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今日香港考試准用計算機,明日台灣呢?

活躍星系核_96
・2019/07/04 ・2903字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 538 ・八年級

作者 / 單維彰 │ 國立中央大學師資培育中心與數學系合聘副教授

y編按:108 數學領綱中很重要的革新項目之一便是將「計算機」這個「微小而又謙卑的工具」,引入國中及高中階段的數學教育中;而在考試的部分,也研擬能「准用計算機」,此話題引起了討論,甚至有人認為此舉太過「理想主義」。

香港的大考制度和台灣不同,在他們的數學考科中,已經能准用計算機;實際上的使用方式為何呢?推動者又怎麼看這樣的轉變?讓我們一起來從今日的香港考制,來看看明日台灣。

在這段日子裡,我們特別關心香港同胞;七月也是臺灣的傳統「考季」,而此時國內聚焦的教育議題之一,正是今年 8 月的數學新課程開始使用計算機之後,將來的數學學測與分科測驗,是否也該准用計算機?

我們就一起從這篇文章開始,來看看香港的數學大考如何使用計算機吧。

香港的大考長什麼樣子呢?

香港以前的教育制度大致與英國相仿,採用英國版的標準化測驗作為中學畢業的學科能力評量。成為中國的特別行政區之後,教育事務屬於港人自治的範圍,其學制逐漸從英國規格轉換為 6-3-3-4 制*,使得香港的學制與其周圍鄰國一致,包括臺灣、中國、日本和韓國。

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  • 編按:即是小學 6 年、國中 3 年、高中 3 年、大學 4 年的學制。

相當於我國高中畢業生參加的學測與指定科目考試,在香港稱為中學文憑考試(文憑試,DSE:Diploma of Secondary Education)。而泛稱「劍橋考試」的各級標準化評量,也改由香港考試及評核局(考評局,Hong Kong Examinations and Assessment Authority, 簡稱 EAA)主辦;EAA 相當於我國的大考中心,它們都是財務獨立的法人機構,不過實務上仍有諸多不同之處。比如說考試費用計算方式:以相當於學測的數學考科為例,香港的應屆畢業生,由學校團報的報名費是 448 元港幣,直接兌換約為 1800 元台幣;而臺灣的報名費僅為 200 元。考試的時間也有所不同,香港的考試時間是 210 分鐘,臺灣只考 100 分鐘。

而考試又考些什麼呢?香港文憑試提供四個核心科目:國文、英文、數學(必)、通識教育,它們的角色相當於我國的學測。此外,文憑試提供高達 24 個選考科目(其實不只如此,但是詳情不及備載),包括兩個數學選考科目:數學(一)和數學(二)。因為整個考季長達一個月,各門考科不相衝堂,所以各方學霸盡可挑戰大滿貫。可是,香港社會已經脫離了考試崇拜的幼稚期,以 2018 年的 5 萬 5 千多名考生為例,70% 的考生選考二科,16% 選考三科,8% 僅選考一科。

選考科目之中,考生最多的前五名是:生物(14500 人)、化學(14000 人)、經濟(14000 人)、物理(12000 人)、地理(10000 人)。想請讀者特別注意的是:香港還存在像是「經濟學」之類的選考科目,而且相當熱門,反觀我國甚至連這一門選修課程都沒有。而選考數學(一)和數學(二)的人則並不多,依序擁有 2900 名和 5200 名考生。

筆者特別想要指出:香港文憑試的「通識教育」考科是一個非常有創意的評量設計,非常值得我們注意。但是本文專注於數學,在此先忍住不發,或許未來有機會再跟各位聊聊。

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數學考科如何准用計算機?

香港考評局出版一份〈准用計算機型號名單〉文件,列出十三種品牌將近四百種機型,每一種都會在機殼上顯示 HKEAA  APPROVED 標誌。在香港的書局裡,幾乎都可以看到一個專區,陳列合格的計算機商品。香港文憑試的三種數學考科,全都准用計算機。而攜帶合適的計算機應考,是學生自己的責任。

有 HKEAA  APPROVED 標誌的計算機。source:Wikimedia

數學(必)分成兩段考試,卷一考 135 分鐘,占 65 分,全是需書寫過程的非選題;卷二考 75 分鐘,占 35 分,全是單選題。選考的數學(一)和數學(二)各考 150 分鐘,全是需書寫過程的非選題;其中數學(一)的試卷提供正規分布表,數學(二)的試卷提供三角公式(如下圖)。

所謂「准用計算機」的概念是,學生只要認為有需要,就可以用。有些概念性的問題,計算機應該是幫不上忙的,讓我們從 2018 年的「數學(必)一」試卷來一起感受一下。例如:

1.化簡 \(\frac{xy^7}{({x^{-2}  y^3})^4}\) 並以正指數表示答案。(2018試卷一2)

2.將 265.473 捨入至二位有效數字。(2018試卷一3(a))

有些試題需要基礎的計算能力,考生可以根據自己的能力而決定是否適合使用計算機,例如:

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3.某物的標價較其成本高 30%,已知以其標價六折售出虧損 88 元,求該物之標價。(2018試卷一7)

4.參閱下圖,已知全距為 43、四分位距為 21,求 ab;這是題組的第 1 小題。

第 2 小題接著問:若上圖為 X 組文員的年齡分布,另有 Y 組五名文員,其中三名均為 38 歲,且 Y 組年齡的全距為 20。如果將 X 和 Y 合併為一組,公司經理宣稱新組的年齡全距必與 X 組的年齡全距相同。你是否同意?試解釋你的答案。(2018試卷一10)

大多數的讀者大概都能心算或筆算以上題目所牽涉的計算。香港與台灣的差異在於,我們要求全體學生必須具備前述計算能力,而且必須自己算,但是他們容許學生選擇較有效率的作法。

就筆者觀察後的意見而言,香港的數學(必)試題沒有使用計算機即可直接得到答案的題目,也很少非要使用計算機否則無法算出答案的題目。就 2018 年數學(必)試卷一的 19 道試題而言,僅有以下這一題,筆者自認無法筆算,非得拿起計算機不可:

5. 某等比數列的第 3 項及第 4 項分別為 720 及 864。(a) 求第 1 項;(b) 求 的最大值使得第 n+1 項與第 2n+1 項之和小於 5×1014。(2018試卷一16)

以上雖然僅就 2018 年的數學(必)試卷一舉例,但是筆者觀察試卷二以及選考的數學(一)和數學(二),所得的結論是一樣的:有些觀念性的題目,有沒有計算機的差異不大;大多數的題目,僅需基礎的計算能力,部分學生使用計算機可能會提高其作答效率,但客觀而言並非必需。只有很少量的題目,看來必須使用計算機。

由於試卷上有「標準答案」的需求,所以也會特別註明關於概數的約定語言。例如,數學(必)試卷聲明:「除特別指明外,數值答案須用真確值,或準確至三位有效數字的近似值表示」,數學(一)和數學(二)也有同樣的聲明,只是將近似值改為「四位有效數字」。

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當計算機成為學生的好夥伴

將計算機列為數學課程的教學目標,為的是要讓學生有機會藉由工具的協助來理解數學,進而培養對於數學的正向態度,也使得學生有機會「探究」數學。由於數學大多是抽象概念,不同於自然領域通常有實際的觀察對象,在數學教育中引進計算機,也能使得續學課在某種程度上也有機會從事觀察、實驗與探究。

長久以來在台灣,「不準使用科技工具」的教育現實,就像一片透明天花板,重重壓在每位教師和學生的頭上。眼看著科技文明不斷更新,國際同儕的教育內容不斷進步,我們卻被這片透明天花版壓制在下而無法成長。

若能讓計算機真正落實在數學課程裡,相信這個微小而謙卑的工具,會成為刺破天花板的小尖兵,改變教育領域,讓社會對於數位工具的接受度能夠逐漸改變。

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活躍星系核_96
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活躍星系核(active galactic nucleus, AGN)是一類中央核區活動性很強的河外星系。這些星系比普通星系活躍,在從無線電波到伽瑪射線的全波段裡都發出很強的電磁輻射。 本帳號發表來自各方的投稿。附有資料出處的科學好文,都歡迎你來投稿喔。 Email: contact@pansci.asia

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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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以科學為本!從 DNA 探索大未來——百濟神州(BeiGene)Kids Science 生物科學營,為小小醫生科學家鋪路!
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/12/27 ・3734字 ・閱讀時間約 7 分鐘

本文由 百濟神州(BeiGene) 委託,泛科學企劃執行。

「小朋友們,當爸媽或家人生病時,你的心情如何?擔心、焦慮、想辦法讓他們好過一點?」

「希望家人最好不要生病」、「吃藥看醫生才能快快恢復」這是來自孩子們最純真直接的回應。

全球前 50 大生技製藥大廠百濟神州(BeiGene)副總裁暨細胞治療研發中心負責人黃士銘,日前率近 20 位企業志工和家人們一起至坪林國小,在泛科學協助下,舉辦「Kids Science 小小生物科學營」。課堂上,身為生物科學家的他,首次擔綱一日業師,在活動一開始即拋出了上述這個情境題,引導孩子們思考生物科學,其實是一門很有意義的學問,不僅貼近日常所需、更能真實地幫助許多人。

黃士銘表示:「BeiGene 是一家以科學為本,專注於創新癌症藥物研發,我們與全球各地科學家及醫師緊密合作,以病人至上的精神,致力為全世界患者帶來可近性及可負擔的高品質藥物。」身為一位科學家,我們相信『改變治癒未來』(Change is the Cure)。先進科學改變人類生活,而醫療科學為人類帶來治癒的力量。因此,在台灣,我們與這塊土地最頂尖的科學人才共同努力,專注於細胞治療在癌症醫學領域的研發,也因為台灣向來是生技產業人才搖籃,這更讓我們重視到,科學教育從小紮根的重要性,讓小朋友從早期開始培養科學核心素養,豐富孩子們的知識和視野,希望啟發他們對於生物科學的興趣。我們很期待透過 BeiGene 「Kids Science 小小生物科學營」,拋磚引玉,讓更多人重視科學教育的環境,挹注多元教學資源,發揮共好影響力,為台灣培育更多優秀的生技人才。

BeiGene 副總裁暨細胞治療研發中心負責人黃士銘,率近 20 位企業志工和家人們前進坪林國小,讓偏鄉小朋友從小開始培養科學核心素養。圖/BeiGene

有鑑於此,秉持以科學為本、病人至上的 BeiGene,致力「培育未來生物科學人才」作為品牌 ESG 關鍵的當責行動。於是乎,當觀察到台灣偏鄉科學教育資源與師資分配不均的狀況,便與全台最大科學知識社群–「泛科學」聯手,舉辦「 Kids Science 小小生物科學營」,BeiGene 企業志工於假日帶著家人們,前進新北市坪林國小進行教學活動,為偏鄉學童種下科學教育種子,希望藉由對生物科學的體驗與實驗過程,提升偏鄉學童對於環境觀察的敏感度與科學的認識基礎。

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BeiGene 「Kids Science 小小生物科學營」,為學童打造出「適齡、適性」、結合理論與手作的生物科學探索課程活動。圖/BeiGene

生物科學樂趣多! 啟發學童對科學創造的想像

小學階段是最適合紮根科學教育的時期,但偏遠地區的學校由於交通不便與地理人文環境特殊,造成師資、設備、資源不足等情況。若能引進多元的教學資源,開啟偏鄉孩子們不一樣的視野,便能在科學的啟蒙之路上,燃起他們的學習熱情、啟發學童對科學創造的想像!

引導孩子們思考生物科學,其實是一門很有意義的學問,不僅貼近日常所需、更能真實地幫助許多人。圖/BeiGene

坪林國小校長王珮君表示:「科學是生活,舉凡食、衣、住、行都隱含著許多科學知識與原理,非常感謝 BeiGene,看見偏鄉孩子在專科教育學習資源的需求,舉辦『Kids Science 小小生物科學營』, 讓孩子從做中學習。藉由豐富有趣的課程,帶領學校的孩子不僅能從學習中獲得更多與醫學相關的科學知識,同時也能啟發他們擁有像『科學家』一樣地邏輯思考,像『醫師』一樣地解決問題!永保好奇心,持續不斷的創新與探索。」

坪林國小校長王珮君致力提供學生更好的學習資源,感謝 BeiGene 帶來豐富多彩的 STEM 教育課程。圖/BeiGene

親子共學玩實驗夯: 水果DNA切切樂、手作仿生鳥

身為全台最大科學知識社群——「泛科學」知識長鄭國威表示,孩子學習科學的目的,除了開拓視野外,更重要的是培養科學思辨的精神與態度!在這個以社群力=影響力的時代,泛科學希望與各界企業一起『加乘、共好』,透過彼此的核心職能,讓下一代對科學產生興趣。

孩子學習科學的目的,除了開拓視野外,更重要的是培養科學思辨的精神與態度。圖/BeiGene
利用簡單易操作的實驗一窺水果 DNA 的樣貌。圖/BeiGene

這次的課程,特別邀請到曾獲教育部殊榮的生物老師──簡志祥「阿簡老師」,帶領學童認識水果 DNA,利用簡單易操作的實驗一窺 DNA 的樣貌,了解生命細胞最初始的模樣;也體驗了解仿生科技在醫療上及生活上的應用,透過「仿生鳥手作實驗」引導學童思考有哪些生活用品是從仿生科學啟發而得來,並從手作實驗中獲得更多靈感與樂趣,最後的「仿生鳥飛行競賽」,讓學童用自己親手做的成品互相比拚,進一步體驗空氣動力原理,邊玩邊學、小朋友無一不感到新奇與有趣。

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透過生活周邊常見產品實例,了解仿生科技在醫療上及生活上的應用。圖/BeiGene
透過「仿生鳥手作實驗」引導學童思考有哪些生活用品是從仿生科學啟發而得來。圖/BeiGene
「仿生鳥飛行競賽」,讓學童用自己親手做的成品互相比拚,進一步體驗空氣動力原理,邊玩邊學、小朋友無一不感到新奇與有趣。圖/BeiGene

本次課程活動獲得很好的迴響,孩子們邊玩邊學,不僅輕鬆提升專注力,同時對生物科學產生興趣。各位家長們,想要帶著孩子自己動手體驗 Kids Science 科學課程嗎? 以下分享 DIY 簡單步驟跟著做,親子共學樂趣多: 

【水果切切樂】

藉此實驗了解細胞各構造的特性,如清潔劑可溶解細胞膜的脂質,破壞細胞膜。 高濃度食鹽水可使 DNA 溶解在溶液中,DNA 不溶於酒精中,所以使用酒精萃取出 DNA。由於實驗材料簡單,且方法易操作,對生物科技有興趣的學習者也可以自行操作實驗不同水果的差異性。

教學影片。影/Youtube

材料:
萃取液(食鹽、水、清潔劑)冰棒棍、牙籤、離心管、塑膠杯、塑膠袋、紗布、竹籤、切塊水果、酒精

方法:
準備萃取液,內容是 1/3 杯的水、1/2 匙鹽和 1 匙的清潔劑混合。把切塊水果放進塑膠杯裡,倒進萃取液,能夠蓋住水果的量就夠了,用冰棒棍把水果攪爛。
把紗布鋪在另一個塑膠杯上,將攪爛的水果倒入紗布上,收集濾下的液體。
把酒精倒入液體中,過幾分鐘就會在上層的酒精裡看到白色的絲狀物。恭喜你,你拿到了這些水果的 DNA 了。拿牙籤輕輕攪拌這些 DNA,把它們收集到離心管裡頭吧。

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原理:
為什麼這些材料就可以萃取出 DNA 呢?當你把水果攪爛和萃取液混合時,會破壞水果的細胞,清潔劑可以破壞水果細胞的細胞膜和核膜,而加入鹽則可以讓 DNA 溶解在萃取液內。最後加入的冰酒精,則會讓 DNA 從溶解的狀態被析出來,就成了你看到的白色絲狀物。

【手作仿生鳥】

結構仿生設計學主要研究生物體和自然界物質存在的內部結構原理在設計中的應用問題,適用與產品設計和建築設計。研究最多的是植物的莖、葉以及動物形體、肌肉、骨骼的結構。本課程從生活中引導小朋友去思考有哪些生活用品是從「仿生科學」啟發得來的。並從手作實驗中得到更多靈感與啟發!

仿生學小知識:

仿生學是模仿生物特殊本領的科學,目的在了解生物的結構和功能原理,來研發新的機械和技術,將大自然的智慧轉化成人類可操控的技術,可以說是「向大自然學習」的一門科學,例如達文西的「撲翼機手稿」就是藉由研究鳥類與昆蟲飛行所設計出來的。

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像是出淤泥而不染的「蓮花葉」,除了表面上有蠟等物質可以防水,也發現葉面上有奈米等級的絨毛結構,這些結構使得水滴不易被戳破,讓水滴能在葉面上自由滾動,正是屬於仿生學的範疇,而這個發現也運用在現在的防水塗料上。此外,模仿蜘蛛絲做成的線非常強韌,可以拿來做防彈衣,這些都屬於仿生學的研究成果。

教學影片。影/Youtube

方法:
確認你的配件,包括翅膀、尾巴、木條、三條橡皮筋,將翅膀配件靠內的桿子套上右邊鐵鉤,靠外的桿子套上左邊鐵鉤,將木條插入翅膀的孔,另一端插入尾巴的孔,接著將橡皮筋套進兩端的掛勾,最後一步驟只要扭轉橡皮筋就可以飛行了。

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相輔相成的數學與科學,誰才真的是「科學的起點」?或許,它們都不是最好的答案——《教出科學探究力》
親子天下_96
・2022/08/12 ・3626字 ・閱讀時間約 7 分鐘

數學絕對是科學上非常重要的工具,當科學面對重大疑難雜症時,往往確實是由數學來解決問題。歷史上有很多例子,可以用來說明科學家遇到科學問題時,發明數學工具來解決問題。

例如我們知道,一個物體如果維持每秒鐘 30 公尺的速度前進,那麼 100 秒之後,它會前進 3,000 公尺。但如果這個物體的速度是會穩定減少,平均每一秒鐘還會穩定的減少每秒 10 公尺,也就是一秒後它的速度就變成 20m/s、兩秒之後變成 10m/s,以此類推。

這樣的話,我們知道它 3 秒之後會停下來,但你能知道它前進的距離總共有多少嗎?

為了解決這個問題,牛頓發明「微積分」這個數學工具。

現代微積分是由牛頓與萊布尼茲所發展而成的重要工具。圖/Pixabay

先有雞還是先有蛋?先有科學還是先有數學?

物理學家為了要處理像是「位移」、「力」、「速度」這類問題,也發明「向量」這樣的數學工具來幫助物理學家解決問題。

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這樣看起來,好像應該說「科學是數學之母」才對?

也有的時候,科學家為了精準簡潔的描述自然界規則,運用數學語言來作為描述的方式。

例如我們知道,兩物體之間永遠存在一個互相吸引的萬有引力,萬有引力的大小和兩物體的質量大小乘積成正比,和兩物體的距離平方成反比。這麼一大段落落長的描述,如果用數學符號來表達,就會變成:

\(F = G \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\)

這樣的表達既簡潔又精準,當然是很不錯的描述方式,很受科學人的喜愛。數學是科學中重要的工具,可以幫助科學解決很多問題。在學習科學或發展科學的某些階段,數學更是不可或缺的工具,沒有數學便跨越不了某些門檻。

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即便如此,數學好像也說不上是「科學之母」。

科學始於好奇心,每個孩子都是天生的科學家

我總覺得「科學之母」的意思,應該是科學的產生者。那什麼才是科學的產生者?我認為是「觀察」。

觀察與好奇心促成科學的動機觀察的意思不是觀看,不是說用眼睛看到些什麼東西就是觀察。觀察是會產生疑問的,會勾起你的好奇心。看到一些「怪怪的」、好像跟平常不一樣的事物時,你可能會留心的多看個兩眼,腦袋裡想著:「昨天跟今天看到的太陽升起位置,是不是有什麼不一樣?」、「上次釀的酒跟這一次喝起來好像不一樣?」

察覺這些差異之後,你的好奇心可能就會接手,開始思考如何解釋這樣的差異。

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如果你認真一點的話,可能會對現象進行系統化的描述記錄,將那些雜亂的事物根據相同處、相異處進行比較並分類,有時候或許能從中發現一些現象的規律性或者因果性。

例如我們的祖先們長期觀看著海,把每天看的海水高度做了記錄,時間一長就慢慢看出一些規律性,發現每天海水高度變化跟月亮的位置有關:滿月的那天,當潮水最高的時候就是在正中午。

我們的祖先們長期觀看著海,把每天看的海水高度做了記錄,時間一長就慢慢看出一些規律性。圖/Pexels

進而發現不同的月相和漲退潮的時間,有某種特定的關係。等蒐集到夠多的事實之後,很可能就可以發現規律性。

察覺這些規律性、相同處、相異處之後,有些人會興起強烈的好奇心,想要一探這些現象背後的完整詳細規則,或是探詢造成這些規則背後的原因,這時,科學的動機就出現了。

自文明誕生以來,有很長一段時間,人們只是用神話的方式來解釋自然,直到近幾百年才發展出有系統的科學方法,以極端嚴謹的態度來檢視心中的答案。雖然科學是近代產物,但產生科學的動機卻是每個人都天生具備的,那就是「觀察」和「好奇心」。

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每個孩子天生就很愛問問題,這也是為什麼許多科學家會說:「每個孩子都是天生的科學家」,不過這句話的下一句是:「直到 XX 歲為止」。

為什麼等到我們長大以後,就不會提問了呢?

身為老師的我們都曾發現,學生到了國中之後,似乎就變得很不愛問問題。

我相信造成這個結果的原因有很多,例如我們的科學教材教法往往是去情境化、去脈絡化的;我們的考題有許多是脫離現實的;我們的課程也經常不是以學生親身觀察而產生的探究問題作為出發點。

此外,大量意義不明的數學練習,恐怕也是重要的原因之一。

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天生的科學家們為什麼長大後就不發問了呢?造成這個結果的原因有很多。圖/Pexels

既然數學題目難以避免,我們該怎麼讓這些練習對學生而言,變得更有意義、更具有科學教育的價值呢?

數學在科學課堂上扮演的角色在科學的學習中,數學作為一種工具,其存在是必要且適當的。但我們應該注意的是:工具的使用必有其特定的使用動機和情境。

如何讓學生知道自己在幹嘛?以燃素說、氧化說為例

例如拉瓦節(Antoine Lavoisier)並不是一開始就在實驗室裡面計算數學,因而發現燃燒的本質是物質的氧化。他是因為用定性分析方式無法成功反駁當時主流的「燃素說」,才進一步使用量化實驗、測量精準的數據,得到足以駁倒「燃素說」的證據。

讓學生具備動機和情境後,在適當的難度下,引進必要的數學就會覺得理所當然。如果學生知道自己正在處理什麼問題,也知道為什麼需要運用這個工具的情況下,那麼在自然科裡面學習數學是沒有問題的。

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需要透過有設計的教學,才可以激發學生思考、知道自己在處理什麼問題。圖/Pixabay

於是我在燃燒的單元中,設計了讓學生閱讀並比較史塔爾(Georg Ernst Stahl)提出的「燃素說」和拉瓦節的「氧化說」。兩個學說都是在描述學生熟悉的燃燒現象,但卻有著截然不同的解釋方式。

史塔爾的「燃素說」認為:

因為物質燃燒時,物質裡面的可燃成分(燃素),會從物質內逃逸出來與空氣結合,從而發光發熱,這就是火。並且因為燃素從物質中釋放出來,重量就變輕了,釋放燃素的物質只剩下灰。

但有些物質,像是金屬,它們內部的空隙就像容器一樣,裡面充滿燃素。燃素與金屬分離後,空出來的容器會被空氣填滿,容器裝著比燃素重的空氣,重量自然就變重了。

而且物質在加熱時,燃素並不能自動分解出來,必須藉空氣來吸收燃素,才能將燃素釋放出來,而且愈好的空氣吸收燃素的效果愈好。

拉瓦節的「氧化說」則主張:

物質燃燒時,不是物質內部的燃素釋放出來,而是物質和空氣中的氧氣結合。結合的過程中會發光發熱。

結合之後的物質,稱為氧化物。氧化物如果是氣體或者變成飛灰離開了物體本身,質量就會變小,就像紙張燃燒一樣。

如果物質氧化物和物質是依附在一起的,那就會看到質量變重,就像金屬的燃燒一樣。

你會發現兩者的說法看起來都能完美的解釋燃燒現象,如果只是觀察各種燃燒的現象,並不足以判別誰說的才對。這時,用量化方式精準測量燃燒過程中各階段物質的質量變化,就變成判別是非的關鍵所在。

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量化實驗當然是比定性實驗更加困難,但當我們對於某個事件產生興趣時,這些困難就會瞬間變成讓人興致高昂、願意去挑戰和克服的關卡。

「燃素說」和「氧化說」的說法看起來都能完美的解釋燃燒現象,這時便需要科學的力量。圖/Pexels

數學的工具也是如此,所以我在運動學的課程設計中,利用交通安全宣導影片中常出現的「未維持安全距離」下產生的交通事故,讓學生感受到危險,並且產生「安全距離是怎麼計算出來的」的疑惑,激發學生解決問題的動機。

動機產生之後,我們就可以把待解問題轉化為比較嚴謹的文字敘述:「車子以 108km/hr 的速度行駛在高速公路上,因前方發生事故而緊急煞車。若車子能在 X 秒鐘之內停下來,我們的煞車距離有多少?」這就變成大家熟悉的考題了。

此時不管是使用公式也好,圖形法也好,學習起來就會比較自然而然、順理成章。在課堂上營造動機與脈絡,讓解決這些數學問題變成必要的過程,就是我們在課程設計上可以努力的方向。

——本文摘自《教出科學探究力》,2021 年 8 月,親子天下 ,未經同意請勿轉載。

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