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科學心靈的藝術探索

oeo
・2014/04/29 ・2795字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 554 ・八年級

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

艾雪_早鳥資訊

這個世界存在什麼?世界是規律運行的嗎?這些絕對是科學探索的核心問題!而世界知名的平面藝術家,被封為「錯覺藝術大師」、「20世紀科學與藝術合謀的奇花」的艾雪,精采神妙地運用版畫藝術進行解題與深究,帶給人們的不只有科學知識的增長,也富含科學心智的感動。有人主張,艾雪的作品是數理邏輯與平面藝術的無限結合,是心理遊戲與空間透視的趣味解謎;對外界的解讀,艾雪也曾迷惑地說:「對我來說,這些作品到底是數學?還是藝術?仍然是個疑問。」

莫里茲.柯奈利斯.艾雪(Maurits Cornelis Escher)是荷蘭的雷歐瓦登市人,生於1898年6月17日。中學時美術課是由梵得哈根(F.W. Van der Haagen)教導,奠立了他在版畫方面的技巧。21歲時進入哈爾倫建築裝飾藝術專科學校讀三年,在該校受到一位老師美斯基塔的木刻技術訓練,這位老師的強烈風格,對艾爾後來的創作影響很大。艾雪曾說:「如果我們想建構一個宇宙,不能讓他是模糊不清的抽象物,而必須是可以識別的具體形象。」這無疑是一種科學甚至科技精神的「原型」。他的代表風格是建立在對於限定平面空間的配置思考而來的,例如「規則劃分的平面」,與由此發展而來的「滑動反射」、「轉換」、「軸心分裂」原則,以及後來走入的立體規則劃分平面,甚至到更加複雜的圓形規則劃分平面。由於他作品所顯露的規律但又充滿抽象概念的內容,常使許多數學家將艾雪的版畫,與數學或幾何定則連結……2011年,巴西里約的「艾雪的魔幻世界」,成為全球最受歡迎的展覽,每日平均參觀人數9677人,近期在有心人士與團體的策展及安排下,於台北故宮博物院以同名主題「艾雪的魔幻世界」展出,原本已是一場華麗豐盛的藝術饗宴,知曉內容意涵與創作背景,更能獲得一種「藝術科學新品種」的領會!

觀賞艾雪的作品總讓人思緒澎湃,聯想的向度與層面也會如其風格般地廣闊無彊,像是觀展當日,我不禁想到:如果學子表達強烈的理工興趣與繪畫偏好,那麼社會、學校、家長和學子將如何按照現今喊得滿天嘎響所謂「適性揚才」準則加以栽培?會從「理工為主,繪畫為輔」(或反之)加以定位,或是以「理工為業,繪畫為樂」(或反之)從事輔導,還是最後無奈而「務實」地選擇「棄畫從理」(或反之)?總覺得現今「流行」的「適性揚才」當中之「性(性向?)」,很多成分上要不是指一種個人片面的「喜惡偏好」,要不就只是一種可估價、可販賣的經濟技能(將來在社會市場上能找到待遇好一點的工作),僅此而已,並非甚至無關世界的真理與良善,距離真正的生活、生命與人類「本性」也十分遙遠,探其核心思想,它仍是將人們與其發展以「分門別類」的「效率生產製造觀」!?

艾雪讓世人驚艷的這些作品並無法滿足自己,他如同科學家一樣地探索世界,認識世界萬物的極限和基本規則。因此,他創造出一派新的研究領域,稱為「進化分割」(evolutionary tiling),一種不斷變化的分割方式,而這種變化本身是唯一不變的因素。歐幾里德在「幾何原本」書中證明:在三度空間中,只有五種正多面體可以無空隙地堆疊填滿整個空間,正式所謂的「柏拉圖立體」(Platonic solids)(正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體)。但是我們所知道的世界,並不是一個柏拉圖立體,這也是為什麼艾雪經常運用非歐幾何學。「非歐幾何的世界呈現了豐富的可能性,因此是數學家的研究重點。但是在現實世界中,我們透過有限的感官認識它,嘗試提升二維平面也能產生新奇的見解。」

credit: CC by Barbara.Doduk@flickr
credit: CC by Barbara.Doduk@flickr

前些日子品讀維克多・巴巴納克《為真實世界設計》、杰・哈爾曼《大黃蜂飛得比波音747還快》、尼爾・波斯曼的《通往未來的過去》,題材迥異,卻正巧皆對現代文明在工業革命以後結合科技專業(分門別類)的科學發展中出現的扭曲、偏差、疏漏甚至荒謬提出了擲地有聲的批判,應當也某種程度地呼應了波普對孔恩思想為主流的科學哲學觀當中成王敗寇式的「歷史主義」的嚴厲指控,都不禁讓人重新審思:現今存在、流傳下來(去)(即便透過所謂的典範轉移)、競爭勝出的科學型態與科技文明,像是學術學院領導與主宰、同儕審查、科學期刊計點制度、企業研發、團隊競爭型計畫科研、科研傾斜商業…,這些建制與形式上「贏者全拿」的狀態是否就是較好較優的?在文明的演進中,我們是不是貶抑了一些也失缺了一些其實真好真優的科學人、事、物?如果答案為是,除了重新質疑自啟蒙年代以來科技樂觀主義者所持有的「進步主義」,我們是否反而應該對未來文明的可能性懷抱更多的投入與希望?

2013年,國立臺灣師範大學數學系許志農教授及其團隊,以「遊戲中的數學,數學中的遊戲」獲得國科會科學教育發展處的補助,剖開了艾雪作品中謎踪式的構圖,將藝術作品中蘊藏的幾何規律解構出來。「艾雪生活在二十世紀藝術繁盛時期,但他不屬於任何畫派,他就是艾雪。艾雪不僅在藝術界享有盛名,影響及於當代數學、科學、心理學界,以及科幻小說、文學設計與蒙太奇藝術,他留下充滿巧思的作品,至今仍令各界神往。」除此之外,細看艾雪的魔幻世界,會發現其中對於人性與社會的關懷,以及艾雪長久以來對於不同科學問題的興趣,例如他在凹凸形體鑲嵌的研究上,有其精闢的見解,甚至促成「結晶學」這門新興學門的精進,而在其他平面分割的作品裡,「則透過圖像與背景的操弄變換,或是無限推展的手法,試圖創造出一個無限的規律。」

觀賞艾雪大力著墨的「不可能存在的事物」系列作品,例如「上下階梯」(運用在數學界頗富盛名的潘洛斯(R. Penrose)階梯)、「水瀑」,更是發人省思。「通過利用人腦的弱點和扭曲的角度來看,艾雪成功地使我們相信我們所看到各種不可能的事物,這場『騙局』是那麼有說服力,因為我們的大腦被強制輪流注意畫作不同的細節,在這些作品中的任何一個細節都是可能發生並合乎邏輯的,但所有細節整體組合起來卻是不可能發生的(例如永動機)。」這一成就與向度,無非鄭重宣告也提醒世人,就算「證據說話、眼見為憑、資訊充分」的正確方式與精準觀點,仍無法完全排除結論整體的荒謬性!

「這個世界存在什麼?世界是規律運行的嗎?艾雪雖沒有替這些問題提供明確的解答,但是他成功地琢磨問題,無論在藝術或科學上都得到了顯著的成就。艾雪透過畫作,一再探索人類如何觀察自然、理解自然,甚至預測大自然的運行法則。」這次故宮博物院「艾雪的魔幻世界」展覽,帶往欣賞的三位六、七歲小朋友,在語音導覽設備的幫助下,超出預期地用心、耐心觀賞、聆聽上百幅的重點作品,不時還交流品賞心得,這些我以為嚴肅、深奧的「事物」,他們居然展現出毫不遜色的鑑賞能力與品味興致,雖然可能又造成「局部推導整體結論的荒謬性」,但我依然對充分融合藝術與科學的新文明充滿期待與希望!

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森林學研究所畢業 曾任台大創發社幹部(臉書社團 "創發社CAIV" 召集人 ) 某屆倪匡科幻獎得主 從事教育工作 科學科幻 自然生態 文藝創意 一切"豐富生命"的愛好者...

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比大還要再大!比「無窮」還要更大是什麼概念?——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/28 ・2660字 ・閱讀時間約 5 分鐘

我們都知道無窮(infinity)是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時,一定會想知道一件事:

什麼事物比無窮大?圖/經濟新潮社

比無窮還大?有可能嗎?

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題,也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」,而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看,但我們或許應該先訂好遊戲規則,讓大家知道該怎麼思考。

具體說來,我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物?如果是有限的量,要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易,但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷,所以必須選擇簡單明瞭的規則,用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼,在一般、有限的狀況下,我們通常怎麼判定「較大」?我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思?

右邊這一堆比左邊的更大圖/經濟新潮社

沒錯,用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人,這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念,我們該如何解釋右邊這堆較大?真的,試試看就知道。這個概念太基本了,其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時,數學中有個常用的技巧,就是提出完全相反的問題,看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?

我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?圖/經濟新潮社

我們不能用「相等」這個詞,因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思,以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來,一個對一個。如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。

如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。圖/經濟新潮社
圖/經濟新潮社

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來,就能得到「較大」的定義。

圖/經濟新潮社

現在問題已經定義清楚了,答案也隨之確定。那麼,世界上有什麼事物比無窮更大?答案是「是」還是「否」?世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘?現在我們可以思考之後猜猜看。

無窮跟無窮 +1 誰比較大?

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子,裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體,袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大?好吧,如果是無窮加一呢?

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響,但我們用配對規則來確認看看。首先,我們可以把無窮袋中的物體排成一排,這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

如果我們以最顯而易見的方式配對,無窮加一看起來當然更大。

不過要小心!規則指出,兩個事物必須無法正好兩兩配對,才會有一者較大。(最好經常回頭看清楚規則!)還有一種配對方法確實可行,而且兩方都不會有剩餘:

如果你覺得這樣好像在騙人,請花點時間告訴自己,這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對,而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體,不會有物體配對不到,所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮!

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

無窮大飯店!如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊,沿著走廊有一排房門,連綿不絕地延續下去,無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭,所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房,每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌,飯店裡每間房間都住滿了(對,這個世界裡有無限多個人)。如果沿走廊隨意走一段距離,選一扇門敲幾下,就會聽到:「有人!請勿打擾!」無限多間房間,裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說:「請問還有房間嗎?」我們不是第一天在無窮大飯店工作,當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說:「各位來賓,抱歉打擾一下,請各位來賓搬到下一間房間。沒錯,請收拾好行李,走出房門,朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作,祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後,就有房間給新住客了。

無限多間房間,無限多加一位住客,房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

無窮加五、無窮加一兆……都沒關係,這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對,可以多裝進一位客人。無窮非常大,任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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圓型 = 三角形?形狀之間的秘密關係——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/27 ・1427字 ・閱讀時間約 2 分鐘

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

數學家通常都想很多,這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念,試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時,很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問:形狀是什麼?構成形狀的要素是什麼?我們以形狀分辨物體時,會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的,以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼?當我們說某樣東西是圓形時,看到的是什麼呢?

形狀百百種,可以量化嗎?

當然,這些問題沒什麼意義。就實際用途而言,我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想,形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了,我們或許會問自己這個問題:

世界上有多少形狀?圖/經濟新潮社

這個問題很簡單,但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法,稱為廣義龐卡赫猜想(generalized Poincaré conjecture,或譯龐加萊猜想)。這個猜想提出至今已經超過一百年,目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多,有一位數學家解出這個問題的大部分,因此獲得了100萬美元獎金,但還有許多種形狀沒有找到,所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀?如果沒有更好的點子,有個不錯的方法是畫出一些形狀,看看會有什麼結果。

我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社
我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎?波浪線(squiggle)應該全部算成一大類,還是應該依彎曲的方式細分?我們需要一種通用規則來解決這類爭議,才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師,通常會希望規則既嚴謹又精確:必須長度、角度和曲線都完全相等,兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學(geometry)這個數學領域。在這個領域裡,形狀嚴格又精確,經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

決定兩個形狀是否相同的規則相當多。圖/經濟新潮社

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀,但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則,它能夠把所有的形狀分成若干類別,但類別的數量又不至於太多。

所以三角形可以等於圓形。圖/經濟新潮社




——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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另外一個你可能存在嗎?從宇宙誕生到現在,你的存在需要經過一千兆個「偶然」——《宇宙大哉問》
天下文化_96
・2022/09/23 ・3064字 ・閱讀時間約 6 分鐘

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

  • 作者/豪爾赫.陳、丹尼爾.懷森
  • 譯者/徐士傑、葉尚倫

還有另一個你嗎?

如果世界上某個地方有另一個版本的你,會不會很奇怪?

這是什麼科幻劇情?圖/天下文化提供

你們兩個之間有很多共通點,喜歡吃的水果(香蕉)、不喜歡吃的水果(桃子)、擁有同樣的技能(製作香蕉冰沙)和相同的缺點(香蕉冰沙吃了停不下來)、同樣的記憶、幽默感以及個性。當你知道有其他版本的你存在時,你會覺得很怪異嗎?你會想與他們會面嗎?

想像一下更詭異的情況:有個人幾乎和你完全一模一樣,僅稍稍有些不同。如果這個人比你更好呢?也許他做的水果冰沙更加美味,或者生活的方式更有意義。或者,這個人比較沒有才華,但是比較卑鄙,就像是邪惡的分身呢?

假如有幸能見到另一個你,或許你可以發現自己的更多可能。圖/天下文化提供

這有可能嗎?

雖然讓人難以想像,但物理學家不能排除另一個你存在的可能性。事實上,物理學家不只認為另一個你是可能存在的,甚至認為另一個你存在的可能性更高。也就是說,就在此刻,當你讀到這篇文章時,可能有另一個你正在某個地方,穿著和你一樣的衣服,以相同的方式坐著,甚至讀著同樣的一本書(好吧,也許是稍微有趣的版本)。

搞不好另一個你也正在看這篇文章喔!圖/天下文化提供

要瞭解另一個你存在的意義及可能性,我們得先考慮你的存在有多麼獨特。

你存在的機率

乍看之下,世界上有另一個與你毫無二致的人,機率好像是微乎其微。畢竟,想像一下,為了讓宇宙創造你,有多少事情必須發生,而且要環環相扣,缺一不可。

超新星必須在氣體和塵埃雲附近爆炸,藉著震動造成引力崩坍,形成我們的太陽和太陽系。這些塵埃中的一小塊(不到萬分之一)必須聚集在一起形成行星,並與太陽保持合適的距離,這樣水就不會結冰或變成蒸汽。生命一定要開始,恐龍必須滅絕,人類不得不演化,羅馬帝國必須崩潰,而你的祖先必須逃過黑死病。然後,你的父母必須相遇並且喜歡上了彼此。你的母親務必在正確時間排卵。在與數十億顆精子的馬拉松游泳賽中,帶有你一半基因的精子必須衝刺獲勝。單單是讓你誕生,就需要這一連串事件。

宇宙必須經歷一連串事件,才會有現在的你。圖/天下文化提供

想一想你在生活中做出的所有決定,使你成為今日的你。你有沒有吃很多香蕉。你有沒有遇到那個重要的朋友。你那時候決定待在家裡,否則會被水果推車碾過。不知何故你發現了這本關於宇宙的蠢書,並決定閱讀它。所有的一切,都從四十五億年前開始,導致了你此時此刻在這裡存在。

假如所有事情以完全相同方式再次發生,從而造就另一個你的機會有多大?這似乎不太可能,對吧?

也許不是喔!讓我們回溯所有導致你出現的隨機事件、決定和時刻,並試著計算機率是多少。

讓我們從今天開始算起:你醒來後做了多少決定呢?你可能決定怎樣起床,穿什麼衣服,吃什麼早餐。即使是看起來很小的決定,也可能改變你的人生歷程。例如,你選擇穿有香蕉圖案的襯衫或者是領帶,可能影響你未來的配偶有沒有注意到你。

讓我們假設,你每分鐘大約會做出一兩個可能改變人生的決定;這聽起來好像很有壓力,但如果你贊同量子物理學和混沌理論,數字應該會更高。假設每分鐘只有幾個決定,那麼你每天就要做出數千個重要決定,每年就高達約一百萬個。如果你超過二十歲,人生到目前為止,就已經做出超過兩千萬個決定,才會有今日的你。

接下來,假設你做的每個決定只有兩種可能,例如 A 或 B,或者香蕉和桃子。好啦,我知道通常要選擇的項目很多(譬如,早餐店的菜單選項多不勝數),但讓我們簡化問題。要計算那兩千萬次決定而成為你的可能性,你必須取 2 的兩千萬次方,即 220,000,000

如果你超過二十歲,人生到目前為止,就已經做出超過兩千萬個決定,才會有今日的你。圖/天下文化提供

為什麼?因為每做一次決定就會讓可能的數目加倍。舉例來說,你必須選擇從哪邊(左邊或右邊)下床、早餐吃什麼水果(香蕉或桃子),以及上班搭什麼交通工具(火車或公車),總共就有 2×2×2(或 23)種開啟一日行程的方式。你從左邊下床、吃香蕉並坐公車的機率是 23 分之一,或說 8 分之一。

因此,如果你在生活中做出兩千萬個 A 或 B 的決定,那就意味你的生活可能有 220,000,000 種不同的結果。這真是一個驚人的數字,是吧!但我們才剛開始暖身而已!

我們還必須考慮你的出生機率,包含你父母做決定的可能結果。如果將你父母的決定算進來,就必須再加上四千萬個決定(你父母各兩千萬個)。再加上你四個祖父母,還有八千萬個。曾祖父母呢?還有一億六千萬個。你瞭解了嗎?每回推一個世代,祖先數量就增加一倍,影響你出生的決定數量也跟著加倍。人類已經在地球上生活了至少三萬年,或許可換算為大約一千五百個世代。若將你所有祖先全部考慮進來,可能的數量會更龐大。

如果再將你父母的決定算進來,就必須再加上四千萬個決定。圖/天下文化提供

其實,真要計算起來實際情況更加複雜,如果回溯得夠遠,你會發現親戚之間盤根錯節的關係,同一個人可能在你的家譜中重複出現,除了引發令人尷尬的話題之外,也讓數學計算變得更加複雜。為簡單起見,我們假設你每代只受到兩個人的影響。這仍然有 1,500 代× 2 人× 2,000 萬個決定= 600 億個決定。及至目前為止,你發生的機率是 260,000,000,000 分之一。

只算到這裡就夠了嗎?讓我們考慮人類史前歷史並回溯到數十億年前最小微生物演化之時。在大約三十五億年前,地球上的生命開始孕育。如果你不得不製作年代如此久遠的家譜,就會發現祖先主要是微生物和簡單植物。他們大概無法做出有意識的決定,但仍會遭受到隨機事件影響,諸如風如何吹動,陽光是否照耀,天降甘霖與否等等。

假設你的微生物祖先每天至少受到一個隨機事件影響,每個隨機事件也有兩種可能結果(例如,一塊石頭是否砸落在你的微生物祖先身上)。這意味我們必須將另外一兆(1,000,000,000,000)個決定事件添加到我們的機率中。

現在,讓我們回到四十五億年前太陽系剛形成的時候,找到你的構成原子之前所在的恆星或行星,然後再一路回到一百四十億年前的大霹靂。讓我們做個超級的低估,假設在那些日子裡,每天都發生了一件可能影響你來到人世的重要大事。直到今日,大約有一千兆個關鍵事件,你存在的機率陡然劇降到約21,000,000,000,000,000 分之一。

總而言之,你存在的機率大概是 2 的 1000 兆次方分之一。圖/天下文化提供

——本文摘自《宇宙大哉問:20個困惑人類的問題與解答》,2022 年 8 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。