破解五次方程式的公式解：阿貝爾誕辰│科學史上的今天：8/5

• 作者／李奕萱

阿貝爾獎（Abel Prize）自2003年開始由挪威國王頒發給傑出數學家的獎項。阿貝爾獎的歷史可以追溯到1899年，當時挪威數學家索菲斯·李（Sophus Lie）得知阿佛烈·諾貝爾（Alfred Nobel）計劃設立的諾貝爾獎將不包括數學獎，又剛好正逢數學家尼爾斯·亨里克·阿貝爾（Niels Henrik Abel）誕辰100週年紀念，便提出設立阿貝爾獎。 不幸的是，索菲斯·李不久後逝世、提供資金的奧斯卡二世國王也因為瑞典和挪威聯合王國解散而下台，阿貝爾獎這件事也就不了了之。

2001年，人們覺得應該給數學家一個相當於諾貝爾獎的獎項，便再次將阿貝爾獎提案給挪威總理。隔年挪威政府便宣佈撥款2億挪威克朗在數學家阿貝爾誕辰200週年時正式設立阿貝爾獎，並由挪威自然科學與文學院成立阿貝爾委員會負責審理。

雖然說阿貝爾獎被譽為數學界的諾貝爾獎，但表彰方向卻和諾貝爾獎不盡相同。舉例來說，諾貝爾物理學獎主要是頒發給對物理作出重要發現或發明的人，像是2020年的諾貝爾獎得主就是成功觀察到銀河系中心的超大質量緻密天體，並發現黑洞的形成是廣義相對論的確鑿預測，因而得獎。阿爾貝獎則是大多頒獎給在數學領域發展中的重要推手，也就是引領數學界的人。

今年挪威科學院將2021年的阿貝爾獎頒給匈牙利羅蘭大學（Eötvös Loránd University）的洛瓦茲·拉茲洛（László Lovász）和美國普林斯頓大學的以色列數學家阿維·威格森（Avi Wigderson），表彰他們對理論計算機科學與離散數學的貢獻，以及將兩者塑造成現代數學的重要領域。

“for their foundational contributions to theoretical computer science and discrete mathematics, and their leading role in shaping them into central fields of modern mathematics”

剪不斷理還亂的計算機科學和數學

1970年代，理論計算機科學和純數學是沒什麼關係的兩個學術領域。經過幾十年的發展，這兩個學科之間早已變得極為密切，在現代數學，我們甚至很難分清它們之間的界限。其中，洛瓦斯和威格森就是在最前線開疆闢土的人。

計算複雜性理論 (Computational complexity theory)是數學和計算機科學領域的一個重要分支。從小我們就知道算數學要快、狠、準，如何更快、更輕鬆地解決問題一直是人類追求的目標。計算複雜性理論通過引入數學計算模型計算各個演算法的資源使用情形，像是時間（透過幾個步驟產出結果）、空間（需要佔用多少記憶體），再進一步進行複雜性分類、聯絡。洛瓦茲設計的LLL演算法、威格森的去隨機化研究對拓寬和深化這個領域的貢獻無疑是最重要的領導者。

從數學到計算機科學──拉茲洛·洛瓦斯

洛瓦茲於1948年出生在布達佩斯，從小就對數學有濃厚的天份，22歲便拿到博士學位，他的早期靈感大部分來自數學家艾狄胥·帕爾（Erdős Pál）。艾狄胥的成就集中在離散關係的數學，而不是典型的連續變量上，也就是組合學、圖論等領域。

組合學（Combinatorics）、圖論（Graph theory）都是離散數學的範疇。前者主要解決組合模型中的存在、計數以及構造等方面的問題；後者作為組合學的分支，將對象之間的關係通過邊和節點組成數學結構圖。拉斯洛·洛瓦茲作為新一代數學家自然不會將離散數學侷限在純數學的理論研究中，他意識到離散數學在計算機科學中非常具有發展潛力，並著手研究離散數學可以解決計算機科學問題的方法。

最著名的研究是由洛瓦茲（Lovász）以及荷蘭數學家阿爾揚·倫斯特拉（Arjen Lenstra）和亨德里克·倫斯特拉（Hendrik Lenstra）的名字命名的LLL演算法（LLL lattice）。這種稱為LLL的算法將由整數組成的大向量分解為各種類型的最短向量的總和，也就是可以計算出空間中的點集與原點的距離。

最初的LLL演算法被應用將多項式時間（Polynomial time，P）以有理係數多項式表示，來找出他的實數近似值來解決固定維數的整數線性規劃問題。LLL演算法在數論、密碼學和通訊計算等領域也都具有顯著的應用，更是現今可以抵禦量子計算機攻擊的加密系統之一。

從計算機科學到數學──阿維·威格森

威格森於1956年出生於以色列海法。威格森最著名的成就之一就是闡明了隨機性在計算中的作用。在聊隨機性之前，我們先來聊聊什麼是P, NP：

P和NP是複雜性的類別，P問題是可以快速計算出來的問題，NP問題則是可以快速驗證的問題。

當問你17乘以19是多少時，你可能沒辦法馬上心算出來，但按一按計算機就一定能得出答案，那麼這個問題就是屬於P問題，包含了所有容易解決的計算問題。現在，問你323的所有質因數有哪些呢？問題複雜了許多吧！我們必須從2、3、5……開始慢慢找，正著找質因數很困難，如果我們反著找呢？先告訴你17、19是323的質因數，是不是只要把它們乘在一起就能驗證答案對不對了？這個例子就是屬於NP問題，包含了可能是很難解決的計算問題，但只要有答案就很容易被驗證正確與否。

科學家便提出了一個看法：「會不會其實P=NP？」也就是說NP問題有可能可以被簡單解決。威格森的主要研究就是將複雜性類別一一歸位，將多項式時間演算法完全去隨機化，更快速的得到結果，並把隨機演算法和複雜性理論結合，提出P = BPP（bounded-error probabilistic polynomial time），回答了多年來對P/NP問題的疑問，大大拓寬了資訊界的未來視野。

威格森對貨幣加密的零知識證明也很有貢獻，零知識證明簡單來講就是在不透露任何資訊的情況下驗證正確性的方法。最初是在保護個資方面，像是我們想要申請某個購物網站的會員，我們就必須提供姓名、電話、出生年月日等各種資料來驗證我們的真實身份，但在零知識證明之下我們可以選擇提供「零密碼證明」、隱藏真實密碼，達到完全保護個資的目的。

有些人可能會有疑問說數學有用嗎？數學不是只能拿來算錢嗎？那你就錯了！數學一直扮演著承載科學的角色，躲在背後支持著科學發展，不難發現每一門科學都或多或少跟數學交織在一起，每一年頒發的阿貝爾獎、菲爾茲獎、諾貝爾獎都顯現出這些數學家、科學家正將科學這個巨網越織越堅固。一起為今年的得獎者送上掌聲吧！

參考資料

• The Abel Prize
• Wikipedia – László Lovász
• Wikipedia – N versus NP problem
• nature – Abel Prize celebrates union of mathematics and computer science
• 新智元導讀 – 以色列數學家威格森獲阿貝爾獎

• 文／魏瀟（領研網）

2019 年阿貝爾獎，首位女性得主

3 月 19 日，美國數學家凱倫・烏倫貝克（ Karen Uhlenbeck ）摘下學界最高榮譽之一—— 2019 年阿貝爾獎（ Abel prize ）。這項常被譽為「數學界諾貝爾」的獎項，終於迎來了首位女性獲獎者。

阿貝爾獎從 2003 年開始，獎金為 600 萬挪威克朗（約合 2610 萬新台幣），歷屆獲獎得主包括《美麗心靈》主角的原型約翰・納許（ John Nash ）、今年剛剛去世的著名數學家邁克爾・阿蒂亞爵士（ Sir Michael Atiyah ）等。該獎項在數學界擁有崇高地位，與四年一度的菲爾茲獎齊名。而菲爾茲獎迄今為止也只有一位女性獲獎者：伊朗數學家瑪利亞姆・米爾扎哈尼（ Maryam Mirzakhani ）。

現年 76 歲的凱倫・烏倫貝克，是美國得克薩斯大學（ University of Texas ）榮譽教授，並擔任普林斯頓大學（ Princeton University ）資深訪問學者、普林斯頓高等研究院（ Institute for Advanced Study ）客座教授。作為幾何分析（ geometric analysis ）領域的先驅之一，烏倫貝克在幾何偏微分方程、規範理論和可積系統等領域作出了重要貢獻，她提出的數學方法已經被今天的數學家廣泛使用。和年少成名又英年早逝的菲爾茲獎得主瑪利亞姆·米爾扎哈尼不同，凱倫·烏倫貝克擁有一個曲折又幸運的數學人生。

孤僻的少女

凱倫 1942 年出生於一個由工程師和藝術教師組成的美國家庭。這一個小時候喜歡和男孩子們在街上踢足球的女孩，進入學校後也顯得有些與眾不同——她最喜歡的事情就是偷偷閱讀藏在課桌下的科普書籍。

儘管還是個孩子，但是那時凱倫就已經展現出了一些孤獨科學家的特質：她喜歡漫無目的的在鄉間閒逛，將自己埋頭在文字的世界中，並夢想著能夠找到一份可以讓自己獨處的工作。凱倫後來在一本名為 《 Women in Mathematic 》的書中回憶道：

「我當時覺得自己將來不是當個護理師，不然就是成為研究學者，我就是對那些東西感興趣。但是我不想當老師，我覺得一切需要跟人打交道的工作都極其可怕。」

「女性學不了數學，因為從生物學角度上來說她們比男性更喜歡社交，所以這種需要單獨進行、與孤獨為伴的工作會讓女性無法適應」這是當時社會給婦女打上的標籤（這種刻板印象至今依然存在）。凱倫最開始在密歇根大學學物理，但是發現數學更契合她的特點和興趣，於是轉到了數學領域。不過她選擇開啟數學家生涯並不全是因為對智力的自信，而是周圍人的影響。凱倫甚至不確定自己是否適合進入研究所攻讀博士，但身邊認識的親友（包括她的男朋友）幾乎都決定繼續深造。她的擔心並非沒有道理：為了避免名校數學系男性研究者的絕對權威，她選擇避開普林斯頓或者哈佛大學，希望找到一個能夠讓自己不分心地研究數學的地方。最終，她先在紐約大學的庫朗研究所（ Courant Institute ）拿到了碩士學位，然後在布蘭迪斯大學（ Brandeis University ）獲得了博士學位。

迷惘與掙扎

和所有剛獲得博士學位的年輕人一樣，凱倫開始尋找能夠讓自己獲得長期動力和發展的研究課題。與此同時，她和男朋友奧爾克·烏倫貝克（ Olke Uhlenbeck ）結了婚，從凱倫·凱斯庫拉（ Karen Keskulla ）變成了凱倫·烏倫貝克（ Karen Uhlenbeck ）。這不僅意味著一段人生新旅程的開始，也為她帶來了另一個職業生涯上的障礙。奧爾克是一位生物物理學家，拿到了斯坦福和普林斯頓的 offer 。

但是這些學校拒絕給凱倫提供正式職位，只因為她是女性。

令人欣慰的是，奧爾克站在了妻子這邊。他拒絕了所有不願接受凱倫的學校，兩人最終加入了伊利諾伊大學香檳分校（ University of Illinois at Urbana-Champaign ）。

但這並不是故事的美滿結局。凱倫是香檳分校的數學教師，可是他們只把她當成教職員的家屬，並且希望她以一位家屬的身份行事。在那裡她被排除在教職人員的職業發展系統之外，沒人能為她當時十分特殊的職位提供任何指導和幫助。她的學術生涯也不怎麼順利，她不喜歡課堂教學工作，同時苦苦掙扎著尋找研究方向，還要面臨外界對於自己地位和能力的質疑——1976 年，她選擇離開香檳分校，去了位於芝加哥的伊利諾伊大學（ University of Illinois ）。

我們不清楚離開香檳分校是否是凱倫和奧爾克出現裂痕的原因。但是，她確實和丈夫分手了。面對新環境，她能依靠的只有自己。幸運的是，芝加哥的氣氛和香檳分校截然不同。校園裡不僅有幾位女教授可以為她提供職業發展上的支持，她的同事們也認可她作為一名數學家的價值——她終於找到了能夠為自己的學術研究提供反饋意見的環境。

獲得新生

事情開始步入正軌，凱倫為研究找到了經費支持，將自己從充滿著挫折與失望的泥潭中拯救出來。在獲得了穩定的資助和工作環境後，凱倫在 40 歲左右時終於開始嶄露頭角。在 1982 年前後發表的數篇論文是她在規範理論研究中做出的突破性貢獻：從四維分析楊-米爾斯方程式（ Yang-Mills equations ），為現代物理學中如標準模型、量子引力理論等眾多最令人興奮的研究，奠定了一定的分析基礎。

總結來說，她的這項工作可以看作為 1919 年由著名數學家赫爾曼・威爾（ Hermann Weyl ）提出、能讓愛因斯坦的廣義相對論更進一步的數學理論「續集」。愛因斯坦在他的廣義相對論中已經證明瞭如何比較兩個觀察者在引力場中不同位置所做的測量。在狹義相對論中，不同觀察者所做的測量可以很簡單地通過洛倫茲變換（ Lorentz transformation ）相互作用中找出關聯性，但是當測量者在引力場中的位置產生顯著差異時，對比較的測量結果會變得更加棘手。愛因斯坦的廣義相對論通過在時空幾何中使用觀察者之間的聯繫來解決這個問題。

威爾想知道他是否可以在電磁學領域做同樣的事情，因此開始了規範理論的研究，希望這項理論能在電磁領域找到上述的關聯。然而這一想法過於超前，三十多年後揚和米爾斯（ Yang and Mills ）進一步推動了這個模型的發展，但是也遇到了可能需要十年甚至更長時間才能解決的困難。

現在，凱倫接過了規範理論的交接棒，她最著名的研究是將規範理論應用於四維流形。她和  C． H ．陶布斯（ C.H. Taubes ）從四維角度分析了楊 – 米爾斯方程，為西蒙·唐納森（ Simon Donaldson ）的理論奠定了基礎，後者在 1986 年獲得了著名的菲爾茲獎。

雖然錯過了菲爾茲獎，但是凱倫在 1985 年成為了美國藝術與科學院院士，2000 年獲得了美國國家科學獎章，並在2007 年獲得了美國數學學會的 Leroy P Steele 獎，還入選了20世紀美國最重要數學研究者的短名單，如今又收穫了與菲爾茲獎齊名的阿貝爾獎。

現在看來這是個令人讚嘆的故事，但是組成這個故事的每個字都凝聚了女性在科學界艱難前進的汗水與淚水。

這個曾經希望能遠離他人的孤僻女孩，意識到了離群索居只會在漫長的人生中給自己造成傷害，最終毀掉的是職業生涯和與家人朋友的感情。

她不再迴避教學，並開始用自己的經歷去幫助年輕人：她向學生強調學術支持系統的重要性，告誡他們不要成為那種閉門不出、獨自埋頭苦算的老派數學家——和同事們建立聯繫能幫你更好地克服職業生涯中可能遇到的困難。

凱倫·烏倫貝克成為了現代數學領域中性別多元化的標杆人物，但她也坦白地表示過這給自己帶來的挑戰性：「因為我需要做的其實是告訴學生，不完美的人也能成功……我在他們眼中可能是個有名的數學家，但是，我也是個普通人。」

數學成就了她，數學也改變了她。

本文轉載自领研网，原文〈“数学界最高奖”阿贝尔奖首次颁给一位女性，她的人生曲折又幸运〉

作者｜李武炎／曾任教於淡江大學數學系，現為《科學月刊》編輯委員。

今年素有「數學諾貝爾獎」的阿貝爾獎由美國牛津大學皇家協會講座教授懷爾斯（Andrew Wiles）獲得，推薦文中指出，為了表彰他利用半穩定橢圓曲線的模猜想推出「費馬最後定理」的震撼證明，對數論的發展開啟一個新的世代，獎項已於今（2016）年 5 月 24 日在挪威首都奧斯陸頒發。

英年早逝的天才數學家阿貝爾

阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802~1829）是挪威歷史上一位非常著名的數學家，他在很年輕的時候就已經研習大數學家歐拉、拉格朗治、拉普拉斯及高斯等人的著作。19 歲時，他解決了困惑數學界 200 年的老問題：一般 5 次方程式根的公式解是不存在的，如此非凡的表現奠定他在歷史上的地位。另外他在超越函數上的研究，對橢圓函數理論起了革命性的影響。阿貝爾生前非常貧困，18 歲時就肩負起照顧家中 6 個弟妹的重責，後來不幸罹患肺結核，因為無法得到良好的調養， 很可惜在 1829 年 4 月 6 日以 26 歲的年紀辭世，實在是英年早逝，死後兩天，數學家克雷勒（August Leopold Crelle） 攜來柏林欲聘請他擔任教授的聘書，但已經來不及了。後來數學界為了紀念他，特別將抽象代數學中的一個結構交換群命名為「阿貝爾群（abelian group）」，以他為名的專有名詞已經被普通化了，是為了更能彰顯他的偉大。

挪威政府一直有設立紀念阿貝爾的獎項的念頭，這是要彌補諾貝爾獎沒有數學項目的遺憾，但這個獎項的成立一直要等到西元 2002 年阿貝爾 200 歲誕辰方才實現。2002 年阿貝爾獎開始頒發，而第一屆的得主便是法國數學家，同時是數學界大老的謝爾（Jean-Pierre Serre）。去年 2015 年的得主是電影《美麗境界》戲中的主人翁約翰納許，但去年 5 月 19 日納許夫婦領取阿貝爾獎返家途中不幸發生車禍遇難，曾造成新聞界一陣報導。觀察阿貝爾獎的歷屆得主，都是當代數學的翹楚， 而且大都是年高德劭著作等身的數學圈耆老，懷爾斯雖屬壯年，但因為他解決「費馬最後定理」這個世紀難題， 名氣實在太大了，因此阿貝爾獎的評審委員會決定頒授 2016 年的獎給他。有人說這是遲來的獎項，因為自從 20 幾年前懷爾斯證出這個劃時代的問題後，已經得獎無數，幾乎全世界所有的數學獎都被他囊括，其中包括著名的沃爾夫數學獎（1995 年）、沃爾夫斯克爾獎（1997 年）以及邵逸夫獎（2005 年）等，今年添上阿貝爾獎無疑是在懷爾斯的功勛簿上貼滿最後一塊拼圖。值得一提的是，當年懷爾斯解決費馬最後定理時已經年過 40， 無緣獲得數學界的費爾茲獎章（Fields Medal）。

 費馬最後定理

「費馬最後定理」是個一般人都可以明瞭的題目， 並不需要具備很深的數學背景才能理解──探討方程式： xⁿ+yⁿ=zⁿ 的正整數解。當 n = 2 時， 讓我們想到熟知的畢氏定理（又稱勾股弦定理），此處 z 代表一個直角三角形的斜邊長，x 與 y 則為此三角形之兩股的長，也就是說一個直角三角形的斜邊長的平方等於它的兩股長之平方和。 這個方程式當然有許多正整數解，例如：x = 3，y = 4，z = 5；x = 6，y = 8，z = 10；x = 5，y = 12， z = 13 ⋯⋯等等。費馬聲稱當 n ≥ 3 為正整數時， 就不存在非零的整數解。

數學業餘王子─費馬

費馬（Pierre de Fermat，1601~1665）是一位留著長髮，穿著中古世紀歐洲袍的法國數學家。他是 17 世紀最卓越的數學家之一，在許多數學領域都有極大的貢獻，例如：他在笛卡兒之前發明解析幾何，也在微積分的發展有所建樹，他與巴斯卡被公認是機率論的先驅， 然而他在數論上的研究成果最為後人所記得。他的本行是專業的律師，數學只是他的愛好，而他所作的數學作品都是第一等的工作，為了表彰他的數學造詣，世人冠以「業餘王子」的美譽。在 1637 年的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘時代數學家丟番圖（Diophantus） 的數論書《算術學》（Arithmetica）時，突然心血來潮在書頁的空白處寫下這個看似簡單的定理：當 n ≥ 3 為正整數時， 沒有非零的整數解。

當時費馬並沒有說明原因，不過他留下這一段話：「我已經發現一個非常美妙的證明，只是書頁的空白處太小無法寫下來。」，始作俑者的費馬也因此留下了這個千古的難題，300 多年來無數的數學家嘗試要求解決這個難題都徒勞無功，這個號稱「世紀難題」的「費馬最後定理」也就成了數學界的心頭大患，極欲解之而後快。19 世紀時法國的法蘭西學院曾二度懸賞金質獎章及 300 法郎給任何解決此一難題之人，可惜都沒有人能夠領到獎賞。德國的一位工業家沃爾夫斯克爾（Paul Wolfskehl，1856~1906）對「費馬最後定理」情有獨鍾，他死後，根據其遺囑遺贈 10 萬馬克（約合 5000 萬新臺幣），頒給能夠證明「費馬最後定理」是正確的人。

這個獎在 1908 年設立，有效期間為 100 年，懷爾斯在 1997 年領到這個獎時，獎金只有約 150 萬新臺幣， 原因是這段期間世界曾發生經濟大蕭條，此筆獎額已大幅貶值了。當年沃爾夫斯克爾獎一宣布時，確實吸引不少「數學癡」去從事這個問題，而社會上也掀起了一股瘋「FLT（Fermat’s Last theorem）熱」。20 世紀電腦發展以後，許多數學家利用電腦計算可以證明這個定理當 n 很大時是成立的，1983 年電腦專家斯洛文斯基借助電腦運行 5782 秒證明當 n 為2⁸⁶²⁴³-1 時「費馬最後定理」是正確的，2⁸⁶²⁴³-1是一個天文數字， 大約有 25960 位數。雖然如此，數學家還是沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數學懸案終於解決了，由當時在美國普林斯頓大學數學系任教的英國數學家懷爾斯教授提出證明，其實他是利用 20 世紀過去 30 年來代數幾何發展的結果加以運用並解決的。

追求數學聖杯的懷爾斯

1993 年的 6 月 21~23 日，懷爾斯在英國劍橋大學所舉辦的研討會發表這個結果，這個報告馬上震驚了數學界甚至於一般社會大眾，懷爾斯證出費馬最後定理的消息在 1993 年的 6 月 24 日登上了《紐約時報》、《美國國家廣播公司》等重要媒體的頭條。一個數學證明能讓新聞媒體如此青睞，可謂空前絕後，原因正如前面所言，這是一個能被一般民眾所能明白的數學問題，並不需具備很強的數學專業知識。其實數論中有很多問題都與費馬最後定理一樣，敘述都很淺顯易懂，內容也很吸引人去思考，可是證明起來都很難。懷爾斯在 1993 年發表的論文報告經過數學界審慎檢查後，卻發現了極大的瑕疵，後來懷爾斯與他的學生嘗試加以補救，終於在 1994 年 9 月修正成功，並且在 1995 年將修正後的論文發表在《數學年刊》（Annals of Mathematics）上。

偉大的集體成就

「費馬最後定理」的最終解決其實要歸功於無數數學家的努力，最早在 1950 年代，日本數學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲線的猜想，即二元三次方程式 y²=x³+ax²+bx+c 定義的圖形，其中 a、b、c 為有理數，它不是橢圓，而是因為當初數學家想計算橢圓的周長而產生的名詞。後來由另一位日本數學家志村五郎加以發揚光大，提出谷山 – 志村猜想：每一個橢圓曲線都具有一種模形式（modularity pattern）， 這個名詞與高等數學複變函數論有關，在此就不擬加以解釋。當時沒有人認為這個猜想與「費馬最後定理」有任何關聯，直到 1980 年代，德國數學家佛列（Gerhard Frey）才將這個猜想與「費馬最後定理」掛勾。若對奇質數p而言， a^p+b^p+c^p 有異於零的整數解，則佛列建議考慮橢圓曲線 y²=x(x+a^p)(x-b^p)，此曲線後來被稱為佛列曲線， 因為他覺得此橢圓曲線的判別式 a^2pb^2p(a^p+b^p)²=(abc)^2p 呈現出一點不太尋常，因此他懷疑這個橢圓曲線不具模形式，所以只要能證明谷山 – 志村猜想就等於證明了「費馬最後定理」。

佛列的猜想後來被法國數學家謝爾加以改良，並且在 1986 年由數學家里貝特（Ken Ribet）證明從 a^p+b^p=c^p 所得的佛列曲線違反模形式。根據里貝特的這個啟發，懷爾斯就全力去從事谷山 志村猜想的證明，至少要證明絕大部分的橢圓曲線都具有模形式。最後他證明了任何半穩定（semistable）橢圓曲線都具有模形式，而佛列曲線就是一個半穩定橢圓曲線，因此證明 a^p+b^p=c^p 之非零整數解是不存在，從而證明了「費馬最後定理」。這裡要提一點，「費馬最後定理」是說對任何大於 2 的整數 n 而言，aⁿ+bⁿ=cⁿ 沒有非零的整數解，其實就是要證明對 n = 4 及任意奇質數（3、5、7⋯）均成立即可，因為對任何大於 2 的整數 n，n 必有 4 或奇質數的因數，而當 n = 4 時，費馬曾經給予證明（用數論的技巧就可以證出），因此只需考慮 而 p 為奇質數即可。

「費馬最後定理」的證明成功並非僅靠一人之力便能解決，雖然懷爾斯完成了封頂之作，但如同前面所提到的谷山豐、志村五郎、佛列及里貝特都是功臣；自古以來，很多數學理論的形成都是從一些猜想或假設開始，激發數學家的興趣，為了尋求問題的解決，不斷努力發展新的數學技巧，也豐富了數學的內涵，而這些建樹都是歷史上的數學家前仆後繼研究所得的成果，我們可以說：數學演進就是團隊合作的結晶。

〈本文選自《科學月刊》2016 年 7月號〉

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