情人的理型：讓數學告訴你，遇見完美情人有多難？

大學新鮮人通常是戀愛解禁的時刻，但如何抉擇愛情，是許多莘莘學子一生的困惑。許多人喜歡對他人的感情做出評論，但似乎沒有人使用科學或心理學的方法來討論。這個問題在歐美地區一樣很常見，高中生情侶上大學後分隔兩地，第一次回家過感恩節假期，之後往往就會分手，俗稱為「火雞分手」（Turkey drop，如果你很好奇拿這個辭去Google，你會發現很多有趣的事）。

若將這件事情說的更科學一點，我們可能要換個說法：如果我們遵守連續單偶制（指一人有許多配偶，但每次只有一個），那要跟多少人在一起過，才能知道誰最適合你？

此一困境在數學心理學（Mathematical psychology）上已經研究多年。數學心理學屬於認知心理學的次領域，是使用數學模型來討論心理學所遭遇的各種問題。如何在最佳時機作決定，稱為「最佳停止點」（或稱「最佳停止問題」，Optimal Stopping）〔1］。「最佳停止點」可以應用的方向很廣，舉凡需要做抉擇的事情，都可以用此方法來思考，小到午餐要吃什麼、找停車位、找旅館，大到面試新人、租房子、買賣房子、決定人生伴侶等等。

這個問題已經有了最佳的解答，就是 37﹪法則。

什麼意思？就是將願意花掉的總時間乘以 37﹪，就是最佳決定的時刻。舉一個簡單例子，如果你想要在兩個月之內租到房子，那個房子是最佳房子的最佳機率。那就把 60 天乘以 37﹪，也就是 22 天。也就是花了 22 天之後，你就要出手了。只要找到比你先前看過的房子更令人心動的房子，就立刻動手，不要猶豫，這就是最佳決定的時間點，因為你花再多時間也不可能找到更好的了。

秘書問題：以最少的時間面試，找到最佳的人選

為什麼是 37﹪，而不是其他數字，這是一個嚴謹數學的問題。「最佳停止點」源自一個古老的起點稱為「秘書問題（secretary problem）」：我們希望花最少的時間，找到最佳的人選。最佳的解決方案，是設定一段思考時間，在這段時間中，先不錄取。但過了這段時間，只要看到比思考階段更好的人選時，就馬上錄取。

如果我們逐一將面試的幾人之後，就做出決定，依序可得到表一。面試兩人時，不論錄取誰，成功率都是 1/2（兩人各有一半的機率是最佳人選）。如果有三人應徵，情況變得較為複雜。在面試第一人，先按兵不動。面試第二人時，若我們知道他比第一位好，就先錄取；若比第一位差，就不錄取。如此找到最佳人選的機率，跟應徵兩人時是一樣的，也是 1/2^註。

當可選擇的人數越來越多時，做決定的界線就是 37﹪。採用這個策略，找到最佳人選的機率也趨近 37﹪。沒錯，世界上並不存在最完美的策略，就算是我們覺得這是最好的方法了，其失敗率仍有 63﹪。採取這樣的方法，主要是取決於大多數的情況下，我們都無法找到最佳人選；但最佳停止策略，卻幫我們節省最多的時間。

回到決定人生伴侶這件事也是雷同的。37﹪法則不只用在應徵人數，也可用在尋找時間。假設從 18 歲開始，我們就汲汲營營於尋找另一半，至 45 歲左右為止。那依據最簡單的減法與乘法（〔（45-18）+1〕×37﹪＝10.36），那決定終身伴侶的時間點，就是落在 28 至 29 歲之間。如果那時你已經有合適的伴侶，那就可以考慮結婚了，因為以後也找不到更好的了。（假設啦，我知道真實的情況是像下圖這樣XD）。

面對七嘴八舌的詢問，就「解釋」給他們聽吧！

如此之結果，就是對於大一新生伴侶，最好的解答。他們根本不用在十八歲就做人生最後的決定，最佳最合適的時間點根本還沒到。如果遇到惱人的三姑六婆，我們可以拿出數學慢慢算給他們聽，以他們對於數學的耐受力，肯定三分鐘後就放你一馬了。（因為根據 37﹪法則，他們對於困難數學的問題最多只能聽十分鐘，他們能撐三分鐘，已經是最佳策略了）。

其實這個解決方法十分好用，很多時刻時我們常常不知如何做決定，包括買東西、找車位、訂機票、訂旅館等等，難以抉擇的當下無時無刻的困擾著我們。這時候，想想人生並不存在 CP 值最高的，而是「最佳停止點」，才是最完美的策略，想必對於困境也就能慢慢釋懷了。

• 註：因為三位應徵者，若依其優秀程度，有六種排列方式：1-2-3、1-3-2、2-1-3、2-3-1、3-1-2、3-2-1。若依上面所述，面試第一人先不動。接著只要有更好的人選就錄取，這樣成功錄取最優秀的排列為2-1-3、2-3-1、3-1-2，佔全體一半。若是另外三種排列方式1-2-3、1-3-2、3-2-1，一樣有一半的機率錯過最佳人選。

參考資料與延伸閱讀：

1. 甘錫安（譯）（2017）。決斷的演算：預測、分析與好決定的11堂邏輯課（Brain Christian & Tom Griffiths）。新北：遠足文化。

才到中正紀念堂站嗎？今天看書效率還挺高的。

孝和放下手中的講義。

上大學後，他養成在捷運上閱讀的習慣。早上11點的捷運車廂空蕩蕩，彷彿是為了將郊區的新鮮空氣運送到市中而行駛，只有孝和與另一位乘客，那人身旁擺了個紙箱，乍看之下也是剛上大學的年紀，卻散發出一股同學沒有的氣息。正確地說，是少了大學生的青春氣息，更像社會人士。

為什麼可以這時候在捷運上，業務員嗎？不，業務員不應該穿Uniqulo襯衫跟牛仔褲……，孝和猜測起對方背景，藉此打發時間。

列車抵達台電大樓終點站。孝和下車，轉身面對月台，等往公館的下一班列車。忽然，他意識到月台上只有自己一人。

那傢伙不見了。

※

幾天後孝和又遇見他了。

那人坐在相同的位子，偶爾看手機，大多時間往漆黑的窗外看著。或許是錯覺，孝和覺得投影在窗戶上的那張臉不時窺視自己。比起無趣的學校，曾經莫名其妙消失的傢伙讓孝和更感興趣。他沒在公館下車，一路來到了終點站新店。下車後，孝和保持一段距離，用眼角餘光觀察對方，兩人一前一後上電扶梯、出站。站外的洗手間，清潔人員正擺上「清理中」的黃色告示，那傢伙卻視若無睹地進去。

「不好意思。」

孝和低聲道歉後也跟了進去。

那傢伙站在最內側的小便斗前，與孝和對望了一秒，又像沒看見他似地，轉過頭吹起口哨。孝和走向小便斗。忽然，三間廁所門都被推開，三個邋塌的中年男子走出來，擋住孝和的去路，從他們緊靠的身上傳來一股刺鼻體味。孝和察覺不對勁，準備轉身離開，卻被一支拖把從背後頂住。

「不要動。」

清掃人員的聲音從看不見的死角傳來。

「上完廁所的瞬間最舒服了，呼。你是怎麼發現的？」

孝和沒回答。對方吹著口哨走過來，似乎是英國搖滾天團U2的「With or without you」旋律。他伸出手：「我叫賴皮，你好。」

「你還沒洗手。」

※

「真的有『捷運地下委員會』這個組織？」

「敝人為初代會長，鏡頭在哪裡？」

「沒那種東西。」

孝和伸手制止賴皮比Ya的手勢。儘管剛認識，兩人卻像老友一樣打鬧著。孝和覺得賴皮和他高中死黨很像，都是思考很超展開的人。以前死黨還說過「籃球隊先發五人，棒球隊先發九人，為什麼女朋友只能先發一人」這種莫名其妙的話。

「不能拍照噢，禁止攝影。」

賴皮露出正經的表情，孝和吐槽道：「這裡是博物館嗎？」

事實上，這裡恐怕是跟博物館相差最遠的地方了。

在孝和眼前展開的是一條昏暗的捷運隧道，約四、五米挑高，往隧道深處望去有種整個人要被吸進去的錯覺。軌道上鋪了一好幾大片塑膠地板，他們坐在上方。空氣中瀰漫一股柴油發電的油氣味，幾十條電線從發電機出發，像地底才有的藤蔓品種，攀爬上水泥牆，抵擋不過重力，從隧道頂垂吊下來，開出一朵朵澄黃色的工業燈泡。不遠處，有一塊用伸縮圍欄拉出的區域，幾片模糊的身影側躺在那兒。更遠處有許多箱子，整齊堆疊著。

二十分鐘前，賴皮帶孝和搭上終點站是台電大樓的列車，

「趕快躲到椅子下。」，賴皮邊指揮孝和，自己躲到對面椅子底下。站務人員的腳從他們面前經過，沒停下來，不知道是沒看到，還是跟賴皮有默契。他們在折返的袋狀軌處扳開車門，步行到原本作為擺放備用列車，如今已荒廢的軌道。

這是捷運地圖上沒有的區域，同時也是捷運地下委員會的總部。

※

「還是不相信嗎？」

賴皮發出嘖嘖嘖的聲響，皺起眉頭：「人類真容易被『常識』束縛，常識裡不該有的存在，親眼見到了也無法相信。」

他裝起客服人員的腔調：「各位先生女士，捷運地下委員會起源於民國八十五年。當時淡水線剛通車，遊民喜歡躲進尚未啟用的隧道裡生活，當局發現後，一方面同情遊民生活，一方面怕強力驅趕引發社會問題，便睜一隻眼閉一隻眼。為了感謝捷運局通融，遊民主動幫忙工程。雙方就像小丑魚跟海葵互利共生。爾後捷運網路發達，遷徙至地下的遊民也越來越多，便成立了捷運地下委員會。除了協助工程，今年更將觸角延伸至送貨服務。」

「 送貨服務？」

賴皮點點頭：「捷運網路就像台北市的血管，血管能輸送氧氣，捷運當然也能送貨。」

我們不僅是小丑魚，還是紅血球。賴皮雙手插腰，一臉得意的樣子。

※

地下委員會的送貨方式是這樣的：某幾站的廁所掃具間裡設有販賣機，販售一張50元、上面繪製了「U2」的黑底紅字貼紙，販賣機上有QR code可加LINE ID。

「為什麼叫U2？」

孝和把玩著賴皮遞給他的貼紙

「因為是捷運（underground）的地下（underground）服務委員會啊，剛好兩個U。」

「台北捷運叫做MRT又不是underground，根本是因為你喜歡U2吧。」

「那是巧合。」

賴皮不理會孝和，繼續解釋：「客人得坐在第一節車廂末端的靠右三人座，將物品貼上貼紙，再用LINE告訴我們此刻正通過哪一站，要送達的車站，再把物品放在座位底下，我們就會去收貨。」

「不會被別人拿走嗎？」

賴皮用「這是什麼問題」的表情瞪了孝和一眼，「現在捷運上每個人都在玩手機，不會有人注意到座位底下的。況且，這裡是台北市，都市人最擅長對奇怪的事情裝作沒看到。」

果然又是常識害的嗎，孝和心想。

「收到後，我們會於24小時以內以遺失物品的名義送達到該站站務。之後，收件人就可以去取貨了。」

解釋完，賴皮又吹起口哨，這次換成U2的「Pride(In the name of love)」。孝和採取正面攻擊發問：「幹嘛告訴我這麼多？」

「因為我們需要你的幫忙。」

賴皮露出狡猾的笑容。到這邊起才是重點。

※

賴皮起身走向牆邊，孝和跟在後頭，牆上貼了幾十張表格，記錄捷運不同站間的乘車時間。

「我們最近送貨服務越做越好，開始有些忙不過來，所以得好好規劃起送貨流程。好比說，等等輪到仁叔送貨。」

賴皮往休息區一指，也不管孝和到底有沒有搞清楚仁叔是誰，

「他得送到『板橋、中山、動物園、徐匯中學、南京復興、市政府、善導寺、大安森林公園』八站。你覺得送貨順序怎麼排會比較好？」

「這是旅行業務員－－」

賴皮打斷孝和，他說「我是這樣安排的：

根據捷運局公布的時間，需要花－－」

「151分鐘。」

換孝和打斷賴皮。

「好厲害！這麼快就算出來了。」

賴皮提高音量，發出由衷的讚美，孝和的表情沒有任何變化，依然專注地看著牆上的表格。

「地表人真沒禮貌，被讚美了難道不該道謝嗎？」

「你有兩隻手跟兩隻腳，好厲害。」

「這跟那有什麼關係？」

「看吧，你也沒說謝謝。聽到對方陳述一件事實，本來就不需要道謝吧。」

賴皮做出下巴脫臼的誇張姿勢，然後嘴角露出反擊的笑容

「也是，畢竟是數學天才孝和嘛。」

突然被叫出本名，孝和還沒反應過來，一本書先出現在眼前，

「上週有人用我們的服務送了這本《超展開數學教室》，我一看，就覺得書裡的人好眼熟，跟捷運上常看到的某位大學生很像。」

被將軍了，孝和哭笑不得。前陣子，他們高中時期和老師雲方用數學解決各種生活問題的經歷被出版後，死黨阿叉還用LINE問他：「怎麼辦，會不會有人在路上認出我們啊？」

「你放心吧，書被分在數學類科普，通常不會賣很好。」

「什麼嘛－－」

孝和這才意識到原來阿叉是巴不得被認出來。沒想到先一步被發現的是他，還因為這本書被捲入了這近似都市傳奇的組織。

「我知道了。你要我幫忙排送貨流程嗎？」

賴皮點點頭，「跟聰明人講話真輕鬆。現在都靠我慢慢排，其他人懶得要命，要是不事先排好，他們就會隨便選。像仁叔每次都選『最近的下一站』，照他的方法這趟得花181分鐘，

比我規劃的多了半小時，太浪費……」

賴皮劈哩啪啦講著，孝和將他的話視為背景噪音，腦海裡開始運算。等賴皮告一段落，他才開口

「這是標準的旅行業務員問題（Traveling salesman problem）。」

「嘎？」

「我剛一開始就說了，是你打斷我的。」

※

「想像有位業務員要造訪很多城市，城市間有道路連接。以造訪完所有城市為前題，業務員該如何規劃造訪順序，才能走最短距離、花費最少時間。」

孝和在地下幾十公尺深的地方上起數學課：「仁叔的『最近站為下一站』是最鄰近搜尋法（nearest neighbor search）。」

「仁叔的方法也是數學家提出來的？當數學家也沒想像中的難嘛。」

賴皮不以為然說，孝和瞪了他一眼：「最鄰近搜尋法的優點在於簡單，但效果通常不好，用像你這種程度的大腦去規劃一下，往往就可以得到更好的結果。」

「太失禮了吧，什麼叫做『像我這種程度的大腦』，全台灣有誰比我更了解捷運，你能背出淡水信義線沿線每一站嗎？淡水、紅樹林……」

賴皮念咒似地背起來，孝和研究乘車時間表格，圈起其中幾個欄位。

「大安森林公園、信義安和、大安……顛倒了……這幾站安來安去真煩，你知道嗎，我常因此被下錯站的觀光客問路……101、象山站！」

「不錯嘛，真的背完了。」

「當然，哈哈。你把這幾個圈起來做什麼？」

孝和原本想說「這才叫讚美，因為你做了超乎預期的事」，但看到賴皮一臉得意，他反而失去了嘲諷的興致。

「另一種簡單的方法叫做貪婪演算法：每次都將最短的兩站間路徑加進路線。比方說，中山站到南京復興之間的路徑最短，只要4分鐘，所以是第一條要納入的路徑。再來，善導寺跟中山站之間的路徑第二短，只有7分鐘，也要納入路徑。這麼一來會得到『善導寺→中山→南京復興』或反過來『南京復興→中山→善導寺』兩種路線。」

「再來是9分鐘的市政府到善導寺，路線擴充成『大安森林公園→善導寺→中山→南京復興』嗎？」

孝和點點頭。其實旅行業務員問題還有很多效果更好的演算法，例如插入法（insertion algorithm）、分支界定法（branch and bound），但講解起來太過複雜，他便選了跟最鄰近搜尋概念相似的貪婪演算法。孝和列出貪婪演算法結果：

「共計153分鐘。」

「比我的規劃慢2分鐘。」

賴皮摸摸下巴，對孝和投以懷疑的眼神。孝和不屑地鼻子噴了口氣，冷笑說：「有經驗的人靠直覺解旅行業務員問題，本來就可以得到不錯的結果。但你剛才不是嫌只有你才會排嗎？貪婪演算法的話只要遵守規則，仁叔也能排出跟你精心設計路徑差不多的結果噢。」

孝和頓了頓，「只要善用數學，一般人跟『專家』的距離就能縮小。更何況我還沒講完。」

孝和指著倒數的中山站和南京復興說，「我們交換這兩站順序。從『善導寺→中山→南京復興→台電大樓』變成『善導寺→南京復興→中山→台電大樓』。有兩條路徑會因此變更。」

孝和畫出示意圖

「因為有兩條路變換，稱之為二元素優化(2-opt)，優化後變成151分鐘，跟你的方法一樣了。」

賴皮表情變得複雜，他既不想被超過，又因為找到好方法而開心。孝和看了好笑，用帶點安慰的口吻說：「你的路徑也可以靠2-opt改善。另一種方法是直接調整某站在排序裡的位置。比方說把南京復興從善導寺跟中山之間，移到動物園跟市政府之間。這個調整會導致三條路徑要重算，因此稱為『三元素優化(3-opt)』。」

「優化後再少4分鐘。重複2/3-opt四次後可以得到這樣的結果

只要137分鐘就能送貨完畢，比仁叔的方法快了25%。整套調整的方法稱為Lin-Kernighan演算法。」

賴皮拿起筆自己算起來，孝和注意到他握筆姿勢怪怪的，宛如小學生的字體逐漸填滿整張白紙。

幾十分鐘後，賴皮讚嘆：「原來這就是數學，將事情變得有邏輯，用有系統的方法解決。」

一個念頭在孝和心中閃過：「賴皮，你該不會－－」

「嗯，我是在捷運上被發現的棄嬰。當時收留我的就是仁叔。捷運地下委員會最初也是為了照顧我而成立的組織。」

原來眼前的人連身分證都沒有，是真正的幽靈人口。

孝和揣摩著遊民們撿到賴皮時的心境。一個新生兒的出現，對他們來說必然是個負擔，但或許也帶來了生存下去最必須擁有的兩種情感：「希望」與「被需要」。

賴皮搔搔頭說：「名字是仁叔亂取的，我才不是真的姓賴咧。我的知識都是自學來的，雖然常聽說上學很無聊，不過我還是羨慕能上學的人。所以看到你們的《超展開數學教室》才這麼興奮。我想體驗看看，就算一次也好，進教室聽課。」

「你會失望的。」

「失望也是人生的一部分。」

賴皮攤了攤手。孝和搖頭回答：「好吧。那你有沒有想過乾脆離開地底，回到正常社會生活呢？」

賴皮笑著回答：「對我來說這裡是家。儘管家裡比較髒亂，環境比較不好，但你會因此離開家裡嗎？」

孝和完全懂賴皮的意思。他自己也是這樣想，所以儘管這幾年來台灣狀況越來越不好，但他依然沒接受長輩們的建議，到國外念大學。一股莫名其妙的認同感驅使他說出：「好人做到底，我回去後寫個程式。以後你們只要輸入站名，程式就能輸出最佳送貨順序。」

「太棒了！身為地下委員會主席，我要好好感謝你的幫助。」

賴皮從口袋裡掏出厚厚一疊的貼紙。

「我授予你地下委員會榮譽委員，可終生免費使用送貨服務。」

誰需要這種東西啊，孝和正想推辭時：「附帶一提，你也可以在雨傘上貼這個。要是雨傘掉在捷運上，趕快傳LINE給我，我們立刻幫你送回去。這算是變形的失物代拾服務。」

這就蠻有用了，孝和收下了貼紙。賴皮轉身，俐落地從軌道跳上月台，回頭對賴皮伸出手：「我送你回去吧。」

遲疑了一下，孝和伸手與賴皮相握：「你到現在還是沒洗手。」

「哈哈哈。」

「賴皮這名字取得不錯，跟你的個性很貼切。」

「當然，家人取的嘛。」

孝和仰望月台上的賴皮，工業燈泡的光澤在他眼底流動，襯著昏暗的捷運地下隧道，顯得格外閃亮。

※

一周後，孝和把程式寄給賴皮，附了一份程式碼說明。如今每當想起有一群人，定居在巨大的捷運地下網路中，孝和就感到奇妙。

捷運車門打開，上午十一點的捷運空蕩蕩，彷彿只是為了運送郊區的空氣到市區。他從包包裡拿出一件籃球球衣，一本在二手書店找到的歷史小說，這是要給高中死黨阿叉以及他女友商商的。他在書裡夾了張紙條，上面寫了「下周四一起回學校看老師」，再將書與球衣裝進袋子，貼上U2貼紙。

捷運停車，上來一整群校外教學的國小學生，用高分貝的交談塞滿整節車廂。孝和站起來，往第一節車廂走去。來到最末端的座位，他瞥見座位底下隱約有個物體的輪廓。有人先一步送了貨嗎？他彎下腰檢查。

此時，後方傳來一陣熟悉的聲音：「客人，送貨嗎？」

註：更多孝和的故事，請參考《超展開數學教室》