破解五次方程式的公式解：阿貝爾誕辰│科學史上的今天：8/5

• 作者／賴昭正｜前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

我擔心人工智慧可能會完全取代人類。如果人們能設計電腦病毒，那麼就會有人設計出能夠自我改進和複製的人工智慧。 這將是一種超越人類的新生命形式。

——史蒂芬．霍金（Stephen Hawking）　英國理論物理學家

大約在八十年前，當第一台數位計算機出現時，一些電腦科學家便一直致力於讓機器具有像人類一樣的智慧；但七十年後，還是沒有機器能夠可靠地提供人類程度的語言或影像辨識功能。誰又想到「人工智慧」（Artificial Intelligent，簡稱 AI）的能力最近十年突然起飛，在許多（所有？）領域的測試中擊敗了人類，正在改變各個領域——包括假新聞的製造與散佈——的生態。

圖形處理單元（graphic process unit，簡稱 GPU）是這場「人工智慧」革命中的最大助手。它的興起使得九年前還是個小公司的 Nvidia（英偉達）股票從每股不到 $5，上升到今天（5 月 24 日）每股超過 $1000（註一）的全世界第三大公司，其創辦人（之一）兼首席執行官、出生於台南的黃仁勳（Jenson Huang）也一躍成為全世界排名 20 內的大富豪、台灣家喻戶曉的名人！可是多少人了解圖形處理單元是什麼嗎？到底是時勢造英雄，還是英雄造時勢？

在回答這問題之前，筆者得先聲明筆者不是學電腦的，因此在這裡所能談的只是與電腦設計細節無關的基本原理。筆者認為將原理轉成實用工具是專家的事，不是我們外行人需要了解的；但作為一位現在的知識分子或公民，了解基本原理則是必備的條件：例如了解「能量不滅定律」就可以不用仔細分析，即可判斷永動機是騙人的；又如現在可攜帶型冷氣機充斥市面上，它們不用往室外排廢熱氣，就可以提供屋內冷氣，讀者買嗎？

CPU 與 GPU

不管是大型電腦或個人電腦都需具有「中央處理單元」（central process unit，簡稱 CPU）。CPU 是電腦的「腦」，其電子電路負責處理所有軟體正確運作所需的所有任務，如算術、邏輯、控制、輸入和輸出操作等等。雖然早期的設計即可以讓一個指令同時做兩、三件不同的工作；但為了簡單化，我們在這裡所談的工作將只是執行算術和邏輯運算的工作（arithmetic and logic unit，簡稱 ALU），如將兩個數加在一起。在這一簡化的定義下，CPU 在任何一個時刻均只能執行一件工作而已。

在個人電腦剛出現只能用於一般事物的處理時，CPU 均能非常勝任地完成任務。但電腦圖形和動畫的出現帶來了第一批運算密集型工作負載後，CPU 開始顯示心有餘而力不足：例如電玩動畫需要應用程式處理數以萬計的像素（pixel），每個像素都有自己的顏色、光強度、和運動等, 使得 CPU 根本沒辦法在短時間內完成這些工作。於是出現了主機板上之「顯示插卡」來支援補助 CPU。

1999 年，英偉達將其一「具有集成變換、照明、三角形設定／裁剪、和透過應用程式從模型產生二維或三維影像的單晶片處理器」（註二）定位為「世界上第一款 GPU」，「GPU」這一名詞於焉誕生。不像 CPU，GPU 可以在同一個時刻執行許多算術和邏輯運算的工作，快速地完成圖形和動畫的變化。

依序計算和平行計算

一部電腦 CPU 如何計算 7×5+6/3 呢？因每一時刻只能做一件事，所以其步驟為：

• 計算 7×5；
• 計算 6/3；
• 將結果相加。

總共需要 3 個運算時間。但如果我們有兩個 CPU 呢？很多工作便可以同時（平行）進行：

• 同時計算 7×5 及 6/3；
• 將結果相加。

只需要 2 個運算時間,比單獨的 CPU 減少了一個。這看起來好像沒節省多少時間，但如果我們有 16 對 a×b 要相加呢？單獨的 CPU 需要 31 個運算的時間（16 個 × 的運算時間及 15 個 + 的運算時間），而有 16 個小 CPU 的 GPU 則只需要 5 個運算的時間（1 個 × 的運算時間及 4 個 + 的運算時間）！

現在就讓我們來看看為什麼稱 GPU 為「圖形」處理單元。圖一左圖《我愛科學》一書擺斜了，如何將它擺正成右圖呢？ 一句話：「將整個圖逆時針方向旋轉 θ 即可」。但因為左圖是由上百萬個像素點（座標 x, y）組成的，所以這句簡單的話可讓 CPU 忙得不亦樂乎了：每一點的座標都必須做如下的轉換

x’ = x cosθ + y sinθ

y’ = -x sinθ+ y cosθ

即每一點均需要做四個 × 及兩個 + 的運算！如果每一運算需要 10^-6 秒，那麼讓《我愛科學》一書做個簡單的角度旋轉，便需要 6 秒，這豈是電動玩具畫面變化所能接受的？

人類的許多發明都是基於需要的關係，因此電腦硬件設計家便開始思考：這些點轉換都是獨立的，為什麼我們不讓它們同時進行（平行運算，parallel processing）呢？於是專門用來處理「圖形」的處理單元出現了——就是我們現在所知的 GPU。如果一個 GPU 可以同時處理 10⁶ 運算，那上圖的轉換只需 10^-6 秒鐘！

GPU 的興起

GPU 可分成兩種：

• 整合式圖形「卡」（integrated graphics）是內建於 CPU 中的 GPU，所以不是插卡，它與 CPU 共享系統記憶體，沒有單獨的記憶體組來儲存圖形／視訊，主要用於大部分的個人電腦及筆記型電腦上；早期英特爾（Intel）因為不讓插卡 GPU 侵蝕主機的地盤，在這方面的研發佔領先的地位，約佔 68% 的市場。
• 獨立顯示卡（discrete graphics）有不與 CPU 共享的自己專用內存；由於與處理器晶片分離，它會消耗更多電量並產生大量熱量；然而，也正是因為有自己的記憶體來源和電源，它可以比整合式顯示卡提供更高的效能。

2007 年，英偉達發布了可以在獨立 GPU 上進行平行處理的軟體層後，科學家發現獨立 GPU 不但能夠快速處理圖形變化，在需要大量計算才能實現特定結果的任務上也非常有效，因此開啟了為計算密集型的實用題目編寫 GPU 程式的領域。如今獨立 GPU 的應用範圍已遠遠超出當初圖形處理，不但擴大到醫學影像和地震成像等之複雜圖像和影片編輯及視覺化，也應用於駕駛、導航、天氣預報、大資料庫分析、機器學習、人工智慧、加密貨幣挖礦、及分子動力學模擬（註三）等其它領域。獨立 GPU 已成為人工智慧生態系統中不可或缺的一部分，正在改變我們的生活方式及許多行業的遊戲規則。英特爾在這方面發展較遲，遠遠落在英偉達（80%）及超微半導體公司（Advance Micro Devices Inc.，19%，註四）之後，大約只有 1% 的市場。

事實上現在的中央處理單元也不再是真正的「單元」，而是如圖二可含有多個可以同時處理運算的核心（core）單元。GPU 犧牲大量快取和控制單元以獲得更多的處理核心，因此其核心功能不如 CPU 核心強大，但它們能同時高速執行大量相同的指令，在平行運算中發揮強大作用。現在電腦通常具有 2 到 64 個核心；GPU 則具有上千、甚至上萬的核心。

結論

我們一看到《我愛科學》這本書，不需要一點一點地從左上到右下慢慢掃描,即可瞬間知道它上面有書名、出版社等，也知道它擺斜了。這種「平行運作」的能力不僅限於視覺，它也延伸到其它感官和認知功能。例如筆者在清華大學授課時常犯的一個毛病是：嘴巴在講，腦筋思考已經不知往前跑了多少公里，常常為了追趕而越講越快，將不少學生拋到腦後！這不表示筆者聰明，因為研究人員發現我們的大腦具有同時處理和解釋大量感官輸入的能力。

人工智慧是一種讓電腦或機器能夠模擬人類智慧和解決問題能力的科技，因此必須如人腦一樣能同時並行地處理許多資料。學過矩陣（matrix）的讀者應該知道，如果用矩陣和向量（vector）表達，上面所談到之座標轉換將是非常簡潔的（註五）。而矩陣和向量計算正是機器學習（machine learning）演算法的基礎！也正是獨立圖形處理單元最強大的功能所在！因此我們可以了解為什麼 GPU 會成為人工智慧開發的基石：它們的架構就是充分利用並行處理，來快速執行多個操作，進行訓練電腦或機器以人腦之思考與學習的方式處理資料——稱為「深度學習」（deep learning）。

黃仁勳在 5 月 22 日的發布業績新聞上謂：「下一次工業革命已經開始了：企業界和各國正與英偉達合作，將價值數萬億美元的傳統資料中心轉變為加速運算及新型資料中心——人工智慧工廠——以生產新商品『人工智慧』。人工智慧將為每個產業帶來顯著的生產力提升，幫助企業降低成本和提高能源效率，同時擴大收入機會。」

附錄

人工智慧的實用例子：下面一段是微軟的「copilot」代書、谷歌的「translate」代譯之「one paragraph summary of GPU and AI」。讀完後，讀者是不是認為筆者該退休了？

GPU（圖形處理單元）和 AI（人工智慧）之間的協同作用徹底改變了高效能運算領域。GPU 具有平行處理能力，特別適合人工智慧和機器學習所需的複雜資料密集運算。這導致了影像和視訊處理等領域的重大進步，使自動駕駛和臉部辨識等技術變得更加高效和可靠。NVIDIA 開發的平行運算平台 CUDA 進一步提高了 GPU 的效率，使開發人員能夠透過將人工智慧問題分解為更小的、可管理的、可同時處理的任務來解決這些問題。這不僅加快了人工智慧研究的步伐，而且使其更具成本效益，因為 GPU 可以在很短的時間內執行與多個 CPU 相同的任務。隨著人工智慧的不斷發展，GPU 的角色可能會變得更加不可或缺，推動各產業的創新和新的可能性。大腦透過神經元網路實現這一目標，這些神經元網路可以獨立但有凝聚力地工作，使我們能夠執行複雜的任務，例如駕駛、導航、觀察交通信號、聽音樂並同時規劃我們的路線。此外，研究表明，與非人類動物相比，人類大腦具有更多平行通路，這表明我們的神經處理具有更高的複雜性。這個複雜的系統證明了我們認知功能的卓越適應性和效率。我們可以一邊和朋友聊天一邊走在街上，一邊聽音樂一邊做飯，或一邊聽講座一邊做筆記。人工智慧是模擬人類腦神經網路的科技，因此必須能同時並行地來處理許多資料。研究人員發現了人腦通訊網路具有一個在獼猴或小鼠中未觀察獨特特徵：透過多個並行路徑傳輸訊息,因此具有令人難以置信的多任務處理能力。

註解

（註一）當讀者看到此篇文章時，其股票已一股換十股，現在每一股約在 $100 左右。

（註二）組裝或升級過個人電腦的讀者或許還記得「英偉達精視 256」（GeForce 256）插卡吧?

（註三）筆者於 1984 年離開清華大學到 IBM 時，就是參加了被認為全世界使用電腦時間最多的量子化學家、IBM「院士（fellow）」Enrico Clementi 的團隊：因為當時英偉達還未有可以在 GPU 上進行平行處理的軟體層，我們只能自己寫軟體將 8 台中型電腦（非 IBM 品牌！）與一大型電腦連接來做平行運算，進行分子動力學模擬等的科學研究。如果晚生 30 年或許就不會那麼辛苦了?

（註四）補助個人電腦用的 GPU 品牌到 2000 年時只剩下兩大主導廠商：英偉達及 ATI（Array Technology Inc.）。後者是出生於香港之四位中國人於 1985 年在加拿大安大略省成立，2006 年被超微半導體公司收購，品牌於 2010 年被淘汰。超微半導體公司於 2014 年 10 月提升台南出生之蘇姿豐（Lisa Tzwu-Fang Su）博士為執行長後，股票從每股 $4 左右，上升到今天每股超過 $160，其市值已經是英特爾的兩倍，完全擺脫了在後者陰影下求生存的小眾玩家角色，正在挑戰英偉達的 GPU 市場。順便一題：超微半導體公司現任總裁（兼 AI 策略負責人）為出生於台北的彭明博（Victor Peng）；與黃仁勳及蘇姿豐一樣，也是小時候就隨父母親移居到美國。

（註五）或。

延伸閱讀

• 「熱力學與能源利用」，《科學月刊》，1982 年 3 月號；收集於《我愛科學》（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版），轉載於「嘉義市政府全球資訊網」。
• 「網路安全技術與比特幣」，《科學月刊》，2020 年 11 月號；轉載於「善科教育基金會」的《科技大補帖》專欄。

• 作者／李奕萱

阿貝爾獎（Abel Prize）自2003年開始由挪威國王頒發給傑出數學家的獎項。阿貝爾獎的歷史可以追溯到1899年，當時挪威數學家索菲斯·李（Sophus Lie）得知阿佛烈·諾貝爾（Alfred Nobel）計劃設立的諾貝爾獎將不包括數學獎，又剛好正逢數學家尼爾斯·亨里克·阿貝爾（Niels Henrik Abel）誕辰100週年紀念，便提出設立阿貝爾獎。 不幸的是，索菲斯·李不久後逝世、提供資金的奧斯卡二世國王也因為瑞典和挪威聯合王國解散而下台，阿貝爾獎這件事也就不了了之。

2001年，人們覺得應該給數學家一個相當於諾貝爾獎的獎項，便再次將阿貝爾獎提案給挪威總理。隔年挪威政府便宣佈撥款2億挪威克朗在數學家阿貝爾誕辰200週年時正式設立阿貝爾獎，並由挪威自然科學與文學院成立阿貝爾委員會負責審理。

雖然說阿貝爾獎被譽為數學界的諾貝爾獎，但表彰方向卻和諾貝爾獎不盡相同。舉例來說，諾貝爾物理學獎主要是頒發給對物理作出重要發現或發明的人，像是2020年的諾貝爾獎得主就是成功觀察到銀河系中心的超大質量緻密天體，並發現黑洞的形成是廣義相對論的確鑿預測，因而得獎。阿爾貝獎則是大多頒獎給在數學領域發展中的重要推手，也就是引領數學界的人。

今年挪威科學院將2021年的阿貝爾獎頒給匈牙利羅蘭大學（Eötvös Loránd University）的洛瓦茲·拉茲洛（László Lovász）和美國普林斯頓大學的以色列數學家阿維·威格森（Avi Wigderson），表彰他們對理論計算機科學與離散數學的貢獻，以及將兩者塑造成現代數學的重要領域。

“for their foundational contributions to theoretical computer science and discrete mathematics, and their leading role in shaping them into central fields of modern mathematics”

剪不斷理還亂的計算機科學和數學

1970年代，理論計算機科學和純數學是沒什麼關係的兩個學術領域。經過幾十年的發展，這兩個學科之間早已變得極為密切，在現代數學，我們甚至很難分清它們之間的界限。其中，洛瓦斯和威格森就是在最前線開疆闢土的人。

計算複雜性理論 (Computational complexity theory)是數學和計算機科學領域的一個重要分支。從小我們就知道算數學要快、狠、準，如何更快、更輕鬆地解決問題一直是人類追求的目標。計算複雜性理論通過引入數學計算模型計算各個演算法的資源使用情形，像是時間（透過幾個步驟產出結果）、空間（需要佔用多少記憶體），再進一步進行複雜性分類、聯絡。洛瓦茲設計的LLL演算法、威格森的去隨機化研究對拓寬和深化這個領域的貢獻無疑是最重要的領導者。

從數學到計算機科學──拉茲洛·洛瓦斯

洛瓦茲於1948年出生在布達佩斯，從小就對數學有濃厚的天份，22歲便拿到博士學位，他的早期靈感大部分來自數學家艾狄胥·帕爾（Erdős Pál）。艾狄胥的成就集中在離散關係的數學，而不是典型的連續變量上，也就是組合學、圖論等領域。

組合學（Combinatorics）、圖論（Graph theory）都是離散數學的範疇。前者主要解決組合模型中的存在、計數以及構造等方面的問題；後者作為組合學的分支，將對象之間的關係通過邊和節點組成數學結構圖。拉斯洛·洛瓦茲作為新一代數學家自然不會將離散數學侷限在純數學的理論研究中，他意識到離散數學在計算機科學中非常具有發展潛力，並著手研究離散數學可以解決計算機科學問題的方法。

最著名的研究是由洛瓦茲（Lovász）以及荷蘭數學家阿爾揚·倫斯特拉（Arjen Lenstra）和亨德里克·倫斯特拉（Hendrik Lenstra）的名字命名的LLL演算法（LLL lattice）。這種稱為LLL的算法將由整數組成的大向量分解為各種類型的最短向量的總和，也就是可以計算出空間中的點集與原點的距離。

最初的LLL演算法被應用將多項式時間（Polynomial time，P）以有理係數多項式表示，來找出他的實數近似值來解決固定維數的整數線性規劃問題。LLL演算法在數論、密碼學和通訊計算等領域也都具有顯著的應用，更是現今可以抵禦量子計算機攻擊的加密系統之一。

從計算機科學到數學──阿維·威格森

威格森於1956年出生於以色列海法。威格森最著名的成就之一就是闡明了隨機性在計算中的作用。在聊隨機性之前，我們先來聊聊什麼是P, NP：

P和NP是複雜性的類別，P問題是可以快速計算出來的問題，NP問題則是可以快速驗證的問題。

當問你17乘以19是多少時，你可能沒辦法馬上心算出來，但按一按計算機就一定能得出答案，那麼這個問題就是屬於P問題，包含了所有容易解決的計算問題。現在，問你323的所有質因數有哪些呢？問題複雜了許多吧！我們必須從2、3、5……開始慢慢找，正著找質因數很困難，如果我們反著找呢？先告訴你17、19是323的質因數，是不是只要把它們乘在一起就能驗證答案對不對了？這個例子就是屬於NP問題，包含了可能是很難解決的計算問題，但只要有答案就很容易被驗證正確與否。

科學家便提出了一個看法：「會不會其實P=NP？」也就是說NP問題有可能可以被簡單解決。威格森的主要研究就是將複雜性類別一一歸位，將多項式時間演算法完全去隨機化，更快速的得到結果，並把隨機演算法和複雜性理論結合，提出P = BPP（bounded-error probabilistic polynomial time），回答了多年來對P/NP問題的疑問，大大拓寬了資訊界的未來視野。

威格森對貨幣加密的零知識證明也很有貢獻，零知識證明簡單來講就是在不透露任何資訊的情況下驗證正確性的方法。最初是在保護個資方面，像是我們想要申請某個購物網站的會員，我們就必須提供姓名、電話、出生年月日等各種資料來驗證我們的真實身份，但在零知識證明之下我們可以選擇提供「零密碼證明」、隱藏真實密碼，達到完全保護個資的目的。

有些人可能會有疑問說數學有用嗎？數學不是只能拿來算錢嗎？那你就錯了！數學一直扮演著承載科學的角色，躲在背後支持著科學發展，不難發現每一門科學都或多或少跟數學交織在一起，每一年頒發的阿貝爾獎、菲爾茲獎、諾貝爾獎都顯現出這些數學家、科學家正將科學這個巨網越織越堅固。一起為今年的得獎者送上掌聲吧！

參考資料

• The Abel Prize
• Wikipedia – László Lovász
• Wikipedia – N versus NP problem
• nature – Abel Prize celebrates union of mathematics and computer science
• 新智元導讀 – 以色列數學家威格森獲阿貝爾獎

• 文／魏瀟（領研網）

2019 年阿貝爾獎，首位女性得主

3 月 19 日，美國數學家凱倫・烏倫貝克（ Karen Uhlenbeck ）摘下學界最高榮譽之一—— 2019 年阿貝爾獎（ Abel prize ）。這項常被譽為「數學界諾貝爾」的獎項，終於迎來了首位女性獲獎者。

阿貝爾獎從 2003 年開始，獎金為 600 萬挪威克朗（約合 2610 萬新台幣），歷屆獲獎得主包括《美麗心靈》主角的原型約翰・納許（ John Nash ）、今年剛剛去世的著名數學家邁克爾・阿蒂亞爵士（ Sir Michael Atiyah ）等。該獎項在數學界擁有崇高地位，與四年一度的菲爾茲獎齊名。而菲爾茲獎迄今為止也只有一位女性獲獎者：伊朗數學家瑪利亞姆・米爾扎哈尼（ Maryam Mirzakhani ）。

現年 76 歲的凱倫・烏倫貝克，是美國得克薩斯大學（ University of Texas ）榮譽教授，並擔任普林斯頓大學（ Princeton University ）資深訪問學者、普林斯頓高等研究院（ Institute for Advanced Study ）客座教授。作為幾何分析（ geometric analysis ）領域的先驅之一，烏倫貝克在幾何偏微分方程、規範理論和可積系統等領域作出了重要貢獻，她提出的數學方法已經被今天的數學家廣泛使用。和年少成名又英年早逝的菲爾茲獎得主瑪利亞姆·米爾扎哈尼不同，凱倫·烏倫貝克擁有一個曲折又幸運的數學人生。

孤僻的少女

凱倫 1942 年出生於一個由工程師和藝術教師組成的美國家庭。這一個小時候喜歡和男孩子們在街上踢足球的女孩，進入學校後也顯得有些與眾不同——她最喜歡的事情就是偷偷閱讀藏在課桌下的科普書籍。

儘管還是個孩子，但是那時凱倫就已經展現出了一些孤獨科學家的特質：她喜歡漫無目的的在鄉間閒逛，將自己埋頭在文字的世界中，並夢想著能夠找到一份可以讓自己獨處的工作。凱倫後來在一本名為 《 Women in Mathematic 》的書中回憶道：

「我當時覺得自己將來不是當個護理師，不然就是成為研究學者，我就是對那些東西感興趣。但是我不想當老師，我覺得一切需要跟人打交道的工作都極其可怕。」

「女性學不了數學，因為從生物學角度上來說她們比男性更喜歡社交，所以這種需要單獨進行、與孤獨為伴的工作會讓女性無法適應」這是當時社會給婦女打上的標籤（這種刻板印象至今依然存在）。凱倫最開始在密歇根大學學物理，但是發現數學更契合她的特點和興趣，於是轉到了數學領域。不過她選擇開啟數學家生涯並不全是因為對智力的自信，而是周圍人的影響。凱倫甚至不確定自己是否適合進入研究所攻讀博士，但身邊認識的親友（包括她的男朋友）幾乎都決定繼續深造。她的擔心並非沒有道理：為了避免名校數學系男性研究者的絕對權威，她選擇避開普林斯頓或者哈佛大學，希望找到一個能夠讓自己不分心地研究數學的地方。最終，她先在紐約大學的庫朗研究所（ Courant Institute ）拿到了碩士學位，然後在布蘭迪斯大學（ Brandeis University ）獲得了博士學位。

迷惘與掙扎

和所有剛獲得博士學位的年輕人一樣，凱倫開始尋找能夠讓自己獲得長期動力和發展的研究課題。與此同時，她和男朋友奧爾克·烏倫貝克（ Olke Uhlenbeck ）結了婚，從凱倫·凱斯庫拉（ Karen Keskulla ）變成了凱倫·烏倫貝克（ Karen Uhlenbeck ）。這不僅意味著一段人生新旅程的開始，也為她帶來了另一個職業生涯上的障礙。奧爾克是一位生物物理學家，拿到了斯坦福和普林斯頓的 offer 。

但是這些學校拒絕給凱倫提供正式職位，只因為她是女性。

令人欣慰的是，奧爾克站在了妻子這邊。他拒絕了所有不願接受凱倫的學校，兩人最終加入了伊利諾伊大學香檳分校（ University of Illinois at Urbana-Champaign ）。

但這並不是故事的美滿結局。凱倫是香檳分校的數學教師，可是他們只把她當成教職員的家屬，並且希望她以一位家屬的身份行事。在那裡她被排除在教職人員的職業發展系統之外，沒人能為她當時十分特殊的職位提供任何指導和幫助。她的學術生涯也不怎麼順利，她不喜歡課堂教學工作，同時苦苦掙扎著尋找研究方向，還要面臨外界對於自己地位和能力的質疑——1976 年，她選擇離開香檳分校，去了位於芝加哥的伊利諾伊大學（ University of Illinois ）。

我們不清楚離開香檳分校是否是凱倫和奧爾克出現裂痕的原因。但是，她確實和丈夫分手了。面對新環境，她能依靠的只有自己。幸運的是，芝加哥的氣氛和香檳分校截然不同。校園裡不僅有幾位女教授可以為她提供職業發展上的支持，她的同事們也認可她作為一名數學家的價值——她終於找到了能夠為自己的學術研究提供反饋意見的環境。

獲得新生

事情開始步入正軌，凱倫為研究找到了經費支持，將自己從充滿著挫折與失望的泥潭中拯救出來。在獲得了穩定的資助和工作環境後，凱倫在 40 歲左右時終於開始嶄露頭角。在 1982 年前後發表的數篇論文是她在規範理論研究中做出的突破性貢獻：從四維分析楊-米爾斯方程式（ Yang-Mills equations ），為現代物理學中如標準模型、量子引力理論等眾多最令人興奮的研究，奠定了一定的分析基礎。

總結來說，她的這項工作可以看作為 1919 年由著名數學家赫爾曼・威爾（ Hermann Weyl ）提出、能讓愛因斯坦的廣義相對論更進一步的數學理論「續集」。愛因斯坦在他的廣義相對論中已經證明瞭如何比較兩個觀察者在引力場中不同位置所做的測量。在狹義相對論中，不同觀察者所做的測量可以很簡單地通過洛倫茲變換（ Lorentz transformation ）相互作用中找出關聯性，但是當測量者在引力場中的位置產生顯著差異時，對比較的測量結果會變得更加棘手。愛因斯坦的廣義相對論通過在時空幾何中使用觀察者之間的聯繫來解決這個問題。

威爾想知道他是否可以在電磁學領域做同樣的事情，因此開始了規範理論的研究，希望這項理論能在電磁領域找到上述的關聯。然而這一想法過於超前，三十多年後揚和米爾斯（ Yang and Mills ）進一步推動了這個模型的發展，但是也遇到了可能需要十年甚至更長時間才能解決的困難。

現在，凱倫接過了規範理論的交接棒，她最著名的研究是將規範理論應用於四維流形。她和  C． H ．陶布斯（ C.H. Taubes ）從四維角度分析了楊 – 米爾斯方程，為西蒙·唐納森（ Simon Donaldson ）的理論奠定了基礎，後者在 1986 年獲得了著名的菲爾茲獎。

雖然錯過了菲爾茲獎，但是凱倫在 1985 年成為了美國藝術與科學院院士，2000 年獲得了美國國家科學獎章，並在2007 年獲得了美國數學學會的 Leroy P Steele 獎，還入選了20世紀美國最重要數學研究者的短名單，如今又收穫了與菲爾茲獎齊名的阿貝爾獎。

現在看來這是個令人讚嘆的故事，但是組成這個故事的每個字都凝聚了女性在科學界艱難前進的汗水與淚水。

這個曾經希望能遠離他人的孤僻女孩，意識到了離群索居只會在漫長的人生中給自己造成傷害，最終毀掉的是職業生涯和與家人朋友的感情。

她不再迴避教學，並開始用自己的經歷去幫助年輕人：她向學生強調學術支持系統的重要性，告誡他們不要成為那種閉門不出、獨自埋頭苦算的老派數學家——和同事們建立聯繫能幫你更好地克服職業生涯中可能遇到的困難。

凱倫·烏倫貝克成為了現代數學領域中性別多元化的標杆人物，但她也坦白地表示過這給自己帶來的挑戰性：「因為我需要做的其實是告訴學生，不完美的人也能成功……我在他們眼中可能是個有名的數學家，但是，我也是個普通人。」

數學成就了她，數學也改變了她。

本文轉載自领研网，原文〈“数学界最高奖”阿贝尔奖首次颁给一位女性，她的人生曲折又幸运〉