2018年9月24日，台灣時間下午3點45分，全球的數學家和數學迷們，都將目光聚焦於德國的海德堡桂冠論壇（Heidelberg Laureate Forum）；世界各地的數學家和電腦科學家每年一度聚集於此，和獲邀的學界大師進行交流。演講台上，英國頂尖數學家麥可．阿蒂亞（Michael Atiyah）正準備發表黎曼猜想（Riemann hypothesis）的證明。
阿蒂亞無疑是第一流的數學家，獲獎無數，包括數學界的最高榮譽──費爾茲獎（Fields Medal）和阿貝爾獎（Abel Prize）。1929年出生、89歲高齡的他，於數天前宣佈，用「基進的新途徑」（radically new approach）解決了困擾數學家達 159年的黎曼猜想，並會在海德堡桂冠論壇發表。
Is Sir Michael Atiyah giving lecture on Monday Sept. 25 @ #HLF18? Yes.
Will he presenenting a proof of the Riemann Hypothesis? Yes, that is what his abstract says. pic.twitter.com/v1dJhUUUEk— Heidelberg Laureate Forum (@HLForum) 2018年9月20日
什麼是「黎曼猜想」？
1859年，德國數學家黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）在他的論文〈論小於給定數值的質數數目〉中，首次提及這個猜想。
如我們國中所學，像2、3、5、7、11、13…等等，這些除了 1 跟自己本身以外，不能被其他正整數整除的數，稱為質數；而所有大於1的正整數，都能夠以質數的乘積來表示，例如 66＝11×3×2。質數的概念很簡單，但是，如果我們問：「比某個特定數值要小的質數有多少個呢？質數在整個數列中的分布情況又是如何？」那就不是容易的問題、甚至是讓數學家們頭痛不已的問題。
黎曼在該篇論文中發現，質數的分布跟某個函數有著密切關係──該函數現被稱為黎曼ζ函數（Riemann zeta function）；它的長相如下：
這看起來並不嚇人，起碼跟國中學過的無窮級數並沒有太大差別。上述式子裡，s是複數，可以寫成s=a+bi這樣的形式；a稱為s的實部、b是s的虛部、i則是根號負一。數學家們可以輕易證明，只要 s的實部大於1，那麼整個無窮級數裡，把每一項的絕對值相加後，會得到收斂並趨近於某個定值的結果。
不過，對於s的實部小於1的狀況，事情就沒那麼簡單了：整個級數和可能會發散──但是我們又想要擴充函數的定義，讓它適用更廣泛的範圍，那該怎麼辦呢？
運用一些數學技巧（很恐怖，不要問），針對s的實部小於1的狀況，可以將黎曼ζ函數表示為
當中的 Г 稱為伽瑪函數（gamma function）。藉由這個新的定義，我們發現，當s為負偶數（s= -2, -4, -6…）時，黎曼ζ函數為零──這些s的值，我們稱為平凡零點。
但是，除了平凡零點之外，還有其他一些s的值，能夠讓黎曼ζ函數為零──稱為非平凡零點；它們不但對質數的分布有著決定性影響，實數部份還全都位於零和一之間。針對這一點，雖然黎曼本人無法證明，但他進一步猜測這些非平凡零點有著共同的特性：
黎曼ζ函數所有非平凡零點的實部都是二分之一
這就是赫赫有名的黎曼猜想。沒想到，這一猜想從 1859年被提出，至今已 159年，期間有數不清的數學家向其挑戰，卻無人能給出信服的證明。
黎曼猜想真的這麼難證明嗎？為何它讓數學家魂牽夢縈？
十九世紀末至二十世紀初最重要的數學家之一希爾伯特（David Hilbert，1862-1943），於1900年提出了23個他認為最重要的數學問題（其中有好些對二十世紀的數學發展起了莫大影響），當中就包含黎曼猜想。他曾表示：「如果我能在沉睡一千年後醒來，我的第一個問題將會是：『黎曼猜想被證明了嗎？』」
無獨有偶，一百年後，美國克雷數學研究所[1]（Clay Mathematics Institute, CMI）選了當今數學界的七大問題（稱為「千禧年大獎難題（Millennium Prize Problems）」），並懸賞一百萬美金，給予能解決任何一個問題的數學家──其中也包含了黎曼猜想。事實上，黎曼猜想是唯一同時列於希爾伯特和克雷數學研究所名單上的問題，屹立不搖地等待數學家挑戰。
因為黎曼猜想與質數分布具有密切的關係，一旦被證明，數學家們將對質數的分布位置有更確切的認知，此無疑是數論（number theory）這一數學分支的重要突破。不僅如此，黎曼ζ函數的非平凡零點，也被發現跟某些物理系統具有相似的分布規律，至今無人能給出滿意的解釋。再者，數學文獻裡，許多數學命題都以黎曼猜想或其推廣的成立為前提；換言之，如果黎曼猜想（及其推廣）被證明，這些基於黎曼猜想的數學命題便能被一舉確認為真──可謂一人得道，雞犬升天。這樣的數學命題粗略估計至少有上千條。毋怪乎，有些數學家將黎曼猜想的證明形容為「數學的聖杯」。
黎曼猜想研究於歷史上的進展
在解決黎曼猜想這個終極對手的旅途中，人類是否曾碰上一些小頭目，得以賺取經驗值升級呢？
答案是肯定的。
如同角色扮演遊戲（role-playing video game, RPG）裡，我們大致可將攻擊手段區分為遠距攻擊和近距攻擊兩種，數學家在面對黎曼猜想這個強敵時，也主要從兩方面來著手。
一是去實際計算非平凡零點的數值，看看它們的實數部份是否符合黎曼猜想的二分之一；雖然這樣做並無法窮舉所有（也就是無限多）的非平凡零點，而證明黎曼猜想，卻能間接增強我們對黎曼猜想的信心──運氣好找到反例的話，更能一舉否證黎曼猜想。第二種方式則是直接對黎曼ζ函數下手，利用解析的方式證明黎曼猜想。
在非平凡零點的數值計算上，雖然黎曼自己有算過，卻並沒有發表；到1903年，才終於有數學家給出15個非平凡零點的數值──它們的實部都是二分之一。1932年，西格爾（Carl Ludwig Siegel，1896-1981）從已去世的黎曼的手稿中，挖掘出黎曼計算非平凡零點的方法，大舉推進了此一方向的研究。到了二十世紀中期，因為電腦的發明，計算零點的工作突飛猛進，有一萬個以上的非平凡零點都被確認實部為二分之一。至2004年，憑藉著更嶄新的計算法，已經有10000000000000（十萬億）個非平凡零點被確認符合黎曼猜想，而且沒有任何反例。
另一方面，也有人利用解析的方式嘗試證明黎曼猜想。1896年，兩位數學家分別獨立證明了，在複數平面、實數為一的線上沒有零點；換言之，非平凡零點的實部絕不可能為一。1914年，數學家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）發現，在實數為二分之一的線上，有無限個非平凡零點──即使如此，這並無法保證「所有」非平凡零點的實部均為二分之一；更糟的是，根據哈代和李特爾伍德[2]（John Edensor Littlewood，1885-1977）於1921年的估計，這些實部為二分之一的非平凡零點，只佔了全部非平凡零點的一小部份比例，趨近於零。
關於上述比例的研究，在1942年，才被塞爾伯格（Atle Selberg，1917-2007）證明其大於零；到了近期的2011年，這個數字被數學家推進到 41.05%──當然，距離 100%還很遠……
就在黎曼猜想的證明似乎還遙不可及的現今，事情突然有了戲劇性的變化：當代最出名、也最重要的數學家之一，麥可．阿蒂亞，將於本屆的海德堡桂冠論壇發表他對黎曼猜想的證明！
這次的黎曼猜想證明值得期待嗎？
就如同網路上一堆神人自稱推翻了相對論跟量子力學一樣，也有數不清的人，包括數學家，宣稱證明了黎曼猜想；然而，到目前為止，並沒有任何讓學界信服的說法。
這次宣佈證明了黎曼猜想的阿蒂亞，是第一流的數學家，所以確實讓不少人引頸期盼他的成果；只不過，因著阿蒂亞的89歲高齡，也讓一些人懷疑他是否真能提出說服所有人的證明。
無論如何，隨著在海德堡桂冠論壇的發表，數學家們將忙碌好一段時間，仔細檢視阿蒂亞的證明是否存有任何漏洞。最終結論，要之後才會知道了。
具有「數學王子」美譽的數學家高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777-1855）曾表示：「數學是科學的皇后──而數論是數學的皇后」。黎曼猜想作為數論領域最重要的猜想、數學的聖杯，一旦被證明，將會是二十一世紀最重要的科學成就之一──讓我們拭目以待！
參考資料
- E. Bombieri (2000), Problems of the Millennium: the Riemann Hypothesis, Clay Mathematics Institute.
- D. Allen, K. Bonetta-Martin, E. Codling and S. Jefferies, The Riemann Hypothesis, The Plymouth Student Scientist, 2016, 9, (2), 249-257.
- Riemann hypothesis, Wikipedia.
- 盧昌海（2015），《黎曼猜想漫談》，五南。
註釋
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