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破解五次方程式的公式解:阿貝爾誕辰│科學史上的今天:8/5

最遲在西元九世紀,波斯數學家花喇子密就解出二次方程式的公式解,但三次與四次方程式直到十六世紀中期才破解。雖然相隔甚久,但這也代表人類的數學終於進展到一定程度,才接連破解三次與四次方程式。再來五次方程式的公式解也是指日可待吧?當時的數學界都如此相信。

不料將近三個世紀過去了,每個前來挑戰的數學家都鎩羽而歸,即使萊布尼茲、歐拉、拉格朗日、高斯等大師也都無功而返。誰也沒想到,最後竟會由一位遠在挪威這邊陲之地的後生小子解開這高懸兩百五十年的謎題;可嘆的是,其天才竟未獲賞識,26 歲就死於貧病交迫。

阿貝爾(Niels Henrik Abel, 1802-1829)13 歲之前都是由擔任牧師的父親在家親自教導,上了中學卻遇上脾氣暴烈的老師,學業成績岌岌可危,幸而 1818 年新來的年輕數學老師何姆波(Bernt Holmboe)循循善誘,阿貝爾迅速展露其數學天才,除了學校課程,還狼吞虎嚥歐拉、高斯、拉格朗日等大師的原著。

高中最後一年,初生之犢的阿貝爾竟大膽挑戰五次方程式,宣稱他已找出解法。何姆波找不出錯誤,轉寄給兩位大學教授確認,他們也挑不出毛病,於是寄給一位北歐頂尖的數學家,請他審閱無誤後發表於期刊。但畢竟一個高中生解出連偉大數學家都束手無策的難題也太匪夷所思,為求謹慎,他請阿貝爾以實例演示一遍。阿貝爾在構思範例時才發現其中有錯,但他並未因此受挫,反更挑起征服五次方程式的決心。

然而就在他 1821 年就讀大學之前,就因父親過世而生活陷入困頓,所幸那兩位大學教授賞識其天分,不但資助他的學費,還幫助他於 1823 年到丹麥與其他數學家交流。結果最大的收穫是認識了後來的未婚妻克莉絲汀。

回到挪威後,阿貝爾以不同的角度審視五次方程式,他不再尋找解法,相反地,他要證明根本不存在簡單公式解,也就是不可能像二次、三次、四次方程式那樣,求出用四則運算與根號將係數加以組合的公式;這也是為什麼先賢前輩注定徒勞無功。

因經濟拮据,阿貝爾將論文濃縮印製成只有六頁的小冊子,寄給一些數學家。可能是過於精簡以致艱澀難懂,竟都石沉大海。

1825 年,阿貝爾再取得獎學金出國留學。他先在德國認識一位視他為天才的好朋友,再於 1826 年來到巴黎。他滿懷信心地將新完成的超越函數論文寄給法國科學院,以為將因此聲名大噪,覓得教職。不幸,分派到的審閱者一人老態龍鍾,無力了解;另一人則是自負的柯西,根本沒打開看。阿貝爾苦等幾月毫無消息,又得了肺結核健康惡化,只好返回家鄉,靠當家教掙錢;但他仍繼續埋首完成橢圓函數的重要論文,並投寄期刊發表。

1829 年 4 月 6 日,數學天才阿貝爾病逝於床上;臨終前愧疚地要求大學好友照顧始終不離不棄的未婚妻。4 月 8 日,德國尚不知其死訊的朋友欣喜地寫信通知阿貝爾:教育部要給他工作。1830年6月,法國科學院宣布阿貝爾與雅可比共同獲頒數學成就大獎。可惜這些肯定與榮耀都來晚了一步。

  • 2002年,挪威政府為了紀念阿貝爾兩百年誕辰,設立阿貝爾獎,比照諾貝爾獎,每年頒獎鼓勵傑出的數學家。

 

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

 

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關於作者

張瑞棋

1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。自小喜愛科學新知,浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,更成為重度閱讀者。當了中年大叔才成為泛科學專欄作者,著有《科學史上的今天》一書,如今又因翻譯《解事者》,而多了個譯者的身分。

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