0

0
0

文字

分享

0
0
0

要將數學理論說到路人和女兒都能懂!——《用數學的語言看世界》導讀

賴 以威
・2018/01/11 ・2577字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 563 ・九年級

立即填寫問卷,預約【課程開賣早鳥優惠】與送你【問卷專屬折扣碼】!

 

如果用法語來譬喻的話,這本書不是從最初級的文法開始教的教科書,反而像是去法國旅行時能派上用場的會話書。

——〈序.送給女兒的數學〉

 

讀完序再翻回封面看書名,你大概就知道這是一本怎樣的數學書了。作者大栗博司教授是加州理工學院的理論物理學研究所所長,這是一本站在知識頂端的學者,低首寫給女兒的一本數學童話書。

圖/geralt@pixabay

有涉獵數學科普書的朋友,一定對書中某幾個數學故事不陌生:無限個房間的旅館,某天來了無限多位客人;從辛普森殺人案件中討論機率;質數在加密解密上的應用……事實上,書中所用的都是相當經典的數學故事。但看過不代表就沒意思,經典之所以是經典在於它能讓人印象深刻。也因此我們看到羅密歐與茱麗葉的故事不斷被改編,金庸小說每隔幾年就被拿上螢幕重拍一次。透過不同的詮釋,經典會被賦予不同的感受,大栗博司教授就是一位能充分發揮數學經典魅力的作家!

1900 年,德國大數學家希爾伯特(D. Hilbert)在巴黎的國際數學會議上引用了一位法國老數學家的話:

「如果你無法將一個數學理論弄清楚到可以解釋給街上任何一個人聽,那麼這個數學理論就不算完成。」

把一個很難的問題說得很複雜沒什麼了不起,只要照著網路上找到的資料唸就好;但想要用自己的語言,清楚地對他人解釋,那就需要對整個知識通盤的了解。

「差一點,差很多」的機率推理

大栗博司教授具備這樣的本事,他對每個經典的數學故事和背後理論有著透徹的認識,再表達闡述上也下過一番苦心(照他自己的說法是,專欄寫一遍,集結成冊時再重新大改一次)。例如第一章講到機率,量化可能性。在辛普森殺妻命案中,辯護團律師有這麼一段論述:

「2500 位虐待妻子的丈夫之中,只有 1 人會因此而殺了妻子。」

低到只有萬分之四的機率,因此對辛普森「既然會家暴,也可能會殺了妻子」的控訴自然不成立。

辛普森為前美式橄欖球明星、演員,其知名度使得審判成為美國歷史上最受公眾關注的刑事審判案件,至今仍有許多討論。圖/O.J.辛普森,1990 年@wikipedia

看起來相當合理,但大栗博司教授指出其中推理的重大缺陷:先看另一個事實,美國兩萬名已婚婦女中,只有1人會遭到丈夫以外的人殺害。換句話說,如果是十萬名被家暴的婦女,平均有5位會遭到丈夫以外的人殺害。但同時,因為萬分之四的機率,有40位婦女會被丈夫殺害。所以家暴殺害妻子的機率高達40/(40+5),將近 90%。

為什麼同樣的一件事從不同角度來看,機率會差這麼多? 關鍵在於辛普森妻子此刻的死活。

辯護團律師的計算過程,是建立只遭到家暴的前提。但擺在眼前的現實是她已經死亡,因此計算機率時必須將妻子遭到殺害這個事件作為前提。兩者都是在計算條件機率,只是條件有所不同,大栗博司教授的考量顯然更符合當下的狀況。

僅僅是一個條件的不同(有沒有考慮到妻子已遭他殺),就讓數據大翻轉。好比原本以為只有 1 面是六點,打開骰盅才發現有 5 面都是六點。大栗博司教授透過這個例子,讓讀者感受到精算機率的威力,也更認識條件機率。

不接受負數的數學家

我另一個喜歡本書的原因是,書中提到一些數學發展演進的過程。如果你唯一的數學讀物是課本,那麼,儘管你知道不是這樣,但還是會常常覺得數學彷彿一開始就長得跟現在一模一樣,每一條公式、定理都是數學家們信奉的真理。

「從零減去四的話,依然是零!」

這句話很荒謬吧,聽起來就像是哪個試圖在數學課跟老師唱反調的同學會說的話。但它其實是出自於法國偉大的數學家帕斯卡(B. Pascal)。帕斯卡製作了全世界第一台計算機,氣壓常用單位「百帕」以他命名,學校上課會提到的帕斯卡三角形,同樣是在指這位數學家(雖然這個三角形不是他發明的)。這麼一位天才數學家,對負數的了解真的不如一位國小學生嗎?其實不是,只是在那個時代數學知識的演進與觀念,還不足以讓數學家們接受「負」,他們覺得零就是無,不存在比無還更小的事物。

帕斯卡(1623 – 1662)法國數學家、物理學家、發明家。圖/By Français[CC BY 3.0] via Wikimedia Commons
從數學史的演進裡我們可以看到,現在被視為理所當然的數學知識,在過去可能曾經被視為錯誤,是經過許多數學家們辯證、思考後才被接受,納入數學體系。從這個角度來看,小朋友學數學時有問題再理所當然不過了,畢竟連帕斯卡都對負數感到疑惑,我們更不應該用「公式就是這樣啊」的回答去敷衍他們,是要開心於他們有自己的思辨能力,不會只因為課本這樣寫,就決定相信。

我想大栗博司教授的女兒如果問數學問題時,心裡必然也有類似的想法吧。

語言乘載思考

每當腦海裡浮現一個想法時,我們挑選適當的詞彙與句型,將想法裝入名為「語言」的容器中。不是每次都能找到完全貼合的容器,有時候會有空隙,有時候得用力擠一下才能放進去。也因為這樣,如果長期使用同一種語言作為容器,我想會反過來影響到一個人的思考。

伽利略說過「自然界的書是用數學的語言寫成」,把學校課本視為文法書,這本書視為旅遊會話書,重新以語言的角度來看待數學,活用數學。相信習慣後,你的思維也會被數學固有的特質,雕塑得更加精確,更有邏輯性。

現在,準備好閱讀這本用數學寫下的經典童話了嗎?

 

 

用數學的語言看世界:一位博士爸爸送給女兒的數學之書,發現數學真正的趣味、價值與美》,臉譜出版

 

 

 

 

文章難易度
賴 以威
32 篇文章 ・ 8 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

1

2
0

文字

分享

1
2
0
金魚的記憶才不只 7 秒!記憶力怎麼回事?好想要超大記憶容量
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/12/01 ・2720字 ・閱讀時間約 5 分鐘

立即填寫問卷,預約【課程開賣早鳥優惠】與送你【問卷專屬折扣碼】!

 

本文由 美光科技 委託,泛科學企劃執行。

你是不是也有過這樣的經驗?本來想上樓到房間拿個東西,進到房間之後卻忘了上樓的原因,還完全想不起來;到超巿想著要買三四樣東西回家,最後只記得其中兩樣,結果還把重要的一樣給漏了;手機 Line 群組裡發的訊息,看過一轉身回頭做事轉眼就忘了。

發生這種情況,是不是覺得很懊惱:明明才想好要幹嘛,才不過幾秒鐘的時間就全部忘記了?吼呦!我根本是金魚腦袋嘛!記憶力到底是怎麼回事啊?要是能擁有更好的記憶力就好了!

明明才想好要幹嘛,一轉眼卻又都忘記了。 圖/GIPHY

金魚的記憶才不只 7 秒!

忘東忘西,我是金魚腦?!無辜地的金魚躺著也中槍!被網路流傳的「魚只有 7 秒記憶」的說法牽累,老是被拖下水,被貼上「記憶力不好、健忘」的標籤,金魚恐怕要大大地舉「鰭」抗議了!魚的記憶只有 7 秒嗎?

根據研究顯示,魚類的記憶可以保持一到三個月,某些洄游的魚類都還記得小時候住過的地方的氣味,甚至記憶力可以維持到好幾年,相當於他們的一輩子。

還有科學家發現斑馬魚在經過訓練之後,可以很快學會如何走迷宮,根據聲音信號尋找食物。但是當牠們壓力過大時會記不住東西,注意力分散也會降低學習效率,而且記憶力也會隨著衰老而逐漸衰退。如此看來,斑馬魚的記憶特點是不是跟人類有相似之處。

記憶力到底是怎麼回事?

為什麼魚會有記憶?為什麼人會有記憶?記憶力跟腦袋好不好、聰不聰明有關係嗎?這個就要探究記憶歷程的形成源頭了。

依照訊息處理的過程,外界的訊息經由我們的感覺受器(個體感官)接收到此訊息刺激形成神經電位後,被大腦轉譯成可以被前額葉解讀的資訊,最終會在我們的前額葉進行處理,如果前額處理後認為是有意義的內容就有可能被記住。

在問記憶好不好之前,先了解記憶形成的過程。圖/GIPHY

根據英國神經心理學家巴德利 Alan Baddeley 提出的工作記憶模式,前額葉處理資訊的能力稱為「短期工作記憶」,而處理完有意義、能被記住的內容則是「長期記憶」。

你可能會好奇「那記憶能被延長嗎」?只要透過反覆背誦、重覆操作等練習,我們就有機會將短期記憶轉化為長期記憶了。

要是能有超大記憶容量就好了!

比如當我們在接聽客戶電話時,對方報出電話號碼、交辦待辦事項,從接收訊息、形成短暫記憶到資訊篩選方便後續處理,整個大腦記憶組織海馬迴區的運作,如果用電腦儲存區來類比,「短期記憶」就像隨機存取記憶體 RAM,能有效且短暫的儲存資訊,而「長期記憶」就是硬碟等儲存裝置。

從上一段記憶的形成過程,可以得出記憶與認知、注意力有關,甚至可以透過刻意練習、習慣養成和一些利用大腦特性的記憶法來輔助學習,並強化和延長記憶力。

雖然人的記憶可以被延長、認知可以被提高,但當日常生活和工作上,需要被運算處理以及被記憶理解的事物越來越多、越來越複雜,並且需要被快速、大量地提取使用時,那就不只是記憶力的問題,而是與資訊取用速度、條理梳理、記憶容量有關了!

日常生活中需要處理的事務越來越多,那就不只是記憶力的問題,而是有關記憶力容量的問題了……。圖/GIPHY

再加上短期記憶會隨著年齡增加明顯衰減,這時我們更需要借助一些外部「儲存裝置」來幫我們記住、保存更多更複雜的資訊!

美光推出高規格新一代快閃記憶體,滿足以數據為中心的工作負載

4K 影片、高清晰品質照片、大量數據、程式代碼、工作報告……在這個數據量大爆炸的時代,誰能解決消費者最大的儲存困擾,並滿足最快的資料存取速度,就能佔有這塊前景看好的市場!

全球第四大半導體公司—美光科技又領先群雄一步!除了推出 232 層 3D NAND 外,業界先進的 1α DRAM 製程節點可是正港 MIT,在台灣一條龍進行研發、製造、封裝。日前更宣布推出業界最先進的 1β DRAM,並預計明年於台灣量產喔! 

美光不久前宣布量產具備業界多層數、高儲存密度、高性能且小尺寸的 232 層 3D NAND Flash,能提供從終端使用者到雲端間大部分數據密集型應用最佳支援。 

美光技術與產品執行副總裁 Scott DeBoer 表示,美光 232 層 3D NAND Flash 快閃記憶體為儲存裝置創新的分水嶺,涵蓋諸多層面創新,像是使用最新六平面技術,讓高達 232 層的 3D NAND 就像立體停車場,能多層垂直堆疊記憶體顆粒,解決 2D NAND 快閃記憶體帶來的限制;如同一個收納達人,能在最小的空間裡,收納最多的東西。

藉由提高密度,縮小封裝尺寸,美光 232 層 3D NAND 只要 1.1 x 1.3 的大小,就能把資料盡收其中。此外,美光 232 層 NAND 存取速度達業界最快的 2.4GB/s,搭配每個平面數條獨立字元線,好比六層樓高的高速公路又擁有多條獨立運行的車道,能緩解雍塞,減少讀寫壽命間的衝突,提高系統服務品質。

結語

等真正能在大腦植入像伊隆‧馬斯克提出的「Neuralink」腦機介面晶片,讓大腦與虛擬世界溝通,屆時世界對資訊讀取、儲存方式可能又會有所不同了。

但在這之前,我們可以更靈活地的運用現有的電腦設備,搭配高密度、高性能、小尺寸的美光 232 層 NAND 來協助、應付日常生活上多功需求和高效能作業。

快搜尋美光官方網站,了解業界最先進的技術,並追蹤美光Facebook粉絲專頁獲取最新消息吧!

參考資料

  1. https://pansci.asia/archives/101764
  2. 短期記憶與機制
  3. 感覺記憶、短期記憶、長期記憶  
  4. 注意力不集中?「利他能」真能提神變聰明嗎?

文章難易度
所有討論 1

0

1
0

文字

分享

0
1
0
機率可以協助我們選擇,如果用來賭博會贏錢嗎?——《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》
天下文化_96
・2022/12/04 ・3213字 ・閱讀時間約 6 分鐘

立即填寫問卷,預約【課程開賣早鳥優惠】與送你【問卷專屬折扣碼】!

 

每天都要風險評估

我們的現代生活是由一連串決定所組成,要根據各種可能的結果進行評估。我們的每一天都必須經過風險分析才能順利度過。

今天的降雨機率是 28%,我要不要帶雨傘?

報紙上說,吃培根會讓罹患腸癌的機率增加 20%,那我該戒掉培根三明治嗎?

考慮到發生事故的風險,我的汽車保險費會不會太高?

我買樂透彩券有什麼用呢?

玩桌遊的時候,我接下來擲出的點數讓我排名下降的機會有多少?

許多職業都要算出機會才能做關鍵決定。某支股票上漲或下跌的機會有多大?

如果有DNA證據,被告就有罪嗎?

病人要不要擔心偽陽性的篩檢結果?

足球選手在罰球時應該踢向哪裡?

我們的每一天都必須經過風險分析才能順利度過。圖/pexels

越過不確定的世界是一項充滿挑戰的任務,但找出一條穿過迷霧的路並非不可能。數學已經發展出強大的捷徑,幫助我們處理從遊戲到健康、從賭博到理財投資的一切不確定性,那就是「機率的數學」。

擲骰子是通往機率的捷徑

若想探索這條捷徑的本領,擲骰子是最佳方法之一。

本章開頭的題目,曾讓十七世紀的著名日記作者皮普斯(Samuel Pepys)坐立不安。

皮普斯著迷於機率遊戲,但他不會隨便拿辛苦賺來的錢當作擲骰子的賭注,他總是很謹慎。皮普斯在 1668 年 1 月 1 日的日記寫道,正要從劇院回家時撞見「骯髒的學徒和無所事事之人在賭博」,回想起孩提時僕人帶他去看人試圖擲骰子贏錢的情景。

皮普斯著迷於機率遊戲,但拿錢當作擲骰子的賭注,他總是很謹慎。圖/wikipedia

皮普斯記下自己看到「一個人向另一個人拿走所輸的錢,反應大不相同,有一人不停罵髒話,另一人只是喃喃自語和發牢騷,還有一人絲毫沒有明顯的不滿」。

他的朋友布里斯班德(Brisband)先生提議,給他十枚硬幣試試運氣,還說「大家都知道從來沒有人第一次玩會輸,因為魔鬼太狡猾了,不會勸阻賭徒」。但皮普斯拒絕了,躲回他的房間。

皮普斯小時候看到賭博時,還沒有什麼捷徑能讓他比別人有優勢。但在他從青少年到成年的歲月裡,一切已經有了改變,因為海峽對岸有兩位數學家,費馬和巴斯卡,提出一種新的思考方式,透過這條深具潛力的捷徑,應該能讓賭徒賺錢,不然至少是少輸些錢。

皮普斯可能還未聽說費馬和巴斯卡已取得重大進展,把魔鬼手中的骰子努力搶到數學家手上。如今,從拉斯維加斯到澳門,費馬和巴斯卡開創的機率數學讓世界各地的賭場得以經營下去──犧牲者是來賭錢的無所事事之人。

發生的機會有多大?

費馬和巴斯卡之所以會想出捷徑,是因為他們聽到某個跟皮普斯所想類似的難題,然後受到啟發。

與兩人都相識的梅雷騎士(Chevalier de Méré)想要知道把賭注下在以下哪一個比較好:

  • (A) 擲一顆骰子 4 次後,擲出六點。
  • (B) 連續擲兩顆骰子 24 次後,擲出雙六。
擲骰子的機率很值得探討。圖/pexels

這位騎士實際上不具有騎士的貴族身分,他是一名學者,名叫龔博(Antoine Gombaud),他喜歡在對話作品中用這個頭銜代表自己的觀點。然而,這個頭銜沿用了下來,他的朋友們開始稱他為騎士。他選擇走遠路,做一大堆實驗,拿骰子擲了一遍又一遍,試圖解決這個骰子難題,但一直沒有確定的結果。

於是龔博決定把這問題帶到一個由耶穌會士舉辦的沙龍,修士名叫梅森(Marin Mersenne),地點則是他在修道院的小房間。梅森有點像是當時巴黎的知識活動中心,他把收到的有趣問題寄給他認為可能會有高明見解的其他通信者。

說到龔博的難題,他毫無疑問寄到了很好的人選手中,費馬和巴斯卡的答覆確立了本章要談的捷徑:機率論(theory of probability)。

機率論真的能幫龔博贏錢嗎?

毫不意外的,走遠路其實並沒有幫龔博判定選哪一個賭注最有可能贏錢。費馬和巴斯卡把他們的機率新捷徑應用到骰子上,就發現選項 A 的發生機率是 52%,而選項 B 的發生機率為 49%。

如果賭骰子 100 次,隨機過程中存在的誤差會輕易掩蓋這種差異,也許要等差不多賭 1,000 次之後,真正的模式才會浮現。這就是為什麼這個捷徑會如此強大──它避免你一定得做很多苦力,反覆實驗,畢竟實驗結果搞不好還會讓你對問題理解錯誤。

長期執行才有可能取得優勢

費馬和巴斯卡提出的捷徑有個特質很有趣,它長期下來才會真正幫你取得優勢。它不是幫忙賭徒在任何一次賭博中贏錢的捷徑,那仍然要碰碰運氣。但長期下來,情況就大不相同,這也解釋了為什麼它對賭場來說是好消息,然而對遊手好閒、巴望擲一次骰子就輕鬆賺到錢的賭徒來說,卻不是什麼好消息。

鏡頭回到倫敦。皮普斯寫下他在走路回家的途中,看賭徒設法擲出七點看得津津有味:

「聽到他們罵手氣怎麼這麼差,但沒什麼用,因為有個男子想要擲出七,但擲了很多次都擲不出,絕望透頂,嚷嚷說以後打死也不會再擲出七,而其他的人手氣很好,幾乎每次都擲出七。」

有個男子想要擲出七,但擲了很多次都擲不出,絕望透頂,嚷嚷說以後打死也不會再擲出七。圖/pexels

這個人的手氣是不是特別背,連一次七點也擲不出來?費馬和巴斯卡提出的策略,是用來算出以兩顆骰子擲出特定點數和的機會有多大,要先分析可能擲出的各種點數,然後看點數和為七的情形發生的比例。第一顆骰子可能擲出 6 種點數,加上第二顆骰子也有 6 種點數,總共就有 36 種不同的點數組合。在這些組合當中,有 6 種的點數和是七:

1 + 6、2 + 5、3 + 4、4 + 3、5 + 2、6 + 1

他們認為,假如每種組合發生的可能性一樣大,那麼 36 次當中就會有 6 次擲出七。這實際上是擲兩顆骰子時最有可能出現的點數和,但沒有擲出七的機會仍有六分之五。考慮到機率問題,皮普斯所看到的那位對擲了很多次骰子都沒出現七點感到如此絕望的紳士,手氣到底有多差?

骰不出 7 到底是不是因為手氣特別爛?

他擲了 4 次骰子都沒擲出七的機會有多大?把所有不同的情形都列出來,看起來相當嚇人,因為總共有 364 =1,679,616 種結果。但費馬和巴斯卡伸出援手了,因為有捷徑。要算出 4 次都沒擲出七點的機會,只須把每次擲骰子的機率相乘:5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 0.48。這表示連續 4 次沒有擲出七點的機會仍大約有二分之一。

相反的,這表示兩顆骰子擲 4 次之後,有一半的機會出現七點。同樣的分析可證明,一顆骰子擲 4 次後出現六點的機會也是一半一半。因此,皮普斯看到那個紳士擲 4 次骰子都沒出現七,不是什麼出人意料的事,就像丟一次硬幣的結果不是正面一樣。

在玩很多像西洋雙陸棋或《地產大亨》這樣要擲骰子的遊戲時,你可以把「最有可能擲出七」轉化成對自己有利的條件。

玩《地產大亨》時,你可以把「最有可能擲出七」轉化成對自己有利的條件。圖/pexels

舉例來說,坐牢是《地產大亨》棋盤上最常造訪的格子,再加上兩顆骰子可能點數和的分析結果,就意味許多玩家在走到坐牢這格之後,下一步會走到橘色房地產區的次數比其他格子還要多。所以你如果可以搶先在橘色區買地,在上面蓋旅館,就會讓自己在遊戲中更勝一籌。

——本文摘自《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
113 篇文章 ・ 597 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

0

1
0

文字

分享

0
1
0
你用對數學了嗎?換種說法讓問題變清晰——《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》
天下文化_96
・2022/12/02 ・2888字 ・閱讀時間約 6 分鐘

立即填寫問卷,預約【課程開賣早鳥優惠】與送你【問卷專屬折扣碼】!

 

在我以數學家自居時,我所發現的最強大捷徑之一是,找到合適的用語來討論問題。很多時候,我們會用一種讓人摸不清情況的措辭去表達這個問題,只要能找到另一種說法,把這道謎題轉化成新的用語,答案就會突然明朗許多。換個語言,我們就可以從企業銷售資料的含糊數字中,辨認出奇特的相關性。

人生的大部分時間都是一場遊戲,但把這場遊戲轉化成你知道如何得勝的遊戲,可以給你絕佳的優勢。在我仍是見習數學家的時候,發現了最令我興奮的啟示之一:

把幾何轉換成數字的詞典可提供捷徑通往超空間──也就是我成為專業數學家之後一直在探索的多維宇宙。

「合適的語言」

除非找到合適的語言來描述,否則科學及其他領域有愈來愈多的概念看起來好像根本不存在,「湧現」(從組成成分產生的性質)的概念就是一例。舉例來說,如果講水的個別分子 H2O,很難描述水的溼潤性質。

如果講水的個別分子H2O,很難描述水的溼潤性質。圖/pexels

儘管科學似乎暗示,你可以把一切化約成這些基本粒子的行為及決定其行為的方程式,但這種語言通常完全不能描述現象。一群鳥的遷徙不能用組成鳥身體的原子運動方程式來描述。若堅持用個體經濟學的語言,就不容易了解總體經濟學;即使個體經濟變化是造成總體經濟現象的原因,但使用個別財貨本身的語言,仍然不可能理解利率上升對通貨膨脹的影響。就連自由意志與意識的概念,實際上也不能藉由神經元和突觸的討論來描述。

轉變帶來改變

找到不同的措辭來談論情緒狀態,可以從根本上改變你的感受。與其說「我很難過」(這種說法很像是把你和悲傷硬生生畫上等號),你大可改說「悲傷與我同在」,於是悲傷忽然有機會繼續前進。正如十九世紀的美國心理學家詹姆斯(William James)所寫的:

「我這代人最重要的發現是,人能藉著轉變心智態度來改變生活。」

然而語言的力量不單單影響個人,語言在現實世界的社會結構中也扮演十分重要的角色。社會可以透過命名讓事物露面,而民族國家的概念既是從語言中變出來的,也是由地理或一群人變出來的。

轉換語言有時意味著,某些能用某種語言清楚表達的想法,改用另一種語言卻變得難以描述。圖/pexels

轉換語言有時意味著,某些能用某種語言清楚表達的想法,改用另一種語言卻變得難以描述。德文的名詞有性別之分,所以可以玩一玩在英文中玩不了的文字遊戲。詩人海涅(Heinrich Heine)寫說,覆蓋著白雪的松樹愛慕一棵晒黑的東方棕櫚;在德文中,松樹是陽性名詞,棕櫚是陰性名詞,但這種細微變化在翻譯成英文後就消失了。

有時情況也會反過來。用英文可以講「他的車和她的車」,但用谷歌翻譯譯成法文時會攪在一起,變成「savoiture et sa voiture」(他的車和他的車),因為車子的性別比車主的性別重要。在俄文中,你所能想像出各種類型的雪和暴風雨都有不同的用字。有些語言只有五個表達顏色的詞,但英語的相關用詞有很多。我在前面強調過,模式(pattern)對我來說是重要的概念,然而當我嘗試把 pattern 這個字翻譯成法文時,卻發現沒有一個詞能夠描述它在英文裡代表的許多層面。

我的偶像高斯也對語言差異的重要性深深著迷。在學校裡,老師對他運用拉丁文和閃電般迅速精通古典文學的能力印象深刻。事實上,接受布朗施維克公爵資助的高斯,差點就選擇讀語文學(研究語言史的學門),而不是數學。

數學背後的不只有一種「語言」

我自己走上數學這條路的歷程也有點相似。小時候我想當間諜,以為語言是和全世界特務同行溝通的重要技能,所以在讀綜合中學時報名了校內所有的語言課:法語、德語、拉丁語,甚至開始收聽 BBC 的俄語廣播課程。

只不過,我在外語學習方面不像高斯那麼有天分,這些語言在我看來全是不規則動詞和奇怪的拼字。間諜生涯夢碎,我變得非常沮喪。

此時貝爾森先生給我一本書,書名叫做《數學的語言》(The Language of Mathematics),我才明白數學也是一種語言。我覺得他看出我正渴望一種沒有不規則動詞、一切都解釋得通的語言,但他也知道,我抗拒不了這種語言描述周遭世界的強大說服力。

數學不只是一種語言,而是許多種語言。圖/pexels

我在這本書裡發現,數學方程式可以述說行星橫越夜空的故事,對稱性可以解釋泡泡、蜂巢或花朵的形狀,數字是和聲學的關鍵。如果你想描繪宇宙,你需要的不是德語、俄語或英語,而是數學。

《數學的語言》還告訴我,數學不只是一種語言,而是許多種語言,它很擅長創作詞典,可把一種語言轉換成另一種,好讓捷徑在新的語言中出現。

數學史上不時會有類似的輝煌時刻。

換種方式讀懂世界

十六世紀的義大利科學家伽利略(Galileo Galilei),意識到代數語言理解自然界的本領,曾寫下一段很有名的文字:

「如果不先學會理解這種語言,認識它的書寫符號,就無法了解宇宙。它是用數學語言寫成的,所用的書寫符號是三角、圓和其他幾何圖形,沒有這些符號就一個字也看不懂;沒有這些,就會像在黑暗迷宮中徘徊。」

在宇宙的諸多故事裡,他希望讀懂的是,了解物體如何落地的難題。東西掉到地上或飛過空中的方式有什麼規律嗎?因為物體通常掉落得太快,要蒐集物體從高樓掉落的資料很困難,但伽利略想到聰明的點子,可放慢實驗速度,方便他蒐集所需的資料。他不是讓東西落下,而是去探討球滾下斜坡的方式,這對他來說速度夠慢,可以記錄球每過一秒滾動了多遠。

斜面必須夠平滑,球才不會因摩擦力減速。伽利略希望盡量接近球在空間中落下的情形。他搭起光滑的表面,開始記錄球每秒行進的距離,馬上就發現有個非常簡單的模式浮現出來了。如果球在一秒後移動了 1 單位的距離,那麼在下一秒它會滾過 3 單位的距離,再下一秒是 5 單位的距離。隨後的每一秒,球都在加速,滾過更多地方,但它走過的距離只有奇數。

等到伽利略考慮行進了一段時間的總距離,物體落地方式的祕密就曝光了。

行進 1 秒後的總距離= 1 單位

行進 2 秒後的總距離= 1 + 3 單位= 4 單位

行進 3 秒後的總距離= 1 + 3 + 5 單位= 9 單位

行進 4 秒後的總距離= 1 + 3 + 5 + 7 單位= 16 單位

總距離永遠是平方數。圖/天下文化

你注意到模式了嗎?總距離永遠是平方數。但為什麼奇數會與平方數有關呢?把數字轉換成幾何,就可以找到答案。

——本文摘自《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
113 篇文章 ・ 597 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。