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《天才無限家》:直覺與驗證的相遇

活躍星系核_96
・2016/06/12 ・1517字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 578 ・九年級

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文/橘貓

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由以《貧民百萬富翁》走紅的戴夫帕托飾演數學天才拉馬努金。

在開始談《天才無限家》( The Man Who Knew Infinity )之前,不知道大家記不記得經典電影《心靈捕手》( Good Will Hunting )?

在《心靈捕手》當中,數學教授 Gerald 試圖說服羅賓威廉斯飾演的 Sean,輔導當時正處在人生低潮的天才學生(由麥特戴蒙飾演)。所以,在用餐時,他提及一段歷史著名的奇緣:曾經有一名來自印度的數學天才,能夠無師自通,提出讓學界讚嘆不已的奧妙公式,他將自己的成果寄給一位劍橋的教授,而那位教授慧眼識英雄,決定與他一起從事研究,他們聯合破解了數學史上最難解的謎題,成就一段美妙的佳緣。

那位來自印度的數學天才叫做拉馬努金( Srinivasa Ramanujan ),而輔導他的教授則是英國數學家哈代( Godfrey Harold Hardy )。這兩個天才相遇的故事,就是英國傳記電影《天才無限家》的劇情主軸。從《心靈捕手》到《天才無限家》,同樣的千里馬與伯樂,證明了相知相惜的情誼,在任何時空背景都依然成立。

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https://youtu.be/VjeHabZDWMk

數學,是這兩位天才相遇的背景,也是牽動一切的源頭。

1913 年,拉馬努金只是印度清奈的一個小職員,他沒有受過高等教育,但靠著有限的素材努力自學,投入高等數學的領域。然而,生活中的繁重壓力卻讓他沒辦法一心從事研究,他於是決定將自己的成果寄給劍橋大學三一學院的院士:戈弗雷哈羅德哈代。

兩人見面之後,哈代認可拉馬努金的驚人天賦。於是,負責輔導拉馬努金,使他能成功讓自己研究成果問世的責任,自然就落到了哈代身上。哈代與同樣是院士的摯友李特爾伍德( John Edensor Littlewood )一同輔導拉馬努金,而他們遇到最重要的問題,就是拉馬努金沒有辦法接受數學「證明」的重要性。

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然而,天才的直覺,沒有辦法容納於驗證的繁瑣。當哈代要求拉馬努金為自己的公式提出證明,兩人的學術價值觀出現了衝突。這也帶出了更抽象的價值碰撞,拉馬努金對宗教的信仰,訴求著根本的熱情,而以懷疑為本的哈代,則試圖以嚴謹的態度面對拉馬努金的直覺。

「一個方程式對我來說沒有意義,除非它代表了神的想法。」拉馬努金用玄妙的方式解釋了他的數學推理,而哈代作為一個無神論者,則在不斷的挑戰、要求、鼓勵之下,試圖向世界解釋拉馬努金的巨大成就。

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為揣摩角色,傑瑞米艾朗花了許多時間,研讀哈代教授的手稿與親筆著作。

數學的推算,或許對不少觀眾來說是一個不討喜的題材。但是,就連在電影中飾演拉馬努金的演員戴夫帕托( Dev Patel )都承認,他個人對數學也並不擅長,而《天才無限家》絕非是一個只在「數學」奧妙上打轉的故事,相反地,它跟其他出色的電影相同,有著相當普世的核心情感。

哈代與拉馬努金的知遇之情,透過飾演哈代的奧斯卡影帝傑瑞米艾朗( Jeremy Irons )精準地表達在銀幕上。哈代透過算式感受到拉馬努金的才華與不被世人理解的艱辛,而後奮力奔走,試圖讓拉馬努金得到應有的榮耀。在故事的發展底下,數學算式只是媒介,富有才能的學士,對彼此的尊重與相知相惜,則是電影的核心。

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由狄薇卡畢絲飾演拉馬努金的太太珍娜琪。

回過頭來,觀賞《天才無限家》的過程像是閱讀半本傳記,我不能否認自己對於「身為天才」的體會有所侷限,會讓我在感受拉馬努金的情感時產生障礙,但是,正因為它像是半本傳記,背後留白的空間,才更能讓人對於「求知」有更多嚮往。

那些在電影裡還沒說完、我們也還沒看透的故事,或許才是每個渴望被理解的天才,真正想說的話。

 

本文轉載自友站 Punchline娛樂重擊

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活躍星系核_96
778 篇文章 ・ 127 位粉絲
活躍星系核(active galactic nucleus, AGN)是一類中央核區活動性很強的河外星系。這些星系比普通星系活躍,在從無線電波到伽瑪射線的全波段裡都發出很強的電磁輻射。 本帳號發表來自各方的投稿。附有資料出處的科學好文,都歡迎你來投稿喔。 Email: contact@pansci.asia

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數智驅動未來:從信任到執行,AI 為企業創新賦能
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/01/13 ・4938字 ・閱讀時間約 10 分鐘

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本文由 鼎新數智 與 泛科學 共同規劃與製作

你有沒有想過,當 AI 根據病歷與 X 光片就能幫你診斷病症,或者決定是否批准貸款,甚至從無人機發射飛彈時,它的每一步「決策」是怎麼來的?如果我們不能知道 AI 的每一個想法步驟,對於那些 AI 輔助的診斷和判斷,要我們如何放心呢?

馬斯克與 OpenAI 的奧特曼鬧翻後,創立了新 AI 公司 xAI,並推出名為 Grok 的產品。他宣稱目標是以開源和可解釋性 AI 挑戰其他模型,而 xAI 另一個意思是 Explainable AI 也就是「可解釋性 AI」。

如今,AI 已滲透生活各處,而我們對待它的方式卻像求神問卜,缺乏科學精神。如何讓 AI 具備可解釋性,成為當前關鍵問題?

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AI 已滲透生活各處,而我們對待它的方式卻像求神問卜,缺乏科學精神。如何讓 AI 具備可解釋性,成為當前關鍵問題?圖/pexels

黑盒子模型背後的隱藏秘密

無法解釋的 AI 究竟會帶來多少問題?試想,現在許多銀行和貸款機構已經使用 AI 評估借貸申請者的信用風險,但這些模型往往如同黑箱操作。有人貸款被拒,卻完全不知原因,感覺就像被分手卻不告訴理由。更嚴重的是,AI 可能擅自根據你的住所位置或社會經濟背景給出負面評價,這些與信用風險真的相關嗎?這種不透明性只會讓弱勢群體更難融入金融體系,加劇貧富差距。這種不透明性,會讓原本就已經很難融入金融體系的弱勢群體,更加難以取得貸款,讓貧富差距越來越大,雪上加霜。

AI 不僅影響貸款,還可能影響司法公正性。美國部分法院自 2016 年起使用「替代性制裁犯罪矯正管理剖析軟體」 COMPAS 這款 AI 工具來協助量刑,試圖預測嫌犯再犯風險。然而,這些工具被發現對有色人種特別不友好,往往給出偏高的再犯風險評估,導致更重的刑罰和更嚴苛的保釋條件。更令人擔憂的是,這些決策缺乏透明度,AI 做出的決策根本沒法解釋,這讓嫌犯和律師無法查明問題根源,結果司法公正性就這麼被悄悄削弱了。

此外,AI 在醫療、社交媒體、自駕車等領域的應用,也充滿類似挑戰。例如,AI 協助診斷疾病,但若原因報告無法被解釋,醫生和患者又怎能放心?同樣地,社群媒體或是 YouTube 已經大量使用 AI 自動審查,以及智慧家居或工廠中的黑盒子問題,都像是一場越來越複雜的魔術秀——我們只看到結果,卻無法理解過程。這樣的情況下,對 AI 的信任感就成為了一個巨大的挑戰。

為什麼人類設計的 AI 工具,自己卻無法理解?

原因有二。首先,深度學習模型結構複雜,擁有數百萬參數,人類要追蹤每個輸入特徵如何影響最終決策結果,難度極高。例如,ChatGPT 中的 Transformer 模型,利用注意力機制(Attention Mechanism)根據不同詞之間的重要性進行特徵加權計算,因為機制本身涉及大量的矩陣運算和加權計算,這些數學操作使得整個模型更加抽象、不好理解。

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其次,深度學習模型會會從資料中學習某些「特徵」,你可以當作 AI 是用畫重點的方式在學習,人類劃重點目的是幫助我們加速理解。AI 的特徵雖然也能幫助 AI 學習,但這些特徵往往對人類來說過於抽象。例如在影像辨識中,人類習慣用眼睛、嘴巴的相對位置,或是手指數量等特徵來解讀一張圖。深度學習模型卻可能會學習到一些抽象的形狀或紋理特徵,而這些特徵難以用人類語言描述。

深度學習模型通常採用分佈式表示(Distributed Representation)來編碼特徵,意思是將一個特徵表示為一個高維向量,每個維度代表特徵的不同方面。假設你有一個特徵是「顏色」,在傳統的方式下,你可能用一個簡單的詞來表示這個特徵,例如「紅色」或「藍色」。但是在深度學習中,這個「顏色」特徵可能被表示為一個包含許多數字的高維向量,向量中的每個數字表示顏色的不同屬性,比如亮度、色調等多個數值。對 AI 而言,這是理解世界的方式,但對人類來說,卻如同墨跡測驗般難以解讀。

假設你有一個特徵是「顏色」,在傳統的方式下,你可能用一個簡單的詞來表示這個特徵,例如「紅色」或「藍色」。但是在深度學習中,這個「顏色」特徵可能被表示為一個包含許多數字的高維向量,向量中的每個數字表示顏色的不同屬性,比如亮度、色調等多個數值。圖/unsplash

試想,AI 協助診斷疾病時,若理由是基於醫生都無法理解的邏輯,患者即使獲得正確診斷,也會感到不安。畢竟,人們更相信能被理解的東西。

打開黑盒子:可解釋 AI 如何運作?我們要如何教育 AI?

首先,可以利用熱圖(heatmap)或注意力圖這類可視化技術,讓 AI 的「思維」有跡可循。這就像行銷中分析消費者的視線停留在哪裡,來推測他們的興趣一樣。在卷積神經網絡和 Diffusion Models 中 ,當 AI 判斷這張照片裡是「貓」還是「狗」時,我需要它向我們展示在哪些地方「盯得最緊」,像是耳朵的形狀還是毛色的分布。

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其次是局部解釋,LIME 和 SHAP 是兩個用來發展可解釋 AI 的局部解釋技術。

SHAP 的概念來自博弈,它將每個特徵看作「玩家」,而模型的預測結果則像「收益」。SHAP 會計算每個玩家對「收益」的貢獻,讓我們可以了解各個特徵如何影響最終結果。並且,SHAP 不僅能透過「局部解釋」了解單一個結果是怎麼來的,還能透過「全局解釋」理解模型整體的運作中,哪些特徵最重要。

以實際的情景來說,SHAP 可以讓 AI 診斷出你有某種疾病風險時,指出年齡、體重等各個特徵的影響。

LIME 的運作方式則有些不同,會針對單一個案建立一個簡單的模型,來近似原始複雜模型的行為,目的是為了快速了解「局部」範圍內的操作。比如當 AI 拒絕你的貸款申請時,LIME 可以解釋是「收入不穩定」還是「信用紀錄有問題」導致拒絕。這種解釋在 Transformer 和 NLP 應用中廣泛使用,一大優勢是靈活且計算速度快,適合臨時分析不同情境下的 AI 判斷。比方說在醫療場景,LIME 可以幫助醫生理解 AI 為何推薦某種治療方案,並說明幾個主要原因,這樣醫生不僅能更快做出決策,也能增加患者的信任感。

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第三是反事實解釋:如果改變一點點,會怎麼樣?

如果 AI 告訴你:「這家銀行不會貸款給你」,這時你可能會想知道:是收入不夠,還是年齡因素?這時你就可以問 AI:「如果我年輕五歲,或者多一份工作,結果會怎樣?」反事實解釋會模擬這些變化對結果的影響,讓我們可以了解模型究竟是如何「權衡利弊」。

最後則是模型內部特徵的重要性排序。這種方法能顯示哪些輸入特徵對最終結果影響最大,就像揭示一道菜中,哪些調味料是味道的關鍵。例如在金融風險預測中,模型可能指出「收入」影響了 40%,「消費習慣」占了 30%,「年齡」占了 20%。不過如果要應用在像是 Transformer 模型等複雜結構時,還需要搭配前面提到的 SHAP 或 LIME 以及可視化技術,才能達到更完整的解釋效果。

講到這裡,你可能會問:我們距離能完全信任 AI 還有多遠?又或者,我們真的應該完全相信它嗎?

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我們終究是想解決人與 AI 的信任問題

當未來你和 AI 同事深度共事,你自然希望它的決策與行動能讓你認可,幫你省心省力。因此,AI 既要「可解釋」,也要「能代理」。

當未來你和 AI 同事深度共事,你自然希望它的決策與行動能讓你認可,幫你省心省力。圖/unsplash

舉例來說,當一家公司要做一個看似「簡單」的決策時,背後的過程其實可能極為複雜。例如,快時尚品牌決定是否推出新一季服裝,不僅需要考慮過去的銷售數據,還得追蹤熱門設計趨勢、天氣預測,甚至觀察社群媒體上的流行話題。像是暖冬來臨,厚外套可能賣不動;或消費者是否因某位明星愛上一種顏色,這些細節都可能影響決策。

這些數據來自不同部門和來源,龐大的資料量與錯綜關聯使企業判斷變得困難。於是,企業常希望有個像經營大師的 AI 代理人,能吸收數據、快速分析,並在做決定時不僅給出答案,還能告訴你「為什麼要這麼做」。

傳統 AI 像個黑盒子,而可解釋 AI (XAI)則清楚解釋其判斷依據。例如,為什麼不建議推出厚外套?可能理由是:「根據天氣預測,今年暖冬概率 80%,過去三年數據顯示暖冬時厚外套銷量下降 20%。」這種透明解釋讓企業更信任 AI 的決策。

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但會解釋還不夠,AI 還需能真正執行。這時,就需要另一位「 AI 代理人」上場。想像這位 AI 代理人是一位「智慧產品經理」,大腦裝滿公司規則、條件與行動邏輯。當客戶要求變更產品設計時,這位產品經理不會手忙腳亂,而是按以下步驟行動:

  1. 檢查倉庫物料:庫存夠不夠?有沒有替代料可用?
  2. 評估交期影響:如果需要新物料,供應商多快能送到?
  3. 計算成本變化:用新料會不會超出成本預算?
  4. 做出最優判斷,並自動生成變更單、工單和採購單,通知各部門配合執行。

這位 AI 代理人不僅能自動處理每個環節,還會記錄每次決策結果,學習如何變得更高效。隨時間推移,這位「智慧產品經理」的判斷將更聰明、決策速度更快,幾乎不需人工干預。更重要的是,這些判斷是基於「以終為始」的原則,為企業成長目標(如 Q4 業績增長 10%)進行連續且動態地自我回饋,而非傳統系統僅月度檢核。

這兩位 AI 代理人的合作,讓企業決策流程不僅透明,還能自動執行。這正是數智驅動的核心,不僅依靠數據驅動決策,還要能解釋每一個選擇,並自動行動。這個過程可簡化為 SUPA,即「感知(Sensing)→ 理解(Understanding)→ 規劃(Planning)→ 行動(Acting)」的閉環流程,隨著數據的變化不斷進化。

偉勝乾燥工業為例,他們面臨高度客製化與訂單頻繁變更的挑戰。導入鼎新 METIS 平台後,偉勝成功將數智驅動融入業務與產品開發,專案準時率因此提升至 80%。他們更將烤箱技術與搬運機器人結合,開發出新形態智慧化設備,成功打入半導體產業,帶動業績大幅成長,創造下一個企業的增長曲線。

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值得一提的是,數智驅動不僅帶動業務增長,還讓員工擺脫繁瑣工作,讓工作更輕鬆高效。

數智驅動的成功不僅依賴技術,還要與企業的商業策略緊密結合。為了讓數智驅動真正發揮作用,企業首先要確保它服務於具體的業務需求,而不是為了技術而技術。

這種轉型需要有策略、文化和具體應用場景的支撐,才能讓數智驅動真正成為企業持續增長的動力。

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解密離岸風電政策環評:從審查標準到執行成效,一次看懂
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/21 ・3546字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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本文由 環境部 委託,泛科學企劃執行。 

政策環評是什麼,跟一般環評差在哪?

隨著公共建設的規模越來越大,傳統的環境影響評估(EIA),難以應對當今層層疊疊的環境議題。當我們評估一項重大政策時,只看「單一開發案」已經不夠,就像評估一棵樹,卻忽略了整片森林。因此,政策環境影響評估(SEA)應運而生,它看樹,也看森林,從政策的角度進行更全面的考量與評估。

與只專注於「單一開發案」的個案環評不同,政策環評更像是一場全面性的檢視,強調兩個核心重點:「整合評估」與「儘早評估」。簡單來說,這不再是逐案評估的模式,而是要求政府在制定政策時,就先全面分析可能帶來的影響,從單一行為的侷限中跳脫,轉而聚焦在整體影響的視角。無論是環境的整體變化,還是多項行為累計起來的長期影響,政策環評的目的就是讓這些潛在問題能儘早浮現、儘早解決。

除此之外,政策環評還像是一個大型的協商平台,以永續發展為最高指導原則,公開整合來自不同利益團體、民眾與各機關的意見。這裡,決策單位不再只是單純的「評分者」,而是轉為「協調者」或「仲裁者」,協調各方的意見看法在這裡得到整合,讓過程更具包容性。

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政策環評並沒有所謂的「否決權」,而是側重意見的蒐集與整合,讓行政機關在政策推動時,能更全面地掌握各方意見。政策環評旨在建立系統化、彈性的決策評估程序(包含量化、特徵化等評估方式),也廣納社會面或民眾滿意度等影響因子,把正式與非正式的作法一併考量進去。再來,決策程序中能層層檢討、隨時修正,也建立了追蹤機制和成效評估標準(如環境殘餘效應、累積效應等),透過學習來強化決策品質與嚴謹度。就像一場球賽,隨時根據變化、調整策略。

這樣的制度設計,就非常適合離岸風電這類規模大、跨區域、影響層面廣泛的能源政策評估,讓我們可以在政策推動初期就想到整個工程對環境、產業發展與社會的諸多影響,也為後續政策執行奠定更穩固的基礎。

政策環評並沒有否決權,而是重在整合各方意見、量化影響以及建立追蹤與修正機制,這樣的制度設計便適用於離岸風電等大型政策評估。圖/envato

離岸風電為何需要的是政策環評?

離岸風電是能源轉型的重要策略之一,但這不是只在某塊空地上架幾個風車,而是要在廣闊的大海中進行大規模建設,牽涉的不僅是發電,還涉及海洋保育、航空交通、水下文化資產等議題,更與當地漁民的權益息息相關。

這樣的大型離岸風電工程,因海洋環境的風險和不確定性極高,很容易讓人擔心生態影響。如何在海洋生態保護和綠能發展之間找到平衡點?這就需要政策環評的把關,從多方檢視這些複雜的挑戰,確保政策推行既能穩妥,又能達成發電目標。

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2016 年 3 月,經濟部自願提出「離岸風電區塊開發政策評估說明書」,是臺灣首次針對再生能源政策所進行的政策環評。根據這份評估說明書,政府將採分期公告、逐年檢討的方式,每三年開放 0.5~1 百萬瓩(GW)的電量額度鼓勵業者投入開發。當時環保署(現為環境部)歷經九個月召開 2 次意見徵詢會議,蒐集環評委員、專家學者、相關機關、民眾等意見,最終於同年 12 月的環評委員會作出徵詢意見。這些協商和檢討的過程,讓政策「名正言順」,得以充分顧及各方利益與生態平衡。

共通性環境議題與因應對策

在「離岸風電區塊開發政策評估說明書」中,環評會議盤點了開發過程中共通的環境議題。

首先,對於海洋生態保育的重點,特別是對中華白海豚的保護。環評會要求風機基座必須距離白海豚棲地1公里以上,以減少對其生態的干擾。實際上,這項規範在後續的實務執行中更為嚴格,例如,福海二期示範風場已退縮到 2.5 公里外,臺電二期風場甚至退到 4.2 公里外,顯示政策環評確實發揮了實質作用。此外,針對施工期間的聲音干擾,要求施工需有 30 分鐘以上的打樁緩啟動時間,並限制聲量不得超過 180 分貝等。

針對鳥類保育,政策環評也訂立了具體規範。其中,包括風機之間必須留設 500 公尺以上的鳥類穿行廊道,並在施工期間避開每年 11 月至隔年 3 月的候鳥過境期。同時,為確保這些措施確實生效,工程方也被要求設置「鳥類活動監測系統」,持續追蹤、評估風場對鳥類的影響。

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此外,環評會也確立了「先遠後近」的開發原則,要求優先開發較單純的航道外側區塊,待累積足夠經驗及相關資料後,再進行近岸區域的開發。這項原則考量了近海生態系的複雜性,也顧到養殖漁業的漁民權益,展現出政策環評在平衡發展需求與環境保護上的價值。

新一代的審查機制:達成能源轉型及環境保護雙贏

為提升環評效率並確保審查品質,環境部參考過去離岸風電審查經驗,制定「風力發電離岸系統開發行為環境影響評估初審作業要點」,建立了全新的二階段審查機制。

環境部推動二階段審查機制,提升離岸風電環評效率與審查品質。圖/envato

這套新機制分為兩個階段。第一階段,就像「初步檢查」,由環境部依照檢核表進行初審,並由環評審查委員會執行秘書邀集 2-5 位環評委員進行初審,通過第一階段初審之業者,可取得經濟部遴選資格,其初審結果有效期為兩年,必要時可申請展延一年。接著進入「第二階段」,開發單位檢附目的事業主管機關核配的容量證明文件等資料,提供更詳細的環境影響說明書以進行實質審查。

檢核表明確規範了 15 大項審查事項、112 項檢核項目,涵蓋開發案的全生命週期。

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工程面,包含風機及海上變電站基礎設置、海域電纜路線規劃、陸域設施工程等硬體設施的規範。其中,風機基礎設置必須避開海岸保護區、河口、潮間帶等環境敏感區域,且須進行地震危害度分析。海域電纜部分,除特殊情形外,埋設深度至少須達 1.5 公尺,且不得跨越中華電信海底電纜 1 公里的範圍。

環境保護上,檢核表則對施工噪音管制訂立了明確標準。舉例來說,打樁期間警戒區 750 公尺範圍內的水下噪音不得超過 160 分貝,且必須全程採用最佳噪音防制工法。同時,每個開發案或聯席審查的風場,同一時間內只能進行一支基樁施作,而日落前一小時到日出前也不得啟動新的打樁作業。

環境監測計畫更是檢核表中的重點,分為「施工前、施工期間、營運期間」三階段,每個階段都規定了詳細的監測要求(包括海域底質監測、水下噪音監測、鯨豚目視監測等)。以鯨豚監測為例,每年需執行20趟次,四季中每季至少執行 2 趟次。此外,所有監測數據都必須上傳至環境部「環保專案成果倉儲系統」(https://epaw.moenv.gov.tw/)供各界查閱。

這套標準化的審查機制不僅解決了「同一風場可能有多家廠商重複調查或審查」的資源浪費,也透過明確的檢核項目,讓開發單位在規劃階段就能掌握更具體的環境保護要求。不僅如此,該機制亦確保了環境保護標準前後一致,避免不同案件之間標準不一。

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結語

透過新的審查機制,環境部正積極推動再生能源開發案的環評審查作業,在提升行政效率之餘,也確保環境影響評估的品質,支持臺灣的離岸風電開發及國家能源轉型政策,也做好把關。藉由標準化檢核表和二階段審查制度,期待能在推動能源轉型的同時落實環境保護。

為確保制度能持續精進,環境部每半年至一年會進行制度檢討,並持續公開所有環評書件於「環評書件查詢系統」(https://eiadoc.moenv.gov.tw/eiaweb/)。此外,環評會議召開前一週,也必須在指定網站公布開會訊息,讓民眾能申請列席旁聽或發表意見。透明化措施一方面展現了政府推動永續發展的決心,另一方面也確保全民能共同參與監督離岸風電的發展過程。未來,這套制度將在各界的檢視與建議中持續完善,為臺灣的永續發展貢獻心力,發揮環評作業的最大效益。

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從數學、邏輯到審美,演算法的極限是何處?——《再.創世》專題
再・創世 Cybernetic_96
・2021/09/27 ・5256字 ・閱讀時間約 10 分鐘

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  • 作者/魏澤人|陽明交通大學 智慧計算與科技研究所

在一般印象中,”美” 是與藝術、哲學、文學、音樂這些人文領域相連的。受到教育制度的影響,理工與人文,在普遍認知中是二元對立的。而數學,是理工科目中最硬核的部分。物理、化學實驗中,各種顏色的液體、晃動的單擺或本生燈的火焰,也許還隱隱約約帶有一絲美的影子,但冷冰冰的數學公式,在許多人的求學經驗中,與美根本就是互斥的概念。

但是,懂數學的人都知道,數學是美的。甚至可以說,美是數學中不可或缺的部分。

圖/Pexels

著名的英國數學家哈代(Godfrey Harold Hardy)說:”數學家的創造形式,與畫家及詩人一樣,必須是美的: 將概念(就像顏色及詞語)以和諧的方式組合起來。美是最重要的條件,醜陋無法長存於數學之中。”。哈代的著作 “一個數學家的辯白”(A Mathematician’s Apology),在數學圈外有一定的名氣,前面的那段話也出自本書。但讓他”出圈”的主要原因,是他發掘了傳奇數學天才拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)。這個故事在 2015 年被拍成了電影 “天才無限家” The Man Who Knew Infinity)。

這也不是哈代獨創之見解,法國最偉大的數學家之一龐加萊(Henri Poincare)說:”研究自然不是因為有用,而是因為喜悅。而喜悅是因為美。”。其他比方像是羅素(Bertrand Russell)、艾狄胥(Paul Erdos)也留下不少關於數學與美的金句。

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數學的美,不只是許多偉大的數學家的共同體驗。絕大多數的數學愛好者、數學工作者都有相同的體驗,只是比較不容易留下知名金句。Danica McKellar 也許不是能和羅素、龐加萊、艾狄胥比肩齊名的數學家,但她說過一句很有意思的話: “數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。

McKellar 是一位有知名度的美國演員,她曾演出過白宮風雲(The West Wing),也曾在 NCIS、宅男行不行(The Big Bang Theory)及追愛總動員(How I Met Your Mother)中客串。但真正讓她出名的,是 80 末、90 初的影集兩小無猜(The Wonder Years),故事主軸是主角凱文回憶少年成長的過程,而 McKellar 飾演主角的鄰居溫妮,兩人發展出分分合合的戀愛關係。用現代的話來講, McKellar 可以說是當時少年界的國民女友。另外 2010 開始,她也在動畫影集少年正義聯盟中為火星小姐配音。

Danica McKellar ,攝於2018。圖/WIKIPEDIA

演員什麼會與數學扯上關係呢?其實她大學就是學數學的,而且學得很好,在 1998 年以最傑出的成績取得加州大學洛杉磯分校的數學學士學位。不只如此,大學時期與教授 Chayes 及同學 Winn 發表了一篇統計力學的論文,其中的主要結果被稱為 Chayes-McKellar-Winn theorem. 在 2008 年,她出了一本針對中學女孩的數學書 “Math Doesn’t Suck: How to Survive Middle School Math without Losing Your Mind or Breaking a Nail.” ,頗受好評也很暢銷,之後也接續出版了許多書。她表示,她想讓女孩們覺得數學是「可親、有意義、甚至有點迷人」,用來對抗這個社會傳達「女孩不適合數學」的這類負面訊息。除此之外,她也參與影集 Project Mc2 的演出。 這部影節的目標是向全球的青少女們證明,科學、科技、STEAM(Science, Technology, Engineering, Arts, Mathematics)是有趣且平易近人的。

回到前面那句”數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。追求美是人之天性,但很多情境下,美或者美化這些詞,常常帶了一點隱藏真實的意味。像是修圖軟體、美顏相機、化妝(與素顏對比)、醫美、Autotune。當然明顯太假也不符合多數人的審美觀,真正美之極致,往往也需要展現事物的本質與真實特色。但現實是資源有限,平庸普通還是多數,不然,也不會有”這裡的風景美得像幅畫”一樣的形容詞方式了。一般日常中,美的實際執行過程還是得靠挑選和遮掩。「真」與「美」是需要取捨的。這也就是這句話耐人尋味的地方了,因為這句話如果成立,那在數學,也許就提供了現實世界中「真」與「美」之間內在衝突的解法了。

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但問題是,數學家們感受到的美感是否真的是美?定理與證明真的可以用美或不美來形容呢?還是只是數學家們普遍缺乏人文薰陶產生的代償性錯覺呢?

2019 年時,英國巴斯大學管理學院的 Samuel G.B. Johnson 及美國耶魯大學數學系的 Stefan Steinerberger 發表了一篇論文 “Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas”,其中的研究證據,支持一般人可能也跟數學家一樣,能感受到數學論證的美感。在其研究中發現,人們對數學的「美感」,就跟對古典鋼琴樂曲及風景畫產生的美感相似,有其內在的一致性。另外也發現這種數學美感的評判,跟與音樂、畫作美感一樣,和優雅性、深度、清楚性有關。

就像十九世紀英國數學家 James Joseph Sylvester 說的:「數學就是論證的音樂」。愛因斯坦也說:「純數學是一首以其自有方式將邏輯概念寫成的詩」。這句話出自他寫給 Emmy Noether 的訃聞。 Noether 是有名的德國數學家,對抽象代數有極大的貢獻,巧妙的利用升鏈條件來研究代數性質,此後符合這個條件的數學物件我們都會冠以 Noetherian 來稱呼,以紀念 Noether 的貢獻。此外,她的 Noether Theorem 也被稱之為影響物理學最重要的定理之一。

Noether 與兄弟們的合照。圖/WIKIPEDIA

除了主觀上對於美的感受外,數學與藝術之間,也有很多直接的關聯性。以音樂來說,音律就與數學上的對數(也就是大家所認識的 \log)有關。人類發展音律有很長的歷史,因為這不是一個簡單的問題。我們現在知道,和弦時,不同音階的頻率要接近簡單的有理數倍聲音才會悅耳。傳說畢達哥拉斯經過一家鐵店,聽到鐵鎚打鐵的聲音,覺得很悅耳,他走入店裡,發現四個鐵鎚的重量比為 12:9:8:6,其中 9 是 6 與 12 的算術平均,8 是 6 與 12的調和平均, 9, 8 與 6, 12 的幾何平均相等這些巧妙的關係。這些鐵鎚之間的聲音配合起來非常悅耳。他進一步用弦樂器實驗驗證,得到的結論是,弦長為一些簡單有理數比的時候,會得到和諧的聲音。而後來更進一步改進而成的十二平均律,也反映出中國及歐洲在計算 \sqrt[12]{\frac{1}{2}} 的歷史進展。這背後還有更深刻的問題,因為很容易可以發現,\sqrt[12]{\frac{1}{2}} 並不是個有理數。對音樂或數學有興趣的朋友,可以繼續深入了解一下背後的學問。

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另一個大家也觀察到的現象是,數學能力和藝術能力之間似乎有一些相關性,特別是音樂能力。常被拿來說的是愛因斯坦喜愛音樂且從小學習小提琴。可能你認識的人中,應該也有許多同時精通數理及音樂的人。過去一些研究也發現發現了數理能力及音樂能力中的相關性。但是,這個相關性會不會與能力本身無關呢?比方顯而易見,學科能力與學習音樂的條件,都與家庭背景與社經地位有關。

音樂教育學者 Martin J. Bergee 原本也是這樣認為的。他覺得只要能控制相關的根本性變因,如種族、收入、教育背景,就能夠破除音樂與數學能力相關性的迷思。於是他就設計並展開了研究。結果讓他非常震驚,兩者的關聯性不但沒有消失,而且還非常強。在 2021 年他的研究團隊發表了一篇名為 “Multilevel Models of the Relationship Between Music Achievement and Reading and Math Achievement” 的論文。他們調查了不同學區背景的一千多位中學生,在盡可能排除其他因素的干擾下,他們不得不承認音樂及數學能力之間的有統計上顯著的關聯。

音樂與數學能力被證實有很高的相關性。圖/Pixabay

他表示很抱歉實驗設計得非常複雜,”因為排除所有的相關影響並不容易,可能從個人、教室、學校、學區等等不同層級來產生影響。”。雖然他原本是支持相反的結論,但這個結果讓他思考了很多,”微觀技術來說,可能在音樂中的音準、音程、節拍,可能語言認知的基礎相關,而巨觀技術上的調式與調性,可能在心理學或神經學上與數學認知有關。”

除此之外,還有非常多的例證。比方 2015 年神經科學家 Semir Zeki 及艾提亞爵士(Michael Atiyah 當代最偉大數學家之一,費爾茲獎得主)發表的論文指出,經由 fMRI 掃描 15 名數學家的腦部,發現數學家在評斷數學式子美感時,動用到眼額皮質外側的 A1 區域,與察覺其他來源美感所動用到的區域一樣。而前面比較沒有提到數學與視覺藝術的關聯,因為這部分更為大家所熟知。像是從古希臘幾何就知道的黃金分割比,繪畫中的用到的透視原理、對稱性。可以說,美與數學並不是感性與理性的對立,而是互相包含。就像浪漫派詩人約翰濟慈所說:”美即是真,真即是美。這就是你在世上所知道和需要知道的一切”,而數學以及其背後的邏輯,就是人類對於”真”的具像。

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評斷數學式子美感或觀察其他美感事物時,數學家大腦活耀的區域相同。圖/Pexels

可以說在知識份子階層中,數學即美是個主流觀點。當然主流不一定代表唯一或正確,像前述 Bergee 也試圖證明相關的主流看法是個迷思。但一旦理解了這種切入點,人工智慧是否能創造藝術作品這個問題,至少在心理層面就不是太大問題了。人工智慧遵照一些演算法運作,可以說就是數學及邏輯的程式碼實作。以近幾年最主流的深度學習神經網路來說,就是許多線性映射與激活函數的合成函數,藉由梯度下降法,收斂到的穩定數學解。既然數學即美,那由數學建構的人工智慧,能產生美的事物,也不是太不能接受的事。

生成模型也是近幾年深度學習熱門的領域之一。常見的生成任務就是藉由觀察抽樣的樣本,設法模仿出一樣的機率分佈。白話一點來講,就是給電腦看一些李白的詩,希望電腦能創造出新的李白風格的詩。給電腦聽一些貝多芬的音樂,希望電腦能創造出新的貝多芬音樂。現在的深度學習技術,已經能讓人工智慧能藉由學習,”創造”出視覺、音訊及語言的”作品”。

Inception 網路是一個有名的深度學習模型,其名稱取自於同名的電影(全面啟動),當時主要是在圖片辨識任務上,取得很好的成果。2015 年時, Google 工程師 Alexander Mordvintsev 巧妙的利用事先訓練好 Inception 模型,讓他將圖片變成夢一般的迷幻風格。他把這種方法取名叫 DeepDream。不久後,Leon Gatys 等人用類似的方法,設計一套演算法,能將畫家的畫風轉移到照片上,典型的例子是將風景、建築照片,轉成梵谷的星空風格。後面有很多後續的研究,一般稱為 Neural Style Transfer. 2016 年 Google 利用 AI 生出的畫作,拍賣得到進十萬美元。而其實早在 2014 年時, Ian Goodfellow 等人就提出了生成對抗網路(Generative Adversarial Network),是一個更廣泛而通用的生成模型。這個模型後續開啟了極大量的相關研究,現在的深度學習模型,在一些領域中,已經能生出非常高品質的成品。比方 Nvidia 研究的 StyleGAN 系列模型,能生出幾可亂真的人臉。現在,在手機上,能使用 APP,將你的照片轉成迪士尼的畫風。

讓生成模型想像生氣的亞洲人老醫生(自行 CLIP, StyleGAN2 生成)

2021 年時, OpenAI 釋出了 CLIP 模型,這是一個能整合圖片視覺及文字語意的模型。很多人嘗試利用 CLIP 和文字控制,來產生獨特和有創意的畫作。舉例來說,如果你畫了一張畫,或者拿到一張照片,你可以利用文字”更有喜感一點,更有亞洲風味一點”,來修改這張圖片讓人感受到”喜感”和”亞洲風”。在眾多嘗試中,大家試出了許多像”咒語”般的技巧,比方有個著名的 “unreal engine trick”,就是當你在控制產生圖片的句子中,加入 “unreal engine” 這個詞(unreal engine 是一個遊戲引擎),常常會讓產生品質更高的圖片。 乍看之下有點不明所以,但仔細一想,因為網路上會特別標明 unreal engine 的圖片,往往是強調其遊戲高畫質,久而久之, CLIP 看到這個詞,很自然就與高品質的含意產生連結。除了圖片外,人工智慧也能產生其他具有美的形式的作品,特別是文字作品。Open AI 開發的 GPT-3,已經能在用戶給出簡單的指示後,產生非常複雜的文字作品,除了詩、笑話、故事外,甚至連食譜、程式碼都可以。

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讓生成模型想像亞洲的小甜甜布蘭妮(自行 CLIP, StyleGAN2 生成)

但這些,真的算是人工智慧的創作嗎?

在 2018 年時,由生成對抗網路生成的畫作 Edmond de Belamy,以美金 432,500 元賣出。這幅畫是誰創作的?這幅畫是由巴黎藝術集體 Obvious 生成的。而名稱 Belamy 的法語意思為”好朋友”,以致敬提出生成對抗網路的學者 Ian Goodfellow。而圖片右下角的簽名則是

\min_{\mathcal {G}}\max_{\mathcal {D}}E_{x}\left[\log({\mathcal {D}}(x))\right]+E_{z}\left[\log(1-{\mathcal {D}}({\mathcal {G}}(z)))\right] 這個數學式子,這個式子是生成對抗網路使用的目標函數,也就是引導模型訓練的數學式。而讓問題更複雜的是,生成這幅圖片的程式碼,是由與 Obvious 毫無關係的另外一位 AI 藝術家 Robbie Barrat 所寫的。甚至有人(如 AICAN)認為這個連創作都算不上。

人工智慧的創作《 Edmond de Belamy 》。圖/WIKIPEDIA

所以,這幅畫到底是誰的創作?物理學家海森堡曾說,即使在沒有足夠證據的支持下,”當自然引導我們得到極簡與美的數學式時”,”我們會不由自主的感受到,這就是自然真相被揭露的一角”。也許,真正創作者不是人工智慧,也不是人類,我們只是自然的一部分,有幸釋放了,並且有幸感受到了自然散發出的美之一角。

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再・創世 Cybernetic_96
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由策展人沈伯丞籌畫之藝術計畫《再・創世 Cybernetic》,嘗試從演化控制學的理論基礎上,探討仿生學、人工智慧、嵌合體與賽伯格以及環境控制學等新知識技術所構成的未來生命圖像。