數學X性別X文學──東野圭吾小說的莫比烏斯環

記得 2018 年初我在谷歌搜尋引擎裡打入「莫比烏斯」，出乎我意料之外第一頁跳出的全是關於電影《莫比烏斯》的訊息。我本來對此電影毫無所知，瞄了一下摘要文字，原來是一部沒有臺詞，內容又涉及閹割和亂倫的韓國電影，真是有點讓人感覺噁心。

再用英文 Mobius 打入谷歌，結果出來的都是電玩《莫比烏斯 Final Fantasy》的訊息。這是一款可以在手機上單打獨鬥的遊戲，需要操作喪失記憶的主角與各種魔物在未知世界裡廝殺。其實我想找的是數學家莫比烏斯（August Ferdinand Möbius），哪裡知道他的大名已經移植到與數學不相干的場域。

天文學家的數學遺產

日爾曼地區在莫比烏斯出生的時候，還沒有一位國際知名的數學家。但當他過世時，日爾曼的數學家已經發揮強大的影響力，吸引各國年輕人紛紛前來學習。這種巨大轉變的產生，關鍵性因素是高斯的橫空而出，徹底革新了數學的面貌。

1815 年莫比烏斯曾去哥廷根跟隨高斯學習理論天文學，次年進入萊比錫（Leipzig）天文臺擔任觀察員。十九世紀初的日爾曼世界，當天文學家遠比數學家有更良好的聲譽和安穩的待遇。高斯跟莫比烏斯同樣是寒門出身，不也在 1807 年開始終身領導哥廷根天文臺嗎？

莫比烏斯雖然最終成為萊比錫大學的天文學正教授，但是時至今日他所留下的學術遺產，卻是在數學裡多方面的貢獻，最有趣的是他晚年所發現的一條極簡單又美妙的環帶：莫比烏斯環帶。

請讀者拿一張長紙條，把一端轉 180 度與另一端黏在一起，便完成了神奇的莫比烏斯環帶。這個環帶突出的特性是它只有單面，不像原來的紙帶有正反兩面。那麼有一個面到哪裡去了？當你沿著紙帶表面向前走到原來的一端時，因為已經做過半圈的旋轉，你現在就滑入了原來紙帶的背面。於是在莫比烏斯環帶上走啊，走啊，永遠不需要翻過側緣，也永遠碰不到盡頭。

在空間裡看起來扭曲的莫比烏斯環帶壓扁到桌面上，就得到圖 17-1 左邊的平面摺疊圖形。此圖與右邊谷歌雲端硬碟的商標（2012–2014）很相似，相異之處在於商標左側的那段紙帶是在底側紙帶的上面。

其實，我們可以用摺紙方法製作這個商標。首先拿出一張長條紙，我們要在一端摺出一個60度底角。

在圖 17-2 裡，先把長條紙上下邊緣對齊，產生一條中線。然後把左邊緣的線段 DO 往中線摺疊，使得點 D 碰觸到中線上的點 A，於是角 BOC 就剛好是60度。為什麼呢？讓我們從 A 作垂直線段 AB，假設 AB 的長度是 1，則 AO = DO 便為長度 2。從三角關係便知角 AOB 為 30 度，從而角 AOD 就等於 60 度；但因角 AOC 與角 COD 相等，所以角 AOC 也是 30 度，那麼角 BOC 只好是 60 度了。

在長條紙上摺出了 CO 這條摺痕，接著我們用剪刀沿著 CO 剪下去，把三角形 COD 丟掉。然後把 O 點摺到上緣，使得線段 CO 與上緣邊線重合，就會產生一個正三角形。下一階段用這個正三角形做為模板，把長條紙反復摺疊，打開後修剪掉右邊多餘的紙條，就成為具有 15 個正三角形摺痕的紙條，如圖 17-3。

最後沿兩條粗摺線（在摺紙的術語裡，左邊的虛線稱為谷摺、右邊的點虛線稱為山摺），把左段摺在前面，右段摺到背面，右端放在左端上面，用膠紙黏合，就得到谷歌雲端硬碟的商標。如果仿照旋轉紙帶製作莫比烏斯環帶的方法，我們可以抓緊長條紙帶一端，把另一端同方向旋轉三個 180 度後黏合，然後壓扁到平面上，也會得到商標的圖形，只是邊的長度也許沒那麼整齊。

環帶的靈感何處來？

有人說莫比烏斯是偶然間發現了這樣的環帶，其實這是有點戲劇化的講法。莫比烏斯在研究如何構成多面體時，使用了一種基本的想法，就是以黏合三角形來逐步形成多面體。為了準備參加巴黎科學院有關多面體幾何理論的競賽，莫比烏斯也研究了非封閉型（也就是會有邊界）的多面體，他從操作類似圖 17-1 的摺疊圖發現了單面曲面。在莫比烏斯身後出版的著作全集裡，收錄了一篇未曾發表的 1858 年文稿，其中包含了旋轉 3、4、5 個半圈的環帶，如圖 17-4。

可見莫比烏斯有系統的分析了這類環帶，發現旋轉半圈的次數如果是奇數，產生的環帶只有單面；但如果次數是偶數，則環帶仍然保有正反兩面。他更深刻的察覺，這些單面曲面上無法賦予明確的方向，也就是說你從一點出發，也知道當時的順時針方向為何，而當你沿著環帶遊歷一周後，雖然處處你都覺得延續了正確的順時針方向，可是返回出發點時，卻與原始的方向背反。莫比烏斯環帶破壞了所謂的可定向性，這是屬於曲面的拓撲性質，是比度量長度、角度、面積、體積更寬鬆的幾何性質。

1858 年莫比烏斯寫下單面曲面研究成果前幾個月，另外一位現在少為人知的數學家李斯廷（Johann Benedict Listing）已經作出同樣的環帶。莫比烏斯要到 1865 年才在公開發表的著作裡披露單面環帶，而李斯廷在 1861 年出版的專著裡，便公布了單面環帶的存在。李斯廷甚至在 1847 年出版有史以來第一本使用「拓撲學」這個名稱的書（德文書名為Vorstudien zur Topologie）。不過，今日即使想替李斯廷討個公道，把莫比烏斯環帶改名為李斯廷環帶，恐怕也無能為力了。

製作莫比烏斯環帶是如此的簡單，很難不讓人懷疑為什麼沒有人更早發現它呢？在李斯廷之前的數學文獻裡，到目前為止沒有發現有關莫比烏斯環帶的記載。那麼我們探索的對象何不轉移到各種藝術圖像呢？結果在義大利的古跡山提農（Sentinum）羅馬別墅中，發現西元前 200 年至西元前 250 年期間的地板馬賽克，正中央描繪了永恆時間之神艾永（Aion）站在一條代表黃道諸星辰的環帶之中（如圖 17-5）。當我們仔細沿著環帶移動時，能夠毫無疑義分辨出是在一條莫比烏斯環帶上游走。現在還可在多處看見古羅馬遺留下艾永的繪像、浮雕、馬賽克，然而唯有在山提農的別墅中，艾永所踩的環帶是莫比烏斯環帶。

山提農的馬賽克在 1828 年送進慕尼黑的博物館，三十年後李斯廷與莫比烏斯先後研究這個特殊的環帶，他們是否曾經去慕尼黑參觀過博物館，因而受到古羅馬人的啟示呢？我們恐怕永遠也無法確知，然而要寫一本《莫比烏斯密碼》之類的書，也許有可能編織出充滿懸疑的故事。

• 作者 / 林伯謙。
  作者介紹：畢業於世新大學法律學系，目前就讀世新大學法律研究所，從小患有脊髓性肌肉萎縮症，雖然身體的障礙，但從來不影響我看世界的角度，熱愛關係社會時事，並且以人權之角度來看待分析社會議題，曾經擔任世新大學特教推行委員的委員，目前也從事主持並製作以障礙者為主的廣播節目，未來更去挑戰更多的不可能。

2017 年 5 月 24 日，在我國不論是憲法史或是社會發展上，都是十分重要的一天，因為我國司法院大法官做出了釋字第 748 號解釋，正式宣告台灣的同性婚姻，取得跟異性婚姻一樣的保障。但就算大法官已在釋字第 748 號解釋，為性別平等（如性傾向）做出了一番努力，但無論我國機關或是法院對於性別議題還是趨於保守，比方說變更性別這件事。

想表達性別認同，卻被要求切器官的證明書？

筆者前陣子注意到一則新聞，主要內容是說有一位生理性別為男性的民眾，因自我認同是女性，想去戶政事務所將身分證上的男性變更為女性，但戶政事務所卻依照函釋認為：該位民眾必須提供二位精神科專科醫師的鑑定書，還有與摘除生理性器官完成的診斷書。

由於為了避免不肖人士利用變更來達到不法意圖，所以針對醫師確認，並要求提供鑑定，對於此部分筆者認為是合理的。但有疑慮的地方在於，該函釋要求變更性別的當事人，除了附上兩位精神科醫師的證明文書外，也必須附上性器官摘除手術完成的診斷書。對於摘除的要求，筆者認為並不合理，因為這違反了憲法上的平等原則。

變更性別為何要忍受差別待遇？

身分證上的註記只是為了區別身分，而「性別欄位」的變更，與「變更姓名」的變更，並沒有什麼大不同。

姓名比起性別，甚至更是代表社會活動的象徵，像是借款。而性別的區別在現今性別平等的社會中，也沒有那麼明顯影響公益的急迫性。

那麼當變更姓名只需要當事人去戶政事務所辦理即可，那麼為何變更性別還要如此繁雜手續：除了醫師證明還不夠，還必須切除器官證明，如此的差別待遇是否合理，即須進一步檢視。

這次的差別待遇，發生在孤立隔絕的少數身上

變更性別者之所以要申請調整，是因為他們心理與生理性別不一致的狀況，並無法用後天手段加以調整；他們縱然有生理性別特徵，但他們還是會將自己裝扮成心理所認同的性別。

而社會上的多數人卻經常以「人妖」等有歧視意味的詞來稱呼這個族群，且變更性別的族群仍舊為社會上的少數，所以在討論性別平等的時候，就會稱呼這樣的狀況為「孤立而隔絕之少數^[註1]」。

而點出「孤立而隔絕之少數」這件事，用意如大法官在司法院釋字第 748 號中所說：將來政府對於這番情況所做的差別待遇，應該要採取較為嚴格的審查標準，也就是要更仔細去審查，這樣的分類是否正當^[註2]。

也就是說，政府在做這項決定時，必須追求的是重要公共利益，而且所使用的手段與達成目的之間必須要有實質關聯。

摘除器官才能變更性別，這要求是否正當？

變更性別的流程，要求當事人於摘除器官之後，才可以進行變更。如此作法，雖然可能是要避免社會對於某人性別認知錯亂的問題，但跨性別者，通常會將自己裝扮成心理所認知的性別，只有極度親密的人才會知道真實性別，所以筆者認為避免他人誤認，很難算得上是具體的重大公益。

而且筆者實在想不出來，摘除器官這個手段與避免大眾誤認的目的之間有何實質關聯？

或許內政部可能認為，既然你都要變更成新的性別了，當然要把舊的性別性特徵移除，但試問有誰在一般社交場合，會去檢查對方有無摘除器官，以便確知跟身分證上面的性別顯示是一致的？

且當內政部仍然堅持必須摘除私密性器官才可以變更性別時，將會使已裝扮與另一個性別外型無二致的人，因為無法變更性別，讓身分證顯示與實況有出入，導致參與社會活動時，容易受到歧視對待——不論是求職或是聯誼等社會活動，長久下來更會對那些族群的心理與生理產生不小的壓力。

更何況，變更性別手術費用高昂、危險性高、術後照護困難，如同報導訪問醫師指出：因為變更性別手術是從身體原本沒有的器官製造出一個新的器官，而製作的材料通常是從身體上既存器官或是組織所產出，而這樣的器官終究並非自然天生存在，所以也容易後天造成開刀部位感染的問題。

再者，由於摘除的性器官是人體荷爾蒙主要產生器官，而缺少荷爾蒙會造成心理上與身體上不小負擔，也因此容易導致變更性別者壽命比起常人縮短^[註3]。

由此可知，假使變更性別手術的弊大於利，那麼有變更性別需求的民眾，為何還要為自己的認知而被迫賭上那珍貴的性命呢？

結語

針對內政部函釋，即變更性別的要求，就算去打訴訟來伸張權利，但不可諱言的，訴訟過程傷身耗時。相比之下，內政部只需要花費一點時間，就可以把函釋變更，卻依舊不為所動；換句話說，簡單在身分證上的性別欄位變更性別，其所耗費的行政資源遠遠不及當事人為訴訟所花費的成本。

號稱民主法治國家的臺灣，卻讓人民持續遭受委屈，實在是一大遺憾。

而當內政部不願意變更函釋，人民唯一能做的就是提起救濟，而近年相關案件也因有了「台灣伴侶權益推動聯盟」的協助，讓當事人不需要為此花費高額金錢聘請律師。

筆者有幸，也旁聽了該案件在台灣高等行政法院的言詞辯論。旁聽的過程中，也理解到就算大法官已於釋字第748號解釋中，為性別平權做了許多努力，但我國機關甚至法院可能還是會對性別議題——如這次的性別認同——趨於保守。

希望類似案件在九月宣判的時候，到時結果會是：應尊重跨性別者的意願，不再強迫規定要摘除性器官之後才能變更性別，徹底解決內政部怠惰不肯除去的違法產物，移除跨性別者追求自我的換證障礙，讓我們能對世界驕傲疾呼臺灣是個重視性別平等的國家！

註釋

1. 孤立而隔絕之少數，是指這個群體有不可改變的特徵，而社會或是歷史上總是以特徵作為與其他群體的分類，而這個群體在社會或政治上較少注意。因為民主國家的決定大多數是以多數決的方式，所以這個群體因為人數比較少就比較無法以民主多數決方式發聲，也因此他們這個族群的需求比較難被大家注意到，所以長久下來容易造成這個族群在社會地位上跟其他多數族群容易發生不平等的現象，所以需要透過法律來幫助這個「孤立而隔絕之少數」的群體，能夠獲得與其他多數族群有一樣平等的地位。
2. 「…同性性傾向者過去因未能見容於社會傳統及習俗，致長期受禁錮於暗櫃內，受有各種事實上或法律上之排斥或歧視；又同性性傾向者因人口結構因素，為社會上孤立隔絕之少數…」
3. 其它詳盡觀察，可參考：徐淑婷，變性慾症患者變性手術後的身心社會適應，高雄醫學院行為科學研究所碩士論文，1998年。

參考資料

• 跨性別變更性別取消強制手術要件案 520 將言詞辯論
• LGBT 資訊專區－性別變更
• 變性手術風險大　影響心血管健康
• 法定性別變更須手術證明伴侶盟盼廢除 行政訴訟 9/23 宣判
• 變性慾症患者變性手術後的身心社會適應

＿＿＿＿＿ 防雷分隔線＿＿＿＿＿

＿＿＿＿＿ 再來一層防雷分隔線，復仇者要上場囉＿＿＿＿＿

我們都知道在《復仇者聯盟 3》中，薩諾斯大大一個彈指間，地球一半的生物灰飛煙滅。那麼問題來了：在《復仇者聯盟 4》（以下簡稱《復4》）裡頭，各路英雄究竟該怎麼把大家再給救回來呢？

電影用了個十分老派的方法：時空旅行。（以及一堆聽起來萬分浮誇的專有名詞，包括：量子物理、德意志悖論和莫比烏斯環……）

那麼，接下來就讓我們用科學的角度，看看這些花俏的名詞究竟要如何拯救世界。

想拯救被薩諾斯摧毀的世界，首先，來場時空旅行！

想要拯救那消失的 50% 的生物，首先就要談談那些不知道從哪裡來但反正就是超厲害的「無限寶石」們，就是因為有它們，薩諾斯才能轉眼毀滅半個世界。若是要救回那 50% 的生物，寶石可說是重要關鍵。可惜的是，毀完世界後，薩諾斯也順手把寶石們都毀光光了。因此，復仇者們必需回到過去各個時間點，尋回過去的寶石。

然而，時空旅行真的可行嗎？

若我們採用愛因斯坦在狹義相對論裡的說法，只要用接近光速的速度移動，理論上，我們都可以在短短的人生中，「往前」旅行數百萬乃至於數億年的光陰。但是、穿越「回去」則是相對而言十分困難的事。

許多人將時空旅行的希望寄託在「黑洞」上，在黑洞中心奇異點的位置，重力極大，造成時間空間破裂，因此將黑洞與白洞連結，兩者間將產生「蟲洞」，人們便可以此穿越時空。

• 想知道更多關於時空旅行的方法？讓動畫告訴你：

回到過去不容易，沒祖父就沒有你

回到過去的時空旅行會出現很明顯的邏輯悖論，就像是著名的「祖父悖論」。

「祖父悖論」的內容是：如果你穿越回去、殺死了年輕時的「你爺爺」，那麼照理說「你」根本就不會出生，但如果你從來就沒有被生出來，「你」又要如何回到過去把爺爺殺掉呢？

這樣牽一髮而動全身的時空旅行，發生在所謂的「封閉類時曲線」 (closed timelike curve，CTC)。有些理論認為，因為這樣的迴圈在物理上無法實現，因此，回到過去本身就是一件不可能發生的事。

此外，也有所謂的「希特勒悖論」：假設為了阻止希特勒造成生靈塗炭的第二次世界大戰，我們派出探員穿越時空回到二戰前，暗殺了希特勒，而後阻止了二戰爆發。那麼，問題來了：如果根本沒有所謂二戰，又幹嘛回到過去殺掉希特勒呢？在這次的時空旅行中，旅行本身就消除了一開始旅行的目的，讓這整趟旅程顯得無比弔詭。

• 覺得有聽沒有懂？看動畫更好理解喔：

展開吧！多重宇宙裡什麼都是有可能的！

那麼，在終局之戰中，復仇者們又是如何進行時空旅行的呢？

電影首先吐槽了《回到未來》等時空旅行經典電影（就說了不能用改變過去來干預未來了齁～）然後，復仇者們走了另一條路──替代宇宙 (alternative reality)。

替代宇宙的概念是，當你回到過去做了某些改變，就會因此製造出一個全新的宇宙，就像是將原本的一個世界分支出多重時間線。在物理上，我們稱之為「多世界詮釋」(the many-worlds interpretation)

而為了不要在拯救一個世界的同時創造出三百個新世界，復仇者們決定回到過去「借用」無限寶石，拯救完現在這個地球後，再把寶石們還回原本的世界，一樣的時間、一樣的位置，就像沒有借過一樣（！？）

聽起來很棒，但這能成功嗎？

所以…到底什麼是量子物理？

在《復4》中，我們會一直聽到量子物理，的確，現在有許多時空旅行的新理論都以量子物理為基礎，而其中有些理論，似乎解決了祖父悖論的問題。

恩……所以到底啥是量子物理？這其實是一種看待萬物的不同方式，在量子物理中，原子粒子更像是一種模糊不清的概率波。有多模糊不清呢？你永遠都不可能「同時」知道某個粒子現在在哪兒跟它要往哪裡移動。你只能知道它大概會有某些機率出現在某個特定地點。

一位英國物理學家大衛‧多伊奇 (David Deutsch) 便將這個概念結合了多重世界理論 (Many Worlds theory)，而後發現，只要你用概率的方式去表達一切(把概率推到極致)，你就可能可以解決祖父悖論。

怎麼說呢？就像是粒子充滿了無盡可能，回到過去的旅行者也只有部分機率會殺掉他的祖父，如此一來你也沒死、祖父也沒死，真是可喜可賀可喜可賀啊！如此一來，也就打破了前述的因果關係循環。事實上，這在模擬中，已經成功了。

這看起來或許有些奇怪（加上電影用了很浮誇的方式在敘述），不過，實際上的量子力學，可能比這個還要難懂。別擔心，你並不孤單，畢竟科學家們自己也都還沒有搞清楚。

關於量子力學，還有哪些名詞你該知道：

普朗克尺度 (Planck scale)：所謂的普朗克尺度呢，看的是非常非常非常小的東西，普朗克長度、普朗克時間、普朗克質量等等都是物理上用來敘述的最基本單位。而一個普朗克長度是 1.616 × 10⁻³⁵ 公尺，沒錯，就是這麼小。這個距離，便是光在一段普朗克時間（約為 5× 10⁻⁴⁴ 秒）內前進的距離。

反莫比烏斯環 (Inverted Möbius strip)：那麼東尼看著的那個看起來超級厲害的「反莫比烏斯環」又是個什麼東西？恩……查無資料。但我可以跟你說莫比烏斯環是什麼。

想要做出莫比烏斯環其實很簡單只要拿張紙，轉 180 度，再把它的兩端黏起來就可以了。不過，可別小看這個環，它藏有許多奇妙的性質，它沒有正反面的分別，而是僅有一面，也就是說，你在環上隨便找個點往前畫畫畫畫畫，最後都會回到原本的地方，而且會將各處都塗滿同一個顏色。

排除掉那些看起來漂亮但不知道在幹嘛的名詞，《復4》的劇情實在花了許多力氣試圖完整時空旅行的方法、解決時空旅行悖論。

於是，一天又平安地過去了，感謝復仇者們的努力。

參考資料：

• Avengers: Endgame exploits time travel and quantum mechanics as it tries to restore the universe [2019.04.24] The Conversation