸贏如何。我得到的結果是:

  • 柯文哲 PK 賴清德:311 > 261(54.4% v. 45.6%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:287 > 285(50.2% v. 49.8%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:293 > 279(51.2% v. 48.8%)

所以柯文哲是孔多塞贏家,賴清德是孔多塞輸家。當然我們如果考慮抽樣誤差(4.1%),除了柯文哲勝出賴清德具有統計顯著性之外,其他兩組配對可說難分難解。但在這 N=572 的小樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 40%,侯友宜 33%,柯文哲 27%,與選舉實際結果幾乎一模一樣。至少在這個反映了選舉結果的樣本中,柯文哲是孔多塞贏家。依多數決選制,孔多塞輸家賴清德當選。

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不過以上的分析有一個問題:各陣營的支持者中,有不少人無法明確回答「最不希望看到誰當總統,也絕對不會投給他做總統」的候選人。最嚴重的是賴清德的支持者,其「無反應率」(nonresponse rate)高達 34.5%。相對而言,侯友宜、柯文哲的支持者則分別只有 24.1%、23.8% 無法明確回答。為什麼賴的支持者有較多人無法指認最討厭的候選人?一個假設是因為藍、白性質相近,對許多綠營選民而言,其候選人的討厭程度可能難分軒輊。反過來說,藍、白陣營的選民大多數會最討厭綠營候選人,因此指認較無困難。無論如何,把無法明確回答偏好順序的受訪者歸為「遺失值」(missing value)而棄置不用總不是很恰當的做法,在這裡尤其可能會造成賴清德支持者數目的低估。

補救的辦法之一是在「無法明確回答等於無法區別」的假設下,把「遺失值」平分給投票對象之外的其他兩位候選人,也就是假設他們各有 1/2 的機會是無反應受訪者最討厭的候選人。這樣處理的結果,得到

  • 柯文哲 PK 賴清德:389 > 413(48.5% v. 51.5%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:396 > 406(49.4% v. 50.6%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:376 > 426(46.9% v. 53.1%)

此時賴清德是孔多塞贏家,而柯文哲是孔多塞輸家。在這 N=802 的樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%。雖然依多數決選制,孔多塞贏家賴清德當選,但賴的得票率超過實際選舉結果(40%)。用無實證的假設來填補遺失值,反而造成賴清德支持者數目的高估。

如果擔心「無法明確回答等於無法區別」的假設太勉強,補救的辦法之二是把「遺失值」依有反應受訪者選擇最討厭對象的同樣比例,分給投票對象之外的其他兩位候選人。這樣處理的結果,得到

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  • 柯文哲 PK 賴清德:409 > 393(51.0% v. 49.0%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:407 > 395(50.8% v. 49.2%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:417 > 385(52.0% v. 48.0%)

此時柯文哲又是孔多塞贏家,而賴清德又是孔多塞輸家了。這個樣本也是 N=802,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%,與上面的結果一樣。

以上三種無反應處理方法都不盡完美。第一種把無反應直接當遺失值丟棄,看似最不可取。然而縮小的樣本裡,三位候選人的支持度與實際選舉結果幾乎完全一致。後兩種以不同的假設補足了遺失值,但卻過度膨脹了賴清德的支持度。如果以樣本中候選人支持度與實際結果的比較來判斷遺失值處理方法的效度,我們不能排斥第一種方法及其結果。

無論如何,在缺乏完全資訊的情況下,我們發現的確有可能多數決輸家柯文哲是孔多塞贏家,而多數決贏家賴清德是孔多塞輸家。因為配對 PK 結果缺乏統計顯著性,我們甚至不能排除循環多數的存在。此後四年,多數決選制產生的總統能否在三角嘟力量的激盪下有效維持政治穩定,值得我們持續觀察。

四、結語

柯文哲之所以可以是孔多塞贏家,是因為藍綠選民傾向於最不希望對方的候選人當總統。而白營的中間偏藍位置,讓柯文哲與賴清德 PK 時,能夠得到大多數藍營選民的奧援而勝出。同樣的,當他與侯友宜 PK 時,他也能夠得到一部份綠營選民的奧援。只要他的支持者足夠,他也能夠勝出。反過來看,當賴清德與侯友宜 PK 時,除非他的基本盤夠大,否則從白營得到的奧援不一定足夠讓他勝出。民調 N=572 的樣本中,賴清德得 40%,侯友宜得 33%,柯文哲得 27%。由於柯的支持者討厭賴清德(52.5%)遠遠超過討厭侯友宜(23.7%),賴雖然基本盤較大,能夠從白營得到的奧援卻不多。而侯雖基本盤較小,卻有足夠的奧援。柯文哲之所以成為孔多塞贏家,賴清德之所以成為孔多塞輸家,都是這些因素的數學結果。

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資料來源

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林澤民_96
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台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。

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數學無聊是誰的錯?數學家其實很幽默?——《數盲、詐騙與偽科學》
大牌出版.出版大牌_96
・2024/01/08 ・2441字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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雖然很少有學生小學畢業後還不懂乘法表,但有很多人確實不會算,如果一個人開車的速度是每小時 56 公里,開了 4 小時之後,他就開了 224 公里。要是每公克花生賣 40 美分,而 1 袋花生賣 2.2 美元,那麼,這袋花生裡就有 5.5 公克花生。假如全世界人口中有 1/4 是中國人,其餘的 1/5 是印度人,那麼,印度人在全世界的人口中就占了 3/20,或說是 15%。當然,要理解這些問題,並不像學會算 35×4=140、(2.2)/(0.4)=5.5、1/5×(1–1/4)=3/20=0.15=15% 這麼簡單。對很多小學生來說,這不是自然而然就會的東西,要靠做很多很實用、或是純屬想像的問題,才能進一步學會。

至於估計,學校裡除了教一些四捨五入之外,通常也沒有別的了。四捨五入和合理的估計與真實人生大有關係,但課堂上很少串起這樣的連結。學校不會帶著小學生估計學校砌一面牆要用掉多少塊磚、班上跑最快的人速度多快、班上同學爸爸是禿頭的比例多高、一個人的頭圍與身高之比是多少、要堆出一座高度和帝國大廈等高的塔需要幾枚 5 美分硬幣,還有他們的教室能否容納這些 5 美分硬幣。

幾乎也沒人教歸納推理,也不會用猜測相關性質和規則的角度,來研究數學現象。在小學數學課裡談到非形式邏輯(informal logic)的機率,就跟講到冰島傳說一樣高。當然,也不會有人提到難題、遊戲和謎語。我相信,這是因為很多時候,聰明的 10 歲小孩輕輕鬆鬆就能打敗老師。

數學科普作家葛登能最不遺餘力探索數學和這些遊戲之間的密切關係。他寫了很多極有吸引力的書,也在《科學美國人》撰寫專欄,而這些都是會讓高中生或大學生感到很刺激的課外讀物(前提是有人指定他們去讀的話)。此外,數學家喬治.波利亞(George Polya)的《怎樣解題》(How to Solve It)和《數學與合情判讀》(Mathematics and Plausible Reasoning),或許也屬於這一類。有一本帶有這些人的文風、但屬於較初階的有趣好書,是瑪瑞琳.伯恩斯(Marilyn Burns)所寫的《我恨數學》(The I Hate Mathematics! Book),書裡有很多啟發性的提示,帶領讀者解題與發想各種奇思異想,是小學數學課本裡罕見的內容。

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圖/envato

有太多教科書仍列出太多人名和術語,就算有說明解析,也很少。比方說,教科書上會說加法是一種結合律運算(associative operation),因為(a + b)+ c=a +(b + c)。但很少人會提到非結合律運算,因此,充其量來說,結合律運算的定義是畫蛇添足。不管是結合律或非結合律,你知道了這些資訊之後要怎麼應用?書上還會介紹到其他術語,但除了用粗體字印在書頁中間的小框框裡,看起來很了不起之外,也沒什麼值得提的理由。這些術語滿足了很多人認為,知識就好比一門普通植物學,每種學問都可以在體系中,找到自己的類別和位置。相比之下,把數學當成有用的工具、思維方式或是獲得樂趣的途徑,在多數小學教育課綱中都是很陌生的概念(即使教科書內容不錯也一樣)。

或許有人會認為,在小學階段,可以用電腦軟體,來幫助學生掌握基本的算數原理及相關應用(應用題、估計等等)。可惜的是,目前可用的程式通常是從教科書上擷取無趣的例行練習,轉化成電腦螢幕版本而已。我不知道有任何軟體可用整合、一致且有效的方法,來教算術與解題應用。

小學階段的數學教學品質普遍不佳,最終必會有人怪罪於老師能力不足,而且對數學沒什麼興趣、或不懂欣賞數學。我認為,這當中有一部分又要歸咎於大專院校的師資培養課程中,很少或根本不強調數學。以我自己的教學經驗來說,我教過的學生中,表現最差的是中學生,而不是大學主修數學的學生。準小學老師的數學背景也很糟,很多時候甚至根本沒有相關的數學教學經歷。

而每所小學聘用一、兩位數學專才,在學校裡每天分別到不同班級輔導(或教授)數學,或許可以解決部分問題。有時我認為,如果大學數學教授和小學老師每年可以交換個幾星期,會是個好方法。同樣的,把主修數學的大學生和研究生交到小學老師手裡,不會造成傷害(事實上,後者或許能從前者身上學到一些東西)。而三、四、五年級的小學生則可以在完全適任的老師教導下,接觸到數學謎題與遊戲,將可大大獲益。

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圖/envato

稍微打個岔,謎題與數學之間很有關係,而且相關性會一直延續到大學與研究階段的數學。當然,把謎題換成幽默也通。我在《數學與幽默》(Mathematics and Humor)書中試著說明,數學和幽默都是某種益智遊戲,與猜謎、解題、遊戲和悖論多有共通之處。

數學和幽默都是把概念組合、拆開再拼回來,然後從中得到樂趣。慣用的手法包括並列、歸納、迭代和倒向(比方說「aixelsyd」就是把「dyslexia」﹝閱讀障礙﹞的字序倒過來)。那麼,如果我放寬這個條件,但緊縮另一個條件會怎樣?某一個領域的概念(像是綁辮子),和另一個看來完全不同領域的概念(如某些幾何圖形的對稱性)有什麼共通點?當然,即便不是數盲,可能也不熟悉數學這個面向,因為你必須要先具備一定程度的數學概念,才可以拿來耍弄。其他像獨創性、不協調感以及精簡的表達,對於數學和幽默來說也都同樣重要。

可能有人說過,因為所受訓練之故,數學家有一種特殊的幽默感。他們往往會接受字面意義,但字面上的解讀又常和標準用法的意義不同,因此很好笑。比方說,哪種運動比賽時要蓋臉?答案是,冰上曲棍球以及痲瘋病人拳擊(按:原文「Which two sports have face-offs」,「face-off」其中一個字面意義為「蓋臉」,而這也是冰上曲棍球常用的術語,意指「爭奪球權」)。他們也很沉溺於歸謬法(reductio ad absurdum),或設定極端前提條件然後做邏輯演練,以及各式各樣的字組遊戲。

如果可以透過小學、中學或大學階段的正式數學教育,或是非正式的數學科普書籍,傳達數學有趣的面向。我認為,數盲就不會像現在這麼普遍。

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——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》,2023 年 11 月,大牌出版,未經同意請勿轉載。

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