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牛頓冷卻定律:想來一杯溫度完美的咖啡?先學好微分方程吧!──《超展開數學約會》

臉譜出版_96
・2018/04/09 ・3726字 ・閱讀時間約 7 分鐘

第二週早上,我(小昭)刻意選擇跟上週一樣的時間去可大可小吃早餐, 但沒遇到世杰跟他的數學講義。我有點失落,以為建立起來的默契, 看來只是自作多情。我要用貝式定理來算一下得扣世杰幾分。

一走進教室,同學們散落在後方的座位聊天、吃早餐、玩手機。世杰獨自坐在第一排津津有味地讀著講義。真的很喜歡數學呢,我看著他的模樣,剛剛的失落一掃而空。他看到我,不過可能是在思考數學吧,他又低下頭,一會兒才再抬頭跟我打招呼。

「早安!」
「你原來已經在教室了。我剛去吃早餐時還在想會不會遇到你。」
「遇……遇到我嗎?妳、妳說妳想像會遇到我嗎?!」世杰臉上露出驚訝的表情,我剛剛的話太積極嚇到他了嗎?
「哈,你幹嘛裝得那麼誇張,好好笑噢。」我趕快用開玩笑的語氣回答。

他挪開椅子上畫有數學符號的背包。

連喝個早餐咖啡都和數學有關?! 圖/pixabay

「我在想一個跟咖啡有關的數學。」在我坐下後他說。

我沒預期到才三句話就進入數學的話題,就像電影開場五分鐘就主角就跟壞人生死決鬥一樣讓人措手不及。我伸手抓口袋裡的手機,思考怎樣才能在不被發現的情況下跟欣妤求助。

「怎樣的數學呢?」
「假如早上妳泡了一杯熱咖啡,冰箱裡還有一杯冰牛奶,妳想在10分鐘後喝杯涼一點的咖啡。妳有兩個選擇,先把冰牛奶倒進咖啡裡,靜置 10 分鐘。或先放 10 分鐘後,再倒冰牛奶。妳會選哪一個?」

我鬆了口氣,還好他不是要我立刻解一道方程式。是非題至少有一半的答對機率。

「我選第二個,感覺比較冰。這跟數學有關嗎?」
「有噢,溫度是可以算出來的。」

世杰拿筆寫下數學式子,我看見了 y,y 右上方還有一撇。那是什麼意思?不小心畫到的嗎?

「小昭,妳幹嘛坐那麼前面啊?」欣妤的聲音從後方傳過來。太好了,我趕快起身離開。
「欣妤學姊!不好意思,下課你再解釋給我聽好嗎。」
「就說不要叫我學姊了。他誰啊,啊,世杰嗎?」欣妤壓低音量說,我點點頭。世杰禮貌地跟欣妤打招呼後,繼續看講義。我小聲地告訴欣妤剛剛的狀況,感謝她的及時出現,否則我就要出包了。

「右上方那撇是微分啦。咖啡溫度的數學,這我有印象。妳等我問大家。」
欣妤在群組裡連發了好幾則訊息,裡面有「咖啡」、「溫度」、「微分方程」、「混合」等字眼,每一個字我都看得懂,但串在一起就變得陌生。

「妳剛剛忽然離開,他會不會受傷啊。」欣妤看著螢幕打字邊說。
「好像有點沒禮貌……可是如果繼續坐著就穿幫了。」
「不然妳跟他說下午去咖啡廳做實驗,這樣就能順理成章地約會啦。放心,我會在那之前幫妳準備好需要知道的數學知識。」欣妤抬頭看我,兩眼發亮,一副比我還期待的模樣。

咖啡廳裡的數學實驗室

「兩杯熱咖啡,再給我一份冰牛奶。」世杰從櫃檯走回來。
「這間咖啡廳很棒哎。」我們坐在靠窗座位,旁邊放了個裝咖啡豆的大麻布袋,跟椅子差不多高。
「好復古的桌椅。」
「我猜不是復古,老闆當初開店時說不定還是挑最新款式的。」世杰調皮地踩了踩地板,發出嘎嘎聲響,和老闆娘磨豆的聲音,一起融合在店裡的爵士樂裡,賦予這間咖啡廳一種獨特、經年累月沉澱出的優雅氣氛。

「世杰老師的咖啡廳數學課要開始了嗎?」
「好,妳聽過牛頓冷卻定律嗎?」

我點點頭,心想欣妤真會猜題。她只聽到咖啡兩個字,就可以猜出世杰會用到哪些數學。聽說他們還有去問世杰的同學孝和,或許孝和也幫忙給了些建議。

「冷卻定律的意思是,我們點了一杯熱咖啡,從沖泡好的那一瞬間起,它的溫度就會開始下降,下降速度跟咖啡此刻的溫度與室溫差距有關……」世杰解釋起牛頓冷卻定律,我在三小時內第二次聽到這個理論, 但對它還是非常陌生。

「你們的咖啡來了,起士蛋糕是招待常客的。」
「老闆娘都認識你,好厲害噢。蛋糕真好吃。」我挖了一小塊送入嘴中,此刻我非常需要咖啡和糖分。
「我還滿喜歡吃他們的起士蛋糕。」世杰也挖了一塊蛋糕。我原本有些擔心他眼裡只有數學,其他都沒興趣,但現在看起來應該是我多慮了。他喜歡探索自己的興趣, 同時也願意廣泛接受其他事物,回去又多一項要列入貝式定理計算的項目了。

好吃的起司蛋糕也可以替戀情加分喔。圖/pixabay

「我大概懂你說的,溫度變化能用斜率表示,變化又跟咖啡溫度和室溫差距有關,所以可以列出等式。然後……算出咖啡從泡好開始,每分鐘的溫度變化。只是,這樣跟牛奶先倒後倒有什麼關係呢?」

我一口氣背出群組裡的大家幫我整理好的台詞。「不用講太多, 讓他以為妳數學不錯就好。剩下來給他發揮吧。」離開前欣妤這樣告訴我。把數學當成國文在唸,這對我來說不是太陌生的一件事。

世杰把冰牛奶倒入其中一杯咖啡,在餐巾紙上寫下算式,

「有噢,當冰牛奶倒進熱咖啡,假設牛奶跟咖啡的比熱相同, 熱咖啡 200 克,90 度。牛奶 5 度,50 克。混合後的咖啡牛奶就是 73 度。」
「噢~」我湊近看式子,裝出一副很有興趣的模樣。
「可以嗎?各自的比例乘上各自的溫度。」世杰補充,我心虛地點點頭。

還好世杰沒察覺出來,此刻他是數學世界的導遊,用介紹知名景點的口吻,指著加牛奶的咖啡說:「所以囉,如果先倒冰牛奶,咖啡就會從 90 度下降成 73 度,之後的 10 分鐘再慢慢變涼。還記得我們剛剛說的,熱咖啡變涼的速度,取決於咖啡和環境的溫度差。比較涼的咖啡,降溫速度會比較慢。」他邊寫邊說。

假設咖啡一開始的溫度是 C,周遭環境溫度是 s,溫度隨著時間 t 的變化是:


k 是常數。現在多了溫度 m 的牛奶,混合後咖啡占整杯拿鐵的比例是 x,則先混合後靜置的狀況,降溫的變化可以寫成:


「中括號裡面的 xC-(1-x) m 就是我們剛剛算的 73 度,咖啡跟牛奶混合後的狀況。再利用微分方程,就可以解出來了。」

Napkin Math(餐巾紙上的數學),我總以為這是只有電影裡才發生的畫面。

「你學過微分方程了嗎?」我說出阿叉在群組裡的問題。
「下學期才要修。」
「那你怎麼會?」
「因為好像還滿有趣的,就稍微翻了一下。微分方程告訴我們, 混合後的拿鐵溫度 T1 隨時間 t 的變化:

「妳研究一下,我去拿另一杯冰牛奶。」

世杰起身走去吧台,我趕快把公式全部拍到群組裡,再補上一句:

這到底是什麼?
先倒牛奶再靜置降溫的公式。
不用懂整個公式,只要記得 x 跟 (1-x) 是混合的意思,e-kt 就是放著降溫的過程。

阿叉跟商商回覆我。

我想起中午我們的確有討論過,x 是混合的比例,比方說 30% 的黑色跟 70% 的白色混合,就可以用 x 跟 (1-x) 來表示。e-kt 則是像以前理化課學的半衰期,指數上頭有個 -t,表示隨著時間減少,而且不是線性遞減,是每隔一陣子少幾倍的那種指數遞減。

欣妤補了一句:括號裡面的先算,所以是先混合,再降溫。

從他們的口中,公式變得好像一幅畫,這邊是一個花瓶,那邊是另一扇窗戶。雖然細節我還是不懂,但至少稍微能理解這個式子了。耳邊傳來地板嘎嘎聲響,世杰捧著一杯冰牛奶走回來。

晚一點倒牛奶,咖啡比較涼

「冰牛奶來囉,我就省略計算過程,第二種狀況咖啡溫度 T2(t)是:


中括號裡的是放涼一陣子後的黑咖啡溫度,然後用剛剛講的比例乘以各自的溫度,平均起來,就是先放涼,再加冰牛奶的狀況。」我看了看式子,有 e-kt 的是靜置降溫,有 x 跟 (1-x) 的是混合,括號裡面的要先算,表示事先發生的事情。

「所以這個式子的確是先降溫,然後再混合。」我覺得有點開心,我竟然可以解釋這個式子哎。世杰點點頭,把冰牛奶倒進去第二杯咖啡,邊攪拌邊說:「妳有興趣的話可以試著推導看看,可以證明不管 t 是多少, 都可以得到 T1(t)> T2(t) *,證明的關鍵在於牛奶溫度 m 比室溫 s 要小。」

「嗯嗯不用了沒關係,我相信你是對的。」世杰把杯子推到我面前。
「妳現在喝喝看這兩杯,哪一杯比較涼。」
「這杯真的比較涼哎~你好厲害!」
「沒有啦。是微分方程厲害……」世杰露出不好意思的笑容。阿叉的建議果然很中肯。

 

*編按:算式結論原誤植為 T1(t)< T2(t),已更正。(2019/3/12)

 

 

本文摘自《超展開數學約會:談個戀愛,關數學什麼事!?》,臉譜出版

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臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。

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恐龍稱霸地球的秘訣,竟是牙齒自帶避震器?——《追光之旅:你所不知道的同步輻射》

天下文化_96
・2021/09/12 ・1747字 ・閱讀時間約 3 分鐘

《侏羅紀公園》系列電影掀起大家對恐龍的好奇,但其實科學家早就在研究遠古時代的各種生物。以恐龍為例,平均每星期會發現一種新種恐龍,每年大約會發現五十種新種恐龍。而在探討物種起源及鑑定遠古生物領域,同步輻射分析技術也展現了它的獨特價值。

例如,南非威特沃特斯蘭德大學(University of the Witwatersrand)領導的國際科學家團隊,針對一些世界上最古老的恐龍蛋胚胎頭骨,進行 3D 複製重建,發現牠們的頭骨生長順序與當今的鱷魚、雞、烏龜和蜥蜴相同,研究成果發表在《科學報導》(Scientific Reports)上。

美國自然歷史博物館收藏的恐龍蛋化石,內部留有胚胎構造。圖/WIKIPEDIA

在台灣,由加拿大多倫多大學教授賴茲(Robert Reisz)與台灣學者組成國際團隊,花費兩年時間,運用超高解析二維紅外光譜顯微術,在活躍於一億九千五百萬年前的雲南祿豐龍胚胎股骨化石中,發現殘留有機物,找到古化石內保存複雜有機物的最古老紀錄。這個破天荒的發現在 2013 年登上了《自然》(Nature)雜誌封面。

此外,在祿豐龍肋骨化石的微血管通道中,國輻中心研究員李耀昌也發現全球最古老且保存完整的膠原蛋白與赤鐵礦微粒聚晶。

「即使經過億萬年時空轉換,恐龍的軟組織經血液中鐵的氧化及碳酸鈣化包覆作用後,還是有機會被保存下來,」李耀昌表示,這將有助科學家進一步了解恐龍的生理機能與遺傳密碼。

李耀昌團隊將成果發表於《自然通訊》(Nature Communications)期刊,並獲選為《發現》(Discover)雜誌「 2017 年全球百大發現」第十二名,是近年來台灣學者主導的研究成果首度登上《發現》雜誌全球百大發現。

英國 Dinosaurland 化石博物館的鐮刀龍巢與蛋化石。圖/WIKIPEDIA

發現牙齒裡的避震器

恐龍胚胎裡有膠原蛋白,恐龍的嘴巴裡則是自帶「避震器」。

國輻中心團隊與台灣博物館、台灣石尚博物館、中國大陸北京自然博物館、加拿大安大略皇家博物館,以及中國大陸地質科學院地質研究所合作,蒐集十五種肉食性與植食性恐龍牙齒,利用同步輻射穿透式 X 光顯微術與現代的眼鏡凱門鱷牙齒進行研究比對,首度發現肉食恐龍牙齒具有避震結構。

在肉食性恐龍牙齒的琺瑯質與象牙質中間,存在一層相對柔軟且布滿微細孔洞的被覆牙本質層,可以保護牙齒,避免因撕裂骨肉造成牙齒瞬間斷裂。這項研究結果修正了過去對於原始爬蟲類牙齒結構的認知,因此登上國際知名期刊《科學報導》(Scientific Reports)與各大媒體。為了蒐集恐龍牙齒進行研究比對,國輻中心研究員王俊杰透露了一段小故事。

「當時我到桃園興仁花園夜市拜訪鱷魚攤,沒想到使用斜口鉗幫鱷魚拔牙時,斜口鉗當場應聲斷裂,只好再買一把硬度更高的老虎鉗,費了好大一番功夫才順利拔下鱷魚牙齒。」

透過同步輻射 X 光顯微鏡發現暴龍牙齒藏有「避震器」,保護牙齒不致斷裂。1:X光下的暴龍牙齒構造。2:暴龍牙齒外觀。 3:無避震結構的牙齒內部應力分布。4:有避震結構的牙齒內部應力分布。圖/王俊杰提供

牙齒的特殊結構,使得肉食恐龍成為頂尖獵食者,稱霸地表一億六千五百萬年。相較於人類咬合力約為 40 公斤、眼鏡凱門鱷咬合力約 1,000 公斤,以及咬合力可達 2,000 公斤、目前世上咬合力最大的動物—— 灣鱷,「暴龍的咬合力約 6,000 公斤,且拖行的獵物體重可能超過 1 公噸,但靠著微小的避震結構設計,便不致因巨大應力而造成牙齒斷裂,」王俊杰說。

遠古生物的活動型態一直是科學家亟欲解開的謎題,透過同步光源高解析度檢測技術,可以幫助我們了解古生物化石組織結構的細微差異,提供了一種嶄新的古生物分類與古生態研究檢測方法,而藉由恐龍胚胎化石中探測到的有機質殘留物,未來將可逐步解開更多遠古生物的奧祕。

——本文摘自《追光之旅:你所不知道的同步輻射》,2021 年 8 月,天下文化

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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。
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