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情人的理型:讓數學告訴你,遇見完美情人有多難?

賴 以威
・2016/04/02 ・3382字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 509 ・六年級

隨著年齡增長,我認知到兩件事實:第一、味全龍不會復活;第二、戀愛是場妥協的過程。

高二那年,我第一次去光華商場

「我要組一台完美的電腦。」

「完美是怎樣,記憶體、螢幕、CPU要衝多快、主機板、音效卡、顯示卡、鍵盤、滑鼠?」

「滑鼠跟鍵盤那種事情不重要啦!」

我心虛地反駁老闆,根本沒想過原來「完美」是由眾多細節構成。

完美的情人也是如此吧。每個人想找到完美情人,但具體地說又是怎樣呢?

我思索了好久,深夜夢到完美情人,醒來便記下她的樣貌、感覺,我彷彿在寫生,景物是藏在腦海深處的她:清澈的雙眼,我可以在她瞳孔中看見自己的幸福表情;挺拔的鼻子,親吻時我們的鼻尖會微微碰到;總是帶著淺淺的笑,不刻意,像中餐吃了頓好的,或順利完成工作,對生活滿足的笑容;孝順善良,為了小事感傷,面臨抉擇時有主見。

還有他的身高應該要是 158 公分,據說 12 公分是最佳的擁抱差距。最重要的是,她會像我愛她一樣地愛著我

關於完美情人,你得像組裝電腦一樣列出所有細節,再將它們統整成一個多重最佳化(multi-objective optimization)問題。列出來就好了,幹嘛變成最佳化問題?

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因為世界上不存在完美情人。柏拉圖曾說過,這世界上沒有完美的直線。再精確的尺也只能畫出近似的直線,無限放大後必然會看到抖動。

任何感官能體會到的事物都是表象,是完美的理型(form)的投影。直線的理型,存在於抽象的數學世界中。情人的理型,只存在於每個人的腦海裡。現實中我們尋求的,是最接近理型的情人。

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每個人心中都曾出現過完美情人的樣子,但遇到她的機率有多少呢? 圖/John Hope@flickr

我們想最佳化數個目標函數,或是說,想找到一位情人能在各方面都最接近理型。如果有這麼一位對象,恭喜你。但現實中常常事與願違,你可能找到一位外表很相似,但現在同時有兩位男友而你只能排到星期六下午三點到五點,跟吃到飽下午茶的時段差不多;你可能找到一位很聊得來的女孩,但懊惱自己為何都三十歲了還在意外表。你可以找到許多帕累托最佳解(Pareto Optimality)。但真正的理想情人只有一位,越多「一樣好」的帕累托最佳解,只更證明了他們距離理型更遠。

你終究要從眾多的「帕累托情人」當中挑出一位,我們進一步將多重最佳化改成階層最佳化(hierarchal optimization),把目標分等級,依序追求,先是個性、再來是外表、再來是喜不喜歡狗……很多人交往或結婚後感情生變,我認為很大一部分就是階層最佳化的順序改變了。交往前最在意的是長相,但交往後相處卻認為個性最重要,原本喜歡的對象就變得不再那麼美好。

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這是妥協的下場,奈何我們只能跟這個下場妥協。

讓我繼續來潑冷水。當我們從理型退到帕累托最佳解,再用階層最佳化求得一位對象,且稱她為「最佳解情人」。

問題是,你不一定能遇到她。更糟糕的是,遇到了也不一定知道是她

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哪怕你覺得眼前的對象已經很不錯了,但她終究跟理型有一段差距,這差距會讓你心底永遠存留一個小小的疑問。

娶了紅玫瑰,久而久之,紅的變了牆上的一抹蚊子血,白的還是『床前明月光』;娶了白玫瑰,白的便是衣服上沾的一粒飯黏子,紅的卻是心口上一顆硃砂痣。——〈紅玫瑰與白玫瑰〉

是否存在一位更好、更接近理型的情人?

秘書問題(secretary problem)試圖解決這個問題:假設一輩子交往 100 位女朋友,而且分手了就不能復合,那麼前 37 位都不能定下來,只能將他們作為你的參考指標。第 38 位起,倘若有一位比前 37 位都要好的對象出現,立刻下跪求婚,如此將可最大化你和最佳解情人定下來的機率。

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遇見最最最理想的另一半,會有多難?圖/Victor U@flickr

這是一套經過數學嚴謹計算的最佳策略,使用起來的成效是—— 1/e,e 是歐拉數(Euler’s number),趨近 2.718,換算起來 1/e 是 37%。表示你有高達六成的機率會錯過她

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夠沮喪了嗎?讓我再推你一把。

方才的 37% 是指你跟最佳解情人交往過的前提下才成立,換句話說這是條件機率。有更多的可能是根本沒和最佳解情人交往過,甚至連認識都不認識她。

撇開你我都不是金城武的事實,倘若認識了最佳解情人就能順利和她交往,則和最佳解情人定下來的機率是

P(和最佳解情人定下來)= P(和最佳解情人定下來|認識最佳解情人)× P(認識最佳解情人)+ P(和最佳解情人定下來|不認識F)× P(不認識最佳解情人)= 37% × P(認識最佳解情人)+ 0 × P(不認識最佳解情人)

認識最佳解情人的機率有多高呢?

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我們用費米推論法(Fermi estimation)來算算看。假設最佳解情人住在台灣,台灣 20~40 歲女性約三百五十萬人。在假設社交網路中,你只會認識朋友的朋友,也就是圖論中的距離(node distance)2,倘若你有 200 位朋友,每一位認識 200 位這個年齡層的台灣女性。用這麼寬的標準來算,依然只有 1% 的機率,你會認識最佳解情人。這時候,和最佳解情人定下來的機率將銳減到 0.37%

到這邊,我相信你對愛情已經不再抱著過度的期望,畢竟數學告訴我們,儘管每個人都花了一生的力氣在尋找真愛,但這麼說好了,把你的人生想成是一張剛買了咖啡後拿回來的發票。

你覺得手中的發票會中獎嗎?

不好意思,我中了,而且是頭獎。

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那是一個普通的傍晚,從奇岩站搭 33 分鐘的捷運到台北 101,搭電梯上 57 樓會場,擔任朋友舉辦的講座主持人。開場前我走進會場,她獨自坐在右側,臉上掛著淺淺的微笑,不刻意,讓人覺得可能是中餐吃了頓好的,或順利完成工作,對生活滿足的笑容。

我經過她凝視的前方,竊取了她的笑容。她對這奇蹟的一刻彷彿渾然無所覺,她不知道,我的情人理型以最不失真的角度立體投影在這個空間內,以白襯衫,搭配粉紅色針織罩衫的樣貌出現。

1 個月,我們第一次約會;2 個月,我們交往;3 個月,我向她求了一場很爛的婚;5 個月,我補了一場比較好的求婚,我們在日本訂做婚戒;8 個月,我們登記為夫妻,在外頭租了間小公寓,房東在牆上貼了一片櫻花送我們,我們天天在櫻花樹下睡覺,做著粉紅色的夢;13 個月,我們搬回北投住;21 個月,我們舉辦這場婚禮。每段時間,我們都有值得珍惜的重要回憶。1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21……稱為費波納契數列,第 n 個數字是前兩個數字相加的結果,費波納契數列連續兩個數字相除,1/1=1, 1/2=0.5, 2/3=0.67, 3/5=0.6, 5/8=0.625……會越來越接近黃金比例:0.618,在數學中被視為美的同義詞。

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交往中,我察覺到自己犯了根本上的錯誤。

我總以為愛情是追逐一位最接近理型的情人的過程。她相當接近,也僅止於接近,始終不是百分之百。但儘管如此,我們的相處依然那麼契合,如同以黃金比例做成的潘洛斯鋪磚(Penrose Tiling),只需要兩種基本形狀:飛鏢(Dart)與風箏(Kite),便能完美鋪滿整個平面,不留下一絲縫隙。

後來我才知道自己弄顛倒了。

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潘洛斯鋪磚。圖/wikipedia

的確,現實生活中不可能有一條完全筆直的直線,它只存在於想像中;但情人跟一條直線不一樣,情人是主觀的,是有很多細節想像不到,唯有相處、經歷後才清楚。因此,想像中不可能有完美的情人,情人的理型就是茫茫人海中的某位女孩,腦海裡的想像只是投影,讓我們用來按圖索驥,去尋找理型,那一位對每個人來說都是獨一無二的另一半。

我中的不是頭獎,是任何一個單位都無法兌換給我的超級特獎,是屬於我的情人理型

本文原刊登於作者臉書網誌〈情人的理型〉,經作者授權轉載。

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賴 以威
32 篇文章 ・ 9 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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拆解邊緣AI熱潮:伺服器如何提供穩固的運算基石?
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/05/21 ・5071字 ・閱讀時間約 10 分鐘

本文與 研華科技 合作,泛科學企劃執行。

每次 NVIDIA 執行長黃仁勳公開發言,總能牽動整個 AI 產業的神經。然而,我們不妨設想一個更深層的問題——如今的 AI 幾乎都倚賴網路連線,那如果哪天「網路斷了」,會發生什麼事?

想像你正在自駕車打個盹,系統突然警示:「網路連線中斷」,車輛開始偏離路線,而前方竟是萬丈深谷。又或者家庭機器人被駭,開始暴走跳舞,甚至舉起刀具向你走來。

這會是黃仁勳期待的未來嗎?當然不是!也因為如此,「邊緣 AI」成為業界關注重點。不靠雲端,AI 就能在現場即時反應,不只更安全、低延遲,還能讓數據當場變現,不再淪為沉沒成本。

什麼是邊緣 AI ?

邊緣 AI,乍聽之下,好像是「孤單站在角落的人工智慧」,但事實上,它正是我們身邊最可靠、最即時的親密數位夥伴呀。

當前,像是企業、醫院、學校內部的伺服器,個人電腦,甚至手機等裝置,都可以成為「邊緣節點」。當數據在這些邊緣節點進行運算,稱為邊緣運算;而在邊緣節點上運行 AI ,就被稱為邊緣 AI。簡單來說,就是將原本集中在遠端資料中心的運算能力,「搬家」到更靠近數據源頭的地方。

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那麼,為什麼需要這樣做?資料放在雲端,集中管理不是更方便嗎?對,就是不好。

當數據在這些邊緣節點進行運算,稱為邊緣運算;而在邊緣節點上運行 AI ,就被稱為邊緣 AI。/ 圖片來源:MotionArray

第一個不好是物理限制:「延遲」。
即使光速已經非常快,數據從你家旁邊的路口傳到幾千公里外的雲端機房,再把分析結果傳回來,中間還要經過各種網路節點轉來轉去…這樣一來一回,就算只是幾十毫秒的延遲,對於需要「即刻反應」的 AI 應用,比如說工廠裡要精密控制的機械手臂、或者自駕車要判斷路況時,每一毫秒都攸關安全與精度,這點延遲都是無法接受的!這是物理距離與網路架構先天上的限制,無法繞過去。

第二個挑戰,是資訊科學跟工程上的考量:「頻寬」與「成本」。
你可以想像網路頻寬就像水管的粗細。隨著高解析影像與感測器數據不斷來回傳送,湧入的資料數據量就像超級大的水流,一下子就把水管塞爆!要避免流量爆炸,你就要一直擴充水管,也就是擴增頻寬,然而這樣的基礎建設成本是很驚人的。如果能在邊緣就先處理,把重要資訊「濃縮」過後再傳回雲端,是不是就能減輕頻寬負擔,也能節省大量費用呢?

第三個挑戰:系統「可靠性」與「韌性」。
如果所有運算都仰賴遠端的雲端時,一旦網路不穩、甚至斷線,那怎麼辦?很多關鍵應用,像是公共安全監控或是重要設備的預警系統,可不能這樣「看天吃飯」啊!邊緣處理讓系統更獨立,就算暫時斷線,本地的 AI 還是能繼續運作與即時反應,這在工程上是非常重要的考量。

所以你看,邊緣運算不是科學家們沒事找事做,它是順應數據特性和實際應用需求,一個非常合理的科學與工程上的最佳化選擇,是我們想要抓住即時數據價值,非走不可的一條路!

邊緣 AI 的實戰魅力:從工廠到倉儲,再到你的工作桌

知道要把 AI 算力搬到邊緣了,接下來的問題就是─邊緣 AI 究竟強在哪裡呢?它強就強在能夠做到「深度感知(Deep Perception)」!

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所謂深度感知,並非僅僅是對數據進行簡單的加加減減,而是透過如深度神經網路這類複雜的 AI 模型,從原始數據裡面,去「理解」出更高層次、更具意義的資訊。

研華科技為例,旗下已有多項邊緣 AI 的實戰應用。以工業瑕疵檢測為例,利用物件偵測模型,快速將工業產品中的瑕疵挑出來,而且由於 AI 模型可以使用同一套參數去檢測,因此品管上能達到一致性,減少人為疏漏。尤其在高產能工廠中,檢測速度必須快、狠、準。研華這套 AI 系統每分鐘最高可處理 8,000 件產品,替工廠節省大量人力,同時確保品質穩定。這樣的效能來自於一台僅有膠囊咖啡機大小的邊緣設備—IPC-240。

這樣的效能來自於一台僅有膠囊咖啡機大小的邊緣設備—IPC-240。/ 圖片提供:研華科技

此外,在智慧倉儲場域,研華與威剛合作,研華與威剛聯手合作,在 MIC-732AO 伺服器上搭載輝達的 Nova Orin 開發平台,打造倉儲系統的 AMR(Autonomous Mobile Robot) 自走車。這跟過去在倉儲系統中使用的自動導引車 AGV 技術不一樣,AMR 不需要事先規劃好路線,靠著感測器偵測,就能輕鬆避開障礙物,識別路線,並且將貨物載到指定地點存放。

當然,還有語言模型的應用。例如結合檢索增強生成 ( RAG ) 跟上下文學習 ( in-context learning ),除了可以做備忘錄跟排程規劃以外,還能將實務上碰到的問題記錄下來,等到之後碰到類似的問題時,就能詢問 AI 並得到解答。

你或許會問,那為什麼不直接使用 ChatGPT 就好了?其實,對許多企業來說,內部資料往往具有高度機密性與商業價值,有些場域甚至連手機都禁止員工帶入,自然無法將資料上傳雲端。對於重視資安,又希望運用 AI 提升效率的企業與工廠而言,自行部署大型語言模型(self-hosted LLM)才是理想選擇。而這樣的應用,並不需要龐大的設備。研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器,體積僅如後背包大小,卻能輕鬆支援語言模型的運作,實現高效又安全的 AI 解決方案。

但問題也接著浮現:要在這麼小的設備上跑大型 AI 模型,會不會太吃資源?這正是目前 AI 領域最前沿、最火熱的研究方向之一:如何幫 AI 模型進行「科學瘦身」,又不減智慧。接下來,我們就來看看科學家是怎麼幫 AI 減重的。

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語言模型瘦身術之一:量化(Quantization)—用更精簡的數位方式來表示知識

當硬體資源有限,大模型卻越來越龐大,「幫模型減肥」就成了邊緣 AI 的重要課題。這其實跟圖片壓縮有點像:有些畫面細節我們肉眼根本看不出來,刪掉也不影響整體感覺,卻能大幅減少檔案大小。

模型量化的原理也是如此,只不過對象是模型裡面的參數。這些參數原先通常都是以「浮點數」表示,什麼是浮點數?其實就是你我都熟知的小數。舉例來說,圓周率是個無窮不循環小數,唸下去就會是3.141592653…但實際運算時,我們常常用 3.14 或甚至直接用 3,也能得到夠用的結果。降低模型參數中浮點數的精度就是這個意思! 

然而,量化並不是那麼容易的事情。而且實際上,降低精度多少還是會影響到模型表現的。因此在設計時,工程師會精密調整,確保效能在可接受範圍內,達成「瘦身不減智」的目標。

當硬體資源有限,大模型卻越來越龐大,「幫模型減肥」就成了邊緣 AI 的重要課題。/ 圖片來源:MotionArray

模型剪枝(Model Pruning)—基於重要性的結構精簡

建立一個 AI 模型,其實就是在搭建一整套類神經網路系統,並訓練類神經元中彼此關聯的參數。然而,在這麼多參數中,總會有一些參數明明佔了一個位置,卻對整體模型沒有貢獻。既然如此,不如果斷將這些「冗餘」移除。

這就像種植作物的時候,總會雜草叢生,但這些雜草並不是我們想要的作物,這時候我們就會動手清理雜草。在語言模型中也會有這樣的雜草存在,而動手去清理這些不需要的連結參數或神經元的技術,就稱為 AI 模型的模型剪枝(Model Pruning)。

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模型剪枝的效果,大概能把100變成70這樣的程度,說多也不是太多。雖然這樣的縮減對於提升效率已具幫助,但若我們要的是一個更小幾個數量級的模型,僅靠剪枝仍不足以應對。最後還是需要從源頭著手,採取更治本的方法:一開始就打造一個很小的模型,並讓它去學習大模型的知識。這項技術被稱為「知識蒸餾」,是目前 AI 模型壓縮領域中最具潛力的方法之一。

知識蒸餾(Knowledge Distillation)—讓小模型學習大師的「精髓」

想像一下,一位經驗豐富、見多識廣的老師傅,就是那個龐大而強悍的 AI 模型。現在,他要培養一位年輕學徒—小型 AI 模型。與其只是告訴小型模型正確答案,老師傅 (大模型) 會更直接傳授他做判斷時的「思考過程」跟「眉角」,例如「為什麼我會這樣想?」、「其他選項的可能性有多少?」。這樣一來,小小的學徒模型,用它有限的「腦容量」,也能學到老師傅的「智慧精髓」,表現就能大幅提升!這是一種很高級的訓練技巧,跟遷移學習有關。

舉個例子,當大型語言模型在收到「晚餐:鳳梨」這組輸入時,它下一個會接的詞語跟機率分別為「炒飯:50%,蝦球:30%,披薩:15%,汁:5%」。在知識蒸餾的過程中,它可以把這套機率表一起教給小語言模型,讓小語言模型不必透過自己訓練,也能輕鬆得到這個推理過程。如今,許多高效的小型語言模型正是透過這項技術訓練而成,讓我們得以在資源有限的邊緣設備上,也能部署愈來愈強大的小模型 AI。

但是!即使模型經過了這些科學方法的優化,變得比較「苗條」了,要真正在邊緣環境中處理如潮水般湧現的資料,並且高速、即時、穩定地運作,仍然需要一個夠強的「引擎」來驅動它們。也就是說,要把這些經過科學千錘百鍊、但依然需要大量計算的 AI 模型,真正放到邊緣的現場去發揮作用,就需要一個強大的「硬體平台」來承載。

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邊緣 AI 的強心臟:SKY-602E3 的三大關鍵

像研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器,就是扮演「邊緣 AI 引擎」的關鍵角色!那麼,它到底厲害在哪?

一、核心算力
它最多可安裝 4 張雙寬度 GPU 顯示卡。為什麼 GPU 這麼重要?因為 GPU 的設計,天生就擅長做「平行計算」,這正好就是 AI 模型裡面那種海量數學運算最需要的!

你想想看,那麼多數據要同時處理,就像要請一大堆人同時算數學一樣,GPU 就是那個最有效率的工具人!而且,有多張 GPU,代表可以同時跑更多不同的 AI 任務,或者處理更大流量的數據。這是確保那些科學研究成果,在邊緣能真正「跑起來」、「跑得快」、而且「能同時做更多事」的物理基礎!

二、工程適應性——塔式設計。
邊緣環境通常不是那種恆溫恆濕的標準機房,有時是在工廠角落、辦公室一隅、或某個研究實驗室。這種塔式的機箱設計,體積相對緊湊,散熱空間也比較好(這對高功耗的 GPU 很重要!),部署起來比傳統機架式伺服器更有彈性。這就是把高性能計算,進行「工程化」,讓它能適應台灣多樣化的邊緣應用場景。

三、可靠性
SKY-602E3 用的是伺服器等級的主機板、ECC 糾錯記憶體、還有備援電源供應器等等。這些聽起來很硬的規格,背後代表的是嚴謹的工程可靠性設計。畢竟在邊緣現場,系統穩定壓倒一切!你總不希望 AI 分析跑到一半就掛掉吧?這些設計確保了部署在現場的 AI 系統,能夠長時間、穩定地運作,把實驗室裡的科學成果,可靠地轉化成實際的應用價值。

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研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器,體積僅如後背包大小,卻能輕鬆支援語言模型的運作,實現高效又安全的 AI 解決方案。/ 圖片提供:研華科技

台灣製造 × 在地智慧:打造專屬的邊緣 AI 解決方案

研華科技攜手八維智能,能幫助企業或機構提供客製化的AI解決方案。他們的技術能力涵蓋了自然語言處理、電腦視覺、預測性大數據分析、全端軟體開發與部署,及AI軟硬體整合。

無論是大小型語言模型的微調、工業瑕疵檢測的模型訓練、大數據分析,還是其他 AI 相關的服務,都能交給研華與八維智能來協助完成。他們甚至提供 GPU 與伺服器的租借服務,讓企業在啟動 AI 專案前,大幅降低前期投入門檻,靈活又實用。

台灣有著獨特的產業結構,從精密製造、城市交通管理,到因應高齡化社會的智慧醫療與公共安全,都是邊緣 AI 的理想應用場域。更重要的是,這些情境中許多關鍵資訊都具有高度的「時效性」。像是產線上的一處異常、道路上的突發狀況、醫療設備的即刻警示,這些都需要分秒必爭的即時回應。

如果我們還需要將數據送上雲端分析、再等待回傳結果,往往已經錯失最佳反應時機。這也是為什麼邊緣 AI,不只是一項技術創新,更是一條把尖端 AI 科學落地、真正發揮產業生產力與社會價值的關鍵路徑。讓數據在生成的那一刻、在事件發生的現場,就能被有效的「理解」與「利用」,是將數據垃圾變成數據黃金的賢者之石!

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人生大事難以抉擇?用「最佳停止點」來幫助你下決定吧!
林希陶_96
・2019/03/19 ・2086字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 528 ・七年級

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大學新鮮人通常是戀愛解禁的時刻,但如何抉擇愛情,是許多莘莘學子一生的困惑。許多人喜歡對他人的感情做出評論,但似乎沒有人使用科學或心理學的方法來討論。這個問題在歐美地區一樣很常見,高中生情侶上大學後分隔兩地,第一次回家過感恩節假期,之後往往就會分手,俗稱為「火雞分手」(Turkey drop,如果你很好奇拿這個辭去Google,你會發現很多有趣的事)。

若將這件事情說的更科學一點,我們可能要換個說法:如果我們遵守連續單偶制(指一人有許多配偶,但每次只有一個),那要跟多少人在一起過,才能知道誰最適合你?

那要跟多少人在一起過,才能知道誰最適合你呢?這事能夠計算得出來的嗎?圖/pixabay

此一困境在數學心理學(Mathematical psychology)上已經研究多年。數學心理學屬於認知心理學的次領域,是使用數學模型來討論心理學所遭遇的各種問題。如何在最佳時機作決定,稱為「最佳停止點」(或稱「最佳停止問題」,Optimal Stopping)〔1]。「最佳停止點」可以應用的方向很廣,舉凡需要做抉擇的事情,都可以用此方法來思考,小到午餐要吃什麼、找停車位、找旅館,大到面試新人、租房子、買賣房子、決定人生伴侶等等。

這個問題已經有了最佳的解答,就是 37﹪法則。

什麼意思?就是將願意花掉的總時間乘以 37﹪,就是最佳決定的時刻。舉一個簡單例子,如果你想要在兩個月之內租到房子,那個房子是最佳房子的最佳機率。那就把 60 天乘以 37﹪,也就是 22 天。也就是花了 22 天之後,你就要出手了。只要找到比你先前看過的房子更令人心動的房子,就立刻動手,不要猶豫,這就是最佳決定的時間點,因為你花再多時間也不可能找到更好的了。

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將願意花掉的總時間乘以 37﹪,就是最佳決定的時刻。圖/pixabay

秘書問題:以最少的時間面試,找到最佳的人選

為什麼是 37﹪,而不是其他數字,這是一個嚴謹數學的問題。「最佳停止點」源自一個古老的起點稱為「秘書問題(secretary problem)」:我們希望花最少的時間,找到最佳的人選。最佳的解決方案,是設定一段思考時間,在這段時間中,先不錄取。但過了這段時間,只要看到比思考階段更好的人選時,就馬上錄取。

如果我們逐一將面試的幾人之後,就做出決定,依序可得到表一。面試兩人時,不論錄取誰,成功率都是 1/2(兩人各有一半的機率是最佳人選)。如果有三人應徵,情況變得較為複雜。在面試第一人,先按兵不動。面試第二人時,若我們知道他比第一位好,就先錄取;若比第一位差,就不錄取。如此找到最佳人選的機率,跟應徵兩人時是一樣的,也是 1/2

當可選擇的人數越來越多時,做決定的界線就是 37﹪。採用這個策略,找到最佳人選的機率也趨近 37﹪。沒錯,世界上並不存在最完美的策略,就算是我們覺得這是最好的方法了,其失敗率仍有 63﹪。採取這樣的方法,主要是取決於大多數的情況下,我們都無法找到最佳人選;但最佳停止策略,卻幫我們節省最多的時間。

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表:面試的幾人後,就下決定最好。圖/泛科學重製,參考自《決斷的演算》,頁26。

回到決定人生伴侶這件事也是雷同的。37﹪法則不只用在應徵人數,也可用在尋找時間。假設從 18 歲開始,我們就汲汲營營於尋找另一半,至 45 歲左右為止。那依據最簡單的減法與乘法(〔(45-18)+1〕×37﹪=10.36),那決定終身伴侶的時間點,就是落在 28 至 29 歲之間。如果那時你已經有合適的伴侶,那就可以考慮結婚了,因為以後也找不到更好的了。(假設啦,我知道真實的情況是像下圖這樣XD)。

截圖取自《心理學派不上用場》。

面對七嘴八舌的詢問,就「解釋」給他們聽吧!

如此之結果,就是對於大一新生伴侶,最好的解答。他們根本不用在十八歲就做人生最後的決定,最佳最合適的時間點根本還沒到。如果遇到惱人的三姑六婆,我們可以拿出數學慢慢算給他們聽,以他們對於數學的耐受力,肯定三分鐘後就放你一馬了。(因為根據 37﹪法則,他們對於困難數學的問題最多只能聽十分鐘,他們能撐三分鐘,已經是最佳策略了)。

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圖/pixabay

其實這個解決方法十分好用,很多時刻時我們常常不知如何做決定,包括買東西、找車位、訂機票、訂旅館等等,難以抉擇的當下無時無刻的困擾著我們。這時候,想想人生並不存在 CP 值最高的,而是「最佳停止點」,才是最完美的策略,想必對於困境也就能慢慢釋懷了。

  • 註:因為三位應徵者,若依其優秀程度,有六種排列方式:1-2-3、1-3-2、2-1-3、2-3-1、3-1-2、3-2-1。若依上面所述,面試第一人先不動。接著只要有更好的人選就錄取,這樣成功錄取最優秀的排列為2-1-3、2-3-1、3-1-2,佔全體一半。若是另外三種排列方式1-2-3、1-3-2、3-2-1,一樣有一半的機率錯過最佳人選。

參考資料與延伸閱讀:

  1. 甘錫安(譯)(2017)。決斷的演算:預測、分析與好決定的11堂邏輯課(Brain Christian & Tom Griffiths)。新北:遠足文化。
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林希陶_96
80 篇文章 ・ 53 位粉絲
作者為臨床心理師,專長為臨床兒童心理病理、臨床兒童心理衡鑑、臨床兒童心理治療與親子教養諮詢。近來因生養雙胞胎,致力於嬰幼兒相關教養研究,並將科學育兒的經驗,集結為《心理師爸爸的心手育嬰筆記》。與許正典醫師合著有《125遊戲,提升孩子專注力》(1)~(6)、《99連連看遊戲,把專心變有趣》、《99迷宮遊戲,把專心變有趣》。並主持FB專頁:林希陶臨床心理師及部落格:暗香浮動月黃昏。

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捷運地下委員會的旅行業務員問題
賴 以威
・2015/05/18 ・6172字 ・閱讀時間約 12 分鐘 ・SR值 463 ・五年級

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才到中正紀念堂站嗎?今天看書效率還挺高的。

孝和放下手中的講義。

Photo credit: George Alexander Ishida Newman
Photo credit: George Alexander Ishida Newman

上大學後,他養成在捷運上閱讀的習慣。早上11點的捷運車廂空蕩蕩,彷彿是為了將郊區的新鮮空氣運送到市中而行駛,只有孝和與另一位乘客,那人身旁擺了個紙箱,乍看之下也是剛上大學的年紀,卻散發出一股同學沒有的氣息。正確地說,是少了大學生的青春氣息,更像社會人士。

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為什麼可以這時候在捷運上,業務員嗎?不,業務員不應該穿Uniqulo襯衫跟牛仔褲……,孝和猜測起對方背景,藉此打發時間。

列車抵達台電大樓終點站。孝和下車,轉身面對月台,等往公館的下一班列車。忽然,他意識到月台上只有自己一人。

那傢伙不見了。

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幾天後孝和又遇見他了。

那人坐在相同的位子,偶爾看手機,大多時間往漆黑的窗外看著。或許是錯覺,孝和覺得投影在窗戶上的那張臉不時窺視自己。比起無趣的學校,曾經莫名其妙消失的傢伙讓孝和更感興趣。他沒在公館下車,一路來到了終點站新店。下車後,孝和保持一段距離,用眼角餘光觀察對方,兩人一前一後上電扶梯、出站。站外的洗手間,清潔人員正擺上「清理中」的黃色告示,那傢伙卻視若無睹地進去。

「不好意思。」

孝和低聲道歉後也跟了進去。

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那傢伙站在最內側的小便斗前,與孝和對望了一秒,又像沒看見他似地,轉過頭吹起口哨。孝和走向小便斗。忽然,三間廁所門都被推開,三個邋塌的中年男子走出來,擋住孝和的去路,從他們緊靠的身上傳來一股刺鼻體味。孝和察覺不對勁,準備轉身離開,卻被一支拖把從背後頂住。

「不要動。」

清掃人員的聲音從看不見的死角傳來。

「上完廁所的瞬間最舒服了,呼。你是怎麼發現的?」

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孝和沒回答。對方吹著口哨走過來,似乎是英國搖滾天團U2的「With or without you」旋律。他伸出手:「我叫賴皮,你好。」

「你還沒洗手。」

Photo credit: arianne
Photo credit: arianne

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「真的有『捷運地下委員會』這個組織?」

「敝人為初代會長,鏡頭在哪裡?」

「沒那種東西。」

孝和伸手制止賴皮比Ya的手勢。儘管剛認識,兩人卻像老友一樣打鬧著。孝和覺得賴皮和他高中死黨很像,都是思考很超展開的人。以前死黨還說過「籃球隊先發五人,棒球隊先發九人,為什麼女朋友只能先發一人」這種莫名其妙的話。

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「不能拍照噢,禁止攝影。」

賴皮露出正經的表情,孝和吐槽道:「這裡是博物館嗎?」

事實上,這裡恐怕是跟博物館相差最遠的地方了。

在孝和眼前展開的是一條昏暗的捷運隧道,約四、五米挑高,往隧道深處望去有種整個人要被吸進去的錯覺。軌道上鋪了一好幾大片塑膠地板,他們坐在上方。空氣中瀰漫一股柴油發電的油氣味,幾十條電線從發電機出發,像地底才有的藤蔓品種,攀爬上水泥牆,抵擋不過重力,從隧道頂垂吊下來,開出一朵朵澄黃色的工業燈泡。不遠處,有一塊用伸縮圍欄拉出的區域,幾片模糊的身影側躺在那兒。更遠處有許多箱子,整齊堆疊著。

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二十分鐘前,賴皮帶孝和搭上終點站是台電大樓的列車,

「趕快躲到椅子下。」,賴皮邊指揮孝和,自己躲到對面椅子底下。站務人員的腳從他們面前經過,沒停下來,不知道是沒看到,還是跟賴皮有默契。他們在折返的袋狀軌處扳開車門,步行到原本作為擺放備用列車,如今已荒廢的軌道。

這是捷運地圖上沒有的區域,同時也是捷運地下委員會的總部。

「還是不相信嗎?」

賴皮發出嘖嘖嘖的聲響,皺起眉頭:「人類真容易被『常識』束縛,常識裡不該有的存在,親眼見到了也無法相信。」

他裝起客服人員的腔調:「各位先生女士,捷運地下委員會起源於民國八十五年。當時淡水線剛通車,遊民喜歡躲進尚未啟用的隧道裡生活,當局發現後,一方面同情遊民生活,一方面怕強力驅趕引發社會問題,便睜一隻眼閉一隻眼。為了感謝捷運局通融,遊民主動幫忙工程。雙方就像小丑魚跟海葵互利共生。爾後捷運網路發達,遷徙至地下的遊民也越來越多,便成立了捷運地下委員會。除了協助工程,今年更將觸角延伸至送貨服務。」

「 送貨服務?」

賴皮點點頭:「捷運網路就像台北市的血管,血管能輸送氧氣,捷運當然也能送貨。」

我們不僅是小丑魚,還是紅血球。賴皮雙手插腰,一臉得意的樣子。

Photo credit: creativegaz
Photo credit: creativegaz

地下委員會的送貨方式是這樣的:某幾站的廁所掃具間裡設有販賣機,販售一張50元、上面繪製了「U2」的黑底紅字貼紙,販賣機上有QR code可加LINE ID。

「為什麼叫U2?」

孝和把玩著賴皮遞給他的貼紙

「因為是捷運(underground)的地下(underground)服務委員會啊,剛好兩個U。」

「台北捷運叫做MRT又不是underground,根本是因為你喜歡U2吧。」

「那是巧合。」

賴皮不理會孝和,繼續解釋:「客人得坐在第一節車廂末端的靠右三人座,將物品貼上貼紙,再用LINE告訴我們此刻正通過哪一站,要送達的車站,再把物品放在座位底下,我們就會去收貨。」

「不會被別人拿走嗎?」

賴皮用「這是什麼問題」的表情瞪了孝和一眼,「現在捷運上每個人都在玩手機,不會有人注意到座位底下的。況且,這裡是台北市,都市人最擅長對奇怪的事情裝作沒看到。」

果然又是常識害的嗎,孝和心想。

「收到後,我們會於24小時以內以遺失物品的名義送達到該站站務。之後,收件人就可以去取貨了。」

解釋完,賴皮又吹起口哨,這次換成U2的「Pride(In the name of love)」。孝和採取正面攻擊發問:「幹嘛告訴我這麼多?」

「因為我們需要你的幫忙。」

賴皮露出狡猾的笑容。到這邊起才是重點。

賴皮起身走向牆邊,孝和跟在後頭,牆上貼了幾十張表格,記錄捷運不同站間的乘車時間。

表1

「我們最近送貨服務越做越好,開始有些忙不過來,所以得好好規劃起送貨流程。好比說,等等輪到仁叔送貨。」

賴皮往休息區一指,也不管孝和到底有沒有搞清楚仁叔是誰,

「他得送到『板橋、中山、動物園、徐匯中學、南京復興、市政府、善導寺、大安森林公園』八站。你覺得送貨順序怎麼排會比較好?」

「這是旅行業務員--」

Photo credit: katerha
Photo credit: katerha

賴皮打斷孝和,他說「我是這樣安排的:

賴皮的直覺法 台電大樓 板橋 徐匯 中山 南京復興 市政府 動物園 大安森林 善導寺 台電大樓 總和
18 35 14 4 11 26 21 9 13 151

根據捷運局公布的時間,需要花--」

「151分鐘。」

換孝和打斷賴皮。

「好厲害!這麼快就算出來了。」

賴皮提高音量,發出由衷的讚美,孝和的表情沒有任何變化,依然專注地看著牆上的表格。

「地表人真沒禮貌,被讚美了難道不該道謝嗎?」

「你有兩隻手跟兩隻腳,好厲害。」

「這跟那有什麼關係?」

「看吧,你也沒說謝謝。聽到對方陳述一件事實,本來就不需要道謝吧。」

賴皮做出下巴脫臼的誇張姿勢,然後嘴角露出反擊的笑容

「也是,畢竟是數學天才孝和嘛。」

突然被叫出本名,孝和還沒反應過來,一本書先出現在眼前,

「上週有人用我們的服務送了這本《超展開數學教室》,我一看,就覺得書裡的人好眼熟,跟捷運上常看到的某位大學生很像。」

被將軍了,孝和哭笑不得。前陣子,他們高中時期和老師雲方用數學解決各種生活問題的經歷被出版後,死黨阿叉還用LINE問他:「怎麼辦,會不會有人在路上認出我們啊?」

「你放心吧,書被分在數學類科普,通常不會賣很好。」

「什麼嘛--」

孝和這才意識到原來阿叉是巴不得被認出來。沒想到先一步被發現的是他,還因為這本書被捲入了這近似都市傳奇的組織。

「我知道了。你要我幫忙排送貨流程嗎?」

賴皮點點頭,「跟聰明人講話真輕鬆。現在都靠我慢慢排,其他人懶得要命,要是不事先排好,他們就會隨便選。像仁叔每次都選『最近的下一站』,照他的方法這趟得花181分鐘,

最鄰近搜尋法 台電大樓 中山 南京復興 善導寺 大安森林 市政府 板橋 徐匯 動物園 台電大樓 總和
11 4 10 9 17 23 35 41 31 181

比我規劃的多了半小時,太浪費……」

賴皮劈哩啪啦講著,孝和將他的話視為背景噪音,腦海裡開始運算。等賴皮告一段落,他才開口

「這是標準的旅行業務員問題(Traveling salesman problem)。」

「嘎?」

「我剛一開始就說了,是你打斷我的。」

「想像有位業務員要造訪很多城市,城市間有道路連接。以造訪完所有城市為前題,業務員該如何規劃造訪順序,才能走最短距離、花費最少時間。」

孝和在地下幾十公尺深的地方上起數學課:「仁叔的『最近站為下一站』是最鄰近搜尋法(nearest neighbor search)。」

「仁叔的方法也是數學家提出來的?當數學家也沒想像中的難嘛。」

賴皮不以為然說,孝和瞪了他一眼:「最鄰近搜尋法的優點在於簡單,但效果通常不好,用像你這種程度的大腦去規劃一下,往往就可以得到更好的結果。」

「太失禮了吧,什麼叫做『像我這種程度的大腦』,全台灣有誰比我更了解捷運,你能背出淡水信義線沿線每一站嗎?淡水、紅樹林……」

賴皮念咒似地背起來,孝和研究乘車時間表格,圈起其中幾個欄位。

「大安森林公園、信義安和、大安……顛倒了……這幾站安來安去真煩,你知道嗎,我常因此被下錯站的觀光客問路……101、象山站!」

「不錯嘛,真的背完了。」

「當然,哈哈。你把這幾個圈起來做什麼?」

孝和原本想說「這才叫讚美,因為你做了超乎預期的事」,但看到賴皮一臉得意,他反而失去了嘲諷的興致。

「另一種簡單的方法叫做貪婪演算法:每次都將最短的兩站間路徑加進路線。比方說,中山站到南京復興之間的路徑最短,只要4分鐘,所以是第一條要納入的路徑。再來,善導寺跟中山站之間的路徑第二短,只有7分鐘,也要納入路徑。這麼一來會得到『善導寺→中山→南京復興』或反過來『南京復興→中山→善導寺』兩種路線。」

「再來是9分鐘的市政府到善導寺,路線擴充成『大安森林公園→善導寺→中山→南京復興』嗎?」

孝和點點頭。其實旅行業務員問題還有很多效果更好的演算法,例如插入法(insertion algorithm)、分支界定法(branch and bound),但講解起來太過複雜,他便選了跟最鄰近搜尋概念相似的貪婪演算法。孝和列出貪婪演算法結果:

貪婪演算法 台電 板橋 徐匯 大安森林 動物園 市政府 善導寺 中山 南京復興 台電大樓 總和
18 27 25 21 26 9 7 4 16 153

「共計153分鐘。」

「比我的規劃慢2分鐘。」

賴皮摸摸下巴,對孝和投以懷疑的眼神。孝和不屑地鼻子噴了口氣,冷笑說:「有經驗的人靠直覺解旅行業務員問題,本來就可以得到不錯的結果。但你剛才不是嫌只有你才會排嗎?貪婪演算法的話只要遵守規則,仁叔也能排出跟你精心設計路徑差不多的結果噢。」

孝和頓了頓,「只要善用數學,一般人跟『專家』的距離就能縮小。更何況我還沒講完。」

孝和指著倒數的中山站和南京復興說,「我們交換這兩站順序。從『善導寺→中山→南京復興→台電大樓』變成『善導寺→南京復興→中山→台電大樓』。有兩條路徑會因此變更。」

孝和畫出示意圖

2opt

「因為有兩條路變換,稱之為二元素優化(2-opt),優化後變成151分鐘,跟你的方法一樣了。」

賴皮表情變得複雜,他既不想被超過,又因為找到好方法而開心。孝和看了好笑,用帶點安慰的口吻說:「你的路徑也可以靠2-opt改善。另一種方法是直接調整某站在排序裡的位置。比方說把南京復興從善導寺跟中山之間,移到動物園跟市政府之間。這個調整會導致三條路徑要重算,因此稱為『三元素優化(3-opt)』。」

3opt

「優化後再少4分鐘。重複2/3-opt四次後可以得到這樣的結果

貪婪演算法+2/3-opt 台電大樓 板橋 善導寺 市政府 動物園 南京復興 徐匯 中山 大安森林 台電大樓 總和
18 14 9 26 18 18 14 10 10 137

只要137分鐘就能送貨完畢,比仁叔的方法快了25%。整套調整的方法稱為Lin-Kernighan演算法。」

賴皮拿起筆自己算起來,孝和注意到他握筆姿勢怪怪的,宛如小學生的字體逐漸填滿整張白紙。

圖1

幾十分鐘後,賴皮讚嘆:「原來這就是數學,將事情變得有邏輯,用有系統的方法解決。」

一個念頭在孝和心中閃過:「賴皮,你該不會--」

「嗯,我是在捷運上被發現的棄嬰。當時收留我的就是仁叔。捷運地下委員會最初也是為了照顧我而成立的組織。」

原來眼前的人連身分證都沒有,是真正的幽靈人口。

孝和揣摩著遊民們撿到賴皮時的心境。一個新生兒的出現,對他們來說必然是個負擔,但或許也帶來了生存下去最必須擁有的兩種情感:「希望」與「被需要」。

賴皮搔搔頭說:「名字是仁叔亂取的,我才不是真的姓賴咧。我的知識都是自學來的,雖然常聽說上學很無聊,不過我還是羨慕能上學的人。所以看到你們的《超展開數學教室》才這麼興奮。我想體驗看看,就算一次也好,進教室聽課。」

「你會失望的。」

「失望也是人生的一部分。」

賴皮攤了攤手。孝和搖頭回答:「好吧。那你有沒有想過乾脆離開地底,回到正常社會生活呢?」

賴皮笑著回答:「對我來說這裡是家。儘管家裡比較髒亂,環境比較不好,但你會因此離開家裡嗎?」

孝和完全懂賴皮的意思。他自己也是這樣想,所以儘管這幾年來台灣狀況越來越不好,但他依然沒接受長輩們的建議,到國外念大學。一股莫名其妙的認同感驅使他說出:「好人做到底,我回去後寫個程式。以後你們只要輸入站名,程式就能輸出最佳送貨順序。」

「太棒了!身為地下委員會主席,我要好好感謝你的幫助。」

賴皮從口袋裡掏出厚厚一疊的貼紙。

「我授予你地下委員會榮譽委員,可終生免費使用送貨服務。」

誰需要這種東西啊,孝和正想推辭時:「附帶一提,你也可以在雨傘上貼這個。要是雨傘掉在捷運上,趕快傳LINE給我,我們立刻幫你送回去。這算是變形的失物代拾服務。」

這就蠻有用了,孝和收下了貼紙。賴皮轉身,俐落地從軌道跳上月台,回頭對賴皮伸出手:「我送你回去吧。」

遲疑了一下,孝和伸手與賴皮相握:「你到現在還是沒洗手。」

「哈哈哈。」

「賴皮這名字取得不錯,跟你的個性很貼切。」

「當然,家人取的嘛。」

孝和仰望月台上的賴皮,工業燈泡的光澤在他眼底流動,襯著昏暗的捷運地下隧道,顯得格外閃亮。

一周後,孝和把程式寄給賴皮,附了一份程式碼說明。如今每當想起有一群人,定居在巨大的捷運地下網路中,孝和就感到奇妙。

Photo credit: Y'amal
Photo credit: Y’amal

捷運車門打開,上午十一點的捷運空蕩蕩,彷彿只是為了運送郊區的空氣到市區。他從包包裡拿出一件籃球球衣,一本在二手書店找到的歷史小說,這是要給高中死黨阿叉以及他女友商商的。他在書裡夾了張紙條,上面寫了「下周四一起回學校看老師」,再將書與球衣裝進袋子,貼上U2貼紙。

捷運停車,上來一整群校外教學的國小學生,用高分貝的交談塞滿整節車廂。孝和站起來,往第一節車廂走去。來到最末端的座位,他瞥見座位底下隱約有個物體的輪廓。有人先一步送了貨嗎?他彎下腰檢查。

此時,後方傳來一陣熟悉的聲音:「客人,送貨嗎?」

 

註:更多孝和的故事,請參考《超展開數學教室

Photo credit: Stacy
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賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室