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用哪種統計方法已成信仰?「貝葉斯統計」與「頻率論」差在哪?——《重力的幽靈》

左岸文化_96
・2019/05/08 ・2091字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 611 ・十年級

編按:在前沿天文學中,所有觀測的結果都會是數字,而所有的數字解讀都需倚仗統計學。《重力的幽靈》第五章探討了統計檢測的隱藏歷史。

在物理學中,是要使用貝葉斯統計 (Bayesian Methods) 還是頻率論 (Frequentist probability) ,長期以來有著爭論。

哪邊才是對的呢?圖/pxhere

兩者究竟差在哪?該選哪邊站?

事實上,這種爭論是如此長期地存在,並存在著如此熱情,使雙方有時會開玩笑地把他們喜好的偏好當成是統計的「信仰」。有幾個原因值得讓我們看一下這個信仰。

首先,檢視信仰之間的爭論是一個方法,得以顯示出統計數據的解釋總是主觀的,無論它看起來是如何的客觀。

其二,如我將在本章所論證的,貝葉斯方法可以用來正當化涉及弱宣稱 (weakclaim) 的發表策略。

這兩個統計信仰之間關鍵的區別似乎是在於:

貝葉斯統計相信,所有基於統計學聲稱核心的不可能性敘述,必須考慮到你已經相信的世界,也就是聲稱的「先驗概率」(priorprobability),是真實的。

所有基於統計學聲稱核心的不可能性敘述,必須考慮到你已經相信的世界。圖/pixabay

頻率論則認為先驗概率過於主觀,不能出現在統計計算中;那樣只是產生了一個數字,而這個數字只反應了你所計算的可能性為何,並非計算可信與否。

很明顯地,在貝葉斯統計和頻率論對不可能性的評估中,先驗可信度扮演了一定的角色。如果頻率論正在尋找一個恆星,而計算暗示望遠鏡發現了天空中有頭噴火的巨龍,他們也不大可能進行舉報。

在一封電子郵件中,我的受訪者是一位堅定的貝葉斯主義者,關於尋找重力波,他是這樣看的:

我覺得首次偵測的評斷標準多半是社會學的。要說服人,需要的是證據與團隊信譽的水準,我們看到的東西完全超出他們的經驗(重力源),並非全是他們所經驗過的東西(偵測器雜訊、飛機等等)。這個水準主要取決於我們希望說服的人所持的態度,以及他們對於將數據解釋為重力波的先驗傾向 (priorpredisposition) 。一旦我們做到了這一點,重力波就會很神奇地進入他們的經驗之中。一切都變得更容易,我們就可以自由自在地,像個正常的天體物理學家。(即,瘋狂臆測並亂搞,而不會受到責備!)

先驗預期以更為不起眼的方式,扮演著它的角色。例如,在相隔遙遠的兩個偵測器上偵測到的信號有時間巧合,而背景中僅有極為少數的時間巧合,這樣的聲稱有賴於重力波的先驗模型,也就是重力波是來自於一個侷限的天區,並且是以光速傳遞。我們知道在這樣的速度下,相隔兩千英里的兩個偵測器之間的「時間巧合」,發出兩個信號的時間間隔不能超過 1/100 秒。

這意味著,如果試圖找出可能只由雜訊所引起時間巧合的背景信號,可以忽略所有時間間隔超過 1/100 秒的事件——那些並非「時間巧合」。

取決於光速?還是音速?

音速?還是光速?圖/pxhere

如果重力波是以音速傳遞,就必須要考慮包含兩個事件的間隔是三個小時(或更短)的「時間巧合」。而人們只好將兩個產生作用相隔三個小時以上的事件,當成背景並予以排除。就我們所知,在這種情況下是不可能進行重力波探測的。

然而,卻也從來沒有實驗或觀測「證明」,重力波是以光速傳播——而它卻正是目前章節中所描述的科學重點的一部分。

更具體地說,相同的迴圈也適用於所有試圖憑藉著模板的偵測,像在連續波與隨機背景的情況中,甚至是有賴於發射源的粗糙模型。頻率論中的等效先驗模型,也就是韋伯和羅馬集團的陽性宣稱受到批評的核心。

貝葉斯主義者只不過是說,在完成計算之前,所有的這些先驗預期應該是計算的一個明確部分,而且應該透過一個數字來表示。頻率論傾向「在事件發生後」否認不太可能出現的結果。在大多數的情況下,頻率論者和貝葉斯主義者會在計算結束時得到相同的結論,但並不總是如此。但這個「不總是」可能會是重要的。在這個故事中的確十分重要。

一場關於「信仰」的戰爭

信仰的戰爭仍在繼續,因為貝葉斯主義者相信,頻率論丟棄或歪曲有價值的信息並(或)掩飾其運用,或者將其作為事後的決策機制。

另一方面,頻率論者指出了一個事實,要正確地將一個數字賦予某些事的「先驗機率」,是非常困難的;將先驗資訊給予數字的形式,是試圖將「主觀」的猜測偽裝成「客觀」的資訊。

貝葉斯主義者說,這也許是個猜測,但至少每個人都可以看到猜的是什麼,如果有人想要,他可以批評,也可以提出自己的猜測。貝葉斯主義者說,每個人都同意奇蹟(意想不到的效應)需要額外的證據,如果要證明的話,他們的做法是讓這項要求成為明確程序的一部分,而頻率論者只是頷首微笑同意,有些東西真是令人難以置信,然後默默接受。

本文為《重力的幽靈:關於實驗室、觀測,以及統計數據在21世紀的科學探險》推薦序,2018 年 10 月,左岸文化出版。

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左岸的出版旨趣側重歷史(文明史、政治史、戰爭史、人物史、物質史、醫療史、科學史)、政治時事(中國因素及其周邊,以及左岸專長的獨裁者)、社會學與人類學田野(大賣場、國會、工廠、清潔隊、農漁村、部落、精神病院,哪裡都可以去)、科學普通讀物(數學和演化生物學在這裡,心理諮商和精神分析也在這裡)。

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買樂透真的可以賺錢?大數法則揭示了賭博的真相!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/05 ・2394字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則?

期望值的定義是:它是可能結果的一種平均,但在計算平均時,機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果,它代表了如果我們重複賭很多次,或者隨機選出很多家戶,實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明,用機率模型算出來的期望值,真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則
大數法則(law of large numbers)是指,如果結果為數值的隨機現象,獨立重複執行許多次,實際觀察到的結果的平均值,會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中,每個可能結果的發生比例會接近它的機率,而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的,它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了:為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博,對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值,並且知道長期下來收入會是多少,所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具,讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多,大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場,他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡,但是保險公司知道機率,並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高,來保證有利潤。

  • 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播,看到號碼球上下亂跳,然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢? 1980 年的時候,賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆,這樣做會把球變重,因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候,他們贏了 120 萬美元。是的,他們後來全被逮到。

歷史上曾有主持人在樂透上做手腳,後來賺了 120 萬美元隨後被逮捕。圖/envatoelements

深入探討期望值

跟機率一樣,期望值和大數法則都值得再花些時間,探討相關的細節問題。

  • 多大的數才算是「大數」?

大數法則是說,當試驗的次數愈來愈多,許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說,究竟需要多少次試驗,才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大,就需要愈多次的試驗,來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大,才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭,結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博,例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券,需要極多次的試驗,幾乎要多到不可能的次數,才能保證平均結果會接近期望值。

(州政府可不需要依賴大數法則,因為樂透彩金不像賭場的遊戲,樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面,彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說,各州所辦的樂透彩金,是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。)

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化,但要回答大數法則的適用範圍,較實際的答案就是:賭場的贏錢金額期望值是正的,而賭場玩的次數夠多,所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是,你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話,當然和賭場一樣多,但因為期望值是負的,所以以賭客整體來看,長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢,有些人輸很多,而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑,大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。

對賭場來說,贏錢金額期望值為正。圖/envatoelements
  • 有沒有保證贏錢的賭法?

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法,這種賭法每次下注的金額,是看前幾次的結果而定。比如說,在賭輪盤時,你可以每次把賭注加倍,直到你贏為止—或者,當然,直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶,這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎?不行,數學家建立的另一種大數法則說:如果你沒有無窮盡的賭本,那麼只要遊戲的各次試驗(比如輪盤的各次轉動)之間是獨立的,你的平均獲利(期望值)就會是一樣的。抱歉啦!

  • 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎(拉霸)。從前,你丟硬幣進去再拉下把手,轉動三個輪子,每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲,會閃出許多很炫的畫面,而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣,有各種讓你眼花撩亂的中獎結果,還可以多台連線,共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法,但是長期下來,隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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我的身高有特別矮嗎?為什麼大多數女性身高都「差不多」!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/04 ・2634字 ・閱讀時間約 5 分鐘

  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是常態分布?

圖 13.3 和 13.4 裡的密度曲線,同屬一族特別重要的曲線:常態曲線。圖 13.7 再呈現了兩個常態密度曲線。常態曲線都是對稱、單峰、鐘形的,尾部降得很快,所以我們應該不會看到離群值。由於常態分布是對稱的,所以平均數和中位數都落在曲線的中間位置,而這也是尖峰所在。

常態曲線還有一個特別性質:我們可以用目測方式在曲線上找到它的標準差。對大部分其他的密度曲線,沒有法子這樣做。做法是這樣的。想像你要從山頂開始滑雪,山的形狀和常態曲線一樣。起先,你從山頂出發時,往下滑的角度非常陡:

幸好,在你還沒有直直墜下之前,斜坡就變緩了,你愈往下滑出去,坡度愈平:

曲率(curvature)發生改變的地方,是在平均數兩側、各距平均數一個標準差的位置。圖 13.7 的兩條曲線上都標示出了標準差。你如果用鉛筆沿著常態曲線描,應該可以感受到曲率改變的地方,進而找出標準差。

常態曲線有個特別的性質是,只要知道平均數及標準差,整條曲線就完全確定了。平均數把曲線的中心定下來,而標準差決定曲線的形狀。變動常態分布的平均數並不會改變曲線的形狀,只會改變曲線在 x 軸上的位置。但是,變動標準差卻會改變常態曲線的形狀,如圖 13.7 所示。標準差較小的分布,散布的範圍比較小,尖峰也比較陡。以下是常態曲線基本性質的總結:

常態密度曲線的特性

常態曲線(normal curve)是對稱的鐘形曲線,具備以下性質:

  • 只要給了平均數和標準差,就可以完全描述特定的常態曲線。
  • 平均數決定分布的中心,這個位置就在曲線的對稱中心。
  • 標準差決定曲線的形狀,標準差是指從平均數到平均數左側或右側的曲率變化點的距離。

為什麼常態分布在統計裡面很重要呢?首先,對於某些真實數據的分布,用常態曲線可以做很好的描述。最早將常態曲線用在數據上的是大數學家高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777 – 1855)。

天文學家或測量員仔細重複度量同一個數量時,所得出的量測值會有小誤差,高斯就利用常態曲線來描述這些小誤差。你有時候會看到有人把常態分布叫做「高斯分布」,就是為了紀念高斯。

十九世紀的大部分時間中,常態曲線曾叫做「誤差曲線」,也就因為常態曲線最早是用來描述量測誤差的分布。後來慢慢發現,有些生物學或心理學上的變數也大致符合常態分布時,「誤差曲線」這個名詞就不再使用了。1889 年,高騰(Francis Galton)率先把這些曲線稱做「常態曲線」。高騰是達爾文的表弟,他開拓了遺傳的統計研究。

常態分布的形狀:鐘形曲線

人類智慧高低的分布,是不是遵循常態分布的「鐘形曲線」?IQ 測驗的分數的確大致符合常態分布,但那是因為測驗分數是根據作答者的答案計算出來的,而計算方式原本就是以常態分布為目標所設計的。要說智慧分布遵循鐘形曲線,前提是:大家都同意 IQ 測驗分數可以直接度量人的智慧。然而許多心理學家都不認為世界上有某種人類特質,可以讓我們稱為「智慧」,並且可以用一個測驗分數度量出來。

當我們從同一母體抽取許多樣本時,諸如樣本比例(當樣本大小很大、而比例的數值中等時)及樣本平均數(當我們從相同母體取出許多樣本時)這類統計量的分布,也可以用常態曲線來描述。我們會在後面的章節進一步細談統計分布。

抽樣調查結果的誤差界限,也常常用常態曲線來算。然而,即使有許多類的數據符合常態分布,仍然有許多是不符合的,比如說,大部分的所得分布是右偏的,因而不是常態分布。非常態的數據就和不平常的人一樣,不僅常見,而且有時比常態的數據還有趣。

68 – 95 – 99.7 規則

常態曲線有許多,每一個常態曲線都可以用各自的平均數和標準差來描述。所有常態曲線都有許多共同性質,特別要提的是,對常態分布來說,標準差是理所當然的量度單位。這件事實反映在下列規則當中。

68 – 95 – 99.7 規則
在任何常態分布當中,大約有 68% 的觀測值,落在距平均數一個標準差的範圍內。
95% 的觀測值,落在距平均數兩個標準差的範圍內。
99.7% 的觀測值,落在距平均數三個標準差的範圍內。
圖13.8、68–95–99.7規則。圖/《統計,讓數字說話》。

圖 13.8 說明了 68 – 95 – 99.7 規則。記住這三個數字之後,你就可以在不用一直做囉嗦計算的情況下考慮常態分布。不過還得記住,沒有哪組數據是百分之百用常態分布描述的。不管對於 SAT 分數,或者蟋蟀的身長, 68–95–99.7 規則都只是大體正確。

年輕女性的身高常態

年輕女性的身高約略是平均數 63.7 英寸、標準差 2.5 英寸的常態分布。要運用 68 – 95 – 99.7 規則,首先得畫一個常態曲線的圖。圖 13.9 說明了這個規則用在女性的身高上會是什麼情況。

任何常態分布都有一半的觀測值在平均數之上,所以年輕女性中有一半高於 63.7 英寸。

任何常態分布的中間68%觀測值,會在距平均數一個標準差的範圍內。而這 68 %中的一半,即 34 %,會在平均數之上。所以有 34 %的年輕女性,身高在 63.7 英寸及 66.2 英寸之間。把身高不到 63.7 英寸的 50% 女性也加上去,可以得知總共有84%的年輕女性身高不到 66.2 英寸。所以推知超過 66.2 英寸的人占 16%。

任何常態分布的中間 95% 的值,在距平均數兩個標準差範圍內。這裡的兩個標準差是 5 英寸,所以年輕女性身高的中間 95% 是在 58.7(= 63.7 − 5)和 68.7(= 63.7 + 5)英寸之間。

另外 5% 女性的身高,就超出 58.7 到 68.7 英寸的範圍之外。因為常態分布是對稱的,這其中有一半的女性是在矮的那一頭。年輕女性中最矮的 2.5% ,身高不到 58.7 英寸(149 公分)。

任何常態分布中幾乎所有(99.7%)的值,在距平均數三個標準差的範圍內,所以幾乎所有年輕女性的身高,都在 56.2 及 71.2 英寸之間。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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來自137 億年前的訊息!透過重力波,一窺「宇宙誕生」的真相──《大人的宇宙學教室:透過微中子與重力波解密宇宙起源》
台灣東販
・2022/08/09 ・4055字 ・閱讀時間約 8 分鐘

重力波不只能提供星體的資訊!

說到重力波,一般人可能會想到黑洞、中子星、超新星這三個引發話題的星體。不過,只有在這些星體事件發生的「瞬間」,才會產生重力波,就像宇宙中的一場秀一樣。而當重力波通過後,就無法再偵測到這些資訊。

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圖/GIPHY

譬如,LIGO 在 2015 年 9 月捕捉到的就是「來自 13 億光年外星體的重力波」。不過,和宇宙年齡相比,這其實是相對較年輕的星體事件。

我們有沒有辦法捕捉到很久很久以前,宇宙剛誕生時產生的重力波,也就是暴脹時期產生的重力波呢?

為什麼宇宙正在急速膨脹?

138 億年前,宇宙在超高溫、超高壓下,以「火球」的樣貌誕生,這就是所謂的「大霹靂」。在這之後,隨著宇宙的急速膨脹,溫度與密度逐漸下降,然後演變現在的樣貌。

這就是大霹靂宇宙論,也是目前多數學者支持的標準宇宙論。

那麼,為什麼會產生「火球宇宙」這個超高溫、超高壓的世界呢?為什麼宇宙不是一直保持原樣(不是保持相同大小),而是會急速膨脹呢?目前有一個較被接受的說法,那就是前面提過許多次的「暴脹理論

在這個理論中,宇宙初期並沒有任何物質或光,而是一個充滿能量的真空。透過這些真空能量,宇宙用比光速還快的速度,呈指數函數膨脹。

而在暴脹時期結束後,這些真空能量轉變成了光(火球),於是產生了超高溫、超高壓的宇宙,這就是所謂的大霹靂。

目前科學界的研究和觀測結果大多支持大霹靂學說。圖/NASA

不過,如果空間中存在許多能量的話,應該會存在像重力這樣使空間收縮的力才對。為什麼空間會以超越光速的速度迅速膨脹,進入暴脹時期呢?

學者們用「暴脹子場」這種量子場中的真空能量,說明暴脹時期。

暴脹子場是個未證實存在的純量場。就目前而言,它的存在仍處於假說階段。

目前已知的純量場,譬如 2012 年時,由瑞士日內瓦的歐洲核子研究組織 CERN 在 LHC 實驗中發現並發表,由希格斯玻色子產生的希格斯場。研究者們也因此而獲得 2013 年諾貝爾物理學獎,各位應該還記憶猶新。

137億歲的宇宙,至今仍然不斷膨脹

暴脹子場與希格斯場在質量與粒子的結合力上,都有著很大的差異。暴脹子場的真空中,會產生長時間的負壓。而這個負壓會造成宇宙加速膨脹。

這點與目前的暗能量機制十分類似。有人猜想暗能量可能是未發現的純量場。與暴脹時期相同,目前的宇宙中可能存在著未知純量場的真空能量,就像暗能量般,佔了全宇宙能量的 70%。

宇宙中佔了 30% 能量之物質,與佔了 0.1% 的光會產生引力,但比不過真空能量所產生的斥力,所以目前宇宙正在加速膨脹。

宇宙仍在不斷的擴大。圖/NASA

順帶一提,即使物質與光的能量佔宇宙的 100%,宇宙也只是減速膨脹而已,並不會收縮回去。因為膨脹初期的速度過快,所以宇宙只會持續膨脹下去。

宇宙誕生的第一步——「原始重力波」

暴脹時期結束後,空間能量會迅速轉變成物質能量,使宇宙轉變成超高溫、超高壓、充滿輻射的狀態。這就是大霹靂「火球」。暴脹理論說明了幾點。

首先是前面提到的「膨脹速度超越光速的宇宙」

這造成了我們現在看到的(宇宙視界內的)宇宙溫度擁有各向同性,在 10 萬分之 1 的精度下,為絕對溫度 2.723K(約 3K 的宇宙微波背景輻射(CMB))。

在大霹靂學說中,宇宙微波背景輻射是宇宙誕生時所遺留下來的熱輻射。圖/ESA

第二,這個急速膨脹,使宇宙的形狀在幾何學上變得相當平坦,就像膨脹的氣球一樣。

再者,暴脹子場的量子擾動,是宇宙初期物質擾動的來源,也就是3K宇宙微波背景輻射所觀測到的溫度擾動。暴脹子場也含有量子的擾動。這些小小的擾動在短時間內暴脹過程中,急速膨脹,延伸至宇宙視界的彼端,造成現今宇宙中不同區域的密度差異,這也是形成星系的種子

CMB 觀測到的「溫度擾動」,正是暴脹時期產生之暴脹子場的量子擾動。

另外,在重力波方面,暴脹時期不僅會產生前述密度(溫度)的擾動,也會產生「時空擾動」。急速膨脹的過程中,真空會一直變化,成對產生重力子,這與黑洞周圍產生霍金幅射的機制類似。

學者們認為這種重力波現今仍存在,稱其為「原始重力波」。因為整個宇宙都存在這種重力波,所以也叫做背景重力波。若能檢出這種背景重力波,不只能成為暴脹理論的證據,也會是宇宙起源相關研究的一大步。

原始重力波就像是背景雜訊一樣,在宇宙四處飄蕩

黑洞雙星的合併會產生重力波,不過當重力波通過地球,被 LIGO 觀測到時,該事件便已結束。不只是黑洞,中子星雙星的合併、超新星爆發也一樣。

不過,暴脹時期產生的重力波並非如此。當時整個宇宙充滿了重力波。不過這種重力波就像白噪音般的存在,很難分析這種波的狀態,所以也叫做背景重力波。若依波的種類來分,可以將其算在駐波。如何找到這種駐波,是我們現在的課題。

重力波可以分成兩種,來自近期星體活動的重力波,以及來自宇宙誕生的背景重力波。圖/台灣東販

與光波不同,重力波的偏振方式可以分成十字形(+)與交叉形(×)2 種,如下圖所示。十字形的偏振會往縱向與橫向伸縮、交叉形偏振則會往斜向伸縮,如其名所示。這兩種波疊合後,會變成圖中右方的樣子,往外傳播。

隨著時間的經過,來自黑洞的重力波會持續前進;但暴脹時期產生的重力波為「背景重力波」,是一種駐波,就像噪音一樣充滿在整個宇宙中。如果能發現這種波,就能證明暴脹理論。

重力波由十字形、交叉型兩種偏振方式所組成。圖/台灣東販

宇宙之窗:暴脹子場是什麼?

暴脹時期產生的「暴脹子場」究竟是什麼樣的東西呢?

重複一次,暴脹子場被認為是某種未知、很重的純量場,其質量上限在 1013GeV 以下。目前這個低能量宇宙中,已經不存在暴脹子場。即使透過粒子對撞,產生目前可達到的最高能量(數 10TeV,相當於數 10 京度的溫度),也沒辦法產生這種場。

每種基本粒子都有著伴隨其出現的「量子場」。

譬如希格斯場會伴隨著希格斯玻色子出現。就希格斯場這種純量場而言,其存在機率最高的期望值稱做場值(真空值),是希格斯玻色子的位置。而場值周圍存在所謂的量子擾動。這種量子擾動只有在微觀尺度下有意義。

在我們生活的巨觀尺度下,幾乎察覺不到任何量子擾動,所以我們平常的生活並不會意識到它們。

我們周圍有許多電路會用到二極體。在微觀尺度下看這些電路,會看到粒子般的電子周圍有量子擾動,這種量子擾動對二極體來說相當重要。

在這種量子擾動下,電流只能沿著電路中可跳躍量子擾動的方向流動,二極體才有如此特別的性質,可見量子論也是現代科技中的重要理論。

所以說,考慮初期宇宙中暴脹子場的量子擾動,可以知道當宇宙還很小時,暴脹並非在宇宙中的各個地方同時間發生。宇宙中各個地方開始暴脹與結束暴脹的時間都不一樣。

量子擾動除了會造成時間擾動,在某些條件下,我們也可以在巨觀視界下感受到密度和溫度的擾動。圖/台灣東販

量子擾動會造成時間擾動,不過在暴脹這種急速膨脹後,會轉變成超越視界的古典擾動,所以我們會在巨觀視界下觀察到,各個地方都有著不同的密度。這就是所謂的「密度擾動」或「溫度擾動」。

總而言之,最初產生量子擾動後,隨著空間的急速膨脹而迅速延伸,轉變成了空間性的密度擾動。

備註

  • 暴脹理論與大霹靂的名稱

1981 年,佐藤勝彥在大統一模型的框架下,提出真空相變會造成宇宙呈指數函數膨脹的理論。同年,古斯也發表了同樣的想法。自宇宙誕生的瞬間起(依大統一理論,約為 10−38 秒後~10−36 秒後)宇宙會以超越光速的速度,呈指數函數膨脹,然後轉變成大霹靂的「火球」宇宙。

1980 年時,為修正愛因斯坦的重力觀點,學者們提出了以指數函數膨脹中的宇宙。

而在 20 世紀初,多數學者認為「宇宙永遠不會改變」(宇宙穩態論),沒有開始,沒有結束,大小也永遠不會改變。不過宇宙穩態論的擁護者霍伊爾(Fred Hoyle)曾在某個廣播節目中說「宇宙的開始?那是大霹靂的觀點(the ‘big bang’ idea)」,於是「大霹靂」這個名稱就定了下來。

當時連愛因斯坦都相信宇宙穩態論,否定膨脹宇宙。不過在觀測結果陸續出爐後,哈伯(Edwin Hubble)、勒梅特(Georges Lemaître)等人成功說服了愛因斯坦接受宇宙正在膨脹。

——本文摘自《大人的宇宙學教室:透過微中子與重力波解密宇宙起源》,2022 年 6 月,台灣東販,未經同意請勿轉載。

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