要將數學理論說到路人和女兒都能懂！——《用數學的語言看世界》導讀

本文與 Panasonic 合作，泛科學撰文 

●以下科學研究內容作為知識分享，不直接與Panasonic A La Uno全自動洗淨馬桶產品功能連結

在做家務的痛苦排行榜上，「刷馬桶」絕對名列前茅。明明天天都在沖水，但過不了幾天，馬桶內壁邊角總會浮現黃黃的水垢、角落發黑的霉斑，甚至是那些刷掉又長出來的粉紅色污垢（黏質沙雷氏菌）。

許多市售衛浴設備常標榜「神奇抗污」或「永久不沾」，讓人誤以為安裝後便能永保潔淨。然而從材料科學的角度來看，世上並無能使污垢憑空消失的魔法。所謂「耐污」的實質機制，並非打造完全不沾染髒污的材質，而是調整表面的物理與化學屬性，使水垢和微生物難以強力附著。一旦降低了污垢與內壁之間的附著力，透過日常水流沖刷，便能輕易地將髒污帶走。

為什麼污垢「黏不住」？ 

要搞懂為什麼某些特殊表面能做到「耐污」，我們得先像偵探一樣，拆解馬桶裡的髒污究竟是怎麼「抓緊」材料表面的。馬桶內壁的污垢主要有兩大難纏的元兇：

1. 水垢與礦物沉積*1：我們日常使用的自來水中含有鈣、鎂等金屬離子。當水滴在表面經歷反覆的濕潤與蒸發乾燥循環時，這些離子會逐漸結晶析出，變成硬度極高、緊緊「卡」在微觀縫隙裡的礦物質水垢。
2. 生物膜與有機物*2：包含尿液中的無機鹽、油脂殘留，以及細菌入侵後分泌出像超強膠水一般的聚合物，所組成的黏滑防禦大本營。

這兩大類污垢想要在材料上「落腳」，前提是它們必須能在表面找到足夠的附著點與黏合力。那麼，材料科學家是如何讓這些髒污「站不穩」的呢？答案就藏在「表面能（Surface Energy）」與「濕潤性（Wettability）」這兩個核心概念中。

當我們把水滴在某個表面上時，水滴會聚成一顆圓滾滾的水珠，還是迅速攤平開來？這取決於表面的特性：

• 疏水路線（Hydrophobic）*1：具備低表面能的疏水表面，能顯著減少水分子或污染物與表面之間的極性作用力與氫鍵。水滴在這種表面上會因為表面張力而收縮成水珠，當水珠滾動滑落時，就能順便把表面的灰塵與礦物質顆粒帶走，這就是著名的「自清潔效應」。
• 親水路線（Hydrophilic / Superhydrophilic）*2：相反地，極度親水的超親水表面則會強烈地吸引水分子，在材料最外層形成一層薄薄的「水化層（Hydration Layer）」。這層水化層就像是實體的液體盾牌，讓油污、蛋白質或細菌無法直接接觸到材料基底，只能漂浮在水膜上方。

如果要用攀岩來比喻：傳統粗糙的表面就像是有許多凹槽的攀岩牆，髒污就像攀岩者，需要找到落腳點並用力撐住才能攀附；而我們做的是抽掉把手點，或是在把手上塗上潤滑油，讓髒污找不到施力點，自然難以停留。

不給細菌「握手」的機會

解決了水垢，下一個更棘手的對手是「細菌」。

馬桶內壁那些黑黑粉粉、摸起來滑滑的污垢，在微生物學中被稱為「生物膜（Biofilm）」。細菌並不是孤立生長的，當單顆細菌落在表面後，如果覺得環境舒適，它就會開始分泌胞外聚合物（EPS），這是一種天然的超強膠水。細菌們用這種膠水把自己與同伴緊緊黏在一起，並築起堅固的防禦堡壘，這時一般的沖水就很難把它們沖洗乾淨了。

根據《Nature Communications》與《Microsystems & Nanoengineering》的學術期刊研究指出，要阻止生物膜形成，除了化學上的抗菌，材料的「表面微幾何結構」扮演了至關重要的角色。

材料科學領域中有一個著名的「附著點理論（Attachment Point Theory）」：

1. 粗糙與微孔洞表面：如果材料表面存在許多微小的裂縫、氣孔或微米級凹洞，細菌（體積通常約 1 到 3 微米）就會興高采烈地鑽進這些小凹槽裡。這些凹槽不僅提供了極佳的機械咬合支點，還能幫細菌擋掉水流的沖刷。
2. 極致平滑與微結構表面：相反地，如果材料表面做到極致平滑，完全沒有微米級的缺陷；或者反過來設計出尺寸遠小於細菌的奈米結構，細菌的足跡構造（如鞭毛或纖毛）就無法在表面找到穩固的「接觸附著點（Contact Points）」。

當細菌發現自己在這個表面上連「手都握不緊」、隨時會被水流吹走時，它就無法順利定殖並分泌膠水築巢。此外，現代衛浴結構在設計時，也越來越強調「一體成形」與「無接縫工藝」。消除接縫與死角，等於直接拔除了細菌與水垢最喜歡的避風港。

當材料、結構與流體科技組隊聯防 

了解了材料化學與微觀幾何，我們就能勾勒出一座現代耐污馬桶的完整防禦體系：【材料層（低附著力）】+【結構層（無縫平滑）】+【動態流體層（泡沫與水流剪切力）】= 高效清潔！

以市面上備受矚目的 Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶為例，就是將材料科學、結構工程與流體力學發揮到極致的典型代表：

1. 材料層：有機玻璃系新素材

A La Uno 全自動洗淨馬桶採新開發的「有機玻璃系新素材」（以壓克力高分子為基礎研發的衛浴專用材料，這類高分子成形技術亦被廣泛運用於大型水族館高壓觀景窗與飛機機艙罩）。這種材料表面具備極佳的疏水性與耐水垢特性，水滴不易長時間攤平停留；材質堅固、不易破裂，耐刮、不易造成細小傷痕。通過實驗測試，這種素材配合泡沫洗淨，在沖洗後能有效沖刷掉高達 99.99% 的大腸桿菌，從源頭阻斷細菌定殖。

2. 結構層：無接縫工藝與三重防濺防護

在宏觀結構上，A La Uno 全自動洗淨馬桶採用無水箱沖水與便器、溫水洗淨便座一體成型設計，減少傳統水箱與座體之間的結構層次及接縫，並搭配可動迴轉式排水系統完成沖洗。更貼心的是其「三重防護」設計：

• 泡沫防護：在水面上製造一層充沛的泡沫緩衝層，有效抑制男性站立小便時的尿液與污水飛濺；
• 外圍防護：馬桶邊界特別設計了高約 3mm 的水檔，防止液體延著外壁滴落至地板；
• 測漏防護：便座與馬桶本體採用不外露的防護設計，避免液體從縫隙飛濺滲漏。

3. 動態流體層：雙效泡沫洗淨、漩渦水流與 nanoe™ X

當污垢降落在馬桶內壁時，A La Uno全自動洗淨馬桶 的動態流體科技便接手進行徹底打掃。其「雙效泡沫洗淨」會先釋放直徑約 5mm 的「毫米泡沫」包裹並帶走大塊髒污，再透過直徑約 60微米的「微米泡沫」深入微觀縫隙，徹底溶解殘餘的油脂與細微污垢。接著，配合高度清潔力的「漩渦型強力水流」，利用旋轉產生的流體剪切力，一口氣將附著力已被削弱的污垢剝離並沖走。此外，Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶還搭襯了 nanoe™ X 健康科技，釋放氫氧離子有效抑制異味與髒污，維持空氣與內壁的良好衛生狀態。

科技讓生活變輕鬆，但物理法則依然誠實

從材料化學的低表面能設計，到微觀幾何的附著點控制，再到流體力學的水流沖刷，一座現代抗污馬桶的演進，縮影了人類如何運用基礎科學來解決日常生活痛點的智慧。

我們習慣將衛生清潔想像成一場與細菌髒污的硬碰硬死鬥。然而，A La Uno全自動洗淨馬桶 等現代衛浴技術的突破，展示了材料科學的另一種聰明思維：不靠強酸強鹼硬打，而是透過物理與化學邏輯，將「污垢固著」的機率降到最低。

當材料科學與現代衛浴技術結合，刷馬桶不再是一件令人頭痛的辛苦瑣事。透過這些前沿科技的加持，我們得以從繁重的家務勞動中解放，享受更加乾淨、舒適且有品質的日常生活。

*1 參考論文：A metallic anti-biofouling surface with a hierarchical topography containing nanostructures on curved micro-riblets

*2 參考論文：Brushing up functional materials

測量疼痛

疼痛程度能被客觀測量嗎？

在二十世紀的前半，設計來檢測人類痛覺的機制主要是呼應從純粹身體觀點量測痛覺組成的需求。痛的主觀特質（或更直接地稱為由受測者本人提供的證據）若是遭到忽視還算最好的情況，在最糟的情況下甚至會遭到貶抑。疼痛程度應該要可以客觀量測出來，或說這就是大家進行相關研究的基本依據；一個人感受自己疼痛的方式與個性、道德觀，或甚至性別及種族有關。

再加上醫學的主要功能就是要檢測出傷病並尋求醫治的這種想法持久不衰，疼痛便成為次要的關注重點，只被視為反映出「眞正」問題的指標。疼痛的測量及客觀性因此被刻意保持著疏離、冷淡的狀態，與其說是缺乏同情的立論基礎，還不如說是完全置身於同情的範疇之外。

研究者主要想建立的是痛覺敏感度指數。他們希望知道人體的疼痛要到什麼程度才可以被偵測出來。一般而言，在受控的條件下，不同的疼痛程度顯然可以反映出受試者的文明程度、犯罪傾向，又或者相對「野蠻」的狀態。大家一直都知道，每個人的疼痛閾値——痛無法再被忍受下去的臨界點——差異甚大，不過痛在每個人身上可以被感受出來的最低程度是否具有根本性差異仍是重要議題。

痛的現代史是建立在主張特定「種類」的人不是對痛的刺激更為敏感、就是更難以忍受疼痛的研究之上。這對尋求專業醫療協助的疼痛患者造成了實質上嚴重的後果。他們獲得治療的程度——包括施加的麻醉劑劑量和醫護人員提供的同情心——可能都會跟種族、年紀和性別直接相關。

疼痛敏感度能成為犯罪證據？忽視痛覺主觀性，能幫助醫生更精準診斷嗎？

相當令人感到奇怪的是，生產可以測量疼痛敏感度的設備——痛覺計（algometer）或測痛儀（dolorimeter）——是心理學家和生理學家範疇內的工作。龍勃羅梭（一八三五─一九○九）因為在著作《犯罪人》（一八七六）中提出了犯罪類型分類而聞名，他採用了德國生理學家杜布瓦－雷蒙（一八一八－一八九六）開發的設備，透過電流刺激測量個體的疼痛敏感度及疼痛閾値。根據他的結論，成為罪犯的人對痛覺的「感受度較不敏銳，有時甚至完全感受不到」。而疼痛測量儀的數據就可以提供證據。

龍勃羅梭的研究是基於犯罪特質可以透過遺傳而來的理論，而且強調相關跡象都可以在人體上發現。他決心要透過比較（無論死活的）罪犯以及非罪犯之間的特質來證明這項理論，而獲得的結果非常驚人、具有高度影響力，但卻又毫無根據可言。不過他的例子可以反映出當時更為廣泛的趨勢。痛覺測量在機械領域的推進讓心理學家不再推敲心靈方面的非物質性運作，而改為追求物質性且具體可測的皮膚敏感度，並藉此探討大腦處理痛覺的各種相關能力（跟心靈完全不同的領域）。

另外在一九四○年的紐約醫院進行了一個計畫，他們將一盞燈的熱度聚焦在患者皮膚的一塊區域，然後記錄患者會開始感到疼痛的溫度，以及此疼痛到什麼程度會變得無法忍受。這是想將痛覺變成客觀可測量性質的一項新嘗試，其中帶有兩層意涵。

首先，痛覺若是可以被精準地測量出來，或許就能更有效地治療疼痛。其次，如果痛覺可以被測量，醫療體系就能更精準地評估患者對痛覺的反應（或可以無視哪些反應）。擁有機械測量的痛覺數據可以幫助臨床醫生超越（或甚至消滅）痛覺帶有各種隱喻且不甚精確的主觀性質。有些人就是會喜歡高報或低報自己受苦的程度，而這類傾向可以不再對醫療體系處理疼痛的藥物造成影響。

可是問題在於這個痛覺量測系統不管用，至少任何一個實驗室的結果都無法在其他實驗室複製出來，因為受測對象可以在受過訓練後忍受不同程度的疼痛。外界刺激在受控條件下首先被人感知到的數値至少算是有找到共同的範圍，但疼痛閾値卻因為各種理由而出現各式各樣的差異，更何況個體實在很少（甚至不知道是否可能有）處於不受任何外在條件影響的「中性」狀態。

各種機械理論

人類的所有特質、體驗都能被測量及量化？

如果說與疼痛相關的機械性研究大多得算是笛卡兒的功勞，那是因為他被認定說過一些話，而那些話又顯然能讓後人從中發現一種透過「疼痛路徑」運作的特定機制。若是遵循這樣的笛卡兒觀點，人類這架機器被認定內建一個特定的痛覺系統，此系統將皮膚的神經末梢連結到脊椎，再連結到大腦中的「痛覺中心」。十九世紀以降的生理學家在勤奮不懈的努力下開始尋找特定的痛覺接收神經，或說所謂的「傷害感受器」（nociceptor）。

他們認定所有形式的人類特質及體驗都可以被測量及量化，於是透過大腦秤重的數據建立起以種族、性別為指標的智商系統、透過頭骨的測量顯示文明化的程度，甚至利用各種精良的技巧拍攝臉部後描繪出「犯罪可能性等級」。另外還有一些「疼痛纖維」（pain fibres）被描述成跟特定種類的疼痛有關、又或者跟不同規模的疼痛有關。根據這種方式，大腦只是用來接受特定疼痛輸入訊號的接收器。於是自一九六○年代以來，疼痛量表等級可能跟傷勢程度呈正相關的基本前提已被確信是明顯錯誤的想法。

將疼痛以機械性解釋有哪些侷限？

沒有被這種機械性簡化手段抹消並在當代神經科學中獲得進一步探究的部分，是科學家依據刺激的種類及程度，將受激發的不同神經末梢做出分類。我們現在知道，人的體驗和神經刺激之間沒有絕對的相關性。雖然我們還是會用「傷害感受器」這個詞，但它們發出的訊號在成為痛覺前必須先通過大腦的解讀。機械性簡化看法的另一個問題在於，儘管這種說法用來描述一個人將腳放進火堆的情況看似合適，卻無法解釋那些無視特定神經損傷或直接刺激程度而出現的疼痛。於是又有更進一步的機械性解釋來試圖解決這個謎團。

為了解釋跟初始神經刺激不成比例的巨大疼痛反應，一八八○到一九五○年代出現了各種「（痛覺刺激及反應）模式」理論。有人假設一定是在脊髓中發生了某種反應，而且這個由原本末梢神經接收刺激所啟動的反應可以自我維持或甚至自我加強。隨著神經系統機制愈來愈常使用電機工程學的語言來比喻（而且使用的程度驚人），人們開始可以想像神經元在脊髓的「線路」中產生「反饋迴路」，因而「引起共振」並激發鄰近的其他神經元。正如原本那幅插圖所暗示，這種神經啟動的模式可以永無休止地延續下去，就算接受過治療或甚至原初起因已消失也沒關係（例如幻肢痛）。

這個觀點的問題在於，這種帶有反饋迴路的電路板比喻想像起來容易，眞正要在實驗中發現卻有其難度。同樣地，疼痛方面的病變一直以來都被想像成一個「正常」的疼痛「電路系統」出現問題的結果，若要類比，就像是有訊號在特定種類的疼痛纖維中受到增強。在當代神經科學及疼痛管理領域中，這些理論的許多元素後來都證明在建構更全面性的疼痛體驗理論時很有幫助，但同時也必須超越「刺激帶來體驗」這種純然的機械性關係。

機械性關係以外的其他觀點？

直到一九六○年代，科學機構內外才開始出現批評的聲音——最有名的批評者是孔恩（一九二二－一九九六）和之後的拉圖（一九四七－）——這些人指出社會脈絡在科學工作中所扮演的重要角色，以及埋藏在社會脈絡中的各種想法及預設。到了更近期，達斯頓和蓋里森在他們的著作《客觀性》（二○○七）中重建了「客觀性」的概念。現在，所謂的「事實」已會被許多人視為透過特定框架後建構而來的偏頗資訊。這種不確定性為相關研究開展了全新的寬敞大道，但眞正的改變卻很慢才出現。

早在一八九四年，美國心理學家馬歇爾（一八五二－一九二七）曾有力地指出，快樂和痛苦都是心理狀態的不同特質；兩者是與情緒、感官、心靈和身體相連的「意識元素」，不過就在目睹摩根生產出行為主義式「定律」的這一年，這種全面性的思考觀點卻幾乎沒產生什麼漣漪。當痛的研究在一九七○年代確實開啟了痛覺的情緒及社會組成的相關探討之際，在醫療實務上對於能夠確切測量、判斷並診斷的既存需求，卻讓痛覺和傷害之間的機械關係得以續命。

傷害的意象

第一份讓患者掌握自身疼痛體驗內涵的醫療評估問卷？

臨床醫生數十年來都帶著對痛的多面向理解在實務現場工作。梅爾扎克（一九二九－）和托格森（一九二四－一九九九）在一九七一年開發出了麥吉爾疼痛問卷。那是為了讓患者足以掌握自身疼痛體驗內涵的第一個精密醫療評估工具。疼痛問卷將痛的形容詞及比喻根據痛的強度進行分組，然後依照「感覺」、「情感」、「評價」和「其他相關」四種項目進行分類，再搭配圖表指出身體上的疼痛位置，另外還會針對其他症狀及一般生活方式進行整體評估。

此問卷的前提在許多案例中獲得證實，也就是受疼痛所苦之人會用類似的詞彙來描述特定的疼痛症候群。因此，疼痛問卷帶來的質化觀點對臨床醫療人員很有幫助，能讓他們在一開始更有機會根據患者對自身疼痛狀況的評估做出正確診斷。

當言語無法精準描述，我們如何形容疼痛感受？

乍看之下，這是將疼痛體驗的情感特質重新導入醫療體系的成功應對方式，並因此讓臨床評估朝新的方向前進，但這種做法還是有其限制。疼痛問卷被翻譯成許多其他語言時使用了同樣的武器修辭，或說同樣有關受傷、割傷、刺傷、射傷、揍傷或壓傷的各種比喻。許多學者都指出，這些用來描述人類疼痛體驗的比喻被使用的時間久得驚人，彷彿我們沒有足以訴說疼痛的直接用詞，所以非得求助於這些傷害意象。

不過，這種顯而易見的限制掩蓋了存在於人們陳述中的驚人豐富性及深度。隨著時間過去，武器的種類當然改變了，描述武器對人類造成的傷害種類也出現了更多具有想像力的比喻性說法。此外，隨著語言的改變，人們會發現無論是問卷中的表達方式、代表意義及所處脈絡，都具有難以將其中分類普遍化的細微差異。翻譯的政治（更別說是做法）總是會引發誰的用語足以建立起基本分類架構的疑慮：我們應該要採用患者、醫生，還是譯者的用語？

一旦語言被認定為一個人描述主觀體驗的重要資訊載體，我們就很難將其限制在事先規範好的定義及分類中。疼痛問卷成功地將許多當時在英文中常用的疼痛描述整理在一起，不過也可能限縮了人們在未來描述疼痛的用詞。當醫療人員把一連串描述性用詞交給患者並要求他們找出「符合」自身痛感的詞彙時，這種做法很可能會被視為一種具有高度暗示性及影響力的策略，因為這份用詞淸單暗示了這些詞彙已捕捉到了疼痛的本質。

這種做法對某些人來說可能有用，但有些人即便感覺不太對勁，仍得努力將這些用詞硬套到自身的感受上。另外還有些人在覺得這些用詞完全無法用來描述自己的狀況時，甚至會開始質疑自己的疼痛是否眞實存在。為了聽見疼痛的主觀陳述而定下語言框架的嘗試，反而造成了將痛客觀化的效應。

說到底，一九七○和八○年代在尋求痛的情感特質時，是放入由固定價値觀所掌控的基模（schema）中，就像身體的疼痛値也是由機械主導的客觀數値來決定。患者的聲音並不是沒被聽見，但也受到既有的量測方式取代。

受教育程度會影響疼痛體驗嗎？疼痛分類因文化不同有所差異？

根據一份由哈里森所進行的研究指出，當麥吉爾疼痛問卷在科威特被翻譯成阿拉伯文時，編纂者非常淸楚意識到，即便是在當地社群內部也出現了溝通上的語言偏差。受過教育的科威特人因為懂英文而擁有較多字彙量，因此可用「對一般患者而言過於深奧」的詞彙來描述他們的痛覺。難道這代表他們的疼痛體驗也就因此有所不同嗎？我們很可能永遠不會知道，因為這類描述被有意識地迴避掉了。

有意思的是，阿拉伯文譯者也迴避了對慢性疼痛患者伸出援手，因為「他們的痛覺評分標準跟那些……經歷急性疼痛的人相比有系統性的不同」。如果有人記得的話，麥吉爾疼痛問卷一開始的設計是要嘗試深入理解疼痛症候群的疼痛體驗——也就是完全以受到慢性疼痛所苦的人為目標——因此我們可以認定這個翻譯策略反而阻礙了這項量測工具原本的概念性目標。

二十世紀醫學對於調查對象必須在各項數値方面完全中立的需求，阻礙了我們去探索疼痛體驗中的一項核心元素，因為那個核心元素本身就是作為一種情感的主觀値。疼痛情感的語言表述——人們針對自身感受說出的話——本身抗拒任何精確的製表及分類作為。科威特的那些譯者對此擁有第一手體驗，他們發現原本在英文中被歸類為「感覺」的詞彙，在翻譯後更接近「情感」或「評價」的類別。

這些作者後來做出結論，「我們有很充足的理由認定，疼痛分類會因為不同文化而有所差異。」比如他們就找不出翻譯「射傷」（shooting）這種痛覺的詞彙。在此同時，義大利文把「射傷」這種痛覺翻譯成「像是床墊彈簧反彈」的痛。

整體而言，根據二○○九年由雪梨的喬治國際健康研究所做的研究，麥吉爾疼痛問卷被翻譯成了二十六種語言，研究發現這些翻譯後的問卷效力普遍不佳，並建議必須謹愼使用這些「非英語版本」的問卷。這些不同版本的問卷中描述疼痛的詞彙從四十二到一百七十六個不等，反映出了人類口中疼痛體驗的豐富程度。這些疼痛反抗或拒絕被分類列表的特質只顯示了人們不是（或說至少不完全是）機器。

——本文摘自《痛：牛津非常短講 012》，2024 年 02 月，左岸文化出版，未經同意請勿轉載。

一、前言

選後的立法院三黨不過半，但民眾黨有八席不分區立委，足以與民進黨或國民黨結成多數聯盟，勢將在國會居於樞紐地位。無獨有偶的是：民眾黨主席柯文哲在總統大選得到 26.5% 的選票，屈居第三，但因其獲得部分藍、綠選民的支持，在選民偏好順序組態的基礎上，它卻也同樣地居於樞紐地位。這個地位，將足以讓柯文哲及民眾黨在選後的台灣政壇持續激盪。

二、柯文哲是「孔多塞贏家」？

這次總統大選，誰能脫穎而出並不是一個特別令人殷盼的問題，更值得關心的問題是藍白綠「三跤㧣」在選民偏好順序組態中的消長。台灣總統大選採多數決選制，多數決選制英文叫 first-past-the-post（FPTP），簡單來講就是票多的贏，票少的輸。在 10 月中藍白合破局之後，賴蕭配會贏已經沒有懸念，但這只是選制定規之下的結果，換了另一個選制，同樣的選情可能就會險象環生。

從另一個角度想：選制是人為的，而選情反映的是社會現實。政治學者都知道天下沒有十全十美的選制；既定的選制推出了一位總統，並不代表選情的張力就會成為過眼雲煙。當三股社會勢力在制度的帷幕後繼續激盪，台灣政治將無法因新總統的誕生而趨於穩定。

如果在「三跤㧣」選舉之下，選情的激盪從候選人的得票多少看不出來，那要從哪裡看？政治學提供的一個方法是把候選人配對 PK，看是否有一位候選人能在所有的 PK 中取勝。這樣的候選人並不一定存在，如果不存在，那代表有 A 與 B 配對 A 勝，B 與 C 配對 B 勝，C 與 A 配對 C 勝的 A＞B＞C＞A 的情形。這種情形，一般叫做「循環多數」（cyclical majorities），是 18 世紀法國學者孔多塞（Nicolas de Condorcet）首先提出。循環多數的存在意涵選舉結果隱藏了政治動盪。

另一方面，如果有一位候選人能在配對 PK 時擊敗所有的其他候選人，這樣的候選人稱作「孔多塞贏家」（Condorcet winner），而在配對 PK 時均被擊敗的候選人則稱作「孔多塞輸家」（Condorcet loser）。三角嘟的選舉若無循環多數，則一定會有孔多塞贏家和孔多塞輸家，然而孔多塞贏家不一定即是多數決選制中贏得選舉的候選人，而多數決選制中贏得選舉的候選人卻可能是孔多塞輸家。

如果多數決選制中贏得選舉的候選人不是孔多塞贏家，那與循環多數一樣，意涵選後政治將不會穩定。

那麼，台灣這次總統大選，有沒有孔多塞贏家？如果有，是多數決選制之下當選的賴清德嗎？我根據戴立安先生調查規劃的《美麗島電子報》追蹤民調第 109 波（1 月 11 日至 12 日），也是選前最後民調的估計，得到的結果令人驚訝：得票墊後的柯文哲很可能是孔多塞贏家，而得票最多的賴清德很可能是孔多塞輸家。果然如此，那白色力量將會持續地激盪台灣政治！

我之前根據美麗島封關前第 101 波估計，侯友宜可能是孔多塞贏家，而賴清德是孔多塞輸家。現在得到不同的結果，顯示了封關期間的三股政治力量的消長。本來藍營期望的棄保不但沒有發生，而且柯文哲選前之夜在凱道浩大的造勢活動，還震驚了藍綠陣營。民調樣本估計出的孔多塞贏家本來就不準確，但短期內的改變，很可能反映了選情的激盪，甚至可能反映了循環多數的存在。

三、如何從民調樣本估計孔多塞贏家

根據這波民調，總樣本 N=1001 位受訪者中，如果當時投票，會支持賴清德的受訪者共 355 人，佔 35.4%；支持侯友宜的受訪者共 247 人，佔 24.7%。支持柯文哲的受訪者共 200 人，佔 19.9%。

美麗島民調續問「最不希望誰當總統，也絕對不會投給他的候選人」，在會投票給三組候選人的 802 位支持者中，一共有 572 位對這個問題給予了明確的回答。《美麗島電子報》在其網站提供了交叉表如圖：

根據這個交叉表，我們可以估計每一位明確回答了續問的受訪者對三組候選人的偏好順序，然後再依這 572 人的偏好順序組態來判定在兩兩 PK 的情形下，候選人之間的輸贏如何。我得到的結果是：

• 柯文哲 PK 賴清德：311 > 261（54.4% v. 45.6%）
• 柯文哲 PK 侯友宜：287 > 285（50.2% v. 49.8%）
• 侯友宜 PK 賴清德：293 > 279（51.2% v. 48.8%）

所以柯文哲是孔多塞贏家，賴清德是孔多塞輸家。當然我們如果考慮抽樣誤差（4.1%），除了柯文哲勝出賴清德具有統計顯著性之外，其他兩組配對可說難分難解。但在這 N=572 的小樣本中，三位候選人的得票率分別是：賴清德 40%，侯友宜 33%，柯文哲 27%，與選舉實際結果幾乎一模一樣。至少在這個反映了選舉結果的樣本中，柯文哲是孔多塞贏家。依多數決選制，孔多塞輸家賴清德當選。

不過以上的分析有一個問題：各陣營的支持者中，有不少人無法明確回答「最不希望看到誰當總統，也絕對不會投給他做總統」的候選人。最嚴重的是賴清德的支持者，其「無反應率」（nonresponse rate）高達 34.5%。相對而言，侯友宜、柯文哲的支持者則分別只有 24.1%、23.8% 無法明確回答。為什麼賴的支持者有較多人無法指認最討厭的候選人？一個假設是因為藍、白性質相近，對許多綠營選民而言，其候選人的討厭程度可能難分軒輊。反過來說，藍、白陣營的選民大多數會最討厭綠營候選人，因此指認較無困難。無論如何，把無法明確回答偏好順序的受訪者歸為「遺失值」（missing value）而棄置不用總不是很恰當的做法，在這裡尤其可能會造成賴清德支持者數目的低估。

補救的辦法之一是在「無法明確回答等於無法區別」的假設下，把「遺失值」平分給投票對象之外的其他兩位候選人，也就是假設他們各有 1/2 的機會是無反應受訪者最討厭的候選人。這樣處理的結果，得到

• 柯文哲 PK 賴清德：389 > 413（48.5% v. 51.5%）
• 柯文哲 PK 侯友宜：396 > 406（49.4% v. 50.6%）
• 侯友宜 PK 賴清德：376 > 426（46.9% v. 53.1%）

此時賴清德是孔多塞贏家，而柯文哲是孔多塞輸家。在這 N=802 的樣本中，三位候選人的得票率分別是：賴清德 44%，侯友宜 31%，柯文哲 25%。雖然依多數決選制，孔多塞贏家賴清德當選，但賴的得票率超過實際選舉結果（40%）。用無實證的假設來填補遺失值，反而造成賴清德支持者數目的高估。

如果擔心「無法明確回答等於無法區別」的假設太勉強，補救的辦法之二是把「遺失值」依有反應受訪者選擇最討厭對象的同樣比例，分給投票對象之外的其他兩位候選人。這樣處理的結果，得到

• 柯文哲 PK 賴清德：409 > 393（51.0% v. 49.0%）
• 柯文哲 PK 侯友宜：407 > 395（50.8% v. 49.2%）
• 侯友宜 PK 賴清德：417 > 385（52.0% v. 48.0%）

此時柯文哲又是孔多塞贏家，而賴清德又是孔多塞輸家了。這個樣本也是 N=802，三位候選人的得票率分別是：賴清德 44%，侯友宜 31%，柯文哲 25%，與上面的結果一樣。

以上三種無反應處理方法都不盡完美。第一種把無反應直接當遺失值丟棄，看似最不可取。然而縮小的樣本裡，三位候選人的支持度與實際選舉結果幾乎完全一致。後兩種以不同的假設補足了遺失值，但卻過度膨脹了賴清德的支持度。如果以樣本中候選人支持度與實際結果的比較來判斷遺失值處理方法的效度，我們不能排斥第一種方法及其結果。

無論如何，在缺乏完全資訊的情況下，我們發現的確有可能多數決輸家柯文哲是孔多塞贏家，而多數決贏家賴清德是孔多塞輸家。因為配對 PK 結果缺乏統計顯著性，我們甚至不能排除循環多數的存在。此後四年，多數決選制產生的總統能否在三角嘟力量的激盪下有效維持政治穩定，值得我們持續觀察。

四、結語

柯文哲之所以可以是孔多塞贏家，是因為藍綠選民傾向於最不希望對方的候選人當總統。而白營的中間偏藍位置，讓柯文哲與賴清德 PK 時，能夠得到大多數藍營選民的奧援而勝出。同樣的，當他與侯友宜 PK 時，他也能夠得到一部份綠營選民的奧援。只要他的支持者足夠，他也能夠勝出。反過來看，當賴清德與侯友宜 PK 時，除非他的基本盤夠大，否則從白營得到的奧援不一定足夠讓他勝出。民調 N=572 的樣本中，賴清德得 40%，侯友宜得 33%，柯文哲得 27%。由於柯的支持者討厭賴清德（52.5%）遠遠超過討厭侯友宜（23.7%），賴雖然基本盤較大，能夠從白營得到的奧援卻不多。而侯雖基本盤較小，卻有足夠的奧援。柯文哲之所以成為孔多塞贏家，賴清德之所以成為孔多塞輸家，都是這些因素的數學結果。

資料來源

• 《美麗島電子報》追蹤民調第109波（1月11日至12日）