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數學可以多感性?從跨領域課堂裡開展的《感官數學》

Sharkie Lin_96
・2017/09/26 ・2905字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 506 ・六年級

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數學給人的印象通常是代表嚴謹、秩序、理性,很難和熱情、創造、感性聯想在一起,不過北歐的芬蘭在今年夏天(五月到八月)顛覆大家對數學的刻板印象,辦了一個混搭數學、藝術、建築的互動展覽──《感官數學》 (Sensual Mathematics exhibition)!

source:Heureka

這是由芬蘭建築師阿爾瓦爾.阿爾托(Alvar Aalto)為名的阿爾托大學(Aalto University)主辦,地點位於赫爾辛基近郊的芬蘭科學中心(Heureka Science Centre)。阿爾托大學是由三間大學合併而成,分別是赫爾辛基理工大學、赫爾辛基經濟學院與赫爾辛基藝術設計大學,各種領域可說是應有盡有。

這是間結合三所學校的大學,會出現什麼厲害的課也不意外,不過在數學系出現了一門課名為「鏡廳中的水晶花,當數學遇上藝術與建築」(Crystal Flowers in Halls of Mirrors: Mathematics meets Art and Architecture)還是讓人驚呼了起來,課程名稱不僅有創意,同時還宣告混搭了數學、藝術和建築,完全是門跨領域的課程。幕後的功臣是阿爾托大學數學系講師 Kirsi Peltonen,她和其他教師可是花了整整兩年的時間籌備,從 2013 開始每兩年開設這門課,以水晶花做為象徵,把數學的美分享給更多人,《感官數學》便是這門課的學生創作成果展。

圖/Heureka Twitter

選修學生從大一新鮮人到博士班的學生都有,包含藝術、數學、建築與工程領域;這不僅是門跨領域的課程還跨越了文化,參與的學生來自許多不同國家,像是印度、中國、哥倫比亞、芬蘭等;除了學生之外,帶這門課的教師當然也來自許多領域,在課前的籌備期間更是有許多溝通,像是一個禮拜開兩次會,一次會的時間長達三小時,可見其用心。

雖不能親臨,但還是一起來展場走一遭吧

這次的展覽希望藉由營造出特殊場域,為觀眾帶來深度的參觀經驗,試圖打破大眾對數學的刻板印象。8 件作品皆是以垂直懸掛的方式呈現,挑高的展品讓觀眾自然地抬起頭來仰望,如同觀看芬蘭的森林生長一般觀看數學藝術作品;不僅如此,每件作品下方都放置了反射鏡面裝置,可以左看右看也可以上看下看,看著看著都要哼起歌來,是個相當聰明的展示手法。

這些作品是學生們親手從原型(prototype)慢慢開始打造的,作品解說可見此以下這部影片。接著,就讓我來特別介紹幾件別具巧思的作品吧!

首先是〈數學花園〉(Mathematical Garden),作者們希望打造一個有機的花園並且融入一些數學原理,設計的原點是來自兩種柏拉圖多面體(Platonic Solids),分別是正 12 面體(Dodecahedron)與正 20 面體(Isosahedron)中的元素,再利用黃色和藍色的半透明材料相互拼接,打上燈光後成為全場最具色彩的作品。有趣的是,本件作品運用了多面體的元素,卻又不侷限在多面體的型式。

〈數學花園〉(Mathematical Garden)。圖/截自Sensual Mathematics exhibition影片

〈影子燈籠〉(Shadow Lanterns)這件作品是受到數學教授 Henry Segerman 的作品啟發,在愛丁堡的《燦爛幾何Brilliant Geometry》Henry Segerman 利用球極平面投影將物體從圓球面投影至平面,利用互動光影裝置將複雜的幾何原理可視化,並且讓大眾親近幾何的燦爛之美;而《感官數學》中的〈影子燈籠〉更進一步,把被投影面從平面改成曲面,呈現方式是在圓柱型的燈罩內面放入立方體鋪磚(tiling of cube)。

〈影子燈籠〉(Shadow Lanterns)。圖/截自Sensual Mathematics exhibition影片

〈奇異十三〉(The Peculiar Thirteen)想要表現音樂的數學本質,設計了可讓觀眾自行玩耍製造悅耳聲響的裝置,不僅讓數學看得到,聽得到、還玩得到!這樣的多重感受相當令人耳目一新,我還因此重複播放了好幾遍呢。本件作品在音調的比例設定為3:1,有別於一般全音階的音調比例 2:1。

〈奇異十三〉(The Peculiar Thirteen)。圖/截自Sensual Mathematics exhibition影片

其他的作品還包含利用摺紙原理製作大型結構,將謝爾賓斯基三角形立體化,以相似的四面體生成有如曼陀羅(Mandala)的圖形,以數學方程式生成三維空間的曲線,利用莫列波紋(Moiré pattern)製造幾何流等,在數學原理與藝術表現上都非常多元。

鏡廳中的水晶花

這門課從 2013 年以來的籌備過程與精采成果,集合成一篇文章登上了 2016 年在芬蘭舉辦的 Bridges [1],這是世界上最大的數學藝術研討會,真心期待有天出現金主贊助讓我可以去展覽自己的數學藝術創作呢。

這門「鏡廳中的水晶花,當數學遇上藝術與建築」的課程,並不像是許多展覽只能在展期曇花一現,有些作品被保留下來永久展示成為校園的一朵花,像是 2013 年有件直徑大於 5 公尺名為 Innotorus 的張拉整體式結構(Tensegrity)作品,懸掛在建築師阿爾瓦爾·阿爾托與埃里薩.阿爾托(Elissa Aalto)設計的主建築 B 棟上空,對於學校而言也是一個小小的創舉。

2013 年有件直徑大於 5 公尺名為 Innotorus 的張拉整體式結構(Tensegrity)作品,懸掛在建築師阿爾瓦爾·阿爾托與埃里薩.阿爾托(Elissa Aalto)設計的主建築 B 棟上空。圖/BY Mikko Raskinen@Aalto University

2015 年的作品 Möb&ius 是由兩個部份構成的,利用光學錯視的手法,讓兩組相隔很遠的木條在某個視角上看起來就像是連續的莫比烏斯環。這件作品被放置在阿爾托大學主建築的庭園上。其他還有許多精彩的作品,可以參見登在 Bridges 2016 的文章

2015 年的作品 Möb&ius 是由兩個部份構成的,利用光學錯視的手法,讓兩組相隔很遠的木條在某個視角上看起來就像是連續的莫比烏斯環。圖/Adolfo Vera

改變學習經驗與視角的跨領域課程

這門課的教師讓學生在面對幾何創作時,充分運用了理性與感性兩者合一的特性,讓數學與藝術變得不再有距離,也改變了學生的學習經驗與觀看視角。

有一位來自哥倫比亞的數學系學生分享修這門課的心得,他覺得以前在家鄉念書的時候覺得數學很無聊,無論是上課、解題或是做其他事都是自己完成;來到這裡修了這堂課,經常要和小組成員分享自己的想法,在過程中獲得許多樂趣,更覺得有責任要把自己了解的全部知識向其他人分享[2],真是一位以行動表達不能只有我知道的數青呢。

《感官數學》融合了數學、藝術、建築,以藝術品的質感加上互動展示的手法成功地營造一個特殊的場域,讓每一位觀眾無論數學懂得多或懂得少,都能以多重感官親身感受數學之美,讓數學不再只是大腦的智力遊戲。

雖然由於展覽遠在歐洲沒法親自拜訪,卻不禁尋思台灣有沒有可能讓數學家(科學家)與藝術家聚在一起共同動手創作,只為了翻轉大眾對數學的印象,以及帶給觀眾更好的數學體驗。

如果可以不限形式,你/妳會想怎樣去體驗數學?愈是意想不到的地方或許有愈多可能呢,像是廚房

參考資料:

  1. Peltonen, K. (2016). Crystal Flowers in Halls of Mirrors: Mathematics Meets Art and Architecture. Bridges Finland Conference Proceedings, Tessellations Publishing: 1-8.
  2. Sensual Mathematics
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Sharkie Lin_96
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在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

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原來數學也可以用在這裡?生物巧妙運用數學模式,克服了移動上的物理限制——《生物世界的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/10/26 ・1541字 ・閱讀時間約 3 分鐘

步調模式千變萬化

生物體移動時所受的限制是屬於物理學的。如果該生物使用的是肢體,這些肢體必須強壯到可以支撐作用在牠們上面的力量。(我看過不少設計較差的機器人在移動時散掉。)其他形態的移動也一樣,如果是游泳,該動物就要全力對付流體力學的定律。物理定律影響動物的移動是很明顯的,不值得奇怪。顯然,在這個情形當中,數學提供了各式各樣的模式,而被生物學拿來運用。很少不會用到,不管多麼奇特。

游泳時要全力對付流體力學定律。圖/Pexels

物理學的影響還要更深入。單有腿也沒有用,除非你有可以控制腿的神經系統。運動與神經網路是一體的,兩者一定要一起演化,而不是個別的。另外,正如負責感覺的神經網路一定會模擬外在世界的模式,因此負責運動的神經網路,必定會模擬動物身體的機械性模式。

我很懷疑這種共同演化真的有可能或很容易發生,因為下面這個顯著的事實:像肢體這樣的物理系統的自然振盪模式,跟神經網路的振盪模式是一樣的。早在肢體和腦變成完整的生物結構之前,就已經有一種普遍的步調韻律存在了,潛在地將動物的肢體關聯到腦。步調節奏提供了存在於演化相空間中、等待被使用的模式。

形形色色的生物移動

這模式的確一直被應用。差不多所有的生物都會移動,甚至連最固定不動的植物也會向光彎曲,最微小的浮游生物也會隨波逐流——但是,獵豹在追逐獵物時,可以跑到每小時一百一十公里,這移動真是快速啊!

生物體的種類這麼多,而移動的方式也是千變萬化。細菌利用會旋轉的微小螺旋槳使自己在水中推進,就像船一樣;像草履蟲(Paramecium)這類單細胞生物,則能藉由揮動鞭毛來選擇運動的方向。

(圖七○)Centronotus gunnellus 這種鰻魚肌肉收縮的波形。圖/《生物世界的數學遊戲》

運動的數學模式形形色色,更是令人印象深刻:草履蟲鞭毛的移動有如行進波,就像是玉米田在微風吹拂下產生的浪波;細菌的旋轉螺旋所成幾何圖案之美是無可比擬的;蛇和鰻是靠肌肉收縮做波狀蠕動行進(圖七○);響尾蛇在熱燙的沙漠中滾動,像一個捲曲的彈簧;尺蠖走動時是尾巴頂到頭部,整個身子呈 ∩ 狀,然後前端再向前行並伸展成-字形。

信天翁滑翔時羽翼僵直不動,偶爾慵懶地鼓翼一下,以有蹼的腳劃過水面,而後用笨拙卻迷人的方式飛跑而起;大象拖著沉重的腳步,緩慢橫過空曠的熱帶大草原,一次移動一隻腳(圖七一),模式就像那隻在海邊市鎮漫步的拉布拉多獵犬。

(圖七一)大象的慢步行走。圖/《生物世界的數學遊戲》

駱駝行走的模式又不一樣了:先同時移動兩隻左腿,然後是兩隻右腿〔稱為「溜蹄」(pace)〕,身子左右搖擺有如醉漢一般。松鼠又是另外一種模式:跳一下,停一下,然後再跳一下;如果遇到警訊,就省掉「停」的步驟。

Carparachneaureoflava 這種車輪蜘蛛會像一個有八個輪輻的輪子般,滾過沙漠。世界上有一種會跳躍的蛆〔較正式的稱呼為Ceratitis capitata(地中海果實蠅)的幼蟲〕,會把自己扭曲成 ∩ 形,然後再伸直,就像一顆砲彈般跳入空中,形成一個完美的拋物線。

——本文摘自《生物世界的數學遊戲》,2022 年 9 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
110 篇文章 ・ 597 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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比大還要再大!比「無窮」還要更大是什麼概念?——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/28 ・2660字 ・閱讀時間約 5 分鐘

我們都知道無窮(infinity)是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時,一定會想知道一件事:

什麼事物比無窮大?圖/經濟新潮社

比無窮還大?有可能嗎?

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題,也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」,而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看,但我們或許應該先訂好遊戲規則,讓大家知道該怎麼思考。

具體說來,我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物?如果是有限的量,要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易,但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷,所以必須選擇簡單明瞭的規則,用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼,在一般、有限的狀況下,我們通常怎麼判定「較大」?我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思?

右邊這一堆比左邊的更大圖/經濟新潮社

沒錯,用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人,這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念,我們該如何解釋右邊這堆較大?真的,試試看就知道。這個概念太基本了,其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時,數學中有個常用的技巧,就是提出完全相反的問題,看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?

我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?圖/經濟新潮社

我們不能用「相等」這個詞,因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思,以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來,一個對一個。如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。

如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。圖/經濟新潮社
圖/經濟新潮社

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來,就能得到「較大」的定義。

圖/經濟新潮社

現在問題已經定義清楚了,答案也隨之確定。那麼,世界上有什麼事物比無窮更大?答案是「是」還是「否」?世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘?現在我們可以思考之後猜猜看。

無窮跟無窮 +1 誰比較大?

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子,裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體,袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大?好吧,如果是無窮加一呢?

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響,但我們用配對規則來確認看看。首先,我們可以把無窮袋中的物體排成一排,這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

如果我們以最顯而易見的方式配對,無窮加一看起來當然更大。

不過要小心!規則指出,兩個事物必須無法正好兩兩配對,才會有一者較大。(最好經常回頭看清楚規則!)還有一種配對方法確實可行,而且兩方都不會有剩餘:

如果你覺得這樣好像在騙人,請花點時間告訴自己,這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對,而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體,不會有物體配對不到,所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮!

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

無窮大飯店!如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊,沿著走廊有一排房門,連綿不絕地延續下去,無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭,所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房,每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌,飯店裡每間房間都住滿了(對,這個世界裡有無限多個人)。如果沿走廊隨意走一段距離,選一扇門敲幾下,就會聽到:「有人!請勿打擾!」無限多間房間,裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說:「請問還有房間嗎?」我們不是第一天在無窮大飯店工作,當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說:「各位來賓,抱歉打擾一下,請各位來賓搬到下一間房間。沒錯,請收拾好行李,走出房門,朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作,祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後,就有房間給新住客了。

無限多間房間,無限多加一位住客,房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

無窮加五、無窮加一兆……都沒關係,這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對,可以多裝進一位客人。無窮非常大,任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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圓形 = 三角形?形狀之間的秘密關係——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/27 ・1427字 ・閱讀時間約 2 分鐘

數學家通常都想很多,這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念,試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時,很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問:形狀是什麼?構成形狀的要素是什麼?我們以形狀分辨物體時,會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的,以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼?當我們說某樣東西是圓形時,看到的是什麼呢?

形狀百百種,可以量化嗎?

當然,這些問題沒什麼意義。就實際用途而言,我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想,形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了,我們或許會問自己這個問題:

世界上有多少形狀?圖/經濟新潮社

這個問題很簡單,但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法,稱為廣義龐卡赫猜想(generalized Poincaré conjecture,或譯龐加萊猜想)。這個猜想提出至今已經超過一百年,目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多,有一位數學家解出這個問題的大部分,因此獲得了100萬美元獎金,但還有許多種形狀沒有找到,所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀?如果沒有更好的點子,有個不錯的方法是畫出一些形狀,看看會有什麼結果。

我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社
我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎?波浪線(squiggle)應該全部算成一大類,還是應該依彎曲的方式細分?我們需要一種通用規則來解決這類爭議,才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師,通常會希望規則既嚴謹又精確:必須長度、角度和曲線都完全相等,兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學(geometry)這個數學領域。在這個領域裡,形狀嚴格又精確,經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

決定兩個形狀是否相同的規則相當多。圖/經濟新潮社

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀,但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則,它能夠把所有的形狀分成若干類別,但類別的數量又不至於太多。

所以三角形可以等於圓形。圖/經濟新潮社




——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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