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科學心靈的藝術探索

oeo
・2014/04/29 ・2795字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 554 ・八年級

艾雪_早鳥資訊

這個世界存在什麼?世界是規律運行的嗎?這些絕對是科學探索的核心問題!而世界知名的平面藝術家,被封為「錯覺藝術大師」、「20世紀科學與藝術合謀的奇花」的艾雪,精采神妙地運用版畫藝術進行解題與深究,帶給人們的不只有科學知識的增長,也富含科學心智的感動。有人主張,艾雪的作品是數理邏輯與平面藝術的無限結合,是心理遊戲與空間透視的趣味解謎;對外界的解讀,艾雪也曾迷惑地說:「對我來說,這些作品到底是數學?還是藝術?仍然是個疑問。」

莫里茲.柯奈利斯.艾雪(Maurits Cornelis Escher)是荷蘭的雷歐瓦登市人,生於1898年6月17日。中學時美術課是由梵得哈根(F.W. Van der Haagen)教導,奠立了他在版畫方面的技巧。21歲時進入哈爾倫建築裝飾藝術專科學校讀三年,在該校受到一位老師美斯基塔的木刻技術訓練,這位老師的強烈風格,對艾爾後來的創作影響很大。艾雪曾說:「如果我們想建構一個宇宙,不能讓他是模糊不清的抽象物,而必須是可以識別的具體形象。」這無疑是一種科學甚至科技精神的「原型」。他的代表風格是建立在對於限定平面空間的配置思考而來的,例如「規則劃分的平面」,與由此發展而來的「滑動反射」、「轉換」、「軸心分裂」原則,以及後來走入的立體規則劃分平面,甚至到更加複雜的圓形規則劃分平面。由於他作品所顯露的規律但又充滿抽象概念的內容,常使許多數學家將艾雪的版畫,與數學或幾何定則連結……2011年,巴西里約的「艾雪的魔幻世界」,成為全球最受歡迎的展覽,每日平均參觀人數9677人,近期在有心人士與團體的策展及安排下,於台北故宮博物院以同名主題「艾雪的魔幻世界」展出,原本已是一場華麗豐盛的藝術饗宴,知曉內容意涵與創作背景,更能獲得一種「藝術科學新品種」的領會!

觀賞艾雪的作品總讓人思緒澎湃,聯想的向度與層面也會如其風格般地廣闊無彊,像是觀展當日,我不禁想到:如果學子表達強烈的理工興趣與繪畫偏好,那麼社會、學校、家長和學子將如何按照現今喊得滿天嘎響所謂「適性揚才」準則加以栽培?會從「理工為主,繪畫為輔」(或反之)加以定位,或是以「理工為業,繪畫為樂」(或反之)從事輔導,還是最後無奈而「務實」地選擇「棄畫從理」(或反之)?總覺得現今「流行」的「適性揚才」當中之「性(性向?)」,很多成分上要不是指一種個人片面的「喜惡偏好」,要不就只是一種可估價、可販賣的經濟技能(將來在社會市場上能找到待遇好一點的工作),僅此而已,並非甚至無關世界的真理與良善,距離真正的生活、生命與人類「本性」也十分遙遠,探其核心思想,它仍是將人們與其發展以「分門別類」的「效率生產製造觀」!?

艾雪讓世人驚艷的這些作品並無法滿足自己,他如同科學家一樣地探索世界,認識世界萬物的極限和基本規則。因此,他創造出一派新的研究領域,稱為「進化分割」(evolutionary tiling),一種不斷變化的分割方式,而這種變化本身是唯一不變的因素。歐幾里德在「幾何原本」書中證明:在三度空間中,只有五種正多面體可以無空隙地堆疊填滿整個空間,正式所謂的「柏拉圖立體」(Platonic solids)(正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體)。但是我們所知道的世界,並不是一個柏拉圖立體,這也是為什麼艾雪經常運用非歐幾何學。「非歐幾何的世界呈現了豐富的可能性,因此是數學家的研究重點。但是在現實世界中,我們透過有限的感官認識它,嘗試提升二維平面也能產生新奇的見解。」

credit: CC by Barbara.Doduk@flickr
credit: CC by Barbara.Doduk@flickr

前些日子品讀維克多・巴巴納克《為真實世界設計》、杰・哈爾曼《大黃蜂飛得比波音747還快》、尼爾・波斯曼的《通往未來的過去》,題材迥異,卻正巧皆對現代文明在工業革命以後結合科技專業(分門別類)的科學發展中出現的扭曲、偏差、疏漏甚至荒謬提出了擲地有聲的批判,應當也某種程度地呼應了波普對孔恩思想為主流的科學哲學觀當中成王敗寇式的「歷史主義」的嚴厲指控,都不禁讓人重新審思:現今存在、流傳下來(去)(即便透過所謂的典範轉移)、競爭勝出的科學型態與科技文明,像是學術學院領導與主宰、同儕審查、科學期刊計點制度、企業研發、團隊競爭型計畫科研、科研傾斜商業…,這些建制與形式上「贏者全拿」的狀態是否就是較好較優的?在文明的演進中,我們是不是貶抑了一些也失缺了一些其實真好真優的科學人、事、物?如果答案為是,除了重新質疑自啟蒙年代以來科技樂觀主義者所持有的「進步主義」,我們是否反而應該對未來文明的可能性懷抱更多的投入與希望?

2013年,國立臺灣師範大學數學系許志農教授及其團隊,以「遊戲中的數學,數學中的遊戲」獲得國科會科學教育發展處的補助,剖開了艾雪作品中謎踪式的構圖,將藝術作品中蘊藏的幾何規律解構出來。「艾雪生活在二十世紀藝術繁盛時期,但他不屬於任何畫派,他就是艾雪。艾雪不僅在藝術界享有盛名,影響及於當代數學、科學、心理學界,以及科幻小說、文學設計與蒙太奇藝術,他留下充滿巧思的作品,至今仍令各界神往。」除此之外,細看艾雪的魔幻世界,會發現其中對於人性與社會的關懷,以及艾雪長久以來對於不同科學問題的興趣,例如他在凹凸形體鑲嵌的研究上,有其精闢的見解,甚至促成「結晶學」這門新興學門的精進,而在其他平面分割的作品裡,「則透過圖像與背景的操弄變換,或是無限推展的手法,試圖創造出一個無限的規律。」

觀賞艾雪大力著墨的「不可能存在的事物」系列作品,例如「上下階梯」(運用在數學界頗富盛名的潘洛斯(R. Penrose)階梯)、「水瀑」,更是發人省思。「通過利用人腦的弱點和扭曲的角度來看,艾雪成功地使我們相信我們所看到各種不可能的事物,這場『騙局』是那麼有說服力,因為我們的大腦被強制輪流注意畫作不同的細節,在這些作品中的任何一個細節都是可能發生並合乎邏輯的,但所有細節整體組合起來卻是不可能發生的(例如永動機)。」這一成就與向度,無非鄭重宣告也提醒世人,就算「證據說話、眼見為憑、資訊充分」的正確方式與精準觀點,仍無法完全排除結論整體的荒謬性!

「這個世界存在什麼?世界是規律運行的嗎?艾雪雖沒有替這些問題提供明確的解答,但是他成功地琢磨問題,無論在藝術或科學上都得到了顯著的成就。艾雪透過畫作,一再探索人類如何觀察自然、理解自然,甚至預測大自然的運行法則。」這次故宮博物院「艾雪的魔幻世界」展覽,帶往欣賞的三位六、七歲小朋友,在語音導覽設備的幫助下,超出預期地用心、耐心觀賞、聆聽上百幅的重點作品,不時還交流品賞心得,這些我以為嚴肅、深奧的「事物」,他們居然展現出毫不遜色的鑑賞能力與品味興致,雖然可能又造成「局部推導整體結論的荒謬性」,但我依然對充分融合藝術與科學的新文明充滿期待與希望!

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森林學研究所畢業 曾任台大創發社幹部(臉書社團 "創發社CAIV" 召集人 ) 某屆倪匡科幻獎得主 從事教育工作 科學科幻 自然生態 文藝創意 一切"豐富生命"的愛好者...

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【成語科學】運籌帷幄:古人不用筆算數學?一隻小竹棍居然可以開三次方根、解方程式!
張之傑_96
・2023/07/28 ・1261字 ・閱讀時間約 2 分鐘

劉邦(漢高祖)打敗項羽,取得天下,建立漢朝。一天舉行盛大宴會,他問群臣:「我為什麼會勝?項羽為什麼會敗?」群臣都說劉邦善於用人,項羽恰恰相反。劉邦點頭稱是,司馬遷在《史記‧高祖本紀》記下劉邦說的一段話

夫運籌帷幄之中,決勝於千里之外,吾不如子房。

帷幄,指營帳子房,是張良的字籌,指算籌,是古時的運算工具。這段話的意思是說,張良在營帳中運用算籌計算,就能決勝千里之外,這方面我(劉邦)不如張良。因此,這個成語的原意是在營帳中策劃謀略,後來泛指謀劃或指揮。讓我們造兩個句吧。

要不是孔明運籌帷幄,劉備哪有三分天下的機會!

在里長的運籌帷幄下,為社區更新取得有利的條件。

不用筆,那用什麼?

成語的出典說了,句子也造了,接下去就要談談這個成語的科學意義。我們現在演算數學,都是用筆在紙上運算,也就是筆算。古人呢?古人從來不用筆算,而是使用工具運算。元代以前使用算籌,元代以後使用算盤

算盤一直使用到 1980 年代,小朋友家裡可能還有。至於算籌,只有少數博物館裡才能看到。

國立自然科學博物館內藏的漢朝骨製算籌複製品。圖/wikipedia

其實算籌只是一根根小竹棍,外形和筷子差不多。小朋友千萬不要看輕這些小竹棍,中國古代的數學曾經輝煌一時,就是用這些小竹棍運算出來的。

驚人的運算能力 曾經輝煌一時的數學成就

算盤被木框框住,計算能力受到限制。凡是算盤能算的,算籌一定能算。反過來,算籌所能算的,算盤就不見得勝任。算盤主要是生意人用的,算籌可作各種運算,數學家喜歡用它。中國的數學宋代發展到顛峰,元代以後不進反退,到了明代已沒人懂得宋代的數學了。

算籌平時放在算袋裡,繫在腰上,運算時取出,在席子上或桌子上擺弄。除了加減乘除,還能開平方、開立方,甚至解高次方程等高中才學得到的數學!關於算袋,有個小故事,傳說秦皇島東巡時,把算袋扔到海裡,變成了烏賊,所以烏賊又稱算袋魚。

十四世紀朱世傑《四元玉鑒》中的「古法七乘方圖」,紀錄宋代展出的「楊輝三角形」,就是我們現在所說的「巴斯卡三角形」。圖中一根根長條物就是當時用來計算的「算籌」。楊輝三角形的產生也顯見宋代數學已經發展出高次多項式的乘法。圖/wikipedia

數學家用算籌運算時,有時擺弄得極快,不要說外行人,連內行人的眼睛幾乎都跟不上,所以古人用「運籌如飛」來形容。因此,用算籌運算,運算過程不會留下記錄,一陣擺弄之後,最後得出答案。這對一般才質的人來說,學起來的確有點困難。

張之傑_96
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張之傑,字百器,出入文理,著述多樣,其中以科普和科學史較為人知。

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買樂透真的可以賺錢?大數法則揭示了賭博的真相!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/05 ・2394字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則?

期望值的定義是:它是可能結果的一種平均,但在計算平均時,機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果,它代表了如果我們重複賭很多次,或者隨機選出很多家戶,實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明,用機率模型算出來的期望值,真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則
大數法則(law of large numbers)是指,如果結果為數值的隨機現象,獨立重複執行許多次,實際觀察到的結果的平均值,會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中,每個可能結果的發生比例會接近它的機率,而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的,它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了:為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博,對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值,並且知道長期下來收入會是多少,所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具,讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多,大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場,他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡,但是保險公司知道機率,並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高,來保證有利潤。

  • 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播,看到號碼球上下亂跳,然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢? 1980 年的時候,賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆,這樣做會把球變重,因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候,他們贏了 120 萬美元。是的,他們後來全被逮到。

歷史上曾有主持人在樂透上做手腳,後來賺了 120 萬美元隨後被逮捕。圖/envatoelements

深入探討期望值

跟機率一樣,期望值和大數法則都值得再花些時間,探討相關的細節問題。

  • 多大的數才算是「大數」?

大數法則是說,當試驗的次數愈來愈多,許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說,究竟需要多少次試驗,才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大,就需要愈多次的試驗,來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大,才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭,結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博,例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券,需要極多次的試驗,幾乎要多到不可能的次數,才能保證平均結果會接近期望值。

(州政府可不需要依賴大數法則,因為樂透彩金不像賭場的遊戲,樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面,彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說,各州所辦的樂透彩金,是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。)

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化,但要回答大數法則的適用範圍,較實際的答案就是:賭場的贏錢金額期望值是正的,而賭場玩的次數夠多,所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是,你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話,當然和賭場一樣多,但因為期望值是負的,所以以賭客整體來看,長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢,有些人輸很多,而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑,大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。

對賭場來說,贏錢金額期望值為正。圖/envatoelements
  • 有沒有保證贏錢的賭法?

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法,這種賭法每次下注的金額,是看前幾次的結果而定。比如說,在賭輪盤時,你可以每次把賭注加倍,直到你贏為止—或者,當然,直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶,這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎?不行,數學家建立的另一種大數法則說:如果你沒有無窮盡的賭本,那麼只要遊戲的各次試驗(比如輪盤的各次轉動)之間是獨立的,你的平均獲利(期望值)就會是一樣的。抱歉啦!

  • 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎(拉霸)。從前,你丟硬幣進去再拉下把手,轉動三個輪子,每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲,會閃出許多很炫的畫面,而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣,有各種讓你眼花撩亂的中獎結果,還可以多台連線,共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法,但是長期下來,隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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假藥也能治療?安慰劑效應的原因:「不」隨機化實驗!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/03 ・1932字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • 作者:墨爾 David S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

實驗法中「隨機化」的必要性

隨機化比較實驗是統計學裡面最重要的概念之一。它的設計是要讓我們能夠得到釐清因果關係的結論。我們先來弄清楚隨機化比較實驗的邏輯:

  • 用隨機化的方法將受試者分組,所分出的各組在實施處理之前,應該各方面都類似。
  • 之所以用「比較」的設計,是要確保除了實驗上的處理外,其他所有因素都會同樣作用在所有的組身上。
  • 因此,反應變數的差異必定是處理的效應所致。

我們用隨機方法選組,以避免人為指派時可能發生的系統性偏差。例如在鐮形血球貧血症的研究中,醫師有可能下意識就把最嚴重的病人指派到羥基脲組,指望這個正在試驗的藥能對他們有幫助。那樣就會使實驗有偏差,不利於羥基脲。

從受試者中取簡單隨機樣本來當作第一組,會使得每個人被選入第一組或第二組的機會相等。我們可以預期兩組在各方面都接近,例如年齡、病情嚴重程度、抽不抽菸等。舉例來說,隨機性通常會使兩組中的吸菸人數差不多,即使我們並不知道哪些受試者吸菸。

實驗組與對照組除主要測量變數外,其餘條件必需盡可能相似。圖/envatoelements

新藥研究上不隨機分組帶來的後果:安慰劑效應

如果實驗不採取隨機方式,潛藏變數會有什麼影響呢?安慰劑效應就是潛藏變數,只有受試者接受治療後才會出現。如果實驗組別是在當年不同時間進行治療,所以有些組別是在流感季節治療,有些則不是,那麼潛藏變數就是有些組別暴露在流感的程度較多。

在比較實驗設計中,我們會試著確保這些潛藏變數對全部的組別都有相似的作用。例如為了確保全部的組別都有安慰劑效應,他們會接受相同的治療,全部的組別會在相同的時間接受相同的治療,所以暴露在流感的程度也相同。

要是告訴你,醫學研究者對於隨機化比較實驗接受得很慢,應該不會讓你驚訝,因為許多醫師認為一項新療法對病人是否有用,他們「只要看看」就知道。但事實才不是這樣。有很多醫療方法只經過單軌實驗後就普遍使用,但是後來有人起疑,進行了隨機化比較實驗後,卻發覺其效用充其量不過是安慰劑罷了,這種例子已經不勝枚舉。

曾有人在醫學文獻裡搜尋,經過適當的比較實驗研究過的療法,以及只經過「歷史對照組」實驗的療法。用歷史對照組做的研究不是把新療法的結果和控制組比,而是和過去類似的病人在治療後的效果做比較。結果,納入研究的 56 種療法當中,用歷史對照組來比較時,有 44 種療法顯示出有效。然而在經過使用合適的隨機化比較實驗後,只有 10 種通過安慰劑測試。即使有跟過去的病人比,醫師的判斷仍過於樂觀。

過去醫學史上常出現新藥實際沒療效,只能充當安慰劑效果的情況。圖/envatoelements

目前來說,法律已有規定,新藥必須用隨機化比較實驗來證明其安全性及有效性。但是對於其他醫療處置,比如手術,就沒有這項規定。上網搜尋「comparisons with historical controls」(以歷史對照組來比較)這個關鍵字,可以找到最近針對曾使用歷史對照組試驗的其他醫療處置,所做的研究。

對於隨機化實驗有一件重要的事必須注意。和隨機樣本一樣,隨機化實驗照樣要受機遇法則的「管轄」。就像抽一個選民的簡單隨機樣本時,有可能運氣不好,抽到的幾乎都是相同政治傾向一樣,隨機指派受試者時,也可能運氣不好,把抽菸的人幾乎全放在同一組。

我們知道,如果抽選很大的隨機樣本,樣本的組成和母體近似的機會就很大。同樣的道理,如果我們用很多受試者,加上利用隨機指派方式分組,也就有可能與實際情況非常吻合。受試者較多,表示實驗處理組的機遇變異會比較小,因此實驗結果的機遇變異也比較小。「用足夠多的受試者」和「同時比較數個處理」以及「隨機化」,同為「統計實驗設計」的基本原則。

實驗設計的原則
統計實驗設計的基本原則如下:
1. 要控制潛在變數對反應的影響,最簡單的方法是同時比較至少兩個處理。
2. 隨機化:用非人為的隨機方法指派受試者到不同的實驗處理組。
3. 每一組的受試者要夠多,以減低實驗結果中的機遇變異。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。