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都是「摩天輪」惹的禍——摩天輪的數學模型與看最遠的距離|2021 數感盃|高中專題|銅獎

數感實驗室_96
・2021/12/25 ・3078字 ・閱讀時間約 6 分鐘
  • 作者:鄧智遠、陳品呈/育成高級中學

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2021 數感盃青少年寫作競賽/高中組專題報導類佳作之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

那天在討論畢旅行程時,意外地掀起了一場口水大戰,讓感情和睦的三兄弟——老曹、老劉、老孫起了口角。老劉起先說:「劍湖山摩天輪」比「義大摩天輪」大。後來老孫說:你弄錯了!明明是「義大摩天輪」比較高而且比較大,畢旅時只要坐「義大摩天輪」就好,不用坐「劍湖山摩天輪」,浪費錢!而且「義大摩天輪」可以看到海,「劍湖山摩天輪」看不到海景。

劍湖山摩天輪。圖/劍湖山官網

就在兩人爭論地面紅耳赤時,老曹說了:吵什麼吵!台中的「天空之夢摩天輪」最大又最高,一定看得到海景,你們說的那兩個都看不到海景。老曹一副趾高氣昂的態度大大折損了孫劉兩人的顏面,基於「敵人的敵人是朋友」的想法,造成孫劉兩人聯合打曹的局面,一時之間教室炮聲隆隆,一片肅殺之氣。

正當吵的激烈,一旁隔山觀虎鬥的同學議論紛紛時,三兄弟突然意識到:情緒性的言語是無法解決事情的,此事還是應該用數學和科學的角度多方求證,因此曹劉孫三兄弟有了以下一連串求證過程!

首先三兄弟先蒐集了「天空之夢摩天輪」、「劍湖山摩天輪」、「義大摩天輪」、「美麗華摩天輪」的基本資料。三兄弟在網頁上搜尋資料時,發現光是摩天輪的直徑在不同網頁上會有不同的數據顯示,令三兄弟不知該採記哪一個數據好,經討論後決定以摩天輪官方網頁和數感實驗室公告的數據為準。海拔則以 Google Earth 所查到的數據為準!完成了下列基本資料表格。

接著三兄弟使用以上所查到的四個摩天輪的數據,建立四個摩天輪的數學模型,並使用數學軟體 GGB 繪圖,將四個摩天輪放在一起做比較。三兄弟數學建模的過程如下:

  1. 以X軸代表海平面,Y軸代表海拔高度。
  2. 以圓的方程式 (x-70)2 + (y-308)2 = 562 代表天空之夢摩天輪,圓心為 (70, 308),半徑為 56。
  3. 以圓的方程式 (x-170)2 + (y-276.5)2 = 32.52 代表劍湖山摩天輪,圓心為 (170, 276.5),半徑為 32.5。
  4. 以圓的方程式 (x-250)2 + (y-290)2 = 402 代表義大摩天輪,圓心為 (250, 290),半徑為 40。
  5. 以圓的方程式 (x-330)2 + (y-84)2 = 352 代表美麗華摩天輪,圓心為 (330, 84),半徑為 35。
  6. 以點 (70 + 56cos u, 308 + 56sin u), u = k × 60, k = 0, 1, 2, 3,…,59 表示掛在天空之夢摩天輪的 60 個車廂,以點 (170 + 32.5cos 5/3u, 276.5 + 32.5sin 5/3u), u = k × 7.20, k = 0, 1, 2, 3,…,49 表示掛在劍湖山摩天輪的50個車廂,以點 (250 + 40cos 25/18u, 290 + 40sin 25/18u), u = k × 90, k = 0, 1, 2, 3,…,39 表示掛在義大摩天輪的 40 個車廂,以點 (330 + 35cos 25/17u, 84 + 35sin 25/17u), u = k × 7.50, k = 0, 1, 2, 3,…,47 表示掛在美麗華摩天輪的 48 個車廂。
  7. 使用滑桿同時讓四個圓上的點以不同的週期旋轉。也就是調整成代表天空之夢摩天輪圓上的點,以每 25 分鐘繞一圈的速率旋轉,劍湖山摩天輪圓上的點以每 15 分鐘繞一圈的速率旋轉,義大摩天輪圓上的點以每 18 分鐘繞一圈的速率旋轉,美麗華摩天輪圓上的點以每 17 分鐘繞圓心一圈的速率旋轉。
  8. 以 GGB 做圖如下,檔案網址:https://www.geogebra.org/calculator/enazjum2


三兄弟根據繪圖結果,發現:

  1. 若以摩天輪直徑來比較大小,得到:天空之夢>義大>美麗華>劍湖山
  2. 若以摩天輪總長(含支架)來比較大小,得到:天空之夢>義大>美麗華>劍湖山
  3. 若以摩天輪最高點與海平面距離來比較高度,得到:天空之夢>義大>劍湖山>美麗華

後來三兄弟使用摩天輪最高點與海平面距離,計算出四個摩天輪可以看到的最遠距離!假設摩天輪最高點到海平面距離為 h 公里,視線所看得到的最遠距離(弧長)為 s 公里,採記 Wiki 百科網頁上的數據設定地球半徑 R 為 6371 公里。在直角三角形中,首先計算出摩天輪頂端到地心距離的斜邊長 R+h,地球半徑的鄰邊長 R,算出 cos𝞱 的值,再利用 cos𝞱 的值反求出 𝞱(弧度),最後將 𝞱(弧度)乘上地球半徑 R 得出弧長 s。算式過程如下:

三兄弟計算數據結果如下表,並使用 Google Earth 標出四個摩天輪的看到的所有範圍!三兄弟比較四個摩天輪的可視範圍,得到:天空之夢>義大>劍湖山>美麗華。同時驚訝地發現,在沒有遮蔽物與空氣污染的情況下,在四個摩天輪的最高點,都可以看到台灣海峽,不禁發出讚嘆之聲。

三兄弟又好奇地計算出四個摩天輪的轉速如下表,發現劍湖山的轉速最快!但四個摩天輪的轉速都還在讓人可以感覺舒服地看風景的速度範圍!

三兄弟最後計算出乘坐四個摩天輪的每分鐘花費如下表。其中因為劍湖山摩天輪門票包含在整個樂園 699 元的門票中,無法像其他摩天輪單獨購買,所以在計算劍湖山摩天輪的票價時,採用的數據為 699/14=50 元(共有 14 項遊樂器材)。

由表格中,可以發現劍湖山摩天輪的收費遠低於其他摩天輪,推測是其他摩天輪的直徑較長,具有可以單獨吸引乘客花錢乘坐的吸引力;而劍湖山摩天輪可能一開始的設計就是遊樂園中的其中一項設施,所以直徑較短,也沒有打算要單獨收費。由數據中可以看出劍湖山摩天輪的經營模式和策略和其它家的摩天輪不同,再一次感受到數字會說話的魔力。

世界各地一直在興建新的摩天輪,摩天輪為什麼這麼受歡迎呢?因為摩天輪不僅是遊樂園中的設施,可以促進觀光,帶來人潮,同時也是城市中的地標建築與觀景台,可以帶來很多經濟利益!老曹、老劉、老孫三兄弟雖因為「摩天輪」起了爭執,但在情緒腦恢復成理性腦後,客觀地用數學模式來探討與解決問題,不僅學到了許多數學與地理的知識,也加深了彼此的友誼,實為廣傳的美事一樁啊。

參考資料

  1. Google Earth
  2. 如何計算離地平線有多遠
  3. 地球半徑
  4. Arccosine 計算器
  5. Google Earth – Range Rings 好用劃圓/半徑範圍工具
  6. 台灣-三大摩天輪
  7. 天空之夢-麗寶樂園渡假區
  8. 義大摩天輪-車廂、海拔
  9. 劍湖山摩天輪
  10. 美麗華摩天輪-車廂、海拔
  11. 摩天輪圖片
  12. 劍湖山世界主題樂園 遊樂設施介紹
  13. 義大世界摩天輪圖片

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數感實驗室_96
60 篇文章 ・ 31 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/


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「你不要過來啊!」蜘蛛為了在交配中保命,竟然把自己給射出去了!

Peggy Sha
・2022/05/18 ・1686字 ・閱讀時間約 3 分鐘

自然界中,充滿了不少為了交配而「慷慨赴義」的勇者,像是:螳螂、蜘蛛等等,在激戰中或激戰後,雄性會變成配偶的盤中飧,如此一來,不僅可以延長交配時間、增加受精機率,還能為雌性提供養分,讓後代更有機會健康快樂地成長!(讓我們感謝飛天小爸爸的努力!)

「性食同類」不僅可以延長交配時間、增加受精機率,還能為雌性提供養分,讓後代更有機會健康快樂地成長!圖/Pixabay

這種現象呢,被稱之為「性食同類」(sexual cannibalism),通常是雌性吃掉雄性的比例稍微高一些。

但正如俗話所說,「生命會自己找到出口」,竟然有雄性蜘蛛靠著把自己「射」出去來保下一命!今天,就要來為你講述,隆背菲蛛(Philoponella prominens)的噴射故事。

交配到一半就彈出去了?超離奇高速彈射之謎!

這次的主角隆背菲蛛呢,是一種原產於日本、韓國等地的社會性動物,過去驚人的成就包括:能夠一次聚集 300 多隻同伴,共同編織出一片大網。

至於牠們超強的彈射能力又是如何被發現的?原先,來自湖北大學的張士昶副教授與團隊正在研究隆背菲蛛的性行為,卻忽然發現了一個超離奇現象:完成交配之後,雄蛛居然會猛然彈開,「biu」地一下就飛得老遠!

這驚人的過程可說是快到不可思議,最高紀錄達到一秒 88.2 公分,別說是肉眼,就連普通相機都沒辦法正確紀錄下細節。

這個現象立刻引發了研究團隊的好奇心,那麼接下來該怎麼辦呢?當然是:交配大戰看起來!

射,還是不射?這是個攸關性命的問題!

為了進行研究,團隊總共觀察了 155 次交配行為,並在其中 152 次中觀察到了這種超高速的彈射情形。你可能會很好奇,那剩下的 3 次呢?嗯……那 3 隻隆背菲蛛沒有成功彈射出去,交配後就成了配偶的大餐了。

什麼?沒彈掉就會被吃掉?這究竟是巧合還是命運的安排?

研究人員決定出手人為干預一下,他們選了 30 隻隆背菲蛛,然後想辦法阻止牠們彈射,結果發現:「彈射=保命」,要是你射不出去,那你就逃不過配偶的大口,注定要變成人家的晚餐。

要是隆背菲蛛彈射失敗,那就逃不過配偶的大口,注定要變成人家的營養來源。圖/Pixabay

相反地,如果成功彈出去了,那麼,你不但可以保命,也多了再次交配的機會。嘿,沒錯,牠們彈出去後還會再爬回來交配,再彈、再爬、再交配,就如此反反覆覆。(當然啦,有時也會在過程中不小心弄掉一些身體部位,比如一兩支步足。)

想要成功噴射,你需要一對強壯的步足!

至於為何隆背菲蛛能變成這樣的飛天小蜘蛛呢?秘密就藏在牠們的步足中。研究團隊發現,雄蛛們會將第一對步足抵在雌蛛身上,一旦交配完成,就用力蹬腳彈射出去。

根據實驗,科學家們發現這對步足可說是噴射與交配關鍵,少了一支都不行,只要沒有這對秘密武器,雄蛛只會停留在求偶階段,但不會真的跟雌蛛交配。但如果掉的是其他幾支腳,那可完全不會影響交配過程,還是能順利完成生育大計。

而這對秘密武器最強大的地方,其實是來自液壓;只要蜘蛛擠壓胸部的肌肉,便可以將其中的體液注入特定關節(tibia–metatarsus joint),透過液壓來伸直步足、產生彈力。

沒想到吧?為了在交配中保命,隆背菲蛛還得運用到流體力學,是不是很有趣呢?

參考資料:

Male spiders avoid sexual cannibalism with a catapult mechanism: Current Biology
These male spiders catapult away to avoid being cannibalized after sex
Watch These Male Spiders Jump Like Hell to Avoid Being Eaten After Sex
This Male Spider Catapults Itself Into the Air to Avoid Sexual Cannibalism | Science| Smithsonian Magazine
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Peggy Sha
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曾經是泛科的 S 編,來自可愛的教育系,是一位正努力成為科青的女子,永遠都想要知道更多新的事情,好奇心怎樣都不嫌多。