《天才無限家》：直覺與驗證的相遇

• 作者／魏澤人｜陽明交通大學 智慧計算與科技研究所

在一般印象中，”美” 是與藝術、哲學、文學、音樂這些人文領域相連的。受到教育制度的影響，理工與人文，在普遍認知中是二元對立的。而數學，是理工科目中最硬核的部分。物理、化學實驗中，各種顏色的液體、晃動的單擺或本生燈的火焰，也許還隱隱約約帶有一絲美的影子，但冷冰冰的數學公式，在許多人的求學經驗中，與美根本就是互斥的概念。

但是，懂數學的人都知道，數學是美的。甚至可以說，美是數學中不可或缺的部分。

著名的英國數學家哈代（Godfrey Harold Hardy）說:”數學家的創造形式，與畫家及詩人一樣，必須是美的: 將概念（就像顏色及詞語）以和諧的方式組合起來。美是最重要的條件，醜陋無法長存於數學之中。”。哈代的著作 “一個數學家的辯白”（A Mathematician’s Apology），在數學圈外有一定的名氣，前面的那段話也出自本書。但讓他”出圈”的主要原因，是他發掘了傳奇數學天才拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）。這個故事在 2015 年被拍成了電影 “天才無限家” The Man Who Knew Infinity)。

這也不是哈代獨創之見解，法國最偉大的數學家之一龐加萊（Henri Poincare）說：”研究自然不是因為有用，而是因為喜悅。而喜悅是因為美。”。其他比方像是羅素（Bertrand Russell）、艾狄胥（Paul Erdos）也留下不少關於數學與美的金句。

數學的美，不只是許多偉大的數學家的共同體驗。絕大多數的數學愛好者、數學工作者都有相同的體驗，只是比較不容易留下知名金句。Danica McKellar 也許不是能和羅素、龐加萊、艾狄胥比肩齊名的數學家，但她說過一句很有意思的話: “數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。

McKellar 是一位有知名度的美國演員，她曾演出過白宮風雲（The West Wing），也曾在 NCIS、宅男行不行（The Big Bang Theory）及追愛總動員（How I Met Your Mother）中客串。但真正讓她出名的，是 80 末、90 初的影集兩小無猜（The Wonder Years），故事主軸是主角凱文回憶少年成長的過程，而 McKellar 飾演主角的鄰居溫妮，兩人發展出分分合合的戀愛關係。用現代的話來講， McKellar 可以說是當時少年界的國民女友。另外 2010 開始，她也在動畫影集少年正義聯盟中為火星小姐配音。

演員什麼會與數學扯上關係呢？其實她大學就是學數學的，而且學得很好，在 1998 年以最傑出的成績取得加州大學洛杉磯分校的數學學士學位。不只如此，大學時期與教授 Chayes 及同學 Winn 發表了一篇統計力學的論文，其中的主要結果被稱為 Chayes-McKellar-Winn theorem. 在 2008 年，她出了一本針對中學女孩的數學書 “Math Doesn’t Suck: How to Survive Middle School Math without Losing Your Mind or Breaking a Nail.” ，頗受好評也很暢銷，之後也接續出版了許多書。她表示，她想讓女孩們覺得數學是「可親、有意義、甚至有點迷人」，用來對抗這個社會傳達「女孩不適合數學」的這類負面訊息。除此之外，她也參與影集 Project Mc2 的演出。 這部影節的目標是向全球的青少女們證明，科學、科技、STEAM（Science, Technology, Engineering, Arts, Mathematics）是有趣且平易近人的。

回到前面那句”數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。追求美是人之天性，但很多情境下，美或者美化這些詞，常常帶了一點隱藏真實的意味。像是修圖軟體、美顏相機、化妝（與素顏對比）、醫美、Autotune。當然明顯太假也不符合多數人的審美觀，真正美之極致，往往也需要展現事物的本質與真實特色。但現實是資源有限，平庸普通還是多數，不然，也不會有”這裡的風景美得像幅畫”一樣的形容詞方式了。一般日常中，美的實際執行過程還是得靠挑選和遮掩。「真」與「美」是需要取捨的。這也就是這句話耐人尋味的地方了，因為這句話如果成立，那在數學，也許就提供了現實世界中「真」與「美」之間內在衝突的解法了。

但問題是，數學家們感受到的美感是否真的是美？定理與證明真的可以用美或不美來形容呢？還是只是數學家們普遍缺乏人文薰陶產生的代償性錯覺呢？

2019 年時，英國巴斯大學管理學院的 Samuel G.B. Johnson 及美國耶魯大學數學系的 Stefan Steinerberger 發表了一篇論文 “Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas”，其中的研究證據，支持一般人可能也跟數學家一樣，能感受到數學論證的美感。在其研究中發現，人們對數學的「美感」，就跟對古典鋼琴樂曲及風景畫產生的美感相似，有其內在的一致性。另外也發現這種數學美感的評判，跟與音樂、畫作美感一樣，和優雅性、深度、清楚性有關。

就像十九世紀英國數學家 James Joseph Sylvester 說的：「數學就是論證的音樂」。愛因斯坦也說：「純數學是一首以其自有方式將邏輯概念寫成的詩」。這句話出自他寫給 Emmy Noether 的訃聞。 Noether 是有名的德國數學家，對抽象代數有極大的貢獻，巧妙的利用升鏈條件來研究代數性質，此後符合這個條件的數學物件我們都會冠以 Noetherian 來稱呼，以紀念 Noether 的貢獻。此外，她的 Noether Theorem 也被稱之為影響物理學最重要的定理之一。

除了主觀上對於美的感受外，數學與藝術之間，也有很多直接的關聯性。以音樂來說，音律就與數學上的對數（也就是大家所認識的 \(\log\)）有關。人類發展音律有很長的歷史，因為這不是一個簡單的問題。我們現在知道，和弦時，不同音階的頻率要接近簡單的有理數倍聲音才會悅耳。傳說畢達哥拉斯經過一家鐵店，聽到鐵鎚打鐵的聲音，覺得很悅耳，他走入店裡，發現四個鐵鎚的重量比為 12:9:8:6，其中 9 是 6 與 12 的算術平均，8 是 6 與 12的調和平均, 9, 8 與 6, 12 的幾何平均相等這些巧妙的關係。這些鐵鎚之間的聲音配合起來非常悅耳。他進一步用弦樂器實驗驗證，得到的結論是，弦長為一些簡單有理數比的時候，會得到和諧的聲音。而後來更進一步改進而成的十二平均律，也反映出中國及歐洲在計算 \(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 的歷史進展。這背後還有更深刻的問題，因為很容易可以發現，\(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 並不是個有理數。對音樂或數學有興趣的朋友，可以繼續深入了解一下背後的學問。

另一個大家也觀察到的現象是，數學能力和藝術能力之間似乎有一些相關性，特別是音樂能力。常被拿來說的是愛因斯坦喜愛音樂且從小學習小提琴。可能你認識的人中，應該也有許多同時精通數理及音樂的人。過去一些研究也發現發現了數理能力及音樂能力中的相關性。但是，這個相關性會不會與能力本身無關呢？比方顯而易見，學科能力與學習音樂的條件，都與家庭背景與社經地位有關。

音樂教育學者 Martin J. Bergee 原本也是這樣認為的。他覺得只要能控制相關的根本性變因，如種族、收入、教育背景，就能夠破除音樂與數學能力相關性的迷思。於是他就設計並展開了研究。結果讓他非常震驚，兩者的關聯性不但沒有消失，而且還非常強。在 2021 年他的研究團隊發表了一篇名為 “Multilevel Models of the Relationship Between Music Achievement and Reading and Math Achievement” 的論文。他們調查了不同學區背景的一千多位中學生，在盡可能排除其他因素的干擾下，他們不得不承認音樂及數學能力之間的有統計上顯著的關聯。

他表示很抱歉實驗設計得非常複雜，”因為排除所有的相關影響並不容易，可能從個人、教室、學校、學區等等不同層級來產生影響。”。雖然他原本是支持相反的結論，但這個結果讓他思考了很多，”微觀技術來說，可能在音樂中的音準、音程、節拍，可能語言認知的基礎相關，而巨觀技術上的調式與調性，可能在心理學或神經學上與數學認知有關。”

除此之外，還有非常多的例證。比方 2015 年神經科學家 Semir Zeki 及艾提亞爵士（Michael Atiyah 當代最偉大數學家之一，費爾茲獎得主）發表的論文指出，經由 fMRI 掃描 15 名數學家的腦部，發現數學家在評斷數學式子美感時，動用到眼額皮質外側的 A1 區域，與察覺其他來源美感所動用到的區域一樣。而前面比較沒有提到數學與視覺藝術的關聯，因為這部分更為大家所熟知。像是從古希臘幾何就知道的黃金分割比，繪畫中的用到的透視原理、對稱性。可以說，美與數學並不是感性與理性的對立，而是互相包含。就像浪漫派詩人約翰濟慈所說：”美即是真，真即是美。這就是你在世上所知道和需要知道的一切”，而數學以及其背後的邏輯，就是人類對於”真”的具像。

可以說在知識份子階層中，數學即美是個主流觀點。當然主流不一定代表唯一或正確，像前述 Bergee 也試圖證明相關的主流看法是個迷思。但一旦理解了這種切入點，人工智慧是否能創造藝術作品這個問題，至少在心理層面就不是太大問題了。人工智慧遵照一些演算法運作，可以說就是數學及邏輯的程式碼實作。以近幾年最主流的深度學習神經網路來說，就是許多線性映射與激活函數的合成函數，藉由梯度下降法，收斂到的穩定數學解。既然數學即美，那由數學建構的人工智慧，能產生美的事物，也不是太不能接受的事。

生成模型也是近幾年深度學習熱門的領域之一。常見的生成任務就是藉由觀察抽樣的樣本，設法模仿出一樣的機率分佈。白話一點來講，就是給電腦看一些李白的詩，希望電腦能創造出新的李白風格的詩。給電腦聽一些貝多芬的音樂，希望電腦能創造出新的貝多芬音樂。現在的深度學習技術，已經能讓人工智慧能藉由學習，”創造”出視覺、音訊及語言的”作品”。

Inception 網路是一個有名的深度學習模型，其名稱取自於同名的電影（全面啟動），當時主要是在圖片辨識任務上，取得很好的成果。2015 年時， Google 工程師 Alexander Mordvintsev 巧妙的利用事先訓練好 Inception 模型，讓他將圖片變成夢一般的迷幻風格。他把這種方法取名叫 DeepDream。不久後，Leon Gatys 等人用類似的方法，設計一套演算法，能將畫家的畫風轉移到照片上，典型的例子是將風景、建築照片，轉成梵谷的星空風格。後面有很多後續的研究，一般稱為 Neural Style Transfer. 2016 年 Google 利用 AI 生出的畫作，拍賣得到進十萬美元。而其實早在 2014 年時， Ian Goodfellow 等人就提出了生成對抗網路（Generative Adversarial Network），是一個更廣泛而通用的生成模型。這個模型後續開啟了極大量的相關研究，現在的深度學習模型，在一些領域中，已經能生出非常高品質的成品。比方 Nvidia 研究的 StyleGAN 系列模型，能生出幾可亂真的人臉。現在，在手機上，能使用 APP，將你的照片轉成迪士尼的畫風。

2021 年時， OpenAI 釋出了 CLIP 模型，這是一個能整合圖片視覺及文字語意的模型。很多人嘗試利用 CLIP 和文字控制，來產生獨特和有創意的畫作。舉例來說，如果你畫了一張畫，或者拿到一張照片，你可以利用文字”更有喜感一點，更有亞洲風味一點”，來修改這張圖片讓人感受到”喜感”和”亞洲風”。在眾多嘗試中，大家試出了許多像”咒語”般的技巧，比方有個著名的 “unreal engine trick”，就是當你在控制產生圖片的句子中，加入 “unreal engine” 這個詞（unreal engine 是一個遊戲引擎），常常會讓產生品質更高的圖片。 乍看之下有點不明所以，但仔細一想，因為網路上會特別標明 unreal engine 的圖片，往往是強調其遊戲高畫質，久而久之， CLIP 看到這個詞，很自然就與高品質的含意產生連結。除了圖片外，人工智慧也能產生其他具有美的形式的作品，特別是文字作品。Open AI 開發的 GPT-3，已經能在用戶給出簡單的指示後，產生非常複雜的文字作品，除了詩、笑話、故事外，甚至連食譜、程式碼都可以。

但這些，真的算是人工智慧的創作嗎？

在 2018 年時，由生成對抗網路生成的畫作 Edmond de Belamy，以美金 432,500 元賣出。這幅畫是誰創作的？這幅畫是由巴黎藝術集體 Obvious 生成的。而名稱 Belamy 的法語意思為”好朋友”，以致敬提出生成對抗網路的學者 Ian Goodfellow。而圖片右下角的簽名則是

\(\min_{\mathcal {G}}\max_{\mathcal {D}}E_{x}\left[\log({\mathcal {D}}(x))\right]+E_{z}\left[\log(1-{\mathcal {D}}({\mathcal {G}}(z)))\right]\) 這個數學式子，這個式子是生成對抗網路使用的目標函數，也就是引導模型訓練的數學式。而讓問題更複雜的是，生成這幅圖片的程式碼，是由與 Obvious 毫無關係的另外一位 AI 藝術家 Robbie Barrat 所寫的。甚至有人（如 AICAN）認為這個連創作都算不上。

所以，這幅畫到底是誰的創作？物理學家海森堡曾說，即使在沒有足夠證據的支持下，”當自然引導我們得到極簡與美的數學式時”，”我們會不由自主的感受到，這就是自然真相被揭露的一角”。也許，真正創作者不是人工智慧，也不是人類，我們只是自然的一部分，有幸釋放了，並且有幸感受到了自然散發出的美之一角。

科幻與科學，有時只差一線。回看人類兩千多年科學進程，很多現在我們認為理所當然的科學理論，都曾是天馬行空的科幻概念。透過現代電影技術，我們能夠看見這些科幻概念在銀幕上細訴它們的故事。然而，電影之中，究竟哪些合乎科學、哪些又是科幻呢？

科學家與演員一樣，由同樣的碳水化合物組成。我認為人類文明的可貴之處，在於有了科學、邏輯以後，仍然保有美麗動人的感情。因此，我以科幻、科學、感情三者互相牽動的程度為基礎，選了十部科幻電影（也有科學史實改編的電影）作簡單介紹，希望不至於嚴重劇透雷到你！

我們孤單嗎？用無線電是否能《接觸未來》？

《接觸未來》（Contact，又譯為《超時空接觸》、《接觸》）改編自已故著名天文學家卡爾．薩根（Carl Sagan, 1934 – 1996）寫的同名科幻小說。電影講述一位女天文學家尋找外星文明的故事。

雖說是由天文學家所寫的故事，但情節並不偏重科學，你可以在其中找到對科學、政治、宗教、社會、恐怖主義，以及人與人之間感情的描寫。薩根看到接觸天外文明所需要的科學和數學知識，也預測了當人類發現自己在宇宙中並不孤單時，會對我們的社會造成什麼影響。

相對於巨大的宇宙，人類文明只是剛剛起步。薩根在故事之中，放入了作為科學家、作為人類一份子對我們的文明的願景。這些重大議題，值得我們在電影尾聲欣賞華麗的特效時，細細深思。

不過，看過原著小說的話，就會發現電影刪改了很多情節。例如，電影的第一幕使用了光速恆定概念，離地球越遠的地方就只能接收到越早時代發出的電波訊號，不過實際電影畫面上顯示的距離與聲音顯示的年代並不相符。又，電影中的天文學家竟然無視干擾訊號的可能性，在無線電望遠鏡陣列之中使用無線電對講機！據說薩根曾要求導演修改這一幕，但為什麼最後沒有修改就不得而知了。

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手牽手，讓我們來趟《2001 太空漫遊》

《2001 太空漫遊》（2001: A Space Odyssey）是上世紀三大科幻小說大師亞瑟．克拉克（Arthur Clarke, 1917 – 2008）的經典著作。電影改編版本使這個故事更廣泛為人認識，而電影本身亦成為經典之作。

電影開始時，一塊石板於三百萬年前教會了人類祖先使用工具。轉眼來到 2001 年，一艘太空船載著五個船員向木星進發。船上的人工智能電腦叫做 HAL 9000，它接到兩道必須執行、但內容卻相互矛盾的指令，它的邏輯下得出的結論是——必須殺死船上所有人。讓我印象深刻的是電影中，描寫電腦害怕「死亡」——關機——的一幕，這裡就不多說，請大家自己去看電影囉！

《2001 太空漫遊》被譽為史上最合乎科學的科幻電影。例如當主角進入沒有空氣的太空時，電影的所有配音都會突然消失；在月球上聯絡地球會有時間延遲；環狀且會自轉的太空船，符合以向心力製造人工重力的物理原理。這一切差不多都成為了日後科幻電影的標準設計。

有趣的是，據說 HAL 的名字是 IBM 的字母變體，而克拉克極力否認這一點，更在其續作小說中寫入這個陰謀論。總之，無論你是科學、科幻或電影迷，你都必不可錯過《2001 太空漫遊》。

「休士頓，我們有麻煩了！」──快來拯救阿波羅 13 號

《阿波羅 13 號》（Apollo 13，又譯為《太陽神 13 號》）是根據美國太空總署載人太空任務的史實所拍攝的電影。阿波羅 13 號是美國阿波羅計劃的第三次載人登月任務，載有三名太空人。任務中，太空艙在準備登陸月球前，氧氣罐不幸發生爆炸，太空艙的電力和氧氣量快速下降，任務被迫中斷，折返地球。

由電影前段太空人的一句「休士頓，我們有麻煩了」開始，電影幾乎完美地重現太空人和地球上的休士頓控制中心，合力解決阿波羅 13 號緊急折返所遇到的技術困難，堪稱一部科學紀綠電影。三名太空人必須拋棄控制艙，使用原本用來登月的登月艙，利用月球的引力助推飛回地球。

電影描述了休士頓控制中心使用後備模組，在登月艙裡現場製造出過濾二氧化碳的臨時裝置，若無此裝置，三名太空人將因二氧化碳中毒而死。由於登月艙並非設計用於降落在擁有大氣層的地球，必須準確計算登月艙的返回時機，如果飛行方向和速度稍有不妥，太空人不是被返回大氣時產生的高溫燒成灰燼，就是被地球引力拋向宇宙深處。

值得我們留意的是，除了一向被大眾媒體廣泛報導的太空人之外，電影亦描述了地面控制中心的技術人員如何分秒必爭地拯救阿波羅 13 號。

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用瘋狂又理智的雙眼，看見《美麗境界》

《美麗境界》（A Beautiful Mind，又譯為《有你終身美麗》、《美麗心靈》）講的是諾貝爾經濟學獎得主、數學家約翰．奈許（John Nash, 1928 – 2015）的故事。奈許在 1950 年提出博弈論的一個重要理論，因而在 1994 年獲頒諾貝爾經濟學獎。這一成就是經濟學的一大突破，現被稱為「奈許均衡」（Nash equilibrium）。

電影對奈許均衡理論著墨很少，只嘗試在其中一幕以例子去解釋，在我看來這嘗試是失敗的。如同很多關於科學家的電影一樣，本片主要描述奈許生平。奈許患有思覺失調，這無疑對他還是他的妻子亦是一個沉重打擊。電影之中描述了奈許妻子在他患病時不離不棄，不過奈許曾經表示電影劇本與他的真實人生並不一致。儘管如此，各位能從本片看到精神病患與他們家人所承受的巨大壓力。

奈許均衡理論對博弈論發展影響非常之深，應用於非常多科學分支，包括演化生物學和人工智慧研究。奈許在 2015 年獲頒阿貝爾獎，夫婦倆不幸在領獎回家途中發生車禍雙亡。然而他的貢獻，將會連同他的名字一起，永垂青史。

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《天才無限家》：數學，是邏輯、也是直覺

《天才無限家》（The Man Who Knew Infinity，又譯為《數造傳奇》）講述天才數學家拉馬努金（Srīṉivāsa Rāmāṉujan Aiyaṅkār, 1887 – 1920）的生平。拉馬努金沒有受過高等教育，習慣以直覺代替嚴謹證明，而他的直覺結果大部分都能被證明是正確的。

數學家哈代（Godfrey Harold Hardy, 1877 – 1947）發現了拉馬努金的天才，並把拉馬努金從印度帶到英國。除了拉馬努金的數學成就，電影把重點放在東西文化衝擊之上，描述拉馬努金與哈代之間的友誼與磨擦，當然還有當年英國上流社會普遍存在的階級觀念和種族歧視等。

拉馬努金與哈代在英國歷時五年的合作，可謂數學史上其中一個研究結果最豐碩的事件。最後，拉馬努金憑著天才與哈代的支持，贏得劍橋大學三一學院眾教授的尊重，成為三一學院院士和英國皇家學會會員。拉馬努金在 1919 年回到印度，隔年逝世。哈代曾說過：「發現拉馬努金，是我一生中最大的數學發現。」

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未來版的小木偶：《 A.I. 人工智慧》

《 A.I. 人工智慧》（A.I. Artificial Intelligence，又譯為《人工智能》）是個未來版的《木偶奇遇記》。主角是一個擁有感情的小孩機械人大衛。大衛渴望得到人類「母親」莫妮卡的愛，於是四處尋找童話故事中的仙子，希望仙子把他變成一個有血有肉的人類。

不論人類是否能夠創造出如電影那樣擁有感情的人工智能，電影希望探討的是，如果機械人有感情，那麼他們懂得愛嗎？或者說，我們的愛，會伸延到金屬造的機械人身上嗎？這是個倫理、道德問題，非科學所能回答。

受到其他被人類遺棄的機械人的幫助，大衛終於在已被水淹蓋的曼哈頓城水底找到仙子——一個迪士尼仙子像。他向仙子祈求，直到能源用盡。電影尾聲，人類已經絕種，而高度演化的機械人們希望了解自身的存在意義。他們找到被冰封的大衛，了解他希望得到莫妮卡的愛的心願。雖然不可能把大衛變成人類，但機械人們用莫妮卡的 DNA 造出了只有一天壽命的莫妮卡，完成了大衛的心願。

《木偶奇遇記》，其實一直是人類內心的反映啊。

《地心引力》抓不住你？

《地心引力》（Gravity，又譯為《引力邊緣》）應該是本文中最不科學的電影。雖以文藝片角度這可能是很捧的一部電影，可是其物理情節卻錯漏百出。

除了太空之中太空人感受到的無重狀態，基本上沒有一個情節的物理是正確的。例如，同一軌道上的太空碎片根本不可能追上哈柏望遠鏡——根據克卜勒第三定律，只受重力影響的穩定軌道上，所有東西速度都一樣。當然，引發一連串事件的碎片並不需要在穩定軌道之上，但要在短時間內與其他太空任務相遇並造成致命破壞，除非是經過刻意計算的，否則機率仍非常低。

不過，《地心引力》裡對人性求生本能的心理描寫，仍然值得一看。

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史上最科學黑洞！就在《星際效應》

《星際效應》（Interstellar，又譯為《星際啟示錄》、《星際穿越》）上映的時候氣勢驚人，全因有著名的理論物理學家、相對論專家基普．索恩（Kip Thorne, 1940 – ）坐鎮科學顧問一席。電影講述未來人類能源用盡，地球變得不適宜居住。男主角留下女兒和兒子在地球上，與科學家一起飛越黑洞到銀河系的另一端，尋找另一個適合人類居住的星球。

本片絕對是在銀幕上重現愛因斯坦的廣義相對論效應的最佳嘗試。飛越黑洞附近時，黑洞重力令主角經歷的時間減慢，絕對會令物理迷邊看邊微笑。索恩更利用電腦模擬，把描述時空與質量互動的愛因斯坦場方程式完美展現在電影之中，創造了電影史上最合乎科學的黑洞特寫。

但我個人認為最值得我們深思的是電影中未來政府竟改寫歷史課本，使未來的人以為人類從未上過太空，好讓他們放棄科學，專心耕作。主角的女兒擅長數理，在學校問起從前太空任務的事，竟然因此遭受處罰。在這個越來越不科學的時代，我們應緊記保持誠實、尊重事實，才是通往真理的道路。

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當不成睡美人就只能一起做《星際過客》

《星際過客》（Passengers，又譯為《太空潛航者》、《太空旅客》）探討一個人性問題：當你在太空旅程的冬眠中醒來，沒有任何方法再度進入冷凍狀態，而航程仍有 90 多年，這意味著你會在抵達目的地前死去，你會喚醒其他人來陪伴自己嗎？

這部電影大部分時間只有三個演員在互動：男女主角和機器人酒保。戲中提到的物理其實不多：環狀自轉太空船設計、遠離地球時的通訊延遲、使用大角星（牧夫座主星）引力助推加速、核融合引擎等，差不多都是現代科幻片的必備元素。

我認為最值得欣賞的是電影描寫了男主角的心理掙扎。面對絕對的孤獨，明知喚醒女主角等同謀殺一樣，劇本希望探討的是人性及道德。道德問題不像科學，沒有客觀的答案。然而，如果人類有朝一日真能移民外星，那麼這將是我們必須要面對的一個重要問題。

撕下標籤，《關鍵少數》帶你看見 NASA 無名英雌

《關鍵少數》（Hidden Figures，又譯為《NASA 無名英雌》、《隱藏人物》）講述一個真實的故事：上世紀美蘇太空競賽時，三個美國黑人女人如何在美國太空總署的太空任務中扮演了非常重要的角色。

電影雖以美蘇鬥快登月為背景，戲中對各種太空科技著墨其實不多。難得的是，電影刻畫了在電腦尚未普及的時代，科學家如何用紙筆計算複雜的太空船軌道。

那是個發現的時代，同時也是個充滿歧視與不公的時代。身為黑人女人所受的歧視和屈辱，實非現代人所能想像。電腦的英文 computer，原指一班在幕後為太空總署進行複雜數學運算的女人。他們都擁有高學歷，卻因為膚色與性別，只可以做太空總署的人肉計算機，黑色計算機——colored computer——這個詞竟然真真實實地在全世界最先進的科研機構裡出現過。

電影描述這三個真實個案，算是一個小小的平反。然而，歧視並未在當下消失：性別、種族、年齡、性取向歧視等等，在廿一世紀的今天仍存在於人類社會之中。希望這電影能喚醒更多人去反思自己的行為、希望我們的後代在未來也同樣會為今天的不公義感到驚訝。

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請試著想像，倘若今天走進咖啡廳，牆上掛了一幅油畫

「這是梵谷早期的作品，色調偏⋯⋯」

同行友人侃侃而談，或許有人覺得他在賣弄，但至少不太會有人打斷他，通常大家還會認真傾聽。而且如果可以，我們也想參一腳加入賣弄的行列。

現在換個畫面，牆上掛的是著名的歐拉公式

$$e^{i \pi}+1=0$$

「這是被稱為最奇妙的恆等式，非常簡單，卻涵蓋了 (\( 0, 1, e, \pi , i \) ) 這 5 個重要的基本常數。而且啊，你知道拉馬努金是在 12 歲的時候獨立推導出來噢……」

絕對不會有人這樣講，除非這是一群剛參加完數學研討會的人，或場景是一場失敗的聯誼，說話者想盡快結束回家睡覺。

我們在不知不覺間存在一種偏見，認為具備藝術素養是高雅的代表，數感素養則是不必要，至少不該拿出來高談闊論的東西。日常生活中少數會將數學作為對話素材的內容通常是：

「我大學聯考數學只考 30 分，還是上了台大。」

這類反過來以數學不好為傲的模式。

「數學就像繪畫，只是用你看不見的顏色來呈現。」

《天才無限家》的電影導演 Matt Brown 讓觀眾體會到數學如同藝術的那面，它的顏料是符號、幻化出來的作品是一道道公式，跟一幅畫一樣足以表現這個世界。

他挑了一位再恰當不過的主人翁，媲美任何一位藝術天才的數學家——拉馬努金。

拉馬努金出生在有著虔誠婆羅門信仰的貧困家庭，他是家裡的長子，底下有 2 個弟弟和 3 個妹妹。12 歲時，朋友借了他一本《三角學》。或許是沒其他的消遣，也或許拉馬努金天生熱愛數學，他不但唸完了，還自己獨立推導出著名的歐拉公式。

15 歲時，他拿到了另一本數學書《純粹數學概要》（Synopsis of pure mathematics），這大概也是少數因為讀者（就是拉馬努金）而出名的一本書。書中介紹了 6,000 多條公式，拉馬努金在 5 年內反覆閱讀，不僅懂了這些公式，還進一步延伸推廣。這本書可說是拉馬努金自學數學的聖經。也因為這本書不附證明的寫法，讓拉馬努金不擅長數學嚴謹的證明邏輯。這個時期他的數學成就，都是靠論證、直覺、歸納的混合處理達到。就像電影裡那樣，等到去了劍橋，才在哈代（G. H. Hardy）的指導下學會證明。話說回來，每個人適合不同的學習方式，倘若拉馬努金一開始就學習嚴謹的證明，說不定就無法培養出他那銳利無比的洞察力。

20 歲到 24 歲期間，拉馬努金基本上是個高等遊民，沒有固定職業，依然熱衷數學，研究了幻方、連分數、超幾何級數等等。他的研究成果記錄成 3 大本筆記本，對，比電影裡還多一本。每一本都跟《純粹數學概要》致敬，沒附上任何證明結果（或許拉馬努金覺得數學書就該這樣寫）。這段期間內，他也完成了終生大事，在 21 歲結婚。

不過跟電影裡不太一樣的是，電影裡的女主角太太 Janki（不是哈代）和拉馬努金看起來很登對，但事實上他們年紀相差 12 歲。

簡單的計算題，結婚時太太只有9歲。

成為人夫的拉馬努金遇到了後來成為印度數學學會會長的 R. Ramachandra Rao，Rao 激賞拉馬努金的天份，願意定期贊助他，讓他安心從事研究。贊助了幾年，拉馬努金覺得自己沒什麼貢獻，不願意在白白拿錢。Rao 介紹他去港務局工作，除了穩定收入，還有一個拉馬努金的專屬福利——去海港撿包裝紙當計算紙。值得一提的是，在這段期間，拉馬努金已經在《印度數學學會期刊》（Journal of the Indian Mathematical Society）發表過一篇論文，探討伯努利函數的性質。

26 歲時，拉馬努金將自己的研究成果寫成一封信，寄給哈代。哈代看完後立刻邀請拉馬努金到劍橋，只是宗教信仰讓拉馬努金猶豫，最後他決定先留在 Madras 大學做研究。

哈代沒放棄邀請拉馬努金，他透過當時正在 Madras 大學講課的 Neville（就是數值分析裡 Neville algorithm 的那個Neville）繼續遊說，終於說服了拉馬努金。

於是，拉馬努金在 27 歲時第一次來到世界的學術舞台劍橋大學，他跟哈代像一對默契絕佳的菜鳥與資深刑警：菜鳥刑警用敏銳的直覺辦案，資深刑警在一旁靠著經驗和對法規的熟嫻協助，兩人合作無間。只花了 4 年，拉馬努金就站到了學術舞台的中心，入選為英國皇家學會會員、三一學院的研究員。

但很遺憾地，在比成為會員的更短時間內，他就因為過度疲勞，以及飲食問題（就像電影裡的那樣，吃素的他只能每天自己隨便煮一煮）染上了肺結核。

他 32 歲回到印度，隔年過世。

或許是在劍橋研究時都在學習證明，精煉他前三本筆記的成果。他的第四本筆記一直到最後這一年才完成。這本筆記後來遺失了 50 多年，直到 1976 年才被發現不知為何放在劍橋三一書院的圖書館內。

裡面有 600 條公式，同樣非常有拉馬努金風格——沒附任何證明。

不知道哈代到底有沒有看過這本筆記本，強調證明的他看到拉馬努金依然這樣搞，一定很哭笑不得吧。

拉馬努金讓人們看到天才的璀璨，也讓我們看到，不出世的天才同樣得服膺於數學的嚴謹證明，唯有透過證明，才能將數學式子從假說、推論、提煉成定理，比鑽石還珍貴的永恆存在。

《天才無限家》這部電影提供了一種全新審視數學的角度。兩位主要演員 Dev Patel、Jeremy Irons 都說自己非常不擅長數學，Jeremy Irons 甚至自爆電影中寫公式地方是他靠「畫」的畫出來。電影的數學顧問還教他要觀察數字的對稱性，就可以更好畫。

導演 Matt Brown 在接受訪問時表達他對「數學家」的看法：

I think what they are doing — they are artists.

希望有一天，我們的社會也能用這樣更「寬容」的角度去觀看專業知識。數學不一定要跟著計算，還得算對才行。他可以像藝術一樣，在一定距離以外，用欣賞的角度去接觸。你不需要會畫油畫會雕刻才能去美術館，同樣地，也不需要一定得會三角函數或微積分才能踏入數學的領域。

唯有先讓更多人願意欣賞數學，我想，我們才能再去談，該如何改善數學教育，減少在學校聽到數學課就翻白眼，看到數學考卷就繳白卷的人數。

參考資料

• Aseem Chhabra, It took a decade to make The Man Who Knew Infinity, rediff movie, April 27, 2016.
• 王靖怡，金獎影帝數學不好 用功到演出感情，中央社，2016/05/18。
• 吳文俊，《世界著名數學家傳記》，科學出版社(簡)