專業知識寫作如何寫的不煽情卻令人有感？──《知識內容寫作課》

• 文／游森棚｜臺灣師範大學數學系教授

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。

這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。

沒有數字的數學是數學嗎？！

讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除了像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行，不知不覺進了大二。

然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前面沒弄懂，後面就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不出來，更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太划算了。

我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到了大三時，修了一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字只出現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板，可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸，掙扎忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明 Jordan Curve Theorem 這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇了，那一瞬間，我覺得我在外星球上……

這是數學嗎？！

「數學」研究的是純粹的論證與推理

是的，這是數學。經過大學數學系，我知道從定義出發，純粹的論證與推理，推出夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表，三七是二十一也是有理由的。

如果我們抽離出最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。

用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結合，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。

作者的野心藏在這本書中

這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。

由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。

要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。

書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學家的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……

宏觀與有趣的文筆，道出數學的精妙

最後再回到讓全班譁然的 Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別─這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……

我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還只是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求了，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。

無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學家，體會當代數學的面向，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

很可惜，我們人類的眼睛接收到的視覺，以及所有的感官，例如觸覺、嗅覺、聽覺、味覺等，甚至是我們的記憶，其實都不太可靠，又都會受到各自觀察角度跟生活經驗的影響，而扭曲了觀察結果，因此做好科學觀察，便是科學探索的第一道關卡。

科學是探索世界的一種「過程」，而過程的產出就是知識，如果過程出了問題，產出也很可能會失真，就像戴上了墨鏡，看出去的世界都是陰陰暗暗的，總不能說世界本來就是這樣。「那就把墨鏡摘下來就好啦！」問題是，我們很容易堅信自己沒有帶墨鏡，更不知道怎麼摘下來。所以要能科學觀察，就要先了解怎樣讓過程，也就是科學方法，符合科學的原則。原則主要有三個：

第一個原則是：

要讓結果是科學的，所收集的證據必須是可以被觀察、被量度、被經歷過的。空口說白話不能當成證據，要想證明什麼，一定要是現實生活中可以「量測」得到的現象才行。例如在〈長頸鹿啊長頸鹿，你的脖子怎麼那麼長？〉這篇文章中，科學家如果想知道脖子長的長頸鹿是不是比較有生存優勢，不能只是想當然爾，而是得去紀錄，去量長頸鹿吃過的灌木高度，最好也把他們進食的過程拍下來。

第二個原則是：

在過程中，根據所觀察、量度、經驗的事實，去證明「假說」正確還是不正確。假說就是我們根據已經知道的知識，包括科學事實和科學原理，對想研究的自然現象及規律性提出的推測和說明，是一個暫時可以被接受的解釋。

為了避免做調查跟實驗時發生錯誤或誤解，或是運氣太好或太不好，調查跟實驗的步驟、結果都必須要能夠讓其他研究者能夠照著做看看，這就是「可重複性」。例如在〈政權轉移，天機早已透漏？──「熒惑守心」與歷史上的政治陰謀〉這篇文章裡，你會看到為什麼火星的位置跟帝王的政權會被錯誤但刻意的連結起來，這就是還不具有科學思維的古人，對於「可重複性」這一點的不理解。看完之後也可以想想看，我們在看到令人嘖嘖稱奇的科學新聞時，例如「吃ＸＸＯＯ能預防癌症」，就算看起來合邏輯，也都該問問自己「有其他研究者重複實驗過了嗎？」

第三個原則是：

整個過程都必須是客觀的。所謂客觀，就是調查與實驗者的意志，不能夠影響步驟的進行和數據的取得，就算實驗者百分之百確認實驗結果，也必須要以各種方式和實驗設計，來減低實驗者可能帶來的影響，這就是「把墨鏡摘下」的意思。

例如在〈海鳥食安大危機：不死的塑膠垃圾〉這篇文章中，就算對海鳥誤食塑膠垃圾的現況再生氣，如果想要知道海洋塑膠都到哪裡去了，也得從各種地區的各種海鳥身上做調查，而不只是看網路上的海鳥屍體圖片就下定論，或是只到「最常發現體內充滿塑膠垃圾的屍體」的地方採樣本。

客觀也意謂著，科學家在實驗取樣的時候，要重視隨機性跟代表性。就算是針對特定實驗對象，反覆實驗，也要盡可能讓施測時的條件一致，避免實驗者或被實驗者刻意造成的差異。這一點，在以人類為對象的實驗上尤其要特別小心，像是有些針對超能力的研究，就是違反客觀原則的重災區。

為了滿足這三大原則，科學家需要在整個過程中，完整保留所有紀錄、結果和資料。這可不是要讓記性差的科學家可以記得之前到底實驗是怎麼做的，而是能讓之後的科學家能重複實驗步驟。而且，科學家也應該把實驗的紀錄、結果和資料保留好，盡可能公開接受檢驗；若有違背科學原則的隱瞞或刪減，通常會在各方的檢視下或他人重複實驗下現形。

就算對自己的科學觀察有自信，符合上述科學原則，也不代表就萬無一失。所以科學家得對於「自己支持或信任的假說和理論被新出現的事證推翻」的可能性保持開放、彈性和豁達。

當然，如果你約會遲到半小時，發現女朋友或男朋友很生氣，你肯定不會還在那邊觀察、提出問題假說，然後重複實驗，然後再觀察，確定對方是不是因為你遲到半小時才生氣，或是如果遲到二十八分鐘，是不是就不會生氣……。科學觀察，的確不容易！

——本文摘自《晨讀10分鐘：科學跟你想的不一樣》，2019 年 6 月，親子天下出版。

社會中總會有許多來來去去的科學議題，從基改、食安到能源議題，每一個都能看到正反兩方戰到天荒地老。一方總是主要訴諸理性／科學／數據，另一方則是走感性／案例／經驗的路線。

這類的爭議總是來來去去，理性方每每準備好詳盡的數據與論述來回應，感性方則是以打動人心的故事來說服大眾。一兩則個案並不能代表什麼，大範圍的抽樣才有可信度才對啊。很多理性方的人不懂，明明證據都擺在眼前，為何就是有那麼多人不願意接受。

在指責他人沒知識或不理性之前，或許可以先瞭解一些心理學，知己知彼才能百戰百勝。直接講結論就是，人天生傾向於接受個案而不是數據。

不管數據說什麼，個案就是能說服你

有個實驗很有意思，研究找了 317 位大學生，聲稱研發了一個新藥，要請他們評估願不願意使用這個藥物。告知方法會說明這個藥物的成功率經臨床測試的成功率是多少（90%, 70%, 50%, 30%），同時也會講一位個案接受藥物後的情況，個案情況有成功也有失敗也有不確定。個案的說明內容大致如下：

1. 個案情況良好：小強使用這個藥物後成效良好，病毒都被清除了，醫師認為病情不會再復發。治療完一個月後情況良好。
2. 個案情況不佳：小強使用這個藥物後成效不好，病毒並沒有完全被清除，醫師認為病情還在持續。治療完一個月後小強失明了且失去行走的能力。
3. 個案情況不確定：小強不確定使用藥物的選擇是不是對的，醫生也無法確定病毒是否都被清除了，同時也不肯定病情是否還會持續。治療完一個月後小強的情況時好時壞。

每位都會閱讀到關於此藥物的成功率以及一位個案使用的情況。為了避免先後順序的影響，有一半的人會先被告知成功率後再知道個案，另一半的人則相反。理論上要不要服藥應該著重於藥物的成功率，畢竟這是經過臨床驗證來的，個案因為只有一個很難做得準。

但是結果發現：

同樣是告知有 90% 成功率的藥物，後面加上失敗的案例的話，人們接受的程度就會由 88% 銳減為 39%，相當驚人的差異。而更有意思的是，同樣是告知成功率只有 30%，若加上一個失敗的案例，那麼接受程度只有 7%，但若是加上成功案例的話，接受程度會爆增到 78%！

我把兩個比較極端的例子獨立出來：

• 90% 成功率+失敗案例 = 39% 接受度
• 30% 成功率+成功案例 = 78% 接受度

看到上表數據就知道，個案的成功與否影響接受度非常大啊！幾乎是只要有成功個案就很容易接受、個案失敗就很難接受。

這樣數據派根本就是全面潰敗啊，雖然可以打臉打得很爽，但就是不容易說服人接受。

為什麼會這樣呢？我們來假想一個情況：

如果要你對一個不識字、不懂統計學概念的人談這件事，是講個案比較容易，還是讓他理解數據比較容易？

當然是前者。可以這樣說，對於他人的經歷的理解幾乎是每人都能作到，這或許是生物本能之一。然而對數據的解讀與理解卻是需要後天學習的，沒學過統計學就無法理解薪資平均數並不是指有一半的人有這樣的收入。所以說理解個案比理解數據容易多了，當然也更快。

別讓天性騙了你：透過學習成為有理性的人

常看到的推銷、電視購物、廣告，就很常訴諸這種個案效果，不需要名人，只要找出一兩位個案站出來，說他用了這個產品多久就產生神奇的效果。對產品有疑慮的人一看了成功個案後，很容易就被說服而購買，這也是消費心理學的絕妙手法之一啊。

所以在電視購物、網路看到某個產品多厲害多厲害，要打電話或刷卡之前，請先想想：這效果是個案還是大部分人都會有用呢？千萬別因個案就以為自己也適用。也請記得廠商肯定有高人指點，知道透過成功個案會比較讓人接受，因此你可千萬別上當啊。

另如果是要筆戰，身為理性的一方，就該瞭解到要說服大眾光端出數據肯定是不夠的，得要雙管齊下、理性與感性同時並進才能獲得最佳效果。

心理學有非常多的例子來說明人有太多不理性的決策模式，之後有機會再一一跟大家介紹。那既然人生來就有不理性的決策，那是不是就沒救了呢？對心理學家而言，辭典裡是沒有「沒救了」這三個字的。固然天性影響行為甚大，但後天學習才是決定人最終將會是什麼姿態的關鍵。

天性的影響正說明我們必須對科學素養的培養非常在意又認真，因為唯有透過後天學習來增強理性的部份，才能夠盡量做出相對合理的決策，才有資格自稱為理性的人。

研究出處

• Freymuth, A. K., & Ronan, G. F. (2004). Modeling patient decision-making: the role of base-rate and anecdotal information. Journal of Clinical Psychology in Medical Settings, 11(3), 211-216.

編按：身處在這越來越複雜世界，面對這麼多複雜議題，要做出合理的決策如此不容易，到底該怎麼辦呢？

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