面積儀無法加減乘除,卻開創出「類比式計算機」新路│《電腦簡史》(二十二)

本文為系列文章,上一篇請見:第一位程式設計師愛達·勒芙雷斯,能否改變分析機的命運?│《電腦簡史》 齒輪時代(二十一)

巴貝奇發明的差分機與分析機遠遠超越他的時代,得不到認同,連在自己國家舉辦的萬國博覽會都無法參展。不過會場中有一種特殊的計算器,不能做加減乘除,卻能直接「滾」出積分結果,從此開啟類比計算機這條新路。

首度世界博覽會開幕,不見差分機,卻有面積儀?

1851 年,英國倫敦海德公園出現一棟由鋼骨與玻璃蓋成的巨大建築。這棟長五百多公尺、高度近四十公尺的「水晶宮」(The Crystal Palace),是為了萬國工業博覽會而興建。這是史上首度舉辦的萬國博覽會,世界各國在此展出最新技術與發明。

英國發起這場盛大的活動,目的在於展現工業革命之後的各項成果,以證明大不列顛的領導地位。各國不甘示弱,也都使出渾身解數,不只比誰有最新發明,更要爭誰的設計更佳。因此除了有首度亮相的沖水馬桶、傳真機等全新的發明,也有望遠鏡、銀版攝影這種原本就有的事物,再推出進化版;前面提到的雅卡爾織布機與柯瑪四則運算器也在其中。

1851 年於倫敦舉行的第一屆萬國博覽會。圖:wikipedia

巴貝奇原本殷切期待在此次萬國博覽會展出差分機模組,讓世人見識他的發明,卻因為與內閣關係交惡,未能如願,還被排除在籌備委員會之外。其實就如上一章所說,即使巴貝奇真的成功打造出差分機,恐怕也會不符投資效益而賣不出去,就和其它山寨差分機一樣,很快就無疾而終。反而是柯瑪的四則運算器,用途單純卻便宜,還有不錯的銷路。

當時一起展覽的還有一種科學儀器叫面積儀 (Planimeter),也是用途單純、卻相當成功的計算器。說是計算器,但其實面積儀並不做數字的加減乘除,它的運算取決於機械動作的連續變化,因此在類別上歸屬於類比式計算機。面積儀後來又衍生出各種不同用途的類比式計算機,現代數位式電腦出現之前,許多艱鉅的計算工作都是靠它們完成的。

土地面積太難算,發明面積儀來解決

類比式與數位式的差別在於數值的連續性。類比式所處理的數值之間是連續不間斷的,數位式所處理的則是一個個孤立的數字。例如從 0 到 9 之間的任何實數都包含在內,算是類比;而如果只有 0 到 9 這十個整數,則算是數位。若以幾何來表示,類比就是0到 9 這一條線段,而數位就只有 0、1、2、……、9 這十個點。

四則運算之類的計算器當然是數位式;但計算尺則算是類比式,因為游標左右滑動,可以指到任何一個數值。傳統機械錶的指針是以連續不間斷的方式轉動,所以是類比式;不過同樣用指針的石英錶則是數位式,因為秒針是一格一格地跳躍前進。巴貝奇的差分機與分析機雖然可以計算連續函數,卻是利用代表 0 到 9十個數字的齒輪來運算,因此屬於數位計算機;而面積儀則是用完全不同的方式計算連續函數。

面積儀最早是巴伐利亞 (Bavaria,現德國的一邦) 一位公務員赫曼 (Johann Martin Hermann) 於1814 年發明。他負責地籍資料,為了計算每塊土地的面積而大傷腦筋。

土地形狀若是像課本上那種簡單幾何圖形,當然只需加減乘除,頂多加上三角函數就能算出面積。但實際上,土地邊界常常有不規則曲線,得用微積分才能算出面積大小,這就不是一件簡單的事,要有相當的數學程度才能勝任。而當有成千上萬筆的土地需要計算,得耗費掉多少時間?又去哪兒找那麼多數學家?

你可能會覺得這聽起來有點熟悉,沒錯,當年法國數學家德普羅尼也是因為測量土地需要數值表,而面臨同樣的難題。德普羅尼想出的解決之道,是利用差分法分拆計算過程,讓不懂數學的美髮師也能幫忙計算。赫曼則是直接思考如何用機器解決,才發明出面積儀。

不用計算數字,機械積分就能滾出積分結果

只要將面積儀置放在地圖上,握著上面的鐵針沿著土地輪廓描過一遍,就能自動算出面積大小(原理參見文末附注)。由於它是利用滾輪與圓錐體接觸面的變化,算出積分的結果,過程中的變化起伏與呈現出的數值都是連續的,因此是不折不扣的類比計算機。這也是第一具不需計算數值,光靠機械運動就能得出積分結果的機器。

面積儀使用方式。
圖/flickr

赫曼首創「機械積分」,為計算機開創出另一條不同的道路。不過他可能原本就是發明給自己內部使用,所以並未大肆宣揚,直到 1855 年出版的一本德國期刊介紹他的發明,世人才知道赫曼是最早的發明者,而這段期間已經有許多人也陸續發明出面積儀。 1851 年的萬國工業博覽會所展出的面積儀,便多達六款,分別來自義大利、瑞士、法國、英國等國。這些面積儀的構造略有不同,或增添滾輪、或用轉盤取代圓錐體,但原理都不脫赫曼的原始設計。

不過真正讓面積儀商業化並獲得廣泛採用的,是瑞士數學家兼物理學家阿姆斯勒 (Jakob Amsler) 於 1854 年所改良的機型。原來的面積儀是基於直角座標系,將 X 軸與 Y 軸的位置變化轉換為數值;阿姆斯勒改用極座標,測量的是角度與距離的變化。如此一來,阿姆斯勒便能把面積儀設計得更小巧,成本更低,而且使用起來更方便,計算結果也更準確,因此大受歡迎。三年後,阿姆斯勒乾脆自己設廠生產極座標面積儀,在他 1912 年過世之前,一共賣出多達五萬支。

阿姆斯勒設計的極座標面積儀。
圖/wikimedia

機械積分真好用,各式類比計算機由此衍生

面積儀既然可以用利用機械積分算出積分值,類似的原理應該也可以畫出對應的積分函數。1878 年,波蘭數學家阿巴卡諾維茲 (Bruno Abakanowicz) 發明積分儀 (Integraph)。將積分儀的描圖臂沿著某一函數的曲線移動,另一根繪圖臂就會同時畫出這個函數的積分圖形,例如將描圖臂沿著 y=x 這條直線移動,繪圖臂就會畫出 y=1/2 x2 的曲線,相當於一台輸出函數積分圖解的計算機。

除了積分儀,面積儀還衍生出許多不同用途的類比式計算機,其中契機正是源於1851 年的萬國博覽會,而關鍵角色竟是被譽為牛頓之後第二人的馬克士威 (James Clerk Maxwell)。馬克士威當時仍在劍橋大學就讀,他也跑去參觀萬國博覽會。面積儀的巧妙設計讓他印象深刻,回去後繼續思考其中原理,最後還發表論文,提出改善建議,竟因此開啟了類比式計算機一連串的發展。


同場加映:面積儀的運作原理

面積儀有支活動的懸臂,末端插著細細尖尖的鐵針。內部有個圓錐體,會隨著懸臂前後移動而順時針或逆時針轉;以及一個與圓錐體表面接觸的滾輪,滾輪會隨著懸臂左右移動而上上下下。

當鐵針沿著土地邊界移動,便會帶動懸臂前後左右移動,使得滾輪隨著圓錐體轉動。鐵針的位置若以直角座標 (x,y) 表示,y 越大,滾輪越靠近圓錐體底部,因此轉越多圈。x 增加時,滾輪順時針轉,會累加轉動的圈數,反之則逆時針轉,倒扣轉動圈數。滾輪連結到有如時鐘的圓盤,上面的指針會跟著同步轉動,所指的數字便是累計的圈數,也就是土地的面積。

關於作者

張瑞棋

1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。自小喜愛科學新知,浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,更成為重度閱讀者。當了中年大叔才成為泛科學專欄作者,著有《科學史上的今天》一書,如今又因翻譯《解事者》,而多了個譯者的身分。

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