破解五次方程式的公式解：阿貝爾誕辰│科學史上的今天：8/5

本文與 Panasonic 合作，泛科學撰文 

●以下科學研究內容作為知識分享，不直接與Panasonic A La Uno全自動洗淨馬桶產品功能連結

在做家務的痛苦排行榜上，「刷馬桶」絕對名列前茅。明明天天都在沖水，但過不了幾天，馬桶內壁邊角總會浮現黃黃的水垢、角落發黑的霉斑，甚至是那些刷掉又長出來的粉紅色污垢（黏質沙雷氏菌）。

許多市售衛浴設備常標榜「神奇抗污」或「永久不沾」，讓人誤以為安裝後便能永保潔淨。然而從材料科學的角度來看，世上並無能使污垢憑空消失的魔法。所謂「耐污」的實質機制，並非打造完全不沾染髒污的材質，而是調整表面的物理與化學屬性，使水垢和微生物難以強力附著。一旦降低了污垢與內壁之間的附著力，透過日常水流沖刷，便能輕易地將髒污帶走。

為什麼污垢「黏不住」？ 

要搞懂為什麼某些特殊表面能做到「耐污」，我們得先像偵探一樣，拆解馬桶裡的髒污究竟是怎麼「抓緊」材料表面的。馬桶內壁的污垢主要有兩大難纏的元兇：

1. 水垢與礦物沉積*1：我們日常使用的自來水中含有鈣、鎂等金屬離子。當水滴在表面經歷反覆的濕潤與蒸發乾燥循環時，這些離子會逐漸結晶析出，變成硬度極高、緊緊「卡」在微觀縫隙裡的礦物質水垢。
2. 生物膜與有機物*2：包含尿液中的無機鹽、油脂殘留，以及細菌入侵後分泌出像超強膠水一般的聚合物，所組成的黏滑防禦大本營。

這兩大類污垢想要在材料上「落腳」，前提是它們必須能在表面找到足夠的附著點與黏合力。那麼，材料科學家是如何讓這些髒污「站不穩」的呢？答案就藏在「表面能（Surface Energy）」與「濕潤性（Wettability）」這兩個核心概念中。

當我們把水滴在某個表面上時，水滴會聚成一顆圓滾滾的水珠，還是迅速攤平開來？這取決於表面的特性：

• 疏水路線（Hydrophobic）*1：具備低表面能的疏水表面，能顯著減少水分子或污染物與表面之間的極性作用力與氫鍵。水滴在這種表面上會因為表面張力而收縮成水珠，當水珠滾動滑落時，就能順便把表面的灰塵與礦物質顆粒帶走，這就是著名的「自清潔效應」。
• 親水路線（Hydrophilic / Superhydrophilic）*2：相反地，極度親水的超親水表面則會強烈地吸引水分子，在材料最外層形成一層薄薄的「水化層（Hydration Layer）」。這層水化層就像是實體的液體盾牌，讓油污、蛋白質或細菌無法直接接觸到材料基底，只能漂浮在水膜上方。

如果要用攀岩來比喻：傳統粗糙的表面就像是有許多凹槽的攀岩牆，髒污就像攀岩者，需要找到落腳點並用力撐住才能攀附；而我們做的是抽掉把手點，或是在把手上塗上潤滑油，讓髒污找不到施力點，自然難以停留。

不給細菌「握手」的機會

解決了水垢，下一個更棘手的對手是「細菌」。

馬桶內壁那些黑黑粉粉、摸起來滑滑的污垢，在微生物學中被稱為「生物膜（Biofilm）」。細菌並不是孤立生長的，當單顆細菌落在表面後，如果覺得環境舒適，它就會開始分泌胞外聚合物（EPS），這是一種天然的超強膠水。細菌們用這種膠水把自己與同伴緊緊黏在一起，並築起堅固的防禦堡壘，這時一般的沖水就很難把它們沖洗乾淨了。

根據《Nature Communications》與《Microsystems & Nanoengineering》的學術期刊研究指出，要阻止生物膜形成，除了化學上的抗菌，材料的「表面微幾何結構」扮演了至關重要的角色。

材料科學領域中有一個著名的「附著點理論（Attachment Point Theory）」：

1. 粗糙與微孔洞表面：如果材料表面存在許多微小的裂縫、氣孔或微米級凹洞，細菌（體積通常約 1 到 3 微米）就會興高采烈地鑽進這些小凹槽裡。這些凹槽不僅提供了極佳的機械咬合支點，還能幫細菌擋掉水流的沖刷。
2. 極致平滑與微結構表面：相反地，如果材料表面做到極致平滑，完全沒有微米級的缺陷；或者反過來設計出尺寸遠小於細菌的奈米結構，細菌的足跡構造（如鞭毛或纖毛）就無法在表面找到穩固的「接觸附著點（Contact Points）」。

當細菌發現自己在這個表面上連「手都握不緊」、隨時會被水流吹走時，它就無法順利定殖並分泌膠水築巢。此外，現代衛浴結構在設計時，也越來越強調「一體成形」與「無接縫工藝」。消除接縫與死角，等於直接拔除了細菌與水垢最喜歡的避風港。

當材料、結構與流體科技組隊聯防 

了解了材料化學與微觀幾何，我們就能勾勒出一座現代耐污馬桶的完整防禦體系：【材料層（低附著力）】+【結構層（無縫平滑）】+【動態流體層（泡沫與水流剪切力）】= 高效清潔！

以市面上備受矚目的 Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶為例，就是將材料科學、結構工程與流體力學發揮到極致的典型代表：

1. 材料層：有機玻璃系新素材

A La Uno 全自動洗淨馬桶採新開發的「有機玻璃系新素材」（以壓克力高分子為基礎研發的衛浴專用材料，這類高分子成形技術亦被廣泛運用於大型水族館高壓觀景窗與飛機機艙罩）。這種材料表面具備極佳的疏水性與耐水垢特性，水滴不易長時間攤平停留；材質堅固、不易破裂，耐刮、不易造成細小傷痕。通過實驗測試，這種素材配合泡沫洗淨，在沖洗後能有效沖刷掉高達 99.99% 的大腸桿菌，從源頭阻斷細菌定殖。

2. 結構層：無接縫工藝與三重防濺防護

在宏觀結構上，A La Uno 全自動洗淨馬桶採用無水箱沖水與便器、溫水洗淨便座一體成型設計，減少傳統水箱與座體之間的結構層次及接縫，並搭配可動迴轉式排水系統完成沖洗。更貼心的是其「三重防護」設計：

• 泡沫防護：在水面上製造一層充沛的泡沫緩衝層，有效抑制男性站立小便時的尿液與污水飛濺；
• 外圍防護：馬桶邊界特別設計了高約 3mm 的水檔，防止液體延著外壁滴落至地板；
• 測漏防護：便座與馬桶本體採用不外露的防護設計，避免液體從縫隙飛濺滲漏。

3. 動態流體層：雙效泡沫洗淨、漩渦水流與 nanoe™ X

當污垢降落在馬桶內壁時，A La Uno全自動洗淨馬桶 的動態流體科技便接手進行徹底打掃。其「雙效泡沫洗淨」會先釋放直徑約 5mm 的「毫米泡沫」包裹並帶走大塊髒污，再透過直徑約 60微米的「微米泡沫」深入微觀縫隙，徹底溶解殘餘的油脂與細微污垢。接著，配合高度清潔力的「漩渦型強力水流」，利用旋轉產生的流體剪切力，一口氣將附著力已被削弱的污垢剝離並沖走。此外，Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶還搭襯了 nanoe™ X 健康科技，釋放氫氧離子有效抑制異味與髒污，維持空氣與內壁的良好衛生狀態。

科技讓生活變輕鬆，但物理法則依然誠實

從材料化學的低表面能設計，到微觀幾何的附著點控制，再到流體力學的水流沖刷，一座現代抗污馬桶的演進，縮影了人類如何運用基礎科學來解決日常生活痛點的智慧。

我們習慣將衛生清潔想像成一場與細菌髒污的硬碰硬死鬥。然而，A La Uno全自動洗淨馬桶 等現代衛浴技術的突破，展示了材料科學的另一種聰明思維：不靠強酸強鹼硬打，而是透過物理與化學邏輯，將「污垢固著」的機率降到最低。

當材料科學與現代衛浴技術結合，刷馬桶不再是一件令人頭痛的辛苦瑣事。透過這些前沿科技的加持，我們得以從繁重的家務勞動中解放，享受更加乾淨、舒適且有品質的日常生活。

*1 參考論文：A metallic anti-biofouling surface with a hierarchical topography containing nanostructures on curved micro-riblets

*2 參考論文：Brushing up functional materials

• 作者／李奕萱

阿貝爾獎（Abel Prize）自2003年開始由挪威國王頒發給傑出數學家的獎項。阿貝爾獎的歷史可以追溯到1899年，當時挪威數學家索菲斯·李（Sophus Lie）得知阿佛烈·諾貝爾（Alfred Nobel）計劃設立的諾貝爾獎將不包括數學獎，又剛好正逢數學家尼爾斯·亨里克·阿貝爾（Niels Henrik Abel）誕辰100週年紀念，便提出設立阿貝爾獎。 不幸的是，索菲斯·李不久後逝世、提供資金的奧斯卡二世國王也因為瑞典和挪威聯合王國解散而下台，阿貝爾獎這件事也就不了了之。

2001年，人們覺得應該給數學家一個相當於諾貝爾獎的獎項，便再次將阿貝爾獎提案給挪威總理。隔年挪威政府便宣佈撥款2億挪威克朗在數學家阿貝爾誕辰200週年時正式設立阿貝爾獎，並由挪威自然科學與文學院成立阿貝爾委員會負責審理。

雖然說阿貝爾獎被譽為數學界的諾貝爾獎，但表彰方向卻和諾貝爾獎不盡相同。舉例來說，諾貝爾物理學獎主要是頒發給對物理作出重要發現或發明的人，像是2020年的諾貝爾獎得主就是成功觀察到銀河系中心的超大質量緻密天體，並發現黑洞的形成是廣義相對論的確鑿預測，因而得獎。阿爾貝獎則是大多頒獎給在數學領域發展中的重要推手，也就是引領數學界的人。

今年挪威科學院將2021年的阿貝爾獎頒給匈牙利羅蘭大學（Eötvös Loránd University）的洛瓦茲·拉茲洛（László Lovász）和美國普林斯頓大學的以色列數學家阿維·威格森（Avi Wigderson），表彰他們對理論計算機科學與離散數學的貢獻，以及將兩者塑造成現代數學的重要領域。

“for their foundational contributions to theoretical computer science and discrete mathematics, and their leading role in shaping them into central fields of modern mathematics”

剪不斷理還亂的計算機科學和數學

1970年代，理論計算機科學和純數學是沒什麼關係的兩個學術領域。經過幾十年的發展，這兩個學科之間早已變得極為密切，在現代數學，我們甚至很難分清它們之間的界限。其中，洛瓦斯和威格森就是在最前線開疆闢土的人。

計算複雜性理論 (Computational complexity theory)是數學和計算機科學領域的一個重要分支。從小我們就知道算數學要快、狠、準，如何更快、更輕鬆地解決問題一直是人類追求的目標。計算複雜性理論通過引入數學計算模型計算各個演算法的資源使用情形，像是時間（透過幾個步驟產出結果）、空間（需要佔用多少記憶體），再進一步進行複雜性分類、聯絡。洛瓦茲設計的LLL演算法、威格森的去隨機化研究對拓寬和深化這個領域的貢獻無疑是最重要的領導者。

從數學到計算機科學──拉茲洛·洛瓦斯

洛瓦茲於1948年出生在布達佩斯，從小就對數學有濃厚的天份，22歲便拿到博士學位，他的早期靈感大部分來自數學家艾狄胥·帕爾（Erdős Pál）。艾狄胥的成就集中在離散關係的數學，而不是典型的連續變量上，也就是組合學、圖論等領域。

組合學（Combinatorics）、圖論（Graph theory）都是離散數學的範疇。前者主要解決組合模型中的存在、計數以及構造等方面的問題；後者作為組合學的分支，將對象之間的關係通過邊和節點組成數學結構圖。拉斯洛·洛瓦茲作為新一代數學家自然不會將離散數學侷限在純數學的理論研究中，他意識到離散數學在計算機科學中非常具有發展潛力，並著手研究離散數學可以解決計算機科學問題的方法。

最著名的研究是由洛瓦茲（Lovász）以及荷蘭數學家阿爾揚·倫斯特拉（Arjen Lenstra）和亨德里克·倫斯特拉（Hendrik Lenstra）的名字命名的LLL演算法（LLL lattice）。這種稱為LLL的算法將由整數組成的大向量分解為各種類型的最短向量的總和，也就是可以計算出空間中的點集與原點的距離。

最初的LLL演算法被應用將多項式時間（Polynomial time，P）以有理係數多項式表示，來找出他的實數近似值來解決固定維數的整數線性規劃問題。LLL演算法在數論、密碼學和通訊計算等領域也都具有顯著的應用，更是現今可以抵禦量子計算機攻擊的加密系統之一。

從計算機科學到數學──阿維·威格森

威格森於1956年出生於以色列海法。威格森最著名的成就之一就是闡明了隨機性在計算中的作用。在聊隨機性之前，我們先來聊聊什麼是P, NP：

P和NP是複雜性的類別，P問題是可以快速計算出來的問題，NP問題則是可以快速驗證的問題。

當問你17乘以19是多少時，你可能沒辦法馬上心算出來，但按一按計算機就一定能得出答案，那麼這個問題就是屬於P問題，包含了所有容易解決的計算問題。現在，問你323的所有質因數有哪些呢？問題複雜了許多吧！我們必須從2、3、5……開始慢慢找，正著找質因數很困難，如果我們反著找呢？先告訴你17、19是323的質因數，是不是只要把它們乘在一起就能驗證答案對不對了？這個例子就是屬於NP問題，包含了可能是很難解決的計算問題，但只要有答案就很容易被驗證正確與否。

科學家便提出了一個看法：「會不會其實P=NP？」也就是說NP問題有可能可以被簡單解決。威格森的主要研究就是將複雜性類別一一歸位，將多項式時間演算法完全去隨機化，更快速的得到結果，並把隨機演算法和複雜性理論結合，提出P = BPP（bounded-error probabilistic polynomial time），回答了多年來對P/NP問題的疑問，大大拓寬了資訊界的未來視野。

威格森對貨幣加密的零知識證明也很有貢獻，零知識證明簡單來講就是在不透露任何資訊的情況下驗證正確性的方法。最初是在保護個資方面，像是我們想要申請某個購物網站的會員，我們就必須提供姓名、電話、出生年月日等各種資料來驗證我們的真實身份，但在零知識證明之下我們可以選擇提供「零密碼證明」、隱藏真實密碼，達到完全保護個資的目的。

有些人可能會有疑問說數學有用嗎？數學不是只能拿來算錢嗎？那你就錯了！數學一直扮演著承載科學的角色，躲在背後支持著科學發展，不難發現每一門科學都或多或少跟數學交織在一起，每一年頒發的阿貝爾獎、菲爾茲獎、諾貝爾獎都顯現出這些數學家、科學家正將科學這個巨網越織越堅固。一起為今年的得獎者送上掌聲吧！

參考資料

• The Abel Prize
• Wikipedia – László Lovász
• Wikipedia – N versus NP problem
• nature – Abel Prize celebrates union of mathematics and computer science
• 新智元導讀 – 以色列數學家威格森獲阿貝爾獎

• 文／魏瀟（領研網）

2019 年阿貝爾獎，首位女性得主

3 月 19 日，美國數學家凱倫・烏倫貝克（ Karen Uhlenbeck ）摘下學界最高榮譽之一—— 2019 年阿貝爾獎（ Abel prize ）。這項常被譽為「數學界諾貝爾」的獎項，終於迎來了首位女性獲獎者。

阿貝爾獎從 2003 年開始，獎金為 600 萬挪威克朗（約合 2610 萬新台幣），歷屆獲獎得主包括《美麗心靈》主角的原型約翰・納許（ John Nash ）、今年剛剛去世的著名數學家邁克爾・阿蒂亞爵士（ Sir Michael Atiyah ）等。該獎項在數學界擁有崇高地位，與四年一度的菲爾茲獎齊名。而菲爾茲獎迄今為止也只有一位女性獲獎者：伊朗數學家瑪利亞姆・米爾扎哈尼（ Maryam Mirzakhani ）。

現年 76 歲的凱倫・烏倫貝克，是美國得克薩斯大學（ University of Texas ）榮譽教授，並擔任普林斯頓大學（ Princeton University ）資深訪問學者、普林斯頓高等研究院（ Institute for Advanced Study ）客座教授。作為幾何分析（ geometric analysis ）領域的先驅之一，烏倫貝克在幾何偏微分方程、規範理論和可積系統等領域作出了重要貢獻，她提出的數學方法已經被今天的數學家廣泛使用。和年少成名又英年早逝的菲爾茲獎得主瑪利亞姆·米爾扎哈尼不同，凱倫·烏倫貝克擁有一個曲折又幸運的數學人生。

孤僻的少女

凱倫 1942 年出生於一個由工程師和藝術教師組成的美國家庭。這一個小時候喜歡和男孩子們在街上踢足球的女孩，進入學校後也顯得有些與眾不同——她最喜歡的事情就是偷偷閱讀藏在課桌下的科普書籍。

儘管還是個孩子，但是那時凱倫就已經展現出了一些孤獨科學家的特質：她喜歡漫無目的的在鄉間閒逛，將自己埋頭在文字的世界中，並夢想著能夠找到一份可以讓自己獨處的工作。凱倫後來在一本名為 《 Women in Mathematic 》的書中回憶道：

「我當時覺得自己將來不是當個護理師，不然就是成為研究學者，我就是對那些東西感興趣。但是我不想當老師，我覺得一切需要跟人打交道的工作都極其可怕。」

「女性學不了數學，因為從生物學角度上來說她們比男性更喜歡社交，所以這種需要單獨進行、與孤獨為伴的工作會讓女性無法適應」這是當時社會給婦女打上的標籤（這種刻板印象至今依然存在）。凱倫最開始在密歇根大學學物理，但是發現數學更契合她的特點和興趣，於是轉到了數學領域。不過她選擇開啟數學家生涯並不全是因為對智力的自信，而是周圍人的影響。凱倫甚至不確定自己是否適合進入研究所攻讀博士，但身邊認識的親友（包括她的男朋友）幾乎都決定繼續深造。她的擔心並非沒有道理：為了避免名校數學系男性研究者的絕對權威，她選擇避開普林斯頓或者哈佛大學，希望找到一個能夠讓自己不分心地研究數學的地方。最終，她先在紐約大學的庫朗研究所（ Courant Institute ）拿到了碩士學位，然後在布蘭迪斯大學（ Brandeis University ）獲得了博士學位。

迷惘與掙扎

和所有剛獲得博士學位的年輕人一樣，凱倫開始尋找能夠讓自己獲得長期動力和發展的研究課題。與此同時，她和男朋友奧爾克·烏倫貝克（ Olke Uhlenbeck ）結了婚，從凱倫·凱斯庫拉（ Karen Keskulla ）變成了凱倫·烏倫貝克（ Karen Uhlenbeck ）。這不僅意味著一段人生新旅程的開始，也為她帶來了另一個職業生涯上的障礙。奧爾克是一位生物物理學家，拿到了斯坦福和普林斯頓的 offer 。

但是這些學校拒絕給凱倫提供正式職位，只因為她是女性。

令人欣慰的是，奧爾克站在了妻子這邊。他拒絕了所有不願接受凱倫的學校，兩人最終加入了伊利諾伊大學香檳分校（ University of Illinois at Urbana-Champaign ）。

但這並不是故事的美滿結局。凱倫是香檳分校的數學教師，可是他們只把她當成教職員的家屬，並且希望她以一位家屬的身份行事。在那裡她被排除在教職人員的職業發展系統之外，沒人能為她當時十分特殊的職位提供任何指導和幫助。她的學術生涯也不怎麼順利，她不喜歡課堂教學工作，同時苦苦掙扎著尋找研究方向，還要面臨外界對於自己地位和能力的質疑——1976 年，她選擇離開香檳分校，去了位於芝加哥的伊利諾伊大學（ University of Illinois ）。

我們不清楚離開香檳分校是否是凱倫和奧爾克出現裂痕的原因。但是，她確實和丈夫分手了。面對新環境，她能依靠的只有自己。幸運的是，芝加哥的氣氛和香檳分校截然不同。校園裡不僅有幾位女教授可以為她提供職業發展上的支持，她的同事們也認可她作為一名數學家的價值——她終於找到了能夠為自己的學術研究提供反饋意見的環境。

獲得新生

事情開始步入正軌，凱倫為研究找到了經費支持，將自己從充滿著挫折與失望的泥潭中拯救出來。在獲得了穩定的資助和工作環境後，凱倫在 40 歲左右時終於開始嶄露頭角。在 1982 年前後發表的數篇論文是她在規範理論研究中做出的突破性貢獻：從四維分析楊-米爾斯方程式（ Yang-Mills equations ），為現代物理學中如標準模型、量子引力理論等眾多最令人興奮的研究，奠定了一定的分析基礎。

總結來說，她的這項工作可以看作為 1919 年由著名數學家赫爾曼・威爾（ Hermann Weyl ）提出、能讓愛因斯坦的廣義相對論更進一步的數學理論「續集」。愛因斯坦在他的廣義相對論中已經證明瞭如何比較兩個觀察者在引力場中不同位置所做的測量。在狹義相對論中，不同觀察者所做的測量可以很簡單地通過洛倫茲變換（ Lorentz transformation ）相互作用中找出關聯性，但是當測量者在引力場中的位置產生顯著差異時，對比較的測量結果會變得更加棘手。愛因斯坦的廣義相對論通過在時空幾何中使用觀察者之間的聯繫來解決這個問題。

威爾想知道他是否可以在電磁學領域做同樣的事情，因此開始了規範理論的研究，希望這項理論能在電磁領域找到上述的關聯。然而這一想法過於超前，三十多年後揚和米爾斯（ Yang and Mills ）進一步推動了這個模型的發展，但是也遇到了可能需要十年甚至更長時間才能解決的困難。

現在，凱倫接過了規範理論的交接棒，她最著名的研究是將規範理論應用於四維流形。她和  C． H ．陶布斯（ C.H. Taubes ）從四維角度分析了楊 – 米爾斯方程，為西蒙·唐納森（ Simon Donaldson ）的理論奠定了基礎，後者在 1986 年獲得了著名的菲爾茲獎。

雖然錯過了菲爾茲獎，但是凱倫在 1985 年成為了美國藝術與科學院院士，2000 年獲得了美國國家科學獎章，並在2007 年獲得了美國數學學會的 Leroy P Steele 獎，還入選了20世紀美國最重要數學研究者的短名單，如今又收穫了與菲爾茲獎齊名的阿貝爾獎。

現在看來這是個令人讚嘆的故事，但是組成這個故事的每個字都凝聚了女性在科學界艱難前進的汗水與淚水。

這個曾經希望能遠離他人的孤僻女孩，意識到了離群索居只會在漫長的人生中給自己造成傷害，最終毀掉的是職業生涯和與家人朋友的感情。

她不再迴避教學，並開始用自己的經歷去幫助年輕人：她向學生強調學術支持系統的重要性，告誡他們不要成為那種閉門不出、獨自埋頭苦算的老派數學家——和同事們建立聯繫能幫你更好地克服職業生涯中可能遇到的困難。

凱倫·烏倫貝克成為了現代數學領域中性別多元化的標杆人物，但她也坦白地表示過這給自己帶來的挑戰性：「因為我需要做的其實是告訴學生，不完美的人也能成功……我在他們眼中可能是個有名的數學家，但是，我也是個普通人。」

數學成就了她，數學也改變了她。

本文轉載自领研网，原文〈“数学界最高奖”阿贝尔奖首次颁给一位女性，她的人生曲折又幸运〉