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數學觀點看公投門檻: 高中數學的 「單調遞增函數」 是立法委員的死穴嗎?

洪朝貴
・2013/03/04 ・4916字 ・閱讀時間約 10 分鐘 ・SR值 532 ・七年級

▲我們的公投法的 「通過門檻函數」 不是一個單調遞增函數, 所以所有的公投拉票與辯論活動註定經常會離題失焦

五年前我寫過一篇 『都是 「非單調遞增函數」 惹的禍 (數學不及格的公投法)』, 以為這個簡單的數學觀察只需要稍微提醒, 數學程度普遍不錯的國人就會恍然大悟, 用輿論促成修法; 沒想到時至今日面對核四公投, 依舊是… 總統唸法律、 行政院長拼經濟, 數學程度不好都可以諒解 (抖); 但就連師大數學系畢業的立法院長也沒注意到這個問題… 只好細細重寫該文, 並且誠懇地拜託今天的高中數學老師把單調函數單元教好, 寄望至少等到下一代執政、 掌權的時候, 我們終於可有一部數學及格的公投法。 然後, 小格及泛科學的讀者, 也許就可以因此而原諒我竟然花這麼大的篇幅來談一個高一數學程度的問題。

一、 單調函數

▲何謂 (嚴格) 單調遞增函數? 何謂 (嚴格) 單調遞減函數?

嚴格單調遞增函數 (或稱 絕對單調遞增函數) 用白話文講, 就是一路往上爬的函數。 換個方式說, 自變量 x 越大, 函數值 f(x) 就越大。 再換個方式說, 越往右邊走, 函數爬越高。 用嚴謹的數學定義來寫, f(x) 成為嚴格單調遞增函數的條件是: 每當 x1 < x2, 必然有 f(x1) < f(x2)。

單調遞增函數 用白話文講, 就是一路都至少不會往下掉的函數。 換個方式說, 自變量 x 越大, 函數值 f(x) 不是變大至少也保持水平。 再換個方式說, 越往右邊走, 函數爬越高, 或至少保持水平。 用嚴謹的數學定義來寫, f(x) 成為嚴格單調遞增函數的條件是: 每當 x1 < x2, 必然有 f(x1) <= f(x2)。

習題:

  1. 請模仿前兩段, 定義何謂嚴格單調遞增函數、 何謂單調遞減函數。 (提示: 先用白話文思考)
  2. 單調遞增函數跟嚴格單調遞增函數之間有什麼關係? (提示: 先用白話文思考)
  3. 請舉一個例子, 說明一個函數可能既不是單調遞增函數, 也不是單調遞減函數。 (提示: 先用白話文思考)
  4. 請舉一個例子, 說明一個函數可能既是單調遞增函數, 又是單調遞減函數。 (提示: 先用白話文思考)
  5. 加分題: 請用 Venn Diagram (文氏圖、 維恩圖) 圖示以上四類函數之間的關係。

嗯, 本文不附習題解答是故意的。 拜託讀者留言時不要洩露解答 — 就是要請沒把握的讀者拿本文去請教數學老師。

二、 投票通過門檻函數

考慮一個投票的場合。 如果拿 「出席人數除以具投票權總人數」 當橫軸, 又拿 「贊成人數除以具投票權總人數」 當縱軸, 那麼每個投票結果可以用 單位正方形 上面或內部的一個點來表示。 例如假設全班 50 人, 某次投票有 32 人出席, 有 21 人投贊成票, 那麼這次的投票結果就可以用 (0.64, 0.42) 這個點在這張圖上標示。 顯然, 所有的點都必然落在單位正方形的右下半這個等腰直角三角形內。 (因為贊成人數必然小於或等於出席人數。) 對了, 以某次真實發生的投票的所有可能結果來說, 「具投票權總人數」 是一個常數, 所以以下在比較相對大小時, 有時就直接用 「贊成人數」 取代 「x 座標」, 用 「出席人數」 取代 「y 座標」。

本文只討論簡單的投票情境: 依據投票規則可以用這張圖上的一條固定的線區隔為 「通過」 與 「不通過」 兩區塊 (而不需要加入其他變數) 的狀況。 區隔這兩塊區域的這條線, 姑且稱之為 投票通過門檻函數, 以下簡稱為門檻函數。 從數學的角度來看, 一個合乎情理的投票規則, 它的門檻函數圖形必須具有下列特性:

  1. 等腰直角三角形的右上角那個點 (代表 「全數贊成」) 應該落在 「通過」 區。
  2. 等腰直角三角形的下緣這條線 (代表 「零人贊成」) 應該落在 「不通過」 區。
  3. 門檻函數, 應該是一個單調遞增函數。 意思是: 越多人出席, 通過門檻的人數就應該越高, 或至少相同。 如果違反這條, 會造成 「多一個人來投反對票, 反而讓原本的不通過翻盤成通過」 的荒謬現象。
  4. 門檻函數, 最好近似一個連續函數。 意思是: 不要因為出席人數差一人, 投票通過門檻的人數就突然大幅上下跳動。 門檻函數如果違反這條特性, 那麼當 「具投票權總人數」 越大時, 「少數人出席與否 (跟他們投什麼票無關) 將決定投票結果」 的荒謬現象會越明顯。 (這一點, 雖然用微積分的術語會比較容易談, 但其實就算不懂微積分還是可以用常識理解。)

這條函數越高, 意謂著通過門檻越高; 這條函數越低, 意謂著通過門檻越低。 到底門檻多高或多低才合理, 那並不能只靠數學分析來回答, 所以那並不是本文討論的重點。 但不論門檻高低, 如果一條函數不能滿足上述四點, 它顯然就是一個數學不及格的門檻函數。

三、 一些例子

▲門檻函數的一些例子

上圖是門檻函數的一些例子。

  • (A) 是一個最簡單的門檻函數: 不管多少人出席, 總之出席人數當中, 過半贊成就通過。 但有人會擔心它的門檻過低。
  • (B) 是一個很嚴格的門檻函數: 不管多少人出席, 總之具投票權總人數當中, 過半贊成才通過。 但這意味著: 不關心投票議題或因為其他原因而不出席的人通通被算成反對。 也就是說, 投票結果永遠傾向 「不通過」; 正面或反面設定議題, 將改變雙方優劣勢。
  • (C) 是也是一個很嚴格的門檻函數: 不管多少人出席, 總之出席人數當中, 超過 2/3 贊成才通過。 但這有可能造成 minoritarianism(少數專斷) — 少數的反對可以否決多數支持者的意見, 因而正反面設定義題也會造成雙方有優劣勢之別。
  • (D) 超過一定比例 q (例如 1/4) 出席, 而且出席人數當中超過一個浮動比例贊成, 才通過。 這個浮動比例從 x=q 時的 100% 逐漸降到 x=1.00 時的 50%。
  • (E) 效果類似 (D), 但用一條圓滑曲線取代兩段直線, 例如 y=-0.5x^2+x。 這個函數具有以下特性: 當 x=0 時, y=0; 當x=1 時, y=0.5; 它在這個範圍內嚴格單調遞增; 它在 (0,0) 的切線正好是 y=x。
  • (F) 我們的公投法。 它違反第二節所講的門檻函數第三、 第四兩個特性, 所以同時具有上述兩大荒謬現象; 而所有的公投拉票與辯論活動也將註定經常會離題失焦。 它很容易被政客扭曲操作, 讓大眾忘記原始議題。 最後, 當投票率低於 50% 時, 它跟 (B) 一樣, 門檻高到毫無道理; 當投票率超過 50% 時, 它卻又跟 (A) 一樣, 毫無額外門檻效果可言。 看完這篇之後, 還能開口支持 (F) 的人, 不是自己高中數學不及格就是別有居心, 鄙視並且蓄意欺騙他的聽眾。 [抱歉, 先前態度不好又沒禮貌, 我收回這句話。 後來很訝異地被說服: 一個人其實並沒有惡意, 但只是因為成見和過度的自信讓他無法接受簡單的事實, 這樣的事是有可能發生的。]
  • [3/9 更新] (G) 感謝 explorer 3月4日上午9:22系列留言提供 另一個方案 的討論連結及自製圖示。 贊成人數超過反對人數, 而且具投票權者超過一定比例 (例如 25%) 投贊成票才通過。 這個單調遞增函數跟 (D)、 (E) 一樣具有額外保險門檻效果, 而且法律文字很好寫。

四、 結語

從數學的角度來看, (A) 其實是比較對稱的 — 不會有 「議題正反面設定」 的爭議, 也比較符合 奧卡姆剃刀原則 Occam’s razor。 但如果害怕低投票率時門檻過低, 又不希望高投票率時讓少數人有專斷的機會, 而且也不太介意 「議題正反面設定」 有一點差別 (以致允許政客有一些操弄的空間) 那麼 (D) 或 (E) 之類的函數可能是比較理想的門檻函數。

改採 (D) 或 (E) 類型的門檻函數, 比較大的現實挑戰是: 那些沒有達到高一數學程度的公民, 恐怕很難理解。 話說回來, 經過這篇文章提醒之後, 那些數學程度超過高中的公民, 恐怕更難接受現在這個明顯數學不及格的公投法 (F)。 最終, 我們會不會改成 (D) 或 (E) 或其他至少符合三、 四特性的門檻函數? 或是我們會維持 (F), 讓其他國家及後世嘲笑臺灣人數學教育的失敗? 這個問題的答案, 也將透露我們的政府/民意代表/媒體/老師到底是致力於培力 (empower) 公民, 或是致力於愚民。 [3/9 更新: 請見 (G), 既有 (D) 與 (E) 的優點, 又很容易寫成法律條文。]

[※ 3/6 回應]

以下回應對本文的挑戰及觀察。

有一類的挑戰, 主要圍繞著 「統計學」 這三個字。 我用 i.i.d 三個字母回應 — 。 在這裡想要套用統計學, 就先得用 「隨機選取若干 “彼此獨立的固定機率伯努利分布”」 來描述有來投票的人。 但這個假設不只是太強, 恐怕跟事實完全不符。 還有這篇 「從公投投票率問題淺談二項分布與初等估計」 也犯了相同的錯誤。 還記得民進黨堅持公投綁大選, 國民黨卻叫大家拒領公投票嗎? 請別告訴我你真的相信 「有去投票的那群人」 跟「沒去投票的那群人」 他們投贊成的機率, 有相同的期望值。 很多人 (包含我) 認為許多 (但非全部) 統計論述是超級大謊言 ( Lies, damned lies, and statistics) 就是因為經常看到這類與事實不符的底層假設被聽者甚至講者自己忽略忘記。

有一類的挑戰, 認為本文的二分法不完整, 其實應有三種狀況 (「支持、 反對、 不在乎」 或是 「通過、 不通過、 交由政府決定」 等等)。 我的回應是: 請見 公投法 第四章第30條。 一個公投只有「通過」與「否決」兩種結果, 所以一個門檻函數確實就真的只把等腰直角三角形 (所有的可能性) 切成兩塊。 當一個具體的投票結果出現之後 (例如座標點 (0.4, 0.35) 所代表的結果), 我們會看到三個數據 (也就是過這個點做 X 軸的垂直線, 它會被切成三段) 分別代表支持 (0.35) 反對或廢票 (0.05) 未投票 (0.6)。 要如何去詮釋這三個數字, 那是另一個問題。 本文沒有討論這個問題, 所以一開始沒把這條線段畫出來。 這當然是值得談的問題; 但是 「探討所有可能性時, 觀察到平面被切成兩塊」 跟 「有了一個座標點之後, 線段被切成三段」 這兩件事請不要混為一談。

門檻函數把等腰直角三角形切成兩塊區域; 一個明確的投票結果把線段切成三類
門檻函數把等腰直角三角形切成兩塊區域; 一個明確的投票結果把線段切成三段

再來有讀者提到: 憲法 不也有類似的規定嗎? (例如彈劾正副總統、 變更國土) 是的。 所以我們的憲法有某些 (兩段式) 條文的數學也不及格。 (求教: 不知道其他國家有無類似的數學不及格投票法?) 但是我要幫憲法說幾句話。 (這並不表示我認同憲法的高門檻, 只是在說明憲法的數學不及格比公投法的數學不及格稍微情有可原一些。) 首先, 兩者都面對相同的困難: 如果堅持必須有高門檻, (A) 就不可行了; 但 (B) 跟 (C) 抗議的聲浪又會很大。 至於 (D) 跟 (E), 請試著用法律文字寫寫看… 我寧可用組合語言撰寫繪圖軟體還比較有趣。 但是憲法裡面那些條文適用於人數僅僅一兩百人、 受公民委託有義務出席投票的立法委員; 而公投法適用於全民 — 不投票並沒有法律責任。 再來就是上面所說的: 人數越多, 這個斷層的荒謬越明顯。 公投法選擇既不去面對 (A) (B) (C) 的民意辯論挑戰, 也不去面對 (D) (E) 的法律文字挑戰, 是極不負責任的。

[※ 3/7 補充: 給繼續支持 F 的讀者 — 如何有效挑戰本文?]

持續看到一些挑戰本文的留言, 但很遺憾都沒有抓到重點, 其中很多還是圍繞著民主的定義、 門檻的高低等等。 我來做個比喻吧。 請想像大家要去爬山, 有些人認為稜線風景比較好, 有些人認為河谷風景比較好。 先前因為某些因素, 已決定了一條路線 F; 但稜線河谷的爭議還是沒有止息。 然後某甲畫了一張地圖, 指出: 路線 F 很累人又很危險的, 一下爬高一下又掉下河谷裡面, 換一條吧! 這時繼續談論 「風景好的定義是…」、 「地圖看不出好風景…」、 「一定要多走稜線才合理啦」 都無法說服大家繼續支持路線 F。 要說服大家忽略某甲的言論, 說服大家繼續支持路線 F, 有兩個可行的嘗試方向: (1) 指出地圖畫錯了; (2) 解釋為什麼路線忽高忽低並不是問題, 甚至是好事。

我想不出來 (1) 該怎麼做; 但 (2) 倒是有一個很明確的方向: 如果你能解釋為什麼 (F) 比 (B) 合理, 或至少跟 (B) 一樣合理, 那就能夠切重要害, 反駁本文的核心論點。 看清楚了嗎? 本文沒有要挺 ABCDE 當中特定哪一個的意思; 本文的重點是在打 F。 本文不是說應該拿掉門檻, 或門檻應該降到多低才合理, 而是說: 即使拿相同的高門檻方案來比較, 單調遞增的 (B) 也遠比造成兩大荒謬的 (F) 要合理得多, 有什麼理由鑽牛角尖堅持一定要用 (F) 而不支持更簡單的 (B)? 沒有回答這個問題的挑戰, 都只是在 打稻草人 而已。

(本文轉載自 資訊人權貴ㄓ疑)

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洪朝貴
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【成語科學】運籌帷幄:古人不用筆算數學?一隻小竹棍居然可以開三次方根、解方程式!
張之傑_96
・2023/07/28 ・1261字 ・閱讀時間約 2 分鐘

劉邦(漢高祖)打敗項羽,取得天下,建立漢朝。一天舉行盛大宴會,他問群臣:「我為什麼會勝?項羽為什麼會敗?」群臣都說劉邦善於用人,項羽恰恰相反。劉邦點頭稱是,司馬遷在《史記‧高祖本紀》記下劉邦說的一段話

夫運籌帷幄之中,決勝於千里之外,吾不如子房。

帷幄,指營帳子房,是張良的字籌,指算籌,是古時的運算工具。這段話的意思是說,張良在營帳中運用算籌計算,就能決勝千里之外,這方面我(劉邦)不如張良。因此,這個成語的原意是在營帳中策劃謀略,後來泛指謀劃或指揮。讓我們造兩個句吧。

要不是孔明運籌帷幄,劉備哪有三分天下的機會!

在里長的運籌帷幄下,為社區更新取得有利的條件。

不用筆,那用什麼?

成語的出典說了,句子也造了,接下去就要談談這個成語的科學意義。我們現在演算數學,都是用筆在紙上運算,也就是筆算。古人呢?古人從來不用筆算,而是使用工具運算。元代以前使用算籌,元代以後使用算盤

算盤一直使用到 1980 年代,小朋友家裡可能還有。至於算籌,只有少數博物館裡才能看到。

國立自然科學博物館內藏的漢朝骨製算籌複製品。圖/wikipedia

其實算籌只是一根根小竹棍,外形和筷子差不多。小朋友千萬不要看輕這些小竹棍,中國古代的數學曾經輝煌一時,就是用這些小竹棍運算出來的。

驚人的運算能力 曾經輝煌一時的數學成就

算盤被木框框住,計算能力受到限制。凡是算盤能算的,算籌一定能算。反過來,算籌所能算的,算盤就不見得勝任。算盤主要是生意人用的,算籌可作各種運算,數學家喜歡用它。中國的數學宋代發展到顛峰,元代以後不進反退,到了明代已沒人懂得宋代的數學了。

算籌平時放在算袋裡,繫在腰上,運算時取出,在席子上或桌子上擺弄。除了加減乘除,還能開平方、開立方,甚至解高次方程等高中才學得到的數學!關於算袋,有個小故事,傳說秦皇島東巡時,把算袋扔到海裡,變成了烏賊,所以烏賊又稱算袋魚。

十四世紀朱世傑《四元玉鑒》中的「古法七乘方圖」,紀錄宋代展出的「楊輝三角形」,就是我們現在所說的「巴斯卡三角形」。圖中一根根長條物就是當時用來計算的「算籌」。楊輝三角形的產生也顯見宋代數學已經發展出高次多項式的乘法。圖/wikipedia

數學家用算籌運算時,有時擺弄得極快,不要說外行人,連內行人的眼睛幾乎都跟不上,所以古人用「運籌如飛」來形容。因此,用算籌運算,運算過程不會留下記錄,一陣擺弄之後,最後得出答案。這對一般才質的人來說,學起來的確有點困難。

張之傑_96
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張之傑,字百器,出入文理,著述多樣,其中以科普和科學史較為人知。

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匈奴西側邊疆,女主與她們的手下?
寒波_96
・2023/07/05 ・5509字 ・閱讀時間約 11 分鐘

匈奴帝國是歐亞草原的第一個帝國,主要疆域位於蒙古,世界史上有一席之地。匈奴人缺乏自身的文字記載,後人只能參考旁觀者,主要是漢朝人的歷史紀錄。所幸近來考古學、遺傳學的進展,大幅增進我們對匈奴的認識,也帶來新的啟示。

由遺骸直接取得古代 DNA 分析遺傳訊息,此前得知「匈奴人」的血脈源流相當多元,2023 年問世的一篇論文,調查匈奴帝國西部邊疆的墓葬,發現當地地位最高的都是女生,血緣絕大部分算是「東方」;而地位較低的男生們,遺傳上更加多元。

匈奴帝國全盛時期的疆域。雖然古早遊牧帝國的領土範圍,僅供參考。圖/wiki 百科

匈奴帝國的西部邊疆

匈奴帝國沒有明確的國界,不過當然有個勢力範圍。這項研究調查的地點位於現今的蒙古國西部,地理上算是阿爾泰山的南部,新疆的準噶爾盆地的東北方。這兒在匈奴時期,可謂匈奴勢力的最西端。

兩處大墓葬群距離約 50 公里,各有很多個墓。一些墓中有不少高貴的陪葬品,推測長眠者的地位較高;還有更多墓的派頭普通,墓主生前地位似乎較低。

一處墓葬群 Takhiltyn Khotgor,簡稱 TAK,年代介於公元前 40 年到公元 50 年。有兩小群 THL-82 和 THL-64 被完整挖掘,都以一位女性的華麗墓葬為主,周圍環繞幾個衛星墓葬。另外 THL-25 目前只有挖掘衛星墓葬。這兒以前報告過 1 個,加上這回 7 個,總共 8 個古代基因組。

另一處墓葬群 Shombuuzyn Belchir,簡稱 SBB,年代介於公元前 50 年到公元 210 年,這回貢獻 10 個古代基因組。

遺址地點,這項研究關注的 TAK、SBB 遺址位於匈奴勢力範圍的最西端。圖/參考資料1

身份高貴的女士們

匈奴帝國的年代約為公元前 200 年到公元 100 年,因此這回調查的樣本包括中期到後期,是匈奴已經興起一段時間後的狀況。研究對象們都只有代號,讀者假如有興趣,也能試著替他們取名字,比較有親切感。

完整挖掘的 THL-82 墓群的成年女生「TAK001」,陪葬在該區域最豐富。她長眠於裝飾精美的木製棺材,旁邊擺著六匹馬、中國風格的青銅馬戰車配件、一個青銅壺等陪葬品。

THL-64 墓群另一位狀況類似的女生「TAK002」長眠於木製棺材,旁邊擺著一匹馬、四隻羊,以及代表太陽及月亮的金盤。日、月是匈奴的象徵之一, 匈奴價值充斥。

澎湃的陪葬品以外,考古學家認為,我們想來平凡的木頭棺材,其實最能彰顯她們匈奴精英之尊貴地位。因為附近地區缺乏樹木,墓葬一般採用石材;木製棺材必需長途進口木柴方能製作,或許有數百公里之遙。更不用說,弓箭是匈奴人的命脈,而木頭是生產弓箭的寶貴原料。

由墓葬況狀判斷,這兩位女生當年是該地區身份很高的人,而周圍的附屬墓葬可能是她們的手下。有意思的是,與她們埋在一起的其他人,大家都沒有血親關係。

由於缺乏匈奴女主形象,請來滿都海鎮場面。成吉思汗以後,滿都海是蒙古影響力最大的統治者之一。圖/IMDB《Mandoukhai the Wise 智者滿都海》劇照

寫到這兒不能逃避,有必要解釋一下何謂匈奴的「血緣」,古遺傳學家講的「多元」或東方、西方是什麼意思?

多元血緣之匈奴帝國,哪些DNA融入蒙古?

至今已經累積超過一萬個古代基因組,大部分位於歐洲、中東,不過歐亞大陸北部、中部也有一批,交叉對照可以判斷,歷代蒙古居民的遺傳組成與變化。

匈奴帝國在兩千多年前誕生,比這更早以前,蒙古地區的人口十分有限,可以粗略劃分出三大遺傳族群。

偏東邊的 Slab Grave,以蒙古鐵器時代早期的樣本為代表(也類似所謂的 Ancient Northeast Asian,簡稱 ANA 祖源)。北邊的 Khövsgöl,以貝加爾湖附近青銅時代晚期的樣本為代表。拆解更細的話,Khövsgöl 其實也有源於草原西部的小部分血緣,不過兩者在這項研究都被視為「東方」。

靠西邊的阿爾泰地區,以青銅時代中期、晚期的樣本為代表,這支血脈大部分能追溯到草原西部較早的移民,算是匈奴較早的「西方」成分。這些祖源應該是匈奴帝國興起前,蒙古地區的人群基礎。

蒙古地區,早於匈奴、匈奴帝國形成後的血脈流動狀況。極為簡化,不過能展示大概的架構。圖/參考資料4

匈奴時期,又有更多方向的血脈加入草原大聯盟。東南方向的漢朝人,用此前發表的「Han_2000BP」為代表,無疑算作「東方」。

「西方」有多個源頭。西北方向的 Sagly/Uyuk,以阿爾泰山鐵器時代的 Chandman 樣本為代表(和東方的斯基泰人,例如「巴澤雷克文化」類似,還具備小部分 BMAC 血緣),不過地理上其實沒有太西。

還有西南方向的綠洲地帶「巴克特里亞-馬爾吉阿納(Bactria–Margiana Archaeological Complex,簡稱 BMAC)」,以及再度由草原西部遠道而來,血緣類似薩馬提亞人(Sarmatians)的新移民。

匈奴作為歐亞大陸中心的大帝國,融入各地血脈並不意外。奇妙的是,這項研究只探索一處很小的地區,同屬一個社群的幾個墓葬,竟然涵蓋大部分的血緣變化。

少少幾人,大家血緣都不一樣

陪葬品最華麗的 TAK001 有馬有車,姑且稱呼她為「馬車女士」。她配備約 9.3% 的少量西方血緣,大部分則是 Khövsgöl 東方血緣。葬在她附近的兩位男生「TAK008」和「TAK009」約 86.8% 西方血緣,三人間都沒有血緣關係。

充斥匈奴精神的 TAK002 姑且稱為「日月女士」。她幾乎完全配備東方血緣,卻與馬車女士不同。日月女士有一半為 Slab Grave,另一半則是漢朝血緣。她附近兩位男生「TAK003」的西方成分很高,「TAK004」則是 Slab Grave 東方血緣,三人間都沒有血緣關係。

另一處目前只挖掘衛星墓葬的 THL-25,分析兩人。男生「TAK006」完全為東方血緣,和日月女士一樣是 Slab Grave 加漢朝組合,不過比例不同。

「TAK005」是蘿莉,她是這群墓葬中唯一陪葬寒酸的女性,或許是年紀太小。她完全為 Sagly/Uyuk 西方血緣,另一位成年男生 TAK003 也有 70%。再度提醒讀者,盡管視作西方,此一追溯到阿爾泰地區的血脈,實際上並沒有多西邊,距離這回調查的遺址也不太遠。

總之,TAK 墓葬中人,每個人的血緣組成都不太一樣。男生們的血緣可謂變化多端,什麼都有。地位最高的馬車女士、日月女士皆以東方血緣為主,雖然兩位的「東方」完全不一樣。

TAK 遺址的古代基因組樣本之遺傳組成。Gonur1_BA 出土於中亞,現今的土庫曼 Gonur Tepe 遺址, 作為 BMAC 血緣的代表。圖/參考資料1

高貴女士的姻親網絡

50 公里遠處的 SBB 墓葬群,遺傳主要有 Slab Grave 東方、Sagly/Uyuk 西方兩款祖源,不同人的比例不同。看起來地位最高的墓葬 SBB002、SBB003、SBB007、SBB008 四位都是女生。

男生「SBB010」的陪葬品有鐵製的縫衣針。可見在匈奴文化中,縫衣針並非專屬於女生的陪葬品。

成年女生「SBB007」陪葬算這兒最豪華的,長眠於裝飾精美的木製棺材,擺著騎馬用的裝備、鍍金鐵帶扣、漢朝的彩繪漆杯。顯然匈奴女生不只社會地位高,也會騎馬(她以前因此被判斷為男生)。

為表示尊崇,姑且稱她為「騎馬女士」。她擁有大量 Slab Grave,少量漢朝和 Sagly/Uyuk 血緣。

個人層次上,「SBB005」最有意思。她是一位蘿莉,父母為遺傳上的近親,大概是表兄弟姐妹等級的二度血緣關係(不過取樣分析中沒有直接見到她的父母),也是這回分析中唯一的近親繁殖寶寶。

這位蘿莉和騎馬女士是二度親戚關係,遺傳組成也類似騎馬女士。蘿莉也與「SBB001」是二度親戚關係,但是 SBB001 和騎馬女士兩位並非血緣上的親戚,所以他們可謂騎馬女士為首的同一社群中,埋葬在一塊的姻親。

SBB 遺址的古代基因組樣本之遺傳組成。Gonur1_BA 出土於中亞,現今的土庫曼 Gonur Tepe 遺址, 作為 BMAC 血緣的代表。圖/參考資料1

匈奴大聯盟,眾多女主經營的統治網絡?

這回的分析對象僅管沒幾個人,眾人的血緣卻千變萬化,乍看有些雜亂。從中能得知哪些啟發?論文強調的觀點是:匈奴西部的邊疆地帶,東方血緣的女性扮演重要角色。

匈奴人的血緣非常多元,可謂歐亞大陸的熔爐,沒有所謂的匈奴 DNA;可是掌握權力與資源的,似乎更集中在特定族群。然而,Khövsgöl(匈奴北部)、Slab Grave(匈奴東部)、漢朝(匈奴外頭的東南部)血緣僅管都可以歸類為「東方」,淵源卻明顯有別。

從已知極為有限的樣本看來,配備這些血脈的女生,都有機會在匈奴社會中身居高位。加上其他匈奴邊疆的考古調查,此狀況似乎更為常見。也許這是匈奴的統治集團,在各地建構權力網絡的方式:源自東方的貴族女生,各自經營各地的群體。

由漢朝人的記錄看來,匈奴好像是鬆散的部落聯盟,但是匈奴帝國具體如何運作,我們幾乎沒有概念。這將是有意思的探索方向,也令人興起一些大膽的猜想。

如果對蒙古帝國的女性參政有興趣,傑克.魏澤福的《成吉思汗的女兒們》值得一讀。有些人看到匈奴女主的研究,就想起這本書。

與日月同在的文明帝國

換個角度思考也很有意思。依照漢文記載,匈奴人在荒郊野外居無定所,文化低落,生活原始又暴力;漢朝人假如被野蠻人擄掠,或是隨著和親進入匈奴,簡直就是從天堂淪落到地獄!

可是如今知道,歷來應該也有些漢朝人口用腳投票,自願投奔匈奴,想來匈奴生活並沒有那麼慘。至少我們能肯定, 被編戶齊民鎖在土地上,當韭菜索求無度的那些漢朝人,日子超級淒慘。

這回取樣的地點位於匈奴西部的邊疆,距離漢朝本土頗有距離。不過分析的 18 人中,五位或多或少具有漢朝血緣,三位還是地位崇高的成年女性。

倘若再考慮性別與政治,或許會有更不一樣的想像。住在漢朝的女性出生再好、個人資質再優秀,一輩子都沒機會擔任行政工作職位,但是如果活在匈奴……

有一半漢朝血緣的日月女士(粒線體單倍型為 A11。不確定她是第一代移民的女兒,或父母搭配剛好提供一半),生前是一方疆土的管理者,死後高規格的墓葬,見證她畢生的功績受到認可。伴她長眠,象徵匈奴精神的日、月金盤,對她有什麼特殊意義嗎?

有一位漢朝官員陳湯曾言:「明犯強漢者,雖遠必誅」,可謂反辱華的先驅。但是如今我們也知道這個世界上,不只一種「文明」。

延伸閱讀

參考資料

  1. Lee, J., Miller, B. K., Bayarsaikhan, J., Johannesson, E., Ventresca Miller, A., Warinner, C., & Jeong, C. (2023). Genetic population structure of the Xiongnu Empire at imperial and local scales. Science Advances, 9(15)
  2. Ancient DNA reveals the multiethnic structure of Mongolia’s first nomadic empire
  3. Politically savvy princesses wove together a vast ancient empire
  4. Jeong, C., Wang, K., Wilkin, S., Taylor, W. T. T., Miller, B. K., Bemmann, J. H., … & Warinner, C. (2020). A dynamic 6,000-year genetic history of Eurasia’s Eastern Steppe. Cell, 183(4), 890-904.

本文亦刊載於作者部落格《盲眼的尼安德塔石匠》暨其 facebook 同名專頁

寒波_96
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生命科學碩士、文學與電影愛好者、戳樂黨員,主要興趣為演化,希望把好東西介紹給大家。部落格《盲眼的尼安德塔石器匠》、同名粉絲團《盲眼的尼安德塔石器匠》。

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改變立場比想像中容易?用「假裝成真」的心理達成思想操控!——《怪咖心理學之鍛鍊正能量思維》
azothbooks_96
・2023/06/03 ・2374字 ・閱讀時間約 4 分鐘

人們慣於「合理化」自身行為

越戰中喪生的美國士兵多達五萬多人。戰爭期間,美國政府為了獲得民眾的支持,經常刻意發布一些正面的消息,例如,北越共軍即將敗退,或南越很快就足以自保。美國不斷派兵前往越南,總統詹森應該比其他的領導者為此付出更多的責任。

詹森不時會聽到閣員私下表示對越戰形勢的擔憂。詹森是否曾把這些政治人物叫進自己的辦公室,向他們解釋自己的觀點呢?完全沒有。相反的,他採用一種很不尋常的技巧:他派那些懷疑者跟一群記者去越南「調查真相」。

詹森很清楚他的閣員不太可能公開表達私人疑慮,面對外界時,他們不得不高調捍衛政府的政策。「裝假成真」原理預測, 這些懷疑者在聽到自己發表支持總統政策的言論後,最終也會相信自己的言論。

當政治家持續發表支持總統的言論後,自己也會慢慢相信這是正確的。圖/envatoelements

「假裝成真」會影響人們自身的信念嗎?

研究人員在實驗室中運用相同的方法,測試「裝假成真」原理是否能夠影響信念。為此,他們把受測者找來實驗室,讓他們填寫一份有關其政治立場的問卷。接著,叫半數的受測者發表支持其反對政黨的簡短演說,另一半的人則是從雙面鏡觀看他們演說。兩周後,所有的受測者又填了一份有關其政治立場的問卷。

「裝假成真」原理預測,發表過演說的人看到自己支持討厭的政黨後,可能會開始覺得那個政黨其實沒那麼壞。相反的,那些只聽到演說的人雖然接收了一樣的資訊,但不是自己提出主張,所以不會改變立場。研究結果證實了這點,只要幾分鐘的角色扮演,就可以達到媒體轟炸、政治廣告所達不到的效果。

多年來,研究人員也把同樣的程序套用在多種不同的場合上,他們錄下有些人主張多種議題的談話,例如,墮胎、酒駕危險、擴大警方職權等等。在每個例子中,他們讓受測者表現出相信某言論的樣子,可以讓他因此相信上百個理性論點也無法說服他的議題,迅速改變他的態度,讓他支持你預設的立場。

事實上,這個轉變非常明顯,受測者往往事後還會否認自己曾抱持原始的觀點。研究人員拿出原始問卷證明他們原始立場不同時,他們會堅稱問卷是假的,或自己當初看錯題目。這個機制可以解釋許多原本難以理解的立場轉變。

受試者在表現出相信某個立場後,竟「假裝成真」變成相信那個立場。圖/envatoelements

用「假裝成真」的心理改變戰俘的立場

本章一開始,我提到韓戰結束時,許多美軍決定續留北韓,很多美國大兵即使回到美國,依舊大談共產主義的優越。

研究人員深入訪問這些戰俘後發現,那些信念不是在催眠、迷藥或體罰下灌輸給他們的,而是共產高層刻意運用「裝假成真」原理來改變美國戰俘的想法。這種罕見的思想操縱形式,通常是從戰俘進入拘留營時開始運作。警衛先和新來的戰俘握手,並說道:「恭喜,你被解放了。」

接下來的數周,戰俘必須上長時間的課程,那些課程都是在歌頌共產主義的優點,課程也會要求他們做小組討論。每組通常會分派一位中國共產黨員監督,以確定戰俘討論出「正確」的結論。如果小組裡有人公然表達反共產的論點,所有的戰俘都必須重聽一遍講課並重新討論。

藉由持續讓戰俘接觸親共言論,達成思想改變。圖/envatoelements

戰俘入營不久,中國警衛也會要求他們抄寫幾句親共言論(例如「共產主義很棒」、「共產主義是未來之道」、「共產主義是最開明的政府形式」)。很多美國人都很樂意抄寫,因為這些要求看起來微不足道,乖乖聽話通常可以換得一塊肥皂或幾根香菸作為獎勵。

幾周後,警衛加碼要求戰俘大聲朗讀那些言論, 多數戰俘還是照做了。又隔幾周後,他們要求戰俘向自己的同伴朗讀那些言論,最後開始辯論,主張為什麼他們相信那些言論是正確的。

此外,如果戰俘自願為拘留營寫親共文宣,他們可以得到在當地相當珍貴的東西,例如,鮮果或甜食。文宣一經刊出,作者就可以戴上毛澤東的徽章,不必做繁瑣的勞務。久而久之,這些行為使很多戰俘改變了他們對共產主義的態度,甚至說服一些戰俘留在北韓,而不是返美。

「裝假成真」原理有助於解釋這種信念的巨大轉變:中國共產黨不需要訴諸體罰或神祕的洗腦術,只要確定戰俘看到自己一再重申他們支持共產主義,他們就會自己培養出和他們的說法一樣的信念。

納粹禮。圖/wikipedia

同樣的方法也可以用來影響整個民族。每天高喊「希特勒萬歲!」,可以鼓勵許多德國人民更接納納粹的意識型態。叫人一再高唱國歌,可讓人更愛國。讓孩子每天早上祈禱,可以提高他們接納宗教信仰的機率。

在上述的每個例子中,言語成了信念。許多人對這種研究相當好奇,開始研究其他類型的行為是否也有同樣的說服效果。其中有兩個研究最出名,一個是關於眼珠的顏色,另一個是「第三浪潮」(Third Wave)的形成。

——本文摘自《怪咖心理學之鍛鍊正能量思維,用科學方法讓好事成真》,2023 年 4 月,漫遊者文化出版,未經同意請勿轉載。

azothbooks_96
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